Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)

7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)

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Ingeniera de Control Clsico Pgina1

TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO

I.T.Z.

INGENIERA ELECTROMECNICA

ASIGNATURA

INGENIERA DE CONTROL CLASICO

PROYECTO FINAL(MOTOR CD CONTROLADO

POR CORRIENTE DE ARMADURA)

MAESTRO

ING. JOSE ALFONSO CAMILO SANTANA

ALUMNOS

RODRIGO RIVERA ZAVALA, No. CONTROL: 11090364

OCTAVIO GOMEZ MONTERO, No. CONTROL: 11090298

JOHNATAN JAHIR AGUAYO JUAREZ, No. CONTROL: 11090233

NEIL BONY CRDENAS NJERA, No. CONTROL: 10091429

JOSE DAVID MUSITO ALCANTARA, No. CONTROL: 11090333


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1. RESUMEN

En este trabajo se presenta el modelo matemtico de un motor de corriente

continua. Se ha desarrollado el modelo matemtico usando ecuaciones

diferenciales y a su vez tambin se desarroll el anlisis respectivo en trminos delas variables fsicas que se tiene en el motor, como en la carga mecnica acoplada

al mismo. Adicionalmente se ha simulado y se ha obtenido la respuesta de control

de la velocidad la cual puede ser en funcin de la corriente de armadura y para

esto se utiliz SIMULINK, una herramienta del programa MATLAB.

Los motores de corriente continua son los ms comunes y econmicos, y se

pueden encontrar en la mayora de los juguetes a pilas, constituidos, por lo

general, por dos imanes permanentes fijados en la carcasa y una serie de

bobinados de cobre ubicados en el eje del motor, que habitualmente suelen sertres y a su vez son ampliamente usados a nivel industrial. Los motores de

corriente continua permiten un amplio rango de velocidad y pueden proporcionar

un alto par-motor con control ms sencillo y econmico que cualquier motor de

corriente alterna. En la actualidad los mtodos de control de velocidad se han ido

desarrollando considerablemente y los ms comunes son el control de velocidad

por corriente de campo y el control de velocidad por corriente de armadura, que

son tcnicas de control no lineal.

Para poder analizar estos mtodos se requiere del conocimiento fsico delsistema, unidades de las constantes que aparecen en el modelo, seleccin

adecuada de las variables de estado y conocimientos de desarrollo de ecuaciones

diferenciales utilizando la transformada de Laplace y a su vez para poder observar

el comportamiento un simulador el cual para objeto de estudio se utiliza

SIMULINK una herramienta del programa MATLAB. La seleccin de variables no es

evidente, sino ms bien resulta de la experiencia en el modelado de sistemas

elctricos y mecnicos, y as como de la apropiada seleccin de constantes fsicas

como de friccin, inercia y torque elctrico.

En esta propuesta, se desarrolla el modelo matemtico de un mtodo de control

de velocidad el cual es: control de velocidad por corriente de armadura. Para esto

el motor a utilizar ser un motor de excitacin separada y se tendr un anlisis

fsico que explota el conocimiento sobre los parmetros y las unidades fsicas del

motor de corriente continua, as como cierta experiencia en identificar constantes

de tiempo en sistemas elctricos y mecnicos, y al mismo tiempo se tendr un


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anlisis matemtico, pues se emplea la teora de control para la seleccin de las

variables de estado. Dentro del trabajo se presenta una simulacin y se determina

el comportamiento de la velocidad del motor con respecto a la corriente de

armadura con condiciones iniciales establecidas.

Finalmente se concluye analizando los resultados obtenidos de la simulacin con

el modelo matemtico determinado.

2. INDICE

3 Marco Terico 4-8

4 Modelo Matemtico 9-10

5 Diagrama de bloques 11-13

6 Espacio de modelos de estados 14-16

7 Respuesta Dinmica 16-18

8 Error en estado estable con escaln unitario 19-22

9 Controladores P, PI, PID, Zieglers-Nichols 23-27

10 Estabilidad y LGR 28-32


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3. MARCO TEORICO

Proceso de modelado.

El proceso de modelado analtico se divide en tres grandes etapas. La primera deellas consiste en la delimitacin del modelo en funcin de los fenmenos que

resultan relevantes de acuerdo al problema que se quiere resolver. Esta es una

etapa que no puede sistematizarse fcilmente y que requiere por ende de una

cierta dosis de intuicin y por sobre todo de una vasta experiencia en relacin con

el sistema a modelar.

Una vez delimitados los fenmenos que se consideraron relevantes para la

construccin del modelo, se pasa a la siguiente etapa en la que se deben

formalizar las relaciones constitutivas y estructurales asociadas respectivamente alos fenmenos considerados y a la forma en que estos se disponen dentro del

sistema. En los sistemas fsicos, estas relaciones constitutivas y estructurales

encuentran su expresin formal (matemtica) en las leyes fundamentales de los

dominios de la fsica asociados a los fenmenos mencionados.

Por este motivo, el modelado analtico de un sistema fsico no es posible sin un

conocimiento de las leyes fsicas elementales asociadas a los fenmenos en

cuestin.

Sistemas Mecnicos.

La mecnica clsica (newtoniana) se ocupa de describir fenmenos asociados con

el movimiento de los cuerpos. Por este motivo, en los sistemas mecnicos

tendremos habitualmente como variables descriptivas las posiciones, velocidades

y aceleraciones, con sus relaciones constitutivas bsicas:

=0

=0La ley fundamental de la mecnica clsica, y tambin la ms utilizada para el

modelado de sistemas es sin dudas la segunda ley de Newton:

- neta =0


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Que establece que la derivada de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual

a la fuerza neta aplicada. Esta ecuacin constituye una ley dinmica que ser una

relacin constitutiva fundamental asociada a cada cuerpo en el que se considere

la presencia de masa. Recordemos tambin que definamos a la cantidad de

movimiento como el producto de la masa por la velocidad:

Otras leyes importantes son las asociadas a los fenmenos de friccin y de la

elasticidad. En el caso de la friccin, una hiptesis habitual es representar la

misma como una fuerza que se opone al movimiento cuya magnitud se relaciona

con la velocidad.

Friccin,Friccin)=0En el caso particular de la friccin viscosa la relacin se considera lineal,

caracterizada por un coeficiente de rozamiento.

Friccin - Friccin=0El fenmeno de elasticidad, por su parte, vincula la fuerza ejercida sobre uncuerpo con la deformacin sufrida por el mismo. Una aproximacin habitual para

representar esta relacin en un resorte, en funcin de una constante de

elasticidad es la siguiente:

Resorte El resto de las relaciones que podrn aparecer en sistemas mecnicos sern en

general relaciones estructurales.


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Fig. 1 Sistema Mecnico (masa-resorte)

Sistema Mecnico Rotacionales.

Todas las leyes constitutivas vistas para los sistemas mecnicos traslacionales

tienen su equivalente rotacional, donde las fuerzas son reemplazadas por torques

en tanto que las posiciones, velocidades y aceleraciones traslacionales sonreemplazadas por sus versiones angulares.

Encontramos tambin elementos roto-traslacionales que vinculan variables de

ambos dominios. Un caso tpico es una polea, en la cual se verifica:

Siendo r el radio de la misma.

Del sistema fsico real al idealizado.

Cuando nos encontramos con un sistema real a modelizar. Estos esquemas, que

corresponden a los llamaremos sistema fsico idealizado, son producto de

simplificaciones que se realizan acorde al problema a estudiar.

Es muy importante no perder de vista que los modelos obtenidos resultarnadecuados slo para resolver determinados problemas y dentro de un rango de

operaciones dado.


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Es decir, el sistema fsico idealizado depender no slo del sistema real en s, sino

tambin del problema a resolver y del intervalo de validez que se pretenda tener

para el modelo resultante.

Lamentablemente, no hay una metodologa que nos permita realizar estas

simplificaciones de forma sistemtica. Esta etapa del modelado (que es quizs la

ms importante en virtud de que todo el resto depender de lo que se haga aqu)

se resuelve en gran medida a partir de consideraciones sujetas a la experiencia y

al conocimiento del proceso real.

Sin embargo los sistemas complejos pueden habitualmente dividirse en

subsistemas ms simples de los cuales se encuentran modelos en base a

simplificaciones ya probadas en problemas similares. Por eso es fundamental

antes de comenzar a realizar las primeras simplificaciones de un sistema real,

buscar en la literatura modelos de sistemas similares en los cuales se manifiesten

los mismos fenmenos.

Es muy importante tener en cuenta siempre que debido a que la obtencin de un

modelo se basa en la aplicacin de hiptesis simplificadoras, los modelos tendrn

validez siempre que se respeten las mencionadas hiptesis.

Del sistema idealizado al sistema matemtico.

Una vez realizadas las simplificaciones y obteniendo esquemas decimos que

tenemos un sistema fsico idealizado. Aunque estos sistemas en general

contienen toda la informacin que se necesita para la construccin de un modelo

matemtico, este pasaje no es trivial.

Asociadas al esquema, tendremos un buen nmero de relaciones matemticas

que vincularn las variables descriptivas del modelo y que sern consecuencia

tanto de los fenmenos fsicos considerados (relaciones constitutivas) como de la

interaccin entre los mismos en funcin de su disposicin en el sistema

(relaciones estructurales). En general, las relaciones constitutivas estarn

determinadas explcitamente en el esquema (teniendo en cuenta las leyes fsicas

correspondientes) mientras que la obtencin de las relaciones estructurales

requerir de algn tipo de anlisis geomtrico y/o topolgico (en relacin al

espacio).


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De esta forma, una vez que se tiene el sistema fsico idealizado el siguiente paso

hacia la obtencin de un modelo matemtico ser el de reunir las relaciones

constitutivas y estructurales involucradas. En muchos casos encontraremos

conjuntos de relaciones matemticamente equivalentes, por lo que no sern

necesarias todas las relaciones para la construccin del modelo.

Una vez que tengamos todas las relaciones matemticas necesarias, an no

tendremos un modelo matemtico muy til. Si bien tendremos una especie de

sistemas de ecuaciones (en realidad una mezcla de ecuaciones diferenciales y

algebraicas), este sistema as planteado no tendr una estructura que nos permita

estudiar y resolver problemas.

Por esto, el paso siguiente tras reunir las relaciones constitutivas y estructurales

es el obtener un sistema de ecuaciones que tenga una estructura que permita

aplicar alguna teora matemtica adecuada ya establecida.

Dado que trataremos con sistemas fsicos bajo hiptesis de parmetros

concentrados, buscaremos arribar a los modelos con que trata la teora de

ecuaciones diferenciales. En general, utilizaremos dos tipos de expresiones:

Las ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) y los sistemas de Ecuaciones de

Estado y de Salida (EE/ES). Para llegar a este tipo de expresiones deberemos

manipular las ecuaciones dadas por las relaciones constitutivas y estructurales

siguiendo diferentes tcnicas.

Fig. 2 Sistema idealizado al Sistema matemtico.


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4. MODELO MATEMTICO.

Motor de CD controlado por corriente de armadura.

Considerando perturbacin por el torque nulo.

Datos:

La= 0.5

J= 0.08

Km= 0.01

Va= 5 v

Ra=1b=0.2

Kb=0.01

Tp=0 (perturbacin).

Ecuaciones:

FCEM (fuerza contra electromotriz)


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Torque del motor

Carga expresada en trminos de Velocidad angular.


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5. DIAGRAMA DE BLOQUES.

Sustituyendo los valores obtenemos:

Despejando el trmino con el exponente mayor, obtenemos la funcin de transferencia.


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Reduccin de bloques con Matlab


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Con lo anterior obtenemos:

Con ayuda de Matlab realizamos el feedback

Y obtenemos la funcin de transferencia.


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6. ESPACIO DE MODELOS DE ESTADO.

Del diagrama de bloques:

Se procede a obtener la funcin de transferencia y a despejar de la siguiente

manera:

Despejando la derivada de mayor orden:

Las variables de estado son:

X1(t)=

X2(t)=Derivando cada una obtenemos:

X1 (t)= Sustituyendo obtenemos:

A partir de estas ecuaciones obtendremos lo siguiente:

[ ]= []+


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[] )

Para B1:

Para B2:

A partir de esas ecuaciones se obtiene:


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[ ]= [

]+ []

7. RESPUESTA DINMICA.

LAPLACE

Fracciones parciales

A +B +C=0


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Grfica: Caracterizacin con escaln unitario.

Respuesta ante una seal de entrada escaln unitario y un voltaje de entrada 5 v.

Comprobacin con simulink:


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FT = G(s) =

Por lo tanto:

Wn=

2Wn=4.5 por tanto =

Tp== Tp=indeterminado

Ta=

Ta= 1.78 s

Te= Te= 1.475

Mp= Mp0


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8. ERROR EN ESTADO ESTABLE CON ESCALON UNITARIO.

z

=

( )

Seal de entrada boW (t)

Va (s) W(s)

W(s)

K


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Sustituir

u

u

u

Kp Ki Ti Td Kd

P

2.5 --- --- --- ---

PI

2.25 1.158 1.94 --- ---

PID

3 0.695 4.316 0.173 0.521

Parte Imaginaria Parte Real


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Grafica en Simulink.

Grafica P de la funcin:


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Grafica PI de la funcin:

Grafica PID de la funcin:


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9. CONTROLADORES P, PI, PID Y ZIEGLERS-NICHOLS.

APLICACIN DE CONTROLADORES AL MOTOR DE CD

Sustituimos S por JW en el polinomio caracterstico.

Parte imaginaria parte real


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GRAFICAS EN SIMULINK

Controlador Kp Ti Ki Td Kd

P 45 ___ ___ ___ ___

PI 40.5 2.3416 17.2958 ___ ___PID 54 1.405 38.4341 0.3512 18.9648


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1. Grfica dando los siguientes valores: Proporcional: 45 Integral: 0 Derivativo: 0

2. Grafica dando los siguientes valores:

Proporcional: 40.5

Integral: 17.2958 Derivativo: 0


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3. Grafica dando los siguientes valores:

Proporcional: 54

Integral: 38.4341

Derivativo: 18.9648


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Como conclusin, se enumeran las principales caractersticas de los diferentestipos de controladores: P, PI, PD y PID.

Control proporcional

El tiempo de elevacin experimenta una pequea reduccin. El mximo pico de sobre impulso se incrementa. El amortiguamiento se reduce. El tiempo de asentamiento cambia en pequea proporcin. El error de estado estable disminuye con incrementos de ganancia. El tipo de sistema permanece igual.

Control proporcional-integral

El amortiguamiento se reduce. El mximo pico de sobre impulso se incrementa. Decrece el tiempo de elevacin. Se mejoran los mrgenes de ganancia y fase. El tipo de sistema se incrementa en una unidad. El error de estado estable mejora por el incremento del tipo de sistema.

Control proporcional-derivativo

El amortiguamiento se incrementa. El mximo pico de sobre impulso se reduce. El tiempo de elevacin experimenta pequeos cambios. Se mejoran el margen de ganancia y el margen de fase. El error de estado estable presenta pequeos cambios. El tipo de sistema permanece igual. Control proporcional-integral-derivativo Este tipo de controlador contiene las mejores caractersticas del control proporcin al

derivativo y del control proporcional-integral.


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10.ESTABILIDAD Y LGR.

PASO 1: Ecuacin Caracterstica.

Encontrar:

n = (POLOS X) POLOS = 2

m = (CEROS 0) CEROS = 0

Con MATLAB:

K


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PASO 2: Localizacin de Polos y Ceros.

PASO 3: Asntotas Y Centroide.

n=No. polos = 2

m=No. ceros = 0

LUGAR GEOM TRICO DE LA RAZ (EJE REAL)

(S2.5) (S2)


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PASO 4: Cruce con el eje imaginario.

Criterio Routh-Hurwitz:

Punto de cruce con el eje imaginario.

NOTA: ESTE PUNTO EL CRITERIO DE ROUTH HURWITZNO SE APLICA, YA QUE EL

SISTEMA SIEMPRE ES ESTABLE Y NO EXISTE NINGUN CRUCE EN EL EJE IMAGINARIO.

S

4.5

51

S K

0

K

S


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PASO 5: Determinando los puntos del eje real.

Despejamos K

Derivamos la ecuacin

Con la ayuda de MATLAB encontramos el punto de partida

A= [2 4.5]

roots (A)

B= [1 4.5 5]

Polyval (B,-2.25)

PASO 6: Angulo de partida de los polos complejos.

NOTA: ESTE PUNTO, NO SE APLICA YA QUE EL SISTEMA SIEMPRE ES ESTABLE, NO

EXISTE NINGUN CRUCE EN EL EJE IMAGINARIO.

Puntos de partida:

S = -2.25


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PASO 7: Con ayuda de MATLAB encontramos el lugar geomtrico de las

races.

Grafica en MATLAB :

LUGAR GEOMTRICO DE LA RAZ (EJE REAL)ASINTOTA 90

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