Laboratorio de Fenómenos ColectivosUniversidad Nacional Autónoma de México

Física, Facultad de Ciencias

Proyecto Final“Leyes de Caída en un fluido”

Profesores: Fís. José Antonio Nava Ramírez,Fís. Martha Donají Méndez Torres

3° Semestre, Grupo 8059Integrantes del equipo:

José Eduardo Méndez DelgadoJuan Salvador Tafoya VargasMarco Antonio Pérez PerdomoBrenda Michelle Reyes Camacho

Fecha de experimento 15/11/2013Fecha de entrega 06/12/2013

Resumen

En el laboratorio, se midió el diámetro y la masa de 5 esferas distintas, estas para cada fluido y junto con los datos obtuvimos la densidad de cada esfera. Continuamente se obtuvo la densidad de cada fluido y su altura alcanzada en el tubo.

Se dejó caer libremente cada esfera en cada fluido correspondiente para así obtener la velocidad límite. Calculando mediante el uso de la Ley de Stokes, calculamos η (eta) coeficiente de viscosidad obteniendo los siguientes resultados:

Fluido η eηAgua 0.0017 0.0001Aceite 0.0268 0.0002Shampoo 51.2053 34.9711Glicerina 1.4958 0.0674

Obteniendo datos favorables debido a que el rango de error no supera el 7.5% lo cual se concluye que son fluidos newtonianos, salvo el Shampoo que al no ser un fluido newtoniano el error es mayor.

Objetivos

Obtener el coeficiente de viscosidad para cada fluido por medio de la Ley de Stokes

Introducción

En todo fenómeno físico existe una gran cantidad de variables que se tienen considerar para entender completamente lo que está pasando, y poder así crear un modelo que prediga su comportamiento. Siempre se intenta tener presentes todos estos fenómenos y limitaciones del entorno, pero casi siempre complican tanto el análisis que difícilmente se puede llegar a una conclusión general. Un ejemplo muy simple de esto es un cilindro girando sobre una superficie: podemos considerar la fricción generada por la superficie, su atracción eléctrica, la fricción con el aire, perdida de energía como calor y muchos factores más, pero al final los resultados obtenidos son casi los mismos que si se ignoran estos factores.

Cuando se considera al aire se considera como un agente modificador del movimiento ideal de un cuerpo se puede obtener una mejor predicción del movimiento del cuerpo en esas condiciones. Si se aplica esto en general se puede

predecir el comportamiento de un cuerpo dentro de cualquier fluido que se comporte de manera similar.

La Viscosidad en el flujo de fluidos es un reflejo de su tendencia a permanecer como un único cuerpo, y el arrastre que esto genera se asemeja a la fricción en el movimiento de los cuerpos sólidos. Cuando se desliza un cuerpo sobre otro, suministramos una fuerza externa F que se opone a f , si queremos mantener un movimiento a velocidad constante. En el caso del movimiento en un fluido, podemos considerar al movimiento de fluidos entre las dos placas paralelas.

Si se aplica una fuerza F a la placa de arriba, de manera que se encuentre en movimiento a una velocidad constante v relativa a la de abajo, que suponemos esta en reposo. La fuerza F se opone a la fuerza viscosa de resistencia al avance en la placa superior para mantener constante su velocidad.

Imaginamos que el flujo está dividido por capas paralelas a las placas. En tanto la viscosidad actúa no solo entre el fluido y la capa de arriba, si no entre las capas y las adyacentes. La rapidez de las capas difiere en dv de las que están debajo. El flujo del fluido donde la rapidez varia por capa recibe el nombre de flujo laminar. Donde se supondrá que la parte superior tiene la misma velocidad v que la placa de arriba y que el fondo de la parte inferior tienen la misma rapidez que la placa de abajo, es decir cero.

La fuerza externa F que se debe ejercer para crear un flujo laminar en el fluido es proporcional a la superficie A de la placa; cuanto más grande sea esta, mas viscosa será la resistencia al avance y mayor la fuerza que debe ejercerse. Esto es directamente proporcional al cambio de velocidad dv que ocurre en las capas de espesor dy , es decir, si las placas están muy cerca se requiere una mayor fuerza para que para mantener cierta velocidad en la placa de la parte superior. Por tanto tenemos que:

F α Advdy

e introduciendo una constante de proporcionalidad η, tenemos que

F=ηA dvdy

Donde la constante de proporcionalidad η (eta) se llama coeficiente de viscosidad.

Haciendo un análisis dimensional es fácil ver que las unidades de η son Ns

m2= kgm s

En el caso de las placas rectangulares, el gradiente de la velocidad (dv /dy ) es una constante en todas las capa, porque la velocidad aumenta lo mismo que dv en cada capa de espesor dy . Cuando

dvdy

= vD

Donde D es la separación entre las placas, entonces:

F=ηA vD

Cuando un objeto esférico se mueve en el seno de un fluido estacionario, o cuando un fluido ideal (η=0) se mueve en torno a él, las líneas de corriente forma un modelo perfectamente simétrico entorno a la esfera, con la presión en cualquier punto de la superficie de la esfera situada contra corriente igual a la de cualquier punto de la superficie a favor de la corriente y la fuerza neta sobre la esfera es cero.

Si el fluido es viscoso habrá un arrastre sobre la esfera. Se puede demostrar que la fuerza viscosa viene dada en función de la viscosidad η, el radio de la esfera r, y su velocidad respecto del fluido v, en la forma

F r=6 πηrv

la cual fue determinada por primera vez por sir George Stokes en 1845 y ahora es conocida como la Ley de Stokes.

Se puede utilizar para determinar la viscosidad de un fluido viendo la velocidad limite vl

que alcanza una esfera que cae en un seno, momento en el cual la fuerza retardadora viscosa mas el empuje es igual al peso de la esfera. Si ρ es la densidad de la esfera y ρ ´ la del fluido el peso de la esfera es:

w=mg=ρVg=43πr 3ρg

y además se puede determinar el empuje recibido por el fluido, el cual es

E=43π r3 ρ ´ g

Ahora hay que ver que conforme a la esfera aumenta su rapidez, también aumenta el arrastre generado por el fluido siguiendo la Ley de Stokes, y este arrastre tiene una magnitud

F r=6 πηrv

Haciendo un análisis de fuerzas sobre la esfera, se tendrá que

ma=mg−E−F r

Se alcanzará la velocidad límite cuando la esfera deje de acelerar, i.e.

0=mg−E−F r

Que es equivalente a que

6 πηr v l+43π r3 ρ ´ g=4

3π r3 ρg

De donde se puede obtener que la velocidad limite será

v l=2 gr2

9η( ρ−ρ ' )

Entonces, será posible predecir la máxima velocidad alcanzada por una esfera de radio r y densidad ρ mientras cae dentro de un fluido con densidad ρ ' y coeficiente de viscosidad η .

En particular, se puede obtener que para un determinado fluido la velocidad límite para esferas de radio r y densidad ρ está dado por

v l=k r2 ( ρ−ρ ' )

Donde

k=2g9η

Desarrollo Experimental

Para realizar los experimentos necesarios para obtener la información requerida se utilizaron los siguientes materiales

Cámara de video con tripie Vernier Bascula electrónica Cinta métrica Cronometro Tubos con fluidos (agua, aceite, shampoo, glicerina)

Densímetro (uno para cada fluido) 20 esferas de distintas masas y radios (5 para cada fluido)

El experimento fue bastante simple. Primero, se midió el diámetro de todas las esferas utilizando un vernier y sus respectivas masas con una balanza electrónica. Tras hacer esto se midió la densidad del fluido utilizando el densímetro correspondiente, y después se midió la altura de la columna de líquido con la cinta métrica. La cámara se montó de modo que se tuviera una toma completa del cilindro con el fluido a analizar.

Una vez que el montaje experimental fue completado, se realizaron las mediciones. Para esto, se filmó un video corto donde se puede ver desde el momento en que la esfera toca la superficie del agua hasta que toca el fondo del contenedor. El experimento se repitió 5 veces con cada una de las 5 pelotas en cada fluido. Cada video se analizó utilizando Tracker Video Analysis usando la altura del líquido como referencia con el fin de obtener una gráfica de altura contra tiempo, y así conocer la rapidez en cada posición. Viendo la gráfica correspondiente a cada video se puede notar que en un determinado punto la esfera deja de acelerar y mantiene una rapidez constante por el resto de su viaje hasta chocar con el fondo. Llamaremos a esta velocidad vexp y como es de esperarse, será la velocidad limite medida.

Como ya sabemos, para un determinado líquido la velocidad máxima dependerá únicamente de la densidad de la esfera que cae en él y su radio siguiendo la siguiente regla de correspondencia

v l=k r2 ( ρ−ρ ' )

Obtener el valor de k no es difícil. Bastará con obtener la razón entre la velocidad limite experimental y r2 ( ρ−ρ ' ), que matemáticamente es

k=vexp

r2 (ρ−ρ ' )

y ver que se mantiene constante para todos los casos en un mismo fluido.

A continuación se muestra el valor de la masa y diámetro para cada una de las 20 esferas (5 para cada fluido) utilizadas

AGUA m(g) D(cm)1 28.1 28.1 28.2 3.770 3.770 3.7702 32.3 32.4 32.4 3.950 3.950 3.9503 28.2 28.1 28.1 3.770 3.770 3.7704 32.6 32.6 32.6 3.960 3.960 3.9605 32.6 32.6 32.6 3.960 3.960 3.960

ACEITE m(g) D(cm)1 27.4 27.4 27.4 3.760 3.755 3.7602 26.0 26.0 26.0 3.760 3.770 3.7653 27.9 27.9 27.9 3.780 3.780 3.7854 28.1 28.2 28.1 3.780 3.780 3.7805 27.9 28.0 28.0 3.795 3.790 3.790

SHAMPOO

m(g) D(cm)

1 48.2 48.2 48.2 3.955 3.955 3.9552 58.0 58.0 58.0 3.785 3.780 3.7803 77.8 77.8 77.8 3.790 3.795 3.7904 85.9 86.0 85.9 3.950 3.950 3.9505 95.6 95.7 95.7 3.960 3.955 3.960

GLICERINA m(g) D(cm)1 61.9 62 61.9 3.900 3.895 3.8952 49.8 49.8 49.8 3.905 3.910 3.9053 48.4 48.4 48.4 4.010 4.010 4.0104 62.2 62.1 62.2 3.750 3.755 3.7555 60.4 60.4 60.3 3.915 3.910 3.910

donde el error asociado a las mediciones de masa es em=±0.05 g y a los de diámetro es eD=±0.0025cm. Convirtiéndolos a unidades del sistema internacional y con r=D /2 se tiene que

AGUA m(kg ) r (m)1 0.0281 0.0281 0.0282 0.01885 0.01885 0.018852 0.0323 0.0324 0.0324 0.01975 0.01975 0.019753 0.0282 0.0281 0.0281 0.01885 0.01885 0.018854 0.0326 0.0326 0.0326 0.0198 0.0198 0.01985 0.0326 0.0326 0.0326 0.0198 0.0198 0.0198

ACEITE m(g) r (m)1

0.02740.027

4 0.02740.0188 0.0187 0.0188

20.0260

0.0260 0.0260

0.0188 0.0188 0.0188

30.0279

0.0279 0.0279

0.0189 0.0189 0.0189

40.0281

0.0282 0.0281

0.0189 0.0189 0.0189

50.0279

0.0280 0.0280

0.0189 0.0189 0.0189

SHAMPOO m(kg ) r (m)1 0.048

2 0.0482 0.04820.0197 0.0197 0.0197

2 0.0580 0.0580 0.0580

0.0189 0.0189 0.0189

3 0.0778 0.0778 0.0778

0.0189 0.0189 0.0189

4 0.0859 0.086 0.0859

0.0197 0.0197 0.0197

5 0.0956 0.0957 0.0957

0.0198 0.0197 0.0198

GLICERINA m(kg ) r (m)1 0.0619 0.062 0.0619 0.0195 0.0194 0.01942

0.04980.049

8 0.04980.0195 0.0195 0.0195

30.0484

0.0484 0.0484

0.0200 0.0200 0.0200

40.0622

0.0621 0.0622

0.0187 0.0187 0.0187

50.0604

0.0604 0.0603

0.0195 0.0195 0.0195

Y en promedio

AGUA m(kg ) r (m) ACEITE m(kg ) er (m )1 0.0281 0.01885 1 0.0274 0.018792 0.0324 0.01975 2 0.0260 0.018833 0.0281 0.01885 3 0.0279 0.018914 0.0326 0.01980 4 0.0281 0.018905 0.0326 0.01980 5 0.0280 0.01896

SHAMPOO m (kg ) r (m) GLICERINA m (kg ) r (m)

1 0.0482 0.01978 1 0.0619 0.019482 0.0580 0.01891 2 0.0498 0.019533 0.0778 0.01896 3 0.0484 0.020054 0.0859 0.01975 4 0.0622 0.018775 0.0957 0.01979 5 0.0604 0.01956

Donde em=±5∗10−5 kg y er=eD2

=1.25∗10−5m. Con estos datos podemos obtener la

densidad de cada esfera usando el promedio de las mediciones (cuyo error será el mismo pues 3em /3=em) y el error asociado a esta medición se calcula con

eρ=34 π (em 1r3−er 3mr4 )

Así

AGUA ρ eρ ACEITE ρ eρ1 1002.764 0.213 1 985.748 0.1682 1003.016 0.355 2 930.422 0.0643 1002.764 0.213 3 985.271 0.1884 1002.613 0.361 4 994.826 0.2065 1002.613 0.361 5 979.832 0.186

SHAMPOO ρ eρ GLICERINA ρ eρ1 1488.021 1.278 1 1999.153 2.2342 2048.234 2.297 2 1595.187 1.4613 2725.778 3.640 3 1433.553 1.2004 2663.004 3.507 4 2245.472 2.6815 2945.947 4.042 5 1926.252 2.098

Donde ρ y eρ están medidos en kg /m3.

Utilizando el densímetro se obtuvo la densidad de los fluidos analizados y con la cinta métrica se midió la altura de las columnas de líquido. Cada medición se realizó por triplicado y en cada caso las mediciones fueron las mismas. A continuación se muestran los valores obtenidos

Fluido ρ '(g /cm3) h(cm)Agua 0.998 68.6Aceite 0.916 76.5Shampoo 1.121 39.9Glicerina 1.261 63.5

donde los errores son eρ '=±0.0005g /cm3 y eh=±0.05cm.

Tras analizar los videos se pudo encontrar la rapidez límite de cada experimento, y para lograrlo bastó con ver que rapidez se mantuvo constante la esfera. En la siguiente grafica se puede ver claramente el momento en el que la bola deja de acelerar, que se ve reflejado en un cambio de posición en y respecto al tiempo t constante. A partir del segundo 0.3 podemos ver que su rapidez varía mínimamente (la pendiente casi no cambia), entonces esta rapidez será la máxima que podrá alcanzar.

Esto es más fácil de ver si se analiza la gráfica de rapidez vertical contra tiempo

Donde es más que evidente la rapidez límite. La siguiente tabla muestra los valores de rapidez límite medida para cada experimento

AGUA vexp(m /s)

1 2.1387 2.1236 2.0387 2.1406 2.10692 2.5632 2.5630 2.5409 2.5395 2.52473 2.1396 2.1236 2.1300 2.1406 2.12964 2.2314 2.2330 2.2324 2.2311 2.22415 2.2316 2.2156 2.2301 2.2334 2.1982

ACEITE vexp(m /s)1 1.9886 1.9779 1.9886 1.9794 1.98292 0.4116 0.4285 0.4096 0.4051 0.43403 1.9611 1.9996 2.0010 2.0144 1.98504 2.2885 2.1672 2.2067 2.1925 2.37325 2.0493 1.8530 1.9208 1.8852 1.9817

En el caso del shampoo y la glicerina grabar un video no era conveniente debido a que ambos son muy viscosos, y esto prolongaría mucho los videos. Entonces, se decidió medir la rapidez límite de estos utilizando que v=d / t . Para hacer esto, se soltó cada esfera desde una determinada altura h y se midió con un cronometro el tiempo que tardó en tocar el fondo del recipiente (et=±0.005 s). Los datos obtenidos se muestran a continuación

SHAMPOO

h (m ) t (s )

10.399 0.400

0.399

59.63 59.91 59.74

20.381 0.380

0.380

27.41 27.57 27.51

30.381 0.381

0.382

14.82 14.74 14.81

40.380 0.379

0.380

15.32 15.28 15.49

50.379 0.380

0.379

13.36 13.44 13.27

GLICERINA h (m ) t (s )1 0.634 0.634 0.63 1.54 1.56 1.58

42

0.634 0.6330.63

4 3.41 3.45 3.513

0.634 0.6340.63

4 6.23 6.15 6.314

0.633 0.6330.63

4 1.19 1.31 1.215

0.635 0.6340.63

3 1.80 1.62 1.71

entonces, la velocidad límite en cada caso será

SHAMPOO vexp(m /s)1 0.0067 0.0067 0.00672 0.0139 0.0138 0.01383 0.0257 0.0258 0.02584 0.0248 0.0248 0.02455 0.0284 0.0283 0.0286

GLICERINA vexp(m /s)1 0.41169 0.40641 0.401272 0.18592 0.18348 0.180633 0.10177 0.10309 0.100484 0.53193 0.48321 0.523975 0.35278 0.39136 0.37018

donde el error propagado se calcula con

e vexp=het+t eh

de modo que el error propagado en cada caso es

SHAMPOO evexp(m /s)1 0.0091 0.0099 0.01162 0.0106 0.0144 0.01563 0.0093 0.0079 0.00954 0.0096 0.0079 0.00965 0.0086 0.0089 0.0087

GLICERINA evexp(m /s)1 0.0008 0.0017 0.00202 0.0060 0.0085 0.00693 0.0113 0.0102 0.01274 0.0165 0.0172 0.01615 0.0218 0.0228 0.0217

Promediando, tendremos que

AGUA vexp e vexp ACEITE vexp e vexp1 2.1097 0 1 1.9835 02 2.5463 0 2 0.4178 03 2.1327 0 3 1.9923 04 2.2304 0 4 2.2456 05 2.2218 0 5 1.9380 0

SHAMPOO vexp e vexp GLICERINA vexp e vexp1 0.0067 0.0102 1 0.40645 0.00152 0.0138 0.0135 2 0.18334 0.00713 0.0258 0.0089 3 0.10178 0.01144 0.0247 0.0090 4 0.51304 0.01665 0.0284 0.0087 5 0.37144 0.0221

Estos datos son suficientes para encontrar la constante k asociada a cada fluido utilizando los promedios, y para hacerlo basta con utilizar la expresión

k=vexp

r2 ( ρ−ρ ' )

donde el error asociado a k está dado por

ek=e vexp1

r2 ( ρ− ρ' )+vexp(er −2

r3 ( ρ−ρ' )+(eρ−e ρ' ) −1

r2 ( ρ−ρ' )2 )Entonces, para cada esfera en su respectivo fluido se tiene que

AGUA k ek ACEITE k ek1 1246.4463 73.5153 1 80.5320 0.27582 1301.2750 35.9625 2 81.7476 2.36203 1260.0218 74.3160 3 80.4425 0.25564 1233.2456 35.5619 4 79.7518 0.19225 1228.4879 35.4247 5 84.4722 0.3037

SHAMPOO k ek GLICERINA k ek1 0.0466 0.0709 1 1.4506 0.00012 0.0417 0.0407 2 1.4379 0.05003 0.0447 0.0153 3 1.4672 0.15664 0.0411 0.0149 4 1.4797 0.04265 0.0397 0.0121 5 1.4596 0.0815

con k y ek medidos en m3/kg∗s. Se puede notar que las variaciones entre valores de k para un solo fluido no cambian mucho, por lo que se puede considerar que se mueven en torno a un valor cercano al promedio. Entonces, promediando los valores de cada fluido se tiene que

Fluido k ekAgua 1253.8953 50.9561Aceite 81.3892 0.6778Shampoo 0.0428 0.0308Glicerina 1.4590 0.0661

Ya que se puede ver que k es casi constante para cada fluido, se puede encontrar el valor de η utilizando que

k=2g9η

Y despejando, de modo que

η=2 g9ky eη=−ek 2g

9k2

Así que para cada uno de los líquidos analizados (con η y eη en kg /m∗s)

Fluido η eηAgua 0.0017 0.0001Aceite 0.0268 0.0002Shampoo 51.2053 1.9711Glicerina 1.4958 0.0674

Discusión

El experimento transcurrió tal lo previsto. Para la viscosidad de los fluidos utilizados, se comprobó la teoría, la cual nos dice que la magnitud de la fuerza de fricción de un cuerpo moviéndose en un fluido depende de la geométrica de su cuerpo, su velocidad y la fricción interna del fluido, medida la cual es dada por la viscosidad dinámica, por lo que la viscosidad puede ser determinada por la distancia, tiempo de caída, gravedad y la densidad de la pelota y el fluido.

El coeficiente de viscosidad obtenido en cada caso fue de 0.0017 Pa·s para el agua, 0.0268 kg/m Pa·s aceite, 51.2053 Pa·s shampoo y 1.4958 Pa·s en el caso de la glicerina, mientras que los valores teóricos son el 1002 Pa·s agua, 0.27 Pa·s aceite, 1.5 Pa·s glicerina, y en el caso del shampoo se observó, que debido a su comportamiento, no era un fluido newtoniano. Así que con la incertidumbre asociada a esta medición la cual es de 5.88%, 0.75%, 4.5% respectivamente, concluimos que los resultados son aceptables.

Cabe notar que el coeficiente de viscosidad es ligeramente menor al teórico, esto puede deberse a que pudo haber un error de paralaje al medir la densidad de los fluidos con el densímetro, incluso puede a ver pasado a que se produjera una vibración en el fluido debido a que por accidente se moviera la mesa, o bien en el caso del shampoo y del aceite, la reacción al iniciar y parar el cronometro pudo ser retardada ligeramente, claramente, esto se ve reflejado en la incertidumbre

Conclusiones

Podemos concluir que se obtuvo resultados bastante favorables, ya que la diferencia del valor del coeficiente de viscosidad obtenido experimentalmente en cada caso y el teórico es prácticamente imperceptible. Esto realizo empleando la ley de Stokes, obteniendo incertidumbres las cuales son menores al 7.5%, excepto en el caso del shampoo (debido a que es un fluido no newtoniano), rango el cual es aceptable.

Lo resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Fluido η eηAgua 0.0017 0.0001Aceite 0.0268 0.0002Shampoo 51.2053 34.9711Glicerina 1.4958 0.0674

Bibliografía

1. Resnick, R., Halliday, D. y Krane K. S., Física, Vol. 1, (CECSA, 5ª edición, México, 2004).

2. Sears, F. W., Zemansky, M. W., Young, H. D. y Freedman, R. A., Fisica Universitaria Vol. 1, (Pearson Educación, 11ª Edición, México, 2004).