Proyecto Fin de Carrera José Ignacio Berdún Seijobibing.us.es/proyectos/abreproy/11194/fichero/Capítulos+%2F4... · computacional que una implementación en la frecuencia usando

Proyecto Fin de Carrera José Ignacio Berdún Seijo

Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 78

Capítulo IV: Reconstrucción de imágenes

en sistemas PET mediante retroproyección



4.1. Implementación práctica y dificultades

Hasta ahora se han obtenido soluciones analíticas en forma de

ecuaciones continuas para el caso de la reconstrucción de una imagen 2D a

partir de un conjunto de proyecciones con rayos paralelos. Pero esa solución no

es totalmente válida en la realidad por diversos motivos, entre los que podemos

citar los siguientes:

• El filtro |ω| no es absolutamente integrable y por tanto su

transformada inversa de Fourier F-1 no existe.

• El ancho de banda espacial de nuestro sistema será limitado debido a

la combinación de dos efectos: las características geométricas de la

naturaleza de la radiación, y la resolución limitada de los detectores.

• No podemos tomar infinitas muestras de un número infinito de

proyecciones, por lo que θ es discreto.

Además, existen otros aspectos prácticos que implican realizar

correcciones a los datos. En el presente capítulo, abordaremos todos estos

aspectos que surgen en la implementación real en lenguaje IDL del método 2D-

FBP.



4.2. SSRB + FBP

La solución adoptada para la reconstrucción de imágenes en la consola

MMWKS ha sido el método 2D-FBP, utilizando rebinning axial previo para

mejorar la estadística de las proyecciones directas. El esquema del proceso que

sigue la consola se muestra en la figura 35.

Figura 35. Diagrama de bloques de la herramienta de reconstrucción implementada.

Hay que reseñar que un paso fundamental no explicado hasta el

momento y que aparece en la figura anterior es el de corrección de los

sinogramas, que se detalla en apartados posteriores.



4.3. 3DRP

La herramienta desarrollada además incluye además la posibilidad de

emplear un método de reconstrucción 3D, concretamente el 3DRP. Se ha

insertado el código que implementa la algorítmica necesaria, y éste ha sido

integrado totalmente en la interfaz; pero el desarrollo de dicho código no forma

parte del trabajo realizado para el presente proyecto final de carrera.

Como ejemplo se muestra una comparativa (figura 36) de la misma

imagen de cerebro de rata obtenida con rPET y reconstruida por los dos

métodos disponibles. Es perceptible el mejor resultado obtenido con el método

3D, a costa de que el tiempo de procesado fue del orden de 10 veces mayor.

Figura 36. Reconstrucción de cerebro de rata en rPET. Vistas sagital, coronal y axial.

Arriba, mediante 3DRP. Abajo, empleando 2D-FBP.



4.4. Aspectos prácticos en la implementación

4.4.1.- Distinción FBP – BPF – CBP

A pesar de que teóricamente el hecho de realizar las operaciones de

filtrado y retroproyección en un orden u otro, incluso en uno o en otro dominio,

no altera el resultado final, hay aspectos que surgen en la práctica que se

suelen pasar por alto y que originan importantes diferencias entre los métodos

FBP, BPF y CBP [28]. A continuación se presenta un análisis de estas 3 técnicas.

4.4.1.1. Método BPF: backproject-filter

La relación entre el laminograma (sinograma retroproyectado) y la

imagen original es:

2 2ˆ ( , ) ( , )

( ( , ))u vu v u v

u vω+

=∠

F B (30)

donde B(u,v) es la 2D FT del laminograma. El filtro con respuesta

impulsional 2 2u vρ = + se denomina filtro cono, debido a su aspecto.

El resumen del método según la teoría queda de la siguiente manera:

1. Elegir una función angular de ponderación no-nula w(θ).



2. Realizar la retroproyección angularmente-ponderada del sinograma

( )pθ ρ para obtener el laminograma b(x,y) usando la ecuación:

3. Obtener la 2D FT del laminograma b(x,y) para obtener B(u,v).

4. Aplicar el filtro cono “modulado en ángulo” en el dominio Fourier usando

la ecuación (30).

5. El filtro cono anula la componente CONTINUA de ( , )f x y 8. Esta

componente se puede recuperar, entre otros métodos, usando la

propiedad de conservación del volumen de la transformada de Radon:

( , ) ( ) ,f x y dxdy p t dtθ θ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= ∀∫ ∫ ∫ (32)

8 En el punto 4.4.7, “El problema de la recuperación de la componente continua”, se

analiza con mayor profundidad este hecho y se proponen soluciones válidas.

0

( , ) ( ) ( cos sin )b x y p x y dπ

θω θ θ θ θ= +∫ (31)



6. Para datos del sinograma con ruido, se puede calcular la integral para

todas las proyecciones y tomar la media para estimar la componente

CONTINUA:

0

1ˆ (0,0) ( )F p t dt dπ

θ θπ

⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ∫ (33)

7. Hacer la 2D FT inversa de ˆ ( , )F u v para obtener finalmente ˆ ( , )f x y .

Este método se denomina BPF porque primero se retroproyecta el

sinograma, y luego se aplica el filtro cono para “deconvolucionar” el efecto

1/|ρ| de la retroproyección. En la práctica, además hay que considerar

una función de apodizado (ventana) para que ese filtro que metemos no

amplifique en exceso las altas frecuencias, y por tanto, ruido. Por esto en lugar

de (30) se considera:

2 2ˆ ( , ) ( , ) ( , )

( ( , ))u vF u v A u v B u v

u vω+

=∠

(34)

donde A(u,v) es un filtro pasobajo de apodizado. Si no existe ruido, la imagen

reconstruida satisface:

donde a(x,y) es la transformada inversa de Fourier 2D de A(u,v).



Una dificultad práctica del método BPF es que el laminograma b(x,y)

tiene un tamaño (número de muestras o elementos) infinito, debido a las colas

de la respuesta 1/|r|. Por esto, en la práctica b(x,y) se trunca y eso

conlleva problemas en la deconvolución. Es más, si se usa la 2D FFT para

aplicar el filtro cono, se está realizando una convolución periódica que causa

efectos de plegado debido a la propia naturaleza paso-alto del filtro cono. Para

minimizar los efectos del truncado y de la convolución periódica, se debe

evaluar b(x,y) numéricamente sobre una rejilla de muestreo que sea

considerablemente mayor que el objeto ( , )f x y . Al aumentar de tamaño,

aumenta el coste computacional tanto de la operación de retroproyección como

las de 2D FFT necesarias para el filtro cono.

4.4.1.2. Método FBP: filter-backproject

Este método supera la limitación del anterior relativa al coste

computacional, y además tiene la ventaja de que sólo se necesitan

transformadas de Fourier 1D. Ahora el filtro que se aplica es el filtro rampa.

Hemos sustituido el esquema que seguimos en el método BPF:

por este otro:

Tomando ( ) 1ω θ = , el objeto filtrado ˆ ( , )f x y tiene el siguiente espectro:



ˆ ( , ) ( , )F Fρ θ ρ ρ θ= (35)

Evidentemente, no podemos filtrar la imagen antes de tener sus

proyecciones: de cualquier forma, aplicando el teorema de cortes de Fourier,

tenemos que para cada proyección ˆ ( )Pθ ρ , la 1D FT es:

ˆ ˆ( ) ( , ) ( , ) ( )uu

P u F u F u P uθ θρρρ θ ρ θ

=== = = (36)

Esta relación (36) nos indica que podemos reemplazar el filtro cono del

método BPF por un conjunto de filtros 1D cuya respuesta en frecuencia es u

aplicado a cada proyección (.)pθ . Éste es el filtro rampa.

Por lo tanto, el esquema final que se sigue es el siguiente:

Este es el método FBP, y es el más utilizado. Los pasos que deben

seguirse son:

1. Para cada ángulo de proyección θ, calcular la 1D FT de la proyección (.)pθ para construir ( )P uθ .

2. Multiplicar ( )P uθ por el filtro rampa u .



3. Para cada θ, calcular la 1D FT inversa de u ( )P uθ para obtener la

proyección filtrada ˆ ( )pθ ρ :

ˆ ( ) ( ) exp( 2 )p P u u j u duθ θρ π ρ∞

−∞

= ∫

En la práctica, este filtrado se realiza usando una FFT, que

conduce a una convolución periódica. Por el hecho de que el

kernel en el dominio del tiempo correspondiente a |u| no está

limitado en el espacio (infinitas muestras), la convolución periódica

introduce artefactos en la imagen en forma de “wrap-around”.

Además, muestrear el filtro rampa también puede introducir

artefactos. Una solución que se suele tomar añadir ceros (zero-

padding) en el sinograma en la dirección radial, aunque existen otros

métodos interesantes, analizados por Crawford en sus estudios sobre

los efectos de los artefactos producidos por aliasing [31].

4. El filtro rampa anula la componente continua de cada proyección. Esto se puede corregir de nuevo con (32). En la práctica, además se necesita un factor de escala para compensar el efecto de la discretización de las integrales.

5. Retroproyectar el sinograma filtrado { }ˆ ( )p rθ usando (31) para

obtener ˆ ( , )f x y :

0

ˆ ˆ( , ) ( cos sin )f x y p x y dπ

θ θ θ θ= +∫ (37)



4.4.1.3. Método CBP: convolve-backproject

El filtro rampa amplifica el ruido de alta frecuencia, y por tanto en

la práctica se debe usar una función de apodizado que consiste en un filtro LP,

( )A u , que hace que se sustituya la ecuación (37) por:

ˆ ( ) ( ) ( ) exp( 2 )p P u A u u j u duθ θρ π ρ∞

−∞

= ∫ (38)

Alternativamente, esta operación de filtrado se puede realizar en el

dominio espacial, mediante una convolución radial:

ˆ ( ) ( ) ( )p p hθ θρ ρ ρ= ∗ (39)

donde el filtro (o kernel) ( )h ρ es la TF inversa de ( )A u u , es decir:

( ) ( ) exp( 2 )h A u u j u duρ π ρ∞

−∞

= ∫ (40)

A pesar de que el kernel de convolución habitualmente no está limitado

en el espacio, el objeto (y por tanto sus proyecciones) sí que son finitas en el

espacio, por lo tanto la convolución en el dominio del espacio es factible. Por

otro lado, la convolución en el dominio del espacio requiere un mayor coste



computacional que una implementación en la frecuencia usando la FFT, por

lo que el uso del método FBP es “más atractivo” que el CBP en este sentido.

4.4.2.- Restauración del sinograma

Dado que el sinograma ( )pθ ρ tiene dos coordenadas (ρ y θ) se puede

interpretar como una imagen, a la cual se le pueden aplicar numerosos

métodos de tratamiento de imágenes para mejorarla. En concreto, operaciones

comunes son aplicarle diversos filtros (lineales y no lineales) para reducir ruido,

extrapolar datos perdidos y compensar el emborronamiento y atenuación [28].

Muchos de estos métodos se pueden denominar “estadísticos” porque

incorporan modelos de ruido.

Una operación lineal típica para un sistema con un emborronamiento

invariante espacialmente y una respuesta en frecuencia B(u) sería usar un filtro

de Wiener como función de apodizado A(u) en (38) de la siguiente manera:

*

2( )( )

( ) ( )p

B uA uB u S u

=+

(41)

Donde ( )pS u es un modelo para la densidad espectral de potencia de

( )pθ ρ bajo la (cuestionable) hipótesis de que ( )pθ ρ es un proceso aleatorio

WSS.

Los métodos no lineales (incluyendo los de reducción de ruido basados

en wavelets) son capaces de reducir más ruido que los lineales y con una

menor degradación de resolución espacial. En cualquier caso, cuando se



combina un método no lineal de filtrado de sinograma con una reconstrucción

lineal FBP, las propiedades de resolución espacial resultante pueden ser muy

extrañas.

4.4.3.- Consideraciones sobre el muestreo

Se demuestra que para el caso de rayos paralelos proyectando la imagen

3D, si Δs es la separación entre 2 rayos consecutivos, para cumplir el criterio de

Nyquist y evitar así el aliasing, la máxima distancia entre los muestreadores de

la proyección debe ser de Δs/2, esto es, se requieren 2 cristales de centelleo

detectores (o puntos en los que se muestrea la señal) por cada rayo proyector

[29].

El número de proyecciones necesarias no es tan inmediato de obtener.

Como norma general, se suele aplicar una regla que dice que debe ser de al

menos π/2 veces el número de muestreadores de la proyección.

Por ejemplo, si el campo de visión es de 50 cm y la distancia entre rayos

es de 1 cm, se necesitarían al menos 100 muestreadores y 150 proyecciones.

4.4.4.- Efectos del ancho de banda finito

Durante la presentación teórica y demostración de los métodos de

reconstrucción analíticos, se suponía el caso ideal y no se consideraba un ancho

de banda limitado. En la práctica, sí hay que tenerlo en cuanta, ya que se

producirán unos efectos visibles en la imagen final reconstruida, y es imposible

trabajar en un sistema real (ordenador) donde se disponga del ancho de banda

infinito con el que evitaríamos estos problemas.



En este apartado se realiza un análisis sobre los efectos que produce el

hecho de tener un ancho de banda limitado. En primer lugar, se estudia en la

reconstrucción de una imagen “punto”. Posteriormente se extiende la situación

al caso general de una imagen sin restricciones, y se finalizará aplicando los

resultados obtenidos a las dos operaciones básicas que se están realizando en

el método FBP implementado en la consola MMWKS: el filtrado y la

retroproyección.

4.4.4.1. Reconstrucción de un punto

Para estudiar lo que ocurre al reconstruir una imagen compuesta

únicamente por un punto, consideremos ( , ) ( ) ( )f x y f δ= =x x . Está claro que:

2 2( ) ( ) 1f d dδ= =∫ ∫x x x x (42)

y según la ecuación (5) podemos obtener las proyecciones:

( ) ' ( ') 1P dyθ ω δ∞

−∞

= =∫ x para todo θ (43)

Ahora, obtenemos la reconstrucción de ( )f x :



[ ]2

20 0

1ˆ ( ) exp4

f d j dπ

θ ω ω ωπ

∞

= ⋅∫ ∫x x n (44)

Considerando el caso integrable en el que el ancho de banda de nuestra

reconstrucción es finito y limitado a ωs, se obtiene:

[ ]2

20 0

1ˆ ( ) exp4

s

f d j dω π

ωω ω θπ

= ⋅∫ ∫x x n (45)

Cualquier punto en el plano puede ser representado en coordenadas

polares mediante las fórmulas:

cosx r θ=

siny r θ=

Por lo que nuestra imagen reconstruida en el sistema polar viene dada por:

{ }2

20 0

1ˆ ( , ) exp cos cos sin sin4

s

f d j dω π

ρ θ ωω ωρ φ θ φ θ θπ

= + =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

[ ]2

20 0

1 exp cos( )4

s

d i dω π

ωω ωρ θ φ θπ

= −∫ ∫

(46)



O lo que es lo mismo, llamando ψ θ φ= − :

[ ]2

20

1ˆ ( , ) exp cos( )4

s

f d d jω π θ

θ

ρ θ ωω ψ ωρ ψπ

−

−

= =∫ ∫

2

20 0

1 exp cos( )4

s

d d jω π

ωω ψ ω ψπ

= ⎡ ⎤ =⎣ ⎦∫ ∫ x

20 0

1 exp cos( )2

s

d d jω π

ωω ψ ω ψπ

= ⎡ ⎤ =⎣ ⎦∫ ∫ x

(47)

La solución de la integral en ψ es la función de Bessel de primera

especie y orden 0:

[ ]00

1( ) exp cosJ z jz dπ

θ θπ

= ∫ (48)

Y nos queda:

0 020 0

1 1ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )2 2

sstf J d f J t tdt

ωωωω ω ω

π π== ⎯⎯⎯→ =∫ ∫

xxx x x

x (49)



Esta última integral se resuelve también con la función de Bessel de

primera especie y orden υ. Tomando υ =1 y sω x , tenemos:

1ˆ ( ) ( )

2s

sf Jω ωπ

=x xx

(50)

Gráficamente, es un fenómeno parecido al “fenómeno de Gibbs”, y

depende de sω , como se muestra en la figura 37:

Figura 37. Efectos del ancho de banda finito en la reconstrucción de una imagen

“punto” en el origen de coordenadas (ver ecuación 27). Si la distancia se mide en mm,

sω tiene unidades de radianes * mm-1.



4.4.4.2. Caso general

En el caso general, ( )f x será la distribución (cualquiera) de la propiedad

de nuestra imagen, radiación, de una u otra naturaleza en función del tipo de

imagen. Por ejemplo, para el TC, ( ) ( )f μ=x x , donde ( )μ x es la función de

distribución bidimensional de los coeficientes de absorción lineal. Así, cualquier

imagen viene descrita por:

2( ) ( ') ( ') 'f f dδ∞

−∞

= −∫x x x x x (51)

Según las ecuaciones estudiadas para el caso continuo, la imagen

reconstruida tendrá la forma:

[ ]2 2ˆ ( ) [ ( )] ( ') ( ') ' ( ') ( ') 'f h f h f d f h dδ δ∞ ∞

−∞ −∞

⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫x x x x x x x x x x (52)

Y del caso de la imagen puntual obtuvimos que:

[ ] 1( ') ( ' )2 '

ssh Jωδ ω

π− = −

−x x x x

x x (53)

Por lo tanto, la imagen reconstruida es directamente:



1 2( ') ( ' )ˆ ( ) '2 '

ss f Jf d

ωωπ

−=

−∫x x x

x xx x

(54)

4.4.5.- La etapa de filtrado

Como ya se ha mencionado antes, el hecho de que nuestro sistema

tenga un ancho de banda limitado implica que habrá una cierta frecuencia ωs a

partir del cual no se puede trabajar. Si tenemos en cuenta este hecho en la

transformada inversa de Fourier:

[ ] ( )12 2

0

1 1 1( ') exp ' cos '2 4 2

s s

s

h x F d j x d xω ω

ω

ω ω ω ω ω ω ωπ π π

−

−

= ⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ∫ ∫ (55)

donde 'x = ⋅x n (figura 17) y '( ')h x es la respuesta impulsional del filtro.

Integrando la ecuación (55) llegamos a:

( ) ( )2 2

cos ' 'sin ' 1( ')

2 's s sx x x

h xx

ω ω ωπ

+ −= (56)



Ahora, suponemos que tomamos una muestra cada τ cm de cada

proyección paralela9. Para que no se produzca aliasing que traería consigo la

aparición de artefactos, el ancho de banda de nuestro sistema, ,será 2π/(2τ) =

π/ τ 4. Por tanto tenemos que ' nx τ= , con n=0,1,2,3...(N-1), y así, de la

ecuación (55):

[ ] ( ) ( )2 2 2

cos sin 12

n n nh n

nπ π π

π τ+ −

= (57)

donde [ ] 20

10 lim [ ]4n

h h nτ→

= = .

Por consiguiente, la expresión del filtro en el dominio del tiempo será:

[ ]2

2 2 2

1 , n 040, n

1 , n

para

h n para par

para imparn

πτ

π τ

⎧ =⎪⎪

= ⎨⎪ −⎪⎩

0, 1, 2, 3,...n = ± ± ± (58)

9 Para cumplir el teorema de Nyquist a la hora de muestrear y evitar así el aliasing, si W representa una

frecuencia mayor que la máxima componente frecuencial de cada proyección, las proyecciones se deben muestrear con

un periodo de muestro no mayor que T=1/2W. Este parámetro T es el que aparece en este documento como τ.



En los puntos de muestreo nτ, los valores que toma la proyección

filtrada pueden obtenerse mediante la expresión (15), es decir:

[ ]0 ( ) [( ) ]m

Q n P m h n mθτ τ τ τ∞

=−∞

= −∑ (59)

En la práctica, cada proyección tendrá un número finito de muestras, por

lo que los extremos del sumatorio se pueden rescribir como:

[ ]1

00

( ) [( ) ]N

mQ n P m h n mθτ τ τ τ

−

=

= −∑ (60)

Esta última ecuación (60) implica que para determinar Qθ en los N

puntos de muestreo, la longitud de la secuencia respuesta impulsional h[n]

debe ser 2N-1, por ejemplo, n variando entre –(N-1) hasta (N-1).

La convolución discreta de la ecuación (60) se podría implementar

directamente, pero resulta más eficiente si se realiza en el dominio de la

frecuencia, mediante la FFT. Se debe tener presente que mediante algoritmos

rápidos de cálculos de DFT, como es la FFT, en la ecuación (59) estamos

haciendo una convolución no periódica o lineal, mientras que en la

ecuación (60) realizamos una convolución circular. De esta manera, si la

secuencia Qθ tiene una longitud de P puntos y la respuesta impulsional [ ]h n

tiene una longitud de H muestras, la longitud máxima de la secuencia Qθ será

(P + H – 1) puntos. Por tanto, Qθ y H tienen que ser aumentadas de tamaño

añadiendo ceros hasta alcanzar la longitud (P + H – 1) para evitar la aparición



de interferencias inherentes a la convolución periódica en forma de artefactos

en la ecuación (60).

Como corolario, podemos concluir que si Pθ tiene N muestras, hay

extender mediante ceros las secuencias Pθ y H hasta alcanzar los (2N –1)

puntos. Más aún, si estamos usando algoritmos FFT con base 2 tenemos que

asegurarnos de que cada secuencia sea extendida hasta NF elementos, donde

NF es el menor entero que es potencia de 2 y mayor que (2N –1).

Con esto, la implementación de la ecuación (60) se puede expresar

como:

{ }0ˆˆ( ) ( ) ( )Q n IFFT FFT P n FFT h nθτ τ τ τ⎡ ⎤⎡ ⎤= × ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (61)

Por último, debido a que el filtro [ ]h n es un filtro rampa, y no interesa

que amplifique las altas frecuencias por el ruido, se multiplica por alguna

ventana, como se comentó anteriormente. Esta operación se realiza en el

proceso de filtrado, y, por ejemplo, sería multiplicar cada FFT por una ventana

Hanning:

[ ] 0.5 0.5cos[2 /(2 1)], 0 2 10, . . .h

n N para n Nn

e o cπ

ω− − ≤ ≤ −⎧

= ⎨⎩

(62a)

Otras ventanas clásicas son las del coseno, Shepp-Logan y Ram-Lak, que

han sido implementadas según las siguientes ecuaciones [35]:



[ ] cos[ /(2 1)], 0 2 10, . . .c

n N para n Nn

e o cπ

ω− ≤ ≤ −⎧

= ⎨⎩

[ ]sin[ /(2 1)] , 0 2 1

/(2 1)0, . . .

S L

n N para n Nn Nn

e o c

ππω −

−⎧ ≤ ≤ −⎪ −= ⎨⎪⎩

[ ] 1, 0 2 10, . . .R L

para n Nn

e o cω −

≤ ≤ −⎧= ⎨

⎩

(62b)

(62c)

(62d)

Con esto, la ecuación (15) queda finalmente:

{ }0ˆˆ( ) ( ) ( ) hQ n IFFT FFT P n FFT h nθτ τ τ τ ω⎡ ⎤⎡ ⎤= × × ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (63)

Así pues, el filtro rampa teórico no será demasiado útil en la práctica,

siendo necesaria una implementación que utilice ventanas (figura 38):

Figura 38. Filtros habitualmente utilizados en FBP.



4.4.6.- La etapa de retroproyección

La operación de retroproyección es un paso crítico en todos los métodos

de reconstrucción basados en el teorema de cortes de Fourier, por los

siguientes puntos:

• Debido a la propia forma discreta de nuestras muestras, los

puntos en las proyecciones, t, no coinciden con valores (x,y) tales

que t = xcosθ + ysenθ, por lo que es necesario elegir un esquema

adecuado de interpolación.

• Dado un número de muestras en la proyección Nρ , para decidir el

número de proyecciones necesarias para conseguir la misma

frecuencia de muestreo angular que radial, seguimos la siguiente

relación:

/ 2/ 2

R R N NN N θ ρ

θ ρ

π π⋅= ⇒ = ⋅ (64)

siendo necesario disponer de un número de proyecciones mínimo

dado por / 2N Nθ ρπ= ⋅ .

En la práctica, esta naturaleza discreta hace que la integral que define la

operación de retroproyección tenga que ser aproximada por una suma de

Riemann:



0

( , ) ( ) ( cos sin )b x y w p x y dπ

θθ θ θ θ= +∫ (65)

Teniendo en cuanta que los rayos de las proyecciones son

equiespaciados (fijados por los detectores) se pueden expresar de la forma

1i

inθ

θ π⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1,...,i nθ= (66)

Entonces nos queda:

1

( , ) ( cos sin )i

n

i ii

b x y p x yn

θ

θθ

π θ θ=

≈ +∑ (67)

Hay 3 aproximaciones posibles [28], que pasaremos a detallar a

continuación junto con un análisis del efecto de la interpolación:

• Retroproyección basada en rotación • Retroproyección por trazado de rayos (RAY-DRIVEN

BACKPROJECTION)

• Retroproyección por píxel (PIXEL-DRIVEN BACKPROJECTION)



En la práctica no sólo el ángulo de proyección θ es discreto, sino que

además sólo disponemos de muestras radiales discretas. Ignorando ruido y

emborronamiento, lo que realmente tenemos por sinograma es:

[ ]0, ( )

( )i R

i n ny n pθ θ θ ρ

ρ= = − Δ

= , 1,...,i nθ= , 0,..., 1n nρ= − (68)

donde habitualmente n0=nρ/2 o no=(nρ-1)/2. Para este tipo de sinogramas (que

son los reales), la imagen final reconstruida dependerá del método utilizado, ya

que, aunque en teoría todos conducirían al mismo reultado, se diferencian en

cómo se discretizan las ecuaciones.

Además, está claro que por la propia forma discreta de las muestras, las

proyecciones de un punto mediante un rayo no tienen porqué caer en puntos

que tengamos muestreados, por lo que será necesaria la interpolación, que, por

otro lado, bastará con que sea bilineal en muchos casos.

4.4.6.1. Retroproyección basada en rotación

Se puede rescribir la ecuación (67) como:

1( , ) ( , )

n

ii

b x y b x yθ

=

= ∑ (69)

donde la retroproyección de la i-ésima “vista” viene dada por:



*( , ) ( cos sin )i i ii i ib x y p x y P p

θ θθ θ θ= + = (70)

Para el caso de sinogramas muestreados radialmente (sistema de

coordenadas en polares), la implementación de la retroproyección para i=1

( 0θ = ) es trivial: simplemente se trata de coger la primera fila del sinograma y

se construye una matriz. Para otros ángulos (otros valores de θ ), se siguen los

siguientes pasos:

1. Reproducir la i-ésima fila del sinograma para construir una imagen, como si se tratara del caso ( 0θ = ).

2. Rotar la imagen en el sentido contrario a las agujas del reloj según θ .

Este paso requiere interpolar, se puede usar la interpolación bilineal u otra más precisa.

3. Se suma para todo ángulo según la ecuación (69).

De esta forma, se tendría un “bucle exterior” (el más grande), en que se

va variando el ángulo iθ . Este método es fácil de implementar, pero es muy

lento debido al coste computacional de la operación de rotación.

4.4.6.2. Retroproyección por trazado de rayo (RAY-DRIVEN

BACKPROJECTION)

En este método se giran todos los rayos y para cada uno de ellos se

interpola [ ]iy n sobre los píxeles cuyos centros están cercanos al punto final del

rayo L(nΔR, ϕi). Cuando los puntos de muestreo en el espacio polar coinciden

con los puntos de muestreo en la imagen, este método y el anterior conducen

exactamente a la misma imagen discreta.



4.4.6.3. Retroproyección por píxel (PIXEL-DRIVEN

BACKPROJECTION)

Para obtener la imagen reconstruida, necesitamos calcular b(x,y) sólo en

una rejilla o grid finito de píxeles {f(xj,yj) : j = 1,...,np}. En este método, se

evalúa la ecuación (67) para cada punto de la rejilla, rellenando de esta forma

la matriz imagen. Para su implementación, el bucle exterior hace variar el índice

del píxel (j), y un bucle interior va variando los ángulos iθ .

En cualquier caso, el argumento radial de la ecuación (67),

cos sinj jx yθ θ+ , difícilmente coincide con alguno de los puntos de muestreo

radial (n-no)ΔR . Por lo tanto, este método requiere una interpolación radial.

Normalmente, se usa una interpolación lineal, que se describe

matemáticamente de la siguiente manera:

[ ] 0( )( )i

Ri

n R

n np y nθρρ

⎛ ⎞− − Δ≈ Λ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

∑ (71)

donde la función triángulo unitario se define como:

1 , 1( )

0, . . .t t

te o c

⎧ − ≤⎪Λ = ⎨⎪⎩

(72)

A pesar de que esta fórmula es apropiada para análisis teóricos, su

implementación en la práctica no conduce a una interpolación lineal en



condiciones. Considerando que la función triángulo tiene 2 instantes de

muestreo, para cualquier ρ dado, sólo habrá dos términos de la ecuación (71)

no nulos. Una expresión alternativa es:

[ ] [ ]0 0( ( ) ) ( ( ) 1 )( ) ( ) ( ) 1i

R Ri i

R R

n n n np y n y nθρ ρ ρ ρρ ρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − Δ − + − Δ≈ Λ + + Λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( )( ) 1 ( ) 1c c

i iR R

n ny n y n

ρ ρ ρ ρ ρ ρρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(73)

donde se definen:

0

0

[ ] ( )[ ] /

R

R

r n n nn r r n

− Δ

Δ +⎢ ⎥⎣ ⎦ (74)

También se suelen usar otras interpolaciones, como la FFT

sobremuestreada o funciones spline.

4.4.6.4. Efectos de la interpolación

Si el número total de proyecciones, Mproj, es lo suficientemente grande, y

las proyecciones están distribuidas uniformemente de 0 a 180º, la ecuación

(15) puede aproximarse por [28]:



1 1

ˆ ( ) ( ) ( cos sin )proy proy

i i

M M

i i ii iproy proy

f Q Q x yM Mθ θ

π π θ θ= =

= ⋅ = +∑ ∑x x n (75)

Esta ecuación pone de manifiesto que cada proyección filtrada hace la

misma contribución a cada punto de la imagen, (x,y), mediante proyecciones

paralelas. En cualquier caso, al retroproyectar Qθι a un punto (x,y), se necesita

evaluarlo en x’=x cosθ + y sinθ , y puede ocurrir que en este punto no se

conozca el valor de Qθι, ya que hay por medio un proceso discreto de muestreo.

En esos casos, es posible averiguar el valor de Qθι que corresponde al punto

(x,y) de la imagen mediante interpolación. En la mayoría de las ocasiones, es

suficiente con una interpolación lineal.

Generalizando la ecuación (71), supongamos que usamos una

interpolación de la forma:

[ ] 0( )ˆ ( )i

Ri

n R

n np y n hθρρ

⎛ ⎞− − Δ≈ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

∑ (76)

para algún kernel de interpolación h(.). Supongamos además que ( )pθ ρ está

limitada en banda, con una frecuencia máxima menor que 1/2ΔR. Con esto, y

con el teorema de muestreo (ignorando el ruido), se tiene que:



1( ) ( ),ˆ 2( )0, . . .

i

i R

P u H u uP u

e o c

θθ

⎧⎪ Δ= ⎨⎪⎩

≺ (77)

Por ejemplo, cuando h es una interpolación lineal como (71), se tiene

que H(u)=ΔR sinc2(ΔR u), que es estrictamente positivo para |u|<1/2ΔR.

Por lo tanto, mientras estemos aplicando el filtro rampa |w| en la versión

discreta de:

ˆ ( ) ( ) exp( 2 )p P u u j u duθ θρ π ρ∞

−∞

= ∫ (78)

también podemos aplicar el filtro inverso 1/H(u) para compensar los efectos de

la interpolación.

La etapa de retroproyección es, sin duda, el paso más costoso en tiempo

de ejecución del proceso de reconstrucción. Por esta razón, hay mucho trabajo

en la línea de conseguir esquemas de retroproyección rápidos como Fast

Hierarchical Backprojection (FHBP) [32].



4.4.7.- El problema de la recuperación de la

componente continua

En un entorno discreto, la operación de filtrado se puede derivar a partir

del muestreo del filtro continuo ya sea en el dominio espacial o en el de la

frecuencia [25]. La reconstrucción resultante de estos dos métodos es

virtualmente idéntica. Si embargo, el método basado en el muestreo del filtro

en el espacio de Fourier da lugar a una deriva de la componente continua de la

imagen, más algunos artefactos de shading de baja frecuencia en las

reconstrucciones resultantes [31]. En la siguiente figura se muestra un perfil a

lo largo de un diámetro de un disco de radio 64 (en blanco) y el perfil

equivalente en la imagen reconstruida (en rojo).

Figura 39. Efectos del filtrado en el dominio de la frecuencia.

En el dominio de Fourier el filtrado se realiza por medio de una

multiplicación del conjunto de proyecciones con la función que define el filtro en

la frecuencia dada por la expresión (75). La ventaja principal de esta



implementación es la reducción del tiempo de cálculo (se trata de una simple

multiplicación de dos matrices). El inconveniente es que se introducen los

artefactos mencionados anteriormente debidos al muestreo del filtro en

frecuencia: pérdida de componente continua (debido a que la primera muestra

del filtro rampa discreto es 0) y aliasing en el espacio. Para compensar estos

artefactos será necesario seguir alguna de las 3 estrategias que se proponen a

continuación.

4.4.7.1. A partir del sinograma

Esta estrategia se basa en el hecho de que el número de cuentas

recogidas en cualquier proyección debe coincidir con el total de cuentas de la

imagen (propiedad de conservación del volumen de la transformada de Radon

[28]):

( , ) ( ) ,f x y dxdy p t dtθ θ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= ∀∫ ∫ ∫ (79)

Para sinogramas con ruido (caso real), se puede calcular la integral para

todas las proyecciones y tomar la media para estimar la componente continua

(mejorando la relación señal a ruido):

0

1'(0,0) ( )F p t dt dπ

θ θπ

∞

−∞

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫ (80)



Con este método se trata de compensar la deriva global, por lo que

habrá que repartir la diferencia de cuentas en las proyecciones con las de la

imagen reconstruida entre todos los píxeles de la imagen. De forma

esquemática sería:

Offset = (cuentas imagen – (cuentas sino)/num. ángulos)/píxeles en imagen .

Este offset se sumará a todos los píxeles de la imagen.

4.4.7.2. A partir del valor de píxeles del fondo de la imagen

Teniendo en cuenta que en la parte del campo de visión que no está

ocupada por el objeto los píxeles de la imagen reconstruida deben ser cero

(valor del fondo), se puede calcular la deriva global buscando una zona de

fondo y calculando la media de esos píxeles. Este valor habrá que restarlo a

todos los píxeles de la imagen.

El problema de este método es que hace necesario un algoritmo para

buscar la zona de fondo, lo que es inviable en imágenes donde todo el FOV

está ocupado por objeto a reconstruir.

4.4.7.3. A partir del análisis del filtro

Un método formal de recuperar la continua y que permite a su vez

eliminar los efectos comentados de shading es hacer un análisis teórico de las

propiedades del filtro, como propone Crawford [31]. Si consideramos la versión

muestreada de las proyecciones filtradas:



/ 2 12 /

/ 2

1( , ) ( , ) ( )M

j ik Ms S

k M

Q i S k R k eM

πθ θ−

=−

= ∑

12 /

0( , ) ( , )

Nj ik M

S si

S k P i e πθ θ−

=

= ∑

(81)

(82)

siendo M la longitud de la DFT inversa, M par y R(k):

2 / 2( ) ,SR k kM

ω π= ,..., 1

2 2M Mk = − − (83)

La función correspondiente a R(k) en el dominio del espacio se puede

obtener haciendo la DFT inversa de (83):

( ) ( ) ( )s sr i h i a i= + (84)

donde:

2

0

sin ( )2( )( )

2

skk

b i kMa i

i kM

π

π

∞

=−∞≠

⎛ ⎞−⎜ ⎟= − ⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ (85)



La función ( )r i está definida para todos los valores de i y es periódica

con periodo M, y se tiene que sólo los valores de ( )r i en el rango

[ ( 1), 1]N N− − − son necesarios para hacer el filtrado.

La proyección filtrada a partir del filtro construido en la frecuencia se

puede obtener convolucionando ( , )sP iθ con ( )r i :

( , ) [ ( ) ( , ) ( ) ( , )]s s s sQ i h i P i a i P iθ θ θ= ∗ + ∗ (86)

El primer término es la proyección filtrada obtenida a partir del filtrado

en el espacio, mientras que el segundo es el causante de la deriva de

componente continua y del shading.

En ( )sa i , el término de continua se puede aproximar por [31]:

2

1 1NDCM Tπ

≈ − (87)

Teniendo esto en cuenta, se puede corregir el filtro rampa restando al

primer término (término R(0)) en (83) el valor anterior. De esta forma se

compensa el efecto de la deriva en continua aunque sigue existiendo shading.

Para eliminar también este efecto se pueden corregir los siguientes coeficientes

del filtro R(k) sustituyéndolos por los coeficientes teóricos de la DFT de sh :



( / 2) 12 /

( / 2)( ) ( ) ,

Mj ik M

s si M

H k h i e π−

−

= −

= ∑ ,..., 12 2M Mk −

= − (88)

Si tenemos en cuenta que:

2

2

2 2

, 0( ) 0,

4 ,

S par

impar

B lh l l

B ll π

⎧⎪ =⎪⎪= ⎨⎪⎪−⎪⎩

(89)

y simplificamos, resulta:

22

2

8( ) (1 ( )) ( )s M MBH k B S k S kMπ

≈ − + (90)

con B representando el ancho de banda del sistema y

( / 4) 1

20

( / 4) 12

0

cos 2 (2 1) / )(2 1)( )(2 1)

M

iM M

i

k i MiS ki

π−

=−

−

=

++=+

∑

∑ (91)



El efecto de estos dos artefactos, deriva de componente continua y

shading, se puede reducir también rellenando con ceros las proyecciones antes

de hacer la FFT. La reducción de los artefactos se confirma teóricamente con el

término M en el denominador de la fórmula del término de continua. Cuantas

más muestras tengamos del filtro (menor intervalo de muestreo en la

frecuencia), menor será el porcentaje de frecuencias que serán asignadas a

cero. Para ello es necesario rellenar la imagen con ceros de forma que se

aumente la frecuencia de muestreo en el espacio de Fourier y con ello el

número de coeficientes que definen un periodo para igualar a la definida para

el filtro.

El problema es que este relleno con ceros aumenta el tiempo requerido

para efectuar el filtrado. En la figura 40 se muestra el resultado de aplicar

relleno con ceros (zero-padding) antes de filtrar para factores de relleno de dos

y tres veces la imagen:

Figura 40. Resultado de aplicar relleno con ceros antes de filtrar.



4.4.8.- Correcciones del sinograma

Los sinogramas reales obtenidos en un sistema PET presentan algunos

efectos que los separan de lo que se esperaría obtener desde un punto de vista

puramente teórico. Este hecho se puede comprobar fácilmente con una imagen

de llenado de campo: para un FOV relleno de actividad homogénea, el

sinograma teórico debería ser una imagen en la que cada píxel tomara el

mismo valor. En cambio, se aprecia fácilmente que el sinograma obtenido

presenta un perfil tal como el que se muestra en la figura 41.

Figura 41. Necesidad de corrección del sinograma.

Sin embargo, esta falta de uniformidad no supone un problema, ya que

los factores que causan este efecto están perfectamente identificados, y se

pueden aplicar correcciones al sinograma obtenido para compensarlos.

4.4.8.1. Corrección por exposición angular

Se trata de compensar el hecho de que hay posiciones concretas en las

que los bloques detectores de rPET permanecen más tiempo, captando por

tanto más actividad y, en definitiva, descompensando el sinograma. Esto se

debe a que el sistema de adquisición es rotatorio, pero por motivos

tecnológicos (principalmente cableado) la rotación no es constante en un

mismo sentido, sino que el anillo en el que se encuentran situados los bloques

detectores gira hasta una posición concreta, y seguidamente invierte su sentido



de rotación. Esto se hace sucesivamente hasta completar la duración del

estudio. Por tanto, en las posiciones en las que se invierte el sentido de

rotación hay un tiempo muerto mientras se realiza el cambio que hace que se

detecten más cuentas en dichas posiciones.

Conocidos los datos necesarios (ángulos en los que se invierte el sentido

de giro, velocidad de rotación, etc.), el algoritmo que soluciona este problema

es inmediato, y se encuentra implementado en la función list2sin o

rPET_sinowin, según la versión de la consola MMWKS, encargada de realizar el

paso de modo lista a sinograma, externas a IDL por motivos de velocidad.

4.4.8.2. Corrección de decay y tiempo muerto

Otros efectos no deseados que se producen son los denominados decay

y el tiempo muerto [33].

En el primer caso, hay que considerar a la hora de construir el sinograma

el instante de tiempo en el cual se recibe una cuenta, o más exactamente, el

incremento de tiempo entre las cuentas recibidas. Como se ha descrito en el

capítulo segundo de la presente memoria, la actividad del radiofármaco

detectado decae con el tiempo según su vida media, por lo que se obtienen

menos cuentas a medida que pasa el tiempo del estudio. Este hecho es más

relevante de lo que pueda aparentar en principio, ya que los estudios

(adquisiciones) estándar pueden durar incluso horas. Si bien es cierto que en

un estudio estático obtenido en poco tiempo este efecto puede no apreciarse, la

corrección se vuelve especialmente crítica en estudios dinámicos, donde cada

frame presentará menos cuentas según pasa el tiempo, y en estudios de cuerpo

completo hechos por trozos en diferentes posiciones de cama, en los que, si no

se corrigiera, notaríamos una diferencia entre los niveles de gris de cada cama

y una falta de homogeneidad muy evidente en la unión de las mismas.



Conocidos los instantes de tiempo en los que se detecta cada cuenta y la

vida media del radiofármaco, el algoritmo que corrige los efectos es inmediato,

y se encuentra implementado en la función reseñada anteriormente.

El problema del tiempo muerto deriva del hecho de que los circuitos de

coincidencia no pueden procesar más de un evento hasta un tiempo después

del precedente. Es decir, tras detectar una cuenta, el sistema queda

“insensibilizado” durante un periodo de tiempo denominado “tiempo muerto”.

Se puede corregir aplicando una fórmula muy simple:

01mnmT

=−

(92)

Donde n es el número de eventos reales, 0T el tiempo muerto del

sistema y m el número de eventos procesados.

4.4.8.3. Corrección de la sensibilidad transaxial

Es también necesario “ponderar” las proyecciones en el sinograma para

compensar el efecto de la geometría del sistema de adquisición, por la que

cada punto del objeto contribuye de forma diferente en función del ángulo

sólido visto por los detectores, que depende de su distancia al centro de

rotación, como se muestra en la figura 42. Es evidente que, a medida que nos

alejamos de dicho centro, la detección “en coincidencia” hace que la radiación

procedente de esa zona no pueda ser captada de igual manera que la

procedente de la zona central (más favorecida).



Figura 42. Efecto de la sensibilidad transaxial.

Este efecto se puede corregir fácilmente de forma teórica, sin más que

multiplicar cada sinograma correspondiente a una sección 2D por el inverso de

una rampa que simula el efecto explicado (figura 43). El sinograma obtenido

aparecerá “escalado” por una rampa que toma su valor mínimo en los extremos

de ρ y alcanzará su máximo justamente en ρ/2, y lo que se hace para corregirlo

es “desescalarlo” para compensar dicha sensibilidad, según la figura 43, donde

el eje horizontal representa los valores de ρ. Así se corrige el sobremuestreo del

sinograma que lo hace más brillante en el centro, y posteriormente se impone

que el número de cuentas permanezca constante tras la operación.

Figura 43. (a) Rampa teórica de escalado del sinograma. (b) Corrección aplicada:

inversa de la rampa de la figura (a).



En este punto surgen dos nuevos problemas. El primero de ellos es

que, en determinadas ocasiones, y debido a pequeños desalineamientos casi

inapreciables y prácticamente incorregibles, la rampa que viene implícita en el

sinograma no es la esperada teóricamente, y mediante la corrección teórica

podemos subcorregir o sobrecorregir el sinograma con respecto a los valores

adecuados. La solución pasa por emplear un método de corrección basado en

datos experimentales y no teóricos, como veremos a continuación.

El segundo problema que aparece al aplicar la corrección consiste en que

hay puntos del sinograma que se multiplican por un valor y otros que lo hacen

por un valor hasta 27 veces superior (ρ toma valores entre 0 y 55 en el caso de

rPET). Teóricamente, en una situación ideal con datos libres de ruido, es lo

correcto, pero en la práctica no interesa amplificar tanto un punto con respecto

a otro, ya se degrada seriamente la relación señal a ruido de los datos. Para

subsanar este problema, se considera un valor umbral a partir del cual no se

realiza la multiplicación que compensa la sensibilidad transaxial. Así, se impone

una amplificación relativa máxima más restrictiva que la que se tiene en la

inversa de la rampa teórica.

Experimentalmente, se ha fijado el valor umbral a 9, de forma que se

trunca la inversa de la rampa en aquellos valores tal que sean 9 veces

superiores al valor mínimo de la misma, como se muestra en la figura 44.



Figura 44. (a) Inversa de la rampa teórica de corrección. (b) Corrección aplicada:

Inversa de la rampa teórica con truncamiento según umbral empírico de 9.

Como se puede apreciar, con el umbral fijado a 9, estamos desechando 6

posiciones de ρ, las 3 primeras y las 3 últimas, que coinciden con los puntos

que presentan peor estadística y por tanto más ruido en relación al resto. En

este caso, debe mantenerse el total de cuentas del sinograma, excepto las que

pertenecen a las distancias eliminadas.

4.4.8.4. Sensibilidad de cristales: el annulus

Hay un hecho que no se ha tenido en cuenta todavía, y es que no todos

los cristales de centelleo presentan la misma sensibilidad, y es imposible que lo

hagan por muy controlado que sea su proceso de fabricación. Este hecho

afectará directamente a la cantidad de cuentas registradas en el sistema de

detección de rPET, y para corregirlo habrá que ponderar de nuevo los

sinogramas en función de la sensibilidad de los cristales, de tal forma que las

LORs que impliquen cristales menos sensibles sean compensadas (amplificadas)

con respecto a las que impliquen cristales más sensibles.



Para determinar qué cristales son más o menos sensibles, sólo podemos

hacerlo de forma experimental, y además sólo se medirán sensibilidades

relativas de un cristal con respecto a otro. El proceso pasa por la obtención de

una imagen de llenado de campo o fuente uniforme, compensar de forma

teórica los efectos no deseados vistos anteriormente mediante la aplicación de

algoritmos de corrección, compararla con la que debería haber sido obtenida, y

finalmente deducir la sensibilidad de los cristales de centelleo, ya que es el

único efecto que restaría por compensar.

Llegados a este punto se nos plantea una solución conjunta a todos los

efectos no deseados: la corrección totalmente empírica, que consiste en seguir

los pasos siguientes:

1. Obtener el sinograma de una imagen de llenado de campo o fuente

uniforme.

2. Igualarlo al sinograma ideal (sinograma plano u homogéneo),

obteniendo así una ratio o sinograma corrector.

3. Multiplicar los sinogramas que se obtengan por dicho sinograma

corrector, que corrige todos los efectos no deseados simultáneamente.

Figura 45. Corrección empírica.



Este método es mucho más potente que realizar las correcciones teóricas

por separado, ya que considera todos los aspectos reales que pueden surgir.

Además de esta gran ventaja, la diferencia principal con respecto a los

anteriores estriba en que es necesario disponer de una fuente uniforme a partir

de la cual obtener un sinograma de corrección. En rPET, dicha fuente se

denomina annulus, y supone la materialización de una ingeniosa idea que

resuelve el problema de encontrar una mezcla homogénea de actividad que

llene el FOV. En lugar de buscar un “molde” o similar que llenar de una solución

totalmente homogénea que incluya un compuesto emisor de positrones

(algo realmente complicado), lo que se hace es situar una superficie cilíndrica

fuera del FOV, relleno de una solución que incluya dicho compuesto

(habitualmente FDG), de tal forma que la radiación que emite inunda el FOV de

la misma manera que lo haría una fuente homogénea que lo rellenara por

completo.

Por tanto, a partir de las imágenes obtenidas empleando este annulus,

se obtienen las “plantillas” necesarias para aplicar todas las correcciones a las

imágenes que se tomen con posterioridad. Será necesario, por tanto, realizar

estudios del annulus con frecuencia para optimizar la corrección de sinogramas.

Documents

Proyecto Fin de Carrera José Ignacio Berdún Seijobibing.us.es/proyectos/abreproy/11194/fichero/Capítulos+%2F4... · computacional que una implementación en la frecuencia usando