UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMADE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA

GUIA DE VARIABLE COMPLEJADEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Profesor: Mario J. Suazo

Intrucciones: Desarrolle los siguientes ejercicios en forma clara y ordenada, dejando en evidencialas resoluciones. Tenga presente que respuestas sin procedimiento no tendran ninguna validez.

1) Pruebe que

∫ ∞−∞

e−x2

dx =√π

2) Sea CR la mitad superior de |z| = R (R > 2), con orientacion positiva. Probar que:∣∣∣∣∫CR

2z2 − 1 dz

z4 + 5z2 + 4

∣∣∣∣ ≤ πR(2R2 + 1)

(R2 − 1)(R2 − 4)

3) Pruebe las igualdades ∫ ∞0

cosx2 dx =

∫ ∞0

senx2 dx =

√π

2√

2

Se llaman integrales de Fresnel, al aplicar el Teorema de Cauchy a la funcion f(z) = e−z2

a lo largo

de la frontera del sector 0 ≤ |z| ≤ R, 0 ≤ argz ≤ π

4.

4) Pruebe la integral de Dirichlet ∫ ∞0

senx

xdx =

π

2

si integras f(z) =eiz

za los largo del conjunto r ≤ |z| ≤ R, 0 ≤ argz ≤ π.

Para todos los ejercicios, justifique los pasos usados para llegar a la respuesta.

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