PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Definición:

La Prueba de hipótesis, procedimiento basado en evidencia de la muestra y la teoría de la probabilidad para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable

Prueba de Hipótesis

Prueba de Hipótesis

Tenemos información previa sobre el parámetro poblacional que estamos estimando.

Necesitamos comprobar si el parámetro poblacional sigue siendo igual a ese valor anterior, dada la evidencia muestral (valor estimado).

Prueba de Hipótesis

Trata de responder a la pregunta: ¿es el parámetro poblacional igual a cierto valor específico?

Se compone de cinco partes:Hipótesis NulaHipótesis AlternativaRegión de RechazoEstadística de PruebaConclusión

PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL (μ)

(Muestras “grandes”)

1. Hipótesis Nula (H0):

Afirma el valor conocido del parámetro:

μ0 es el valor conocido del parámetro poblacional.

H0 0:

2. Hipótesis Alternativa (Ha):

Es la hipótesis que propone el investigador a partir de la evidencia muestral.

Generalmente contradice lo que afirma la Hipótesis Nula.

2. Hipótesis Alternativa (Ha):

Puede tomar una de las siguientes tres formas:

i. cuando > μ0 (unilateral)

ii. cuando < μ0 (unilateral)

iii. en cualquier caso (bilateral)

XH

H

H

a

a

a

:

:

:

0

0

0

X

3. Región de Rechazo:

Es una región en la distribución de probabilidad del estimador muestral, en nuestro caso utilizamos la distribución Normal Estándar.

Se ubica en concordancia con la hipótesis alternativa seleccionada:

i. Cola derecha

ii. Cola izquierda

iii. Ambas colas

3. Región de Rechazo:

Contiene una probabilidad acumulada igual al nivel de significancia (α) deseado para realizar la Prueba de Hipótesis.

La región de rechazo representa los valores del estimador que consideramos están “demasiado lejos” del valor específico (μ0) y que nos hacen pensar que la hipótesis nula no es verdadera.

3. Región de Rechazo:

La región de rechazo está delimitada por el valor teórico correspondiente a la distribución de probabilidad del estimador.

Para la prueba de media poblacional, con muestra grande (n≥30), utilizamos la distribución Normal Estándar.

3. Región de Rechazo:

En Excel utilizamos la función:

DISTR.NORM.ESTAND.INV

con probabilidad de:i. Cola derecha: 1-α

ii. Cola izquierda: 1-α

iii. Ambas colas: α/2 A este valor de Z le llamamos “teórico”

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1-α

α

3. Región de Rechazo (i)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1-α

α

3. Región de Rechazo (ii)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1-α

α/2 α/2

3. Región de Rechazo (iii)

4. Estadística de Prueba:

Se utiliza un estadístico construido a partir del estimador (se transforma el estimador) para tomar una decisión sobre la veracidad de la Hipótesis Nula

4. Estadística de Prueba:

En esta prueba para la media, se estandariza el valor de para ubicarlo en la distribución Normal Estándar:

Esta es la Z “calculada”

X

n

-XZ

5. Conclusión

si el valor de Z calculada cae dentro de la región de rechazo delimitada por la Z teórica, se Rechaza la hipótesis nula (H0). Esto significa que lo más probable es que la hipótesis alternativa sea cierta.

x

xz

5. Conclusión

si el valor de Z calculada NO cae dentro de la región de rechazo delimitada por la Z teórica, No se Rechaza la hipótesis nula (H0). Lo que significa que es muy probable que la hipótesis nula sea cierta.

Tipos de Error

Para fijar la región de rechazo, es necesario hablar de los dos tipos de errores que se pueden cometer.

Dependiendo de la veracidad de la hipótesis nula, y del resultado de la prueba de hipótesis podemos decir que hay cuatro resultados posibles en una prueba de hipótesis:

Tipos de Error

Resultado de la Prueba:

Hipótesis Nula Verdadera

Hipótesis Nula Falsa

Rechazo la Hipótesis Nula

ERROR TIPO I CORRECTO

No rechazo la Hipótesis Nula

CORRECTO ERROR TIPO II

Tipos de Error

P(cometer error I) = αP(cometer error II) = βEstas probabilidades están

inversamente relacionadas, por lo que se suele fijar el valor de alfa lo suficientemente pequeño para que beta no se considere grande.

OTRAS PRUEBAS DE HIPÓTESISPrueba de Hipótesis para

Hipótesis nula

Hipótesis alternativa

Región de Rechazo

Estadística de Prueba

Ha: μ > μ 0 Normal Z (1-α)

Ha: μ < μ 0 Normal Z (α)

Media poblacional (μ ) (n≥30)

Ho: μ = μ 0

Ha: μ ≠ μ 0 Normal Z (α /2)

Z =

nσ

μX 0

Ha: μ > μ 0 +t con n-1, (2α)

Ha: μ < μ 0 -t con n-1, (2α)

Media poblacional (μ ) (n<30)

Ho: μ = μ 0

Ha: μ ≠ μ 0 t con n-1, (α)

t =

nS

μX 0

Ha: p > p 0 Normal Z (1-α)

Ha: p < p 0 Normal Z (α)

Proporción poblacional (p)

Ho: p = p 0

Ha: p ≠ p 0 Normal Z (α /2)

Z =

n

qp

pp

00

0ˆ

Ha: σ 2 > σ 20 2 con n-1, (α)

Ha: σ 2 < σ 20 2 con n-1,(1-α)

Varianza poblacional (σ 2 )

Ho:σ 2 =σ 20

Ha: σ 2 ≠ σ 20 2 con n-1,(1-α/2)

y 2 con n-1,(α/2)

2 =

20

2

σ

S1n