PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA · a) [1 punto] 223 lim x 52 xx o f xx §· ¨¸ ©¹ b) [1,5 puntos] 1 2 ln 1 lim x 1 x x x o x CUESTIÓN B.4: a) [1,5 puntos] Encuentre una

PAU Septiembre 2014 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)

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PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE

Septiembre 2014 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158

OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de

una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas. OPCIÓN A: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas. CUESTIÓN A.1:

a) [1,25 puntos] Compruebe que la matriz 1 1

2 3A

, es regular (o inversible) y calcule su

matriz inversa.

b) [1,25 puntos] Resuelva la ecuación matricial AXA = B, siendo A la matriz anterior y

5 2

3 1B

.

¡OJO!: El producto de matrices NO es conmutativo.

CUESTIÓN A.2: a) [1,5 puntos] Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a:

4:

3 8

10

x y

yr

z

6

s :7 4 5 6

x y z

a a

.

b) [1 punto] Para el valor del parámetro a = 4 determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas.

CUESTIÓN A.3: [2,5 puntos] Dada la función ( )f x ax b x , determine los valores de los

parámetros a y b sabiendo que f (x) cumple las siguientes propiedades: a) f (x) alcanza su máximo en el punto de abscisa x = 100; b) La gráfica de f (x) pasa por el punto (49,91).

CUESTIÓN A.4:

a) [2 puntos] Calcule la integral indefinida arctgx dx , donde arctgx denota la función arco-

tangente de x. b) [0,5 puntos] De todas las primitivas de la función f (x) = arctgx, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,3).


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OPCIÓN B: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas. CUESTIÓN B.1:

a) [1,5 puntos] Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

2 0

0

ax z

ay z a

x y z

. b) [1 punto] Si es posible, resuélvalo para el valor de a = 0.

CUESTIÓN B.2: Considere la recta r y el plano π dados por las ecuaciones siguientes

2 4 1:

3 4 0

x y zr

y π : 7x−y = 8

a) [1,5 puntos] Compruebe que la recta r corta al plano π y calcule el ángulo que forman.

b) [1 punto] Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.

CUESTIÓN B.3: Calcule los siguientes límites:

a) [1 punto] 2 23

lim5 2x

x x

x x

b) [1,5 puntos]

21

ln 1lim

1x

x x x

x

CUESTIÓN B.4:

a) [1,5 puntos] Encuentre una primitiva de la función ( )lnx

f xx

b) [1 punto] Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x) y el eje de

abscisas entre 1

xe

y x e .


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SOLUCIONES

OPCIÓN A

CUESTIÓN A.1

a)

La matriz 1 1

2 3A

es inversible si su determinante es no nulo.

Como 1 1

3 2 1 02 3

A

, la matriz es regular y podemos calcular su inversa.

Utilicemos la fórmula

1

tAdj AA

A

, empezamos calculando 1 2

1 3

tA

3 1

2 1

tAdj A

por lo que

1

3 1

3 12 1

2 11

tAdj AA

A

b)

1 1 1 1 1 1

3 1 5 2 3 1

2 1 3 1 2 1

AXA B A AXAA A BA X A

X

BA

Como

3 1 5 2 15 3 6 1 18 7

2 1 3 1 10 3 4 1 13 5

entonces

3 1 5 2 3 1 18 7 3 1 54 14 18 7 68 25

2 1 3 1 2 1 13 5 2 1 39 10 13 5 49 18X

La solución es 68 25

49 18X

CUESTIÓN A.2

a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a:

4:

3 8

10

x y

yr

z

6

s :7 4 5 6

x y z

a a


4 de 10

Comparemos los vectores directores de ambas rectas

1 3 0 3, 1,4 y 7, 4,5 6

0 4 1

r s

i j k

v v a a

Nos planteamos la posibilidad de que sean paralelas, para ello los vectores deben ser proporcionales:

7 4 57 3 12 5 3

7 4 5 6 3 1 3

7 5 6 463 1 428 15 18 46 15

3 4 15

aa a a

a a

aa a a

Al no coincidir los valores de a los vectores no pueden ser proporcionales y por tanto, las rectas no son

paralelas ni coincidentes para ningún valor de a.

Para ver la posibilidad de ser secantes o que se crucen, estudio el determinante determinado por los

vectores directores 3, 1,4 y 7, 4,5 6r sv v a a y el vector determinado por un punto de r y

otro de s:

¿ ? Lo obtengo directamente de la ecuación de la recta (0,0, 6)

¿ ? le doy a x un valor cualquiera, por ejemplo x = 2 y sustituyo en la primera ecuación

obteniendo y=2. Sustituyendo en la segunda 8

s s

r

P P

P

+ z = 10. El punto es 2,2,2rP

0,0, 6 2,2,2 2, 2, 8 r sP P

2 2 8

3 1 4 10 12 56 24 96 56 30 36 8 32

7 4 5 6

10 12 56 24 96 56 30 36 8 32 24 96

a a a a

a a

a a a a a

Lo igualamos a 0 a = 4

Distinguiremos dos casos distintos:

a ≠ 4 Entonces el determinante anterior es no nulo y por tanto los vectores

3, 1,4 , 7, 4,5 6 y 2, 2, 8r s r sv v a a P P son linealmente independientes (no son

coplanarios) y por lo tanto las rectas se cruzan .

a = 4

Entonces el determinante anterior vale cero y por tanto los vectores

3, 1,4 , 7, 4,5 6 y 2, 2, 8r s r sv v a a P P son linealmente dependientes (son

coplanarios) y por lo tanto las rectas se cortan.

b) Para el valor del parámetro a = 4 determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas. Para ello resolvemos el sistema planteado con las ecuaciones de ambas rectas:

: ::

Sustiyendo y=0 en las ecuaciones 7 76

s : 0

3 8 83 8

4 10 104 1

s : 0s :7 4 4 20 6

6 14 6 1

0

4

r rr

x xx y z

y y

z

x y xx y

y z zy z

z


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Y volviendo a sustituir en las ecuaciones de la recta s:

8

8 7 7

s : 0 s : Coinciden los valores de y el punto es común a las rectas

10 6 14 16 8

14 7

el punto de corte es 8,0,10

y

CUESTIÓN A.3

Si la función es ( )f x ax b x determinemos su derivada ' (2

)b

f x ax

, dado que

presenta un máximo en x=100, entonces f’(x)=0

' 0 0 20 0 20202 100

(100)b b

f a a a b b a

Como además pasa por el punto (49, 91), se debe cumplir 49 91f , luego

20( )f x ax b x ax a x (49)91 ·49 20 49f a a

91 49 7·( 20 ) 91 91 1a a a a

Y el valor de b sería 20 20·( 1) 20b a

Comprobemos que esta es una solución correcta, para ello vamos a comprobar que en x=100 la

función ( 0) 2f x x x presenta un máximo.

1

220

' 1 1 10·2

( )f x xx

3 32 2

10'' ·x 5x

2(x)f

Luego 3

2'' 5(10 00) ·10f

toma valor negativo y la función presenta un máximo en el punto

de abcisa x=100

Los valores de las variables son a=-1 y b=20

CUESTIÓN A.4

a)

2 2

2

2 2

1 1· · ·

1 1

1 2 1· · · ln 1

1 2 1 2

Integrando por partes

arctgx dx u arctgx du dx udv u v vdu arctgx x x dxx x

dv dx v dx x

x xx arctgx dx x arctgx dx x arctgx x K

x x

b) Para que la primitiva 21

( ) · ln 12

F x x arctgx x K pase por el punto (0,3), se debe cumplir:

21 13 (0) 0· 0 ln 1 0 3 ln1 3

2 2F arctg K K K


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La primitiva pedida es 21

( ) · ln 1 32

F x x arctgx x


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OPCIÓN B

CUESTIÓN B.1

a) Triangulemos el sistema:

0 2 0

La matriz ampliada asociada al sistema 0 1

1 1 1 0

1 1 1 0 1 1 1 0

Cambiamos fila 1 por fila 3 0 1 Fila 3- a·Fila 1 0 1

0 2 0

2 0

0

0 2 0

Fila 3

a

a a

a a a a

a a a

ax z

ay z a

x y z

1 1 1 0

- Fila 2 0 1

0 0 3

a a

a a

Si a=3 → 3-a=0 el Rango de la matriz de los coeficientes

1 1 1

0 3 1

0 0 0

es 2 y el rango de la matriz

ampliada

1 1 1 0

0 3 1 3 3

0 0 0 3

es

. Rango A≠Rango Ampliada. El sistema es incompatible

Si a=0→ El rango de la matriz de los coeficientes

1 1 1

0 0 1

0 0 3

es 2 y el rango de la matriz

ampliada es

1 1 1 0

0 0 1 0 2

0 0 3 0

es

. Rango A=Rango Ampliada=2<nº incógnitas=3. El sistema es

compatible indeterminado

Si a≠0 y a≠3→Rango de matriz coeficientes y Rango de la ampliada es 3=Nº incógnitas.

El sistema es compatible determinado

b) Para a=0 el sistema es compatible indeterminado.

0 0La solución es

2

x= ; y=

0 2 0

0 ;

0

z=00

0

ax z z

ay z az z

x yz

x y xx y

z y z

CUESTIÓN B.2


8 de 10

a)

2 32 4 1

: : 4 43 4 0

1

xx y z

r r y

z

Intentemos resolver el sistema formado por la recta y

el plano,

2 3

14 4 1

7 2 3 4 4 81 14 21 4 4 8

7 8

1 100 '4

10 25 0 25

2 1'2 0 '8 0 '8

El punto de corte es 4 4 4 1'6 2 '4 2 '4

1 1

x

zy z

z

x y

z

x x

y y

z z

El ángulo formado por recta y plano es el complementario del ángulo α formado por el vector

director de la recta (3,-4,0) y el vector normal del plano (7, -1, 0). A partir de la fórmula:

3, 4,0 · 7. 1,0 21 4 25 25 1cos

3, 4,0 · 7. 1,0 9 16· 49 1 5· 50 25· 2 2

45º

El ángulo formado entre r y π es 45º

b) La recta r está definida por el vector director 3, 4,0v y el punto P=(2, -4, -1). Si el plano

pedido es perpendicular a π debe contener a su vector normal (7, -1, 0).

La ecuación del plano pedido viene dado por la igualdad:

2 4 1

3 4 0 0 3 1 28 1 0 3 3 28 28 0

7 1 0

25 25 0

x y z

z z z z

z

La ecuación del plano es z+1=0

CUESTIÓN B.3

a)

2 2

2 2 22

3 2 3 2

3lim Indeterminación (Ambos del mismo grado)

5 2

3 2 3 2 55Sumamos las fracciones lim lim

5 2 5 2 5 2

2 3 6 5lim

5

x

x x

x

x x

x x

x x x x x xx x

x x x x x x

x x x x x

x x

3

lim2 x

x

2 32 3 6x x x

2

2

2

5

5 2

3 3 6lim 3

7 10x

x

x x

x x

x x

b)


9 de 10

21

1 1 1

ln 1 0lim Indeterminación, la resolvemos utilizando la regla de L'Hopital

01

1ln · 0 1

ln 1 0 1 ln 0= lim lim lim Indeterminación,

2· 1 2 2 2 2 0

la resolvemos utilizando, de nuevo,

x

x x x

x x x

x

x xx xx

x x x

1

la regla de L'Hopital

1

1= lim

2 2x

x

CUESTIÓN B.4

a)

2

Integración por partes

1 1 1 1· · ·

1 1ln

lnxdx lnx dx u lnx du dx lnx lnx lnx dx lnx lnx dx

x x x x x

dv dx v dx xx x

Hemos conseguido la igualdad:

2 1

·lnx

dx lnx lnx dxx x

Despejando obtenemos

2

2

2

2

lnxdx lnx

x

lnxlnxdx

x

La primitiva pedida es

2

2

lnxF x

b) Para calcular el área pedida debemos determinar si la función ( )lnx

f xx

corta al eje de abcisas

entre x=e y x=1/e.

Resolvamos la ecuación 0 0 1lnx

lnx xx

y se cumple que 1 1

1 2'7182'718

ee

Luego el área pedida se obtiene sumando el valor absoluto de dos integrales definidas:


10 de 10

1

1

1 1

2 2

2

2

1 1

22 2

2 2

1

1 ln 1

2 2 2

ln ln

0 1 1 1 10

21

2 2 2 2

e

e

e

e

lnx lnx

lnln e lne

x xAREA dx dx

x x

La gráfica de la función y el área pedida es aproximadamente como el dibujo inferior:

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PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA · a) [1 punto] 223 lim x 52 xx o f xx §· ¨¸ ©¹ b) [1,5 puntos] 1 2 ln 1 lim x 1 x x x o x CUESTIÓN B.4: a) [1,5 puntos] Encuentre una