Prueba de Hipotesis de Una Muestra Ejercicios Resueltos (1)

Captulo 10 Estadstica aplicada a los negocios Prueba de hiptesis de una muestra y la economa

Los ejercicios que aqu se presentan tienen como objetivo que el estudiante se familiarice con

los datos que debe incorporar en los estadsticos de prueba y los pasos que debe seguir para

llegar a los resultados solicitados, de acuerdo a los supuestos de cada situacin.

En ningn momento se debe interpretar que los enunciados y supuestos son similares a los

enunciados y supuestos de las pruebas escritas de la asignatura. Los ejercicios planteados son

un complemento de las teletutoras y radiotutoras.

A. Cuando se conoce la desviacin estndar de la poblacin

Ejercicio 2, pgina 347

Se selecciona una muestra de 36 observaciones de una poblacin normal. La media muestral

es de 12, y el tamao de la muestra 36. La desviacin estndar de la poblacin es 3. Utilice el

nivel de significancia 0,02.

Ho: u 10

a) Es una prueba de una o de dos colas?

Es una prueba de una cola pues esto lo define la H1 la cual indica que el promedio sea

mayor que 10. La prueba est ubicada del lado derecho de la curva normal.

b) Cul es la regla de decisin?

Se rechaza Ho si Zc > Zt es decir se rechaza si Zc > 2,06

c) Cul es el valor del estadstico de prueba?

Zc = (x u)/(/n) = (12-10)/(3/36) = 4

d) Cul es su decisin al respecto de Ho?

Dado que Zc = 4 > Zt = 2,06, se rechaza la hiptesis nula

e) Cul es el valor p? Interpreta este valor

P(z >= 4) = 0,000, ni siquiera est en la tabla de probabilidades de la pgina 782, por lo

que es menor que el alfa de 0,02 lo que implica que se rechaza la hiptesis nula con

mayor seguridad.


Se selecciona una muestra de 64 observaciones de una poblacin normal. La media de la

muestra es de 215, y la desviacin estndar de la poblacin, 15. Lleve a cabo la prueba de

hiptesis, utilice el nivel de significancia 0,03.

Ho: u >= 220

H1: u < 220

a) Es una prueba de una o de dos colas?

Es una prueba de una cola pues esto lo define la H1 la cual indica que el promedio sea

menor que 220. La prueba est ubicada del lado izquierdo de la curva normal.


Se rechaza Ho si Zc < Zt es decir se rechaza si Zc < -1,89


Zc = (x u)/(/n) = (215-220)/(15/64) = -2,67


Dado que Zc = -2,67 < Zt = -1,89, se rechaza la hiptesis nula


P (z


En el momento en que fue contratada como mesera en el Grumney Family Restaurant, a Beth

Brigden le dijeron: Puedes ganar en promedio ms de $80 al da en propinas. Suponga que la

desviacin estndar de la distribucin de poblacin es de $3,24. Los primeros 35 das de

trabajar en el restaurante, la suma media de sus propinas fue de $84,85. Con el nivel de

significancia de 0,01. La seora Brigden puede concluir que gana un promedio de ms de $80

en propinas?.

a) Establezca la hiptesis nula y la hiptesis alternativa

Ho: u 80


Se rechaza Ho si Zc > Zt es decir se rechaza si Zc > 2,33


Zc = (x u)/(/n) = (84,85 - 80)/(3,24/35) = 8,85


Dado que Zc = 8,85 > Zt = 2,33, se rechaza la hiptesis nula


P (z >= 8,85). La probabilidad de encontrar un valor de z igual o mayor a 8,85 es muy

pequeo, cercano a 0 (no est en la tabla de la pgina 782). Como ese valor tan

pequeo es menor que el nivel de significancia de 0,01, entonces se rechaza Ho con ms

seguridad ya que hay evidencia muy fuerte de que H0 no es verdadera.

B. Cuando no se conoce la desviacin estndar de la poblacin


Sean las siguientes hiptesis:

Ho: = 400

H1: 400

En el caso de una muestra aleatoria de 12 observaciones seleccionada de una poblacin

normal, la media muestral fue de 407, y la desviacin estndar de la muestra, de 6. Utilice el

nivel de significancia 0,01.

a) Formule la regla de decisin?

Se rechaza Ho si tc > tt es decir se rechaza si tc > 3,106

b) Calcule el valor de estadstico de prueba

=x

/=

407400

6/12= 4,04

c) Cul es su decisin respecto de la hiptesis nula?

Dado que tc = 4,04 > tt = 3,106, se rechaza la hiptesis nula


La administracin de White Industries analiza una nueva tcnica para armar un carro de golf; la

tcnica actual requiere 42,3 minutos de trabajo en promedio. El tiempo medio de montaje de

una muestra aleatoria de 24 carros, con la nueva tcnica, fue de 40,6 minutos, y la desviacin

estndar, de 2,7 minutos. Con un nivel de significancia de 0,10, puede concluir que el tiempo

de montaje con la nueva tcnica es ms breve?

a) Sean las siguientes hiptesis:

Ho: 42,3

H1: < 42,3

b) Regla de decisin con n - 1 = 23 grados de libertad y un = 0,10, prueba de una

cola, la zona de rechazo se encuentra a la izquierda la distribucin. Con los datos

anteriores el valor crtico de la t de Student es: -1,319

Se rechaza Ho si tc < tt es decir se rechaza si tc < -1,319

c) Calcule el valor de estadstico de prueba

=x

/=

40,6 42,3

2,7/24= 3,085

d) Cul es su decisin respecto de la hiptesis nula?

Dado que tc = -3,085 < tt = -1,319, se rechaza la hiptesis nula

Por lo tanto se puede concluir que el tiempo de montaje con la nueva tcnica es ms

breve, a un nivel de significancia de 10%.


En la actualidad, la mayora de los que viajan por avin compra sus boletos por internet. De

esta forma, los pasajeros evitan la preocupacin de cuidar un boleto de papel, adems de que

las aerolneas ahorran. No obstante, en fechas recientes, las aerolneas han recibido quejas

relacionadas con los boletos, en particular cuando se requiere hacer un enlace para cambiar de

lnea. Para analizar el problema, una agencia de investigacin independiente tom una

muestra aleatoria de 20 aeropuertos y recogi informacin relacionada con la cantidad de

quejas que hubo sobre los boletos durante marzo. A continuacin se presenta la informacin.

14 14 16 12 12 14 13 16 15 14

12 15 15 14 13 13 12 13 10 13

Con un nivel de significancia de 0,05, la agencia de investigacin puede concluir que la

cantidad media de quejas por aeropuerto es menor de 15 al mes?

a) Qu suposicin se requiere antes de llevar a cabo una prueba de hiptesis?

Que la caracterstica que se est estudiando (cantidad de quejas por aeropuerto, en

este caso) en la poblacin, de la que se obtuvo la muestra, se distribuye

aproximadamente de acuerdo con la distribucin de probabilidad normal.

b) Ilustre la cantidad de quejas por aeropuerto en una distribucin de frecuencia o en un

diagrama de dispersin. Es razonable concluir que la poblacin se rige por una

distribucin normal?

Grficamente, la distribucin de los datos se asemeja a una distribucin

aproximadamente normal. Aunque la herramienta grfica no es suficiente para llegar a

una conclusin definitiva.

c) Realice una prueba de hiptesis e interprete los resultados.

H0: 15 (cantidad media de quejas por aeropuerto mayor o igual a 15)

H1: < 15 (cantidad media de quejas por aeropuerto menor que 15)

Nivel de significancia =0,05, es una prueba de una cola, la desviacin estndar

poblacional desconocida por lo que se debe usar la distribucin t de Student para

realizar la prueba con (n-1) = (20-1) = 19 grados de libertad. Por consiguiente, el valor

crtico del estadstico de prueba t es -1,729 (por la cola inferior, dado que la hiptesis

alternativa establece la relacin menor que).

La regla de decisin es:

Rechazar la hiptesis nula si el valor calculado de t (tc) es menor que -1,729. No

rechazar la hiptesis nula en caso contrario.

Se calcula el estadstico de prueba, t de Student:

tc =x

s

n

=13,5 15

1,5044

20

= 4,46

Dado que -4,46 < -1,729 se rechaza la hiptesis nula. Eso significa que, al nivel de

significancia del 0,05, hay evidencia suficiente para concluir que la cantidad media de

quejas por aeropuerto es menor a 15.

0

2

4

6

8

10

12

10 12 14 y mayor...

Fre

cue

nci

a

Clase

Representacin grfica

C. Pruebas de hiptesis relacionadas con proporciones


Sean las siguientes hiptesis.

Ho: = 0,40

H1: 0,40

Una muestra de 120 observaciones revel que p = 0,30. Puede rechazar la hiptesis nula en el

nivel de significancia de 0,05?

a) Formule la regla de decisin

b) Calcule el valor del estadstico de prueba

c) Cul es su decisin respecto de la hiptesis nula?

a) La regla de decisin es: Rechazar la hiptesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es

menor que -1,96. No rechazar la hiptesis nula en caso contrario.

Es una prueba de dos colas, /2 = 0,05/2 = 0,025, entonces qu valor debe tener Z,

para una probabilidad de 0,475= (0,5 0,025), P(0 a Z) = 0,475 implica que Z = 1,96

b) Estadstico de prueba es:

Zc =p

(1)n

=0,300,40

0,40(10,40)120

= 2,22

c) Dado que -2,22 < -1,96 se rechaza la hiptesis nula.


Un artculo reciente de USA Today inform que slo hay un trabajo disponible por cada tres

nuevos graduados de universidad. Las principales razones fueron una sobrepoblacin de

graduados universitarios y una economa dbil. Una encuesta de 200 recin graduados revel

que 80 estudiantes tenan trabajo. Con un nivel de significancia de 0,02. Puede concluir que

una proporcin mayor de estudiantes de su escuela tienen empleo?

Nota: se recomienda utilizar el procedimiento de los cinco pasos para la prueba de hiptesis.

Paso 1: se establece la hiptesis nula y alternativa. De cada tres graduados solo uno consigue

empleo, esto quiere decir que 1/3 parte tiene trabajo, =0,33

Ho: = 0,33

H1: 0,33

Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia: = 0,02

Paso 3: Se selecciona el estadstico de prueba:

P = 80/200 = 0,40

Zc =p

(1)n

=0,400,33

0,33(10,33)200

= 2,12

Paso 4: Se formula la regla de decisin.

La regla de decisin es: Rechazar la hiptesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es mayor que

2,06. No rechazar la hiptesis nula en caso contrario.

Para calcular el valor de Z tabular se hace lo siguiente: Es una prueba de una cola, = 0,02,

entonces Qu valor debe tener Z?, para una probabilidad de 0,480 = (0,5 0,02), P (0 a Z) =

0,480 implica que Z = 2,06

Paso 5: Se toma la decisin

Dado que 2,12 > 2,06 (Zc > Zt ), entonces se rechaza la hiptesis nula. Puede concluirse que una

proporcin mayor de estudiantes de la escuela tienen empleo.


Una investigacin de la universidad de Toledo indica que el 50% de los estudiantes cambia de

rea de estudios despus del primer ao en un programa. Una muestra aleatoria de 100

estudiantes de la Facultada de Administracin revel que 48 haban cambiado de rea de

estudio despus del primer ao del programa de estudios. Hubo una reduccin significativa

en la proporcin de estudiantes que cambian de rea el primer ao en este programa? Realice

una prueba con un nivel de significancia de 0,05.

Nota: se recomienda utilizar el procedimiento de los cinco pasos para la prueba de hiptesis.

Paso 1: se establece la hiptesis nula y alternativa.

Ho: = 0,50

H1: < 0,50

Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia: = 0,05

Paso 3: Se selecciona el estadstico de prueba:

Para calcular la proporcin muestral se divide el nmero de estudiantes que cambiaron de

rea en la muestra, entre el total de muestra, esto es p = 48/100 = 0,48.

Zc =p

(1)n

=0,480,50

0,50(10,50)100

= 0,40

Paso 4: Se formula la regla de decisin.

La regla de decisin es: Rechazar la hiptesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es menor que

-1,65. No rechazar la hiptesis nula en caso contrario.

Para calcular el valor de Z tabular se hace lo siguiente: Es una prueba de una cola, = 0,05,

entonces Qu valor debe tener Z?, para una probabilidad de 0,4500 = (0,5 0,05), en la tabla

aparece la probabilidad 0,4505 entonces se toma esta probabilidad para resolver el ejercicio,

esto quiere decir que P (0 a Z) = 0,4505 implica que Z = 1,65. Se utiliza -1,65 porque la hiptesis

alternativa indica que la zona de rechazo se ubica en la cola izquierda de la distribucin normal

estndar.

Paso 5: Se toma la decisin

Dado que -1,65 < -0,40 ( Zt < Zc), entonces NO se rechaza la hiptesis nula, por tanto no hay

evidencia estadsticamente significativa de que hubo una reduccin en la proporcin de

estudiantes que cambian de rea en el primer ao en el programa.

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