Proyecto Fin de Carrera - IIT Comillas · 2011-09-06 · capacidad de carga de una placa con un par de rigidizadores y agujeros con una forma curiosa. O bien se quiera saber la concentración

Departamento de Ingeniería Mecánica

Proyecto Fin de Carrera

Estudio de dinámica estructural

mediante modelos reducidos

Autor: Christophe Blanc

Directores: Alberto Carnicero López

Jesús R. Jiménez Octavio

Miguel Such Taboada

Madrid, 6 de septiembre de 2011

Índice general

1. INTRODUCCIÓN 14

1.1. INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS . . . . . . . . . 14

1.1.1. ¾ QUÉ ES EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ? . . . . . . . . . 14

1.1.2. COMO FUNCIONA EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS . . . . 16

1.1.3. APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS . . . . . 18

1.1.4. APLICACIONES DE LOS MODELOS REDUCIDOS . . . . . . . . . . . . . 18

1.2. OBJETIVOS DEL PROYECTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. IMPLEMENTACIÓN DE LOS ALGORITMOS 21

2.1. ANÁLISIS DE UN PROBLEMA DINÁMICO CON EL MEF . . . . . . . . . . . . . 22

1

ÍNDICE GENERAL

2.2. ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN TEMPORAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1. EL MÉTODO DE β-NEWMARK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2. EL MÉTODO α-GENERALIZADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.3. EL MÉTODO DE HILBER-HUGHES-TAYLOR . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.4. EL MÉTODO DE θ-WILSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.5. EL MÉTODO DE HOUBOLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.6. EL MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS CENTRALES . . . . . . . . . . . . . 38

3. REDUCCIÓN DE MODELADO 40

3.1. REDUCCIÓN DE LOS MODELOS MEDIANTE CRAIG -BAMPTON . . . . . . . 42

3.2. REDUCCIÓN DE LOS MODELOS MEDIANTE ANÁLISIS MODAL . . . . . . . . 46

3.2.1. ANÁLISIS MODAL SIN AMORTIGUAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2. RESPUESTA ARMÓNICA FORZADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.3. DIAGONALIZACIÓN DE BASE REDUCIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.4. ERROR ABSOLUTO Y RESIDUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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ÍNDICE GENERAL

3.2.5. ERROR RELATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.6. CONTRIBUCIÓN AL ERROR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. SIMULACIÓN Y RESULTADOS NÚMERICOS 57

4.1. EJEMPLO VIGA EMPOTRADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.1. LA VIGA SIMULADA EN 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.2. LA VIGA SIMULADA EN 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2. EJEMPLO CELOSÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.1. LA CELOSÍA CON BARRAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.2. LA CELOSÍA CON BARRAS Y VIGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3. ESTUDIOS DE UNA VIGA SOMETIDA A UNA CARGA ARMÓNICA . . . . . . 103

4.3.1. CARGA CON UNA FRECUENCIA DE 800Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.2. CARGA CON UNA FRECUENCIA DE 22500Hz . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.3. CARGA CON UNA FRECUENCIA DE 44500Hz . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.4. PUENTE SOMETIDO A FUERZAS Y ACELERACIONES VERTICALES . . . . . 111

4.5. RECAPITULACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS . . . . . . . . . . . . . 115

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ÍNDICE GENERAL

5. CONCLUSIÓN 119

5.1. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.2. FUTURAS LÍNEAS DE DESARROLLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A. Notación 123

B. Figuras 126

B.1. Respuesta de la viga con fuerza constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

B.2. La celosía con vigas sometida a una carga constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

B.3. La viga sometida a una carga armónica de 800 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

B.4. La viga sometida a una carga armónica de 44500 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

C. Funciones programadas en MATLAB 135

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Índice de tablas

4.1. Masa modal acumulada en la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Masa modal acumulada en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3. Masa modal acumulada en la celosía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4. Masa modal acumulada en la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.5. Masa modal acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6. Frecuencia propia correspondiente a los 10 primeros modos . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.7. Masa modal acumulada en el puente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.8. Tamaño de los problemas, y reducción modal utilizada para la comparación . . . . . 117

4.9. Tiempo ahorrado al reducir los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5

ÍNDICE DE TABLAS

A.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

A.2. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

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Índice de �guras

2.1. Discretización con elementos �nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1. Viga empotrada a la izquierda en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Modo 1 con f1=124Hz, y Modo 2 con f2=780Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3. Modo 3 con f3=1989Hz, y Modo 4 con f4=2183Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


4.5. Masa movilizada en x en función de los modos, y de la frecuencia . . . . . . . . . . . 63

4.6. Masa movilizada en y en función de los modos, y de la frecuencia . . . . . . . . . . . 63

4.7. Masa movilizada en los giros ∠(x, y) en función de los modos, y de la frecuencia . . . 64

4.8. Comparación HHT con α-generalizado con ρ∞=0,4 y ρ∞=0,6 . . . . . . . . . . . . . 65

7

ÍNDICE DE FIGURAS

4.9. Comparación HHT con Houbolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.10. Comparación HHT con θ-Wilson con θ=1,8 , θ=2,0 y θ=2,2 . . . . . . . . . . . . . . 66

4.11. Desplazamiento con los 9 primeros modos más los 2 últimos, y con los 6 primeros

modos más los 2 últimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.12. Desplazamiento con los 9 primeros modos unicamente, y con los 5 primeros modos

impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.13. Error absoluto y relativo con los 5 primeros modos impares . . . . . . . . . . . . . . 69

4.14. Error absoluto y relativo con los 9 primeros modos unicamente . . . . . . . . . . . . 69

4.15. Error absoluto y relativo con los 9 primeros modos más los 2 últimos . . . . . . . . . 69


4.17. Giro con los 5 primeros modos impares, y con los 9 primeros modos unicamente . . . 71

4.18. Error absoluto y relativo con los 9 primeros modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.19. Comparación con las distintas reducciones modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73




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ÍNDICE DE FIGURAS

4.23. Modo 1 con f1=249Hz, y Modo 2 con f2=560Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76




4.27. Modo 9 con f9=13876Hz, y Modo 10 con f10=18722Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.28. Mallado de la viga en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78



4.31. Masa movilizada en z en función de los modos, y de la frecuencia . . . . . . . . . . . 80

4.32. Masa movilizada en ∠(y, z) en función de los modos, y de la frecuencia . . . . . . . . 80

4.33. Masa movilizada en ∠(x, z) en función de los modos, y de la frecuencia . . . . . . . . 81

4.34. Masa movilizada en ∠(x, y) en función de los modos, y de la frecuencia . . . . . . . . 81

4.35. Desplazamiento con los 9 y los 12 primeros modos, y los 6 primeros impares . . . . . 83


4.37. Error absoluto y relativo con los 12 primeros modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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ÍNDICE DE FIGURAS


4.39. Celosía con Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87



4.42. Desplazamiento con los 6, y los 3 primeros modos respectivamente . . . . . . . . . . 90



4.45. Desplazamiento horizontal en los puntos superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92




4.49. Celosía con Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95



4.52. Masa movilizada en ∠(x, y) en función de los modos, y de la frecuencia . . . . . . . . 97

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ÍNDICE DE FIGURAS

4.53. Desplazamiento con los 5 primeros modos impares, y los 5 primeros modos . . . . . . 98



4.56. Desplazamiento horizontal en los puntos superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100




4.60. Viga sometida a una carga bidireccional armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.61. Desplazamiento con los 10 primeros modos en vertical, y horizonzal respectivamente 106

4.62. Error absoluto y relativo con los 9 primeros modos para el grado de libertad vertical 106

4.63. Error absoluto y relativo 9 modos para el grado de libertad horizontal . . . . . . . . 107

4.64. Desplazamiento con los 9 primeros modos en vertical, y horizonzal respectivamente . 108



4.67. Desplazamiento con los 9 primeros modos en vertical, y horizonzal respectivamente . 110

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ÍNDICE DE FIGURAS



4.70. Modelo reducido del puente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.71. Comparación de los desplazamientos con los 25 primeros modos, y con 36 modos . . 114

4.72. Error absoluto con los 25 primeros modos, y con 36 modos . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.73. Error relativo con los 25 primeros modos, y con 36 modos . . . . . . . . . . . . . . . 114

B.1. Comparación HHT con α-generalizado con ρ∞=0,4 y ρ∞=0,6 . . . . . . . . . . . . . 127

B.2. Comparación HHT con Houbolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

B.3. Comparación HHT con θ-Wilson con θ=1,8 , θ=2,0 y θ=2,2 . . . . . . . . . . . . . . 128

B.4. Deformada �nal, con el desplazamiento máximo normado a un metro . . . . . . . . . 129


B.6. Comparación HHT con Houbolt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

B.7. Comparación HHT con θ-Wilson con θ=1,8 , θ=2,0 y θ=2,2 . . . . . . . . . . . . . . 130

B.8. Deformada �nal, con el desplazamiento máximo normado a un metro . . . . . . . . . 131


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ÍNDICE DE FIGURAS

B.10.Comparación HHT con Houbolt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

B.11.Comparación HHT con θ-Wilson con θ=1,8 , θ=2,0 y θ=2,2 . . . . . . . . . . . . . . 132

B.12.Comparación HHT con α-generalizado con ρ∞=0,4 y ρ∞=0,6 . . . . . . . . . . . . . 133

B.13.Comparación HHT con Houbolt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

B.14.Comparación HHT con θ-Wilson con θ=1,8 , θ=2,0 y θ=2,2 . . . . . . . . . . . . . . 134

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Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

1.1. INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FI-

NITOS

1.1.1. ¾ QUÉ ES EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ?

El método de los elementos �nitos (MEF) es una técnica de análisis numérico para conseguir

soluciones de una amplia variedad de problemas ingenieriles. Aunque ha sido desarrollado origi-

nalmente para estudios de los esfuerzos en estructuras complejas del fuselaje, se ha ampliado y

aplicado a un gran campo de la mecánica de los continuos. Ha ido ganando importancia tanto en las

universidades de ingeniería como en la industria al poner a disposición una herramienta análitica

muy �exible y diversa.

14

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Cada vez más, problemas ingenieriles se conforman con una solución numérica aproximada más

bien que una solución exacta para una forma especí�ca. Por ejemplo quizá se quiera encontrar la

capacidad de carga de una placa con un par de rigidizadores y agujeros con una forma curiosa.

O bien se quiera saber la concentración de contaminantes en condiciones atmoféricas variables. O

bien se quiera predecir la cantidad de �ujo de un �uido que atraviesa una forma arbitraria. Sin

demasiado empeño se pueden escribir las ecuaciones y las condiciones de contorno que rigen estos

problemas. Pero se ve inmediatamente que no hay soluciones análiticas triviales. La di�cultad en

estos tres ejemplos reside en que o bien la geometría o bien alguna otra característica es irregular

o �arbitraria�. Soluciones análiticas de tareas tan concretas no suelen existir. Pero este es el típo

de problemas al que los ingenieros tienen que confrontarse. Una forma de superar este dilema es de

asumir una serie de simpli�caciones para dejar de lado las di�cultades y reducirlo a uno que se puede

manejar. A veces este procedimiento funciona, pero en la mayoría de los casos lleva a inexactidudes

serias o directamente respuestas falsas. Ahora que los computadores son fácilmente disponibles,

una alternativa más viable es de mantener la complejidad del problema y encontrar una solución

numérica aproximada. El MEF no sólo aproxima las ecuaciones mediante puntos, sino que esta red de

puntos es interconectada y al �nal lo que se obtiene son muchos pequeños elementos interconectados.

Así que el modelo da una solución por trozos, por celdas, y no sólo por puntos sueltos. Cuanto más

�no el mallado, mejor es el modelo. Permite abordar problemas bastante complejos. Sin embargo,

cuando se enfrenta a geometrías irregulares o condiciones de contorno insólitas, se hace difícil la

de�nición del mallado. Pero la premisa básica es que cada región se puede modelar análiticamente

por un asemblaje de elementos discretos. Ya que estos elementos pueden ser ensamblados de distintas

maneras, se llegan a representar formas muy complejas, a�nando el mallado en las regiones cercanas

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de singularidades. El mallado más establecido en el MEF triangula los elementos. No se pretende

a�rmar que el MEF es mejor en todo caso que otros métodos, pero que se ajusta especialmente

bien para problemas con geometrías complejas. Casi todas las ramas ingenieriles son utilizadores

potenciales del MEF. Pero el mero hecho que este método puede ser aplicado para resolver un

problema no signi�ca que es la solución más cómoda. A menudo existen varías técnicas atractivas,

cada una con sus méritos, y ninguna es la �mejor� para todos los problemas.

1.1.2. COMO FUNCIONA EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

En un problema continuo, las variables poseen una cantidad in�nita de valores posibles al des-

cribir todos los puntos del continuo. La discretización con los elementos �nitos reduce el problema a

uno con un cantidad �nita de incógnitas. Las funciones de interpolación que aproximan los elemen-

tos continuos se de�nen en puntos especí�cos: los nodos. Usualmente algunos están en los límites

de los elementos, conectados a elementos adyacentes. Y otros son interiores y se de�nen dentro del

elemento. En el MEF, los valores nodales de las variables se convierten en incógnitas. Una vez estas

variables encontradas, las funciones de interpolación de�nen el valor de las variables por todo el

ensamblaje de los elementos. Así que además del mallado, el grado de exactitud también depende

de la adecuación de las funciones de interpolación. Sin embargo, no se pueden elegir estas funcio-

nes arbitrariamente ya que tienen que cumplir condiciones de compatibilidad. Suelen ser que las

variables o sus derivadas sean continuas a través de los elementos contiguos.

La ventaja clave del MEF es que reduce un problema con alto grado de complejidad a una

multitud de problemas muy simples. Y en cada uno de ellos, formula una solución antes de recopilar

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todos los elementos individuales para representar el problema entero. Para dar un ejemplo concreto,

los valores de la matriz de rigidez se hallan en cada elemento individual antes de constituir una rigidez

para la estructura completa. Una otra ventaja del MEF es la cantidad de posibilidades disponibles

para formular las propiedades de los elementos individuales. En [KHH01] se explica que hay tres

enfoques para expresar las propiedades: el enfoque directo, variacional, y ponderado residualmente.

Indepedientemente del enfoque utilizado, la solución de un problema continuo siempre sigue un

proceso paso a paso metódico. Para resumir, el MEF consta de los siguientes pasos:

1. Discretizar el continuo en elementos a través de nodos. Pueden, o incluso tienen que ser

distintos elementos en algunos casos.

2. Seleccionar las funciones de interpolación. Suelen ser polinomios al ser fácil de integrar o

diferenciar. El grado del polinomio depende de la cantidad de nodos asignados al elemento, de

su carácter material y del número de incógnitas que lleva cada nodo, así que ciertos requisitos

continuos impuestos en los nodos y a lo largo de las fronteras del elemento.

3. Hallar las propiedades del elemento mediante uno de los tres enfoques.

4. Ensamblar las propiedades del elemento para obtener un sistema de ecuaciones. Para la resolu-

ción se asume que el valor de las variables en un nodo, en el que hay elementos interconectados,

es igual para cada elemento compartiendo este nodo.

5. Imponer las condiciones de contorno, para adaptar el sistema al problema.

6. Resolver el sistema de ecuación. Debe moverse dentro de este punto a lo largo del proyecto,

ya que trata de reducir el sistema de ecuaciones para lograr una resolución más rápida.

7. Realizar computaciones adicionales si es deseado. Muchas veces se aprovecha de la solución

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para calcular otros parámetros importantes. Por ejemplo en nuestros problemas estructurales,

las incógnitas nodales son desplazamientos. A partir de estos se pueden calcular los esfuerzos

en los elementos.

1.1.3. APLICACIONES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Las aplicaciones del MEF se dividen en tres categorías. La primera es la de los problemas de

equilibrio, es decir de los problemas independientes del tiempo. La mayoría de las aplicaciones entra

en esta categoría. En la mecánica de los sólidos, son por ejemplo problemas en los cuales hace falta

saber la distribución de los desplazamientos dado una carga mecánica o térmica, para poder calcular

la distribución de los esfuerzos. La segunda categoría es la de los problemas de autovalores. Algunos

problemas en régimen estable suelen requerir la determinación de las frecuencias naturales. En la

mecánica de los �uidos, sirve por ejemplo para estudiar la estabilidad de los �ujos laminares. La

tercera categoría incluye problemas de propagación, es decir problemas dependientes del tiempo.

Esta categoría resulta de las anteriores añadiéndoles la dimensión temporal.

1.1.4. APLICACIONES DE LOS MODELOS REDUCIDOS

Dentro de la tercer categoría, se encuentran problemas modelados por un sistema con millio-

nes de ecuaciones. Resolver tantas ecuaciones para cada paso de tiempo resulta siendo un reto

computacional. Por eso, hay que reducir el sistema de ecuaciones. El método de la reducción modal

permite por ejemplo de estudiar la termodinámica en un reactor nuclear. Por un lado los problemas

de conducción de calor, donde hay que simular cuanta energía el núcleo del reactor trans�ere al

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líquido refrigerante en circulación. Las incógnitas nodales son temperaturas. A partir de ellas se

pueden calcular los �ujos de calor en los elementos. Por otro lado disposición espacial de las varillas

de uranio en el reactor son determinantes para maximizar la potencia máxima que depende de la

temperatura máxima. El reto es homogenizar la temperatura para que sea uniforme en el �uido. Este

problema implica milliones de ecuaciones, y sólo se puede resolver en un tiempo razonable mediante

la reducción modal. Otro método corriente en la simpli�cación del sistema es el de Craig-Bampton.

Cuyas aplicaciones más frecuentes son para:

Los análisis sísmicos en los que el la moción de los grados de libertad del sistema no reducido

se especi�ca en la ecuación general de movimiento. Permite determinar respuestas para varias

pertubaciones del modelo sin tener que resolver toda la ecuación.

La transmisión e�ciente de modelos de naves aeroespaciales acoplándose a otras estructuras.

Las matrices de Craig-Bampton se integran a las de los modelos del vehículo de lanzamiento,

y las respuestas se determinan para varios casos de vuelos.

La síntesis modal de dos o más estructuras interactuando entre sí. A cada una se le llama

subestructrura, y la acoplación de estas entregan una estructura combinada permitiendo un

análisis e�ciente.

1.2. OBJETIVOS DEL PROYECTO

En los modelos para el cálculo con el MEF, en particular en los que captan un comportamiento

(por ejemplo distribución de desplazamientos o esfuerzos) en el borde de agujeros, entallamientos,

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o transiciones de sección, se confecciona un mallado especialmente ajustado. La cantidad de grados

de libertad rápidamente alcanza ordenes de magnitud de 105 a 106. En el estudio de dinámica

estructural, en el que trata de resolver variantes del problema si se considera que cada paso de

tiempo es una variante, resulta necesario reducir los grados de libertad. Además también el rango de

las frecuencias excitadoras es restringido. De tal forma que no es necesario reproducir la totalidad de

los modos propios. Sin embargo un registro exacto de la rigidez es necesario así que una modelización

muy �na es inevitable. Sólo antes de empezar a calcular con las ecuaciones, se reduce el número de

grados de libertad.

La meta de este proyecto es implementar enAFECTOS unas funciones programadas enMATLAB

que reduzcan los modelos. Tendrán que:

ser compatibles con cualquier método de integración temporal.

ser exitoso para todos los tipos de elementos: la función tiene que reducir igual de bien una

barra y una viga por ejemplo.

reducir modelos, pero teniendo en cuenta la exactitud requerida por el problema!

intentar tratar tanto casos lineales como no-lineales. Se verá que este punto es mucho más

difícil de cumplir al tener una rigidez de la estructura que cambio a lo largo del tiempo

dependiendo de las cargas aplicadas.

La tarea original es disminuir el tiempo de cálculo para estudios dinámicos. Por un lado habrá que

comprobarlo, y por otro lado habrá que asegurarse de que las aproximaciones caben dentro las tole-

rancias máximas. Es decir que el MEF siga conservando su ventaja al ser una buena aproximación.

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Capítulo 2

IMPLEMENTACIÓN DE LOS

ALGORITMOS

Cada vez con mayor frecuencia el método de los elementos �nitos (MEF) va adquiriendo mayor

relevancia en la solución de problemas ingenieriles. La razón es muy sencilla: el MEF permite

resolver problemas físicos que, hasta que la potencia de cálculo computacional lo ha hecho posible,

eran francamente complejos al abordarlos con métodos tradicionales. Esto obligaba a realizar varios

prototipos, ensayarlos e ir realizando mejoras, con lo que el producto tenía un alto coste tanto en

tiempo de desarrollo como en coste. Por cierto, estas tres fases siguen manteniéndose, aunque con

muchos menos prototipos ya que los conseguidos con el MEF ya casi consiguen diseños óptimos.

La diferencia entre los métodos tradicionales y el MEF es radical: mientras los métodos tradi-

cionales trabajan con funciones y optimizaciones de tipo continuas, el MEF discretiza la función.

21

CAPÍTULO 2. IMPLEMENTACIÓN DE LOS ALGORITMOS

Por lo tanto, el paso de pasar de la representación exacta del problema a una aproximación siempre

tendrá que tenerse en cuenta. Una aproximación puede ser lo mejor posible, pero seguirá siendo

una aproximación. Aun así, resulta que las aproximaciones pueden ser su�cientemente buenas para

preferir el MEF a los métodos tradicionales.

Figura 2.1: Discretización con elementos �nitos

2.1. ANÁLISIS DE UN PROBLEMA DINÁMICO CON EL MEF

Antes de explicar los diferentes tipos de algoritmo, se aclara la forma de la que se estudian las

estructuras en un caso dinámico: En cada paso de tiempo ∆t (subíndice i) real en segundos, que

suele valer alrededor de 5ms, se resuelve la estructura según el MEF. En el paso de tiempo t+ ∆t

� 22 ≺


(subíndice i + 1), se tendrá en cuenta los desplazamientos u, las velocidades v y las aceleraciones

a en cada grado de libertad dadas por la resolución del paso anterior t. Para este capítulo, se ha

ayudado de los trabajos hechos en [WM00], [CHN78], y [Yan86]. Se parte de la ecuación 2.1 general

de movimiento del modelo que describe una estructura en un caso estático:

Mu+ Cu+Ku = F (2.1)

Donde la matriz de rigidez K, la matriz de amortiguamiento C y la matriz de masa M se hallan

a partir de la estructura. Las fuerzas F vienen dadas por las condiciones en las que se encuentra

el sistema. Y el desplazamiento es u, la velocidad u , y la aceleración u. En esta ecuación, las

dimensiones de los términos son:

unidimensional (n× 1) para los vectores u, u, u, F

bidimensional (n× n) para las matrices M, C, K

Las derivadas respecto al tiempo se de�nen como sigue:

u =d2

dt2(u)

u =d

dt(u)

Concretamente, en AFECTOS sólo se calculan los desplazamientos en los grados de libertad sin

condiciones de contorno. O sea que en un principio, no se calculan las fuerzas en los apoyos y

empotramientos ya que no es lo que se pretende estudiar. Además, se divide la F en 2 términos:

por un lado las fuerzas externas F y por otro lado los esfuerzos internos Q que se producen y

� 23 ≺


que se calculan a partir de las propriedades de la estructura: en cada elemento se convirtien los

desplazamientos calculados a coordenadas locales a partir de los grados de libertad asociados al

elemento en cuestión 2.2, y se vuelven a calcular las matrices de rigidez en cada elemento para

hallar los esfuerzos internos en cada elemento 2.3 . El tamaño de estos vectores o matrices es igual

de pequeño que los grados de libertad presentes en los elementos: una barra bidimensional implica

un grado de libertad vertical y horizontal en cada extremo así que el tamanño es de 4, mientras la

viga bidimensional también toma en cuenta los giros así que el tamaño alcanza 6. Luego se puede

transformar los esfuerzos internos a coordenadas globales 2.4, y por �n se ensamblan los esfuerzos

internos que corresponden a cada elemento de la estructura para obtener un vector de esfuerzos

internos para la estructura entera 2.5 . Sin embargo, como se verá a lo largo del proyecto, volver

a calcular las propiedades de la estructura en cada paso de tiempo es un proceso muy costoso.

Por lo tanto lo que se ha hecho ha sido despreciar los cambios de propiedad para llevar a cabo

los cálculos durante el estudio dinámico entero con las matrices de masa, de amortiguamiento y de

rigidez de partida: 2.6 . Aunque al dar a la estructura un comportamiento lineal forzado, se debe

saber que es muy dicícil hacer un estudio dinámico de estructuras complejas a la vez recalculando

sus propiedades en cada paso de tiempo y manteniendo el coste computacional razonable.

ul = ulocal = T · uelemento, global = T · uel, g (2.2)

ql = qlocal = klocal · ulocal = kl · ul (2.3)

qelemento, global = kel, g · uel, g = (T−1T ) · kel, g · (T−1T ) · uel, g

= T T · (T kel, gTT ) · (Tuel, g) = T T (kl) (ul) = T T · ql (2.4)

Qg = Qglobal = assemble(qel, g) (2.5)

� 24 ≺


Q = Qg = Kg · ug (2.6)

Cabe decir que el determinante de la matriz de transformación T vale 1 ya que se hace una rotación

de las coordenadas para pasar de un sistema cartesiano a otro. Por tanto su transpuesta es igual a

su inversa. Al �nal, la ecuación general de movimiento queda como sigue.

Mu+ Cu+Ku = F −Q (2.7)

Sin embargo se centrará en estudios dinámicos. Por tanto hay que reescribir la ecuación general de

movimiento 2.7 a lo largo del tiempo:

Mu(t) + Cu(t) +Ku(t) = F (t) (2.8)

Al tratar esta ecuación con el MEF, se discretiza el tiempo. Logicamente, cuanto menor el paso de

tiempo, menor el error cometido ya que se toman en cuenta las deformaciones que ha habido en la

estructura en el momento anterior. De hecho, el tema del paso de tiempo se comentará brevemente

en este proyecto en 4 .

Sin embargo en la ecuación 2.8, se considera el sistema lineal. Es decir que se asume que las

propriedades del material no se ven afectadas por los esfuerzos que surgen dentro de la estructura.

Es decir K, C, y M son constantes. En el caso de tener que estudiar una estructura con respuesta

no lineal, habrá que calcular de nuevo estas matrices en cada paso de tiempo.

M(t)u(t) + C(t)u(t) +K(t)u(t) = F (t) (2.9)

Para resolver la ecuación 2.9 durante un tiempo 0 < t ≤ T , hay que �jar las condiciones iniciales

u(t = 0), u(t = 0), u(t = 0). En todos los casos tratados en este proyecto, se �jarán a 0. Además,

� 25 ≺


hay que darle información al problema sobre las fuerzas F (t) a las que está sometido a lo largo del

tiempo mientras 0 < t ≤ T .

2.2. ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS

Ante todo, se implementarán unas funciones en MATLAB con �n de leer entradas sísmicas. En

está función, se asignarán a los grados de libertad horizontales de cada nodo de nuestra estructura

la aceleración del suelo. Para ser preciso, el vector de arrastre que se ha implementado permite

recoger aceleraciones en grados de libertad o bien horizontales, o bien verticales, o bien en dirección

z para estructuras tridimensionales. Lo que implica por un lado que las aceleraciones se graben en

un sismografo de forma discreta, ya que los aparatos de medida nunca llegarán a medir en continuo,

y por otro lado que se simpli�ca el efecto que tiene el terremoto en la estructura ya que se considera

que la aceleración no in�uye tanto en desplazamientos verticales como en giros en cada nodo. Ahora

bien en caso de que el sismógrafo entregue aceleraciones horizontales y verticales, ambas se tomarán

en cuenta a la hora de resolver la estructura utilizando 2 vectores de arrastre. Sin embargo nota

destacar que está condición que se impone al sistema, es decir ponerles a 0 los movimientos verticales

y/o los giros debidos al seismo, es una aproximación muy buena de la realidad.

En el caso de estudiar la respuesta sísmica de estructuras con comportamiento no lineal en el

material, se puede subdividir F (t) de tal forma que se quede la expresión:

M(t) · u(t) + C(t) · u(t) +K(t) · u(t) = Fext(t)−M · J · a(t)−Qint(t) (2.10)

Donde J se le llama vector de arrastre, y toma valores 0 en los grados de libertad que no se ven

� 26 ≺


in�uidos por la aceleración sísmica, y 1 en los que se ven afectados por el seismo. Típicamente el

vector J toma valor 1 en los grados de libertad que corresponden a los grados de libertad horizontales,

y valor 0 en los demás. El valor a(t) es la aceleración del seismo en el instante t, y se mide a partir

de un sismografo.

2.3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN TEMPORAL

A continuación, se presentarán los diferentes métodos de integración temporal (MIT). Los que

ya venían programados en AFECTOS eran tanto para casos lineales y no lineales. Los métodos

de integración temporal que se programaron durante el proyecto se hizieron primero solamente

para casos lineales, y se intentaron ampliar después a casos no lineales. Aunque, como se verá, se

centrará en problemas de tipo lineal, el análisis de estructuras no lineales permitirá ver los límites

de la reducción modal.

Los métodos utilizados pertecen a la familia de los métodos implícitos. Si fuesen explícitos, es

decir que el método permite despejar ui+1 sabiendo ui, sería preciso destacar que la estabilidad

sólo puede ser garantizada si el paso de tiempo elegido es su�cientemente pequeño respecto a las

frecuencias del sistema. La meta es tener un método incondicionalmente estable, lo cual signi�ca

que la solución numérica será estable cualquiera que sea el contenido en frecuencias del sistema

mecánico. Para ello se emplean los métodos implícitos.

Aunque todos los métodos de integración temporal esten implementados para varios grados

de libertad en MATLAB y considerando efectos de amortiguamiento, sólo se escribirá la ecuación

� 27 ≺


general del movimiento para cada uno de ellos según [HWJ99]. Sin embargo cabe contentarse de

mostrar cómo se hallan los desplazamientos u , las velocidades u y las aceleraciones u en un paso de

tiempo dado a partir del anterior; y además considerando la ecuación dinámica para sistemas con

un grado de libertad. No perjudica estudiar el sistema como si fuera con un sólo grado de libertad,

ya que al hacer la reducción modal, como se verá en 3.2, se está trabajando con un sistema en el

cual cada ecuación es independiente. Obviamente, esta forma de sacar la respuesta dinámica no

vale en el caso de estudiar la estructura sin reducción modal. Por eso, aunque el objetivo de este

proyecto se centra en lo que es la reducción, se satisfará con esta manera más sencilla de abordar el

problema unicamente para el algoritmo que no se programa 2.3.6 .

2.3.1. EL MÉTODO DE β-NEWMARK

La familia β-Newmark está especialmente diseñada para la resolución de sistemas de secundo

ordén. El término familia viene del hecho de que su planteamiento más general tiene dos parámetros,

γ y β entre 0 y 1, cuya variación genera todos los distintos métodos de la familia. Es de amplia

utilización en la dinámica estructural, porque es el método absolutamente estable más preciso en

el régimen lineal. Pertenece a los métodos de integración dichos implícitos. El método de Newmark

es en realidad un caso especial del método α-generalisado en el que el valor de α es 0. Entoncés la

ecuación para un sólo grado de libertad es dada por 2.11. En cuanto a la notación, se cambiarán a

los vectores de desplazamientos u, de velocidades u y de aceleraciones u respectivamente por x, x y

x tan pronto como se hable de una sola variable (matriz con dimensión 1×1).

xi+1 + 2 ξ ω ui+1 + ω2 xi+1 = fi+1 (2.11)

� 28 ≺


xi+1

xi+1

xi+1

=

1− βλ ∆t(1− βλ− 2βκ) ∆t2

(1/2− βκ− βλ

2− βλ

(ωn∆t)2

)−λγ∆t

1− γλ− 2λκ ∆t

(1− γκ− γλ

2− γλ

(ωn∆t)2

)−λ∆t2

−(λ+ 2κ)

∆t1 + κ− λ/2− λ

(ωn∆t)2

∗

xi

xi

xi

λ =

(1

(ωn∆t)2+

2ξγ

ωn∆t+ β

)−1

κ =ξλ

ωn∆t

Para garantizar una estabilidad incondicionable en régimen lineal, los parametros tienen que ser

elegidos como tal: β ≥ γ/2 ≥ 1/4. Sin embargo, como se explica en [Pel09], existen dos métodos

precisos para la aplicación del método de Newmark:

1. El método de aceleración promedio: γ = 1/2 y β = 1/4.

2. El método de aceleración lineal: γ = 1/2 y β = 1/6.

Como se ve en [KHH01], el hilo conductor para la elección del paso de tiempo ∆t es elegirlo de manera

que la respuesta de los modos que contribuyen signi�camente a la respuesta total sea calculada con

exactitud. En general, el paso de tiempo puede ser mayor que en 2.3.6. En este proyecto no se

irá más allá del estudio de ∆t aunque se tendrá en mente: su elección es un compromiso entre la

exactitud de la solución y de coste computacional. A continuación se enseñará la implementación del

método que se ha utilizado en MATLAB, la cual ya no es para uno grado de libertad sólo sino para

una estructura. Las ecuaciones para el la velocidad y la aceleración en el paso de tiempo siguiente

t+ ∆t están dadas por 2.16 y 2.17 . Pero primero hay que calcular la matriz de rigidez equivalente

� 29 ≺


Keff (t) y las fuerzas efectivas Feff (t) en el instante t, para hallar el desplazamiento diferencial ∆ut.

Se muestra el método para el caso lineal aunque ha sido implementado también para posibles casos

no lineales, que afecta sobre todo las fuerzas efectivas. Para la no-linealidad, se integra otro bucle

con índice j dentro del paso de tiempo i, del que se sale una vez que ha convergido la solución, es

decir que el error queda por debajo de un valor dado: por ejemplo 10−4.

Fi,eff = Fi+1+Ci

(γ

β∆tui +

(γβ− 1)ui +

∆t

2

(γβ− 2)ui

)+M i

(1

β∆t2ui +

1

β∆tui +

( 1

2β− 1)ui

)(2.12)

Ki,eff = Ki +γ

β∆tCi +

1

β(∆t)2M i (2.13)

∆ui = Fi,eff/Ki,eff (2.14)

ui+1 = ui + ∆ui ⇔ ∆ui = ui+1 − ui (2.15)

Cabe decir que la línea de código que más potencia computacional requiere es 2.14 al tener que

invertir la matriz de rigidez. Para minimizar el coste computacional, se programan en MATLAB

los vectores y las matrices usando el comando �sparse()�. Así, nos quitamos todos los valores nulos

dentro de la matriz para considerar unicamente los valores distintos de cero, lo cual alivia algo el

programa para realizar el cálculo.

Entonces: ui+1 =1

β∆t2∆ui −

1

β∆tui −

(1− 1

2β

)ui (2.16)

ui+1 = ui + ∆t(1− γ) ui + γ∆t ui+1 (2.17)

El amortiguamiento algorítmico se introduce en el método de Newmark estableciendo el parámetro

γ < 1/2 y calculando el otro parámetro β = (γ + 1/2)2/4. Aunque el algoritmo resulta siendo

condicionalmente estable, se usa a menudo en casos prácticos ya que �ltra las componentes de altas

� 30 ≺


frecuencias de la respuesta del sistema mecánico. Es decir que, en general, este amortiguamiento es

deseado ya que las componentes de frecuencias altas resultan de la discretización introducida en el

MEF, y que no tiene signi�cado físico ninguno. Pero también es conocido que el amortiguamiento

implementado en el algoritmo afecta a los modos propios bajos. Para compensarlo, se amplia el

método de Newmark según [DM99]. La intención es por un lado asegurar una disipación adecuada

en los modos altos y por otro lado garantizar que no afecta demasiado a los modos bajos. Se

describen posibles mejoras en 2.3.2 y 2.3.3 .

2.3.2. EL MÉTODO α-GENERALIZADO

Como viene explicado en [JC93], el método α-generalizado es particularmente conveniente al

proporcionar la cantidad deseada de disipación de las frecuencias altas gracias al valor de los pará-

metros algorítmicos. Este método de integración temporal es radicalmente diferente de los métodos

multipasos y de Rung-Kutta. Su mayor aplicación es para estructuras que tienen un alto grado de

acoplación. Este método ya venía implementado en AFECTOS. En el caso no lineal, se particulariza

la ecuación 2.10 en el instante ti:

(1− α)M · ui + αM · ui + C · ui +K ·∆ui = F exti −M · J · ai −Qinti (2.18)

Donde : ∆ui = ui+1 − ui

Se escribe esta ecuación 2.18 para un solo grado de libertad y un caso lineal:

(1− α) xi+1 + α xi + 2 ξ ω xi+1 + ω2 xi+1 = fi+1

� 31 ≺


Signi�ca que se calculan el desplazamiento, la velocidad y la aceleración a partir de los datos del

paso de tiempo anterior.xi+1

xi+1

xi+1

= A ∗

xi

xi

xi

donde

A =

1− βλ ∆t

(1− (1 + α)βλ− 2βκ

)∆t2

[1/2− β − (1 + α)(1/2− β)βλ− 2(1 + α)(1− γ)βκ

]−λγ∆t

1− (1 + α)γλ− 2λκ ∆t[1− γ − (1 + α)(1/2− β)γλ− 2(1 + α)(1− γ)γκ

]−λ∆t2

−((1 + α)λ+ 2κ

)∆t

−(1 + α)(1/2− β)λ− 2(1 + α)(1− γ)κ

λ =

(1

(ωn∆t)2+

2(1 + α)ξγ

ωn∆t+ (1 + α)β

)−1

κ =ξλ

ωn∆t

α ≤ 1/2

β ≥ γ/2 ≥ 1/4

α+ γ ≥ 1/2

λ = Autovalor

Una buena combinación de los parámetros viene dada por:

α > 0

β = (1− α)2/4

γ = 1/2− α

� 32 ≺


Que hace el esquema no solamente incondicionalmente estable - si las inecuaciones se cumplen - sino

también que proporciona resultados aceptables. A continuación se enseñará brevemente el método

como venía en AFECTOS. No es para uno grado de libertad sólo sino para una estructura. Cabe

decir que la forma de hacer referencia al método α-generalizado ocurre �jando el radio espectral

ρ∞. A partir de ello, se de�nen los parámetros siguientes y se vuelven a utilizar las ecuaciones del

método β-Newmark en 2.3.1, de 2.12 a 2.17 .

αm =2ρ∞ − 1

ρ∞ + 1Una buena combinación de los parámetros

αf =ρ∞

ρ∞ + 1sigue siendo: γ = 1/2 + α

α = αfm = αf − αm β = (γ + 1/2)2/4

2.3.3. EL MÉTODO DE HILBER-HUGHES-TAYLOR

Se vio a �nales de 2.3.1 que se mani�esta en el método de β-Newmark oscilaciones crecientes

en la respuesta de las aceleraciones, debido las restricciones de los parámetros. Introduciendo una

pequeña disipación en el algoritmo para las altas frecuencias, se logra controlar esta inestabilidad.

El método de Hilber-Hughes-Taylor es en realidad un caso especial del método α-generalizado pero

ahora para un αm = 0 ⇔ ρ∞ = 1/2 ⇒ αf = 1/3. Las ecuaciones que rigen el HHT se pueden por

tanto deducir de las ecuaciones escritas para el método α-generalizado.

� 33 ≺


2.3.4. EL MÉTODO DE θ-WILSON

Este método de integración temporal se ha implementado basándose en [BC94]. Aquí el proceso

a seguir en el caso de análisis no lineal sigue siendo parecido al que se ha expuesto en el método de

Newmark. La ecuación diferencial del movimiento para el instante ti+1 = ti + θ∆t

M · ui+θ + C · ui+θ +K ·∆ui+θ = F exti+θ −M · J · ai+θ −Qinti+θ (2.19)

Esta ecuación 2.19 para un solo grado de libertad y un caso lineal es la misma que la 2.11 vista en

el método de Newmark, pero con índices i + θ en vez de i + 1. A partir de la cual se puede hallar

la respuesta dinámica:

(1− α) xi+1 + α xi + 2 ξ ω ui+1 + ω2 xi+1 = fi+1xi+1

xi+1

xi+1

=

1− λ/6 ∆t(1− θλ/6− κ/3) ∆t2(1/2− 6/θ − λθ2/18− θκ/6)

−λ2∆t

1− λθ/2− κ ∆t(1− 1/(2θ)− λθ2/6− θκ/2)

−λ∆t2

−(θλ+ 2κ)

∆t−(1 + α)(1/2− β)λ− 2(1 + α)(1− γ)κ

∗xi

xi

xi

λ =

(θ

(ωn∆t)2+

ξθ2

ωn∆t+ θ3/6

)−1

κ =ξλ

ωn∆t

θ > 1, 37

A continuación se enseñará la implementación del método que se ha utilizado en MATLAB, la

cual ya no es para uno grado de libertad sólo sino para una estructura. Es necesario programar

el algoritmo general para poder comparar el resultado de las soluciones con el caso no reducido.

Las ecuaciones para el la velocidad y la aceleración en el paso de tiempo t+ θ∆t (subíndice i+ θ)

� 34 ≺


están dadas por 2.25 . Se verá que hay que diferenciar la primera iteración de las siguientes. Pero

primero hay que calcular la matriz de rigidez equivalente Keff (t) y las fuerzas equivalentes Feff (t)

en el instante t, para hallar el desplazamiento diferencial ∆uθ∆t. Cuando ya se han resuelto los

desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones en el instante t+ θ∆t, se pueden calcular en el

instante t+ ∆t según 2.26. Se muestra el método para el caso lineal aunque ha sido implementado

también para posibles casos no lineales, que afecta sobre todo las fuerzas efectivas.

Fi,eff = Fi+θ(Fi+1−Fi)+M i

(6ui/(θ∆t)

2+6ui/(θ∆t)+2ui

)+Ci

(3ui/(θ∆t)+2ui+θ∆tui/2

)(2.20)

Debe recordar de que constaba F en la ecuación general de movimiento 2.10.

F (t) = Fext(t)−M · J · a(t)−Qint(t)

Es decir que aunque los esfuerzos internos Qint(t + ∆t) no se pueden saber con antelación en

el paso de tiempo siguiente. A cambio fuerzas armónicas o seismos memorizados ya tienen los

valores prede�nidos al principio del problema, con lo que se puede utilizar Fext(t+ ∆t) o a(t+ ∆t).

Típicamente para un seismo se interpola la acelaración ai+θ = ai + θ(ai+1− ai) para poder calcular

en 2.20 el término:

Fi + θ (Fi+1 − Fi) = M · J ·(ai + θ(ai+1 − ai)

)= M · J · ai+θ (2.21)

Luego se calcula el desplazamiento diferencial a partir de la matriz de rigidez efectiva para encontrar

la solución en el paso de tiempo siguiente.

Ki,eff = Ki +3

θ∆tCi +

6

θ(∆t)2M i (2.22)

∆uθ = Fi,eff/Ki,eff (2.23)

ui+θ = ui + ∆uθ ⇔ ∆uθ = ui+θ − ui (2.24)

� 35 ≺


Entonces:

ui+θui+θ

=

3/(θ∆t) −2 θ∆t/2

6/(θ∆t)2 −6/(θ∆t) −2

∗

∆uθ

ui

ui

(2.25)

Finalmente,

ui

ui+1

ui+1

=

θ−3 1− θ−3 ∆t(1− θ−2)

∆t2

2(1 + (3θ)−1)

3

θ3∆t− 3

θ3∆t1− 3/θ2 ∆t(1− 3

2θ)

6

θ3∆t2− 6

θ3∆t2− 6

θ2∆t1− 3/θ

∗

ui+θ

ui

ui

ui

(2.26)

El hecho que el método θ-Wilson es de un paso hace que arranca en el primer intervalo de tiempo.

El mayor problema al que se confronta este método está en el paso 2.23 a la hora de dividir por la

matriz de rigidez equivalente ya que requiere mucha potencia de cálculo computacional, y por tanto

ralentiza el tiempo de resolución. Se ha intentado minimizar esta desventaja enMATLAB utilizando

el operador �\� en vez de la división clásica �/� o �−1� o bien �inv(Keff )�. Mientras esta última

aproxima la inversa por una función de Gauss, la denominada división izquierda de matriz computa

la solución calculando la división de una matriz por la otra mediante eleminación de Gauss. Es decir

que aprovecha de posibles similitudes tal y como términos nulos, simétricos, partes triangulares de

la matriz o diagonales.

2.3.5. EL MÉTODO DE HOUBOLT

Este método de integración temporal también se ha implementado basándose en [BC94]. Al

contrario de los métodos presentados hasta ahora, el de Houbolt es un método multipaso. Es decir

� 36 ≺


que hace falta valores iniciales en los pasos de tiempo anteriores para arrancar. Las ecuación general

de movimiento vienen dada por 2.10, y la de movimiento para un sólo grado de libertad es igual

que en 2.11.

M(t) · u(t) + C(t) · u(t) +K(t) · u(t) = Fext(t)−M · J · a(t)−Qint(t) (2.27)

En este método, la discretización se hace de tal forma que debe basarse en los 3 pasos de tiempo

anteriores para hallar el desplazamiento en el siguiente paso de tiempo. Una vez encontrada esta

solución, se resuelve el sistema mediante lá parábola cúbica que se ha obtenido anteriormente. La

ventaja de este método es que no tiene ningún parámetro libre que controle la disipación. También

es incondicionalmente estable.

xi+1 + 2 ξ ω ui+1 + ω2 xi+1 = fi+1xi+1

xi

xi−1

=

5λ

(ωn∆t)2+ 6κ −

(4λ

(ωn∆t)2+ 3κ

)λ

(ωn∆t)2+ 2κ/3

1 0 0

0 1 0

∗

xi

xi−1

xi−2

λ =

(2

(ωn∆t)2+

11ξ

3 ωn∆t+ 1

)−1

κ =ξλ

ωn∆t

A continuación se enseñará la implementación del método que se ha utilizado en MATLAB, la cual

ya no es para uno grado de libertad sólo sino para una estructura. Las ecuaciones para el la velocidad

y la aceleración en el paso de tiempo siguiente t + ∆t están dadas por 2.32. Pero primero hay que

calcular la matriz de rigidez equivalente Keff (t) y las fuerzas efectivas Feff (t) en el instante t, para

hallar el desplazamiento diferencial ∆ut. Se muestra el método para el caso lineal aunque ha sido

� 37 ≺


implementado también para posibles casos no lineales, que afecta sobre todo las fuerzas efectivas.

Ki,eff = Ki +11

6∆tCi +

2

(∆t)2M i (2.28)

Fi,eff = Fi +M i

(3ui − 4ui−1 + ui−2

)/∆t2 + Ci

(7ui/6− 3ui−1/2 + ui−2/3

)/∆t (2.29)

∆ui = Fi,eff/Ki,eff (2.30)

ui+1 = ui + ∆ui (2.31)

ui+1

ui+1

=

16∆t 0

0 1∆t2

∗11 −18 9 −2

2 −5 4 −1

∗

ui+1

ui

ui−1

ui−2

(2.32)

La clara desventaja de este método es que requiere otro método para la inicialización de los 3

primeros pasos de tiempo. Pero con las ecuaciones más arriba se resuelve la respuesta de la estructura

para un paso de tiempo dado, lo cual permite seguir con el paso de tiempo siguiente.

2.3.6. EL MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS CENTRALES

Este método explícito es claramente el más sencillo ya que, contrariamente a los métodos vistos

hasta ahora, no es necesario resolver ningún sistema de ecuaciones. Como contrapartida, no es in-

condicionalmente estable. De hecho es un caso simpli�cado del método de Newmark con parámetros

γ = 1/2 y β = 0. Las ecuaciones de movimiento se mantienen igual que en el método de Houbolt:

� 38 ≺


2.27 y 2.11. Y los desplazamientos se hallan como sigue:xi+1

xi

=

2− (ωn∆t)2

1 + ξωn∆t−1− ξωn∆t

1 + ξωn∆t

1 0

∗ xi

xi−1

Al no tener mucho interés frente a los otros métodos vistos en este capítulo, tampoco se ha pro-

gramado. Por eso no se presentará la implementación de las diferencias centrales para varios grados

de libertad, que viene explicada en [map11]. El paso de tiempo tiene que ser muy pequño para

que funcione este método. Pero a la vez, si se consiguen matrices de masa y de amortiguamiento

diagonales, pues ya sólo se trabaja con ecuaciones desacopladas. Signi�ca que la resolución requiere

muy poca potencia de cálculo computacional.

� 39 ≺

Capítulo 3

REDUCCIÓN DE MODELADO

El método de los elementos �nitos ha adquirido una amplia gama de aplicaciones frente a los

métodos tradicionales gracias a la potencia de cálculo computacional. Aun así, algunos estudios

requieren una evaluación del sistema estudiado en tantas situaciones distintas, tal que el MEF pierde

su ventaja frente a los estudios con prototipos. Típicamente en el caso de un estudio dinámico en el

cual hace falta obtener una evaluación del sistema en miles de pasos de tiempo, el MEF sobrepasa la

potencia de cálculo computacional entregada por los ordenadores. Por tanto, para seguir resolviendo

sistemas dinámicos, o sistemas con un mallado muy �no (con milliones de grados de libertad) en un

tiempo razonable, hay que encontrar métodos de optimización del MEF. Habitualmente, se usa el

método de superposición modal en los problemas dinámicos que tiene una respuesta lineal. Se tiende

a usar en el análisis de estructuras complejas, que están sometidas a varias cargas simultaneamente,

tales como aceleraciones sísmicas, presiones, ondas de presión, vibraciones, etc.

40

CAPÍTULO 3. REDUCCIÓN DE MODELADO

El objetivo prioritario del proyecto es el de resolver la respuesta dinámica de cualquier tipo de

estructura de manera más e�ciente posible, es decir en el menor tiempo posible. Para lograr esto,

se plantearán previamente varios métodos de integración temporal con los que se solucionarán los

distintos problemas propuestos. A continuación, se compararán entre sí los resultados obtenidos por

cada uno de los métodos implementados. Tras este análisis preliminar, se estudiarán técnicas de

reducción de modelos físicos con el �n de simpli�car el modelado de los problemas propuestos para

concentrar el estudio en la parte del modelo que más interés tiene, en este caso la parte que está

sometida a las mayores fuerzas tanto estáticas como dinámicas.

Mediante una recopilación de los métodos de integración temporal existentes y de mayor uso

en cálculo dinámico de estructuras, se analizará cual de éstos emplear para resolver la dinámica

de un problema dado. Tras resolver un problema, habrá que relacionar los datos de salida con el

problema real inicial, con mayores o menores simpli�caciones en su proceso de modelado, mediante

explicaciones de la solución obtenida, visualizaciones tal como grá�cas o vídeos, etc. Además, se

estudiará si el método de integración temporal utilizado para la reducción del modelo in�uye o no.

Por tanto también se compararán las simpli�caciones realizadas para un mismo modelo.

Al �nal y al cabo, se pretende aplicar la estimación de los errores debidos a la reducción modal.

Estas estimaciones, en el método de la superposición modal, dan a grandes rasgos la importancia

que tienen los modos.

� 41 ≺


3.1. REDUCCIÓN DE LOS MODELOS MEDIANTE CRAIG -

BAMPTON

La metodología Craig-Bampton consiste en recaracterizando grandes modelos de elementos �-

nitos en matrices de masa y de rigidez relativemente pequeñas, como viene explicado en [dK93].

Las cuales comprenden informaciones sobre los modos fundamentales para frecuencias bajas de la

estructura. Implica que este método ofrece matrices fácil de manipular dentro de un amplio rango

de análisis dinámico. El análisis típicamente contiene unos cientos de grados de libertad, partiendo

de un modelo con elementos �nitos que tenía unos miles grados de libertad.

El método de Craig-Bampton hace uso de puntos interiores (mallado de la estructura) y de pun-

tos de demarcación (puntos de contacto con otras estructuras o de soporte). Por ello es conveniente

dividir las matrices de la ecuación 2.1 en dos: una �jada (índice F ), y otra independiente (índice L)

con los nodos dichos elásticos.

u =

uFuL

⇒

MFF MFL

MLF MLL

uFuL

+

CFF CFL

CLF CLL

uFuL

+

KFF KFL

KLF KLL

uFuL

=

FFFL

Como se puede ver en [bJTY00], hay dos pasos para ejecutar el método de Craig-Bampton. Primero,

el conjunto de modos elásticos en coordenadas físicas uL está transformado para cada modo en un

conjunto de coordenadas modales ηL. Y secundo, el conjunto de soluciones modales obtenido se

trunca en en conjunto más pequeño ηl, con l < L. Las coordenadas híbridas de Craig-Bampton y

� 42 ≺


las coordenadas físicas se relaciónan como sigue.

u =

uFuL

=

E O

ΦF ΦL

uFηL

≈ E Ø

ΦF Φl

uFηl

Las matrices Φ son las matrices de autovectores. ΦF posee L líneas y F columnas ΦL posee L líneas

y L columnas. La matriz troncada Φl posee L líneas y l columnas. La matriz de identidad E tiene

F columnas y líneas. Y las matrices nulas O y Ø tienen F líneas y respectivamente L o l columnas.

Ha de notar que los desplazamientos físicos de los puntos interiores se computan según

uL = ΦFuF + ΦLηL ≈ ΦFuF + Φlηl

El primer término ΦFuF son los desplazamientos rígidos de los L grados de libertad debido a los F

grados de libertad. Y el segundo término Φlηl son los desplazamientos de los L grados de libertad

relativos a la base transformada. La matriz de los modos forzados se calcula en el caso estático:

ΦF = −K−1LL KLF . Por otra parte ΦL corresponde a los modos normales. Es decir con fuerza y

desplazamientos nulos, de tal forma que (KLL − λMLL) ΦL = 0, donde λ son los autovalores.

Utilizando la transformación de Craig-Bampton, las matrices en base modal se pueden entonces

escribir según [TC94] como sigue.

MFF =

EΦF

T MFF MFL

MLF MLL

E

ΦF

= MFF +MFL ΦF + ΦTF MLR + ΦT

F MLL ΦF

MFl =

EΦF

T MFF MFL

MLF MLL

Ø

Φl

= (MFL + ΦTF MLL) Φl

� 43 ≺


MlF =

ØΦl

T MFF MFL

MLF MLL

E

ΦF

= ΦTl (MLF +MLL ΦF ) = MT

F l

Mll =

ØΦl

T MFF MFL

MLF MLL

Ø

Φl

= ΦTl MLL Φl

KFF =

EΦF

T KFF KFL

KLF KLL

E

ΦF

= KFF +KFL ΦF

Kll =

ØΦl

T KFF KFL

KLF KLL

Ø

Φl

= ΦTl Kll Φl = λMll

KlF = KFl = 0

Cll = ΦTl Cll Φl = 2 ζ µ ω0

Donde ω0 =√λ es la frecuencia natural en [rad/s]. ζ es el coe�ciente de amortiguamiento viscoso.

La amplitud de la respuesta de una estructura frente a una excitación constante es inversamente

proporcional al amortiguamiento. Por ejemplo si la amplitud es duplicada, el amortiguamiento es

divido por dos. Sin embargo valores típicos se asemejan a 1 - 2% y no in�uyen demasiado en de la

amplitud de la respuesta. Casi se puede despreciar el amortiguamiento. La ecuación de movimiento

general queda como 3.1.MFF MFl

MlF Mll

uFul

+

0 0

0 Cll

uFul

+

KFF 0

0 Kll

uFul

=

E Ø

ΦF Φl

T FF

Fl

(3.1)

� 44 ≺


Sin embargo, para la mayoría de problemas estructurales, no sólo se admite un amortiguamiento

nulo, sino que también se consideran las fuerzas interiores como despreciables. Así que FF es de

interés mientras ζ ∼= 0 tal como FL ∼= 0⇒ Fl ∼= 0.

La ventaja del método de Craig-Bampton frente a la reducción modal es que permite hibridizar

el enfoque. Por ejemplo para un estudio dinámico de una estructura muy amplia, la computación

es muy costosa porque cada paso de tiempo es equivalente a computar una solución estática. Sin

embargo en la mayoría de los análisis dinámicos, sobre todo en las primeras fases del diseño, basta

saber las cargas máximas o mínimas. La combinación según Craig-Bampton examinará en primer

lugar los casos más desfavorables para el usuario. Y en segundo lugar sólo hará una corrección de

las aceleraciones en base modal en los pasos de tiempos previamente memorizados.

En este proyecto, no se ha utilizado este mismo método. No se ha considerado la ventaja del

Craig-Bampton como su�ciente para los ejemplos estudiados, por lo que se ha efectuado reducciones

del modelado según una reducción puramente modal, la cual es muy similar. Más que nada, la forma

de programar un modelo en AFECTOS se reside en de�nir los grados de libertad internos, que se

ha marcado con el índice L a lo largo de este capítulo 3.1. El enfoque no está en estudiar los

puntos de contactos que absorban las fuerzas, sino en estudiar el comportamiento de las estructuras

mismas. Signi�ca que para ser preciso, se utilisará la ecuación 3.1 de Craig-Bampton pero sólo con

los términos abajo a la derecha.

� 45 ≺


3.2. REDUCCIÓN DE LOS MODELOS MEDIANTE ANÁLISIS

MODAL

La reducción más común de estructuras con comportamiento lineal a la hora de simpli�carlas es

la reducción modal. El estudio modal consiste en superponer la respuesta de la estructura de cada

uno de los modos propios. Para ello, se emplean los autovectores y los autovalores del problema a

analizar. Para explicar el método de superposición modal en unas breves palabras, se puede decir que

se parte de un sistema de ecuaciones de movimiento desacoplandolo para lograr un nuevo sistema

en el cual cada ecuación es independiente y corresponde a los modos de vibración. Así se logra

encontrar el efecto debido a cada uno de los modos de forma separada. Luego se va resolviendo para

cada uno de los autovectores el sistema, y se superponen los modos signi�cantes para obtener la

respuesta en las coordenadas de origén.

En el caso de reducir el problema de base, se trata de tener en cuenta los modos que más

afectarán a la respuesta �nal, y por tanto olvidarse de los modos que in�uyen poco en la respuesta.

Así mismo se alivia la cantidad de cálculos. Lo cual lleva a un método más rápido y menos costoso

frente al método inicial sin aproximaciones. Para la redacción de este capítulo y la implementación

que ha supuesto, se ha basado en los trabajos de [Leo99], [Ast04], y [SHG06]. Lo que se tratará de

estudiar, es por un lado analizar cuales son los modos propios a tener en cuenta para minimizar el

error y conseguir una buena aproximación, y por otro lado estudiar las limitaciones de éste método.

� 46 ≺


3.2.1. ANÁLISIS MODAL SIN AMORTIGUAMIENTO

Un sistema sin amortiguamiento se obtiene �jando C = 0. A partir de la ecuación 2.8, se estudia

el problema de resonancia sin fuerzas externas.

Mu(t) +Ku(t) = 0 (3.2)

El propósito es encontrar los autovectores y autovalores que les van asociados. Las matrices M y K

no dependen del tiempo. Se hace un cambio de base.

u(t) = <e {Φ exp(iωt)} (3.3)

d

dtu(t) =

d

dt(<e {Φ exp(iωt)}) = <e

{d

dt(Φ exp(iωt))

}= <e

{Φd

dt(exp(iωt))

}(3.4)

⇔ d

dtu(t) = <e {Φiω exp(iωt)} (3.5)

d2

dt2u(t) =

d2

dt2(<e {Φ exp(iωt)}) = <e

{d2

dt2(Φ exp(iωt))

}= <e

{Φd2

dt2(exp(iωt))

}(3.6)

⇔ d2

dt2u(t) = <e

{−Φω2 exp(iωt)

}(3.7)

M<e{−Φω2 exp(iωt)

}+K<e {Φ exp(iωt)} = 0⇔ Φ(−ω2M +K) = 0 (3.8)

Es un problema de autovalor con solución: matriz de autovectores Φ = (Φ1Φ2 . . .Φn) y de

autovalores ω2 ⇔ λ = (λ1λ2 . . . λn) . Ha de notar que ωi, i = 1, 2, . . . , n son las frecuencias naturales

y Φi los modos de vibración. Mientras ωi son valores en [rad/s] y por tanto de tamaño (1 × 1), Φi

� 47 ≺


tienen un tamaño (n × 1). Al �nal λ tiene tamaño (n × 1), y Φ (n × n). Como última observación,

se ve que la amplitud de los modos de vibración es indeterminada. Es decir que se puede escribir

Φi = kΦcomputadoi con un k 6= 0 arbitrario, y donde Φcomputado

i es una solución pertinente para λi.

Se determinan las frecuencias naturales a partir de 3.8:

det(K − ω2M) = 0

⇔ ω2 = M−1K

3.2.2. RESPUESTA ARMÓNICA FORZADA

Ahora se estudiará la respuesta estacionaria debido a una carga armónica F (t) = F0 cosωt =

<e{F0 exp(iωt)

}y considerando el amortiguamiento. Por tanto la ecuación 2.8 se puede escribir

como:

M<e{−u0ω

2 exp(iωt)}

+ C<e {−iu0ω exp(iωt)}+K<e {u0 exp(iωt)} = <e{F0 exp(iωt)

}

u(t) = <e {u0 exp(iωt)}

d

dtu(t) = <e {u0iω exp(iωt)}

d2

dt2u(t) = <e

{−u0ω

2 exp(iωt)}

� 48 ≺


El hecho de que las expresiones son armónicas A = A0 exp(iωt) permite comprobar que la igualdad

se mantiene para valores imaginarios:

ddt<e {A(t)} = d

dt<e {A0 exp(iωt)} = <e{ddtA0 exp(iωt)

}= <e {iωA0 exp(iωt)}

⇔ ddt<e {A(t)} = ω<e {iA(t)} = −ω=m {A(t)}

Combinando tanto la parte real como la parte imaginaria, se logra una expresión en el momento

inicial t0 para la ecuación general del movimiento.

<e{

(−ω2M + iωC +K)u0 exp(iωt)}

= <e{F0 exp(iωt)

}−ω=m

{(−ω2M + iωC +K)u0 exp(iωt)

}= −ω=m

{F0 exp(iωt)

}

⇒ (−ω2M + iωC +K)u0 exp(iωt) = F0 exp(iωt)

⇐⇒ (−ω2M + iωC +K)u0 = F0

Los movimientos u0 ya no dependen del tiempo, sino se hallan únicamente en función de la armónica

ω. Se puede abreviar: Z(ω)u0 = F0, donde Z(ω) depende de la frecuencia y se le llama la matriz de

rigidez dinámica. Es por de�nición Z(ω)def= −ω2M + iωC +K

3.2.3. DIAGONALIZACIÓN DE BASE REDUCIDA

La matriz modal de autovectores Φ de tamaño (n×n) constituye una base para u(t). Luego se

puede formular el desplazamiento u(t) en función de la coordenada compleja η(t) que a cambio

� 49 ≺


re�eja el �desplazamiento� en la base modal:

u0 =n∑i=1

(Φiηi) (3.9)

Para ser coherente, hay que efectuar el cambio de base para toda la ecuación 2.8 !

M = ΦT M Φ =

m1

m2

. . .

mn

, mi = ΦT

i M Φi

C = ΦT C Φ =

c1

c2

. . .

cn

, ci = ΦT

i C Φi

K = ΦT K Φ =

k1

k2

. . .

kn

, ki = ΦT

i K Φi

η = ΦT u0

Z = ΦT Z Φ

F = ΦT F

Como consecuencia de las propriedades ortogonales del problema de autovalor, M y K son matrices

diagonales. En algunos casos, se puede utilizar un amortiguamiento proporcional de�nido como:

� 50 ≺


C = αM + βK que resultará ser una matriz diagonal. Donde los coe�cientes α y β tendrán valores

positivos.

Ahora bien, para relacionar esta nueva base con los métodos de integración temporales presenta-

dos en 2.3, se escribe la ecuación matricial como suma de ecuaciones donde cada término de la suma

forma en realidad una linea, es decir una ecuación, y representa a su vez la ecuación de movimiento

según el autovector que le va asociado.

Z(ω) η = F

∑ni=1(zi(ω)ηi) =

∑ni=1 Fi

con zi(ω) = −ω2mi + iωci + ki

⇔ zi(ω) = −ω2mi + 2iωξiωi + ki

Donde, para cada modo i=1,2,. . . ,n :

1. zi es la rigidez modal dinámica

2. mi es la masa modal

3. ξi =ci

2 ωies el amortiguamiento modal relativo

4. ki es la rigidez modal dinámica

5. ω2i =

kimi

son los autovalores

Una vez solucionado el problema para cada ηi, se vuelve al problema inicial mediante 3.9 .

Ahora, el método de la reducción modal consiste justamente en reducir los modos. En lugar de

� 51 ≺


coger la matriz Φ, se escogen unos cuantos modos m <n y se trabaja con ΦR de tamaño (n ×m).

Así se obtiene una buena aproximación:

u0∼= u0,R =

m∑i=1

(Φiηi) = ΦRηR (3.10)

Lo más común es escoger los primeros modos consecutivos 1,2,3,. . . ,m. Sin embargo, tal elección no

es necesaria e incluso a veces ni siquiera desesada. Tratará estudiar en este proyecto con qué modos

se consigue optimizar la solución con buena aproximación.

Se aplica no sólo el cambio de base, sino también la reducción modal. Se quedan los coe�cientes

como sigue.

MR = ΦTR M ΦR =

m1

m2

. . .

mn

, mi = ΦT

i M Φi

CR = ΦTR C ΦR =

c1

c2

. . .

cn

, ci = ΦT

i C Φi

KR = ΦTR K ΦR =

k1

k2

. . .

kn

, ki = ΦT

i K Φi

� 52 ≺


ηR = ΦTR u0,R

ZR = ΦTR Z ΦR

FR = ΦTR F = ΦT

R (Fext −M · J · a−Qint) = ΦTR Fext −

ecuación 3.11︷︸︸︷ΦTR M · J · a −ΦT

R Qint

Hay que tener especial cuidado a la hora de reducir las fuerzas. En el momento que se aplican cargas

externas, habrá que hacer la transformación modal. Como no se de�ne una matriz de fuerzas en la

que cada columna representa un paso de tiempo, sino que se escribe para cada paso de tiempo el

vector F instantáneo, habrá que guardar la matriz de masa y el vector de arrastre a lo largo del

cálculo:

ΦTR M · J · a 6= MR · JR · a =

(ΦTR M ΦR

)·(ΦTR J

)· a (3.11)

Luego el próposito será encontrar los desplazamientos en cada nodo en las coordenadas de origén a

partir de 3.10 y de las m ecuaciones desacopladas.

ZR(ω) ηR = FR

Nota: Como regla general, la propiedades de ortogonalidad no siempre son ciertas, y las coor-

denadas modales cambian al cambiar la base. Algunos ejemplos relevantes son cuando:

el amortiguamiento no es proporcional a una combinación lineal de la masa y la rigidez, con

lo que la matriz C es no diagonal.

la no linealidad en el sistema no es despreciable.

se emplea una reducción no diagonal (por ejemplo Craig-Bampton).

� 53 ≺


3.2.4. ERROR ABSOLUTO Y RESIDUO

El error exacto o absoluto en cada ecuación de movimiento según el autovector ω2i que le va

asociado vale

εabs (i) = uexact (i)− uaprox (i) (3.12)

Para calcularlo, hace falta por un lado uaprox(i) y por otro lado uexact(i). Se saca el residuo R de

3.2.2, que es igual que el error absoluto en este caso, valdrá:

εabs =

m∑i=1

εabs(i) = u0 − u0,R (3.13)

R = F − ZR(ω)u0,R (3.14)

Si se quiere calcular el residuo modal R :

R = ΦTR = ΦT (F − Z(ω)u0,R) (3.15)

⇔ R = F − ZR(ω)ηR (3.16)

Ri = ΦTi R = Fi − zi(ω)ηi (3.17)

⇒

Ri = 0 i ∈M

Ri 6= 0 i /∈M

(3.18)

Donde i ∈ 1,2,. . .,n y M = 1,2,. . .,m. O sea que M es el conjunto de todos los modos tenidos en

cuenta para la reducción modal. Logicamente, el residuo modal es igual a 0 para los modos en los

que se calcula el desplazamiento modal debido a dicho mismo modo.

� 54 ≺


Para los demás modos, en caso de que zi(ω) sea diagonal, se puede incluso expresar el residuo

modal como Ri = Fi , siempre y cuando i/∈ M.

3.2.5. ERROR RELATIVO

Para estudiar las aproximaciones hechas al utilizar el método de modelos reducidos, también

se estudiará el error relativo. En cada ecuación de movimiento según el autovector ω2i que le va

asociado, el error relativo vale

εrel (i) =uexact (i)− uaprox (i)

uexact (i)(3.19)

Nota: Al de�nirlo así, el error relativo no se puede estudiar cuando uexact=0, e incluso cuando

toma valores muy cercanos de 0. Esta nota se tendrá en cuenta a lo largo del capítulo 4 .

3.2.6. CONTRIBUCIÓN AL ERROR

Para desarrollar algoritmos adaptativos, no sólo se quiere estimar el error que se está haciendo,

sino también conocer las fuentes de este error. Es decir conocer la contribución al error de los modos

que no se han tenido en cuenta a la hora de resolver nuestro problema.

x∗ =

n∑i=1

Φiη∗i = Φ η∗ (3.20)

Gracias a la amplitud modal η∗i será capaz de evaluar el error E al que contribuye la reducción

modal.

E = (x∗)TR = (η∗)TΦT =n∑i=1

(η∗i )T

n∑i=1

Ri =n∑i=1

ei

� 55 ≺


Gracias a 3.15, se obtiene E =∑n

i=1 ei siendo ei = (η∗i )T Ri el error modal. Ya que Ri=0 cuando

i∈M, se puede simpli�car el error al que contribuye la reducción.

E =

n∑i=m+1

ei

� 56 ≺

Capítulo 4

SIMULACIÓN Y RESULTADOS

NÚMERICOS

Se han estudiado los errores cometidos debidos a la reducción modal en cada uno de los ejemplos.

Con el �n de hacer un análisis que englobe todos los casos posibles, se ha por un lado trabajado con

distintos tipos de estructuras: vigas de Euler, vigas corotacionales, barras, y por otro lado se han

sometido las estructuras a varios tipos de acciones externas: fuerzas constantes, fuerzas armónicas,

aceleraciones y desplazamientos.

En el primer ejemplo 4.1 que es el de la viga empotrada, se trata de comprobar por un lado

que los distintos métodos de integración temporal presentados en 2.3 programados den los mismos

resultados que los ya implementados y comprobados. Eso es para saber si la reducción modal se

puede aplicar independentemente del algoritmo utilizado. Como se trata del caso más sencillo,

57

CAPÍTULO 4. SIMULACIÓN Y RESULTADOS NÚMERICOS

permitirá ver también si las aceleraciones se han implementado bien y que MATLAB lo reconoce

como se de�nió en 2.10. Servirá de base para comprobar que el método de la reducción modal

funciona. En los demás ejemplos se limitará a estudiar cuales son los modos que hay que tener en

cuenta.

En primer lugar, se veri�ca que la implementación de los algoritmos ha sido exitosa comparando

los resultados obtenidos. Por ello se enseñará en el primer ejemplo - el de la viga empotrada sometida

a una aceleración sinusoidal - las distintas respuestas que se alcanzan con los algoritmos presentados

en 2.3. Se verá que las respuestas son casi iguales, que era lo esperado. En segundo lugar se recuerda

que en este proyecto no trata de hacer un estudio comparativo entre los distintos MIT, sino de

hacer un estudio de factibilidad de la reducción de modelados basándose en distintos métodos de

integración temporal. Por ello habrá de quedarse con uno sólo para la determinación de la reducción

modal óptima: el Hilber-Hughes-Taylor. Sin embargo, en aras de la exhaustividad, se ha veri�cado

en cada uno de los ejemplos que los distintos MIF entregan valores casi iguales. Se puede acceder

a los grá�cos comparativos en los �cheros entregados en el marco de este proyecto. Por �n, se

comprobará en tercer lugar que la reducción modal ha sido ventajosa indepedientemente del método

de integración temporal utilizado.

En cada uno de los subapartados, el objetivo se alcanza a traves de los siguientes pasos:

1. Unas �guras enseñando la masa movilizada en uno de los sentidos de los grados de libertad,

en función de los modos a la izquierda y de la frecuencia a la derecha.

2. Una tabla enseñando los modos utilizados, y el porcentaje (entre 0 y 1) de masa movilizada

� 58 ≺


en cada grado de libertad.

3. Unas �guras con dos curvas, representando el valor de un grado de libertad signi�cante,

utilizando o no la reducción modal. Para todas las grá�cas de comparación de desplazamiento

(o giro), la linea cortada azul × corresponde al desplazamiento calculado con el HHT según

2.3.3 y 2.3.2 mientras la linea continua roja + corresponde al desplazamiento (o giro) calculado

con las especi�caciones puestas debajo de ellas.

4. Unas �guras enseñando el error absoluto a la izquierda, y el error relativo a la derecha, de una

reducción modal dada a lo largo del tiempo.

5. Una tabla enseñando el tiempo ahorrado con las dos reducciones modales consideradas óptimas

según el método de integración temporal utilizado. Por un lado se compara la reducción modal

que aporta mayor alivio computacional con un resultado aceptable, y por otro lado la que

conlleva menor pérdida de exactitud.

Hay que tener cuidado en las escalas, que pueden ser logarítmicas (típicamente para la frecuencia),

o que pueden ser muy pequeñas (típicamente para el error relativo cuyo eje vertical no llega al

100%). Estos cambios de escala han sido realizados en aras de la claridad.

Además, dentro del programa AFECTOS, nada más tras resolver el vector de desplazamiento u,

aparece una pantalla esquematizando el movimiento de la estructura a lo largo del tiempo debido a

las cargas externas. Para poderlo visualizar, se ampli�ca la deformación de tal forma que la deforma-

ción máxima mide un metro. Se pueden representar estructuras bidimensionales y tridimensionales.

En caso de someter la estructura no solamente a fuerzas, sino también a aceleraciones, aparece en la

� 59 ≺


misma pantalla un segundo diagrama esquematizando el valor de la aceleración sobre la estructura

a lo largo del tiempo.

4.1. EJEMPLO VIGA EMPOTRADA

4.1.1. LA VIGA SIMULADA EN 2D

Las propriedades del material de la viga son:

Modulo de Elasticidad E = 200GPa

Área de A = 0, 0028m2

Momento de Inercia I = 35 · 10−6m4

Densidad ρ = 7800kg/m3

Longitud L = 4m

Se ha programado la viga como si fuera un viga de Euler. Es decir que se le asignan propiedades

lineales al material. Por tanto en este ejemplo se trabajará sin tener en cuenta una posible no-

linealidad que podría surgir en el caso real. Tampoco se tomará en cuenta la gravedad.

� 60 ≺


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−1

−0.5

0

0.5

1

Figura 4.1: Viga empotrada a la izquierda en MATLAB

Se ha divido la viga en 20 tramos, con lo que se obtienen 60 grados de libertad. Es importante

elegir un mallado su�ciente denso tanto para no cometer error al trabajar con el FEM, como para

obtener una cantidad de modos representativos: hay tantos modos como grados de libertad.

4.1.1.1. MODOS PROPIOS

A continuación se mostrarán los primeros modos propios de la viga.

Figura 4.2: Modo 1 con f1=124Hz, y Modo 2 con f2=780Hz

� 61 ≺




4.1.1.2. MASA MOVILIZADA

Antes de empezar con el estudio dinámico, también se enseñará cuanta masa mueve cada uno de

los 60 modos para los 3 grados de libertad (x, y,∠(x, y)) en cada nodo. Viene bien estudiar previa-

mente la masa movilizada que supone cada modo (asociado a su vez a un autovector) para hacerse

una idea de la contribución al error que tienen los distintos modos. Se minimizará la contribución

al error para lograr una aproximación razonable según 3.2.6. Además este estudio permite reducir

el sistema directamente a un modelo con unos modos que mayor repercusión tendrán, sin tener que

ir probando cada una de las distintas soluciones posibles. Por tanto se empieza con una reducción

modal cercana a la deseada, a�nando los ajustes con respecto al error máximo permitido.

� 62 ≺


Mientras se representa a la izquierda la masa en función de los modos, se enseña también en

la columna de la derecha la masa movilizada en función de la frecuencia. En los 2 primeros casos,

se ha optado por una representación logarítmica ya que los últimos modos apenas contribuyen a la

masa movilizada.

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

70

80

101

102

103

104

105

106

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Figura 4.5: Masa movilizada en x en función de los modos, y de la frecuencia

0 10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

101

102

103

104

105

106

0

10

20

30

40

50

60

Figura 4.6: Masa movilizada en y en función de los modos, y de la frecuencia

� 63 ≺


10 20 30 40 50 600

2

4

6

8

10

12

x 10−3

0 2 4 6 8 10 12 14

x 104

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

Figura 4.7: Masa movilizada en los giros ∠(x, y) en función de los modos, y de la frecuencia

Destaca de 4.5 y 4.6 que a priori en la viga empotrada los primeros modos son los que más

contribución al error tienen para los deplazamientos horizontales y verticales. Mientras según 4.5

y 4.7 los últimos modos son los que más in�uirán en el giro. Como se verá en cada unos de los

ejemplos que siguen, la selección o omisión de los últimos modos más que nada depende del modelo

que se pretende utilizar: vigas de Euler-Bernouilli o de Timoshenko. A su vez la teoría de vigas que

se elige depende del tamaño de la deformación. Al obtener valores de deformación vertical pequeños

en los casos estudiados, se escogerá la viga simpli�cada de Euler-Bernouilli. Según [CiP04], cuya

característica es que las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo

perpendiculares al eje de la viga una vez curvado.

� 64 ≺


4.1.1.3. VIGA CON ACELERACIÓN SINUSOIDAL

En el primer caso que se estudiará, se somete la viga empotrada a una aceleración sinusoidal

que tiene una componente puramente vertical.

Primero debe �jarse en el desplazamiento vertical en el extremo derecho de la viga a lo largo del

tiempo para realizar el estudio. Ya que por un lado es el grado de libertad que más interés tiene al

haber sometido la viga a una aceleración vertical. Y por otro lado, es el desplazamiento que mayor

será por tanto el estudio será más preciso. Se comparará el desplazamiento obtenido obtenido en

cada ejemplo en rojo + con el desplazamiento calculado con el HHT en azul ×, que será nuestra

referencia.

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

t [s]

u [m

]

alpha 0.4HHT

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

t [s]

u [m

]

alpha 0.6HHT

Figura 4.8: Comparación HHT con α-generalizado con ρ∞=0,4 y ρ∞=0,6

� 65 ≺


0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

t [s]

u [m

]

HouboltHHT

Figura 4.9: Comparación HHT con Houbolt

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

t [s]

u [m

]

Theta−Wilson 1.8HHT

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

t [s]

u [m

]


0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

t [s]

u [m

]


Figura 4.10: Comparación HHT con θ-Wilson con θ=1,8 , θ=2,0 y θ=2,2

� 66 ≺


Se ve claramente que el MEF funciona igual de bien independientemente del algoritmo utilizado:

los resultados se solapan. Tras la comprobación de la validez de los métodos de integración temporal,

se limitará a partir de ahora a tomar el método HHT, considerándolo válido para poder analizar

la reducción modal. Cabe decir que el estudio de la reducción modal es para el MEF, con lo que

se habría podido elegir perfectamente otro método de integración temporal obteniendo resultados

iguales. Además, se ve en la respuesta de la estructura que el amortiguamiento atribuido a la viga

es alto, frente a los desplazamientos que sufre la estructura. Por tanto se estabiliza en seguida.

Para las 4 reducciones modales que se van a realizar, se enseña en la siguiente tabla 4.1 el

porcentaje (entre 0 y 1) de masa movilizada acumulada en cada grado de libertad: desplazamiento

horizontal, vertical, y el giro.

Modos utilizados x y ∠(x, y)

{1, 3, 5, 7, 9} 0.8368 0.70032 0.0020582

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 0.96011 0.96115 0.0032256

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 58, 60} 0.96011 0.96115 0.79636

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 58, 60} 0.92826 0.92758 0.79527

Tabla 4.1: Masa modal acumulada en la viga

En las �guras a continuación, se seguirá comparando el desplazamiento en el grado de libertad

vertical en el extremo de la viga. Pero ahora se aprecia la diferencia entre el HHT puro en azul ×,

y el HHT con reducción modal en rojo +.

� 67 ≺


0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

Figura 4.11: Desplazamiento con los 9 primeros modos más los 2 últimos, y con los 6 primeros modos

más los 2 últimos

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

0 2 4 6 8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

−4

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

Figura 4.12: Desplazamiento con los 9 primeros modos unicamente, y con los 5 primeros modos

impares

Se constata en los 3 primeros casos que la aproximación es muy buena. Sigue siéndola en el

caso de sólo coger los modos {1,3,5,7,9} aunque aparece un pequeño error por dejar de tener en

cuenta los modos pares. Determinar si vale o no depende sobre todo de la calidad de la aproximación

que se desea alcanzar, o dicho de otra forma, del error máximo permitido. También puede in�uir

la importancia del error de la deformada debida a los grados de libertad horizontales, que se han

� 68 ≺


considerado despreciable.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

−6

t [s]

u [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.05

0.1

t [s]

100

%

Figura 4.13: Error absoluto y relativo con los 5 primeros modos impares

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−10

t [s]

u [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

−4

t [s]

100

%

Figura 4.14: Error absoluto y relativo con los 9 primeros modos unicamente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−10

t [s]

u [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x 10−4

t [s]

100

%

Figura 4.15: Error absoluto y relativo con los 9 primeros modos más los 2 últimos

� 69 ≺


1 2 3 4 5 6 7 8 9−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5x 10

−9

t [s]

u [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x 10−4

t [s]

100

%


En estos diagramas re�ejando tanto el error absoluto como el error relativo cometido por la

reducción modal, hay que �jarse en el orden de magnitud del eje vertical. Destaca que a parte de la

reducción modal con los 5 primeros modos impares, el error absoluto tiene un orden de magnitud

de 10−10 m. Hay que relacionarlo con el desplazamiento cuyo orden de magnitud es 10−4 m. Por

tanto la reducción es extremadamente buena, con errores relativos alrededor del 0,0006 %. A cambio,

la reducción con los modos {1,3,5,7,9} conlleva errores absolutos del orden de 10−6 m, implicando

errores relativos alrededor del 0,002 %. Sigue siendo una aproximación muy buena. Su ventaja frente

a las demás reducciones es que alivia por un factor 2 la potencia de cálculo computacional requirida.

Con lo cual se optará por esta reducción del modelado.

Además se han comparado brevemente los desplazamientos en el último grado de libertad que

corresponde al giro en el extremo. Aunque no se pretende que sea un criterio relevante ya que

tiene más importancia la deformación de la viga (determinada sobre todo por los grados de libertad

verticales), se verá más que nada si la combinación primeros/ultimos modos es necesaria para tener

una buena aproximación uR. Como se verá, los últimos modos no conllevan mucho al desplazamiento

� 70 ≺


y por tanto no in�uyen en la solución �nal. Así que dentro del estudio de la viga se despreciarán.

0 2 4 6 8

−3

−2

−1

0

1

2

3

4x 10

−5

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

0 2 4 6 8

−3

−2

−1

0

1

2

3

4x 10

−5

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

Figura 4.17: Giro con los 5 primeros modos impares, y con los 9 primeros modos unicamente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−2

−1

0

1

2

3x 10

−9

t [s]

u [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

−3

t [s]

100

%

Figura 4.18: Error absoluto y relativo con los 9 primeros modos

Nota destacar que el error relativo en el instante 7s tiende hacia el in�nito. Es debido a que el

sistema se está estabilizando. Por tanto el desplazamiento tiende hacia 0 según 3.19 :

εrel =uexact − uaproxuexact −→ 0

=⇒ εrel −→∞

� 71 ≺


4.1.1.4. VIGA CON FUERZA CONSTANTE

En el segundo caso, se ha aplicado una fuerza constante en el extremo derecho de la viga

empotrada a la izquierda. En este estudio, también se ha intentado relacionarlo con un estudio

estático, comprobando que la deformación �nal de la viga es igual. Dentro del estudio dinámico,

tras haberse asegurado de que los distintos métodos de integración temporal den salidas casi iguales,

se estudiará el error cometido al aplicar la reducción modal considerando el método de integración

temporal HHT según 2.3.3.

Se seguirá estudiando el desplazamiento en el grado de libertad vertical en el extremo derecha

de la viga. Ya que se sigue sometiendo la viga a esfuerzos verticales, en este caso una carga puntual

de 1000N hacia abajo en el extremo de la viga. Se han hecho las mismas reducciones modales que

en el apartado anterior quitando la que incluye los 9 primeros modos.

� 72 ≺


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

HHT reducido (9 modos)HHT

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

x 10−3

t [s]

u [m

]

HHT reducido (6 modos)HHT

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

HHT reducido (modos impares)HHT

Figura 4.19: Comparación con las distintas reducciones modales

La aproximación parece muy buena en cada reducción modal ya que las dos curvas tienden a

solaparse. Para tener más precisión, debe �jarse en el error absoluto. Además, se ve en la respuesta

de la estructura que el amortiguamiento atribuido a la viga es alto, frente a los desplazamientos

que sufre la estructura, o que el paso de tiempo elegido no es su�ciente para ver la respuesta justo

tras aplicar la fuerza. Sin embargo tampoco es el próposito: se quiere asegurar que la respuesta �nal

encontrada es la misma que si se hiciera un estudio estático. Por �n se muestra el error relativo

cometido en cada paso de tiempo.

� 73 ≺


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−7

t [s]

u [m

]

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−3

t [s]

100

%


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

−2

−1

0

1

2

3x 10

−6

t [s]

u [m

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−3

t [s]

100

%


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

t [s]

u [m

]

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t [s]

100

%


� 74 ≺


Como esperado, ya que se ha aprendido del ejemplo anterior, destaca que a parte de la reducción

modal con los 5 primeros modos impares, el error absoluto tiene un orden de magnitud muy bajo:


tanto la reducción es muy buena, con errores relativos debajo del 0,06 %. A cambio, la reducción

con los modos {1,3,5,7,9} conlleva errores absolutos del orden de 10−4 m, implicando errores rela-

tivos alrededor del 2,5 %. Conforta en que esta reducción siendo una aproximación buena para este

mallado de 20 tramos. Se ha perdido algo más de información que en el caso de haber sometido la

viga a una aceleración sinusoidal. Es debido a que la carga in�uye más en la viga empotrada: la

deformación es mayor. Para resumir, se ha aliviado la potencia de cálculo computacional pasando

un sistema modelado con matrices de (60×60) a uno con matrices de (5×5). Por tanto se ve que la

relación no es lineal sino cuadrática: por cada modo que se descarta, se reduce la ecuación general

de movimiento por una columna en una dimensión y una linea en la otra.

4.1.2. LA VIGA SIMULADA EN 3D

Se somete la viga a la misma aceleración senoidal que en 4.1.1 para hacer un estudio de la

reducción modal en caso de trabajar con estructuras tridimensionales. Se quiere ver si sigue valiéndo

la reducción modal con los 5 primeros modos impares, o si habrá que tener en cuenta más modos. A

priori, se podría asumir que se necesitan los 5 primeros modos en relación con el grado de libertad

vertical, o sea con saltos de 3 en vez de 2: {1,4,7,10,13}.

� 75 ≺


4.1.2.1. MODOS PROPIOS

Se sigue diviendo la viga en 20 tramos. Pero al tener 6 grados de libertad en cada nodo, habrá

que tener más modos propios en cuenta. A continuación se enseñarán los 10 primeros modos propios.




� 76 ≺




Se nota que los modos {1,2,4,6,7,10} corresponden a los 6 primeros modos en el caso bidimen-

sional: 4.2, 4.3, 4.4. La diferencia reside en que las frecuencias proprias que pertenecen a estos 6

modos, varían entre entre la viga en 2D y en 3D. Signi�ca que aunque se han elegido una sección

y un momento de inercia según el eje y iguales, las características geométricas del material son

distintas. Es decir que según el caso estudiado no tendrá una sección de la misma forma. Se tendrá

en mente a la hora de analizar los desplazamientos, ya que in�uirá en el resultado �nal. Luego, los

modos {3 y 9} corresponden a unos modos en la tercer dimensión z. Por �n los modos {5 y 8}

corresponden a modos de torsión, bordeando el eje x.

El mallado se ha realizado en la viga tridimensional según la �gura 4.28.

� 77 ≺


Figura 4.28: Mallado de la viga en 3D


De nuevo se hace una representación visual de la masa movilizada por los modos en los 6 grados

de libertad.

� 78 ≺


20 40 60 80 100 1200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

100

102

104

106

108

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18


0 20 40 60 80 100 120

2

4

6

8

10

12

14

16

18

100

102

104

106

108

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18


� 79 ≺


0 20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

100

102

104

106

108

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Figura 4.31: Masa movilizada en z en función de los modos, y de la frecuencia

El desplazamiento considerado clave es el vertical, o sea según el eje y. Se analiza el diagrama y

se ve que sigue valiendo el mismo patrón que en el caso bidimensional: los primeros modos impares

son los que más actúan sobre la viga tridimensional.

A continuación la repercusión de cada uno de los modos sobre la masa movilizada en los grados

de libertad giratorios:

20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

−6

100

102

104

106

108

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

−6

Figura 4.32: Masa movilizada en ∠(y, z) en función de los modos, y de la frecuencia

� 80 ≺


0 20 40 60 80 100 1200

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

100

102

104

106

108

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Figura 4.33: Masa movilizada en ∠(x, z) en función de los modos, y de la frecuencia

20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−3

100

102

104

106

108

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−3

Figura 4.34: Masa movilizada en ∠(x, y) en función de los modos, y de la frecuencia

Al �nal, sobresale que un modo dado contribuye a la mayor parte de los movimientos. Ocurre aun

más en los grados de libertad inherentemente más estables debido a la geometría. En este caso son

los grados de libertad x, ∠(x, z), ∠(x, y). La segunda tendencia es que los primeros modos suponen

más desplazamiento, sea en la dirección x, y o z, mientras los modos más avanzados suponen más

giro, sea en ∠(y, z), ∠(x, z) o ∠(x, y). Por un lado, el hecho que los giros se ven más afectados en

� 81 ≺


modos avanzados tiene explicación sencilla: cuanto más alta la frecuencia, tanto más se conforma la

estructura a una onda conteniendo muchos picos de amplitud. El giro máximo ocurre en los picos.

Por otro lado, el hecho que los desplazamientos se ven más afectados en los primeros modos tiene

una explicación análoga: cuanto menos alta la frecuencia, tanto menos se conforma la estructura

a una onda. Por tanto al contener un sólo pico no hay otro pico que endereza la estructura. La

consecuencia es un movimiento muy importante de la estructura en los puntos lejanos de los apoyos

(o en este caso de la parte empotrada).

4.1.2.3. DESPLAZAMIENTOS

Para las reducciones modales que se van a realizar, se enseña en la siguiente tabla 4.2 el porcen-

taje (entre 0 y 1) de masa movilizada acumulada en cada grado de libertad.

Modos utilizados x y z

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 0.92826 0.96307 0.92319

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 0.8368 0.94986 0.88978

{1, 3, 5, 7, 9, 11} 0.8368 0.9296 4.6298e-013

∠(y, z) ∠(x, z) ∠(x, y)

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 8.8642e-027 0.062737 0.2023

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 6.6936e-027 0.062642 0.20191

{1, 3, 5, 7, 9, 11} 6.6744e-007 3.6433e-014 0.20191

Tabla 4.2: Masa modal acumulada en 3D

� 82 ≺


Se quiere centrar el estudio en el eje vertical. Por eso se guardan los modos cuyo impacto es

mayor sobre la deformación vertical: son los primeros modos impares {1,3,5,7,9,11}. Al no ser muy

relevante los demás grados de libertad para el estudio de la viga sometida a cargas verticales, se

puede asumir que la aproximación sigue siendo muy buena. Se verá en el siguiente apartado si,

efectivamente, es razonable despreciar el error que ocurrirá al no tener los demás grados de libertad

en cuenta.

0 2 4 6 8−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−5

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

0 2 4 6 8−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−5

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

0 2 4 6 8−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−5

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

Figura 4.35: Desplazamiento con los 9 y los 12 primeros modos, y los 6 primeros impares

A primera vista, el estudio mediante la tres reducciones del modelado parecen conformarse con

el estudio del modelo sin reducción ninguna. Sino, se ve en la respuesta de la estructura que el

amortiguamiento atribuido a la viga sigue siendo alto frente a los desplazamientos que sufre. Por

tanto se estabiliza en seguida.

� 83 ≺


4.1.2.4. ERRORES

A continuación se verá más en detalle los errores ligados a las tres reducciones modales.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

−9

t [s]

u [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−4

t [s]10

0 %


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−9

t [s]

u [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−4

t [s]

100

%


� 84 ≺


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−9

t [s]

u [m

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−3

t [s]

100

%


Estos diagramas re�ejando tanto el error absoluto como el error relativo cometido por la re-

ducción modal permiten sacar una conclusión parecida que en 4.1.1. Destaca que a parte de la

reducción modal con los primeros modos impares, el error absoluto tiene un orden de magnitud


tanto la reducción es muy buena, con errores relativos alrededor del 0,001 %. A cambio, la reducción

con los modos {1,3,5,7,9,11} conlleva errores absolutos del orden de 10−6 m, con errores relativos

alrededor del 0,02 %. Se constata que no se utilizan los primeros modos haciendo saltos de 3 como

esperado en 4.1.2. Como conclusión se puede decir que para estudiar una estructura unidimensional,

sea modelada en 2 o 3 dimensiones, la reducción óptima del modelado es una reducción modal que

tiene en cuenta únicamente los primeros modos impares.

� 85 ≺


4.2. EJEMPLO CELOSÍA

Hasta ahora se ha trabajado con un estructura simple en la cual la propagación de los cortantes, o

de los esfuerzos internos en general era clara. Por ello resultaba su�ciente elegir los primeros modos

impares para efectuar el estudio sobre las deformaciones con dirección vertical. Por el contrario,

en una estructura con barras, las fuerzas de una dirección se transmiten directamente a una otra

dirección: los esfuerzos internos verticales y horizontales son estrechamente vinculados. Por ello ya

no valdrá tener en cuenta los grados de libertad análogos a las componentes de las fuerzas externas.

A la vez, los modos ya no tanto corresponden a un grado de libertad, sino que simplemente los

primeros modos son más relevantes. Es debido justamente al vínculo de las distintas componentes

internas.

Como anunciado al principio del capítulo, en todas las celosías que se han estudiado, siempre se

ha efectuado una comparación de lo métodos de integración temporal tal y como se han visto en 2.

Analogamente a 4.1.1, tras obtener curvas idénticas con los MIT implementados, se considera sólo

un método para hacer la reducción modal: el HHT.

4.2.1. LA CELOSÍA CON BARRAS

Las propriedades del material de las barras son:


Área de A = 10−4m2

� 86 ≺




La celosía estudiada es 4.39. Es una estructura estática. Las unidades de las ejes son en metros.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

Figura 4.39: Celosía con Barras

Las barras no se han subdivididas, con lo que se obtienen 13 grados de libertad. Los puntos (0,0)

y (4,0) son dos apoyos �jos.


De nuevo se estudia previamente la masa movilizada que supone cada modo para hacerse una

idea de los modos que habrá que elegir a la hora de reducir el modelado.

� 87 ≺


0 2 4 6 8 10 120

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

50

100

150

200

250

300


2 4 6 8 10 12

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

50

100

150

200

250

300


Destaca que los tres primeros modos son claves al mover mucha masa en nuestra celosía. Al

tratarse de barras, sólo se pueden solicitar a fuerzas normales, con lo que se quedan 2 grados de

libertad en vez de 3 para las vigas.



� 88 ≺


Modos utilizados x y

{1, 2, 3, 4, 5, 6} 0.99762 0.98817

{1, 2, 3} 0.98458 0.92269

{1, 3, 5} 0.868 0.82755

Tabla 4.3: Masa modal acumulada en la celosía

Se intenta seguir con el patrón que se obtuvo en 4.1, tomando en cuenta los modos impares para

luego hacer un análisis sobre los desplazamientos verticales. Por un lado se ve que es más ventajoso

quedarse con los tres primeros modos propios en vez de con los tres impares. Por otro lado tampoco

debe �jarse en una dirección precisa. De hecho ahora es de interés como la estructura responde

a cargas externas y por tanto que desplazamientos verticales y horizontales supone su respuesta

dinámica.

4.2.1.2. CELOSÍA SOMETIDA A UNA FUERZA CONSTANTE

Se ve en 4.1.1.4, la reducción modal tardaba en converger. Por eso se estudia otra vez el com-

portamiento de una estructura justo después de aplicar la fuerza. La segunda ventaja de estudiar

la estructura frente a una carga constante, es que el error relativo es signi�cativo en todo caso ya

que el desplazamiento no tiende hacia 0. La fuerza es horizontal, de 1000N y se ha aplicado arriba

a la izquierda hacia la derecha.

� 89 ≺


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−4

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−4

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

Figura 4.42: Desplazamiento con los 6, y los 3 primeros modos respectivamente

Se ha estudiado el desplazamiento horizontal que sufre el punto arriba a la derecha en 4.39 a lo

largo del tiempo. Para el estudio del error, se descarta la reducción modal comprendiendo los modos

{1,3,5}. Además, se ve en la respuesta de la estructura que el amortiguamiento atribuido a la viga

es alto, frente a los desplazamientos que sufre la estructura, o que el paso de tiempo elegido no es

su�ciente para ver la respuesta justo tras aplicar la fuerza. Sin embargo tampoco es el próposito: se

quiere asegurar que la respuesta �nal encontrada es la misma que si se hiciera un estudio estático.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x 10−6

t [s]

u [m

]

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

−3

t [s]

100

%


� 90 ≺


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 10−6

t [s]

u [m

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−3

t [s]

100

%


Se ve que en las dos reducciones, el error absoluto tiene un orden de magnitud de 10−6 mmientras

la deformación es del orden de 10−4 m. El error relativo es por debajo del 0.25%. Además, resulta

que la reducción modal más sencilla es más exacta. Esto es casualidad: algunas aproximaciones se

han equilibrado con otras.

4.2.1.3. CELOSÍA SOMETIDO A UN SEISMO

En este caso, se ha sometido la estructura a unos seismos. Son aceleraciones horizontales que se

han medido a partir de un sismografo. Todos los puntos en la estructura sufren de esta aceleración

horizontal. El propósito es de comprobar que la reducción modal es indepediente de una respuesta

dinámica variable, es decir que funciona bajo distintas condiciones externas. Se ha comprobado con

varias entradas (4 aceleraciones sísmicas) que la reducción del modelado no carece en �exibilidad.

Pues una respuesta sísmica es representativa, basta comentar una sóla. Se puede apreciar en la

�gura a continuación el desplazamiento horizontal que sufre el punto arriba a la derecha en 4.39 a

lo largo del tiempo.

� 91 ≺


0 10 20 30 40 50 60 70−4

−2

0

2

4x 10

−5

t [s]

u [m

]

Figura 4.45: Desplazamiento horizontal en los puntos superiores

Este sismo es una onda de corte más bien pequeña al mover la estructura menos que un decimo

de milímetro. Tampoco se ha enseñado en un mismo diagrama las curvas con y sin reducción modal

en aras de claridad. Sin embargo se pueden apreciar a continuación los errores cometidos debidos a

la simpli�cación.

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x 10−10

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6x 10

−3


� 92 ≺


10 20 30 40 50 60 70 80

−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−8

0 10 20 30 40 50 600

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12


10 20 30 40 50 60 70 80

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10x 10

−7

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Ante todo hay que comentar la cantidad de picos que surgen a lo largo del seismo. El problema

del seismo es que aparecen aceleraciones negativas seguidas por positivas. El resultado es que la

estructura se mueve de la izquierda a la derecha a lo largo del terremoto. Implica que cada vez pasa

por el 0. Y como se ve en 3.19, el error relativo tendrá hacia el in�nito para pequeños valores de u.

La consecuencia es que hay que �jarse en los errores relativos más comunes a lo largo del tiempo,

� 93 ≺


es decir en la linea horizontal cercana al eje t. Se comparan primero las dos reducciones modales

suponiendo un igual alivio para la potencia de cálculo computacional: A={1,2,3} y B={1,3,5}. Los

errores absolutos en el primer caso A son del orden de 10−8 m mientras son del orden de 10−7 m

en el segundo caso B. Por consiguiente, con una reducción modal similar, se alcanza o bien un error

relativo del 0.2% o bien del 2%! En caso de que no valiera un error relativo mayor que 0.02%, se

añadirían a los 3 primeros modos los 3 siguientes, es decir {1,2,3,4,5,6}.

4.2.2. LA CELOSÍA CON BARRAS Y VIGAS




Momento de Inercia I = 0m4

Densidad teórica ρ = 0kg/m3

Y las propriedades del material de las vigas son:


Área de A = 0, 0028m2


� 94 ≺



Se han considerado las barras sin masa, para estudiar el efecto que tenían las vigas sobre la

estructura. Al considerar las barras con peso nulo, se puede asimilar esta celosía a un edi�cio con

vigas horizontales en cada nivel.

La celosía estudiada es 4.49. Los apoyos son iguales que en 4.39.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

Figura 4.49: Celosía con Barras


Se ve en los diagramas que siguen, que los dos primeros modos son los que más contribuyen a la

masa movilizada en el plano, moviendo en cada dirección x e y 262.08 kg. Contrasta con los 19.968

� 95 ≺


kg movidos por ∠(x, y). Justi�ca la despreciación de los modos importantes para el giro.

0 2 4 6 8 10 12 14 160

50

100

150

200

200 400 600 800 1000 12000

50

100

150

200

250


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

50

100

150

200

250

0 200 400 600 800 1000 12000

50

100

150

200

250


� 96 ≺


0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

2

4

6

8

10

12

14

0 200 400 600 800 1000

2

4

6

8

10

12

14

Figura 4.52: Masa movilizada en ∠(x, y) en función de los modos, y de la frecuencia




{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 0.99926 0.98475 0.87034

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 0.99972 0.99738 0.98652

{1, 3, 5, 7, 9} 0.97955 0.12392 0.83042

{1, 2, 3, 4, 5} 0.97815 0.92098 0.032129

Tabla 4.4: Masa modal acumulada en la estructura

Aunque en 4.2.1 se ve que el patrón que se obtuvo en 4.1 no es una regla general, se quiere ver

que ocurre al tomar los primeros modos impares. Se ve que la masa movilizada según x se considera.

Ya que se somete la estructura a cargas horizontales y que se hará un estudio basándose en un grado

de libertad horizontal, viene bien comparar esta reducción con las demás.

� 97 ≺


4.2.2.2. ESTRUCTURA SOMETIDA A UNA FUERZA CONSTANTE

Se ha visto en 4.1.1.4 y 4.2.1.2 que la reducción modal tarda algo en converger. Al tener los 2

problemas distintos elementos, en un caso vigas y en el otro barras, se estudia el comportamiento

de la estructura que combina los 2 elementos justo después de haber aplicado la fuerza horizontal

arriba a la izquierda.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

2

4

6

8x 10

−4

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

2

4

6

8x 10

−4

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

Figura 4.53: Desplazamiento con los 5 primeros modos impares, y los 5 primeros modos

A título comparativo basta estudiar dos reducciones modales cada una con 5 modos. Para el

estudio del error, hace falta ampliar la �gura para distinguir las dos curvas. O restar una curva

de la otra para obtener el error absoluto. Además, se ve en la respuesta de la estructura que el

amortiguamiento atribuido a la viga es alto, frente a los desplazamientos que sufre la estructura, o

que el paso de tiempo elegido no es su�ciente para ver la respuesta justo tras aplicar la fuerza. Sin

embargo tampoco es el próposito: se quiere asegurar que la respuesta �nal encontrada es la misma

que si se hiciera un estudio estático.

� 98 ≺


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−6

t [s]

u [m

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

1

2

3

4

5x 10

−3

t [s]

100

%


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−7

t [s]

u [m

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−3

t [s]

100

%


En la reducción modal empleando los modos impares {1,3,5,7,9} se obtiene una buena solución

al ser dos ordenes de magnitud por debajo del desplazamiento: εabs ≈ 1,5 × 10−6 m, mientras

umax ≈ 6 × 10−4 m. Con lo que el error relativo es 0.25%. Sin embargo con una reducción igual

de buena del punto de vista computacional, se alcanza resultados mucho más precisos. ½Con los

modos {1,2,3,4,5} se baja el error relativo a unos 0.03%! Resalta que, tan pronto como trata de una

estructura bidimensional, la mejor reducción del modelado se logra haciendo una reducción modal

� 99 ≺


teniendo en cuenta los primeros modos.

4.2.2.3. ESTRUCTURA SOMETIDA A UN SEISMO

En este caso, se ha sometido la estructura a un seismo. Se ha enseñado el desplazamiento

partiendo de otra entrada, pero el estudio también se hizo con las cuatro aceleraciones sísmicas.

Se puede apreciar en la �gura 4.56 a continuación el desplazamiento horizontal que sufre el punto

arriba a la derecha en 4.49 a lo largo del tiempo.

0 10 20 30 40 50 60 70 80−3

−2

−1

0

1

2x 10

−5

t [s]

u [m

]

Figura 4.56: Desplazamiento horizontal en los puntos superiores

En las �guras 4.57, 4.58 y 4.59 se puede apreciar el error absoluto y relativo que conlleva cada

tipo de reducción del modelo.

� 100 ≺


0 20 40 60 80 100−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4x 10

−8

t [s]

u [m

]

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−3

t [s]

100

%


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

−3

−2

−1

0

1

2

3

4x 10

−10

0 10 20 30 40 50 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

−5


De nuevo surgen picos a lo largo del tiempo porque el valor del desplazamiento pasa muchas

veces por el 0, con lo que el error relativo tiende hacia el in�nito. Para analizarlo, hay que �jarse en

los valores que aparecen con mayor frecuencia para formar una linea por encima del eje del tiempo.

Primero se comparan las dos reducciones modales suponiendo un igual alivio para la potencia de

cálculo computacional: A={1,2,3,4,5} y B={1,3,5,7,9}. Los errores absolutos en el primer caso A

son del orden de 10−8 m mientras son del orden de 10−6 m en el segundo caso B. Por consiguiente,

� 101 ≺


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−7

0 10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


con una reducción modal similar, se alcanza o bien un error relativo del 0.01% o bien del 2%

respectivamente! Si se quisiera una precisión muy alta, se haría la reducción modal con los 9 primeros

modos. Resalta que, al trabajar con tipos de estructuras con más grados de libertad, el grado

de complejidad de la ecuación general de movimiento aumenta debido a los grados de libertad

suplementarios. Por eso tampoco se puede reducir el modelo con tan pocos modos que en el caso

anterior 4.2.1. Sin embargo, la reducción en el caso 4.2.2 supone una mayor ganancia de tiempo al

reducir las dimensions del sistema inicial aún más (concretamente de las matrices de rigidez K, de

amortiguamiento C y de masa M ) :

Celosía simpli�cada según 4.2.1 : (12× 12) −→ (3× 3)

Celosía según 4.2.2 : (18× 18) −→ (5× 5)

� 102 ≺


4.3. ESTUDIOS DE UNA VIGA SOMETIDA A UNA CARGA

ARMÓNICA

Se vuelve a estudiar el comportamiento de una viga empotrada a la izquierda. Sin embargo se

hace una combinación de lo visto hasta ahora sometiéndola a una fuerza armónica. Se ha programada

en MATLAB una fuerza aplicada en el extremo derecho que tiene dos componentes de 4950 N : una

hacia abajo, y otra hacia la viga.En 4.60 se ve como se ha simulado el ejemplo en cuestión. Según

[SO07], la reducción óptima depende del armónico que a su vez permite pronosticar que modos

contribuyen más al error. Por eso se subdivide este ejemplo en tres: una vez con un armónico de

800 Hz, de 22500 Hz, y de 44500 Hz. Así se pretende hacer un estudio comparativo de una viga

sometida a una carga armónica.

Como anunciado al principio del capítulo, en todas las respuestas armónicas forzadas que se

han estudiado, siempre se ha efectuado una comparación de lo métodos de integración temporal

tal y como se han visto en 2. Analogamente a 4.1.1, tras obtener curvas idénticas con los MIT

implementados, se considera sólo un método para hacer la reducción modal: el HHT.

� 103 ≺


Figura 4.60: Viga sometida a una carga bidireccional armónica

Las propriedades del material de la viga son:


Área de A = 0, 001m2

Momento de Inercia I = 0, 8333 · 10−6m4


Coe�ciente de Poisson ν = 0, 3

Se contentará con usar una sola reducción modal validada en 4.1 . En este caso se reduce con

� 104 ≺


la base que viene en la tabla 4.5 . El motivo por el cual se han tomado en cuenta tantos modos

es doble. Por un lado se hará un estudio tanto del desplazamiento vertical como del horizontal. Al

elegir nueve modos, se considera casi toda la masa movilizada en estas dos direcciones. Por otro lado

hace falta tener en cuenta los modos con frecuencia propia cercana a la respuesta armónica forzada.

El cálculo de las frecuencias propias a partir de los autovalores se basa en [wik10]: f = ω02π =

√λ/2π

. En la tabla 4.6 se comprueba que no se ha dejado ningún modo relevante.


{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 0.96011 0.96115 0.094516

Tabla 4.5: Masa modal acumulada

Modos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecuencia526.64 3300.4 8152.6 9241.4 18110 24508 29941 41015 44735 57774

propia [Hz]

Tabla 4.6: Frecuencia propia correspondiente a los 10 primeros modos

4.3.1. CARGA CON UNA FRECUENCIA DE 800Hz

Se estudian el desplazamiento vertical y horizontal en el extremo derecho, es decir donde se

aplica la fuerza armónica.

� 105 ≺


0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14−10

−5

0

5x 10

−3

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−5

HHT reducidoHHT

Figura 4.61: Desplazamiento con los 10 primeros modos en vertical, y horizonzal respectivamente

Como esperado, son desplazamientos negativos. Indica la deformación que ocasiona la carga.

En el desplazamiento horizontal, que es tres ordenes de magnitud más pequeños que el vertical,

ya se puede diferenciar las curvas obtenidos por el cálculo exacto, y por el cálculo empleando la

reducción modal. Para estudiar el error en el caso vertical, hace falta calcular el error absoluto. A

título comparativo, también se enseñará el error absoluto para el grado de libertad horizontal.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x 10−6

t [s]

u [m

]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

2

4

6

8

10x 10

−4

t [s]

100

%

Figura 4.62: Error absoluto y relativo con los 9 primeros modos para el grado de libertad vertical

� 106 ≺


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x 10−6

t [s]

u [m

]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.05

0.1

0.15

0.2

t [s]

100

%

Figura 4.63: Error absoluto y relativo 9 modos para el grado de libertad horizontal

En ambos casos, εabs ≈ 1,5×10−6 m . Sin embargo si se mira al error relativo, vale unos 0.002%

para el grado de libertad vertical mientras alcanza unos 7% para el horizontal. Sin embargo, no es

necesario ser tan preciso con un modelo para desplazamientos del ordén del micrometro. Más bien,

es incluso para el modelo original muy di�cil que entregue el valor exacto. Habría que efectuar un

ensayo con un protótipo para medir la deformación horizontal real. Por tanto, se considera esta

reducción exitosa para la carga armónica de 800 Hz.


Se estudian el desplazamiento vertical y horizontal en el extremo derecho.

� 107 ≺


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−10

−8

−6

−4

−2

0

2

x 10−3

t [s]

u [m

]

HHT reducidodata2

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−5

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT


De nuevo se obtienen desplazamientos negativos que re�ejan la respuesta armónica forzada. En el

desplazamiento horizontal, que sigue siendo tres ordenes de magnitud más pequeños que el vertical,

ya se puede diferenciar las curvas obtenidos por el cálculo exacto, y por el cálculo empleando la

reducción modal. Para estudiar el error en el caso vertical, hace falta calcular el error absoluto. A

título comparativo, se sigue enseñando el error absoluto para el grado de libertad horizontal.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x 10−6

t [s]

u [m

]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.05

0.1

0.15

0.2

t [s]

100

%


� 108 ≺


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x 10−6

t [s]

u [m

]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.05

0.1

0.15

0.2

t [s]

100

%


En ambos casos, εabs ≈ 1,5 × 10−6 m . Parecido a la respuesta forzada a 800 Hz, el error

relativo vale unos 0002% para el grado de libertad vertical mientras alcanza unos 7% para el

horizontal. Hay que ser cuidadoso al leer los valores del grafo. Hay que recordar que esta variable

no tiene sentido cuando se divide por desplazamientos casi nulos. Por eso hay que �jarse en los

valores que corresponden al pico máximo del desplazamiento, por ejemplo en el tiempo 0.02 s

para el desplazamiento vertical. Para resumir, esta reducción también es muy precisa para la carga

armónica de 22500 Hz.


Se estudian el desplazamiento vertical y horizontal en el extremo derecho.

� 109 ≺


0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−5

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT


Los desplazamientos re�ejan la respuesta armónica forzada a 44500 Hz. El desplazamiento ho-

rizontal sigue aumentando con una frecuencia más alta. Ya sólo quedan dos ordenes de magnitud

de diferencia entre el grado de libertad horizontal y vertical. Además, el sistema tiende a entrar en

resonancia. Aunque no hay fuerzas estirando, la viga se alarga debido a una contracción muy rápida

(5 ms). Actúa como un muelle. Sin embargo son desplazamientos muy pequeños que no superan los

50 µm. Para estudiar el error, hace falta calcular el error absoluto.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−6

t [s]

u [m

]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−3

t [s]

100

%


� 110 ≺


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x 10−6

t [s]

u [m

]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t [s]

100

%


En ambos casos, εabs ≈ 1,5× 10−6 m . Parecido a las respuestas forzadas a 800 Hz y 22500 Hz,

el error relativo vale unos 0.002% para el grado de libertad vertical mientras alcanza unos 7% para

el horizontal. Sin embargo esta variable se vuelve borrosa. Hay que �arse sobre todo en el error

absoluto, y comparar los ordenes de magnitud entre el error máximo y el desplazamiento máximo

en un momento dado, para lograr un error relativo más palpable. Para resumir, esta reducción

modal parece ser buena independientemente de la carga armónica, mientras se tomen en cuenta las

frecuencias propias necesarias. Incluso en este ejemplo, en el que la viga tiende a entrar en resonancia

por acercarse de un frecuencia propia, la reducción modal propuesta da salidas razonables.

4.4. PUENTE SOMETIDO A FUERZAS Y ACELERACIONES

VERTICALES

Con este ejemplo se quiere comprobar que la reducción modal no solamente mantiene una alta

precisión, sino que funciona y sobre todo reduce el tiempo de resolución para estructuras de gran

� 111 ≺


tamaño. La estructura consiste por dos vigas paralelas, estabilizadas por barras. En 4.70 , se puede

apreciar la estructura simpli�cada. La que se ha usado para los cálculos mide 800m de largo y 4m

de alto, pero con el mismo patrón. Para tener un ejemplo realista, se han de�nido apoyos cada 40m,

�jando el grado de libertad vertical y por tanto representando columnas de soporte. En el extremo

derecho, se de�ne un apoyo �jo. La estructura queda estática. Además de traspasar los 1000 grados

de libertad, se han combinado dos típos de cargas externas. Por un lado se ha aplicado una fuerza

de 100N hacia abajo cada 8m en los puntos de la viga superior que tienen dos barras en contacto. A

lo largo de la estructura, suma una fuerza de 10kN. Por otro lado se ha sometido el llamado puente

a un seismo con una componente vertical. Por ello, se estudiará el error en el grado de libertad

vertical que más se ve afectado por las cargas externas. La simulación mostra que se situa a 20m

de la extremidad, sea la izquierda o la derecha.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura 4.70: Modelo reducido del puente

� 112 ≺







Las propriedades del material de las vigas son:


Área de A = 2,8× 10−3m2



Tras el estudio de la contribución de los modos, se elige el caso siguiente en el que la reducción es

drástica: guardamos 25 modos de los 1178 totales.


Primeros 25 0.97131 0.80252 2.2327e-006

Primeros 25, y 11 modos relevantes 0.97165 0.97015 2.2471e-006

Tabla 4.7: Masa modal acumulada en el puente

A continuación se estudia el desplazamiento vertical en el grado de libertad 16 que corresponde

a la viga inferior a 20m del extremo derecho. También se hallan el error absoluto y relativo para

este punto.

� 113 ≺


0 10 20 30 40 50−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

−4

t [s]

u [m

]

HHT reducidoHHT

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−3

−2

−1

0

1

2x 10

−4

t [s]

u [m

]

HHT reducido con 36 modosHHT

Figura 4.71: Comparación de los desplazamientos con los 25 primeros modos, y con 36 modos

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−5

t [s]

u [m

]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

−5

t [s]

u [m

]

Figura 4.72: Error absoluto con los 25 primeros modos, y con 36 modos

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t [s]

100

%

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

t [s]

100

%

Figura 4.73: Error relativo con los 25 primeros modos, y con 36 modos

Se ve que el error absoluto tiene un orden de magnitud de 10−5 m mientras la deformación es del

orden de 10−4 m. Por tanto el error relativo alcanza 10%. Sin embargo, sigue siendo una muy buena

información. Hay sobre todo que tener en mente, que se han despreciado los siguientes modos que

� 114 ≺


contribuyen a la masa movilizada según el eje vertical. El próposito es verdaderamente minimizar

el sistema de ecuaciones lo más posible. Se apreciará en 4.9 que esta reducción ahorra más que el

90% del tiempo transmitido, comparado con la resolución según los métodos comunes.

4.5. RECAPITULACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS

Ahora que se han estudiado varios casos siguiendo el error ligado a la reducción modal, se

comprobará que se logra un bene�cio para los procesadores. El alivio computacional se con�rma o

no, según el problema estudiado. La tabla 4.9 da una visión de conjunto del trabajo hecho a lo largo

del proyecto. Permite ver cuando se puede sacar ventaja de las funciones implementadas.

Para medir el tiempo de resolución, es importante llevar el estudio en las mismas condiciones. Se

ha usado un pórtatil Acer tipo Aspire 5530, con 4 GB de RAM y dos procesadores AMD Athlon(tm)

Dual-Core QL-60, 1.90 Ghz. El sistema operativo es Windows Vista con 32 Bit.

Sólo se alista el tiempo de resolución total para la reducción modal. Sin embargo se ha progra-

mado las funciones en MATLAB de tal forma que, en caso de reducir el modelo, enseña por un lado

el tiempo requerido para la reducción modal y por otro lado el tiempo requerido para calcular la

resolución del problema. Además, se mostran los autovalores, autovectores, la masa total en cada

dirección, y la masa cumulada al tener en cuenta los modos elegidos.

Como notación se usará:

GdL = grados de libertad

� 115 ≺


modos = modos seleccionados para la reducción modal. Sólo se trabajará con una reducción

modal por ejemplo, elegiendo la que se considera más adecuada, ponderando la exactitud y el

tiempo de cálculo.

Contribuciónx, Contribucióny = porcentaje de masa movilizada respectivamente en los grados

de libertad horizontales y verticales.

εrel,max = el error relativo �máximo� en%. Se de�ne como el máximo error absoluto a lo largo

del tiempo, dividido por el desplazamiento en el mismo instante: εrel,max = εabs,max(t)/u(t).

Es importante destacar que no se considera el error relativo en zonas con desplazamientos casi

nulos, al no tener signi�cado para la interpretación de datos.

pasos = pasos de tiempo utilizados para estudiar el comportamiento dinámico.

tentero = tiempo transcurrido para la resolución del sistema sin reducción modal.

treducido = tiempo transcurrido para la resolución del sistema mediante reducción modal. Se

mira el error en los grados de libertad más pertinentes: los con mayor desplazamiento.

tahorrado = 1 - treducido/tentero . Es una unidad adimensional. Es decir que para tahorrado <0,

se ha tardado más con la reducción modal que por tanto fue penalizante. Para tahorrado >0,

la reducción modal ha constituido un bene�cio.

� 116 ≺


Ejemplo GdL modos Contribuciónx [%] Contribucióny [%]

Viga bidensional: 4.1.1 60 1,3,5,7,9 0.8368 0.70032

Viga tridimensional: 4.1.2 120 1,3,5,7,9,11 0.8368 0.9296

Celosía con barras: 4.2.1 12 1,2,3 0.98458 0.92269

Celosía con vigas: 4.2.2 18 1,2,3,4,5 0.97815 0.92098

Viga con armónico: 4.3 60 primeros 9 0.96011 .096115

Puente: 4.4 1178 36 modos 0.97165 0.97015

Tabla 4.8: Tamaño de los problemas, y reducción modal utilizada para la comparación

La ventaja de la reducción crece con la complejidad del problema. A primera vista, parece

contradictorio que se tarde más tiempo en una misma estructura con pocos pasos de tiempo al

reducir el modelo, y que a cambio la reducción modal brinda una buena oportunidad para reducir

el modelo cuando hay muchos pasos de tiempo. El primer paso, que es transformar el problema en

coordenadas modales, supone un cálculo suplementario al principio. Se ha medido en MATLAB el

tiempo que transcurre por un lado para la reducción modal, y por otro lado para el estudio dinámico.

No sale rentable para estructuras simples con pocos grados de libertad hallar los autovalores y

autovectores para efectuar el cambio de base mientras se trabajan con pocos pasos de tiempo. Sin

embargo, como se ve claramente en el ejemplo del �puente� se ahorra muchísimo tiempo al utilizar

las funciones de reducción implementadas en MATLAB tan pronto como hayan muchos pasos de

tiempo y grados de libertad a tener en cuenta.

� 117 ≺


Ejemplo pasos tentero[s] treducido[s] tahorrado[%] εrel,max[%]

Viga + fuerza: 4.1.1.4 25 0.10 0.129 - 29 2.57

Viga + sinusoidal: 4.1.1.3 1509 6.247 1.861 70.2 1.32

3D viga + sinusoidal: 4.1.2 1509 11.485 1.987 82.7 0.0043

Celosía + fuerza: 4.2.1.2 25 0.0716 0.0759 - 6 0.21

Celosía + seismo: 4.2.1.3 3225 6.34 3.565 43.77 0.48

Celosía + fuerza: 4.2.2.2 25 0.0863 0.0959 - 11.1 0.38

Celosía + seismo: 4.2.2.3 3711 9.693 4.902 49.4 0.48

Viga + 800Hz: 4.3.1 121 0.312 0.271 13.1 0.018

Viga + 22500Hz: 4.3.2 601 1.577 0.9165 41.9 1.16

Viga + 44500Hz: 4.3.3 601 1.576 0.9165 41.8 0.02

Puente: 4.4 2262 343.8 32.273 90.6 3.3

Tabla 4.9: Tiempo ahorrado al reducir los modelos

Como conclusión, se puede decir que hay que tomar en cuenta los modos que movilizan más del

97% en cada dirección para lograr una buena aproximación mediante reducción modal.

� 118 ≺

Capítulo 5

CONCLUSIÓN

5.1. CONCLUSIONES

La meta primera de este proyecto era implementar en AFECTOS unas funciones que reduzcan

los modelos. Esta implementación ha sido exitosa y ha permitido estudiar la dinámica estructural

mediante modelos reducidos.

Se ha hecho hincapié en la compatibilidad con varios tipos de elementos. Se re�eja por la com-

paración extensiva que se ha hecho, variando tanto el tipo de cargas como las estructuras mismas.

Para cada uno de los ejemplos, la reducción modal se acompaña de una pérdida de información

despreciable. También hay que empeñarse a comprobar que la reducción de modelo implementada

no se veía afectada por el método de integración temporal utilizado. Para ello se ha añadido dos

métodos de integración temporal a AFECTOS: el método de Houbolt y el de θ-Wilson. Luego se

119

CAPÍTULO 5. CONCLUSIÓN

ha contrastado las distintas soluciones para asegurarse de que la compatibilidad es garantizada.

La cual se con�rma. Por �n se ha calculado el error que supone la reducción modal. Se ha visto

que el error absoluto se encuentra en ordenes de magnitudes tres veces o más por debajo de los

desplazamientos. Signi�ca que el valor aportado, que es reducir el tiempo de cálculo, se logra junto

con un buen compromiso de pérdida de información.

5.2. FUTURAS LÍNEAS DE DESARROLLO

Por un lado se puede seguir optimizando la reducción del modelado para el estudio dinámico.

Posibles mejoras son:

Comparar los resultados obtenidos con mediciones en una estructura real. No aporta nada si

todas las soluciones coinciden entre sí pero que no concordan con la realidad.

De�nir un método sistematizando la elección de los modos. Una primera fase sería de opti-

mizar la determinación de los modos propios claves, y se basaría en la estructura. Habría que

encontrar un método tanto bidimensional como tridimensional que es compatible con todos los

elementos programados en AFECTOS. La segunda fase sería de desarrollar un algoritmo que

combina las condiciones estructurales con las cargas externas. El método tiene que diferenciar

cuales son los modos de interés con respecto al problema estudiado.

Combinar la reducción modal con otros métodos de reducción para sacar provecho de varios

métodos a la vez. Por ejemplo empleando algoritmos genéticos, o redes neuronales.

� 120 ≺


Encontrar un modelo matemático que acelera la inversión de matriz, o que acelera la división

de una matriz por otra: la línea de código u = Feff/Keff es crítica.

Comparar el MEF usando los modelos reducidos con métodos radicalmente diferentes. Por

ejemplo con la simulación de problemas utilizando la lógica fuzzy (también llamada borrosa),

que aproxima la respuesta pero al combinar una serie de algoritmos muy simples no requiere

demasiada potencia de cálculo computacional.

Además, el método utilizado a lo largo del proyecto aborda el problema considerándolo lineal. Para

llegar a un comportamiento no lineal, se aplica una fuerza que resulta ya no en una deformación

elástica sino en una deformación plástica. Como se explica en [Rew99], si se quiere hacer estudios

sobre la no linealidad, hay que utilizar la viga de Timoshenko en vez de la Euler-Bernouilli. Por tanto,

las posibles deformaciones plásticas requerirían que se hiciera una actualización de las matrices de

masa, de amortiguamiento, y de rigidez. Se ha intentado ponderar hacer la actualización cada x

paso de tiempo con el valor de las fuerzas. Sin embargo, recalcular las matrices es muy costoso de

un punto de vista computacional. Habría que implementar otros métodos compatibles con el MIT

aproximando las matrices basándose en los casos anteriores.

Por otro lado hacen falta estudios paralelos para darle a este proyecto un signi�cado no sólamente

del punto de vista computacional, sino del punto de vista práctico. Se necesita una imagén global

de un producto dado, y no solamente ver que la reducción modal funciona, sino que la reducción

modal también es el algoritmo más adecuado para resolver el problema dado. Se sacaría una muestra

de datos recopilados utilizando unos problemas reales. Luego se podrían hacer estudios estadísticos

teniendo en cuenta distintas variables tales y como el coste que supone cada herramienta análitica, el

� 121 ≺


tiempo de desarrollo, el grado de exactitud de la solución, y la �exibilidad para cambiar de problema.

Ponderando la importancia de las variables se haría un estudio comparativo determinando en que

casos viene mejor realizar un estudio con el MEF con la reducción modal.

� 122 ≺

Apéndice A

Notación

123

APÉNDICE A. NOTACIÓN

Símbolo Descripción Unidad

F Fuerza [N]

a = u Aceleración [m · s−2]

u Desplazamiento [m]

v = u Velocidad [m·s]

t Tiempo de duración [s]

L Longitud [m]

A Sección [m2]

E Modulo de elasticidad [Gpa]

Iy Momento de inercia según el eje y [m−4]

Iz Momento de inercia según el eje z [m−4]

ρ Densidad [kg/m3]

m Masa [kg]

K Matriz de rigidez [N/m]

C Matriz de amortiguamiento [N·s/m]

M Matriz de masa [N · s2/m]

Z Matriz de rigidez dinámica [N/m]

F ext Vector de fuerzas externas [N]

Qint Vector de fuerzas internas [N]

R Residuo [N]

F Vector de fuerzas totales [N]

Tabla A.1: Notación

� 124 ≺

APÉNDICE A. NOTACIÓN

Símbolo Descripción Unidad

Z Matriz de rigidez dinámica en base modal [N/m]

M Matriz de masa en base modal [N · s2/m]

C Matriz de amortiguamiento en base modal [N·s/m]

K Matriz de rigidez en base modal [N/m]

F Vector de fuerzas totales en base modal [N]

ZR Matriz de rigidez dinámica en base modal reducida [N/m]

MR Matriz de masa en base modal reducida [N · s2/m]

CR Matriz de amortiguamiento en base modal reducida [N·s/m]

KR Matriz de rigidez en base modal reducida [N/m]

R Residuo modal [N]

J Vector de arrastre

V Autovectores

D Autovalores

cm Masa acumulada [kg]

rm Masa relativa [%]

Tabla A.2: Notación

� 125 ≺

Apéndice B

Figuras

En este capítulo se con�rma que el método de integración temporal no es relevante para la

resolución de la estructura, como visto en 4.1.1.3 . Para todas las grá�cas de comparación de

desplazamiento en los mismos puntos críticos que a lo largo de 4 , la linea cortada azul × siempre

corresponde al desplazamiento de referencia calculado con el HHT según 2.3.3 mientras la linea

continua roja + corresponde al desplazamiento calculado por el método especi�cado debajo de la

grá�ca.

126

APÉNDICE B. FIGURAS

B.1. Respuesta de la viga con fuerza constante

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

x 10−3

t [s]

u [m

]

alpha 0.4HHT

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

alpha 0.6HHT

Figura B.1: Comparación HHT con α-generalizado con ρ∞=0,4 y ρ∞=0,6

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

HouboltHHT

Figura B.2: Comparación HHT con Houbolt

� 127 ≺


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

x 10−3

t [s]

u [m

]


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]


Figura B.3: Comparación HHT con θ-Wilson con θ=1,8 , θ=2,0 y θ=2,2

Se ve claramente que el amortiguamiento atribuido a la viga varía entre los métodos de integra-

ción temporal. Por tanto, el método de θ-Wilson con un valor de 1.8 tarda mucho más en converger,

al asignarle a la viga un amortiguamiento relativamente bajo. A cambio, el método de Houbolt

le atribuye un amortiguamiento excesivamente alto, y habrá que reducir el paso de tiempo para

estudiar la respuesta estructural en el instante justo después de t=0.

� 128 ≺


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

−1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2deformed structure

−1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2deformed structure

−1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2deformed structure

−1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2deformed structure

−1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2deformed structure

Figura B.4: Deformada �nal, con el desplazamiento máximo normado a un metro

B.2. La celosía con vigas sometida a una carga constante

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

−4

t [s]

u [m

]

alpha 0.4HHT

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

−4

t [s]

u [m

]

alpha 0.6HHT


� 129 ≺


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

2

4

6

8x 10

−4

t [s]

u [m

]

HouboltHHT

Figura B.6: Comparación HHT con Houbolt.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

2

4

6

8x 10

−4

t [s]

u [m

]


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

2

4

6

8x 10

−4

t [s]

u [m

]

Theta−Wilson 2HHT

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

2

4

6

8x 10

−4

t [s]

u [m

]



Se vuelve a notar con claridad que el amortiguamiento atribuido a la viga varía entre los métodos

de integración temporal. El método de θ-Wilson con un valor de 1.8 sigue tardando más en converger,

� 130 ≺


mientras el método de Houbolt encuentre casi instantáneamente el valor alcanzado en un estudio

estático.

−1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

deformed structure

−1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

deformed structure

−1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

deformed structure

−1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

deformed structure

−1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

deformed structure

Figura B.8: Deformada �nal, con el desplazamiento máximo normado a un metro

B.3. La viga sometida a una carga armónica de 800 Hz

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

alpha 0.4HHT

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

alpha 0.6HHT


� 131 ≺


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

HouboltHHT


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]



� 132 ≺


B.4. La viga sometida a una carga armónica de 44500 Hz

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

alpha 0.4HHT

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

alpha 0.6HHT


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]

HouboltHHT


Destaca que el método de Houbolt alcanza sus límites para describir frecuencias que movilizan

modos altos. La aproximación cúbica ya no es su�ciente aunque se han elegido pasos de tiempo más

pequeños que para los otros métodos de integración temporal.

� 133 ≺


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4x 10

−3

t [s]

u [m

]



� 134 ≺

Apéndice C

Funciones programadas en MATLAB

Ejemplos que se han programado para el estudio dinámico:

\afectos\test\celosia\celosia01.m



\afectos\test\beam\beam_sinus.m

\afectos\test\beam\beam_compare.m

\afectos\test\beam3D\beam3D_sinus.m

\afectos\test\beam3D\beam3D_compare.m

\afectos\test\celosia\puente.m

\afectos\test\chapa\elemento_plano.m

\afectos\test\beam\beamnl_sinus.m

\afectos\test\celosia\Vinv.m

135

APÉNDICE C. FUNCIONES PROGRAMADAS EN MATLAB

Entradas para los problemas:

\afectos\test\celosia\sinus.m

\afectos\test\celosia\aceleracion00.m





Funciones para la reducción modal:

\afectos\analysisType\structural_sismic.m

\afectos\output\seism_eq.m

\afectos\output\seism_solution.m

\afectos\output\seism_eq_nl.m

\afectos\output\seism_solution_nl.m

\afectos\tools\modal_analysis_various.m

Métodos de integración temporal:

\afectos\solvers\houbolt.m

\afectos\solvers\tetawilson.m

Visualizaciones de las distintas respuestas:

\afectos\output\plot_displacement.m

\afectos\output\plot_errorabs.m

\afectos\output\plot_errorrel.m

� 136 ≺

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Documents

Proyecto Fin de Carrera - IIT Comillas · 2011-09-06 · capacidad de carga de una placa con un par de rigidizadores y agujeros con una forma curiosa. O bien se quiera saber la concentración