Prueba de Hipótesis Sobre La Diferencia Entre Medias

8/17/2019 Prueba de Hipótesis Sobre La Diferencia Entre Medias

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PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA DIFERENCIA ENTRE MEDIAS: MUESTRASGRANDES

9.3.1 INTRODUCCIÓN

Supóngase que se tiene dos poblaciones independientes con medias desconocidas μ1 y μ2, y

varianas σ12 y σ22. Sean1 x y

2 xlas medias de las muestras de dos poblaciones. El tamaño de cada

una de estas muestras son n1 y n2 respectivamente.

Queremos observar si la dierencia entre las medias es signiicativa o no, es decir.

Hip!tesis

Cas" I Cas" II Cas" III

!o" μ1 # μ2 $ %

!1 " μ1 # μ2 & %

!o" μ1 # μ2 ' %

!1 " μ1 # μ2 ( %

!o" μ1 # μ2 ) %

!1 " μ1 # μ2 * %

9.3.2 SUPUESTOS

1. Las observaciones de las muestras son aleatorias

2. Las poblaciones son independientes

3. Los tamaños de las muestras son n 1≥ 30 y n2 ≥30

4. Las poblaciones son normales o cumplen las condiciones del teorema del límite central.

Estad#sti$" de pr%e&a

a+ arian-as conocidas σ12

y σ22 b+ arian-as desconocidas σ1

2 y σ2

2


2/6

Z0,025=-1,96 Z0,025 =1,96Z= – 1,38

Zona de aceptaciónHo

Zona rechazo HoZona rechazo Ho

2

2

2

1

2

1

2121 +

nn

u x x z

σ σ

µ

+

−−−=

2

2

2

1

2

1

2121 +

n

s

n

s

u x xt z

+

−−−==

µ

E'er$i$i" () Se conocen los datos de dos muestras de dos poblaciones, que son los siguientes" /asmedias X 1 ' 0 X 2 ' 03 las varian-as S1

2 ' 224 S22 ' 156 las muestras n1 ' 2 n2 ' 45

Se pide contrastar estad7sticamente si e8iste dierencia entre las dos poblaciones, a un nivel de

signiicación del 9.94. /as dos poblaciones siguen una distribución :ormal :μ1,σ12+ y :μ2, σ2

2+

S"*%$i!n) Sabemos que las distribuciones de las dos poblaciones son :ormales, pero desconocemosel valor de su desviación, sólo conocemos el valor de la desviación t7pica de las muestras entonces

estimamos las desviaciones poblacionales con las de las muestras.

Hip!tesis:

!o" μ 1 ; μ 2 ' 9, es decir, μ 1 ' μ 2 no e8iste dierencia entre las poblaciones+

!1" μ 1 ; μ 2 ( 9, es decir, μ 1 (


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C"n$*%si!n) Aomo B ' # 1,>3+ queda en el Crea de aceptación de !o, luego aceptamos !o, es decir no e8iste dierencia entre las poblaciones

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA DIFERENCIA ENTRE MEDIAS: MUESTRASPE+UE,AS

9.4.1 INTRODUCCIÓN

Estas pruebas se utili-an cuando el muestreo destruye a los elementos, cuando resulta muy costoso

o cuando solo se puede obtener unos cuantos valores Distóricos.

Sea u1 y u2, las medias de dos poblaciones normales o apro8imadamente normal Se quiere probar

la Dipótesis sobre la dierencia de medias bao el supuesto que !o es cierto es decir"

Hip!tesis

Cas" I Cas" II Cas" III

!o" μ1 # μ2 $ %o

!1 " μ1 # μ2 & %o

!o " μ1o # μ2 ' %o

!1 " μ1 # μ2 ( %o !o" μo # μ2 ) %o

!1" μ1 # μ2 * %o

9.4.2 SUPOSICIONES

1. Las oser!aciones de "as dos #$estras son independientes2. Las dos po"aciones son apro%i#ada#ente nor#a"es3. &" #enos $na #$estra es pe'$e(a n & 30

Pr%e&a Estad#sti$a).

Cas" (. Se $"n"$en las desviaciones estCndar de las poblaciones σ1 y σ2,.

2

2

2

1

2

1

21

nn

x x z o

σ σ +

∆−−=


4/6

Cas" -) Se des$"n"$e σ1 y σ2 pero son iguales σ1'σ2'σ, se determina s la desviación estCndar combinada, en unción de s1 y S2.

21

21

11

nn s

x xt o

+∆−−=

Pr%e&a t $"n n(.n- / - 0rad"s de *i&ertad

Fonde s es un estimado conunto de σ desviación estCndar comGn para ambas poblaciones p""*edvarian$e++

2

+1+1

21

2

22

2

11

−+

−+−=

nn

sn sn s

Cas" 1) Se des$"n"$e σ1 y σ2 pero desiguales σ1(σ2 , se utili-a s1 y SDa, para esti2ar σ1 y σ2respectivamente en este caso el mHtodo apro8imado es la distribución t,

2

2

2

1

2

1

21

n

s

n

s

x xt o

+

∆−−=

/os grados de libertad gl+ se determina con la órmula siguiente.

2

11

11

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

−

++

+

+

=

n s

nn s

n

n

s

n

s

gl

9.4.3 EJERCICIOS RESUELTOS Se desconoce 1 y 2 pero son iguales 1= 2 = ,

E'er$i$i" () Aomo psicólogo de un Dospital para enermos mentales el lector obtiene caliicaciones para una prueba visual motora para cada uno de dos grupos de pacientes. /a caliicación media para


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)*0,1+23=-1,1 t*0,1+23 =1,1t= 1,193

Zona de aceptaciónHo

Zona rechazo HoZona rechazo Ho

el grupo I 19 pacientes+ es 39 con desviación estCndar 13, y la correspondiente al grupo J 14

pacientes+ es 09 con desviación estCndar 22. El lector cree tener suiciente ra-ones para considerar

las desviaciones estándar de población iguales, las poblaciones son normales. KFiieren

signiicativamente las caliicaciones con nivel de signiicación 19LM.

S"*%$i!n

Dat"s

nI ' 19 nJ ' 14

39= A x 09= B x sI ' 13sJ ' 22 α ' 9.19

Hip!tesis

!o" μI ; μJ ' 9 las caliicaciones no diieren+

!1" μI ; μJ ( 9 las caliicaciones si diieren+

16>,1

141

1914203.29

0939

11

=

+

−=

+

−=

B A

B A

nn s

x xt

s '

4203.2921419

22+11413+119

2

+1+1 2222

=−+

−+−=

−+−+−

B A

B B A A

nn

sn sn

De$isi!n: como se observa en la igura el t esta dentro del Crea de aceptación de !o., luego seacepta !o, es decir que las caliicaciones no diieren

/e ta"as t para dos co"as tene#os '$et * + n1n2-2 = t *0,1 + 1015-2 = t *0,1 + 23 = 1,1


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E'er$i$i" 3) Nn abricante de llantas para bicicleta airma que sus llantas duran mCs que los de lacompetencia, para ello se tomaron 4 llantas y la duración promedio ue de 59.999 Oilómetros y una

varian-a de 199. 5 llantas de la competencia arroo un tiempo promedio de duración de 43999

Oilómetros y una varian-a de 69. Si las poblaciones se consideran normales de varianzas

desconocidas diferentes Ktiene ra-ón el abricanteM Ntilice un nivel de conian-a del 66L.

S"*%$i!n:

Pabricante n1 ' 4 599991 = x 1 ' 199

Aompetencia n2 ' 5 439992 = x 2 ' 69

Ntili-amos la distribución

2

2

2

1

2

1

2121 +

nS

nS

x xt

+

−−−=

µ µ 2

11

11

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

1

2

1

−

++

+

+

=

nS

nnS

n

n

S

n

S

gl

Hip!tesis:

H0:21 µ µ =

(o duran m!s"

H1:21 µ µ >

(#uran m!s"

SegGn initab tenemos

T4"5Sa2p*e T5Test and CISample : ean StFev SE ean

1 4 59999.9 19.9 .4

2 5 43999.99 6.6 >.6

Fierence ' mu 1+ ; mu 2+

Estimate or dierence" 2999.99

66L loRer bound or dierence" 1632.35

;est o dierence ' 9 vs *+" ;alue ' >>3.91 T;alue ' 9.999 FP ' 3

Aomo T;alue ' 9,999 & 9,91 luego se recDa-a !o, es decir que si tiene ra-ón el abricante que susllantas duran mCs.

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