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Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMATICAS IIInstrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.
Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.
Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.
PROPUESTA A
1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano. (0,5 puntos)b) Razona que las graficas de las funciones f(x) = 3x5 − 10x4 + 10x3 + 3 y g(x) = ex se cortan en
algun punto con coordenada de abscisa entre -1 y 0. (1 punto)c) Calcula los puntos de inflexion de f(x). (1 punto)
2A. Calcula el valor del parametro a ∈ R, a > 0, para que el valor (en unidades de superficie) del areade la region determinada por la parabola f(x) = −x2 + a2 y el eje de abscisas, coincida con la pendientede la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto de abscisa x = −a. (2,5 puntos)
3A. a) Encuentra dos matrices A, B cuadradas de orden 2 que cumplan:
Su suma es la matriz identidad de orden 2.
Al restar a la matriz A la matriz B se obtiene la traspuesta de la matriz(
1 23 4
)(1,5 puntos)
b) Si M es una matriz cuadrada de orden 2 tal que |M | = 7, razona cual es el valor de los determinantes|M2| y |2M |. (1 punto)
4A. a) Estudia la posicion relativa del plano π ≡ x− y − z = a y la recta
r ≡{
2x + y + az = 0x− 2y = 0
en funcion del parametro a ∈ R. (1,25 puntos)b) Calcula la distancia entre π y r para cada valor de a ∈ R. (1,25 puntos)
(sigue a la vuelta)
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Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMATICAS II
PROPUESTA B
1B. a) Calcula los valores de los parametros a, b ∈ R para que la funcion
f(x) =ax2 + bx
x + 1
tenga como asıntota oblicua la recta y = 2x + 3. (1,5 puntos)b) Para los valores encontrados, escribe la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el
punto de abscisas x = 0. (1 punto)
2B. Calcula las siguientes integrales:∫
2 senx cos x
1 + sen2xdx,
∫x2 + x− 4x3 − 4x
dx (1,25 puntos por integral)
3B. a) Sabiendo que
|A| =∣∣∣∣∣∣
1 1 1a b ca2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣= 2
donde a, b, c ∈ R, calcula los determinantes∣∣∣∣∣∣
a− 1 b− 1 c− 1a2 − 1 b2 − 1 c2 − 1
5 5 5
∣∣∣∣∣∣y
∣∣∣∣∣∣
(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2
a b ca2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣
indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. (2 puntos)b) Razona que, puesto que |A| = 2, los parametros a, b y c deben ser distintos entre sı (no puede
haber dos iguales). (0,5 puntos)
4B. a) Estudia la posicion relativa de las rectas
r ≡{
x + y − z = 12x + y − 2z = 1
y s ≡{
x− z = 0x + 2y − z = 12
(1,25 puntos)
b) Calcula la distancia entre las rectas r y s. (1,25 puntos)
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Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMATICAS IIInstrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.
Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.
Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.
PROPUESTA A
1A. a) Calcula el valor de a ∈ R, a > 0, para que la funcion
f(x) =
ex − e−x
ax, si x < 0
(2x + 72x + 1
)x
, si x ≥ 0
sea continua en x = 0. (1,25 puntos)b) Calcula el lımite
lımx→+∞ f(x) (1,25 puntos)
2A. Calcula las siguientes integrales:∫
1 + x +√
x
x2dx,
∫ex
e2x − 3ex + 2dx (1,25 puntos por integral)
Observacion: El cambio de variable t = ex puede ayudarte a calcular la segunda integral.
3A. a) Despeja X en la ecuacion matricial X ·A−B = 2X, donde A, B y X son matrices cuadradas deorden 3. (1,25 puntos)
b) Calcula X, siendo
A =
3 0 02 3 01 2 3
y B =
0 1 02 0 −20 −1 3
(1,25 puntos)
4A. a) Estudia la posicion relativa de las rectas
r ≡{
x− 2z = 1y − z = 2
y s ≡{
x + y + z = 1x− 2y + 2z = a
en funcion del parametro a ∈ R. (2 puntos)b) Encuentra el punto de corte de las rectas en el caso en que sean secantes. (0,5 puntos)
(sigue a la vuelta)
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Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMATICAS II
PROPUESTA B
1B. a) Interpretacion geometrica de la derivada de una funcion en un punto. (1 punto)b) Halla el punto de la grafica de la funcion f(x) = x3+3x2+1 donde la recta tangente tiene pendiente
mınima. (1,5 puntos)
2B. a) Esboza la region encerrada entre las graficas de las funciones f(x) = 1/x y g(x) = −2x + 3.(0,5 puntos)
b) Calcula el area de la region anterior. (2 puntos)
3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funcion del parametro m ∈ R
x + y − 5z = −12x − y − 3z = 1−mx − 2y + 2z = m
(1,5 puntos)
b) Calcula la solucion cuando el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)
4B. a) Dados los puntos P (4, 2, 3) y Q(2, 0,−5), da la ecuacion implıcita del plano π de modo que elpunto simetrico de P respecto a π es Q. (1,25 puntos)
b) Calcula el valor del parametro λ ∈ R para que el plano determinado por los puntos P , Q y R(λ, 1, 0)pase por el origen de coordenadas. (1,25 puntos)
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Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMATICAS IIInstrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.
Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.
Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.
PROPUESTA A
1A. a) Enuncia el Teorema de Rolle. (1 punto)b) Razona que existe al menos un punto en el intervalo (1, 2) donde la recta tangente a la grafica de
la funcion f(x) = x5 + 3x4 − 5x3 − 15x2 + 4x + 12 tiene pendiente nula. (1,5 puntos)
2A. Calcula el valor del parametro a ∈ R, a > 0, para que el area de la region comprendida entre lasgraficas de las parabolas f(x) = −x2 + a2 y g(x) = −4x2 + 4a2 sea 32 unidades de superficie.(2,5 puntos)
3A. a) Despeja X en la ecuacion matricial A ·X = I3− 2B ·X, donde I3 es la matriz identidad de orden3 y A, B y X son matrices cuadradas de orden 3. (1,25 puntos)
b) Calcula X, siendo
A =
1 0 1−2 1 −2
0 0 1
y B =
0 1 01 0 11 0 1
(1,25 puntos)
4A. Dados los planos π ≡ ax + 2y + z = 4, a ∈ R, y π′ ≡ 2x− 4y − 2z = b, b ∈ R:a) Razona para que valores de a, b ∈ R son π y π′ coincidentes. (1 punto)b) Razona para que valores de a, b ∈ R son π y π′ paralelos no coincidentes. (0,75 puntos)a) Razona para que valores de a, b ∈ R son π y π′ perpendiculares. (0,75 puntos)
(sigue a la vuelta)
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Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMATICAS II
PROPUESTA B
1B. a) Calcula para que valores del parametro a ∈ R se verifica la igualdad
lımx→0
(cos(ax))1
x2 = e−2 (1,25 puntos)
b) Calcula el lımite
lımx→+∞
√x
(√x + 1−√x− 1
)(1,25 puntos)
2B. Calcula las siguientes integrales:∫
2 cos x
1 + sen2xdx,
∫(x2 + 2x) ln x dx (1,25 puntos por integral)
3B. Dado el sistema de ecuaciones lineales
x + y − z = 0−4x − 2y + mz = 0
3x + y + 2z = 0m ∈ R
a) ¿Existe algun valor del parametro m para el que el sistema sea incompatible? (0,5 puntos)b) Estudia para que valor del parametro m el sistema tiene alguna solucion distinta de la trivial
x = y = z = 0. (1 punto)c) Resuelve el sistema para todos los valores de m ∈ R. (1 punto)
4B. Dados el punto P (1, 0, 1) y la recta
r ≡
x = λy = 1 + λz = 2 + λ
λ ∈ R
a) Da unas ecuaciones parametricas de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por elpunto P . (1,25 puntos)
b) Calcula el punto simetrico Q de P respecto a r. (1,25 puntos)
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Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMATICAS IIInstrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.
Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.
Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.
PROPUESTA A
1A. Si la media aritmetica de dos numeros reales positivos es 24, calcula el valor de dichos numeros paraque el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea maximo. (2,5 puntos)
2A. Calcula las siguientes integrales:∫ (
2 ln x
x+ lnx
)dx,
∫3√
2x + 1 dx (1,25 puntos por integral)
3A. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funcion del parametro m ∈ R
2y − z = m3x − 2z = 11
y + z = 62x + y − 4z = m
(1,5 puntos)
b) Calcula la solucion cuando el sistema sea compatible determinado. (1 punto)
4A. Dado el plano π ≡ x− z = 0 y las rectas
r ≡
x = 1 + λy = 2z = −1− λ
λ ∈ R y s ≡{
x + y = 24y + 2z = 6
a) Halla el angulo que forman π y r. Razona cuantos planos hay perpendiculares a π que contenganla recta r. (1,25 puntos)
b) Halla la posicion relativa de π y s. Razona cuantos planos hay perpendiculares a π que contenganla recta s. (1,25 puntos)
(sigue a la vuelta)
Reserva 2 de 2013
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Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMATICAS II
PROPUESTA B
1B. a) Enuncia el Teorema del valor medio de Lagrange. (1,25 puntos)b) Calcula un punto del intervalo [−2, 2] en el que la recta tangente a la grafica de la funcion f(x) =
x2 + 3x + 2 sea paralela a la recta que pasa por los puntos (−2, 0) y (2, 12). (1,25 puntos)
2B. El area del recinto encerrado entre la grafica de la parabola f(x) = a(x2 − 2x), a ∈ R, a > 0, y eleje de abscisas, es de 12 unidades de superficie. Calcula el valor de a. (2,5 puntos)
3B. Evariste Galois, Niels Abel y Srinivasa Ramanujan fueron tres genios matematicos que antes de susprematuras muertes dejaron desarrollada una importante obra matematica. Calcula las edades que tenıancuando fallecieron, sabiendo que su suma es 78, que su media aritmetica coincide con la edad de Abel, yque cuatro veces la edad de Ramanujan mas dos veces la de Abel es nueve veces la edad de Galois.(1,25 puntos por plantear un sistema de ecuaciones lineales con los datos del problema y1,25 puntos por calcular las edades)
4B. a) Determina el valor del parametro k ∈ R para que la recta
r ≡
x = 1 + λy = k − λz = λ
λ ∈ R
este contenida en el plano π ≡ x + 2y + z = 7. (1,25 puntos)b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, obten la ecuacion implıcita de un plano π′ que
corte perpendicularmente a π, de modo que la interseccion de ambos planos sea r. (1,25 puntos)
Reserva 2 de 2013
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