Prueba de progresiones 3 A(3/5/2012)

RESOLUCIN

1.- Calcular el trmino que ocupa el lugar 100 de una progresin aritmtica cuyo primer trmino es igual a 4 y la diferencia es 5.

En este caso nos piden calcular a100 y conocemos a1 (en este caso vale 4) y la diferencia es 5. Para ello utilizamos la frmula del trmino general:

an=a1n1 . d

En particular en este caso, tenemos que a100=a199.d=499.5=4495=499

2.- Interpolar cuatro medios aritmticos entre los nmeros 7 y 27.

Hay que calcular los 4 trminos que hay entre 7 y 27 de forma que estn en progresin aritmtica. Como datos sabemos que a1 =7 y a6=27

Calculamos primero la diferencia de esa progresin, utilizamos la expresin

a6=a15d

Sustituimos los valores conocidos en la frmula y despejamos d:

27=75d 277=5d20=5d d= 205 =4

Sumando la diferencia al primer trmino, y reopitiendo la suma, obtenemos los medios aritmticos: 11, 15, 19 y 23

3.- Calcular el trmino undcimo de una progresin geomtrica cuyo primer trmino es igual a 1 y la razn es 2 .

Conocemos el primer trmino y la razn, luego slo hay que sustituir en la frmula del trmino general.

an=a1. rn1

En este caso, cambiamos n por 11 y r por 2:

a11=a1 . 2111=1.210=1.1024=1024

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RESOLUCIN

4.- Hallar la suma de los trminos de la progresin ilimitada: 8, 4, 2, 1,...

Este es un caso de una progresin geomtrica de razn menor que la unidad (1/2=0.5).

Para calcular la suma de todos los trminos aplicamos la frmula:

S=a1

1r= 8

10.5= 8

0.5=16

5.- Se tiene una cuba de vino que contiene 1024 litros. El 1 de octubre se vaci la mitad del contenido; al da siguiente se volvi a vaciar la mitad de lo que quedaba, y as sucesivamente todos los das. Qu cantidad de vino se sac el da 10 de octubre?

Vamos a llamar an = cantidad de vino, en litros, que sacamos el da n de octubre

De esta forma tenemos que a1 es la cantidad sacada el da 1, y es igual a 512. El segundo da sacamos la mitad, esto es, 256 litros, y as sucesivamente. Cada trmino lo obtenemos a partir del anterior dividiendo por 2, o lo que es lo mismo, multiplicando por 0.5, con lo que tenemos la razn. Estamos ante un caso de una progresin geomtrica.

Con esta notacin, lo quie nos pide el problema es el valor de a10. Para ello utilizamos la frmula del trmino general:

a10=a1 . r=512 .1/2 =5122 =

512512

=1

6.- Una rana pretende cruzar un ro de 9 metros de ancho. Para ello se dispone a dar saltos, pero por el cansancio cada salto que da es la mitad del anterior. Si el primer salto es de 4 metros, conseguir cruzar el ro? Por qu?

Vamos a calcular la suma de todos los saltos que podra dar la rana (suponemos que puede dar saltos indefinidamente).

Si llamamos an a la longitud del salto n-simo, cada salto lo obtenemos multiplicando por 0.5 el anterior (es lo mismo multiplicar por 0.5 que dividir por 2). Por tanto es una progresin geomtrica con la razn menor que 1. Por esta razn podemos calcular la suma de todos los trminos (eso representa la longitud de todos los saltos).

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RESOLUCIN

S=a1

1r= 4

10.5= 4

0.5=8

Si la rana salta infinitas veces, llegara a cubrir 8 metros. Como el ancho del ro es de 9 metros, la rana no lo conseguira cruzar.

7.- Desarrollo de la frmula de la suma de los primeros trminos de una progresin aritmtica.

El desarrollo de esta frmula se puede ver en el libro de texto.

8.- En una progresin geomtrica, a1 = 3 y a4 = 24. Calcula la razn y la suma de los ocho primeros trminos.

Comenzamos calculando la razn haciendo uso de la frmula del trmino general de las progresiones geomtricas, y sustituyendo:

a4=a1 . r24=3.r

243=rr=8r=38=2

Ahora para calcular la suma de los 8 primeros trminos aplicamos directamente la frmula (podemos usar cualquiera de las que han aparecido en clase):

S8=a1r1

r1=

32121

=3. 2561

21=3.255

1=3.255=765

9.- Un estudiante de 3 de ESO se propone el da 1 de septiembre repasar matemticas durante una quincena, haciendo cada da 2 ejercicios ms que el da anterior. Si el primer da empez haciendo un ejercicio:

a) Cuntos ejercicios le tocar hacer el da 15 de septiembre? b) Cuntos ejercicios har en total?

Llamaremos an al nmero de problemas que hace el da n de septiembre. De esa forma, la respuesta a la primera pregunta ser calcular el trmino que aparece en el lugar 15 (a15), y las suma de los 15 primeros trminos es la respuesta a la segunda.

Tal y como aparece en la lectura del problema cada da se incrementa en 2 el nmero de problemas que hace, luego tenemos una progresin aritmtica de diferencia 2, y el primer trmino es 1. De esta forma tenemos:

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a15=a114.d=114.2=128=29

Teniendo en cuenta este resultado, calculamos la suma de los 15 primeros trminos:

S15=a1a15.15

2=129.15

2=30.15

2=15.15=225

As concluimos que el da 15 hizo 29 problemas y en la quincena hizo en total 225.

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