Prueba de Cátedra 1 Instrucciones: Lea … Nº 2 MAT 147: Cálculo 1 Primer semestre 2011 Instrucciones: Lea atentamente las preguntas antes de contestar; utilice lápiz pasta para

Instituto de Matemáticas Asignatura: Mat 147

Instrucciones: Lea atentamente las preguntas antes de contestar. Sea ordenado y claro para responder, indicando el número de la pregunta que está contestando. Utilice lápiz pasta para responder. No hay preguntas durante el desarrollo de la prueba. 15 puntos cada pregunta. Tiene 90 minutos para responder.

1) Determine si son Verdaderas o Falsas cada una de las siguientes

proposiciones. Justifique adecuadamente todas sus respuestas.

a)____ Para todo , se cumple | | | | | | b)____ Para todo , | | | || | c) ____ Para todo

d) ____ Si | | , entonces | |

2) La expresión

determina el total de ventas (en miles de

pesos) después de x días de comercialización de un producto. Determine

cuánto tiempo deberá comercializarse un producto para que el total de ventas

triplique a las ventas luego de una semana.

3) Resuelva la siguiente ecuación

( *√ +)

4) Resuelva la siguiente inecuación para la variable donde p es un

parámetro real.

√ | |

Prueba de Cátedra 1


Instrucciones: Lea atentamente las preguntas antes de contestar. Sea ordenado y claro para responder, indicando el número de la pregunta que está contestando. Utilice lápiz pasta para responder. No hay preguntas durante el desarrollo de la prueba. 15 puntos cada pregunta. Tiene 90 minutos para responder.

1. Demuestre que para todo

, y

que la igualdad se cumple si y solo si

2. Cierto líquido se realizó con desinfectante a una

concentración del 10%, mientras que otro líquido se

hizo al 25%, ¿Cuántos litros de cada una de las

mezclas se deben utilizar para obtener 20 litros de

líquido al 16% de concentración?

3. Resuelva la siguiente inecuación para la variable

,

√

| |

4. Determine para cuáles , la expresión

√| | , es un número real, con


PRUEBA Nº 2

MAT 147: Cálculo 1 Primer semestre 2011

Instrucciones: Lea atentamente las preguntas antes de

contestar; utilice lápiz pasta para responder; no hay

preguntas durante el desarrollo de la prueba. Tiene 90

minutos para responder.

1. Si , determine las condiciones que debe cumplir

c para que se cumpla la desigualdad

2. Demuestre o refute con un contraejemplo las siguientes

proposiciones:

3. Sea (√ √ )

i) Determine dominio y recorrido

ii) Suponiendo que existe, determine cuál es la expresión

algebraica de su inversa.

4. Si (

)

, entonces determine

(

)

5. Considere la fracción continua

i) Determine la sucesión que la define

ii) Determine los valores de k para los cuales la sucesión tiene

límite (hint: suponga que existe)

iii) Si k = 1, determine, ¿A qué límite tiende la sucesión?

PRUEBA Nº 1






1. Demuestre que , con se cumple

que

2. Un biólogo realiza cierto número de experimentos

idénticos en un tiempo determinado. Si hubiera

hecho 10 experimentos menos cada día, hubiera

terminado su trabajo de investigación 9 días antes de

lo previsto, pero si hubiese hecho 20 experimentos

más cada día habría terminado 9 días después de lo

previsto ¿Cuántos experimentos hizo y en cuánto

tiempo?

3. Resuelva la siguiente inecuación para la variable

√

4. Considere las siguientes funciones definidas

como:

{

{√

Defina la función compuesta indicando

su dominio

PRUEBA Nº 1






1. Demuestre que , se cumple que:

2. Víctor, trabajando solo, puede terminar una

muralla de ladrillos en 5 días, pero junto a Rodrigo

lo pueden hacer en solo 3 días. ¿Cuánto tiempo

necesitaría Rodrigo para hacerlo solo?

3. Resolver la ecuación en :

√

(

)

4. El radio de un cilindro disminuye en un 10%

mientras la altura aumenta en un 12%. ¿En qué porcentaje varía el volumen y el área lateral del

cilindro? ¿Aumentan o disminuyen?

[V=πr2h ; A = 2πrh]

MAT 147: Cálculo 1 Segundo Semestre 2007

PRUEBA Nº 1

1. Una población de microorganismos crece

diariamente en cierto porcentaje. Si en 10 dias ha crecido al doble, ¿cuántos días necesita para

aumentar su tamaño 5 veces? ¿cuál es el porcentaje

diario de crecimiento?

2. Resolver la ecuación:

√ | |

3. resolver el sistema:

| |

4. Un empresario agrícola dispone de 50 ha. de

terreno y 20 M de pesos de capital y decide plantar 2

variedades de paltos: la variedad 1 requiere una

inversión de 0.3 M por hectárea y deja 1 M por ha. de ganancia (proyectada). La variedad 2 requiere 0.7

M por ha. y deja 1.8 M de ganancia por ha. ¿cuántas

hectáreas de cada variedad dejan la máxima

ganancia proyectada?

PRUEBA Nº 1 (MAT 147)

PLAN COMÚN

Primer semestre 2006

1.- En una economía fluctuante, las tasas de interés se alternan

en 0.8% y 1.4% mes a mes. Se invierten $2.600.000 en este sistema ¿cuántos meses se necesitan para obtener al menos $3.200.000?

Discuta su respuesta.

2.- Resolver la inecuación en los reales:

√ | |

3.- Resuelva el sistema mixto:

| |

√| |

4.- Sea la función real √

Encontrar dominio (máximo) y recorrido de la función

compuesta


PRUEBA Nº 2

1. Sea

. Encuentre, si

existen:

2. Sea ( ) la sucesión definida por recurrencia:

√ . Demuestre que esta

sucesión es convergente y encuentre su límite.

3. Sea

Demuestre que 0 es punto de acumulación del

dominio de la función

y que

4. Calcule los siguientes límites, fundamentando su

respuesta:

(

)

PRUEBA Nº 2






1. Sea | | . Encuentre, si

existen:

2. Considere la sucesión dada por:

√ √ √ √ √ √ , …

Decida si ( es convergente y, en caso afirmativo,

calcule

3. Sea y

Demostrar que:

| |

4. Sea

{

Encontrar los números reales tales que sea

continua en

PRUEBA Nº 2






1. Sea .

Encuentre

2. Sea la sucesión definida por:

Demuestre que es convergente y encuentre su

límite. [Indicación: demuestre que es

decreciente y acotada por

usando el principio de

inducción]

3. Sea

Demuestre, usando las definiciones, que:

4. Sea

{ (

)

(

)

Encuentre de modo que posea una

extensión continua en 1.



Lea atentamente las preguntas antes de contestar. Sea ordenado y claro para responder, indicando el número de la pregunta que está contestando. No hay preguntas durante el desarrollo de la prueba. Tiene 90 minutos para responder.

1) Sea ( ) , , Demuestre utilizando la definición el límite de cuando

tiende a . vía “épsilon y delta”

(ayuda: | | | | | |) 15 puntos

2) Considere la sucesión (progresión geométrica). Se define la suma

de los primeros k términos como .¿a cuánto

tiende la suma de TODOS(infinitos) los términos de la sucesión?

15 puntos

3) Indique si las siguientes afirmaciones son VERDADERAS o FALSAS. Justifique

cada una de sus respuestas. (no argumentar implica ausencia de puntaje)

i) sucesión acotada y es convergente, entonces es

convergente.

ii) La ecuación

√ ( ) tiene solución en [

]

iii) La función real ( )

| | tiene una discontinuidad reparable.

5 puntos cada una

4) Determine las condiciones para de modo que la función sea continua

en todo IR

( )

{

√[ ]

( )

15 puntos

∑


EXAMEN

1. (a) Sea √ | | . Calcule, si existen,

(b) Sea

Calcule, si existen,

2. Sea √ Demuestre que la

sucesión es convergente y encuentre su límite.

3. Sea

Demuestre que

4. La ecuación real:

| |

√| |

¿Tiene alguna solución en el intervalo [0,2]? ¿Y en

el intervalo [-2,0]?

5. Sea

{

(

)

Encuentre los números reales tal que sea

continua en

MAT 147: Cálculo 1 Primer Semestre 2012

EXAMEN

1. Se dispone de 15 litros de un desinfectante al 2%,

y de un concentrado al 80%.

a)Si se agrega 1 litro de concentrado al tiesto de desinfectante al 2% ¿cuál es la concentración que se

obtiene?

b)¿Cuánto concentrado habría que agregarle a los 15

litros al 2% para obtener una concentración del 8%?

2. Sea una sucesión en y Demuestre:

La convergencia de implica la convergencia de (y al mismo límite), pero la convergencia de no implica la convergencia de

3. Sea inyectiva y lineal (es decir:

Demuestre que es continua en

4. a) Sea √ | | . Calcule, si existen,

b) Sea (

)

Calcule, si existen,

5. Encuentre todos los coeficientes tales que la función:

{

(

)

√

( √ )

sea continua en su dominio

EXAMEN EXTRAORDINARIO: CÁLCULO 1 (MAT 147)

Primer Semestre 2006

1.- Sean

, √ | |-

Calcule

2.- Sea

√ .

¿A partir de qué valor de n el número estará a una distancia del cero menor que:

a) 0.01 b) 0.001; c) ε > 0 ?

3.- Sea la sucesión definida por recurrencia:

√

Demuestre que la sucesión es convergente y calcule su límite.

4.- Sea un conjunto acotado inferiormente, λ < 0.

Demuestre que el conjunto

es acotado superiormente y que

5.- Sea (

)

a) Demuestre que 0 es punto de acumulación del dominio de

b) Demuestre que si

Entonces

6.- Calcule los siguientes límites, fundamentando sus respuestas:

a)

(√ √ )(√ )

b)

.

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Prueba de Cátedra 1 Instrucciones: Lea … Nº 2 MAT 147: Cálculo 1 Primer semestre 2011 Instrucciones: Lea atentamente las preguntas antes de contestar; utilice lápiz pasta para