Proyecto Matex Bac 1 Ccss

PROYECTO MATEX MATEMATICAS DE BACHILLERATO F. J. GONZALEZ ORTIZ 1 DE CC.SS.

MATEMATICAS 1 Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

N meros Reales uFrancisco J. Glez Ortiz

SOCIALES

MaTEX Numeros RealesDoc Doc ISBN: 84-688-8267-4 Volver Cerrar

DirectorioTabla de Contenido Inicio Art culo

c 2004 [email protected] D.L.:SA-1415-2004


Tabla de Contenido1. Introduccin o Nmeros Naturales Nmeros Enteros Nmeros Racionales u u u Nmeros Irracionales Nmeros Reales u u 2. Potencias y Radicales 2.1. Potencias enteras Propiedades de las potencias enteras 2.2. Radicales Propiedades de los radicales 2.3. Potencias fraccionarias Propiedades de las potencias fraccionarias Soluciones a los Ejercicios

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

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Seccin 1: Introduccin o o

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MATEMATICAS 1 Bachillerator=A+lu A

1. Introduccin o

Nmeros Naturales uLos nmeros naturales son los nmeros u u 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 100, . . . , 1000, . . . y as hasta el innito. En matemticas indicamos todos ellos entre a llaves para designar a todos los nmeros naturales u N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , n, . . . } La letra N se utiliza para designar simblicamente al conjunto de todos o los nmeros naturales. u

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Nmeros Enteros uLos nmeros enteros corresponden a los nmeros naturales, nmeros u u u naturales negativos y el nmero 0; concretamente: u , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . Indicamos todos ellos entre llaves con la letra Z Z = {. . . , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }


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Nmeros Racionales uEl siguiente paso en la construccin de los nmeros reales es crear el o u conjunto de los nmeros racionales. Un nmero racional es un nmero u u u p de la forma con p, q Z y q = 0. Utilizamos la letra Q para designar q a todos los nmeros racionales u p Q={ |p, q Z, q = 0} q Estos son algunos ejemplos: 1 15 3251 8 , , , , 2 23 2098 9 Los racionales y los decimales. Cada nmero racional tiene una u expresin decimal que se obtiene dividiendo. o a) Algunos racionales tienen un desarrollo decimal nito. 3 = 0.75 4 46 = 0.368 125 27 = 13.5 2

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b) Algunos racionales tienen un desarrollo decimal peridico innio to. 2 12 = 0.666666 . . . = 1.33333 . . . 3 9


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c) El desarrollo decimal no es unico. Por ejemplo 3 = 0.75 = 0.749999999 . . . 4 De forma general un desarrollo decimal nito se puede expresar como un desarrollo decimal peridico innito: o 323.424552 = 323.424551999999 . . . = 323.4245519 0.5 = 0.4999999 . . . = 0.49 12.43 = 12.42999999 . . . = 12.429 d ) En la expresin decimal se distingue la parte no repetida o ano teperiodo y la parte repetida o periodo. As : nmero u 4.511333 . . . = 4.5113 0.77103103 . . . = 0.77103 323.10525252 . . . = 323.1052 anteperiodo 511 77 10 periodo 3 103 52

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Cmo hallar la fraccin de un decimal?. Cada nmero o o u decimal tiene una expresin racional. o Ejemplo 1.1. Hallar en forma de fraccin 12.75 o Solucin: Se multiplica y se divide respectivamente para desplazar la o coma tantos d gitos como decimales tiene el nmero. u 1275 255 51 100 12.75 = = = 100 100 20 4 Ejemplo 1.2. Hallar en forma de fraccin N = 13.7125 o Solucin: o Se multiplica para desplazar la coma hasta abarcar el periodo. Tambin e se multiplica para desplazar la coma hasta abarcar el anteperiodo. Por ultimo se restan esas dos cantidades. 10000 N 10 N 9990 N N = = = = 137125.125125 . . . 137.125125 . . . 11187. 136988 . 9990

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SOCIALES



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Nmeros Irracionales uHay otros nmeros adems de los racionales?. La respuesta es aru a mativa. Con los nmeros racionales ya podemos representar casi todas u las cantidades que encontramos en la vida cotidiana. Sin embargo, hay otra clase de nmeros, los nmeros irracionales u u que se escriben con una innidad de decimales pero que no tienen un per odo, es decir, no tienen cifras que se repitan en el mismo orden y, a diferencia de los racionales, no pueden ponerse en forma de fraccin o de dos nmeros enteros. u 2 = 1.4142135623730950488016887242097 . . . 3 = 1.7320508075688772935274463415059 . . . = 3.1415926535897932384626433832795 . . .

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Nmeros Reales uEl conjunto de todos los nmeros reales, simbolizado con R, conu siste en todos los nmeros racionales y todos los nmeros irracionales. u u En s mbolos, R = {x |x es racional o irracional}

Seccin 2: Potencias y Radicales o

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2. Potencias y Radicales 2.1. Potencias enteras Sea a un nmero y n N un nmero natural. El s u u mbolo a est denido como a an = a a a anveces n

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Esta denicin se extiende al caso de potencias negativas de la forma o an = 1 an donde nN ya=0

Ejemplo 2.1. Calcular las potencias enteras: a) 25 b) 25 c) 53

a) 25 = 2 2 2 2 2 = 32. b) 25 = c) 53 1 1 1 = = . 5 2 22222 32 1 1 1 = 3 = = . 5 555 125


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Propiedades de las potencias enterasSea a nmero real con n y m nmeros naturales, u u entonces an am = an+m Producto an = anm am (an )m = an m Cociente Potencia

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Ejemplo 2.2. Calcular. a) a5 a3 Solucin: o a) a5 a3 = a5+3 = a8 b) a5 : a3 = a53 = a2 c) a53

b) a5 : a3

c) a5

3

= a53 = a15


10


Ejercicio 1. Calcular. a) c) e) 25 28 29 27 72 79 79 71 82 49 29 81 b) d) f) 34 35 31 312 53 58 51 510 273 98 310

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Ejercicio 2. Calcular. a) m2 n3 m3 n6 a2 b3 a b2 a4 b4 a3 b5 b) 5 x1 y 4 x2 y 2 a3 a8 a1 a10 a2 a3 (a2 )3

c) e)

d) f)


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2.2. Radicales Sea a R un nmero real y n N un nmero natural. Denimos u u la ra nsima como sigue z e Caso 1 Si n es impar llamamos ra n-sima de a al nmero b que z e u cumple bn = a, y lo escribimos como b= na signica bn = a Caso 2 Si n es par llamamos ra n-sima de a al nmero b > 0 que z e u cumple bn = a, y lo escribimos como signica bn = a b= na Atencion Los radicales de ndice impar siempre estn denidos a 3 3 27 = 3 27 = 3 sin embargo los de ndice par slo para los nmeros positivos o u 2 2 16 = 4 16 = no existe

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Propiedades de los radicalesSean a y b nmeros reales con n y m nmeros naturales, u u entonces R1 n an = a si n impar, y n an = |a| si n par. n n R2 ab = n a b si n impar, o si n par con a, b 0. n n a a = si n impar, o si n par con a, b 0. R3 n b b R4 a= ser a 0.m

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SOCIALES


n

mn

a si m, n impares, en otro caso tiene que

Ejemplos de la propiedad R1 3 3 a) 23 = 8 = 2 2 2 c) 52 = 25 = 5

b) d)

3

(2)3 = (5)2 =

3 2

8 = 2 25 = 5

2

Atencion Recuerda que si n es par la frmula correcta es o n n a = |a| n es par


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Es importante el detalle de que n sea par, pues su olvido puede llevar a contradiccin o absurdo. As por ejemplo o (3)2 = 9 = 3 Si usamos mal la propiedad pondr amos (3)2 = 3 = 3.

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La propiedad R2 y R3 establece que ((la ra n-sima de un z e producto o cociente es el producto o cociente de las ra ces n-simas e cuando n es impar, o cuando n es par pero los factores a y b son no negativos)). Cuando a < 0 o b < 0 el caso es errneo pues o n n ab = n a b Por ejemplo con n = 2, a = 1 y b = 1 se tendr a (1)(1) = 1 = 1 = 1 1 3 8 2 3 3 3 3 8 a) 8 27 = 8 27 = 2 3 = 6 b) = = 3 27 3 27


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Ejercicio 3. Calcular . a)2 2

2

7

b)

3

2

3

3

c)

15

5

4

d

5

B s=B+mv

SOCIALES

Inicio del Test Indicar la respuesta a las cuestiones sobre radicales: 1. El radical de a2 equivale a: (a) a 2. El radical de (a) a 3. El radical de (a) 3 4. El radical de (a) x 3 5. El radical de (a) |x| y2 4


3

(b) |a| a3 equivale a: (b) |a| (3)2 equivale a: (b) 3 (x 3)4 equivale a: (b) |x 3| x2 y equivale a: (b) x y

(c) otro valor (c) otro valor (c) otro valor (c) otro valor (c) otro valorCorrectas

Final del Test Puntos:


15


Inicio del Test Responde las siguientes cuestiones: Cierto 1. a = a 2 Cierto 2. a2 = a2 3. 4. 5. 6. 7. 8. 3 a3 = a Cierto Cierto Cierto Cierto Cierto CiertoCorrectas

Falso Falso Falso Falso Falso Falso Falso Falso

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a4 = a2 4 a4 = a 5 5 a = |a| 6 x6 = |x| 2 3 = (2)2 3

Final del Test Puntos:


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2.3. Potencias fraccionarias A partir de los radicales denimos las potencias de exponente fraccionario como: a1/n

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=

n

a

a

1/n

1 = n a

a

p/q

= (a )

p 1/q

=

q

ap


Ejercicio 4. Expresar las potencias fraccionarias como radicales a) 43/2 d ) (x + 1)2/3 b) 81/3 e) x1/2 c) (4)3/2 f ) z 4/5

Propiedades de las potencias fraccionariasSean a, b nmeros reales con r y s nmeros u u racionales, entonces ar as = ar+s Producto (a b)r = ar br (ar )s = ar m Potencia


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Ejemplo 2.3. Efecta y expresa la solucin en forma radical. u o 3 5 3 6 a) 3 3 b) 9 3 5 x c) 3 x 6 d) 3 a3 a2

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Solucin: Observar que es ms cmodo operar con exponentes fraco a o cionarios que con radicales. 15 5 3 a) 3 3 = 31/3 31/5 = 31/3+1/5 = 38/15 = 38 6 3 6 b) 9 3 = 32/3 31/6 = 32/3+1/6 = 35/6 = 35 5 x x1/5 1 c) = 1/3 = x1/51/3 = x2/15 = 15 3 x x x2 6 3 a 1 a3/6 d ) = 2/3 = a3/62/3 = x1/6 = 3 2 6 x x a


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Ejemplo 2.4. Efecta y expresa la solucin en forma radical. u o a) x3 c) 2 5 3 x x x 3 x b) 3 3 a4

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x2 d) x


Solucin: o a) x3 b) c) 3 2 1 2 5 15 3 x x = x3 x1/3 x2/5 = x3+ 3 + 5 = x56/15 = x56 3 a4 = a4/3 x=1/2

= a4/6 = a2/3 =

3

a2

x

3

3 x 6 x = x1/2 x1/6 = x1/2+1/6 = x2/3 = x2

x2 x2/3 d ) = 1/2 = x2/31/2 = x1/6 = 6 x x x


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Ejercicio 5. Efecta y expresa la solucin en forma radical. u o a) x3/2 x5/2 c) x1/2 y 3/2 x1/2 y 2 b) a2/3 a1/6 d) a2/3 a22 x1/3

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SOCIALES


e) (x y)3/2 x4

f)

x2

Ejercicio 6. Efecta y expresa la solucin en forma radical. u o a) c) a3 a b3 b ab3

b)

n

m

2m

x

4

d ) a1/3

a

a b3 e) 4 ab

a3 f) 4 3 a


20


Ejercicio 7. Efecta y expresa la solucin en forma radical. u o a) 27 4 3 9 9 b) 3

6

4

a9

6

3

4

d B s=B+mv

a9

SOCIALES

c)

84 816 45 642

1253 d) 4 253


Soluciones a los Ejercicios

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Soluciones a los Ejercicios Ejercicio 1. 25 28 29 27 216 a) 9 7 = 5 8 = 13 = 23 = 8 2 2 2 2 2 b) c) d) e) f) 34 35 31 312 = 31 312 34 35 = 313 39 = 34 = 81

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SOCIALES

MaTEX Numeros RealesEjercicio 1Doc Doc Volver Cerrar

72 79 72 71 73 1 = 9 9 = 18 = 15 9 71 7 7 7 7 7 53 58 51 510 511 = 3 8 = 11 = 50 = 1 51 510 5 5 5 82 49 82 81 (23 )2 (23 )1 26 23 29 1 = 9 9 = 9 2 9 = 9 18 = 27 = 18 9 81 2 2 4 2 (2 ) 2 2 2 2 273 98 310 310 310 310 1 = 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16 = 25 = 15 10 3 27 9 (3 ) (3 ) 3 3 3 3


22


Ejercicio 2. m2 n3 m3 n6 m3 n6 m2 n3

d B s=B+mv

a) b) c) d) e) f)

=

= m n3

SOCIALES

5 x1 y 5 x2 y y 2 5 = = x y3 2 y 2 1 4x 4x 4 a2 b3 b2 1 = 2 3 = 3 2 ab a ab a b a3 a8 a1 a10 a11 = 3 8 = 11 = a0 = 1 a1 a10 a a a a4 b4 a4 a3 b5 = = a7 b a3 b5 b4 a2 a3 (a2 )3 = a3 a6 = a7 a2 Ejercicio 2



23


Ejercicio 3. 2 3 8

d B s=B+mv

a) b) c)

2

2

7= 3=

7 3 7 Ejercicio 3

SOCIALES

3

2

18


15

5

4

5=

300


24


Ejercicio 4. a) 43/2

d

=

2

43 = 1

64 = 8.

B s=B+mv

SOCIALES

b) 81/3 =

81/3

1 1 = = . 3 2 8 12


c) (4)3/2 =

1 = (4)3/23

(4)3

= 2

1 . No es un nmero real. u 64

d ) (x + 1)2/3 = e) x1/2 = f ) z 4/5 = 1 x1/2 1 z 4/5

(x + 1)2 .

1 = . x 1 = . 5 4 z Ejercicio 4


25


Ejercicio 5. a) x b) a3/2

d

x a

5/2

=x

3/2+5/2

=x

8/2

=x

4 1/2

B s=B+mv

SOCIALES

2/3

1/6

=a

2/31/6

=a

3/6

=a

=

a

x1/2 y 3/2 x c) 1/2 2 = x1/2+1/2 y 3/22 = x1 y 1/2 = y x y d) a2/3 1 1 = a2/32 = a4/3 = 4/3 = 3 4 2 a a a x11 y3


e) (x y)3/2 x4 = x3/2 y 3/2 x4 = x3/2+4 y 3/2 = x11/2 y 3/2 = f) x1/3 x22

=

x2/3 3 = x2/3+2 = x8/3 = x8 2 x Ejercicio 5


26


Ejercicio 6. b3

d

a)n

a3

)=

a3

4

3

=

b

a9

4

b3 n

B s=B+mv

SOCIALES

b) c)

m

2m

x

=

nm

x

2m

= x2m/nm = x2/n =

x2

MaTEX 4 b7

= a1/2+1/4 b3/2+1/4 = a3/4 b7/4 =

4

a3

6 d ) a1/3 a = a1/3 a1/2 = a1/3+1/2 = a5/6 = a5 a b3 a1/2 b3/2 4 e) = 1/4 1/4 = a1/21/4 b3/21/4 = a1/4 b5/4 = 4 a b5 4 a b ab a3 a3/2 4 f ) = 3/4 = a3/23/4 = a3/4 = a3 4 3 a a Ejercicio 6

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Numeros Reales

a b3

4

a b = a1/2 b3/2 a1/4 b1/4 =


27


Ejercicio 7. a) 4 3 27 9 9 = 33 (32 )1/4 (32 )1/3 = 33 (3)1/2 (3)2/3 = 33+1/2+2/3 = 325/6 =3

d B s=B+mv

SOCIALES

6

325

MaTEX Numeros Reales

b) c)

6

4

a9

6

3

4

a9

=

18

a36

18

a36 =

18

a72 = a4

84 816 (23 )4 (23 )16 212 248 260 = 2 5 6 2 = 10 12 = 22 = 238 5 642 4 (2 ) (2 ) 2 2 2 (53 )3 1253 59/2 d) = 4 = 6/4 = 59/23/2 = 53 4 5 (52 )3 253 Ejercicio 7



Proyecto

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r=A+lu A

d B s=B+mv

POLINOMIOSFco Javier Gonzlez Ortiz a

SOCIALES

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Tabla de Contenido1. Polinomios 1.1. Operaciones con los polinomios Suma de polinomios Producto de polinomios Cociente de polinomios 1.2. Divisin por x a. Algoritmo de Runi o 1.3. Valor numrico de un polinomio. Teorema del Resto e 2. Factorizacin de polinomios o 2.1. Ra de un polinomio. z 2.2. Mtodos de Factorizacin e o 3. Fracciones Algebraicas 3.1. Operaciones con fracciones algebraicas Suma de fracciones algebraicas Producto y divisin de fracciones o algebraicas Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

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Seccin 1: Polinomios o

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1. Polinomios Denicin 1.1 Un polinomio, P (x) en x es una expresin algebraica nita o o de sumas, diferencias y productos de x con valores numricos constantes. e P (x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 Los nmeros ai son los coecientes del polinomio. El grado del polinomio es u el mayor exponente de x. Ejemplos de polinomios en x son: a) P (x) = 2 x + 1 es un polinomio de grado 1 o lineal. b) Q(x) = 3 x2 5 x + 1 es un polinomio de grado 2 o cuadrtico. a c) R(x) = 2 x3 4 x2 + 5 es un polinomio de grado 3 o cbico. u d ) T (x) = 2 x8 4 x6 + 5x 1 es un polinomio de grado 8. Al referirnos al grado de un polinomio escribiremos abreviadamente gr(P (x)), as en los ejemplos anteriores tenemos gr(P (x)) = 1 gr(Q(x)) = 2 gr(R(x)) = 3 gr(T (x)) = 8

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SOCIALES



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1.1. Operaciones con los polinomios

Suma de polinomiosPara sumar dos polinomios se suman los trminos semejantes. e Ejemplo 1.1. Sumar los polinomios P (x) = 2 x4 5 x3 + 6x2 x + 3 Q(x) = x4 + 6x3 5x2 2x 1. Solucin: o Para sumarlos es convenientes colocar los polinomios de forma que coincidan los trminos semejantes o de igual grado. e P (x) = Q(x) = P (x) + Q(x) = 2 x4 x4 x4 5 x3 +6 x3 x3 +6x2 5x2 +x2 x 2x 3x +3 1 +2

d B s=B+mv

SOCIALES


Ejercicio 1. Efectuar las sumas de los polinomios: a) P (x) = 3x5 + 2x4 x3 + 6x2 7 Q(x) = 2x4 2x3 + 5x2 + x b) A(x) = 4 8x + 5x2 x3 B(x) = 5 + 6x 5x2


5


Producto de polinomiosPara multiplicar dos polinomios P (x) Q(x) se multiplica cada trmino e de uno de ellos por todos los trminos del otro polinomio. e Ejemplo 1.2. Multiplicar los polinomios P (x) = 7 x 3 x + 52

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Q(x) = 2x 3.

P (x) = Q(x) =

7x2

3x 2x

+5 3 15

21x2 14x3 P (x) Q(x) = 14x3 6x2 27x2

+9x +10x +19x

15

Ejercicio 2. Multiplicar los polinomios: P (x) = 4x2 3 x + 2 Q(x) = x2 + 2 x 5Doc Doc Volver Cerrar

Polinomios

Solucin: o Es conveniente disponer los clculos como se muestra a continuacin: a o

MaTEX


6


Cociente de polinomiosAlgoritmo de la divisin. Los pasos a seguir para dividir dos polio nomios, N (x) gra(N (x)) gra(D(x)) D(x) siendo N (x) el numerador o dividendo y D(x) el divisor: a) Ordenamos los trminos del numerador N (x) y del divisor D(x) de e forma que las potencias de x sean decrecientes. b) Dividimos el primer trmino del numerador por el primer trmino del e e divisor. Esto da el primer trmino del cociente C(x). e c) Ahora, multiplicamos el trmino del cociente calculado por el divisor y e restamos al dividendo el producto calculado. El resultado es el resto. Si el grado del resto es menor que el grado del divisor, n de la divisin. o En caso contrario se divide el resto entre el divisor como en el apartado b) para calcular el siguiente trmino del cociente, y se e repite el proceso. Una vez hallados el cociente C(x) y el resto R(x) se puede expresar como, N (x) R(x) = C(x) + D(x) D(x)

d B s=B+mv

SOCIALES



7


Algoritmo de la divisin o 2x4 +x3 +3 x2 5 x 12 x2 4 2x2 Divisor Cociente

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX PolinomiosSe divide el trmino de mayor grado del dividendo entre el e trmino de mayor grado del divisor 2x4 : x2 = 2x2 . eDoc Doc Volver Cerrar


8


Algoritmo de la divisin o 2x4 2x4 x3 +x3 +3 x2 +8 x2 +5 x2 5 x 12 5 x 12 x2 4 2x2 Divisor Cociente

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Polinomios

Se multiplica 2x2 por el divisor y se cambia de signo para restrselo al dividendo a



9


Algoritmo de la divisin o 2x4 2x4 x3 x3

+x3

+3 x2 +8 x2 +5 x2

5 x

12

x2 4 2x2 + x

Divisor Cociente

d B s=B+mv

SOCIALES

5 x +4 x

12

resto parcial


+5 x2

x

12

Se divide el trmino de mayor grado del resto parcial entre el e trmino de mayor grado del divisor x3 : x2 = x. e


10



+x3

+3 x2 +8 x2 +5 x2

5 x

12

x2 4 2x2 + x + 5

Divisor Cociente

d B s=B+mv

SOCIALES

5 x +4 x

12

MaTEXresto parcial

+5 x2 5 x2

x

12 20

x

+8

Se divide el trmino de mayor grado del resto parcial entre el e trmino de mayor grado del divisor 5x2 : x2 = 5. e


Polinomios


11



+x3

+3 x2 +8 x2 +5 x2

5 x

12

x2 4 2x2 + x + 5

Divisor Cociente

d B s=B+mv

SOCIALES

5 x +4 x

12


+5 x2 5 x2

x

12 20

x

+8

RESTO

Cociente C(x) = 2x2 + x + 5 Resto R(x) = x + 8 y se cumple la relacin o N (x) = D(x) C(x) + R(x)

Cuando el grado del resto parcial es menor que el grado del divisor naliza la divisin. o


12


Ejercicio 3. Efecta las divisiones de los polinomios. u a) 2x3 3x2 + x 1 x2 b) 4x4 + 2x2 + x + 1 x2 + 1

d B s=B+mv

SOCIALES

a)

3x3 + 4x2 + 5x 1 x+2 4x2 6x 4 2x + 1 2x3 + 8x2 + 3x + 5 x2 + x + 2

b)

3x3 + 4x2 + 5x 1 x2 + 2 x4 2x 15 x2 5 x4 2x3 + 8x2 + 3x + 5 x2 + x + 2

c)

d)

e)

f)


Polinomios

Ejercicio 4. Efecta las divisiones de los polinomios expresando la solucin u o de la forma: N (x) R(x) = C(x) + D(x) D(x)

MaTEX


13


1.2. Divisin por x a. Algoritmo de Runi o Cuando el divisor es de la forma x a, la divisin se puede realizar de o una forma sencilla con el algoritmo de Runi. A la izquierda se realiza con la caja y a la derecha por Runi para observar como aparecen los coecientes del cociente y el valor del resto.4 x3 4 x3 6 x2 +8 x2 2x2 2

d B s=B+mv

SOCIALES

+5 x

11

x2 4 x2 + 2 x + 9

4 2 4 4 2

-6

5

-11


+5 x +4 x 9x 9 x 11 +18 7

2 x

-6 8 2 -6 8 2 -6 8 2

5

-11

4 4 2 4 4 2 4

5 4 9 5 4 9

-11

C(x) = 4 x + 2 x + 9 Resto = 7

2

-11 18 7


14


Ejemplo 1.3. Aplica la regla de Runi para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios:: x3 3x2 + 2x + 4 a) x+1 c) 2x 15x 8 x3 1 a) 1 3 1 2 4 4 63

d

x4 + x2 + 1 b) x+1 d) 4x + 4x 5x + 3 x+2 1 b) 1 1 0 1 1 1 1 2 0 2 2 1 2 33 2

B s=B+mv

SOCIALES


Solucin: o

1 4 6 2 2 C(x) = x 4x + 6 R(x) = 2 2 c) 3 0 6 15 18 8 9

C(x) = x3 x2 + 2x 2 R(x) = 3 4 d) 2 4 8 5 8 3 6

2 6 3 1 C(x) = 2x2 + 6x + 3 R(x) = 1

4 4 3 3 2 C(x) = 4x 4x + 3 R(x) = 3


15


1.3. Valor numrico de un polinomio. Teorema del Resto e Si en un polinomio sustituimos x por un valor numrico x = a obtenemos e el valor numrico del polinomio y lo indicamos como P (a). e Ejemplos de valor numrico de polinomios son: e a) En x = 1 el valor de P (x) = 2 x + 1 es P (1) = 2 (1) + 1 = 3 b) En x = 2 el valor de P (x) = 3 x2 5 x + 1 es P (2) = 3 (2)2 5 (2) + 1 = 3 c) En x = 0 el valor de P (x) = 2 x3 4 x2 + 5 es P (0) = 2 (0)3 4 (0)2 + 5 = 5 Teorema 1.1. Teorema del resto. El valor de P (x) en x = a coincide con el resto de P (x) : (x a) Ejemplo 1.4. Hallar el resto, sin dividir de 6 x2 5 x 6 : x 1. Solucin: El resto coincide con el valor numrico en x = 1. o e P (1) = 6 (1)2 5 (1) 6 = 5

d B s=B+mv

SOCIALES


Seccin 2: Factorizacin de polinomios o o

16


2. Factorizacin de polinomios o Factorizar un polinomio es un proceso inverso de desarrollar un producto de polinomios. Por ejemplo la expresin o (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 3 observada de izquierda a derecha est desarrollada y vista de derecha a a izquierda est factorizada. La factorizacin tiene varios usos matemticos. a o a Por ejemplo Para simplicar fracciones algebraicas: x3 + 3x2 + 2x x(x2 + 3x + 2) = x+1 x+1 x(x + 1)(x + 2) = x+1 = x(x + 2)factor comn u factorizando simplicando

d B s=B+mv

SOCIALES


Para resolver ecuaciones: Si queremos resolver la ecuacin o x3 + 3x2 + 2x = 0 y el polinomio est factorizado a x(x + 1)(x + 2) = 0 = x = 0 x = 1 x = 2

basta hallar los valores que anulan los factores.


17


Segn se pueda o no descomponer en factores un polinomio tenemos la siguiu ente clasicacin o Reducible Un polinomio se llama reducible cuando se puede descomponer en producto de polinomios de grado mayor o igual que 1. x + 2x = x(x + 2) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 x3 2x2 5x + 6 = (x 1)(x + 2)(x 3)2

d B s=B+mv

SOCIALES

reducible reducible reducible


Irreducible Un polinomio se llama irreducible cuando no se puede descomponer en producto de polinomios de menor grado. Test. Considera el polinomio P (x) = 2x2 + 2, como P (x) se puede escribir como P (x) = 2x2 + 2 = 2 (x2 + 1) signica esto que el polinomio es reducible?. Si.2 2

No.

Los polinomios x + 1 y x + x + 1 son irreducibles porque no se pueden descomponer en factores de menor grado. Los factores de un polinomio pueden ser lineales o cuadrticos. Por ejema plo, el polinomio x3 x2 + x 1 = (x 1)(x2 + 1)


18


tiene un factor lineal x 1 y un factor cuadrtico x2 + 1. El polinomio a (x 1)3 (x2 + 1) tiene el factor lineal x 1 que se repite 3 veces y decimos que es de multiplicidad 3, y el factor cuadrtico irreducible x2 + 1. a Ejemplo 2.1. Observa el siguiente polinomio descompuesto en factores: x3 (2 x + 1)4 (x2 + 1)5 (5 2 x)3 (x2 + x + 1) y clasica el tipo y multiplicidad de sus factores. Solucin: o Factor x3 (2 x + 1)4 (x2 + 1)5 (5 2 x)3 (x2 + x + 1) Tipo lineal lineal cuadrtico a lineal cuadrtico a Multiplicidad 3 4 5 3 1

d B s=B+mv

SOCIALES



19


2.1. Ra de un polinomio. z Denicin 2.1 Decimos que a es una ra de P (x) cuando P (a) = 0. o z

d B s=B+mv

SOCIALES

Ejemplos de ra ces de polinomios son: a) x = 1 es una ra de P (x) = 2 x 2 pues, P (1) = 2 (1) 2 = 0. z b) x = 2 es una ra de P (x) = 3 x2 5 x2 pues, P (2) = 3 (2)2 5 (2)2 = z 0. Inicio del Test Responde las siguientes cuestiones: 1. x = 2 es ra de x2 4 z 2. x = 2 es ra de 3x2 + 6x 1 z 3. x = 2 es ra de x2 + 4x + 4 z 4. x = 1 es ra de (x 2)(x2 + 1) z 5. x = 3 es ra de 4x4 2x3 + 3x 1 z Final del Test Puntos: Cierto Cierto Cierto Cierto CiertoCorrectas


Falso Falso Falso Falso Falso


20


Teorema 2.1. Ra ces y Factores lineales . x = a es una ra de P (x) si y solo si (x a) es un factor de P (x) z

d B s=B+mv

SOCIALES

2.2. Mtodos de Factorizacin e o El mtodo general de factorizar un polinomio es hallando sus ra e ces. Factorizacin de polinomios cuadrticos Para factorizar un polio a nomio cuadrtico a P (x) = a x2 + b x + c hallamos sus ra ces con el algoritmo x= b a=0 (1)


b2 4ac 2a Si las ra ces son x1 y x2 el polinomio se factoriza de la forma P (x) = a x2 + b x + c = a(x x1 )(x x2 ) Ejemplo 2.2. Factorizar P (x) = x2 3 x 4. Solucin: Hallamos sus ra o ces: 3 (3)2 4(1)(4) 3 25 x1 = 1 x= = 2 2(1)

(2)

x2 = 4


21


luego P (x) = x 3 x 4 = (x + 1)(x 4)2

d B s=B+mv

luego P (x) = x2 + 2 x + 1 = (x + 1)(x + 1) = (x + 1)2 Ejemplo 2.4. Factorizar P (x) = x2 + x + 1. Solucin: Hallamos sus ra o ces: 2 4(1)(1) 1 (1) 1 3 x= = No tiene ra ces 2(1) 2 luego P (x) = x2 + x + 1 es Irreducible Ejemplo 2.5. Factorizar el polinomio cuadrtico 6 x2 + x 1. a Solucin: o 1 1 + 24 1 1 6 x2 + x 1 = 0 x = = x1 = x2 = 12 3 2


Polinomios

Ejemplo 2.3. Factorizar P (x) = x2 + 2 x + 1. Solucin: Hallamos sus ra o ces: 2 4(1)(1) 2 (2) 2 0 = x1 = 1 x= 2(1) 2

SOCIALES

x2 = 1

MaTEX


22


6 x2 + x 1 = 6 x

1 1 x+ 3 2 3x 1 2x + 1 =6 3 2 = (3 x 1)(2 x + 1)2

se opera simplica

d B s=B+mv

SOCIALES


Ejemplo 2.6. Factorizar el polinomio cuadrtico 8 x + 2 x 1. a 1 1 2 4 + 32 = x1 = x2 = Solucin: 8 x2 + 2 x 1 = 0 x = o 16 4 2 1 1 8 x2 + 2 x 1 = 8 x x+ se opera 4 2 4x 1 2x + 1 =8 simplica 3 2 = (4 x 1)(2 x + 1) Ejemplo 2.7. Factorizar el polinomio cuadrtico 6 x2 5 x 6. a Solucin: 6 x2 5 x 6 = 0 = x1 = 3/2 x2 = 2/3 o 3 2 6 x2 5 x 6 = 6(x )(x + ) = (2x 3)(3x + 2) 2 3


23


Factorizacin de x2 a2 Para factorizar un polinomio cuadrtico de o a la forma x2 a2 es muy sencilla ya que se tiene x2 a2 = (x a)(x + a)

d B s=B+mv

SOCIALES

Ejemplo 2.8. Factorizar los polinomios cuadrticos siguientes. a a) x2 1. Solucin: o a) x2 1 = (x 1)(x + 1) b) x2 4 = (x 2)(x + 2) c) 4 x2 9 = (2 x 3)(2 x + 3) b) x2 4. c) 4 x2 9.


Ejercicio 5. Factorizar los polinomios cuadrticos siguientes. a a) x2 + 7 x + 10. c) x2 3 x 10. e) x2 + 11 x + 10. b) x2 7 x + 10. d ) x2 + 3 x 10. f ) x2 9 x 10.


24


Ejercicio 6. Factorizar los polinomios cuadrticos siguientes. a a) x2 + 4 x 12. c) x2 10 x + 21. e) x2 2 x + 1. b) x2 + 3 x 18. d ) x2 + 7 x 8. f ) 2 x2 + 8 x + 8.

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX(3)

Factorizacin de polinomios c bicos o u Para factorizar un polinomio cbico u P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 a3 = 0

habr que hallar sus ra a ces. El caso ms sencillo es cuando P (x) tenga ala guna ra entera. En este caso la ra tiene que ser un divisor del trmino z z e independiente. Esto se debe al siguiente teorema. Teorema 2.2. Ra ces enteras de un polinomio . Si x = a es una ra entera de z P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 entonces a divide al trmino independiente a0 e


Polinomios


25


Ejemplo 2.9. Factorizar P (x) = x3 2 x2 5 x + 6. Solucin: Si hay una solucin entera estar entre los divisores de 30. o o a 1 Aplicamos Runi con x = 1 Cociente x2 x 6 Aplicamos Runi con x = 2 Cociente x 3 Aplicamos Runi con x = 3 3 1 -2 1 1 1 -2 1 -1 -2 -3 3 0 -5 -1 -6 6 0 6 -6 0

d B s=B+mv

SOCIALES


Luego la factorizacin de P (x) tiene tres factores lineales: o P (x) = x3 2 x2 5 x + 6 = (x 1)(x + 2)(x 3).


26


Ejemplo 2.10. Factorizar P (x) = x4 + x3 19 x2 + 11x + 30. Solucin: Si hay una solucin entera estar entre los divisores de 30. o o a 1 Aplicamos Runi con x = 1 Cociente x 19x + 30 Aplicamos Runi con x = 2 Cociente x2 + 2x 15 Aplicamos Runi con x = 3 Cociente x + 5 Aplicamos Runi con x = 5 -5 1 3 1 2 13

d B s=B+mv

1 -1

-19 0 -19 4 -15 15 0

11 19 30 -30 0

30 -30 0

SOCIALES

-1 1

2 2 3 5 -5 0

Luego la factorizacin de P (x) tiene cuatro factores lineales: o P (x) = x4 + x3 19 x2 + 11x + 30 = (x + 1)(x 2)(x 3)(x + 5)Doc Doc Volver Cerrar

Polinomios

0

MaTEX


27


Ejemplo 2.11. Factorizar P (x) = 3 x4 2 x3 + 2 x 3. Solucin: Si hay una solucin entera estar entre los divisores de 3. o o a 3 Aplicamos Runi con x = 1 Cociente 3x + x + x + 3 Aplicamos Runi con x = 1 Cociente 3x2 2x + 3 -1 33 2

d B s=B+mv

-2 3

0 1 1 2 3

2 1 3 -3 0

-3 3 0

SOCIALES

1 3


1 -3 -2

El ultimo cociente es cuadrtico y con Runi no encontramos ra a ces. Resolvemos con la ecuacin de 2o grado. o 2 32 2 No tiene ra ces 3x 2x + 3 = 0 x = 6 luego el ultimo cociente 3x2 2x + 3 es irreducible. Luego la factorizacin de o P (x) tiene dos trminos lineales y uno cuadrtico irreducible. e a P (x) = 3 x4 2 x3 + 2 x 3 = (x 1)(x + 1)(3x2 2x + 3)


28


Ejercicio 7. Descomponer en factores los polinomios. a) x2 25. c) x3 + x2 + x. e) x3 4 x2 + 5 x 2. g) x 6 x + 13 x 12 x + 4.4 3 2

b) 3x4 + 9 x2 . d ) 3 x3 20 x2 + 27 x 10. f ) x4 5 x3 + 9 x2 7 x + 2. h) x + 3 x 4 x 12.3 2

d B s=B+mv

SOCIALES


Ejercicio 8. Descomponer en factores los polinomios. a) x3 3 x 2. c) x4 3 x3 12 x2 + 52 x 48. e) x3 x2 14 x + 24. g) x3 13 x2 + 55 x 75. i ) x3 2 x2 x + 2. b) 3x3 + 5x2 2x. d ) x4 5 x3 + 5 x2 x 12. f ) 2 x4 + 7 x3 + 4 x2 7 x 6. h) x3 + 2 x + 3. j ) 3 x4 2 x3 + 2 x 3.

Seccin 3: Fracciones Algebraicas o

29


3. Fracciones Algebraicas Denicin 3.1 Una fraccin algebraica, es toda expresin de la forma o o o P (x) Q(x) donde P (x) y Q(x) son polinomios. Ejemplos de fracciones algebraicas son: 2x + 1 , x x5 , x2 + 1 2 x2 + 1 . x3 + 3 x

d B s=B+mv

SOCIALES


Denicin 3.2 Cuando en una fraccin algebraica el numerador y denomio o nador tienen factores comunes se llama reducible. En caso contrario se llama irreducible. 2x + 1 x x+1 x+1 1 = = 2+x x x(x + 1) x+1 x2 + x x(x + 1) x = = 21 x (x 1)(x + 1) x 1irreducible reducible reducible

Ejercicio 9. Simplica por factorizacin las fracciones algebraicas siguientes: o


30


a)

14x2 7x 7x

b)

4x2

4x2 1 12x + 9

d

2x2 6x c) 6x2 54 e) x2 + 8 x + 16 x3 16 x

x2 18x + 81 d) x2 81 f) x2 + x + 1 x3 1

B s=B+mv

SOCIALES


3.1. Operaciones con fracciones algebraicas

Suma de fracciones algebraicasPara sumar dos fracciones algebraicas se reduce a comn denominador. u Si tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. 2x + 1 3x 5x + 1 + = x+1 x+1 x+1 Si tienen distinto denominador, se calcula el comn denominador, que u es el m nimo comn mltiplo m.c.m. de los denominadores. u u


31


Ejemplo 3.1. x+1 3x (x + 1)(x + 1) + (3 x)(x + 2) + = x+2 x+1 (x + 2)(x + 1) 3x 5 = (x + 2)(x + 1) Ejemplo 3.2. 3x 2x + 1 3x 2x + 1 + 2 = + x+1 x 1 x+1 (x 1)(x + 1) (2x + 1)(x 1) + 3x = (x 1)(x + 1) 2 2x + 2x 1 = (x 1)(x + 1) m.c.m = (x + 2)(x + 1)operando

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEXm.c.m = (x 1)(x + 1)operando

Ejercicio 10. Efecta las sumas reduciendo a comn denominador. u u a) c) 1 3 + x + 1 x2 1 1 3 2 2x 4x 4x b) d) 1 3 + x2 + x x + 1 x2 1 3 + 2 +x x x


Polinomios


32


Producto y divisin de fracciones algebraicas oPara multiplicar o dividir dos fracciones algebraicas se efecta: u

d B s=B+mv

SOCIALES

P (x) R(x) Q(x) S(x) P (x) R(x) : Q(x) S(x) Ejemplo 3.3.

= =

P (x) R(x) Q(x) S(x) P (x) S(x) Q(x) R(x)


x x+3 x(x + 3) x+3 = = x+1 x (x + 1)x x+1 x x+3 xx x2 : = = 2 x+1 x (x + 1) (x + 3) x + 4x + 3 x 3 x(x + 1) x : = = 21 x x+1 3(x + 1)(x 1) 3(x 1) Ejercicio 11. Opera y simplica las fracciones algebraicas. a) (x + 1)2 3x + 3 : 2 12x 12 x 1 b) x2 + 2x 3 (x 2)2 2 (x 2)3 x 1


33


Ejercicio 12. Calcula y simplica si es posible: a) 2x 1 3x 5 x2 + 2x b) 6x + 4 4x + 1 x 2 2x + 4

d B s=B+mv

SOCIALES

6x2 x+1 x+1 c) 2 x + 2x + 1 3x3 3x Ejercicio 13. Simplicar: a) b) x2 + 1 y 2 + 1 x2 1 y 2 1 + x y y x x2 3x + 2 x2 5x + 4 : x2 5x + 6 x2 7x + 12

4x2 9 3 d) 7x 3 2x



34


Soluciones a los Ejercicios Ejercicio 1. P (x) = a) Q(x) = P (x) + Q(x) = 3x5 A(x) = b) B(x) = A(x) + B(x) = x3 3x5 +2 x4 2x4

d B s=B+mv

x3 2 x3

+6x2 +5x2

7 +x +x 7

SOCIALES

x3

+5x2 5x2

8 x +6x 2 x

+4 5 +9 Ejercicio 1


Polinomios

4 x4

3 x3

+11 x2

MaTEX


35


Ejercicio 2. P (x) = Q(x) = 4x2 x2 20x2 8x3 4x4 P (x) Q(x) = 4x4 3x3 +5x3 6x2 +2x2 24x2 +19x 10 Ejercicio 2 3x +2x +15x +4x +2 5 10

d B s=B+mv

SOCIALES



36


Ejercicio 3. a) 5 2x3 3x2 + x 1 = 2x2 + x + 3 + x2 x2 2x3 2x3 3 x2 +4 x2 x2 x2 +x +x +2 x 3x 3 x 1 1 1 +6 +5 x2 2x2 + x + 3

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX PolinomiosEjercicio 3Doc Doc Volver Cerrar

b)

4x4 + 2x2 + x + 1 x+3 = 4x2 2 + 2 x2 + 1 x +1 4x4 4x4 +2 x2 4 x2 2x2 2x2 +x +x x +1 +1 +2 +3 x2 + 1 4x2 2


37


Ejercicio 4. a) 19 3x3 + 4x2 + 5x 1 = 3x2 2x + 9 x+2 x+2

d B s=B+mv

SOCIALES

3x3 + 4x2 + 5x 1 x+9 b) = 3x + 4 2 x2 + 2 x +2 4x2 6x 4 c) = 2x 4 2x + 1 d) e) f) x4 2x 15 2x + 10 = x2 + 5 + x2 5 x2 5 2x3 + 8x2 + 3x + 5 3x + 15 = 2x + 10 2 2+x+2 x x +x+2 x4 2x3 + 8x2 + 3x + 5 13 = x2 3x + 9 2 2+x+2 x x +x+2 Ejercicio 4


Prueba de los Teoremas

38


Prueba del Teorema 1.1. En efecto, si dividimos P (x) : (x a) obtendremos un cociente C(x) y un resto R, de forma que P (x) = (x a) C(x) + R Sustituyendo x por a en la expresin anterior o P (a) = (a a) C(a) + R = 0 + R = R

d B s=B+mv

SOCIALES



39


Prueba del Teorema 2.1. En efecto: Si x = a es una ra de P (x), al dividir P (x) : (x a) obtendremos un z cociente C(x) y un resto R, de forma que P (x) = (x a) C(x) + R Sustituyendo x por a en la expresin anterior o P (a) = (a a) C(a) + R = 0 + R = R = 0 como R = 0 la divisin es exacta y se tiene que P (x) = (x a) C(x), y por o tanto x a es un factor de P (x). Si (x a) es un factor de P (x), entonces se tiene que P (x) = (x a) C(x) y al sustituir por a, el valor de P (a) es 0, y por tanto x = a es una ra de z P (x).

d B s=B+mv

SOCIALES



40


Ejercicio 5. a) x2 + 7 x + 10 = (x + 2)(x + 5) b) x2 7 x + 10) = (x 2)(x 5) c) x2 3 x 10 = (x + 2)(x 5) d ) x2 + 3 x 10 = (x 2)(x + 5) e) x2 + 11 x + 10 = (x + 1)(x + 10) f ) x2 9 x 10 = (x + 1)(x 10) Ejercicio 5

d B s=B+mv

SOCIALES



41


Ejercicio 6. a) x2 + 4 x 12 = (x 2)(x + 6) b) x2 + 3 x 18 = (x + 6)(x 3) c) x2 10 x + 21 = (x 3)(x 7) d ) x2 + 7 x 8 = (x 1)(x + 8) e) x2 2 x + 1 = (x 1)(x 1) = (x 1)2 f ) 2 x2 + 8 x + 8 = 2(x + 2)2 Ejercicio 6

d B s=B+mv

SOCIALES



42


Prueba del Teorema 2.2. En efecto, si a es una ra de P (x) se tiene que z al dividir P (x) : (x a) obtendremos un cociente C(x), de forma que P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (x a) C(x) Sustituyendo x por a en la expresin anterior o a3 a3 + a2 a2 + a1 a + a0 = (a a) C(a) = 0 y despejando a0 observamos que a0 es un mltiplo de a u a0 = a(a3 a2 + a2 a + a1 ) y por tanto a es un divisor del trmino independiente a0 de P (x). e

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43


Ejercicio 7. a) x2 25 = (x 5)(x + 5) b) 3x4 + 9 x2 = 3 x2 (x2 + 3) c) x3 + x2 + x = x(x2 + x + 1) d ) 3 x3 20 x2 + 27 x 10 = (x 1)(x 5)(3x 2) e) x3 4 x2 + 5 x 2 = (x 1)2 (x 2) f ) x4 5 x3 + 9 x2 7 x + 2 = (x 1)3 (x 2) g) x4 6 x3 + 13 x2 12 x + 4 = (x 1)2 (x 2)2 h) x3 + 3 x2 4 x 12 = (x + 3)(x + 2)(x 2) Ejercicio 7

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44


Ejercicio 8. a) x3 3 x 2 = (x + 1)2 (x 2) b) 3x3 + 5x2 2x = x(x + 2)(3x 1) c) x4 3 x3 12 x2 + 52 x 48 = (x 2)2 (x 3)(x + 4) d ) x4 5 x3 + 5 x2 x 12 = (x + 1)(x 4)(x2 2x + 3) e) x3 x2 14 x + 24 = (x 2)(x 3)(x + 4) f ) 2 x4 + 7 x3 + 4 x2 7 x 6 = (x 1)(x + 1)(x + 2)(2x + 3) g) x3 13 x2 + 55 x 75 = (x 5)2 (x 3) h) x3 + 2 x + 3 = (x + 1)(x2 x + 3) i ) x3 2 x2 x + 2 = (x + 1)(x 1)(x 2) j ) 3 x4 2 x3 + 2 x 3 = (x + 1)(x 1)(3 x2 2 x + 3) Ejercicio 8

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45


Ejercicio 9. a) b) 7x(2x 1) 14x2 7x = = 2x 1 7x 7x 4x2 9 (2x 3)(2x + 3) 2x + 3 = = 2 12x + 9 4x (2x 3)2 2x 3

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d) e) f)

x2 18x + 81 (x 9)2 x9 = = 2 81 x (x 9)(x + 9) x+9 x2 + 8 x + 16 (x + 4)2 x+4 = = 3 16 x x x(x 4)(x + 4) x(x 4) x2 + x + 1 x2 + x + 1 1 = = 31 x (x 1)(x2 + x + 1) x1 Ejercicio 9


Polinomios

2x2 6x 2x(x 3) x c) = = 6x2 54 6(x 3)(x + 3) 3(x + 3)

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46


Ejercicio 10. a) m.c.m. = (x 1)(x + 1) 1 3 (x 1) + 3 x+2 + 2 = = x+1 x 1 (x 1)(x + 1) (x 1)(x + 1) b) m.c.m. = x(x + 1) x2 c) m.c.m. = 4x(x 1) 1 3 2(x 1) 3 2x 5 = = 2x 4x(x 1) 4x(x 1) 4x(x 1) d ) m.c.m. = x(x 1)(x + 1) 1 3 (x 1) + 3(x + 1) 4x + 2 + = = x(x + 1) x(x 1) x(x + 1)(x 1) x(x + 1)(x 1) Ejercicio 10 3 1 + 3x 1 + = +x x+1 (x 1)(x + 1)

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Ejercicio 11. a) 3x + 3 (x + 1)2 (3x + 3)(x2 1) : 2 = 12x 12 x 1 (12x 12)(x + 1)2 3(x + 1)(x 1)(x + 1) = 12(x 1)(x + 1)2 1 = 4 b) (x 2)2 x2 + 2x 3 (x 2)2 (x 1)(x + 3) 2 = factorizando 3 3 (x 2) x 1 (x 2) (x 1)(x + 1) x+3 = simplicando (x 2)(x + 1) Ejercicio 11se opera factorizando simplicando

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Ejercicio 12. a) 2x 1 3x 2x(1 3x) 2(1 3x) = = 5 x2 + 2x 5x(x + 2) 5(x + 2) b) 6x + 4 4x + 1 2(3x + 2)(4x + 1) (3x + 2)(4x + 1) = = x 2 2x + 4 2(x 2)(x + 2) (x 2)(x + 2) c) 6x2 x+1 x+1 6x2 (x + 1)2 2 = = 2 x2 + 2x + 1 3x3 3x 9(x + 1)2 x4 3x d) 4x2 9 3 3(2x 3)(2x + 3) 3(2x + 3) = = 7x 3 2x 7x(3 2x) 7 Ejercicio 12

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Ejercicio 13. a) x2 + 1 y 2 + 1 x2 1 y 2 1 + = x y y x 2 2 2 (x + 1)(y + 1) (x 1)(y 2 1) = + = xy xy x2 y 2 + x2 + y 2 + 1 + x2 y 2 x2 y 2 + 1 = xy 2 x2 y 2 + 2 = xy b) x2 3x + 2 x2 5x + 4 : = se opera x2 5x + 6 x2 7x + 12 2 2 (x 3x + 2)(x 7x + 12) = factorizando (x2 5x + 6)(x2 5x + 4) (x 1)(x 2)(x 4)(x 3) = simplicando = 1 (x 2)(x 3)(x 4)(x 1) Ejercicio 13

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Soluciones a los Tests

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Soluciones a los Tests Solucin al Test: La respuesta es que no es reducible, pues hemos denido o polinomio reducible cuando se puede descomponer en producto de polinomios de grado mayor o igual que 1. Si escribimos P (x) = 2x2 + 2 = 2 (x2 + 1) El factor 2 es un polinomio, pero de grado 0 y no se ajusta a la denicin, o Final del Test luego 2x2 + 2 as como x2 + 1 son polinomios irreducibles.

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Indice alfabtico e Algoritmo de la divisin, 7 o Algoritmo de Runi, 13 Factorizacin, 16 o fraccin algebraica o reducible, 29 Fracciones Algebraicas, 29 polinomios, 3 cociente, 6 grado, 3 irreducibles, 17 producto, 5 reducibles, 17 suma, 4 valor numrico, 15 e ra 19 z, Teorema del resto, 15

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Proyecto

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r=A+lu A

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Ecuaciones y SistemasFco Javier Gonzlez Ortiz a

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Tabla de Contenido1. Ecuaciones 1.1. Cuadrticas a 1.2. De grado mayor que 2 Bicuadradas Por Runi Por factorizacin o 1.3. Con radicales 2. Sistemas 2.1. Sistemas lineales Por reduccin Por sustitucin o o 2.2. Sistemas no lineales 3. Inecuaciones en la recta real 3.1. Desigualdades Propiedades de las desigualdades 3.2. Inecuaciones lineales 3.3. Inecuaciones no lineales 3.4. Sistemas de inecuaciones 4. Inecuaciones en el plano 4.1. Sistemas de inecuaciones Soluciones a los Ejercicios

r=A+lu A

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Seccin 1: Ecuaciones o

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1. Ecuaciones 1.1. Cuadrticas a Recordamos que las ecuaciones de segundo grado o cuadrticas son de a la forma a x2 + b x + c = 0 a=0 (1) y sus soluciones se obtienen con la expresin, o b b2 4ac x= 2a

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(2)

Al radicando = b2 4 a c se le llama discriminante y segn su valor sea o u no positivo, la ecuacin tendr una, dos o ninguna solucin; o a o > 0 2 soluciones = 0 2 soluciones < 0 2 sin solucin o Ejemplo 1.1. Resolver la ecuacin x2 3 x 4 = 0 o Solucin: o x1 = 1 2 4(1)(4) 3 (3) 3 25 x= = x2 = 4 2(1) 2


42


Ejemplo 1.2. Resolver x + x+1=0 Solucin: o x= 1

d

(1)2 4(1)(1) 1 2 = no tine solucin o 2(1) 2

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Cuando en la ecuacin 1 falta algn trmino se llama incompleta y se o u e puede sacar factor comn o despejar : u Ejemplo 1.3. Resolver la ecuacin x2 + x = 0 o Solucin: Se saca factor comn, o u x1 = 0 x(x + 1) = 0 x2 = 1 Ejemplo 1.4. Resolver la ecuacin x2 4 = 0 o Solucin: Se despeja o x1 = 2 x2 4 = 0 x2 = 4 x2 = 2


5


1.2. De grado mayor que 2

BicuadradasLas ecuaciones de cuarto grado sin potencias impares se llaman bicuadradas y son de la forma a x4 + b x2 + c = 0 a=0 (3) y sus soluciones se obtienen con la frmula ecuacin 2 o o b b2 4ac x2 = 2a Ejemplo 1.5. Resolver la ecuacin o x4 3 x2 4 = 0 Solucin: o x =2

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(4)

3

(3)2 4(1)(4) 3 25 = 2(1) 2

x2 = 1 x2 = 4

x = 2

Ejercicio 1. Resolver las ecuaciones bicuadradas: a) x4 5 x2 + 6 = 0 b) x4 + 2 x2 3 = 0 c) x4 + 4 x2 + 3 = 0


6


Por RuniEl problema de encontrar mtodos directos para resolver las ecuaciones de e grado mayor que 2 tiene detrs una gran historia y esfuerzo, (problema que a ocup a generaciones de matemticos) y acumula unos 400 aos de grandes o a n esfuerzos. a x3 + b x2 + c x + d = 0 a=0 (5) Aqu mostramos un mtodo que es sencillo pero solo funciona en algunas e ocasiones. Le conocemos como el mtodo de Ruffini1 . e El caso ms sencillo es cuando P (x) tenga alguna ra entera. En este a z caso la ra tiene que ser un divisor del trmino independiente. Esto se debe z e al siguiente teorema. Teorema 1.1. Ra ces enteras de un polinomio . Si x = a es una ra entera de z P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 entonces a divide al trmino independiente a0 e

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1

Paolo RUFFINI (1765 - 1822)Matemtico y mdico italiano. a e


7


Ejemplo 1.6. Resolver la ecuacin x3 2 x2 5 x + 6 = 0. o Solucin: Si hay una solucin entera estar entre los divisores de 30. o o a 1 Aplicamos Runi con x = 1 Cociente x2 x 6 Aplicamos Runi con x = 2 Cociente x 3 Aplicamos Runi con x = 3 3 1 -2 1 1 1 -2 1 -1 -2 -3 3 0 -5 -1 -6 6 0 6 -6 0

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Luego la factorizacin de P (x) tiene tres factores lineales: o P (x) = x3 2 x2 5 x + 6 = (x 1)(x + 2)(x 3). y las ra ces son x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 .


8


Ejemplo 1.7. Resolver la ecuacin x4 + x3 19 x2 + 11x + 30 = 0. o Solucin: Si hay una solucin entera estar entre los divisores de 30. o o a 1 Aplicamos Runi con x = 1 Cociente x3 19x + 30 Aplicamos Runi con x = 2 Cociente x2 + 2x 15 Aplicamos Runi con x = 3 Cociente x + 5 Aplicamos Runi con x = 5 -5 1 3 1 2 1 -1 1 1 -1 0 2 2 3 5 -5 0 -19 0 -19 4 -15 15 0 11 19 30 -30 0 30 -30 0

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Luego la factorizacin de P (x) tiene cuatro factores lineales: o P (x) = x4 + x3 19 x2 + 11x + 30 = (x + 1)(x 2)(x 3)(x + 5) y las ra ces son x1 = 1, x2 = 2 x3 = 3 x4 = 5 .


9


Ejemplo 1.8. Resolver la ecuacin o x3 8 x2 + 18 x 11 = 0 Solucin: Si hay una solucin entera estar entre los divisores de 11 que son o o a 1 y 11. Probamos con x = 1 1 1 1 -8 1 -7 18 -7 11 -11 11 0

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En el recuadro nal est el resto. Cuando ste vale 0 hemos encontrado una a e ra o solucin. En este caso x1 = 1. z o Los nmeros en negrita son los coecientes del polinomio de 2o grado u 2 x 7 x + 11 = 0. Cuyas soluciones ya sabemos hallar. x= 7 5 2 4(1)(11) 7 (7) 7 5 2 x= = 2(1) 2 x= 7+ 5 2


10


Ejemplo 1.9. Resolver la ecuacin x3 2 x2 9 x + 18 = 0 o Solucin: Probamos con x = 2 o 1 2 1 -2 2 0 -9 0 -9 18 -18 0

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Ejemplo 1.10. Resolver la ecuacin o 2x3 6 x2 + x 3 = 0 Solucin: Probamos con x = 3 o 2 3 2 -6 6 0 1 0 1 -3 3 0

Hemos encontrado una ra o solucin. En este caso x1 = 3. Los nmeros en z o u negrita son los coecientes del polinomio de 2o grado 2 x2 + 1 = 0, que no tiene solucin. o


Ecuaciones y Sistemas

Hemos encontrado una ra o solucin. En este caso x1 = 2. Los nmeros z o u en negrita son los coecientes del polinomio de 2o grado x2 9 = 0. Cuyas soluciones son. x = 3 x2 = 9 x = 9 x=3

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11


Por factorizacin oAlgunas ecuaciones de grado mayor que 2 que no tienen trmino indee pendiente se pueden factorizar o escribir como un producto de factores. Usaremos como tcnica de resolucin: e o se extrae factor comn. u y se iguala cada factor a 0. Ejemplo 1.11. Resolver la ecuacin o x2 + 3 x = 0 Solucin: Se extrae factor comn o u x2 + 3 x = 0 x(x + 3) = 0 x=0 x+3=0 Ejemplo 1.12. Resolver la ecuacin x4 + 4 x2 = 0 o Solucin: Se extrae factor comn o u x4 + 4 x2 = 0 x2 (x2 + 4) = 0 x2 = 0 x +4=02

d B s=B+mv

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x=0 x = 3

x=0 no tiene solucin o


12


Ejemplo 1.13. Resolver la ecuacin 4 x3 x = 0 o Solucin: Se extrae factor comn o u x=0 3 2 4 x x = 0 x(4 x 1) = 0 4 x2 1 = 0

d

x=0 x2 = 1 4 x= 1 2

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Ejemplo 1.14. Resolver la ecuacin 2 x5 4 x2 = 0 o Solucin: Se extrae factor comn o u x2 = 0 5 2 2 3 2 x 4 x = 0 2 x (x 2) = 0 x3 2 = 0 Ejemplo 1.15. Resolver la ecuacin x3 + x2 6 x = 0 o Solucin: Se extrae factor comn o u x3 +x2 6 x = 0 x(x2 +x6) = 0 x=0 x +x6=02

x=0 3 x= 2

x=0 x = 3 x = 2


13


Ejercicio 2. Resolver las ecuaciones. a) x2 25 = 0. c) x3 + x2 + x = 0. e) x3 4 x2 + 5 x 2 = 0. g) x 6 x + 13 x 12 x + 4 = 0. Ejercicio 3. Resolver las ecuaciones. a) x3 3 x 2 = 0. b) 3x3 + 5x2 2x = 0.4 3 2

b) 3x4 + 9 x2 = 0. d ) 3 x3 20 x2 + 27 x 10 = 0. f ) x4 5 x3 + 9 x2 7 x + 2 = 0. h) x + 3 x 4 x 12 = 0.3 2

d B s=B+mv

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c) x4 3 x3 12 x2 + 52 x 48 = 0. d ) x4 5 x3 + 5 x2 x 12 = 0. e) x3 x2 14 x + 24 = 0. g) x3 13 x2 + 55 x 75 = 0. i ) x3 2 x2 x + 2 = 0. f ) 2 x4 + 7 x3 + 4 x2 7 x 6 = 0. h) x3 + 2 x + 3 = 0. j ) 3 x4 2 x3 + 2 x 3 = 0.


14


1.3. Con radicales Son las ecuaciones en que aparecen radicales, como por ejemplo 3 x+1=x 2x 3 = x 1 x2 5x + 4 + 1 = x 3 Usaremos como tcnica de resolucin: e o dejar en un miembro de la ecuacin un radical y o elevar ambos miembros al ndice de la ra z. resolvemos la ecuacin resultante y comprobamos las soluciones. o Ejemplo 1.16. Resolver la ecuacin o x+14=0 Solucin: Se despeja un radical o

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x+1=4

elevamos ambos miembros al cuadrado 2 x + 1 = 42 x + 1 = 16 x = 15 y se comprueba en la ecuacin inicial o (15) + 1 4 = 16 4 = 4 4 = 0


15


Ejemplo 1.17. Resolver la ecuacin o 2x 3 = x 1 Solucin: Elevamos ambos miembros al cuadrado o 2 2x 3 = (x 1)2 2x 3 = x2 2x + 1 x 4x + 4 = 0 x= 22

d B s=B+mv

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Ejemplo 1.18. Resolver la ecuacin o x2 5x + 4 + 1 = x 3 Solucin: Despejamos el radical y elevamos ambos miembros al cuadrado o x2 5x + 42

=

(x 4)2

x2 5x + 4 = x2 8x + 16 3x = 12 x= 4


16


Ejemplo 1.19. Resolver la ecuacin o x + 7 3x = 1 Solucin: Despejamos el radical y elevamos ambos miembros al cuadrado o 2 7 3x = (1 x)2 7 3x = x +x6= x= x=2

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1 2x + x2 0 1 25 2 3 ; 2


La que no lleva recuadro no verica la ecuacin inicial, pues o (2) + 7 3(2) = 1

Ejercicio 4. Resolver la ecuacin o 2 5x + 3 x = 0 Ejercicio 5. Resolver la ecuacin o x2 + 3 3x=0

Seccin 2: Sistemas o

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2. Sistemas 2.1. Sistemas lineales Recordamos que los sistemas lineales estn formados por dos o ms a a ecuaciones lineales, es decir son de la forma a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 (6)

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Los sistemas de tres o ms ecuaciones los estudiaremos el prximo curso. a o Recordamos que fundamentalmente hay dos mtodos de resolucin: e o Por reduccion Consiste en multiplicar las ecuaciones por nmeros para conseguir que u las dos ecuaciones tengan alguna incgnita con el mismo coeciente. De o esta manera al restarlas se elimina una incgnita. o Por sustitucion Consiste en despejar de una de las ecuaciones una incgnita. Al sustio tuirla en la otra ecuacin, la ecuacin resultante presenta una sola o o incgnita. o


18


Por reduccin oEjemplo 2.1. Resolver por reduccin el sistema o 2x + y = 4 x 2 y = 3 Solucin: o 2x + y = 4 x 2 y = 3 (2) 2x + y = 4 2 x 4 y = 6 5 y = 10 restamos y=2

d B s=B+mv

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Sustituyendo y en otra ecuacin obtenemos x = 1 o Ejemplo 2.2. Resolver por reduccin el sistema o Solucin: o 2x 3y = 5 3x 2y = 5 (3) (2) 6 x 9 y = 15 6 x 4 y = 10 5 y = 5 restamos y = 1 2x 3y = 5 3x 2y = 5

Sustituyendo y en otra ecuacin obtenemos x = 1 o


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Ejemplo 2.3. Resolver por reduccin el sistema o x y =4 3 2 x y =3 3 4 Solucin: Quitamos denominadores o 2 x 3 y = 24 4 x 3 y = 36 (2) ... 4 x 6 y = 48 4 x 3 y = 36 3 y = 12 restamos y = 4

d B s=B+mv

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Sustituyendo y en otra ecuacin obtenemos x = 6 o Ejercicio 6. Resolver por reduccin los sistemas: o x y x+1 + =4 + y=1 2 3 3 a) x 3 b) x y = 2 + 2y = 1 4 2 4 c) 4x + y = 2 y 3x = 3 2 d) x + y = 1 3 x 2y = 4


20


Por sustitucin oEjemplo 2.4. Resolver por sustitucin el sistema o Solucin: o 2x 3y = 5 3x 2y = 5 despejamos x x = 5 + 3y () 2 2x 3y = 5 3x 2y = 5

d B s=B+mv

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Sustituyendo x en la 2a ecuacin, 3 o

5 + 3y 2 y = 5 y resolvemos 2 (15 + 9 y) 4 y = 10 = y = 1 sustituyendo en () obtenemos x = 1 x+1 + y=1 3 x3 + 2y = 1 4

Ejemplo 2.5. Resolver por sustitucin el sistema o Solucin: Quitamos denominadores y ordenamos o x + 3y = 2 x + 8y = 7

despejamos x x = 2 3y ()

Sustituimos en la 2a ecuacin y resolvemos (2 3 y) + 8 y = 7 = y = 1 o sustituyendo en () obtenemos x = 1


21


2.2. Sistemas no lineales Cuando aparecen operaciones entre las incgnitas que no son sumas o o restas la relacin entre las incgnitas no es lineal y los sistemas son de tipo o o sistemas no lineales. El mtodo general de resolver estos sistemas es por e sustitucin o Ejemplo 2.6. Resolver el sistema no lineal x y = 3 x2 + y 2 = 5 Solucin: Despejamos en una ecuacin o o x y = 3 x2 + y 2 = 5 despejamos x x = y 3 ()

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MaTEX Ecuaciones y Sistemasx1 = 2 x2 = 1Doc Doc Volver Cerrar

Sustituimos x en la 2a ecuacin y resolvemos o (y 3)2 + y 2 = 5 Resolvemos esta ecuacin en y o y 2 6 y + 9 + y 2 = 5 = y 2 3 y + 2 = 0 = y1 = 1 y2 = 2


22


Ejemplo 2.7. Resolver el sistema no lineal x+ y =1 xy + 2y = 2 Solucin: Despejamos en una ecuacin o o x+ y =1 xy + 2y = 2 despejamos x x = 1 y ()

d B s=B+mv

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Sustituimos x en la 2a ecuacin y resolvemos o (1 y) y + 2 y = 2 Resolvemos esta ecuacin en y o y y 2 + 2 y = 2 = y 2 3 y + 2 = 0 = y1 = 1 y2 = 2 x1 = 0 x2 = 1

Ejemplo 2.8. Resolver el sistema no lineal x2 3 x y = 0 x +y =3 Solucin: Despejamos en una ecuacin o o x2 3 x y = 0 x +y =3 despejamos y y = x2 3 x ()


23


Sustituimos y en la 2a ecuacin y resolvemos x + (x2 3 x) = 3 Resolvemos o esta ecuacin en x o x 2 x 3 = 0 =2

d

x1 = 3 x2 = 1

y1 = 0 y2 = 4

B s=B+mv

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x2 y 2 = 5 xy = 6

despejamos y

y=

6 () x 36 x2

Sustituimos y en la 1a ecuacin y resolvemos x2 o denominadores multiplicando por x2

= 5 Quitamos

x4 36 = 5 x2 = x4 5 x2 36 = 0 Resolvemos la ecuacin bicuadrada o x2 = 9 x2 = 4 sin solucin o = x = 2 x1 = 2 x2 = 2 y1 = 3 y2 = 3



x2 y 2 = 5 xy = 6 Solucin: Despejamos en una ecuacin o o Ejemplo 2.9. Resolver el sistema

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24


Ejemplo 2.10. Resolver el sistema no lineal x y = 15 5 x = y 3 Solucin: Despejamos x en la segunda ecuacin o o x y = 15 3x = 5y despejamos x x = 5y () 3

d B s=B+mv

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Sustituimos x en la 1a ecuacin y resolvemos o 5y 3 y = 15

Quitamos denominadores multiplicando por 3 5 y 2 = 45 = y 2 = 9 = y1 = 3 y2 = 3 x1 = 5 x2 = 5

Ejercicio 7. Resolver los sistemas no lineales: a) x2 y 2 = 7 2x + y = 5 b) x y = 16 c) (x + 5)(y 1) = 22 x2 + x y = 3 4 x + 3 y = 10

Seccin 3: Inecuaciones en la recta real o

25


3. Inecuaciones en la recta real 3.1. Desigualdades Los nmeros reales estn ordenados. As decimos que 2 es menor que u a 3, y lo escribimos como una desigualdad 2 15 y var la desigualdad a

d B s=B+mv

SOCIALES



27


Una inecuacin es una desigualdad en la que aparece una expresin algeo o braica de una incgnita. Ejemplos de inecuaciones son los siguientes o x2 2x < 5 x2 x > 1 >3 x+3 Un ejemplo sencillo es la inecuacin o x>2 cuya solucin son todos los nmeros mayores que 2. Para expresar esta o u solucin utilizamos: o la notacin de intervalo expresando todos los nmeros mayores que 2 o u de la forma (2, ) o en forma grca, marcando la regin determinada por los puntos de a o la recta que verican la inecuacin que van de 2 hasta o

d B s=B+mv

SOCIALES


-3

-2

-1

0

1

(2

3

+

El extremo le indicamos con un parntesis para sealar que el nmero e n u 2 no cumple la inecuacin o


28


3.2. Inecuaciones lineales Para resolver las inecuaciones lineales simplemente se despeja. Ejemplo 3.1. Resolver la inecuacin o x+2>4 Solucin: Se despeja la incgnita x: o o x + 2 > 4 = x > 2 (2, )

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX0 1

-3

-2

-1

(2

3

+

Ejemplo 3.2. Resolver la inecuacin 2(x 2) > x + 1 o Solucin: Se opera y se despeja la incgnita x: o o 2 x + 4 > x + 1 = 3 x > 3 = x < 1 (, 1)

-3

-2

-1

0

)1

2

3

+Doc Doc Volver Cerrar



29


3.3. Inecuaciones no lineales En las inecuaciones no lineales no se puede despejar. Una tcnica general e es descomponer en factores. Ejemplo 3.3. Resolver la inecuacin o x2 < 1 Solucin: Se pasa todo a un miembro y se descompone en factores o x2 1 < 0 = (x 1) (x + 1) < 0 Se anotan las ra ces de los factores en la recta real. En este caso x = 1 y x = 1, de esta forma aparecen tres regiones en la recta. Se mira si los puntos de esas regiones cumplen la inecuacin: o

d B s=B+mv

SOCIALES


-3

-2

(-1

0

)1

2

3

+

De a 1, por ejemplo con 2, = +

0, no se cumple

De 1 a 1, por ejemplo con 0, (+) = < 0, se cumple De 1 a , por ejemplo con 3, + (+) = + 0, no se cumple


30


Ejemplo 3.4. Resolver la inecuacin o x2 2 x > 0 Solucin: Se descompone en factores o x2 2 x > 0 = x(x 2) > 0 Se anotan las ra ces de los factores en la recta real. En este caso x = 0 y x = 2, de esta forma aparecen tres regiones en la recta. Se mira si los puntos de esas regiones cumplen la inecuacin: o De a 0, por ejemplo con 1, = + > 0, se cumple De 0 a 2, por ejemplo con 1, + () = 0, no se cumple

d B s=B+mv

SOCIALES


De 2 a , por ejemplo con 4, + (+) = + > 0,se cumple

-3

-2

-1

)0

1

(2

3

+

La solucin en forma de intervalo se escribe como: o (, 0) (2, )


31


Ejemplo 3.5. Resolver la inecuacin o x 0 x+2 Solucin: Se buscan las ra del numerador y denominador que son x = 2 o ces y x = 0. Se toma un valor de cada zona y se sustituye en la inecuacin, o observando el signo que se obtiene De a 2, por ejemplo con 3, = + 0, se cumple De 2 a 0, por ejemplo con 1, De 0 a , por ejemplo con 2, = + 0, no se cumple

d B s=B+mv

SOCIALES


+ = + 0,se cumple +

0 El valor x = 0 se incluye pues se cumple = 0 0, y el valor x = 2 se 2 excluye por no estar denido el cociente.

+ -3

) -2

-1

[ 0

+1 2 3

+

Ejercicio 8. Resolver la inecuacin x(x + 5) > 2 x2 o


32


3.4. Sistemas de inecuaciones Un sistema de inecuaciones son dos o ms inecuacines con la misma a o incgnita. o Para hallar la solucin se resuelve cada una por separado y se toma como o solucin los nmeros que cumplen ambas a la vez. o u Ejemplo 3.6. Resolver el sistema de inecuaciones 2x 3 > x 2x 2 Solucin: Se despeja en cada inecuacin o o 2x 3 > x = 2x 2 x>1 x 1

d B s=B+mv

SOCIALES


Se representa cada solucin y se toma la regin que tienen en comn, que en o o u este caso es vac S = a

(1 1

]

+


33


Ejemplo 3.7. Resolver el sistema de inecuaciones 2 > 2 x 2x 1 1 Solucin: Se despeja en cada inecuacin o o 2 > 2 x = 2x 1 1 2 < 2 x = 2x 2 1 < x x1

d B s=B+mv

SOCIALES


Se representa cada solucin y se toma la regin que tienen en comn, que en o o u este caso es S = [1; )

( 1 1

[

+

Ejercicio 9. Resolver los sistemas de inecuaciones: a) x + 5 > 4x 4 2x 7 < 3 x 3 b) 3x 7 < x + 1 2x 2 > x + 1

Seccin 4: Inecuaciones en el plano o

34


4. Inecuaciones en el plano Una inecuacin en el plano viene dada por una desigualdad del tipo o ax + by c o ax + by c

d B s=B+mv

SOCIALES

y la solucin corresponde a un semiplano. o Ejemplo 4.1. Representar la soluciones de la inecuacin x + y 0 o Solucin: o Se representa la recta x + y = 0 = y = x dando dos valores, por ejemplo x = 3 y = 3 A(3, 3) x = 3 y = 3 Se despeja y x + y 0 = y x Al quedar y de la forma y marcamos la regin superior de la recta o o semiplano superior de la recta.x+y =0


B(3, 3)


35


Ejemplo 4.2. Representar la soluciones de la inecuacin x + 2y 2 o Solucin: o Se representa la recta 2x x + 2y = 2 = y = 2 dando dos valores, por ejemplo x = 2 y = 0 A(2, 0) x = 2 y = 2 Se despeja y x + 2y 2 = y 2x 2 B(2, 2)x + 2y = 2

d B s=B+mv

SOCIALES


Al quedar y de la forma y marcamos la parte inferior. Ejercicio 10. Representar la soluciones de la inecuacin x y 0 o Ejercicio 11. Representar la soluciones de la inecuacin x y 1 o


36


4.1. Sistemas de inecuaciones Un sistema de inecuaciones lineales en el plano viene dado por varias desigualdades del tipo r1 a1 x + b1 y c1 r2 a2 x + b2 y c2 (7) ... ......... rn an x + bn y cn y la solucin, si existe, corresponde a una regin convexa del plano, que o o o llamamos regin factible.

d B s=B+mv

SOCIALES


Para su solucin grca, se representa cada recta y se marca el semiplano o a que determina. La parte que tienen en comn todos los semiplanos proporu ciona la regin factible. o Veamos unos ejemplos detenidamente. A continuacin el alumno realizara o algunos ejercicios.


37


Ejemplo 4.3. Representar la solucin del sistema de inecuaciones o r1 : 3x + 4y 12 r2 : 2x + y 2 r3 : x 0 r4 : y 0 Solucin: o Representamos cada una de las rectas y el semiplano que determinan r1 r2 r3 r4 3x + 4y 12 2x + y 2 x0 y0(0, 3) (0, 2)

d B s=B+mv

SOCIALES


r4 (1, 0) r3 r2 (4, 0) r1

Y sombreamos la regin que tienen en comn, que se denomina regin o u o factible o solucin del sistema de inecuaciones. o


38


Ejemplo 4.4. Resolver grcamente el sistema: a r1 : x 3y 6 r2 : x + 2y 4 r3 : 3x + y 12 Solucin: o Representamos cada recta r1 x 3y = 6 r2 x + 2y = 4 r3 3x + y = 12A(0, 2) r3 r2 B(4, 0)

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEXr1 C(3, 3)

La regin factible corresponde al tringulo del dibujo y como est limitada o a a se dice acotada.




39


Ejemplo 4.5. Hallar la regin factible de: o r1 : x + 3y r2 : x + y Solucin: o Representamos la recta r1 x + 3y = 3 tomando el semiplano y Representamos la recta r2 x + y = 1 tomando el semiplano y r2

3 1

d B s=B+mv

SOCIALES


r1

La regin factible corresponde a la zona coloreada del dibujo y como no o est limitada se dice no acotada. a


40


Ejercicio 12. Hallar la regin factible de los sistemas de inecuaciones siguo ientes: (a) (b) r1 x + y 5 r1 4x 3y 3 r2 x + y 2 r2 x + 4y 5 (c) r1 r2 r3 r4 (e) r1 x y r2 x 2y r3 x 20 x yx x+y x 2y 2 5 0 (f) r1 3x + 2y r2 y r3 y 24 x 1 (d) r1 r2 r3 r4 2x + 4y 6x + 3y x y 4 6 0 0

d B s=B+mv

SOCIALES



41


Soluciones a los Ejercicios Ejercicio 1. a) x 5 x + 6 = 0 x2 = 5 (5)2 x2 = 2 4(1)(6) 5 1 = x2 = 3 2(1) 2 x= 2 x= 34 2

d B s=B+mv

SOCIALES


b) x4 + 2 x2 3 = 0 x2 = 2 (2)2 4(1)(3) 2 16 = 2(1) 2 (4)2 4(1)(3) 5 4 = 2(1) 2 x2 = 1 x =32

sin solucin o x= 3

c) x4 + 4 x2 + 3 = 0 x2 = 4 x2 = 1 x2 = 3 sin solucin o sin solucin o Ejercicio 1


42


Prueba del Teorema 1.1. En efecto, si a es una ra de P (x) se tiene que z al dividir P (x) : (x a) obtendremos un cociente C(x), de forma que P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (x a) C(x) Sustituyendo x por a en la expresin anterior o a3 a3 + a2 a2 + a1 a + a0 = (a a) C(a) = 0 y despejando a0 observamos que a0 es un mltiplo de a u a0 = a(a3 a2 + a2 a + a1 ) y por tanto a es un divisor del trmino independiente a0 de P (x). e

d B s=B+mv

SOCIALES



43


Ejercicio 2. a) x2 25 = (x 5)(x + 5) = 0 b) 3x4 + 9 x2 = 3 x2 (x2 + 3) = 0 c) x3 + x2 + x = x(x2 + x + 1) = 0 d ) 3 x3 20 x2 + 27 x 10 = (x 1)(x 5)(3x 2) = 0 ra ces e) x3 4 x2 + 5 x 2 = (x 1)2 (x 2) = 0 f ) x4 5 x3 + 9 x2 7 x + 2 = (x 1)3 (x 2) = 0 g) x4 6 x3 + 13 x2 12 x + 4 = (x 1)2 (x 2)2 = 0 h) x3 + 3 x2 4 x 12 = (x + 3)(x + 2)(x 2) = 0 ra ces ra ces 5, 5 ra z ra z 0 0

d B s=B+mv

SOCIALES


1, 5, 2/3 1, 2 1, 2 1, 2

ra ces ra ces ra ces

2, 2, 3 Ejercicio 2


44


Ejercicio 3. a) x3 3 x 2 = (x + 1)2 (x 2) = 0 b) 3x3 + 5x2 2x = x(x + 2)(3x 1) = 0 ra ces ra ces 1, 2

d B s=B+mv

SOCIALES

0, 2, 1/32, 3, 4

d ) x4 5 x3 +5 x2 x12 = (x+1)(x4)(x2 2x+3) = 0 ra ces e) x3 x2 14 x + 24 = (x 2)(x 3)(x + 4) = 0 f ) = (x 1)(x + 1)(x + 2)(2x + 3) = 0 g) x3 13 x2 + 55 x 75 = (x 5)2 (x 3) = 0 h) x3 + 2 x + 3 = (x + 1)(x2 x + 3) = 0 i ) x3 2 x2 x + 2 = (x + 1)(x 1)(x 2) = 0 ra ces ra ces ra ces

1, 4 2, 3, 4

1, 1, 2, 3/2 ra ces ra z 3, 5 1

1, 2, 1 1, 1Doc Doc Volver Cerrar

j ) 3 x4 2 x3 + 2 x 3 = (x + 1)(x 1)(3 x2 2 x + 3) = 0 ra ces

Ejercicio 3


c) x4 3 x3 12 x2 + 52 x 48 = (x 2)2 (x 3)(x + 4) = 0 ra ces

MaTEX


45


Ejercicio 4. Despejamos el radical y elevamos ambos miembros al cuadrado 2 2 5x = ( 3 x)2 2 5x = 3 x + 5x 2 =2

d B s=B+mv

3x 0

2

SOCIALES

25

1 1 + 3 =0 3 3 Ejercicio 4



5 49 x= 6 1 x = 2 ; 3 La que no lleva recuadro no verica la ecuacin inicial, pues o

MaTEX


46


Ejercicio 5. Despejamos un radical y elevamos ambos miembros al cuadrado 2 2 x2 + 3 = 3x x2 + 3 = 3 x x2 + x = 0 x(x + 1) =0 x= 0 ; 1 Ejercicio 5

d B s=B+mv

SOCIALES


Las dos son soluciones pues verican la ecuacin inicial. o


47


Ejercicio 6. a) Quitamos denominadores y ordenamos(x + 1) + 3 y = 3 (x 3) + 8 y = 4 ... ... x + 3y = 2 x + 8y = 7 5 y = 5 restamos y = 1 , x = 1

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Ecuaciones y Sistemas

b) Quitamos denominadores y restamosx + 3y = 2 x + 8y = 7 5 y = 5 = y = 1 , x = 1

c) Quitamos denominadores y sumamos4x + y = 2 6x y = 6 10 x = 8 = x = 4/5 , y = 6/5

d ) Quitamos denominadores y sumamosx + 3 y = 3 x 2y = 4 = y = 1 , x = 6

Ejercicio 6



48


Ejercicio 7. a) Despejamos en la 2a ecuacin y = 5 2x y sustituimos en la 1a o x2 (5 2x)2 = 7 = 3x2 + 20x 32 = 0 x=4 8 x= 3 y = 3 1 y= 3

d B s=B+mv

SOCIALES

c) Despejamos en la 2a ecuacin y = o

10 4x y sustituimos en la 1a 3 x=1 y=2 10 4x 26 x2 + x = 3 = x2 10x + 9 = 0 x=9 y= 3 3 Ejercicio 7



b) Despejamos en la 1a ecuacin y = o

16 y sustituimos en la 2a x x = 16 y = 1 16 80 16 (x + 5)( 1) = 22 = x = 11 x=5 y= x x 5

MaTEX


49


Ejercicio 8. Se opera y se pasa todo a un miembro: x(x + 5) > 2 x2 = x2 + 5 x > 0 = x(x 5) > 0 Se buscan las ra que son x = 5 y x = 0. Se toma un valor de cada zona y ces se sustituye en la inecuacin, observando el signo que se obtiene o

d B s=B+mv

SOCIALES

La solucin es el intervalo (0, 5) o

Ejercicio 8



0

(

+

)

+

5

MaTEX


50


Ejercicio 9. a) Se representa cada solucin y se toma la regin que tienen en comn, o o u que en este caso es S = (3; ) x + 5 > 4x 4 = 2x 7 < 3 x 3 3 x < 9 = x < 4 x>3 x > 4

d B s=B+mv

SOCIALES

4

(

+

b) Se representa cada solucin y se toma la regin que tienen en comn, o o u que en este caso es S = (3; 4) 3x 7 < x + 1 = 2x 2 > x + 1 2x < 8 = x>3 x3

)4 3

(

+Ejercicio 9Doc Doc Volver Cerrar


(3

MaTEX


51


Ejercicio 10. Se representa la recta x y = 0 = y = x dando dos valores, por ejemplo x = 3 y = 3 A(3, 3) x = 3 y = 3 B(3, 3) Se despeja la variable y x y 0 = y x Al quedar y de la forma y marcamos la parte superior. Ejercicio 10xy =0

d B s=B+mv

SOCIALES



52


Ejercicio 11. Se representa la recta x y = 1 = y = x 1xy =1

d B s=B+mv

SOCIALES

dando dos valores, por ejemplo x = 3 y = 2 x = 1 y = 2 Se despeja y x y 1 = y x 1 Al quedar y de la forma y marcamos la parte inferior. Ejercicio 11



53


Ejercicio 12(a) r1 x + y r2 x + y5 4 3 2 1 0 r2 0 1 2 3 4 5

5 2

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEXr1




54


Ejercicio 12(b) r1 4x 3y r2 x + 4y5 4 3 2 1 r2 0 0 1 2 3 4 5 r1

3 5

d B s=B+mv

SOCIALES



55


Ejercicio 12(c) r1 r2 r3 r45 4 3 2 1 r4 0 r1 r2

x yx x+y x

2y 2 5 0

d B s=B+mv

SOCIALES


r3 1 2 3 4 5

0



56


Ejercicio 12(d) r1 r2 r3 r43 r3 2

2x + 4y 6x + 3y x y

4 6 0 0

d B s=B+mv

SOCIALES


1 r1 r2 0 r4 0 1 2 3



57


Ejercicio 12(e) r1 x y r2 x 2y r3 x 2030 25 20 15 10 r1 5 0 r3 r2

d B s=B+mv

SOCIALES


0

5

10

15

20

25

30


58


Ejercicio 12(f ) r1 3x + 2y r2 y r3 y8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 r3 4 5 6 7 8 r1 r2

24 x 1

d B s=B+mv

SOCIALES



Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

LogaritmosFco Javier Gonzlez Ortiz a

SOCIALES



Doc Doc ISBN: 84-688-8267-4 Volver Cerrar

Logaritmos

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Tabla de Contenido1. Introduccin o 2. Logaritmo de un n mero u 2.1. Propiedades Logaritmo de un producto Logaritmo de un cociente Logaritmo de una potencia Logaritmo de un radical Ejercicios Cambio de base 3. Ecuaciones logar tmicas 4. Unos cuantos acertijos.. 5. Aplicaciones 5.1. La intensidad del sonido Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES


Logaritmos

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3


1. Introduccin o En los siglos XVI y XVII se vi la necesidad de establecer reglas que o permitieran simplicar los laboriosos clculos que ten que realizar los asa an trnomos. o La invencin de los logaritmos al comienzo del siglo XVII trajo consigo un o enorme ahorro de tiempo. John Napier, o Neper en lat present las primeras n, o tablas de logaritmos en 1614, aunque por no estar en el sistema decimal no fueron de utilidad; Briggs las mejor presentndolas en forma decimal. o a Muchas mejoras se hicieron despus de estas tablas, aunque todas conten e an como una parte esencial los logaritmos de las funciones goniomtricas, como e Neper lo hizo. Los logaritmos fueron empleados durante muchos aos en todas las cienn cias, pero la Astronom se beneci de ellos ms que ninguna otra. a o a La invencin de los ordenadores ha llevado consigo aumentar el tiempo o de vida de los ultimos astrnomos al no tener que utilizar tampoco las tablas o de logaritmos. Pero ellos, los logaritmos, han hecho posibles muchas investigaciones que, por culpa de su inmenso trabajo computacional, no hubieran sido posibles sin su ayuda.

d B s=B+mv

SOCIALES


Logaritmos

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Seccin 2: Logaritmo de un n mero o u

4


2. Logaritmo de un n mero u Denicin 2.1 Se denomina logaritmo en base a > 0 del nmero an al o u exponente n de la base a. Se escribe como

d B s=B+mv

loga an = nEjemplo 2.1. Veamos algunos ejemplos sencillos: Solucin: o log2 16 = log2 24 = 4 log16 16 = log16 161 = 1 log10 100 = log10 102 = 2 log4 16 = log4 42 = 2 log3 9 = log3 32 = 2 log5 125 = log5 53 = 3

SOCIALES

Es decir para hallar el logaritmo de un nmero en base a expresamos el u nmero como una potencia de la base a. u 1 1 Veamos algunos ejemplos ms. Para hallar log2 expresamos a como una 4 4 potencia de 2, 1 1 = (2)2 log2 = 2 4 4


Logaritmos

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5


Para hallar log3

1 1 expresamos como una potencia de 3, 81 81 1 1 = (3)4 log3 = 4 81 81

d B s=B+mv

SOCIALES

loga 1 = loga a0 = 0 Ejemplo 2.3. Hallar el logaritmo de 0 en base a. Solucin: El logaritmo de 0 no existe, pues 0 no se puede poner como una o potencia de a Ejemplo 2.4. Hallar el valor de log10 5. Solucin: o Como 5 no sabemos expresarlo como potencia de 10, no podemos hacerlo directamente. En estos casos acudimos a una calculadora. Con su calculadora o la incorporada en el ordenador podemos hallarla log10 5 0, 69897


Logaritmos

Ejemplo 2.2. Hallar el logaritmo de 1 en base a. Solucin: El logaritmo de 1 es cero en cualquier base. o

MaTEX


6


Ejemplo 2.5. Expresa el nmero 6 como un logaritmo en base 2 u Solucin: Por la denicin o o 6 = log2 26 Ejemplo 2.6. Expresa el nmero 2 como un logaritmo en base 12 u Solucin: Por la denicin o o 2 = log12 122 Ejercicio 1. Completa en tu cuaderno la tabla siguiente: n log2 n log1/2 n 1 2 4 1 16 8 1 2 2 3

d B s=B+mv

SOCIALES


Logaritmos

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Test. Hallar los siguientes logaritmos: 1. log2 32 vale... (a) 5 (b) 6 2. log4 4 vale... (a) 4 3. log2 1 vale... (a) 2 4. log25 5 vale... (a) 1 5. log3 81 vale... (a) 3 1 6. log5 vale... 5 (a) 1 7. log10 1000 vale... (a) 2 (b) 0 (b) 1 (b) 1/2 (b) 4

d

(c) 4 (c) 1 (c) 0 (c) 2 (c) 5

B s=B+mv

SOCIALES

(b) 1/2 (b) 3

(c) 1 (c) 4


Logaritmos

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8


2.1. Propiedades

Logaritmo de un productoSi comparamos loga ax + loga ay = =x+y loga (ax ay ) = loga (ax+y )= x + y obtenemos la propiedad de que el logaritmo del producto de dos nmeros es u la suma de los logaritmos de dichos nmeros. u

d B s=B+mv

SOCIALES

loga (m n) = loga m + loga n Logaritmo de un cocienteSi comparamos

(1)

loga ax loga ay = =xy x a loga y = loga (axy )= x y a obtenemos la propiedad de que el logaritmo del cociente de dos nmeros es u la resta de los logaritmos de dichos nmeros. u

loga

m = loga m loga n n

(2)Doc Doc Volver Cerrar

Logaritmos

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9


Logaritmo de una potenciaDe la expresin on veces

d B s=B+mv

loga (M )n = loga (M M M M ) = loga M + loga M + + loga M =n loga M

regla del producto

SOCIALES

obtenemos la propiedad de que el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base. loga M n = n loga M (3)

Logaritmo de un radicalLa expresin anterior se aplica a los radicales o n loga M = loga (M )1/n radical 1 = loga M potencia n obtenemos la propiedad de que el logaritmo de una raiz es el ndice por el logaritmo del radicando. loga n M= 1 loga M n (4)


Logaritmos

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10


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