Proyecto Fin de M aster en T ecnicas Estad sticas - USCeio.usc.es/pub/mte/descargas/ProyectosFinMaster/Proyecto_409.pdf · Os Ancares, Terra de Lemos, Chantada, Quiroga y Sarria

Proyecto Fin de Master enTecnicas Estadısticas

Estimacion en areas pequenas:el ingreso medio mensual por comarca

en los hogares gallegos

Autor: Roberto Domınguez Gomez

Directores: Marıa Jose Lombardıa CortinaWenceslao Gonzalez Manteiga

Fecha: Junio 2009

Estimacion en areas pequenas: el ingreso mediomensual por comarca en los hogares gallegos

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Indice

1 Introduccion 3

2 Analisis descriptivo 52.1 Diseno muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Informacion muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Informacion auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Metodologıa 153.1 Estimadores del ingreso medio mensual . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Estimacion del MSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 MSE de los estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2 Estimacion analıtica del MSE . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.3 Estimacion bootstrap del MSE . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Simulacion 214.1 Generacion de la poblacion finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Caso real 355.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Conclusiones 40

Referencias 41


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1 Introduccion

El Instituto Galego de Estatıstica (IGE), consciente de la creciente demanda deestadısticas de calidad cada vez mas desagregadas, incluyo en el programa anualdel ano 2007 una actividad estadıstica titulada ”Investigacion y desarrollo demetodos de estimacion de areas pequenas” que tiene como objetivo mejorar laspredicciones o estimaciones de variables y parametros de interes en las encuestasrealizadas por el IGE, considerando un nivel de desagregacion mayor de aquelpara el que se diseno la encuesta. Para llevar a cabo esta actividad estadısticael IGE firmo un convenio de colaboracion con el Departamento de Estadıstica eInvestigacion Operativa de la Universidad de Santiago de Compostela. El trabajoque aquı se presenta se realizo en el marco de este convenio y hace referencia ala Encuesta de condiciones de vida de las familias, encuesta llevada a cabo por elIGE desde el ano 1999. El estudio se centrara en la estimacion a nivel de comarcasdel ingreso medio mensual y el ingreso equivalente por hogar.

Debido a la novedad y complejidad metodologica que suponen este tipo de tra-bajos, este documento tiene como objetivo fundamental describir de forma por-menorizada los estimadores y modelos utilizados, tanto para los valores totalescomo para los errores cuadraticos medios.

Teniendo en cuenta que el IGE quiere seguir investigando en la metodologıa uti-lizada en este trabajo es necesario destacar que los datos estadısticos presentadosen este documento tienen el caracter de datos experimentales y por lo tanto no sepueden considerar como estadıstica oficial.

El ingreso medio mensual por hogar es un indicador de la situacion socioeconomicay por lo tanto es de principal interes para la sociedad en general, y en particularpara la administracion local y regional que necesitan la informacion para diferentesprogramas economicos y sociales. La efectividad de estos programas depende delconocimiento de la situacion socioeconomica a traves de informacion estadısticafiable. En consecuencia, hoy en dıa los estudios y las investigaciones a nivel re-gional y local son de gran interes.

El problema surge cuando a partir de una encuesta se quiere ofrecer datos conun nivel de desagregacion inferior a provincia o agrupacion comarcal. En parti-cular, el IGE realiza encuestas para dar estimaciones directas para las provinciaso agrupaciones comarcales pero no es habitual ofrecer datos con un nivel de des-agregacion inferior, debido a que las encuestas no estan disenadas para dar esti-maciones directas para este nivel de desagregacion. Un area es considerada comoarea pequena cuando la muestra en el area no es suficientemente grande para con-seguir estimaciones directas fiables. Ejemplos de areas pequenas pueden ser areasgeograficas (estados, provincias, municipios, comarcas, distritos escolares), grupossocio-demograficos (grupos especıficos por edad-sexo-raza) y otras subpoblacionescomo un conjunto de firmas de empresas.


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Un modo de afrontar el problema en areas pequenas es aumentar el tamano mues-tral. Sin embargo, un aumento de tamano de muestra lleva, entre otras cosas, a unaumento en el coste del estudio, una mayor carga de respuesta a los informantesy mayores errores ajenos al muestreo, lo que, en general, se trata de evitar. Otraalternativa es utilizar tecnicas mas complejas, asistidas y basadas en modelos. Lasestimaciones basadas en el modelo estan siendo de gran interes en los ultimos anospor sus buenos resultados. Una propiedad importante de estos estimadores es subajo error cuadratico medio (MSE) comparado con los estimadores directos. No-tamos que es importante que el modelo este bien especificado y que las variablesauxiliares contengan informacion relevante. La inclusion de efectos aleatorios dearea en el modelo es comun en la estimacion para areas pequenas. Estos efectosrecogen la variacion en las areas que no esta explicada por las variables auxiliares.

En general se dispone de la informacion auxiliar a traves del censo u otras fuentesadministrativas. Si se cuenta con informacion auxiliar relevante para cada unidadde la poblacion, entonces los modelos se pueden definir a nivel de individuo. Sinembargo, existen casos donde la informacion a nivel de individuo no esta actuali-zada u otros donde no se dispone de informacion a nivel de individuo por razonesde privacidad. Normalmente en estos casos es posible conseguir datos agregadospor area, lo que nos llevarıa a un modelo de area.

El objetivo en este trabajo es la estimacion del ingreso medio mensual por hogaren las 53 comarcas de Galicia. En este caso las areas pequenas son las comarcas,pues existen algunas con muy poca informacion muestral, en particular se cuentacon 5 comarcas con un tamano muestral de solo 16 hogares. Para compensar lafalta de informacion muestral se necesita informacion auxiliar de alguna fuenteexterna, en este caso se va a utilizar informacion relacionada con el impuesto so-bre la renta de las personas fısicas (IRPF) a nivel comarcal.

El documento esta organizado de la siguiente forma. En la seccion 2 se describela metodologıa de la Encuesta de condiciones de vida de las familias, se mues-tran resultados de un estudio descriptivo previo y se presentan los estimadoresdel ingreso medio mensual y de su error cuadratico medio. En la seccion 3 sepresenta el estudio de simulacion para evaluar los estimadores propuestos en laseccion anterior y en la seccion 4, se describe la aplicacion de los estimadores alcaso real. Finalmente, se presentan algunas conclusiones del estudio.


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2 Analisis descriptivo

El objetivo del estudio es la estimacion del ingreso medio mensual por hogary el ingreso equivalente mensual por hogar en las 53 comarcas de Galicia,aplicando tecnicas de estimacion en areas pequenas. Hay que tener en cuenta lassiguientes definiciones:

• Hogar: persona o conjunto de personas que ocupan en comun una viviendaprincipal o parte de ella, y que consumen y/o comparten alimentos o bienescon cargo a un mismo presupuesto.

• Ingreso medio mensual del hogar: la media mensual de los ingresosnetos monetarios de todos los miembros del hogar en el ano anterior al dela encuesta.

• Ingreso equivalente mensual del hogar: el ingreso medio mensual delhogar dividido por la raız cuadrada del numero de miembros del hogar.

A continuacion se explica el diseno muestral empleado, seguidamente se definenlos estimadores apropiados para el estudio y finalmente se da una estimacion delerror cuadratico medio (MSE) de estos estimadores dentro de las comarcas.

2.1 Diseno muestral

La muestra disponible proviene de la Encuesta de Condiciones de Vida delas familias (ECV) del ano 2005. La ECV es una operacion estadıstica anual querealiza el IGE desde 1999. Se trata de una encuesta dirigida a los hogares gallegoscon el objetivo de obtener informacion sobre sus caracterısticas socioeconomicas.

Algunos aspectos tecnicos del trabajo:

• Areas geograficas:Las provincias gallegas estan divididas en las siguientes areas geograficas:

Provincia de A Coruna

– A Coruna oriental: representada por las comarcas de Arzua, Betan-zos, Eume, Melide, Ordes y Ortegal.

– A Coruna occidental: representada por las comarcas de A Barcala,A Barbanza, Bergantinos, Terra de Soneira, Muros, Fisterra, O Sar,Noia y Xallas.

– Comarca de Santiago.

– Comarca de A Coruna.

– Comarca de Ferrol.


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Provincia de Lugo

– Lugo sur: representada por las comarcas de A Ulloa, A Fonsagrada,Os Ancares, Terra de Lemos, Chantada, Quiroga y Sarria.

– Comarca de Lugo.

– Lugo norte: representada por las comarcas de Terra Cha, A MarinaCentral, A Marina Oriental, A Marina Occidental y Meira.

Provincia de Ourense

– Ourense occidental: representada por las comarcas de Allariz eMaceda, A Baixa Limia, Terra de Caldelas, O Carballino, Terra deCelanova y O Ribeiro.

– Comarca de Ourense.

– Ourense oriental: representada por las comarcas de Terra de Trives,Valdeorras, Verın, Viana y A Limia.

Provincia de Pontevedra

– Pontevedra occidental: representada por las de comarcas O Morra-zo, O Baixo Mino, Caldas y O Salnes.

– Pontevedra oriental: representada por las comarcas de Tabeiros-Terra de Montes, O Condado, Deza y A Paradanta.

– Comarca de Pontevedra.

– Comarca de Vigo.

• Estratos:Cada area geografica esta dividida en estratos de acuerdo con la siguienteclasificacion:

– Estrato 0: ayuntamientos autorrepresentados.

– Estrato 1: ayuntamientos de mas de 20.000 habitantes.

– Estrato 2: ayuntamientos de 15.000 a 20.000 habitantes.



– Estrato 5: ayuntamientos de menos de 5.000 habitantes.

En algunas areas geograficas es necesario unir estratos para evitar la exis-tencia de estratos con poca representatividad. Los ayuntamientos autorre-presentados son A Coruna, Ferrol, Santiago, Lugo, Ourense, Pontevedra yVigo. Estos ayuntamientos son autorrepresentados pues dada su categorıadentro de la provincia deben tener siempre secciones en la muestra.

• Seccion censal:Subdivision de los terminos municipales empleada, habitualmente, para aque-llos trabajos para los que es necesaria una division inframunicipal.


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• Tipo de muestreo:Dentro de cada area geografica, definidas anteriormente, el muestreo esbietapico con estratificacion previa de las unidades de primera etapa. Lasunidades de primera etapa son las secciones censales y las unidades de se-gunda etapa son los hogares.

– 1a etapa: dentro de cada estrato, definidos anteriormente, las seccionesmuestrales se seleccionan con probabilidad proporcional a su tamano.

– 2a etapa: en cada una de estas secciones muestrales, los hogares seseleccionan mediante muestreo sistematico con arranque aleatorio.

• Tamano de muestra:La muestra resultante consta de 394 secciones censales repartidas por lasprovincias de la siguiente forma:

– A Coruna: 162 secciones

– Lugo: 56 secciones

– Ourense: 52 secciones

– Pontevedra: 124 secciones

En cada seccion muestral se seleccionan 16 hogares, lo que resulta en unamuestra total de 6304 hogares. Dentro de cada hogar seleccionado se entre-vista a todos sus miembros.

Mas detalles sobre la metodologıa empleada en la encuesta y diseno muestral estandisponibles en:

http://www.ige.eu/estatico/pdfs/s3/metodoloxias/met ecv 2006 gl.pdf

2.2 Informacion muestral

En la ECV fueron entrevistadas 18669 personas pertenecientes a 6304 hogares.Despues de explorar las variables en la base de datos, las variables de interes parael estudio son:

• cod comarca: codigo de la comarca.

• nome comarca: nombre de la comarca.

• estrato: codigo del estrato.

• ftotPersoa: ingreso total mensual por persona.

• frep: factor de elevacion calibrado del hogar al que pertenece la persona.

Todas las demas variables incluidas en la base de datos son variables de caracterpersonal, por ejemplo grupo de edad, sexo y nivel de estudios. No es posibleagregar estas variables adecuadamente para los hogares, que es precisamente loque nos interesa.


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Se agregan adecuadamente los datos de la encuesta para los 6304 hogares y depaso se construyen nuevas variables:

• ftotPersoa hogar: ingreso total mensual por hogar.

• pers hogar: numero de personas por hogar.

• ftot equiv hogar: ingreso equivalente mensual por hogar:

ftot equiv hogarj =ftotPersoa hogarj√

pers hogarj, j = 1, . . . , 6304

• w: factor de elevacion teorico del hogar:

wj =Mh

mh1j∈h, j = 1, . . . , 6304, h = 1, . . . , 39

siendo Mh y mh respectivamente el total poblacional y el total muestral depersonas por estrato h.

Nuestro objetivo es dar una estimacion para el ingreso medio mensual por hogarpara la comarca d:

Y 1d =

∑Nd

j=1 ftotPersoa hogarj

Nd, d = 1 . . . 53,

y el ingreso equivalente mensual por hogar para la comarca d:

Y 2d =

∑Nd

j=1 ftot equiv hogarj

Nd, d = 1 . . . 53,

siendo Nd el total poblacional de hogares para la comarca d.

Para dar algun resultado para las comarcas se agregan los datos adecuadamentepor comarca. En la siguiente Tabla 2.1 se muestran los datos resultantes.

codigo nombre comarca ingreso medio ingreso equiv. nd

1501 Arzua 1178.81 681.44 641502 Barbanza 1525.12 856.79 1441503 A Barcala 1595.86 767.23 321504 Bergantinos 1677.87 922.45 1761505 Betanzos 1624.06 960.64 801506 A Coruna 1673.39 993.30 7361507 Eume 1822.74 1020.34 801508 Ferrol 1606.08 990.86 4161509 Fisterra 1235.21 725.82 321510 Muros 1328.37 787.47 161511 Noia 1593.37 872.80 1441512 Ordes 1674.45 869.13 1281513 Ortegal 1293.78 845.21 481514 Santiago 1804.99 1030.86 352


8

codigo nombre comarca ingreso medio ingreso equiv. nd

1515 O Sar 1325.31 729.36 321516 Terra de Melide 1065.80 631.86 161517 Terra de Soneira 1638.89 855.22 481518 Xallas 1638.56 808.30 482701 Os Ancares 1856.24 1038.65 322702 Chantada 1630.42 892.96 482703 A Fonsagrada 0 0 02704 Lugo 1839.48 1082.14 2562705 A Marina Central 1688.65 990.35 802706 A Marina Occidental 1564.72 865.37 802707 A Marina Oriental 1655.04 953.01 482708 Meira 1546.56 899.13 322709 Quiroga 1144.13 792.20 162710 Sarria 1601.95 839.74 482711 Terra Cha 1514.68 868.78 1122712 Terra de Lemos 1204.23 780.74 962713 A Ulloa 1322.67 735.30 483201 Allariz-Maceda 1662.74 1088.04 163202 Baixa Limia 999.84 675.01 643203 O Carballino 1367.73 828.90 483204 A Limia 1113.60 700.74 1123205 Ourense 1631.29 963.91 3523206 O Ribeiro 1257.10 785.95 323207 Terra de Caldelas 1068.83 702.01 323208 Terra de Celanova 1126.11 693.77 483209 Terra de Trives 0 0 03210 Valdeorras 1237.55 787.07 483211 Verın 1252.45 783.95 643212 Viana 1468.25 869.74 163601 O Baixo Mino 1384.16 777.34 803602 Caldas 1585.64 891.13 803603 O Condado 1360.79 786.71 803604 Deza 1558.39 881.08 1283605 O Morrazo 1562.97 879.70 1603606 A Paradanta 1124.23 685.46 323607 Pontevedra 1868.91 1059.16 2563608 O Salnes 1683.66 936.27 2243609 Tabeiros-Terra de Montes 1510.35 859.51 803610 Vigo 1784.64 1038.91 864

Tabla 2.1: Informacion muestral por comarca

En la Tabla 2.1 estan definidas las siguientes variables:

• ingreso medio: la media muestral comarcal de los ingresos totales mensu-ales por hogar, es decir

ingreso mediod =

∑j∈sd

ftotPersoa hogarj

nd


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• ingreso equiv.: la media muestral comarcal de los ingresos equivalentesmensuales por hogar, es decir

ingreso equivd =

∑j∈sd

ftot equiv hogarj

nd

• nd: el tamano muestral de hogares por comarca,

nd =∑j∈sd

pers hogarj

A continuacion se muestra el tamano de la muestra de hogares por comarcas:

Figura 2.1: Tamano muestral.

Se observa en la Figura 2.1 que no se cuenta con informacion muestral disponibleen las comarcas de A Fonsagrada y Terra de Trives. Por lo tanto el estudio secentra en las 51 comarcas restantes.


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Se observa tambien que se cuenta con poca representatividad muestral (≤ 48)para las comarcas pintadas de color blanco. Precisamente es en estas comarcasdonde el estudio sera de interes. Las comarcas con mayor tamano muestral sonlas de Vigo y A Coruna con una muestra de 864 y 736 hogares, respectivamente.

2.3 Informacion auxiliar

Cada ano la Agencia Estatal de la Administracion Tributaria (AEAT) recoge lasrentas anuales declaradas por sus contribuyentes y las proporciona a nivel muni-cipal, por razones de privacidad, al IGE. Esta informacion sera la utilizada comoinformacion relacionada con las variables a estudiar en este trabajo.

Se trabaja con las siguientes variables auxiliares, ya agregadas por comarca:

• No decla.: numero de declarantes de la renta por comarca.

• Renta imponible: total de renta declarada por comarca.

• Porcent. trabajo: porcentaje de la renta declarada procedente de trabajo.

• Porc. activ. econo. direc.: porcentaje de la renta declarada procedentede actividades empresariales.

• Porc. activ. econo. objetiva.: porcentaje de la renta declarada proce-dente de actividades profesionales.

• Porc. otros: porcentaje de la renta declarada procedente de otras activi-dades.

• Poblacion: numero de habitantes por comarca.

• Remun asalar: remuneracion de asalariados por comarca.

• Prestacion social: prestaciones sociales por comarca.

• Renda dispo bruta: dinero del que disponen los individuos en cada co-marca para gastar a lo largo del ano.

De las 10 variables se calculan las siguiente 8 variables auxiliares que representanmedias comarcales:

• Rendi medio: renta media anual declarada por individuo

Rendi medio =Renta imponible

No decla

• Rendi medio trabajo: renta media anual procedente de trabajo

Rendi medio trabajo =Renta imponible x Porc. trabajo

No decla


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• Rendi medio empres: renta media anual procedente de actividades em-presariales

Rendi medio empres =Renta imponible x Porc. empresa

No decla

• Rendi medio prof: renta media anual procedente de actividades profe-sionales

Rendi medio prof =Renta imponible x Porc. prof

No decla

• Rendi medio otras: renta media anual procedente de otras actividades

Rendi medio otras =Renta imponible x Porc. otras

No decla

• RBFD media: media de dinero del que dispone el individuo para gastar alo largo del ano

RBFD media =Renda dispo bruta

Poblacion

• Remun asalar media: media de la remuneracion de asalariados

Remun asalar media =Remun asalar

Poblacion

• Prest social media: media de las prestaciones sociales

Prest social media =Prestacion social

Poblacion

En la siguiente seccion se lleva a cabo un estudio de correlacion para quedarsesolo con las variables auxiliares mas informativas.

2.4 Correlacion

Hay 10 variables de interes, las 2 variables objetivas y las 8 variables auxiliares dela seccion anterior. Se estudia si existe alguna correlacion entre ellas (Tabla 2.2).

ingreso medio ingreso equivRendi medio 0,611 0,670Rendi medio trabajo 0,542 0,636Rendi medio empres 0,271 0,119Rendi medio prof -0,145 -0,335Rendi medio otras 0,352 0,429RFBD media 0,615 0,698Remun asalar media 0,657 0,691Prest social media -0,261 0,009

Tabla 2.2: Correlacion entre las variables


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Se observa, en la Tabla 2.2, que las variables auxiliares que mas correlacion tienencon nuestras variables objetivas son:

• Rendi medio

• Rendi medio trabajo

• RFBD media

• Remun asalar media

De estas 4 variables auxiliares se escoge el rendimiento medio declarado comounica variable auxiliar de interes en el estudio. Se tomo esta decision pues estavariable proviene de una fuente con informacion mas actualizada y fiable que lasdemas.

2.5 Normalidad

Existen estimadores en el estudio que requieren la condicion de normalidad paralas variables objetivas, por tanto es necesario estudiar esta caracterıstica.

estadıstico gl nivel significacioningreso medio 0,140 51 0,014ingreso equiv 0,085 51 0,200*

Tabla 2.3: Test de normalidad

Nota*: 0, 200 es el valor maximo que nos proporciona SPSS del p-valor del es-tadıstico de contraste, el p-valor verdadero es mas alto.

En la Tabla 2.3 se muestran los resultados del test de normalidad de Kolmogorov-Smirnov. Segun estos valores podemos aceptar que existe normalidad bajo unnivel de significacion de 0, 01.

A continuacion se grafican los histogramas y los graficos Q-Q normales para las 2variables.


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ftotPersoa_hogar_mean

1800,001600,001400,001200,001000,00

Fre

cuen

cia

10

8

6

4

2

0

Histograma

Media =1480,02

Desviación típica =237,253N =51

Page 1

(a) ingreso medio

ftot_equiv_hogar_mean

1100,001000,00900,00800,00700,00600,00

Fre

cuen

cia

12,5

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

Histograma

Media =858,08

Desviación típica =117,536N =51

Page 1

(b) ingreso equivalente

Figura 2.2: Histogramas variables objetivas

Valor observado

2.0001.8001.6001.4001.2001.000800

No

rmal

esp

erad

o

3

2

1

0

-1

-2

-3

Gráfico Q-Q normal de ftotPersoa_hogar_mean

Page 1

(a) ingreso medio

Valor observado

1.2001.1001.000900800700600

No

rmal

esp

erad

o

3

2

1

0

-1

-2

-3

Gráfico Q-Q normal de ftot_equiv_hogar_mean

Page 1


Figura 2.3: Graficas Q-Q normal variables objetivas

En la Figura 2.3 se nota mas el ajuste a una normal que en la Figura 2.2. Porejemplo, se ve que hay mas razones para favorecer la distribucion de la Figura 2.3bsobre la de la Figura 2.3a con respecto a la normalidad. En la Figura 2.2 esto nose ve tan claro.


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3 Metodologıa

Los estimadores se pueden clasificar basicamente en 3 grupos:

• Estimadores basados en el diseno: estimadores que solo tienen en cuentala informacion muestral.

• Estimadores asistidos por el modelo: estimadores construidos a par-tir de un modelo pero que para hacer inferencia solo tienen en cuenta lainformacion muestral.

• Estimadores basados en el modelo: estimadores que confıan totalmenteen el modelo asumido.

Dentro de esta ultima clase, los modelos pueden ser de dos tipos:

• Modelos de tipo individuo: modelos que utilizan variables auxiliares,disponibles para cada individuo en el estudio.

• Modelos de tipo area: modelos que utilizan variables auxiliares, disponiblesa nivel de area.

Las variables auxiliares en el estudio son proporcionadas a nivel municipal, portanto los estimadores basados en el modelo van a ser de tipo area.

Ademas cabe senalar que en el estudio no esta incluido ningun estimador asis-tido por el modelo, esto es debido a la imposibilidad de construccion de este tipode modelos con la informacion auxiliar disponible.

3.1 Estimadores del ingreso medio mensual

Para una muestra dada s se consideran los siguientes estimadores de la media delingreso mensual Y d para las comarcas d = 1, . . . , D.

Estimacion basada en el diseno:

• Estimador Horvitz-Thompson:

YHT

d =

∑sdωjyj∑

sdωj

, d = 1, . . . , D

donde sd es la muestra perteneciente a la comarca d, yj el ingreso mensualdel hogar j y ωj el peso muestral asignado al hogar j.

• Estimador postestratificado sintetico:

YPOST,S

d =1Md

H∑h=1

MdhYHT

h , d = 1, . . . , D

denotando por h los postestratos relevantes, Md el total poblacional de laspersonas en la comarca d y Mdh el total poblacional de las personas que


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pertenecen a la interseccion de la comarca d con el estrato h. Ademas defi-

nimos YHT

h como el estimador de Horvitz-Thompson de la media mensualen el estrato h.

• Estimador compuesto:

YCOMP,P

d = γdYHT

d + (1− γd)YPOST,S

d , d = 1, . . . , D

donde γd son pesos dependientes del tamano muestral en la comarca d,definidos como:

γd =

1 si MHTd ≥ δMd

MHTd

δMden caso contrario

con MHTd la estimacion de Horvitz-Thompson del total de las personas Md

en la comarca d. Para el parametro δ se pueden tomar distintos valores,δ ∈ {1, 3/2, 2} (Eustat, 2008).

Estimacion basada en el modelo:

• Estimador Fay-Herriot:

se basa en el siguiente modelo lineal mixto (Fay and Herriot, 1979):

YHT

d = β0 +Xdβ1 + ud + εd, d = 1, . . . , D

O en forma matricial:Y

HT

= Xβ + u+ ε

con

YHT

=

Y

HT

1...

YHT

D

, X =

1 X1

......

1 XD

, β =(β0

β1

)

y

u =

u1

...uD

, ε =

ε1...εD

Este modelo asume que los efectos aleatorios de area ud son independientese identicamente distribuidos segun ud ∼ N(0, σ2

u) y los errores de muestreoεd son independientes y distribuidos segun εd ∼ N(0, σ2

d), con ud indepen-dientes de εd.

Tambien se asume que la varianza σ2u de los efectos aleatorios es desconocida

y que las varianzas σ2d de los errores muestrales son conocidas, estimandolas

a partir de la informacion muestral como:

σ2d =

s2dnd, d = 1, . . . , D


16

siendo s2d y nd la cuasivarianza muestral de la variable objetivo y el tamanomuestral en la comarca d, respectivamente.

Ademas, como covariable Xd se toma la renta media anual declarada porindividuo en la comarca d (datos del IRPF).

Basandose en este modelo, se define el estimador Fay-Herriot:

YEBLUP

d = β0 +Xdβ1 + ud, d = 1, . . . , D

Los parametros se estiman por maxima verosimilitud restringida (REML).Para mas detalle, vease Rao (2003, Cap.6 y 7).

Hay que senalar que las expresiones para los estimadores del ingreso equivalentemensual son identicas a las expresiones para los estimadores del ingreso mediomensual cambiando la variable yj por el ingreso equivalente mensual del hogar j.

3.2 Estimacion del MSE

Una parte muy importante en la estimacion en areas pequenas es la estimaciondel error del estimador, en particular se trabaja con el MSE. Se estudia el MSEde los estimadores propuestos anteriormente y algunas tecnicas de remuestreo quese presentan como alternativa a las expresiones analıticas del estimador del MSE.Hoy en dıa los metodos de remuestreo son importantes ya que nos pueden darestimaciones mas precisas que los metodos analıticos. Esto se ve reflejado en eluso masivo en los estudios realizados ultimamente en areas pequenas en otrosinstitutos e instancias, por ejemplo Eustat (2008). Ademas, los metodos de re-muestreo son de facil aplicacion e interpretacion gracias a los avances en el mundoinformatico.

A continuacion se muestran las expresiones del MSE de los estimadores, despuesse definen los estimadores analıticos del MSE y mas adelante nos centramos en laestimacion del error aplicando tecnicas de remuestreo.

3.2.1 MSE de los estimadores

Las expresiones de los MSE teoricos de los estimadores son las siguientes:


MSE(YHT

d ) =1Nd

∑j∈Pd

(ωj − 1)(yj − Y d)2

donde Nd es el numero total de hogares en la poblacion Pd de la comarca d.


17


MSE(YP,S

d ) =

(1Md

H∑h=1

Mdh(Y h − Y dh)

)2

+1M2

d

H∑h=1

M2dh

N2h

∑j∈Ph

(ωj−1)(yj−Y h)2

donde Nh es el numero total de hogares en la poblacion Ph del estrato h yY h la media poblacional del igreso en el estrato h.


MSE(YCOMP,P

d ) = γ2dMSE(Y

HT

d ) + (1− γd)2MSE(YP,S

d )

+ 2γd(1− γd)E(YHT

d − Y d)(YPOST,S

d − Y d)


MSE(YEBLUP

d ) = g1d(σ2u) + g2d(σ2

u) + g3d(σ2u)

donde g1d(σ2u), g2d(σ2

u) y g3d(σ2u) son expresiones que fueron estudiadas por

Prasad and Rao (1990).

3.2.2 Estimacion analıtica del MSE

Se comienza con los estimadores de los errores que proporcionan las expresionesanalıticas:


mse(YHT

d ) =1

Nd

∑j∈sd

ωj(ωj − 1)(yj − YHT

d )2

dondeNd =

∑j∈sd

ωj

es un estimador del numero de hogares en la comarca d.


mse(YPOST,S

d ) = (YPOST,S

d −YHT

d )2+1M2

d

H∑h=1

M2dh

N2h

∑j∈sh

ωj(ωj−1)(yj−YHT

h )2

dondeNh =

∑j∈sh

ωj

es un estimador del numero de hogares en el estrato h.


mse(YCOMP,P

d ) = γ2dmse(Y

HT

d ) + (1− γd)2mse(YPOST,S

d )


18


mse(YEBLUP

d ) = g1d(σ2u) + g2d(σ2

u) + 2g3d(σ2u)

donde las funciones g1d(σ2u), g2d(σ2

u) y g3d(σ2u) estan definidas como:

• g1d(σ2u) =

σ2uσ

2d

σ2d + σ2

u

• g2d(σ2u) =

(σ2

d

σ2d + σ2

u

)2

xtd

(XtV −1X

)−1xd

donde V es una matriz diagonal y xd un vector, definidos como:

V =

σ21 + σ2

u 0. . .

0 σ2D + σ2

u

, xd =(

1Xd

)

• g3d(σ2u) =

σ4d

(σ2u + σ2

d)3

(D∑

d=1

2(σ2

u + σ2d)2

)−1

3.2.3 Estimacion bootstrap del MSE

Los metodos de remuestreo se basan en la evaluacion de los estadısticos en re-muestras o submuestras obtenidas a partir de los datos originales. En el metodobootstrap, las submuestras se obtienen mediante muestreo aleatorio simple de lamuestra original. Una ventaja del metodo bootstrap es la sencillez para dar esti-maciones del MSE, incluso para estimadores complejos.Un ejemplo es el Bootstrap Naive, tecnica que en este estudio se aplica a losestimadores Horvitz-Thompson, postestratificado sintetico y compuesto. Para elestimador Fay-Herriot se utiliza un metodo Bootstrap parametrico disenado parael modelo.

Bootstrap Naive:

1. Generacion de B muestras bootstrap:Para cada estrato h = 1, . . . ,H seleccionar una muestra aleatoria simplecon reemplazamiento de nh hogares entre los nh hogares que aparecen en lamuestra perteneciente al estrato h. A continuacion se calculan los tamanosmuestrales por comarca nd. Repetir B veces.

2. Calculo de los estimadores:

Para cada muestra generada b = 1, . . . , B calcular los estimadores Y∗(b)d igual

que en la muestra s.

3. Estimacion del error cuadratico medio (MSE):

mseB(Y d) =1

B − 1

B∑b=1

(Y∗(b)d − Y d)2


19

Para estimar el MSE del estimador Fay-Herriot se aplica un metodo Bootstrapparametrico (Gonzalez-Manteiga et al., 2008) disenado especialmente para estemodelo:

Bootstrap parametrico:

1. Calcular estimaciones σ2u = σ2

u(YHT

) y βE = β(σ2u, Y

HT

) de σ2u y β res-

pectivamente.

2. Generar D copias independientes de una variable W1 ∼ N(0, 1). Construirel vector u∗ = (u∗1, . . . , u

∗D)′ con los elementos u∗d = σuW1, d = 1, . . . , D.

3. Generar D copias independientes de una variable W2 ∼ N(0, 1), indepen-diente de W1. Construir el vector ε∗ = (ε∗1, . . . , ε

∗D)′ con los elementos

ε∗d = σdW2, d = 1, . . . , D.

4. Construir el modelo bootstrap:

Y∗

= XβE + u∗ + ε∗

Bajo este modelo bootstrap, se define el BLUP de µ∗ = XβE + u∗ como:

µ∗B = µ(σ2u, Y

∗) = Xβ∗B + u∗B

siendo β∗B = β(σ2u, Y

∗) y u∗B = u(σ2

u, Y∗). Ahora sea σ2∗

u = σ2u(Y

∗) el esti-

mador de σ2u obtenido de Y

∗. Usando esta informacion, se consigue el estimador

bootstrap EBLUP:

µ∗E = µ(σ2∗u , Y

∗) = Xβ∗E + u∗E

siendo β∗E = β(σ2∗u , Y

∗) y u∗E = u(σ2∗

u , Y∗).

Por ultimo,

5. Generar B vectores bootstrap Y∗(b)

, b = 1, . . . , B del modelo bootstrap

definido en el paso 4. De cada vector Y∗(b)

se calcula su media real µ∗(b)

y su estimador EBLUP µ∗(b)E . Finalmente calculamos el estimador del errorcuadratico medio para cada comarca:

mseB(µE,d) = mseB(YEBLUP

d ) =1

B − 1

B∑b=1

(µ∗(b)E,d − µ∗(b)d )2


20

4 Simulacion

Para evaluar el sesgo y el MSE de los estimadores se genera una poblacion ficticiaimitando la distribucion del ingreso por hogar de la poblacion gallega. Para estose ha analizado la muestra disponible y segun su distribucion se intenta reproducirlas variables de interes. Este paso es importante ya que aquı es donde se puedevalorar la calidad de cada uno de los estimadores de interes.

4.1 Generacion de la poblacion finita

El tamano poblacional N con el que se trabaja, se estima con los datos de lamuestra real s de la siguiente forma:

N =∑j∈s

frepj ≈ 943991

donde frepj es el peso calibrado en la muestra real asignado al hogar j. Deesta forma tambien se calculan los tamanos poblacionales por comarca Nd y lostamanos poblacionales por estrato Nh:

Nd =∑j∈sd

frepj Nh =∑j∈sh

frepj , d = 1, . . . , D, h = 1, . . . ,H

siendo sd y sh respectivamente la muestra real en la comarca d y la muestra realen el estrato h. Ademas D = 51 y H = 39.

Con esta informacion se crean las siguientes variables para todos los hogares dela poblacion, es decir para j = 1, . . . , N :

• Comarcaj :Numero de comarca a la que pertenece el hogar j.

• Estratoj :Numero de estrato al que pertenece el hogar j.

La siguiente variable que se genera, es:

• Ingresoj :Ingreso mensual del hogar j.

Para generar esta variable es necesario estudiar la distribucion de las variablesftot hogar (ingreso mensual del hogar) y ftot equiv hogar (ingreso equivalentemensual del hogar) en cada comarca para la muestra real.

En la siguiente Tabla 4.1 se muestran los resultados del test de normalidad deKolmogorov-Smirnov. Se intenta averiguar si la distribucion en cada comarca deambas variables se aproxima a una normal.


21

Ingreso Ingreso equivalenteComarca estadıstico gl p-valor estadıstico gl p-valorArzua 0,13 64 0,009 0,149 64 0,001Barbanza 0,116 144 0 0,092 144 0,004A Barcala 0,105 32 0,200* 0,181 32 0,009Bergantinos 0,102 176 0 0,093 176 0,001Betanzos 0,15 80 0 0,19 80 0A Coruna 0,098 736 0 0,11 736 0Eume 0,105 80 0,029 0,11 80 0,018Ferrol 0,108 416 0 0,1 416 0Fisterra 0,113 32 0,200* 0,108 32 0,200*Muros 0,204 16 0,074 0,245 16 0,011Noia 0,143 144 0 0,16 144 0Ordes 0,114 128 0 0,113 128 0Ortegal 0,216 48 0 0,304 48 0Santiago 0,139 352 0 0,119 352 0O Sar 0,181 32 0,009 0,176 32 0,013Terra de Melide 0,294 16 0,001 0,243 16 0,012Terra de Soneira 0,2 48 0 0,195 48 0Xallas 0,143 48 0,015 0,123 48 0,066Os Ancares 0,164 32 0,028 0,217 32 0,001Chantada 0,115 48 0,133 0,167 48 0,002Lugo 0,142 256 0 0,146 256 0A Marina C. 0,125 80 0,003 0,179 80 0A Marina Occ. 0,168 80 0 0,153 80 0A Marina Or. 0,156 48 0,005 0,145 48 0,013Meira 0,118 32 0,200* 0,164 32 0,029Quiroga 0,245 16 0,011 0,231 16 0,023Sarria 0,186 48 0 0,189 48 0Terra Cha 0,145 112 0 0,143 112 0Terra de Lemos 0,165 96 0 0,154 96 0A Ulloa 0,172 48 0,001 0,154 48 0,006Allariz-Maceda 0,379 16 0 0,411 16 0Baixa Limia 0,171 64 0 0,124 64 0,015O Carballino 0,13 48 0,04 0,123 48 0,067A Limia 0,13 112 0 0,126 112 0Ourense 0,117 352 0 0,111 352 0O Ribeiro 0,132 32 0,17 0,15 32 0,063Terra de Caldelas 0,224 32 0 0,195 32 0,003Terra de Celanova 0,108 48 0,200* 0,083 48 0,200*Valdeorras 0,122 48 0,071 0,172 48 0,001Verın 0,227 64 0 0,231 64 0Viana 0,168 16 0,200* 0,226 16 0,028O Baixo Mino 0,132 80 0,001 0,114 80 0,012Caldas 0,121 80 0,005 0,127 80 0,003O Condado 0,097 80 0,061 0,114 80 0,012Deza 0,143 128 0 0,165 128 0


22

Ingreso Ingreso equivalenteComarca estadıstico gl p-valor estadıstico gl p-valorO Morrazo 0,114 160 0 0,103 160 0A Paradanta 0,191 32 0,004 0,236 32 0Pontevedra 0,103 256 0 0,137 256 0O Salnes 0,097 224 0 0,115 224 0T.-T. de Montes 0,159 80 0 0,144 80 0Vigo 0,1 864 0 0,09 864 0

Tabla 4.1: Test de normalidad


Segun estos valores se puede rechazar que existe normalidad para la mayorıa delas 51 comarcas (41 rechazos para el ingreso medio mensual y 46 rechazos parael ingreso equivalente mensual) con un nivel de significacion de α = 0, 05 ya quepara estas el p-valor es menor que α = 0, 05.

A continuacion se muestran los histogramas y los graficos Q-Q normales paralas 2 variables que sirven para representar graficamente su distribucion. Cabesenalar que las variables estan representadas para la muestra entera. Veamos sise ajustan a una distribucion normal.

ftot_hogar

12000,0010000,008000,006000,004000,002000,000,00

Fre

cuen

cia

1.000

800

600

400

200

0

Histograma

Media =1613,97

Desviación típica = 1117,849N =6.304

Page 1

(a) ingreso

ftot_equiv_hogar

6000,004000,002000,000,00

Fre

cuen

cia

1.200

1.000

800

600

400

200

0

Histograma

Media =936,21

Desviación típica =559,91N =6.304

Page 1


Figura 4.1: Histogramas variables objetivo


23

Valor observado

12.00010.0008.0006.0004.0002.0000-2.000

No

rmal

esp

erad

o10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

-2,5

Gráfico Q-Q normal de ftotPersoa_hogar

Page 1

(a) ingreso

Valor observado

8.0006.0004.0002.0000-2.000

No

rmal

esp

erad

o

15

10

5

0

-5

Gráfico Q-Q normal de ftot_equiv_hogar

Page 1


Figura 4.2: Graficas Q-Q normal variables objetivo

Se ve claramente en las Figuras 4.1 y 4.2 que las variables no se ajustan a unanormal. Por tanto es necesario hacer una transformacion de las variables, en con-creto se aplica una transformacion de potencia.

La idea es encontrar la potencia para la cual la distribucion de la variable transfor-mada se aproxima lo maximo posible a una distribucion normal. Esto es precisa-mente lo que intenta conseguir el metodo de transformaciones Cox-Box, resultandoser una potencia optima el valor λ ≈ 0, 22.

Se muestran ahora los resultados para las variables transformadas:

Ingreso0,22 Ingreso equivalente0,22

Comarca estadıstico gl p-valor estadıstico gl p-valorArzua 0,085 64 0,200* 0,089 64 0,200*Barbanza 0,038 144 0,200* 0,043 144 0,200*A Barcala 0,109 32 0,200* 0,111 32 0,200*Bergantinos 0,05 176 0,200* 0,041 176 0,200*Betanzos 0,057 80 0,200* 0,105 80 0,03A Coruna 0,031 736 0,089 0,028 736 0,200*Eume 0,058 80 0,200* 0,045 80 0,200*Ferrol 0,041 416 0,086 0,046 416 0,037Fisterra 0,152 32 0,057 0,21 32 0,001Muros 0,118 16 0,200* 0,196 16 0,101Noia 0,039 144 0,200* 0,065 144 0,200*Ordes 0,064 128 0,200* 0,043 128 0,200*Ortegal 0,097 48 0,200* 0,168 48 0,002Santiago 0,038 352 0,200* 0,042 352 0,200*O Sar 0,099 32 0,200* 0,103 32 0,200*Terra de Melide 0,202 16 0,08 0,172 16 0,200*Terra de Soneira 0,121 48 0,077 0,132 48 0,036Xallas 0,097 48 0,200* 0,065 48 0,200*Os Ancares 0,092 32 0,200* 0,137 32 0,135Chantada 0,065 48 0,200* 0,097 48 0,200*


24

Ingreso0,22 Ingreso equivalente0,22

Comarca estadıstico gl p-valor estadıstico gl p-valorLugo 0,046 256 0,200* 0,057 256 0,046A Marina C. 0,058 80 0,200* 0,093 80 0,086A Marina Occ. 0,095 80 0,068 0,079 80 0,200*A Marina Or. 0,057 48 0,200* 0,07 48 0,200*Meira 0,106 32 0,200* 0,159 32 0,038Quiroga 0,187 16 0,139 0,162 16 0,200*Sarria 0,098 48 0,200* 0,112 48 0,17Terra Cha 0,052 112 0,200* 0,081 112 0,068Terra de Lemos 0,083 96 0,097 0,081 96 0,132A Ulloa 0,071 48 0,200* 0,136 48 0,027Allariz-Maceda 0,22 16 0,037 0,289 16 0,001Baixa Limia 0,077 64 0,200* 0,07 64 0,200*O Carballino 0,075 48 0,200* 0,072 48 0,200*A Limia 0,081 112 0,068 0,065 112 0,200*Ourense 0,039 352 0,200* 0,067 352 0,001O Ribeiro 0,11 32 0,200* 0,087 32 0,200*Terra de Caldelas 0,129 32 0,187 0,118 32 0,200*Terra de Celanova 0,106 48 0,200* 0,123 48 0,066Valdeorras 0,065 48 0,200* 0,103 48 0,200*Verın 0,12 64 0,023 0,139 64 0,004Viana 0,118 16 0,200* 0,196 16 0,1O Baixo Mino 0,06 80 0,200* 0,074 80 0,200*Caldas 0,05 80 0,200* 0,06 80 0,200*O Condado 0,07 80 0,200* 0,072 80 0,200*Deza 0,057 128 0,200* 0,067 128 0,200*O Morrazo 0,055 160 0,200* 0,049 160 0,200*A Paradanta 0,158 32 0,042 0,143 32 0,094Pontevedra 0,038 256 0,200* 0,056 256 0,054O Salnes 0,041 224 0,200* 0,048 224 0,200*T.-T. de Montes 0,088 80 0,193 0,092 80 0,09Vigo 0,023 864 0,200* 0,031 864 0,052

Tabla 4.2: Test de normalidad para las variables transformadas


Analizando la Tabla 4.2 se puede aceptar que las variables transformadas provienende una distribucion normal en practicamente todas las 51 comarcas (solo 3 rechazospara el ingreso medio mensual y 11 rechazos para el ingreso equivalente mensual),con un nivel de significacion de α = 0, 05.


25

A continuacion se grafican los histogramas y los graficos Q-Q normales para las 2variables transformadas:

ftot_hogar_tr

8,007,006,005,004,003,002,00

Fre

cuen

cia

500

400

300

200

100

0

Histograma

Media =4,89


Page 1

(a) ingreso0,22

ftot_equiv_hogar_tr

7,006,005,004,003,002,00

Fre

cuen

cia

600

400

200

0

Histograma

Media =4,39


Page 1

(b) ingreso equivalente0,22

Figura 4.3: Histogramas variables transformadas

Valor observado

8642

No

rmal

esp

erad

o

5,0

2,5

0,0

-2,5

-5,0

Gráfico Q-Q normal de ftot_hogar_tr

Page 1

(a) ingreso0,22

Valor observado

8642

No

rmal

esp

erad

o

5,0

2,5

0,0

-2,5

-5,0

Gráfico Q-Q normal de ftot_equiv_hogar_tr

Page 1

(b) ingreso equivalente0,22

Figura 4.4: Graficas Q-Q normal variables transformadas

Las Figuras 4.3 y 4.4 nos muestran que la distribucion de las variables transfor-madas se aproximan a una distribucion normal. Vemos ademas en la Figura 4.4que los valores pequenos de las variables transformadas no se aproximan a losvalores normales esperados. Esto se debe a que para estos hogares su ingresomensual (< 100 euros) esta muy por debajo de la media global (1614 euros) y portanto se pueden considerar como valores atıpicos.


26

Una vez analizada la normalidad de las variables, se genera una variable auxiliartemp con una distribucion normal de la siguiente manera:

tempj ∼ N(zd, s2d(z)), j ∈ Pd, d = 1, . . . , 51

donde

z =

z1

...z51

=

∑s1zj

n1...∑

s51zj

n51

=

∑s1ftot hogar0,22

j

n1...∑

s51ftot hogar0,22

j

n51

siendo nd, zd y s2d(z) respectivamente el tamano muestral real, la media muestralreal y la cuasivarianza muestral real de la variable transformada para la comarcad. Ademas definimos Pd como el conjunto de todo los hogares de la comarca d enla poblacion ficticia.

De esta forma hemos generado una variable temp con aproximadamente la mismadistribucion normal que la variable transformada ftot hogar0,22. Ahora se creala variable de interes ingreso, haciendo una transformacion de la variable auxiliartemp con potencia inversa:

ingresoj = temp(1/0,22)j = temp4,55

j , j ∈ Pd, d = 1, . . . , 51

Se ha generado la variable ingreso para todos los hogares de la poblacion de talforma que existe variabilidad entre las comarcas segun la informacion obtenida dela muestra real.

La siguiente variable que se genera:

• Pers hogarj :Numero de miembros del hogar j.

La generacion de esta variable es mas complicada que las otras ya que debe teneruna cierta correlacion con la variable ingreso; se define de la siguiente manera:

pers hogarj ∼ Poisson(λj − 1) + 1, j ∈ Pd, d = 1, . . . , 51

donde

λj = 1/4

(tempj − zd√

s2d(z)

)+ ρd, j ∈ Pd, d = 1, . . . , 51

siendo ρd la media muestral real de personas por hogar para la comarca d. Se usala distribucion de Poisson con este parametro ya que:

E(pers hogarj) = λj − 1 + 1 = λj

y de esta forma se consigue el hecho de que no se genera ningun hogar con 0miembros. Tambien cabe senalar que el parametro λj esta relacionado con elingreso mensual del hogar j.


27

Finalmente se construye la variable:

• Ingreso equivj :Ingreso equivalente mensual del hogar j.

La generacion de esta variable es facil una vez definidas las variables ingreso ypers hogar:

ingreso equivj =ingresoj√pers hogarj

, j = 1, . . . , N

Resumiendo, se ha generado una poblacion de N = 943991 hogares con las si-guientes variables:

• Comarca: numero de comarca a la que pertenece el hogar.

• Estrato: numero de estrato al que pertenece el hogar.

• Ingreso: ingreso mensual del hogar.

• Pers hogar: numero de miembros del hogar.

• Ingreso equiv: ingreso equivalente mensual del hogar.

4.2 Resultados

Sobre la poblacion generada se calcula el sesgo relativo absoluto (SRA) y la raızcuadrada del error cuadratico medio relativo (RECMR) de la siguiente manera:

1. Generar K = 10.000 muestras independientes de nuestra poblacion.

2. Para cada muestra k = 1, . . . ,K calcular el estimador del ingreso mensual

Y(k)

d y el estimador del MSE del ingreso mensual mse(Y d)(k).

3. Calculamos el SRA:

SRAd(Y d) =1K

∣∣∣∣∣∣K∑

k=1

Y(k)

d − Y d

Y d

∣∣∣∣∣∣× 100

SRAd(mse(Y d)) =1K

∣∣∣∣∣K∑

k=1

mse(Y d)(k) −MSE(Y d)

MSE(Y d)

∣∣∣∣∣× 100

4. Calculamos el RECMR:

RECMRd(Y d) =

1K

K∑k=1

Y (k)

d − Y d

Y d

2

1/2

× 100

RECMRd(mse(Y d)) =

1K

K∑k=1

(mse(Y d)(k) −MSE(Y d)

MSE(Y d)

)21/2

× 100


28

Los estimadores usados en el estudio son los siguientes:

• HT: Estimador Horvitz-Thompson.

• POST sint: Estimador postestratificado sintetico.

• COMP1: Estimador compuesto con parametro δ = 1.

• COMP2: Estimador compuesto con parametro δ = 3/2.

• COMP3: Estimador compuesto con parametro δ = 2.

• FH: Estimador Fay-Herriot.

Hay que senalar que el estimador compuesto del ingreso medio mensual conparametro δ = 3/2 es el que mejor resultados obtiene de los 3 compuestos. Sepresentan a continuacion los resultados de los estimadores con respecto al SRA yRECMR.

SRA ingreso medio en %

0

5

10

15

20

25

30

15 17 19 31 32 34 36 42 46 48 49 49 64 73 78 83 85 104 117 128 148 179 256 352 416 864Tamaño muestral

HT POST sint COMP2 FH

Figura 4.5: SRA (en %) de los estimadores del ingreso medio mensual.


29

RECMR ingreso medio en %

0

5

10

15

20

25

30

15 17 19 31 32 34 36 42 46 48 49 49 64 73 78 83 85 104 117 128 148 179 256 352 416 864

Tamaño muestral

HT POST sint COMP2 FH

Figura 4.6: RECMR (en %) de los estimadores del ingreso medio mensual.

En las Figuras 4.5 y 4.6 se observa que el estimador con peores resultados segunlos valores del SRA y el RECMR es el estimador sintetico. En cuanto al RECMRhay que destacar en la Figura 4.6 que en las comarcas con menor tamano mues-tral (≤ 48) existe una diferencia notable entre los estimadores. Los estimadorescon mejores resultados segun el RECMR son el compuesto y el Fay-Herriot, losSRA son parecidos en ambos casos. Ademas cabe senalar que el estimador Fay-Herriot se comporta mejor que el estimador compuesto para las areas con tamanomuestral mas pequeno (≤ 48). Estos resultados llevan a considerar al estimadorFay-Herriot como principal candidato en la aplicacion al caso real.

Los estimadores del MSE del ingreso medio mensual que se usan son los siguientes:

• mse HT analıtico: mse analıtico del estimador Horvitz-Thompson.

• mse HT B: mse bootstrap del estimador Horvitz-Thompson.

• mse POST sint analıtico: mse analıtico del estimador postestratificadosintetico.

• mse POST sint B: mse bootstrap del estimador postestratificado sintetico.

• mse COMP2 analıtico: mse analıtico del estimador compuesto con parametroδ = 3/2.

• mse COMP2 B: mse bootstrap del estimador compuesto con parametroδ = 3/2.

• mse FH analıtico: mse analıtico del estimador Fay-Herriot.


30

• mse FH B: mse bootstrap del estimador Fay-Herriot.

A continuacion, en la Tabla 4.3, se muestra el promedio de SRA y RECMR de las51 comarcas para cada estimador del MSE:

estimador SRA RECMRmse HT analıtico 2,75 34,07mse HT B 2,41 34,56mse POST sint analıtico 108,81 242,23mse POST sint B 56,09 60,00mse COMP2 analıtico 35,27 92,85mse COMP2 B 35,05 42,80mse FH analıtico 22,00 32,68mse FH B 21,58 32,70

Tabla 4.3: Promedio en la estimacion del MSE.

Se observa en la Tabla 4.3 que para cualquier estimador postestratificado sinteticosu promedio del SRA y del RECMR es elevado comparado con los valores de losdemas estimadores. A consecuencia de esto queda descartado el estimador postes-tratificado sintetico para el resto del estudio.

Ademas se observan valores parecidos en las estimaciones analıticas y bootstrappara los estimadores Horvitz-Thompson y Fay-Herriot. Para el estimador com-puesto se tiene un valor del RECMR mucho mas bajo en la estimacion bootstrap.A continuacion se puede ver con mas detalle:

SRA mse HT ingreso medio en %

0

2

4

6

8

10

12

14

16 16 16 32 32 32 32 48 48 48 48 48 64 80 80 80 80 96 112 128 144 176 256 352 416 864

Tamaño muestral

HT analítico HT B

Figura 4.7: SRA (en %) de los mse del estimador Horvitz-Thompson.


31

RECMR mse HT ingreso medio en %

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

16 16 16 32 32 32 32 48 48 48 48 48 64 80 80 80 80 96 112 128 144 176 256 352 416 864Tamaño muestral

HT analítico HT B

Figura 4.8: RECMR (en %) de los mse del estimador Horvitz-Thompson.

SRA mse COMP ingreso medio en %

0

20

40

60

80

100

120

140

16 16 16 32 32 32 32 48 48 48 48 48 64 80 80 80 80 96 112 128 144 176 256 352 416 864

Tamaño muestral

COMP analítico COMP B

Figura 4.9: SRA (en %) de los mse del estimador compuesto.


32

RECMR mse COMP ingreso medio en %

0

50

100

150

200

250

300

350

16 16 16 32 32 32 32 48 48 48 48 48 64 80 80 80 80 96 112 128 144 176 256 352 416 864

Tamaño muestral

COMP analítico COMP B

Figura 4.10: RECMR (en %) de los mse del estimador compuesto.

SRA mse FH ingreso medio en %

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

16 16 16 32 32 32 32 48 48 48 48 48 64 80 80 80 80 96 112 128 144 176 256 352 416 864

Tamaño muestral

FH analítico FH B

Figura 4.11: SRA (en %) de los mse del estimador Fay-Herriot.


33

RECMR mse FH ingreso medio en %

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

16 16 16 32 32 32 32 48 48 48 48 48 64 80 80 80 80 96 112 128 144 176 256 352 416 864

Tamaño muestral

FH analítico FH B

Figura 4.12: RECMR (en %) de los mse del estimador Fay-Herriot.

Se observa en las Figuras 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11 y 4.12 que es mas difıcil es-timar el teorico MSE para las comarcas con menor tamano muestral, como erade esperar. Ademas en las Figuras 4.7, 4.8, 4.11 y 4.12 se ve que existe pocadiferencia entre la estimacion analıtica y bootstrap del MSE para los estimadoresHorvitz-Thompson y Fay-Herriot. En estos casos hay que destacar que el esti-mador bootstrap es una buena alternativa al estimador analıtico. La diferenciaentre la estimacion analıtica y bootstrap del MSE del estimador compuesto esnotable, la Figura 4.10 muestra que en este caso el estimador bootstrap obtienemejores resultados que el estimador analıtico.Por estas razones, a partir de ahora se utiliza solo el estimador bootstrap del MSEde los estimadores.

Hay que senalar que no estan incluidos los resultados para la estimacion rela-tiva al ingreso equivalente mensual, pues son parecidos a los resultados de estaseccion.


34

5 Caso real

Hay que destacar, en primer lugar, que teniendo en cuenta el proceso de mejora deestimacion de datos en areas pequenas en el que se encuentra el IGE, los datos quese presentan a lo largo de esta seccion tienen el caracter de datos experimentales,con lo que no se pueden considerar estadıstica oficial.

Como se vio en la seccion anterior, no se puede dar el MSE estimado del esti-mador postestratificado con garantıas. En el estudio de simulacion se obtienenvalores elevados en la estimacion del MSE (en cuanto al SRA y RECMR). Por lotanto, nos quedamos con los estimadores Horvitz-Thompson, compuesto y Fay-Herriot.

Se dan las estimaciones de las variables objetivo para cada comarca y su coe-ficiente de variacion estimado (CV):

CVd =

√mse(Y d)

Y d

× 100, d = 1, . . . , 51

Hay que senalar que para las estimaciones por bootstrap del MSE, se tomanB = 5000 remuestras bootstrap.

5.1 Resultados

Se muestran ahora los resultados acerca de la estimacion del ingreso medio men-sual:

Ingreso medio en €

950

1050

1150

1250

1350

1450

1550

1650

1750

1850

1950

Mur

osT

erra

de

Mel

ide

Qui

roga

Alla

riz-M

aced

aV

iana

A B

arca

laF

iste

rra

O S

arO

s A

ncar

esM

eira

O R

ibei

roT

. de

Cal

dela

sA

Par

adan

taO

rteg

alT

erra

de

Son

eira

Xal

las

Cha

ntad

aA

Mar

iña

Or

Sar

riaA

Ullo

aO

Car

balli

ñoT

. de

Cel

anov

aV

alde

orra

sA

rzúa

Bai

xa L

imia

Ver

ínB

etan

zos

Eum

eA

Mar

iña

Cen

tral

A M

ariñ

a O

ccO

Bai

xo M

iño

Cal

das

O C

onda

doT

abei

rós-

Mon

tes

Ter

ra d

e Le

mos

Ter

ra C

háA

Lim

iaO

rdes

Dez

aB

arba

nza

Noi

aO

Mor

razo

Ber

gant

iños

O S

alné

sLu

goP

onte

vedr

aS

antia

goO

uren

seF

erro

lA

Cor

uña

Vig

o

HT COMP2 FH

Figura 5.1: Estimacion del ingreso medio mensual en las comarcas de Galicia.Nota: datos experimentales.


35

CV ingreso medio en %

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Mur

osT

erra

de

Mel

ide

Qui

roga

Alla

riz-M

aced

aV

iana

A B

arca

laF

iste

rra

O S

arO

s A

ncar

esM

eira

O R

ibei

roT

. de

Cal

dela

sA

Par

adan

taO

rteg

alT

erra

de

Son

eira

Xal

las

Cha

ntad

aA

Mar

iña

Or

Sar

riaA

Ullo

aO

Car

balli

ñoT

. de

Cel

anov

aV

alde

orra

sA

rzúa

Bai

xa L

imia

Ver

ínB

etan

zos

Eum

eA

Mar

iña

Cen

tral

A M

ariñ

a O

ccO

Bai

xo M

iño

Cal

das

O C

onda

doT

abei

rós-

Mon

tes

Ter

ra d

e Le

mos

Ter

ra C

háA

Lim

iaO

rdes

Dez

aB

arba

nza

Noi

aO

Mor

razo

Ber

gant

iños

O S

alné

sLu

goP

onte

vedr

aS

antia

goO

uren

seF

erro

lA

Cor

uña

Vig

o

HT B COMP2 B FH B

Figura 5.2: Estimacion del CV (en %) de los estimadores del ingreso medio men-sual en las comarcas de Galicia. Nota: datos experimentales.

A continuacion se muestran los resultados de la estimacion del ingreso equivalentemensual:

Ingreso equivalente en €

600

650

700

750

800

850

900

950

1000

1050

1100

Mur

osT

erra

de

Mel

ide

Qui

roga

Alla

riz-M

aced

aV

iana

A B

arca

laF

iste

rra

O S

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s A

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esM

eira

O R

ibei

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. de

Cal

dela

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Par

adan

taO

rteg

alT

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de

Son

eira

Xal

las

Cha

ntad

aA

Mar

iña

Or

Sar

riaA

Ullo

aO

Car

balli

ñoT

. de

Cel

anov

aV

alde

orra

sA

rzúa

Bai

xa L

imia

Ver

ínB

etan

zos

Eum

eA

Mar

iña

Cen

tral

A M

ariñ

a O

ccO

Bai

xo M

iño

Cal

das

O C

onda

doT

abei

rós-

Mon

tes

Ter

ra d

e Le

mos

Ter

ra C

háA

Lim

iaO

rdes

Dez

aB

arba

nza

Noi

aO

Mor

razo

Ber

gant

iños

O S

alné

sLu

goP

onte

vedr

aS

antia

goO

uren

seF

erro

lA

Cor

uña

Vig

o

HT COMP3 FH

Figura 5.3: Estimacion del ingreso equivalente mensual en las comarcas de Galicia.Nota: datos experimentales.


36

CV ingreso equivalente en %

0

5

10

15

20

25

30

35

40M

uros

Ter

ra d

e M

elid

eQ

uiro

gaA

llariz

-Mac

eda

Via

naA

Bar

cala

Fis

terr

aO

Sar

Os

Anc

ares

Mei

raO

Rib

eiro

T. d

e C

alde

las

A P

arad

anta

Ort

egal

Ter

ra d

e S

onei

raX

alla

sC

hant

ada

A M

ariñ

a O

rS

arria

A U

lloa

O C

arba

lliño

T. d

e C

elan

ova

Val

deor

ras

Arz

úaB

aixa

Lim

iaV

erín

Bet

anzo

sE

ume

A M

ariñ

a C

entr

alA

Mar

iña

Occ

O B

aixo

Miñ

oC

alda

sO

Con

dado

Tab

eiró

s-M

onte

sT

erra

de

Lem

osT

erra

Chá

A L

imia

Ord

esD

eza

Bar

banz

aN

oia

O M

orra

zoB

erga

ntiñ

osO

Sal

nés

Lugo

Pon

teve

dra

San

tiago

Our

ense

Fer

rol

A C

oruñ

aV

igo

HT B COMP3 B FH B

Figura 5.4: Estimacion del CV (en %) de los estimadores del ingreso equivalentemensual en las comarcas de Galicia. Nota: datos experimentales.

Las comarcas en las Figuras 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4 estan ordenadas segun su tamanomuestral. Se observa en las Figuras 5.1 y 5.3 que los valores mas altos de lasvariables objetivo se obtienen en las comarcas con mayor tamano muestral.Pontevedra es la comarca con los valores mas altos con un ingreso medio mensualde cerca de 1.900 euros y un ingreso equivalente mensual de aproximadamente1.075 euros. A Baixa Limia es la comarca con los valores mas bajos con un in-greso medio mensual de aproximadamente 1.000 euros y un ingreso equivalentemensual entorno a los 675 euros.

En las Figuras 5.2 y 5.4 se observa que el estimador Fay-Herriot obtiene mejoresresultados en cuanto al CV, sobre todo para las comarcas con menor tamanomuestral. Por ejemplo, en las Figuras 5.2 y 5.4 hay una diferencia del 25% en-tre los CV de los estimadores en la comarca de Allariz-Maceda. Ademas, en laFigura 5.1 existe una gran diferencia (de aproximadamente 400 euros) entre lasestimaciones (utilizando el estimador de HT y el de FH) del ingreso medio mensualpara la comarca de Os Ancares. En la estimacion del ingreso equivalente mensual(Figura 5.3) hay una diferencia aun mas notable (de casi 300 euros). Esto es de-bido a que en esta comarca el estimador Fay-Herriot da mas peso a la informacionauxiliar que a la informacion muestral, los estimadores basados en el diseno solousan la informacion muestral. Para estas comarcas se coge el estimador con menorcoeficiente de variacion que es el estimador Fay-Herriot.

En las Figuras 5.2 y 5.4 se ve que el estimador compuesto tambien obtiene buenosresultados. Sin embargo, el estimador Fay-Herriot es un estimador mas estable queel estimador compuesto. En la estimacion del ingreso medio mensual (Figura 5.2)


37

el estimador Fay-Herriot consigue coeficientes de variacion estimados inferiores al10% para todas las comarcas. En la estimacion del ingreso equivalente mensual(Figura 5.4) los coeficientes de variacion son inferiores al 7%.

Representamos geograficamente la estimacion Fay-Herriot del ingreso medio men-sual:

Figura 5.5: Ingreso medio mensual por hogar (Fay-Herriot).Nota: datos experimentales.


38

A continuacion la estimacion Fay-Herriot del ingreso equivalente mensual:

Figura 5.6: Ingreso equivalente mensual por hogar (Fay-Herriot).Nota: datos experimentales.

En las Figuras 5.5 y 5.6 las comarcas estan pintadas segun una escala de colorazul, en donde el color blanco indica el valor mas bajo y el azul oscuro el mas alto.Las comarcas A Fonsagrada y Terra de Trives estan representadas en rojo ya quepara ellas no se dispone de datos muestrales.

De las 4 provincias gallegas se observa que los valores mas bajos estan en lascomarcas de la provincia de Ourense y los valores mas altos en las comarcas delas 7 grandes ciudades gallegas y la comarca de Eume. Se observan tambien va-lores altos en la variable objetivo en muchas de las comarcas occidentales de lasprovincias de A Coruna y Pontevedra y las comarcas da Marina Lucense.


39

6 Conclusiones

Los modelos de areas pequenas descritos en este documento permiten obtenerestimaciones del ingreso medio y el ingreso equivalente de la Encuesta de condi-ciones de vida a nivel comarcal. Los resultados obtenidos son satisfactorios concaracter general, dado que los coeficientes de variacion obtenidos son moderados.De todos modos, el estimador Fay-Herriot es el que obtiene los mejores resultados,con coeficientes de variacion en la estimacion del ingreso medio mensual inferioresal 10% y en la estimacion del ingreso equivalente mensual inferiores al 7% paratodas las comarcas. En las comarcas con menor tamano muestral (≤ 48) existemucha diferencia entre los estimadores, esta llega a un 25% en favor del estimadorFay-Herriot en la comarca de Allariz-Maceda.

No se puede considerar mejor ningun estimador (analıtico o bootstrap) del MSEen los casos Horvitz-Thompson y Fay-Herriot, pues los valores del SRA y RECMRestan cercanos. En el caso del estimador compuesto funciona mejor el estimadorbootstrap del MSE.

Respecto al estimador postestratificado sintetico, queda abierta la busqueda deotros estimadores sinteticos que nos den menor error de precision en la estimacionde las variables objetivo. De esta manera se podra mejorar la estimacion del es-timador compuesto ya que se vio que se obtenıan buenos resultados en el estudiode simulacion.

El IGE sigue estudiando el uso de la metodologıa de areas pequenas con el objetivode continuar su aplicacion en otras encuestas y otras areas de interes.


40

Referencias

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41


42

Documents

Proyecto Fin de M aster en T ecnicas Estad sticas - USCeio.usc.es/pub/mte/descargas/ProyectosFinMaster/Proyecto_409.pdf · Os Ancares, Terra de Lemos, Chantada, Quiroga y Sarria