Pruebas de Presion Escobar Freddy

8/3/2019 Pruebas de Presion Escobar Freddy

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Anlisis Moderno de Presiones de Pozos Freddy H. Escobar, Ph.D.

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Autor:

FREDDY HUMBERTO ESCOBAR M., Ph.D.


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Freddy Humberto Escobar Macualo

de esta edicin

Editorial Universidad Surcolombiana

Segunda edicin:

Marzo de 2009

ISBN 958-8154-81-2

Todos los derechos reservados.Prohibida su reproduccin total o parcialPor cualquier medio sin permiso del autor

Diseo de Portada:Oscar Fernando Muoz Chavarro

Fotografa portada:Oscar Fernando Muoz Chavarro

Diseo y diagramacin:Editorial Guadalupe

Impresin y encuadernacinOTI Impresos

Impreso y hecho en Colombia

Editorial Universidad SurcolombianaE-mail: [email protected]

Direccin: Avenida Pastrana Carrera 1.Telfono: 875 47 53 Ext. 358

Neiva - Huila - Colombia


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DEDICATORIAS

Con especial cario y aprecio dedico este libro a mi to Jos Demetrio Escobar y sudescendencia, quienes estoy seguro estarn orgullosos por mis logros. Estadedicatoria es tambin extensiva con mi mayor respeto, cario y gratitud a su esposaGloria Celis Granados de Escobar, quien me ense mis primeras letras; a su hijaDoris Elvira Escobar Celis junto con su esposo Carlos Julio Reyes Chacn e hijosEuder Fabin y Estefana; a su hija Zulmy Yazmn Escobar Celis, junto con su esposoHumberto Pipico Alvarez Walteros e hijos Sergio Leonardo y Zulmy Karime; a suhijo Demetrio Alfonso Jojo Escobar Celis (Q.E.P.D.) y a su hija Luz MarinaMazuera C.elisjunto con sus hijos y nietos.


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AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi gratitud a mis estudiantes, colaboradores y amigos que hancontribuido al desarrollo de mis investigaciones durante la vigencia del Grupo deInvestigaciones en Pruebas de Pozos, GIPP y durante mis estudios doctorales. Entreellos se destacan: Oscar Fernando Muoz Chavarro, Yuly Andrea Hernndez Corts,Claudia Marcela Hernndez Corts, Juan Miguel Navarrete Bonilla, Robin FernandoAranda Aranda, John Fredy Herrera Rincn, Daniel Augusto Gutierrez Arciniegas,Walter Nuez Garca, Katherine Moncada Ceballos, y Miguel Danilo Molina

Bohrquez.Mi gratitud es igualmente extendida al Ing. Oscar Fernando Muoz Chavarro por lacolaboracin y dedicacin recibida en el diseo de la portada y a la EditorialUniversidad Surcolombiana por permitirme la posibilidad de la publicacin delpresente libro.

En forma muy especial y con un profundo agradecimiento quiero extender unacalurosa gratitud al Dr. Alhim Adonai Vera Silva por su valiosa colaboracin enescribir el prlogo de este libro en una forma tan potica, expresiva, humana,cariosa, desinteresada y espontnea, en el que resume la temtica de este libro para

un pblico no tcnico. Tarea difcil, pero no imposible para un hombre del talento einteligencia del Dr. Vera, ya que en otras cosas es un hombre de letras y desconocael lenguaje tcnico petrolero y tuvo que tomarse la molestia de hacer un cursointensivo de Ingeniero de Petrleos. Dios bendiga al Dr. Vera Silva por su valiosoaporte y por las dems obras maravillosas que el hace. Valga la pena mencionar, quees un gran talento que reside en nuestra Universidad Surcolombiana.

A mi adorada esposa Matilde Montealegre Madero por su compaa, ternura, ayuda yapoyo en el GIPP, al igual que a mis hijitos Jennifer Andrea y Freddy Alonso EscobarMontealegre quienes constituyen el regalo ms grande que Dios me ha dado.

Finalmente, pero no significa que sea lo ltimo, mis eternos agradecimientos al DiosPadre Todopoderoso, a Jesucristo su hijo, al Espritu Santo y a Mara Santsima portodo lo maravilloso que han hecho y harn en mi vida desde el 3 de Junio de 1965.


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INTRODUCCION

Este texto contiene la programtica, objetivos y actividades a desarrollar en un cursode pregrado o posgrado de Anlisis de Presiones de Fondo, el cual sirve a losestudiantes como texto gua y herramienta fundamental en el desarrollo de susactividades acadmicas. Este trabajo recopila informacin de varios libros y artculostcnicos relacionados con el tema en cuestin existentes en la literatura desde 1960hasta la actualidad, al igual que los resultados investigativos del autor en los ltimos8 aos, toda vez que rene algunas de sus experiencias en el rea de presiones defondo e incluye sus aportes recientes que l ha hecho a esta rama de la ciencia y

algunos aportes logrados por el Grupo de Investigaciones en Pruebas de Pozos,GIPP, liderado por el autor. La introduccin del flujo parablico y dual lineal presente en yacimientos alongados es uno de los grandes aportes que se hace a laciencia de la interpretacin de transientes de presin.

Con el respeto que merecen muchos de los autores que han hecho sus contribucionesprecediendo a este autor, con el firme convencimiento de enriquecer la Ingeniera deYacimientos y particularmente el tema de las presiones de pozo, ste no es un libroms de pruebas de pozos; este es un libro de anlisis moderno de presiones de fondoy por ello se hace nfasis en la aplicabilidad de una tcnica moderna y revolucionariaque permite la interpretacin prctica de los transientes de presin sin el empleo de

las curvas tipo. El lector se preguntar que siendo la Ingeniera de Petrleos unaciencia con tan pocas herramientas, se estn eliminando las pocas que existen? Larespuesta es un no rotundo!. Se presenta una nueva alternativa para evitar en loposible el uso de curvas tipo, debido a lo engorroso y riesgoso de su uso. La nuevaalternativa es mucho ms prctica y de fcil uso y actualmente todo su procesoinvestigativo se haya en la edad adulta y que prcticamente todos los casos posiblesencontrados en la naturaleza, relacionados con presiones de pozos, son cubiertas porla metodologa que aqu se enfatiza. El lector podr definir bajo su propio criterio ladecisin de su uso. Por ello, el libro presenta un compendio de las diferentes yprincipales tcnicas presentadas en la literatura para poder establecer comparacionescon la tcnica materia de este libro. Algunos aspectos como pozos de gas, pozoshorizontales, anisotropa, entre otros, estn fuera del alcance de este libro y formarnparte de un futuro texto investigativo del autor.

El contenido de este libro se enmarca en ocho captulos. El primero de ellos se orientaa la descripcin del flujo de fluidos en medios porosos. All se estudian los conceptosbsicos del anlisis de pruebas de presin y el principio de superposicin, as como ladeduccin y solucin de la ecuacin de difusividad con sus limitaciones yaplicaciones. Este captulo es supremamente vital para entender los restantes 8captulos. El captulo dos se centra en el estudio de pruebas de declinacin de presin,completamiento parcial y penetracin parcial, pruebas multirata y yacimientos


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lineales. En ste, tambin se presentan los fundamentos de almacenamiento y dao, aligual que una introduccin a los regimenes de flujo, incluyendo, en pozos

horizontales. En este captulo se emplearn todas las tcnicas existentes parainterpretar pruebas de pozos incluyendo desde la tcnica de ajuste por curvas tipo(ms antigua) hasta el mtodo moderno llamado Tiabs Direct Synthesis Technique,ms nueva e introducida en 1993. En general, el texto se enfoca con especial atencinen esta tcnica toda vez que no solo es moderna sino tambin de uso muy prctico. Elcaptulo tres estudia las pruebas de restauracin de presin y las diferentesmetodologas para su interpretacin. Se notar que una prueba de restauracin depresin, no es ms que un caso particular de una prueba biflujo. Este captulo incluyelos mtodos para determinar la presin promedia del yacimiento incluyendo pruebasmultitasas. Hasta aqu el autor considera que hay material suficiente para abarcar uncurso de pregrado. En el captulo cuatro se estudian las pruebas DST, los mtodos de

interpretacin y las tcnicas para determinar las distancias a posiblesdiscontinuidades. El captulo cinco considera las diferentes heterogeneidades que sepresentan en los yacimientos y se presentan diversos mtodos para su determinacin.Se hace especial nfasis en la deteccin de una barrera lineal en el radio de drene del pozo. El captulo seis se centra en pruebas mltiples como las de interferencia ypulso. En principio, todos los yacimientos son naturalmente fracturados. Algunos deellos, cuyas fracturas son demasiado pequeas (microfracturas) se clasifican en elgrupo de los yacimientos homogneos. Por sto, el captulo 7 estudia los yacimientosnaturalmente fracturados. El captulo 8 est dedicado a los pozos hidrulicamentefracturados. All se estudian los diferentes regimenes de flujo que se presentan en pozos artificialmente fracturados al igual que el concepto de conductividad de

fractura y su efecto en los regimenes de flujo. Se hace nfasis especial en la tcnicaque elimina el uso de las curvas tipo (Tiabs Direct Synthesis Technique) y seestudian las fracturas de flujo uniforme, conductividad finita e infinita.


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PROLOGO

Para mi es noble el encargo de dedicar unas lneas a la obra prolfica del Dr. FreddyHumberto Escobar Macualo; es el pretexto perfecto para destacar un joven talentoinvestigador colombiano, adscrito a la Facultad de Ingeniera de nuestra UniversidadSurcolombiana. Sorprende su juventud, su mpetu y su audacia al explorar losconocimientos de frontera en la industria petrolera mundial que alcanza en la nuevasociedad del conocimientro las crestas ms altas en teorizaciones, tecnologizaciones,digitalizaciones e innovaciones petroleras que desde Newton permiten examinar lanaturaleza viviente de los pozos y su caracterizacin.

Hablar con el Dr. Freddy Humberto Escobar en el campo de su formacin ltima,Ph.D., es acercarse a la metfora de la vida. La naturaleza es una combinacion deenerga y materia que se tranforma por explosiones e implosiones de violenciaqumica, y alternancia climtica del universo, donde las solidez, la cristalizacin, lainvernez, producen transformaciones en la materia y en la energa, preciosas piedras,y manantiales de petrleo vivo; vida que se mueve entre las arterias de su propiocuerpo, donde la metfora del colesterol obstruye la produccin y fragmenta lacomplejidad de la naturaleza, que ms alla de mutaciones mecnicas de energa ymateria.

El hombre como expresin de la evolucin compleja del universo, ha alcanzado lasntesis del universo; la capacidad de simbolizar la realidad de donde procede, atravs de la inteligencia socializada en cdigos de comunicacin, imgenes,alfabetos, hbitos, oralidad, escritura, dibujo, pintura, escultura, sonido, prototipo,mapa, teora, frmula, tecnologa, e innovacin, patente entre otros. El hombre seatreve a simbolizar la realidad, quiere explicarla, quiere poseerla, quieretransformarla. El hombre tiene la audacia de buscar la propia explicacion de la vida yde los factores asociados para su perpetuacin y uno de esos factores tiene que vercon el aceite de roca, mejor conocido como petrleo.

El mbito de la ingenera le ha permitido al hombre examinar la naturaleza de lastecnologas, crear simbolizaciones, elaborar conceptualizaciones, confrontarteorizaciones, plantear hiptesis, desarrollar estrategias, matematizar relaciones,

identificar variables, precisar indicadores, fijar normas, concertar estandares einstrumentos, desarrollar frmulas, plantear leyes y cumplir principios que rigen enforma relativa las ciencias fsicas. El Dr. Escobar indaga a Newton, uno de losiniciadores de la teoriazacin en el anlisis o interpretacin de pruebas de presin queforma parte de la evaluacin de formaciones, que a su vez se vuelca dentro de laingeniera de yacimientos, que junto con la ingeniera de perforacin y la ingenierade produccin, constituyen el cuerpo cientfico tecnolgico de la Ingeniera dePetrleos.


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El Dr. Freddy Humberto Escobar Macualo, no solo consulta la historia delconocimiento newtoniano, sino que la desborda con su rebelda y espritu inquisidor,

pide explicaciones tericas al comportamiento de los pozos, actividad imprescindibleen la industria petrolera. Estos comportamientos nos dice el Dr. Escobar, sefundamentan en la tercera ley de Newton (accin y respuesta) y consiste en crear unaperturbacin (abrir o cerrar el pozo) en un pozo y medir su presin (normalmente enel fondo). Este registro de presin contra tiempo es interpretado por el ingenierohaciendo uso de grficos cartesianos, semilogartmicos, y otros, para determinar porciones que indican diferentes comportamientos del yacimiento y con ellocomprobar diferentes caractersticas, que lo hacen atractivo o no para la industriapetrolera que mueve millones de dolares por segundo en el mundo.

No solo es destacable la inteligencia, la audacia y la juventud del Dr. Escobar, sino la

capacidad de trabajo que le ha permitido ser uno de los discipulos del Dr. DjebbarTiab de la Universidad de Oklahoma, quien a comienzos de la dcada de los 90s,introdujo la ltima tcnica para interpretar pruebas de presin. Esta tcnicarevolucionaria usa puntos caractersticos (huellas dactilares) que se hallan en elgrfico de la presin y la derivada de presin para obtener de forma directa (sin usode costosos simuladores) los parmetros caractersticos del yacimiento.

Este es el eje sobre la cual se levanta el libro Anlisis Moderno de Pruebas de Pozosdel Dr. F.H. Escobar y sobre esa temtica es que se ha enfocado su mayorinvestigacin, a travs de la cual se han hecho grandes aportes a la ciencia de loshidrocarburos a nivel mundial, como es el caso de la mejor forma para caracterizar

yacimientos alargados y la introduccin de un nuevo regimen de flujo bautizadocomo Parablico en virtud a su geometra, nombre salido del seno del grupo deinvestigaciones en pruebas de pozos, GIPP, liderado por el Dr. Escobar en laUniversidad Surcolombiana.

Las pruebas de presin que el Dr. Escobar desarrolla con el Grupo de Investigacionesen Pruebas de Pozos (GIPP), en la universidad Surcolombiana tienen mltiplesaplicaciones. Entre otros se pueden mencionar: determinar los lmites del yacimiento(obviamente reservas de hidrocarburos), establecer la comercialidad de un pozo,determinar la capacidad productiva (permeabilidad) de la roca productora, hallardistancias a fallas y a otras barreras, determinar la presin promedia del yacimiento,

un parmetro cuyo conocimiento es tan importante para el ingeniero como la presinarterial del paciente lo es al mdico) y cuantificar el dao. El dao es causado pormuchos factores tales como la invasin del lodo de perforacin, crecimiento bacteriano, precipitacin de finos, precipitacin de compuestos orgnicos presentesen el crudo (colesterol de los crudos) ocasionando taponamientos de los poros de laroca y de la tubera, entre otros.

Los campos de investigacion del GIPP se pueden sintetizar en: yacimientosnaturalmente fracturados; yacimientos sensibles a los esfuerzos; anlisis de presionesde fondo; evaluacin de tcnicas de derivacin de datos de presin; interpretacin de


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pruebas de presin; pruebas de presin en yacimientos gasferos; optimizacin deproduccin; redes neuronales; ingeniera de yacimientos y petrofsica.

En escencia, el Dr. Escobar desarrolla investigacin para mejorar la productividad delos yacimientos de hidrocarburos por medio de la apropiacin, aplicacin, produccindel conocimiento en el rea del anlisis e interpretacin de presiones de pozos,yacimientos naturalmente fracturados y yacimientos sensibles a los esfuerzos que permiten una caracterizacin ms prctica y confiable de las formaciones dehidrocarburos, una de las prioridades de la investigacion tranversal en el campopetrolero. Para los acadmicos amantes de la investigacion de frontera, el libro delDr. Freddy Humberto Escobar Macualo es un excelente texto de consulta productode la investigacin, que enriquece la mirada en este mundo complejo de la industriapetrolera mundial.

ALHIM ADONAI VERA SILVAProfesor Universidad Surcolombiana desde 1983 Categora TitularLicenciado en Ciencias de la Educacin, Especialidad Pedagoga, Universidad de PamplonaEspecializacin en Pedagoga, Universidad de PamplonaMagster en Investigacin y Tecnologa Educativas, Pontificia Universidad JaverianaDoctorado en educacin Lnea Educacin Superior Comparada, Universidad Autnoma deMorelos, Mxico


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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION.......................................................................................................................51. FUNDAMENTOS GENERALES.......................................................................................151.1. CONCEPTOS BSICOS...................................................................................................15GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIN...............................................211.3. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD......................................................................................231.3.1. MTODO I.....................................................................................................................231.3.2. MTODO II....................................................................................................................27

1.3.3. LIMITACIONES DE LA ECUACIN DE DIFUSIVIDAD....................................... 281.3.4. SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE ......................................................................... 351.4. FACTORES ADIMENSIONALES...................................................................................411.4.1. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD EN FORMA ADIMENSIONAL...........................451.4.2. SOLUCIN DE LA INTEGRAL EXPONENCIAL, EI..............................................491.5. APLICACIN DE LA SOLUCIN DE LA ECUACIN DE DIFUSIVIDAD ............511.6. DISTRIBUCION DE PRESION ...................................................................................... 571.7. DAO A LA FORMACIN (POZO) ..............................................................................581.8. FLUJO DE GAS................................................................................................................ 611.9. FUNCIN DE DERIVADA DE PRESIN ..................................................................... 721.9.1. DEDUCCIN DE LA DERIVADA DE LA PRESIN ..............................................72

1.9.2. CONVERSIN DE LA ECUACIN DE DERIVADA DE PRESIN AUNIDADES DE CAMPO.........................................................................................................731.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA.......................................................... 771.10.1. DIFERENCIA FINITA CENTRAL ............................................................................ 771.10.2. ECUACIN DE HORNE............................................................................................ 771.10.3. ECUACIN DE BOURDET Y COLABORADORES.............................................. 781.10.4. ECUACIN DE CLARK Y VAN GOLF-RACHT ...................................................781.10.5. ECUACIN DE SIMMONS....................................................................................... 781.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN................................................................................791.11.1. SUPERPOSICIN EN ESPACIO............................................................................... 811.11.2. SUPERPOSICIN EN TIEMPO ................................................................................ 83

1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO ....................... 851.12.1. POZO UNICO CERCA A UNA FALLA SELLANTE .............................................851.12.2. POZO CERCA A UNA BARRERA DE FLUJO O LNEA DE PRESINCONSTANTE (EMPUJE DE AGUA).....................................................................................861.12.3. POZO EN MEDIO DE DOS FALLAS QUE SE INTERCEPTAN........................... 862. PRUEBAS DE DECLINACIN DE PRESIN ................................................................ 922.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE) ............................................922.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE.....................982.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY............................................. 1022.3.1. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE RAMEY, PROCEDIMIENTO ..........................104


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2.3.2. MTODO DE EARLOUGHER..................................................................................1072.3.3. MTODO SEMILOG...................................................................................................107

2.4. PRUEBA LMITE DE UN YACIMIENTO (RLT)........................................................1172.5. CONTROL DE CALIDAD............................................................................................. 1192.6. REGIMENES DE FLUJO...............................................................................................1192.7. POZOS HORIZONTALES.............................................................................................1252.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET........................1272.9. MTODO DE TIABS DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE...............................................2.9.1. LNEAS Y PUNTOS CARACTERSTICOS............................................................. 1312.9.2. ESTIMACIN DE DISTANCIA A LAS BARRERAS Y AREA ............................1382.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL.....................................1442.10.1. ANLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO ESFRICO....................................1472.10.2. ANLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO HEMISFRICO............................150

2.10.3. TIABS DIRECT SNTESIS TECHNIQUE, TDST .................................................1512.10.4. TIABS DIRECT SNTESIS TECHNIQUE, TDST, PARA FLUJOHEMISFRICO.......................................................................................................................1602.10.5. CONSIDERACIONES IMPORTANTES..................................................................1612.10.5.1. EFECTO DE ALMACENAMIENTO.....................................................................1612.10.5.2. EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PENETRACIN PARCIAL.................1612.11. PRUEBAS MULTI-TASA ........................................................................................... 1662.12. PRUEBAS BI-FLUJO...................................................................................................1702.13. METODO DE PINSON................................................................................................ 1722.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTITASAS..........................................1752.15. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST, PARA PRUEBAS

MULTITASAS........................................................................................................................1752.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOSDESARROLLADOS...............................................................................................................1812.17. YACIMIENTOS ALARGADOS ..................................................................................1912.18. MTODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS ALARGADOS.2023.3.2. POZO CERCA DE LA FRONTERA CERRADA......................................................2022.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES........................2023. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION...........................................................2253.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION................................................................................2253.2. METODO DE HORNER.................................................................................................2273.2.1. POZO EN UN YACIMIENTO INFINITO................................................................. 227

3.2.2. RATA DE POSTFLUJO (AFTERFLOW, QAF) .........................................................2293.2.3. PASOS PARA DETERMINAR EL ALMACENAMIENTO DE UNA PRUEBADE RESTAURACIN............................................................................................................2293.2.4. PREDICCIN DE LA DURACIN DEL POSTFLUJO (AFTERFLOW).............. 2293.2.5. GRFICO DE HORNER PARA YACIMIENTOS CERRADOS............................2303.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) ............................................. 2313.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT........................................................................2343.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOSDESARROLLADOS...............................................................................................................2383.6. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE LA DERIVADA....................................................242


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3.7. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE .............................................................. 2433.8. PRESIN PROMEDIA DEL YACIMIENTO ............................................................... 243

3.8.1. MTODO DE MBH ....................................................................................................2433.8.2. MTODO DE DIETZ...................................................................................................2443.8.3. MTODO DE MDH ..................................................................................................... 2503.8.4. MTODO DE RAMEY-COBB ...................................................................................2513.8.5. MTODO DIRECTO....................................................................................................2513.8.6. TIAB'S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE DURANTE ESTADOPSEUDOESTABLE................................................................................................................2523.8.6.1. YACIMIENTOS CIRCULARES CERRADOS.......................................................2523.8.6.2. SISTEMAS CERRADOS RECTANGULARES......................................................2543.8.6.3. USO DEL PUNTO DE INTERSECCIN................................................................2553.8.6.4. DETERMINACIN DE LA PRESIN PROMEDIA EN SISTEMAS

CERRADOS DRENADOS POR UN POZO VERTICALMENTE FRACTURADO.........2553.8.6.5. POZOS FRACTURADOS EN REGIONES RECTANGULARES ........................2563.8.9. OTROS METODOS PARA CALCULAR LA PRESION PROMEDIA .. 2754. PRUEBAS DST..................................................................................................................2794.1. GENERALIDADES.........................................................................................................2794.1.1. PROPSITO..................................................................................................................2794.1.2. USOS DE LOS DATOS DST.......................................................................................2794.1.3. INFORMACIN CALCULADA DE UN DST .........................................................2794.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA.................................................................2804.3. PROCESO DE PRUEBA................................................................................................ 2804.3.1. DST CONVENCIONAL .............................................................................................280

4.3.2. PRUEBA STRADDLE PACKER...............................................................................2814.4. CARTAS DE PRESIN DST ......................................................................................... 2814.4.1. DST CONVENCIONAL ............................................................................................. 2814.4.2. DST SECO.....................................................................................................................2824.4.2. DST SECO.....................................................................................................................2824.4.3. CONDICIONES POBRES EN ELPOZO281.4.4.4. MLTIPLE PRUEBAS DE FLUJO ........................................................................... 2824.4.5. DST CON DOBLE CIERRE ....................................................................................... 2824.5. METODO DE HORNER.................................................................................................2824.6. ESTIMACIN DE LA PRESIN PROMEDIO O INICIAL....................................... 285

4.6.1. MTODO DE DATOS LIMITADOS (MTODO EN EL SITIO DEL POZO) .......2854.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD.................................................................. 2894.7.1. MTODO DE HORNER............................................................................................. 2894.7.2. MTODO DE DOLAN, EINARSEN Y HILL........................................................... 2894.7.3. MTODO DE ISHTEIWY Y VAN POOLLEN ........................................................2894.7.4. MTODO DE BIXEL Y OTROS ...............................................................................2915. HETEROGENEIDADES...................................................................................................2965.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO......................................... 2965.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA .................................................................... 2975.2.1. PRUEBAS DE RESTAURACIN DE PRESIN......................................................297


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5.2.2. MTODOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA A LASDISCONTINUIDADES LINEALES DE GRFICAS DE RESTAURACIN DE

PRESIN.................................................................................................................................2995.2.2.1. MTODO DE HORNER...........................................................................................2995.2.2.2. MTODO DE DAVID Y HAWKINS......................................................................3015.2.2.3. MTODO DE EARLOUGHER...............................................................................3055.2.2.4.MTODO MDH.........................................................................................................3075.2.2.5.MTODO DE SABET................................................................................................3085.2.2.6. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE............................................................3085.3. FRONTERAS MULTIPLES .......................................................................................... 3115.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA...................................................................... 3115.4.1. FRONTERA CON ESCAPE ....................................................................................... 3115.4.1. FRONTERA CON ESCAPE ....................................................................................... 311

5.4.2. FRONTERA DE NO FLUJO O SELLANTE............................................................. 3135.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO.............. 3135.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO ................. 3135.5.1. CON FLUJO CRUZADO.............................................................................................3135.5.2. SIN FLUJO CRUZADO...............................................................................................3136. PRUEBAS MULTIPLES...................................................................................................3226.1. GENERALIDADES.........................................................................................................3226.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA.................................................................................3226.2.1. MTODO DE EARLOUGHER...................................................................................3236.2.2. MTODO DE RAMEY................................................................................................3256.2.3. MTODO DE TIAB Y KUMAR.................................................................................326

6.3. PRUEBAS DE PULSO....................................................................................................3376.3.1. MTODO DE KAMAL BIRGHAM ........................................................................3387. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS............................................... 3507.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE.................................................. 3567.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAO......................................................... 3587.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLEPOROSIDAD...........................................................................................................................3627.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAO......................................................... 3637.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION ........................................................ 3637.6. APLICACIN DE LA FUNCION PD A YACIMIENTOS NATURALMENTEFRACTURADOS....................................................................................................................370

7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO................................................ 3797.8. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOSFRACTURADOS NATURALMENTE.................................................................................3827.8.1. ASPECTO TERICO .................................................................................................. 3837.8.2. PUNTOS Y LNEAS CARACTERSTICOS............................................................. 3847.8.3. RESPUESTA DE LA PRESIN CON EFECTOS DE ALMACENAMIENTO ...... 3887.8.4. PROCEDIMIENTO PASO A PASO........................................................................... 3928. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS............................................................4038.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES....................................4038.1.1. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE DECLINACIN....................................403


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8.1.2. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE RESTAURACIN (FALLOFF) ..........4068.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES...........................................................410

8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS.........................................................................4198.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL ................................................................................4208.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL .................................................................................... 4218.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY)..............................................................4228.7. CURVA TIPO - ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS).....................................4248.8. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOSHIDRAULICAMENTE .......................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.8.8.1. SIMULACIN DE FRACTURAS ..........ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.8.8.2. REGIMENES DE FLUJO EN FRACTURAS............................................................ 4298.8.3. ANLISIS DE FLUJO BILINEAL ............................................................................4308.8.5. ANLISIS DE FLUJO PSEUDORRADIAL ............................................................. 435

8.9. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOSVERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS ............................................................. 4378.9.1. INTRODUCCIN........................................................................................................4378.9.2. CARACTERSTICAS DE UNA FRACTURA DE FLUJO UNIFORME................ 4398.9.3. CARACTERSTICAS DE UNA FRACTURA DE CONDUCTIVIDADINFINITA ................................................................................................................................4448.9.4. SISTEMAS RECTANGULARES...............................................................................4488.9.5. PROCEDIMIENTOS...................................................................................................4498.10. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CONFRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA ................................................................. 4558.10.1. CARACTERSTICAS DE FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA .......456

8.10.2. RGIMEN DE FLUJO BILINEAL .......................................................................... 4568.10.3. FLUJO BILINEAL Y ALMACENAMIENTO ........................................................4598.10.4. INTERRELACIONES ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y LINEAL...................... 4618.10.5. INTERRELACIN ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y RADIAL..........................4638.10.6. RELACIONES ENTRE BIRRADIAL Y BILINEAL.............................................. 4648.10.7. PROCEDIMIENTO SISTEMTICO ....................................................................... 4668.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA...........................480NOMENCLATURA................................................................................................................483


15/489


15

1. FUNDAMENTOS GENERALES

1.1. CONCEPTOS BSICOS

Las pruebas de presin pueden entenderse por aplicacin de la tercera ley de Newton,como se ilustra en la Fig. 1.1.

Mecanismo delyacimiento

ModeloMatemtico

Perturbacinde entrada

Entradaal modelo

Salida derespuesta

Salida delmodelo

Fig. 1.1. Esquema de la representacin matemtica de una prueba de presin

Bsicamente los objetivos del anlisis de las pruebas de presin son:

Evaluacion del Yacimiento: Entrega, propiedades, tamao, permeabilidad porespesor (til para espaciamiento y estimulacin), presin inicial (energa ypronstico), lmites (tamao y determinacin de existencia de un acufero).

Administracin del yacimiento Descripcin del yacimiento

Las pruebas DST y restauracin de presin se usan principalmente en produccin primaria y exploracin. Las pruebas mltiples se usan ms a menudo durante proyectos de recuperacin secundaria y las pruebas multicapa y de permeabilidadvertical se usan en pozos productores/inyectores. Las pruebas de declinacin, derestauracin de interferencia y de pulso se usan en todas las fases de produccin. Las pruebas multitasa, de inyeccin, de interferencia y pulso se usan en las etapasprimaria y secundaria.


16/489


16

ALMACENAMIENTO

0.5

0.5

0.25

GRAFICO HORNER GRAFICO LOG-LOG GRAFICO DERIVADA

Protuberancia Protuberancia Derivadanegativa

Reversamiento de presin en vez depico. Se puede observar un mnimo.Puede confundirse con el comporta-miento de un yacimiento naturalmentefracturado

Sistematotal

Sistema mspermeable

Flujo radial

Flujo radial ensistema total

Flujo radialen fisuras

Sistema mspermeable

Transicin

sistematotsl

Flujo radial

Flujo radial ensistema total

PHASEREDIS

TRIBUTION

Yac.Nat.Fracturado

FujoPseudoestable

Yac.Nat.Fracturado

FujoTransitorio

Pendienteunitaria

m=0.5

FLUJOL

INEALEN

CANA

LES

Un grfico acrtesiano de P vs. la raiz de t

la mayora de los casos da una recta

Fig. 1.2.a. Cartas de Identificacin de yacimientos5


17/489

MODELOYACIMIENTO HOMOGENEO YACIMIENTO CON DOB

SISTEMAS

INFINITOS

SISTEMAS

CERRADOS

POZOSFRACTURADOS

INTERPOROS

ESTADOPSEUDOESTABLE

GRAFICO

LOG-LOG

GRAFICO

SEMILOG

GRAFICO DE

LA DERIVADA

logtD/CD*PD'

PD

logPD

m

2m

1 1

1/2

1/4

t

Cartesiano

1/21/2 1/2

TRANS

m = Pendientesemilog. Representaflujo radial infinito

InfinitoBarrera de no flujo

Presin constante

Conduct. infinitaFlujo uniform

Conduc. finita(flujo bilineal)

1/4

Hay un factor de 2 enseparacinentre PD y PD'para fracturas de conduc-tividad infinita. El factor es4 para fracturas de -con-ductividad finita

Se desarrollan 2lineas paralelas

La transicin iniciaantes que terminelos efectos de WBS

F =

T =

4 t

0.50.5

Flujoradial

m

m

T

F

Fig. 1.2.b. Resumen de reacciones de modelos de pozos yacimientos5


18/489

YACIMIENTO HOMOGENEO

Frontera externa cerrada Barrera lineal impermeable(falla)

Barrera decons

Cartesiana

Presin

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Semilog

Tiempo

P

yt*P'

Presin

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Tiempo

P

yt*P'

m 2m

m2m

En el grfico semilog se observa una recta que doblasu pendiente. Una segunda regin plaa se observaen la derivada

Presin

Tiem

Log-L

t*P

P

Tie

P

yt*P'

m

Una regin plana normaen la mayora de los gry una line que decrece observa en el grfico de

0.5

1.0

Fig. 1.3. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos9


19/489


20/489


20

Tabla 1.2. Grficas y regimenes de flujo encontrados en pruebas de pozo

GrficasRgimende flujo

Cartesiana t 4 t Log-log Semilog

Almacenamiento Lnea rectaPendienteCInterceptotc,Pc

Pendiente unitaria en p ypp ypcoincide

s Positivo

s Negativo

Flujo Lineal Lnea rectaPendientexfInterceptoDao de fractura

Pendiente=1/2 en P y Psi s=0Pendiente =1/2 en p y Psi s=0 a medio nivel de PPendiente = despus dealmacenamiento indica uncanal del yacimiento

Flujo Bilineal Lnea rectaPendienteCfd

Pendiente=1/4Pa de nivel de P

Primer IARF(alta-kcapas,fracturas)

Disminucin dependiente

P horizontal a PD=1/2 Lnea rectaPendientekhP1hrs

Transicin Ms disminucinde pendiente

seP 2= PD=1/4 (transicin)PD


21/489


21

Una vez los datos han sido obtenidos y revisados, el anlisis de presiones comprendedos pasos: (1) El modelo del yacimiento e identificacin de los diferentes regimenes

de flujo encontrados durante la prueba, y (2) la estimacin de parmetros. Entre ellostenemos: grficos log-log de presin y derivada de presin vs. tiempo de transiente(herramienta de diagnstico), grfico semilog de presin vs. tiempo, grficoCartesiano de los mismos parmetros, etc. La tabla 2 proporciona diferentes grficosy regimenes de flujo que normalmente se encuentran en cada prueba y las Figs. 1.2 a1.3 ilustran diferentes condiciones de yacimiento y caractersticas de flujoencontrados en una prueba de presin.

En general, el anlisis de presiones es una herramienta excelente para describir ydefinir el modelo de un yacimiento cuando se maneja un campo hidrocarburfero. Losregmenes de flujo son una funcin directa de las caractersticas del sistema

pozo/yacimiento, i.e., una fractura sencilla que intercepta el pozo puede identificarsemediante la deteccin de un flujo lineal. Sin embargo, siempre que exista flujo lineal,no necesariamente implica la presencia de una fractura.

La interpretacin de pruebas de presin es el mtodo primario para determinar permeabilidad, factor de dao, presin de yacimiento, longitud y conductividad defractura y heterogeneidad del yacimiento. Adems, es el nico mtodo ms rpido yms barato para estimar variable dependientes del tiempo como el factor de dao y lapermeabilidad en yacimientos sensibles al esfuerzo.

El perodo de comportamiento infinito ocurre despus del fin del almacenamiento y

antes de la influencia de los lmites del yacimiento. Puesto que los lmites no afectanlos datos durante este perodo, el comportamiento de presin es idntico alcomportamiento de un yacimiento infinito. El flujo radial puede reconocerse por unaestabilizacin aparente del valor de la derivada.

El anlisis de presiones puede utilizarse para determinar permeabilidad, dao, presin promedia, longitud media de una fractura hidrulica, direccin de una fracturas,conductividad de la fractura, entre otros. Obtenidos los datos siguen dos pasos (1)Definir el modelo del yacimiento e identificacin de los regmenes de flujo y (2)Estimacin de parmetros.

1.2GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIN

Declinacin de presin (ver. Fig. 1.4). Se le conoce como prueba de flujo. Luego deque el pozo ha sido cerrado por un tiempo suficientemente largo para alcanzarestabilizacin, el pozo se coloca en produccin, a caudal constante, mientras seregistra la presin de fondo contra el tiempo. Su principal desventaja es que es diffilmantener el caudal constante.

Restauracin de presin (ver. Fig. 1.4). Se le conoce como prueba de cierre. En estaprueba el pozo se cierra mientras se registra la presin esttica del fondo del pozo en


22/489


22

funcin del tiempo. Esta prueba se cataloga como una prueba multirata con doscaudales (cero y otro diferente de cero) y permite obtener la presin promedia del

yacimiento. Su principal desventaja es econmica ya que el cierre ocasiona prdidade produccin.

Tiempo

Tiempo

Presin

Caudal

0

q

tp

tp

Presin

Caudal

Tiempo

Tiempo

0

Fig. 1.4. Representacin esquemtica de pruebas de restauracin (abajo) ydeclinacin o cada de presin (arriba)

Presin

Caudal

Tiempo

Tiempo

0

Presin

Caudal

Tiempo

Tiempo

0

Fig. 1.5. Prueba de inyeccin (izquierda) y prueba Falloff (derecha)


23/489


23

Inyeccin. Ver (Fig. 1.5). Es una prueba similar a la prueba de declinacin de presin,pero en lugar de producir fluidos se inyectan fluidos, normalmente agua.

Falloff. (Ver Fig. 1.5). Considera una declinacin de presin inmediatamente despusde la inyeccin. Idntico a una prueba de restauracin.

Otras pruebas:

Interferencia y/o Mltiples. Involcucran ms de un pozo y su propsito es definirconectividad y hallar permebilidades direccionales.

DST. Esta prueba se usa durante o inmediatamente despus de la perforacin del pozo y consiste de pruebas de cierre o flujo cortas y seguidas. Su propsito es

establecer el potencial del pozo, aunque el factor de dao estimado no es muyrepresentativo porque puede ocurrir una limpieza del mismo pozo durante la primeraetapa productiva del mismo.

1.3. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD

Al inicio de la produccin, la presin en el pozo cae abruptamente y los fluidos cercaal pozo se expanden y se mueven hacia el rea de menor presin. Dicho movimientoes retardado por la friccin contra las paredes del pozo y la propia inercia yviscosidad del fludo. A media quen el fluido se mueve se crea un desbalance de presin que induce a los fludos aledaos a moverse hacia el pozo. El proceso

contina hasta que la cada de presin creada por la puesta en produccin se disipa alo largo del yacimiento. El proceso fsico que toma lugar en el yacimiento puededescribirse mediante la ecuacin de difusividad cuya deduccin se muestra acontinuacin.

1.3.1. Mtodo I

(Masa que entra) - (Masa que sale) = Tasa de acumulacin del sistema

k dPv

ds=

kA dPq

ds=

Para flujo radial 2A rh=

Masa que entra =3

3

L Mq

T L =


24/489


24

r

r+r

r

Fig. 1.6. Elemento de volumen radial

2k P

q rhr

=

( ) ( ) ( )2 2 2

r r dr

k P k Prh rh rh dr

r r t

+

+ =

( ) ( ) ( )2 2 2r r dr

k P k Ph r h r rh dr

r r t

+

+ =

( )

1r dr r

k P k Pr r

r r r

dr t

+

=

( )

1 k P

rr r r t

= (1.1)

1 1Vc

V P P

= =

De donde;

( )oc P Poe

= (1.2)


25/489


25

1fc P

=

Colocando la Ec. 1.1 en trminos de:

( ) ( ) ( )

ttt+=

( )P

t t P t

= +

( )

+=+= c

c

ttc

c

ttff

1

( ) [ ]t

ccct f

+=

La parte derecha de la ecuacin de difusividad se ha simplificado completamente.Ahora continuando con el trmino de la izquierda:

1P P

r r c r

= =

Reemplazando este resultado en la Ec. 1.1, se tiene:

[ ]t

cccrc

rk

rr f

+=

1 (1.3)

Con el objeto de disponer la Ec. 1.1 en trminos de p, se deriva la Ec. 1.2 conrespecto a ry t, as:

( )oc P Po

Pe c

r r

=

( )oc P Po

Pe c

t t

=

Reemplazando el resultado de la derivada en la Ec. 1.3:


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26

( ) ( )1 o oc P P C P Po f o

k r P Pe c c c e c

r r c r c t

= +

Extrayendo los trminos constantes de la derivada:

t

P Pr c

kr r r t

=

(1.4)

Defina la constante de difusividad, , comok

ct

=

1, luego:

1 1P P

rr r r t

=

Derivando;

2

2

1 1P P Pr

r r r t

+ =

2

2

1 1P P P

r r r t

+ = (1.5)

En coordenadas cilndricas15-16:

2 2 2

2 2 2 2

1 1 tz

r r r

k ckP P P P P

r r r k r k z k t

+ + + = (1.6.)

cos , sin ,x r y r z z= = =

En coordenadas esfricas15:

sen cos , sen , cos , sen sen , cosx r y r x r y r z r = = = = =

22

2 2

1 1 1sin

sin sin

p P p c pr

r r r k t

+ + =

En coordenadas elpticas16:

cosh cos , sinh sin ,x a y a z z= = =


27/489


27

( )2 2

22 2

1cosh 2 cos 2

2

p p c pa

k t

+ =

1.3.2. Mtodo II

Para la mayora de los fluidos hidrocarburos, el esfuerzo de corte y la rata de cortepueden describirse mediante la ley de friccin de Newton la cual combinada con laecuacin de movimiento resulta en la conocida ecuacin de Navier-Stokes. Lasolucin de dicha ecuacin para las condiciones de frontera apropiadas da lugar a ladistribucin de velocidad del problema dado. Sin embargo, la geometra de los poros,no permite la formulacin adecuada de las condiciones de frontera a travs del medio

poroso. Luego, una aproximacin diferente se debe tomar. Darcy descubri unarelacin simple entre el gradiente de presin y el vector velocidad para una sola fase.El volumen de fluido contenido en el anillo de la Fig. 1.7 es15:

)2( rhdrV = (1.7)

Puesto quedP

dV

Vc

1= entonces;

cVdPdV =

De la Ec. 1.7, se tiene:

dPrhdrcdV )2(=

Sit

Vdq

= entonces reemplazando la relacin anterior en esta se tiene:

t

Prhdrcdq

= )2( , ;

tPrhc

rq

=

)2( (1.8)

De la ley de Darcy, se sabe que:

r

Pkrhq

=

)2( (1.9)

Derivando la Ec. 1.9 con respecto a r, se obtiene:


28/489


28

PP+dP r

r+dr

hPozo

Fig. 1.7. Elemento de volumen y presin

+

=

2

2

)2(r

Pr

r

Pkh

r

q

(1.10)

Igualando las Ecs. 1.8 y 1.10, se obtiene:

2

2(2 ) (2 )P k P Pc rh h r

t r r

= +

, ;

+

=

2

2

r

Pr

r

Pk

t

Prc

Rearreglando,

t

P

k

c

r

P

rr

P

=

+ 1

2

2

(1.11)

La Ec. 1.11 es la ecuacin de difusividad.

1.3.3. Limitaciones de la Ecuacin de Difusividad

a) Medio poroso isotrpico, horizontal, homogneo, permeabilidad y porosidadconstantes

b) Un solo fluido satura el medio porosoc) Viscosidad constante, fluido incompresible o ligeramente compresible


29/489


29

d) El pozo penetra completamente la formacin. Fuerzas gravitacional despreciables,e) La densidad del fluido es gobernada por la Ec. 1.2.

= oc p pe o( ) (1.2)

A) Flujo radial

2

2

1

0.0002637tcP P P

r r r k t

+ = (1.12)

Donde;

P = psi = cp t= hr r= ftct= 1/psi = fraccin k= md

B) Flujo Multifsico

Al igual que el anlisis de pruebas en pozos de gas como se ver ms adelante, laspruebas multifsicas se pueden interpretar mediante el mtodo de la aproximacin de presin (mtodo de Perrine)3,16-17, la aproximacin de pseudopresin y laaproximacin de P2. El mtodo de Perrine permite transformar la ecuacin dedifusividad a:

2

21

0.0002637t

t

cP P Pr r r t

+ = (1.13.a)

fwwggoot cScScScc +++=

to

o

g

g

w

w

k k k= + +

El mtodo asume gradientes de presin y de saturacin despreciables. Martin2demostr que (a) El mtodo pierde exactitud a medida que la saturacin de gas seincrementa, (b) La estimacin de la movilidad es buena, (c) El clculo individual delas movilidades es sensible a los gradientes de saturacin. Se logran mejorestimativos cuando la distribucin de saturacin es uniforme y (d) El mtodosubestima la permeabilidad efectiva de la fase y sobrestima el factor de dao. Cuandohay flujo de gas libre:

+

=

mh

BRqRqqk gswwsog

g

)(0001.0(162600


30/489


30

Siendo m la pendiente del grfico semilog. La interpretacin de los datos de presinpuede requerir del clculo de la rata total de flujo, qt:

( )t o o g o s g w wq q B q q R B q B= + +

siendo qg la rata total de flujo de gas y qoRs representa la rata de gas en solucin. Engeneral las ecuaciones que rigen el comportamiento de la presin en pruebasmultifsicas para pruebas de declinacin y restauracin de presin, respectivamente,son:

2

162.6log 0.869

1688t t

wf it t w

q tP P s

h c r

= +

162.6log ptws i

t

t tqP P

h t

+ =

Donde, qt, qo y qw estn dados en bbl/da y qg en pcn/da. Ntese que normalmente qgse da en Mscf/da. La movilidad total, las permeabilidades de cada fase y el daomecnico se pueden estimar de:

162.6 tt

Q

mh =

162.6;L L LL

q Bk L agua o aceite

mh

= =

( )162.6 /1000g o s g gg

q q R Bk

mh

=

1

21.1513 log 3.23wf hr t

t w

P Ps

m c r

= +

C) Flujo de Gas

Partiendo de la ecuacin de continuidad y la ecuacin de Darcy:

( ) ( )1

rrr r t

=

r

k Pu

r

=


31/489


31

La ecuacin de estado para lquidos ligeramente compresibles no modela flujo de gas,por lo tanto se usa la ley de los gases reales 11:

PM

zRT =

Combinando la ecuacin de continiudad y de Darcy resulta:

( )1 k P

rr r r t

=

( )1 k P

rr r r t

=

Susbtituyendo la ley de los gases reales:

1 kPM p PM r

r r zRT t t zRT

=

ComoM,R y Tson constants y asumiendo que la permeabilidad es constante:

1 1P P Prr r z r k t z

=

USando la regal de la cadena en el miembro derecho de la anterior igualdad:

1 1P P P Pr

r r z r k z t t z

= +

1 1P p P P P Pr

r r z r k z p t p z t

= +

1 1P P P P z Pr

r r z r zk t P P P z

= +

Usando la definicin de compresibilidad:

1gc P

=


32/489


32

g

zRT PM z Pc

PM P zRT P P z

= =

1fc P

=

Sustituyendo las anteriores definiciones en la ecuacin de difusividad:

( )1

g

P P P Pr c c

r r z r zk t

= +

, si t g fc c c= + entonces;

1 tP cP P Prr r z r zk t

= (1.13.b)

La anterior es una ecuacin diferencial parcial no lineal y no peude resolversedirectamente. En general, se consideran tres suposiciones limitantes para su solucin,a saber: (a) P/z es constante, (b) ct es constante y (c) la transformacin depeudopresin para un gas real.

a) La ecuacin de difusividad en trminos de presin

Si en la Ec. 1.13.b asumimos que el trmino P/z permanece constante con respecto ala presin, sta se transforma en10,14:

1 tP cP P Prr z r r zk t

=

1 tcP Prr r r k t

=

La cual es lo mismo que la Ec. 1.11 para fluidos ligeramente compresibles y puedenresolverse si el trmino ctpermanece constante.

b) La ecuacin de difusividad en trminos de la presin al cuadrado

La Ec. 1.13.b puede escribirse en trminos de la presin al cuadrado, P2, partiendo delhecho que10-14:

21

2

P PP

r r

=


33/489


33

21

2

P PP

t t

=

y;

2 21 tcr P P

r r z r kz t

=

Si partimos del hecho que el trmino z permanece constante con respecto a lapresin, y por supuesto, el radio, entonces la anterior ecuacin puede escribirse como:

2 21 1 tcP Prr z r r kz t

=

Multiplicando por los trminos z:

2 21 tcP Prr r r k t

=

Esta expresin es similar a la Ec. 1.11, pero la variable dependiente es P2. Por lotanto, su solucin es similar a la de la Ec. 1.11, excepto que su solucin est entrminos de P2. Esta ecuacin tambin requiere que ctpermanezca constante.

c) Ecuacin de difusividad de gases en trminos de pseudopresin,m(P)

La ecuacin de difuvidad en trminos de P2 puede aplicarse a bajas presiones y la Ec.1.13.b puede ser aplicada a presiones elevadas sin incurrir en errores. Por ende, serequiere una solucin que se aplique a todos los rangos. Al-Hussainy2 introdujo unmtodo de linealizacin ms riguroso llamado pseudopresin la cual permite que laecuacin general de difusividad se solucione sin suposiciones limitantes querestringen ciertas propiedades de gases a permanecer constantes con la presin2,11-17:

0

( ) 2p

p

P dPzm P =

Usando la regla de Liebnitz de derivacin de una integral:

[ ][ ]

[ ][ ]

( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

h x

f x

h x f xg h x g f x

x x xg u du

=

La derivada de la pseudopresin con respecto al radio y el tiempo:


34/489


34

0 2000 4000 6000 8000 10000

Z, cp

Presin

Cuadrtico

Lineal

Pseudopresin

Pseudopresin

Fig. 1.8. Pseudopresin

( )2

m P P P

r z r

=

( )2

m P P P

t z t

=

Recordando la ecuacin de difusividad:

1 tP cP P Prr z r r zk t

=

Reemplazando las pseudopresiones en esta ecuacin:

1 ( ) ( )

2 2

tP cP z m P z m Pr

r r z P r zk P t

=

Simplificando:

1 ( ) ( )tcm P m Prr r r k t

=

Expandiendo la anterior ecuacin y expresndola en unidades de campo:


35/489


35

2

2

( ) 1 ( ) ( )

0.0002637

gi t

gi

cm P m P m P

r r r k t

+ = (1.14)

Para una linealizacin ms efectiva de la Ec. 1.14, Agarwal16 introdujo elpseudotiempo, ta, en virtud a que el producto gcten la Ec. 1.14 no es constante:

0

2t

at

dt

c

=

Con base en eso la ecuacin de difusividad para gases queda:

2 ( )1 ( ) ( )f g

g a

c cm P m Prr r r k c t

+ =

La linealizacin incompleta de la anterior expresin conduce a obtener pendientessemilog algo ms largas comparadas con lquidos. Algunas veces se recomiendautilizar variables normalizadas con el fin de retener las unidades de tiempo ypresin16. Las pseudovariables normalizadas son:

0

( )( )

( )

Pi

n ii P

m P P d

= +

0 ( ) ( )

t

an i ti

dt c

Z

= +

1.3.4. Solucin de la Lnea Fuente

La Ref. 12 presenta la solucin de la lnea fuente usando la transformada deBoltzman, la trasnformada de Laplace y funciones Bessel. A continuacin se presentael mtodo de Combinacin de variables independientes, el cual es basado en elanlisis dimensional de Buckingham. Este toma una funcin f= f(x, y, z, t), esta se

debe transformar a un grupo o funcin que contenga menos variables, f=f(s1,s2...). Sepropone un grupo de variables cuya forma general es:

1 2( , , , ) ( , ,...)f f x y z t f f s s= =

s ax y z t b c d e=

La ecuacin de difusividad es:


36/489


36

1

r rr

f

r

f

t

= (1.15)

Donde f es:

wf

i wf

P Pf

P P

=

Sujeto a las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

0, 0 , 0f r t = =

1, 0, 0f

r r tr

= = >

0, , 0f r t = >

Definiendo un grupo de variables como s ar t b c= (1.16)

Multiplicando la Ec. 1.15 por s/s:

1r

s

s r rs

s

f

r

s

s

f

t

=

Intercambiando trminos:

1

r

s

r sr

s

r

f

s

s

t

f

s

= (1.17)

Las nuevas derivadas se obtienen a partir de la Ec. 1.16:

sr

abr t b c= 1 y

st acr t b c= 1

Reemplazando en la Ec. 1.16 y rearreglando:

1 1 11 b c b c b cf fabr t r abr t acr t r s s s

=


37/489


37

2 2 2 11b b

c b cr r f f a b t r acr t

r r s r s s

=

Puesto que rs

atb

c= entonces;

a b

rr t

s

s

at

f

sacr t

f

sb c

cb c

2 2

22 1

=

ab

rr t

ss

f

sacr t

f

sb c b c

2

21

=

br

ts

s fs

c fs

2

2

=

2

2

f r c f s

s s b t s

=

2 12

f c f s r t s

s s b s =

Comparando el trmino encerrado en parntesis cuadraron con la Ec. 1.16 (s = ar

b

t

c

),se observa que b = 2, c = -1, luego s= ar2/t de modo que r2t-1=s/a, entonces:

2

f c f s s

s s b a s

=

El trmino encerrado en parntesis cuadrados es una constante que se asume igual a 1por conveniencia. En vista que c/(b2a) = 1, entonces a =-1/4. Luego:

f fs s

s s s

=

Escribiendo como una ecuacin diferencial ordinaria:

d

dss

df

dss

df

ds

= (1.17.a)

Aplicando el mismo anlisis a las condiciones iniciales y de frontera para convertirlasen funcin de s:


38/489


38

Condiciones iniciales:

0, 0 , 0f r t = =

puesto que s = ar2/t al tiempo t= 0, s (1.17.b)

Condicin de frontera 1: Esta se deriva a partir de la Ley de Darcy.

rf

rr t

= = >1 0 0, ,

Multiplicando la anterior ecuacin pors/s:

rf

s

s

r

= 1

rf

sabr t b c

=1 1

rf

sab

r

rt

bc

= 1

f

sab

s

att

c

c = 1 , puesto que b = 2, entonces, sf

s

=

1

2(1.17.c)

Condicin de frontera 2:

f r t = >0 0, ,

Si s = ar2/t cuando r, s = ar2/t (1.17.d)

Lo anterior porque el tiempo se hace cada vez ms grande. Luego, la nueva ecuacin

diferencial con sus condiciones iniciales y de frontera es:

d

dss

df

dss

df

ds

= (1.17.a)

Condiciones iniciales:

0,f s= (1.17.b)


39/489


39


s fs

= 1

2cuando s=0 (1.17.c)


0,f s= (1.17.d)

Nota: Observe que la condicin inicial y la condicin de frontera 2 son iguales. Sidefinimos:

dfg sds

= , entonces la Ec. 1.17.a se transforma en d g gds

=

Separando e integrando;

1ln g s c= + , de donde,

g c e sdf

dss= =1 (1.18)

Despejando df;

dfc e

sds

s

= 1

1

sedf c ds

s= , la cual es una ecuacin que no es analticamente integrable (se

resuelve por series de potencia):

2

1 ......2!

se s

ss = + + +

Simplificando la solucin:

f ce

sds c

s

= +1 2

Aplicando la condicin de frontera 1, Ec. 1.17.c, a la Ec. 1.18:


40/489


40

c e sdf

ds

s1

1

2

= =

Cuando s = 0, es = 0, luego c1 = , luego;

fe

sds c

ss

= +1

2 02

Aplicando la condicin de frontera 2,f= 0 cuando s

2

0

10

2

seds c

s

= + , de donde;

2

0

1

2

sec ds

s

= , entonces0 0

1 1

2 2

s s se ef ds ds

s s

= , luego:

1

2

s sef ds

s= ,

1

2

s

s

ef ds

s

= , que es igual a )(21

sEf i =

=

t

rEtrf i

42

1),(

2

,

=

D

DiDDD

t

rEtrP

42

1),(

2

La ecuacin anterior es una muy buena aproximacin de la solucin analtica cuandose satisface (Mueller y Witherspoon2,3,4,7,8) que rD 20 tD/rD

2 0.5, ver Fig. 1.9. SitD/rD

2 5 se incurre en un error inferior al 2 % y si tD/rD2 25 el error es inferior al 2

%. La Fig. 1.10 es representada por el siguiente ajuste con coeficiente de correlacin,r2, de 0.99833613.

21 dxbxcxa

y++

+= y y

D

D

r

t10

2= , donde:

a = 0.5366606870950616 b = -0.8502854912915072 c = 1.843195405855263d= 0.119967622262022 x = log(PD)

La funcin exponencial puede evaluarse mediante la siguiente frmula14 parax 25:

2 3 4

( ) 0.57721557 ln ....2 2! 3 3! 4 4!

x x xEi x x x= + + +


41/489


41

A continuacin se presenta un listado de un cdigo de programa en VisualBasic, queel lector podr adicionar fcilmente como funcin en su Microsoft Excel para

acondicionarlo a que ste calcule la funcin exponencial:

' Estimation of Ei functionFunction ei(x)Dim dexp As Double, ARG As Double, dlog As DoubleDim Res1 As Double, Res2 As Double, Res3 As Double, Res4 As Double, Res5 As Double, Res AsDouble

If x = 0 Then Exit Functiondexp = Exp(-x)dlog = Log(x)If x > 60 Then

ei = 0#Exit Function

End If

If x > 4# ThenARG = 4# / xRes = 0.011723273 + ARG * (-0.0049362007 + ARG * (0.00094427614))Res = -0.022951979 + ARG * (0.020412099 + ARG * (-0.017555779 + ARG * Res))Res = (0.24999999 + ARG * (-0.062498588 + ARG * (0.031208561 + ARG * Res)))Res = dexp * ARG * Res

ei = Abs(Res)ElseIf x < 0 Then

ei = 0#Exit Function

End IfIf x = 0 Then

ei = 1E+75Exit Function

End IfRes1 = -1.6826592E-10 + x * (1.5798675E-11 + x * (-1.0317602E-12))Res2 = 0.00000030726221 + x * (-0.00000002763583 + x * (2.1915699E-09 + x * Res1))Res4 = -0.00023148392 + x * (0.00002833759 + x * (-0.000003099604 + x * Res2))Res3 = -0.010416662 + x * (0.0016666906 + x * Res4)Res5 = x * (-0.25 + x * (0.05555552 + x * Res3))Res = -dlog - 0.57721566 + x * (1# + Res5)ei = Abs(Res)

End IfEnd Function

Las Figs. 1.11 y 1.12 y las tablas 1.3.a, 1.3.b y 1.3.c presentan soluciones de lafuncin exponencial.

1.4. FACTORES ADIMENSIONALES

Los parmetros adimensionales no proporcionan una visin fsica del parmetro quese mide, pero si una descripcin general o universal de stos. Por ejemplo, un tiemporeal de 24 hrs corresponde a un tiempo adimensional de aproximadamente 300 hrs enformaciones de muy baja permeabilidad o ms de 107 en formaciones de muypermeables4,11-12.


42/489

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

0.01 0.1 1 10

r D = 20

rD=2

r D = 1.3r D = 1

P

D

t / r2

D D

Fig. 1.9. Presin adimensional para diferentes valores del radio adimensional4


43/489

0.01

0.1

1

10

0.1 1 10 100 1000

10 10 10 10 10 4 5 6 7 8

t D/r D

P

D

2

Fig. 1.10. Presin adimensional para un pozo sin almacenamiento y dao en un yacimie


44/489

44

1

10

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25

Ei(-x)

x

Fig. 1.11. Valores de la integral exponencial para 1 x 10

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ei(-x)

x

Fig. 1.12. Valores de la integral exponencial para 0.0001 x 1


45/489

45

Tabla 1.3.a. Valores de la integral exponencial para 0.0001 x 0.209

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0000 8.63322 7.94018 7.53481 7.24723 7.02419 6.84197 6.68791 6.55448 6.436800.0010 6.33154 6.23633 6.14942 6.06948 5.99547 5.92657 5.86214 5.80161 5.74455 5.690580.0020 5.63939 5.59070 5.54428 5.49993 5.45747 5.41675 5.37763 5.33999 5.30372 5.268730.0030 5.23493 5.20224 5.17059 5.13991 5.11016 5.08127 5.05320 5.02590 4.99934 4.973460.0040 4.94824 4.92365 4.89965 4.87622 4.85333 4.83096 4.80908 4.78767 4.76672 4.746200.0050 4.72610 4.70639 4.68707 4.66813 4.64953 4.63128 4.61337 4.59577 4.57847 4.561480.0060 4.54477 4.52834 4.51218 4.49628 4.48063 4.46523 4.45006 4.43512 4.42041 4.405910.0070 4.39162 4.37753 4.36365 4.34995 4.33645 4.32312 4.30998 4.29700 4.28420 4.271560.0080 4.25908 4.24676 4.23459 4.22257 4.21069 4.19896 4.18736 4.17590 4.16457 4.153370.0090 4.14229 4.13134 4.12052 4.10980 4.09921 4.08873 4.07835 4.06809 4.05793 4.04788

0.010 4.03793 3.94361 3.85760 3.77855 3.70543 3.63743 3.57389 3.51425 3.45809 3.405010.020 3.35471 3.30691 3.26138 3.21791 3.17634 3.13651 3.09828 3.06152 3.02614 2.992030.030 2.95912 2.92731 2.89655 2.86676 2.83789 2.80989 2.78270 2.75628 2.73060 2.705600.040 2.68126 2.65755 2.63443 2.61188 2.58987 2.56838 2.54737 2.52685 2.50677 2.487130.050 2.46790 2.44907 2.43063 2.41255 2.39484 2.37746 2.36041 2.34369 2.32727 2.311140.060 2.29531 2.27975 2.26446 2.24943 2.23465 2.22011 2.20581 2.19174 2.17789 2.164260.070 2.15084 2.13762 2.12460 2.11177 2.09913 2.08667 2.07439 2.06228 2.05034 2.038560.080 2.02694 2.01548 2.00417 1.99301 1.98199 1.97112 1.96038 1.94978 1.93930 1.928960.090 1.91874 1.90865 1.89868 1.88882 1.87908 1.86945 1.85994 1.85053 1.84122 1.832020.100 1.82292 1.81393 1.80502 1.79622 1.78751 1.77889 1.77036 1.76192 1.75356 1.745290.110 1.73711 1.72900 1.72098 1.71304 1.70517 1.69738 1.68967 1.68203 1.67446 1.66697

0.120 1.65954 1.65219 1.64490 1.63767 1.63052 1.62343 1.61640 1.60943 1.60253 1.595680.130 1.58890 1.58217 1.57551 1.56890 1.56234 1.55584 1.54940 1.54301 1.53667 1.530380.140 1.52415 1.51796 1.51183 1.50574 1.49970 1.49371 1.48777 1.48188 1.47603 1.470220.150 1.46446 1.45875 1.45307 1.44744 1.44186 1.43631 1.43080 1.42534 1.41992 1.414530.160 1.40919 1.40388 1.39861 1.39338 1.38819 1.38303 1.37791 1.37282 1.36778 1.362760.170 1.35778 1.35284 1.34792 1.34304 1.33820 1.33339 1.32860 1.32386 1.31914 1.314450.180 1.30980 1.30517 1.30058 1.29601 1.29147 1.28697 1.28249 1.27804 1.27362 1.269220.190 1.26486 1.26052 1.25621 1.25192 1.24766 1.24343 1.23922 1.23504 1.23089 1.226760.200 1.22265 1.21857 1.21451 1.21048 1.20647 1.20248 1.19852 1.19458 1.19067 1.18677

1.4.1. Ecuacin de Difusividad en Forma Adimensional

2

2

1 tcP P P

r r r k t

+ = (1.19)

Defina /D wr r r= . Derivando;

r r rw D= (1.20)


46/489

46

Tabla 1.3.b. Valores de la integral exponencial, 4( ) 10Ei x , para 4 x 25.9

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 94.0 37.7944731 33.4897554 29.6885708 26.3300686 23.3610494 20.7349566 18.4110072 16.3534439 14.5308884 12.91578265.0 11.4839049 10.2139501 9.0871651 8.0870324 7.1989935 6.4102095 5.7093507 5.0864138 4.5325619 4.03998416.0 3.6017735 3.2118193 2.8647125 2.5556633 2.2804286 2.0352477 1.8167864 1.6220875 1.4485269 1.29377597.0 1.1557663 1.0326617 0.9228302 0.8248215 0.7373462 0.6592579 0.5895367 0.5272751 0.4716656 0.42198908.0 0.3776052 0.3379441 0.3024976 0.2708131 0.2424872 0.2171602 0.1945115 0.1742550 0.1561356 0.13992599.0 0.1254226 0.1124444 0.1008297 0.0904339 0.0811280 0.0727968 0.0653373 0.0586577 0.0526757 0.047317910.0 0.0425187 0.0382194 0.0343676 0.0309164 0.0278237 0.0250521 0.0225681 0.0203416 0.0183456 0.016556311.0 0.0149520 0.0135135 0.0122236 0.0110669 0.0100294 0.0090988 0.0082641 0.0075154 0.0068436 0.006240912.0 0.0057001 0.0052148 0.0047794 0.0043886 0.0040378 0.0037230 0.0034404 0.0031867 0.0029589 0.002754513.0 0.0025709 0.0024061 0.0022580 0.0021251 0.0020057 0.0018985 0.0018022 0.0017157 0.0016381 0.0015683

14.0 0.0015056 0.0014492 0.0013986 0.0013532 0.0013123 0.0012756 0.0012426 0.0012129 0.0011863 0.001162415.0 0.0011409 0.0011216 0.0011041 0.0010885 0.0010745 0.0010620 0.0010504 0.0010403 0.0010310 0.001022816.0 0.0010155 0.0010088 0.0010026 0.0009971 0.0009925 0.0009879 0.0009843 0.0009804 0.0009777 0.000974617.0 0.0009725 0.0009699 0.0009673 0.0009657 0.0009644 0.0009624 0.0009618 0.0009597 0.0009587 0.000957518.0 0.0009563 0.0009573 0.0009561 0.0009553 0.0009543 0.0009549 0.0009534 0.0009535 0.0009526 0.000953419.0 0.0009511 0.0009503 0.0009479 0.0009497 0.0009496 0.0009488 0.0009517 0.0009495 0.0009448 0.000948020.0 0.0009526 0.0009507 0.0009534 0.0009422 0.0009365 0.0009574 0.0009370 0.0009575 0.0009491 0.000955321.0 0.0009248 0.0009537 0.0009454 0.0009384 0.0009370 0.0009223 0.0009627 0.0009158 0.0009742 0.000953222.0 0.0009183 0.0009230 0.0008344 0.0009125 0.0009568 0.0008906 0.0008732 0.0008799 0.0009004 0.000978023.0 0.0009464 0.0009149 0.0007237 0.0009555 0.0007416 0.0008180 0.0007813 0.0007484 0.0007145 0.000794124.0 0.0009316 0.0005388 0.0006837 0.0003851 0.0007086 0.0007141 0.0006669 0.0011186 0.0010050 0.0005255

25.0 0.0000779 0.0003408 0.0001132 0.0000237 0.0016636 0.0000553 0.0011594 0.0002998 0.0010992 0.0007856

Defina el tiempo adimensional como;

tt

tD o= (1.23)

t t to D=

Reemplazando la Ec. 1.23 en 1.22

22

2

1 t w

D D D o D

c rP P P

r r r kt t

+ = (1.24)

Para definirto, asuma que 12

=o

wt

kt

rc , de donde;


47/489

47

Tabla 1.3.c. Valores de la integral exponencial para 0.1 x 4.09

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.20 1.222651 1.182902 1.145380 1.109883 1.076236 1.044283 1.013889 0.984933 0.957308 0.9309180.30 0.905677 0.881506 0.858335 0.836101 0.814746 0.794216 0.774462 0.755442 0.737112 0.7194370.40 0.702380 0.685910 0.669997 0.654614 0.639733 0.625331 0.611387 0.597878 0.584784 0.5720890.50 0.559774 0.547822 0.536220 0.524952 0.514004 0.503364 0.493020 0.482960 0.473174 0.4636500.60 0.454380 0.445353 0.436562 0.427997 0.419652 0.411517 0.403586 0.395853 0.388309 0.3809500.70 0.373769 0.366760 0.359918 0.353237 0.346713 0.340341 0.334115 0.328032 0.322088 0.3162770.80 0.310597 0.305043 0.299611 0.294299 0.289103 0.284019 0.279045 0.274177 0.269413 0.2647500.90 0.260184 0.255714 0.251337 0.247050 0.242851 0.238738 0.234708 0.230760 0.226891 0.2231001.00 0.2193840 0.2157417 0.2121712 0.2086707 0.2052384 0.2018729 0.1985724 0.1953355 0.1921606 0.18904621.10 0.1859910 0.1829936 0.1800526 0.1771667 0.1743347 0.1715554 0.1688276 0.1661501 0.1635218 0.1609417

1.20 0.1584085 0.1559214 0.1534793 0.1510813 0.1487263 0.1464135 0.1441419 0.1419107 0.1397191 0.13756611.30 0.1354511 0.1333731 0.1313314 0.1293253 0.1273541 0.1254169 0.1235132 0.1216423 0.1198034 0.11799601.40 0.1162194 0.1144730 0.1127562 0.1110684 0.1094090 0.1077775 0.1061734 0.1045960 0.1030450 0.10151971.50 0.1000197 0.0985445 0.0970936 0.0956665 0.0942629 0.0928822 0.0915241 0.0901880 0.0888737 0.08758061.60 0.0863084 0.0850568 0.0838252 0.0826134 0.0814211 0.0802477 0.0790931 0.0779568 0.0768385 0.07573791.70 0.0746547 0.0735886 0.0725392 0.0715063 0.0704896 0.0694888 0.0685035 0.0675336 0.0665788 0.06563871.80 0.0647132 0.0638020 0.0629048 0.0620214 0.0611516 0.0602951 0.0594516 0.0586211 0.0578032 0.05699771.90 0.0562045 0.0554232 0.0546538 0.0538960 0.0531496 0.0524145 0.0516904 0.0509771 0.0502745 0.04958242.00 0.0489006 0.0482290 0.0475673 0.0469155 0.0462733 0.0456407 0.0450173 0.0444032 0.0437981 0.04320192.10 0.0426144 0.0420356 0.0414652 0.0409032 0.0403493 0.0398036 0.0392657 0.0387357 0.0382133 0.03769862.20 0.0371912 0.0366912 0.0361984 0.0357127 0.0352340 0.0347622 0.0342971 0.0338387 0.0333868 0.0329414

2.30 0.0325024 0.0320696 0.0316429 0.0312223 0.0308077 0.0303990 0.0299961 0.0295988 0.0292072 0.02882102.40 0.0284404 0.0280650 0.0276950 0.0273301 0.0269704 0.0266157 0.0262659 0.0259210 0.0255810 0.02524572.50 0.0249150 0.0245890 0.0242674 0.0239504 0.0236377 0.0233294 0.0230253 0.0227254 0.0224296 0.02213802.60 0.0218503 0.0215666 0.0212868 0.0210109 0.0207387 0.0204702 0.0202054 0.0199443 0.0196867 0.01943262.70 0.0191820 0.0189348 0.0186909 0.0184504 0.0182131 0.0179790 0.0177481 0.0175204 0.0172957 0.01707402.80 0.0168554 0.0166397 0.0164269 0.0162169 0.0160098 0.0158055 0.0156039 0.0154050 0.0152087 0.01501512.90 0.0148241 0.0146356 0.0144497 0.0142662 0.0140852 0.0139066 0.0137303 0.0135564 0.0133849 0.01321553.00 0.0130485 0.0128836 0.0127209 0.0125604 0.0124020 0.0122457 0.0120915 0.0119392 0.0117890 0.01164083.10 0.0114945 0.0113502 0.0112077 0.0110671 0.0109283 0.0107914 0.0106562 0.0105229 0.0103912 0.01026133.20 0.0101331 0.0100065 0.0098816 0.0097584 0.0096367 0.0095166 0.0093981 0.0092811 0.0091656 0.00905163.30 0.0089391 0.0088281 0.0087185 0.0086103 0.0085035 0.0083981 0.0082940 0.0081913 0.0080899 0.00798993.40 0.0078911 0.0077935 0.0076973 0.0076022 0.0075084 0.0074158 0.0073244 0.0072341 0.0071450 0.00705713.50 0.0069702 0.0068845 0.0067999 0.0067163 0.0066338 0.0065524 0.0064720 0.0063926 0.0063143 0.00623693.60 0.0061605 0.0060851 0.0060106 0.0059371 0.0058645 0.0057929 0.0057221 0.0056523 0.0055833 0.00551523.70 0.0054479 0.0053815 0.0053160 0.0052512 0.0051873 0.0051242 0.0050619 0.0050003 0.0049396 0.00487963.80 0.0048203 0.0047618 0.0047041 0.0046470 0.0045907 0.0045351 0.0044802 0.0044259 0.0043724 0.00431953.90 0.0042672 0.0042157 0.0041647 0.0041144 0.0040648 0.0040157 0.0039673 0.0039194 0.0038722 0.00382554.00 0.0037794 0.0037339 0.0036890 0.0036446 0.0036008 0.0035575 0.0035148 0.0034725 0.0034308 0.0033896

k

rct wto

2= (1.25)


48/489

48

Reemplazando la Ec. 1.25 en la definicin de tD:

=

k

rctt wtD

2(1.26)

Despejando tD se tiene

=

2wt

D rc

ktt

Reemplazando la Ec. 1.25 en la Ec. 1.23:

( )

22

2 2

1

/

t w

D D D Dt w

c rP P P

r r r t k c r k

+ =

2

2

1

D D D D

P P P

r r r t

+ = (1.27.a)

Solucin para el caso de rata constante;

( )ln /e w

kh Pq

B r r

=

Ntese que la ecuacin anterior es la solucin de la ecuacin de difusividad paraestado estable. Despejando P;

ln e

w

rqBP

kh r

=

Definiendo:

Pr

rD

e

w

= ln y DqB

P Pkh

=

Esto significa que la cada de presin fsica en estado estable para flujo radial esigual a la presin adimensional multiplicada por un factor escalable, que para estecaso depende del caudal y de las propiedades del yacimiento8-17. El mismo conceptose aplica a flujo transitorio y a situaciones ms complejas, pero en este caso la presinadimensional es diferente. Por ejemplo, para flujo transitorio la presin adimensionalsiempre es funcin del tiempo adimensional. En general, la presin a cualquier puntoen un sistema con pozo nico que produce a rata constante, q, est dada por:


49/489

49

[ ( , )] ( , , , geometra,....)i D D D DqB

P P r t P t r C

kh

=

La presin adimensional es tambin afectada por la geometra del sistema, otrossistemas de pozos, el coeficiente de almacenamiento, caractersticas anisotrpicas delyacimiento, fracturas, discontinuidades radiales, doble porosidad entre otras.Despejando PD;

( , ) ( )D D D ikh

P r t P PqB

= (1.27.b)

Derivando dos veces;

D

khP P

qB

= (1.28)

2 2D

khP P

qB

= (1.29)

Reemplazando las Ecs. 1.28 y 1.29 en la Ec. 1.27:

2

2

1D D D

D D D D

P P PqB qB qB

kh r kh r r kh t

=

2

2

1D D D

D D D D

P P P

r r r t

+ =

Solucin para el caso de presin constante:

; 0 1wfD Di wf

P PP P

P P

=

El procedimiento es similar al caso de rata constante.

1.4.2. Solucin de la Integral Exponencial,Ei

Asuma a) un solo pozo produce a caudal constante, and b) el yacimiento es infinitocon rw 0, r 0, P Pi. Defina

2,11-17;

/D wr r r=


50/489

50

Fig. 1.13. Geometra del yacimiento para el ejemplo

2

0002637.0

wtD rc

ktt

= (1.30)

==

A

rt

Ac

ktt wD

tDA

20002637.0

(1.31)

),( DDDD trPP =

( )141.2D ikhP P Pq B= (1.32)

EJEMPLO

Un yacimiento de forma cuadrada produce 300 BPD a travs de un pozo localizadoen el centro de uno de sus cuadrantes. Ver Fig. 1.13. Estime la presin en el pozodespus de un mes de produccin:

Pi = 3225 psia h = 42 piesko = 1 darcy = 25 %

o = 25 cp ct= 6.1x10-6 /psiBo = 1.32 bbl/BF rw = 6 pulgA = 150 Acres q = 300 BPD

SOLUCION

Ac

ktt

tDA

0002637.0=


51/489

51

76.0)6534000)(101.6)(25)(25.0(

)720)(1000)(02637.0(6 =

= DAt

De la Fig. 1.14.a se lee un valor de la presin adimensional de 12.

( )ppq

khP iD =

2.141

(1000)(42)12 ( )

(141.2)(300)(1.32)(25) iP P=

P = 2825 psi.1.5. APLICACIN DE LA SOLUCIN DE LA ECUACIN DEDIFUSIVIDAD

=

D

DiDDD t

rEtrP

42

1),(

2

kt

rc

t

rx t

D

D22 948

4

== (1.33)

Si P E xD i= 1

2( ) entonces, se cumple que cuandox < 0.00252,11-16:

( ) ln(1.781 )iE x x = (1.34)

( ) ln1.781 lniE x x = +

( ) ln 0.5772iE x x = + (1.35)

Por definicin P E xD i= 12 ( ) , luego

Pr

tDD

D

=

+

1

2 405772

2

ln . Pt

rD

D

D

=

1

2

405772

2ln .

De la definicin de PD;


52/489

52

Pt

rD

D

D

=

+

1

2

0809072

ln . (1.36)

Esta ecuacin es vlida para tD/rD2 50 100.

294870.6 ti i

c rqBP P E

kh kt

= +

(1.37)

EJEMPLO

Un pozo y yacimiento tienen las siguientes caractersticas:

q = 20 BF/D = 0.72 cp ct= 1.5x10-5= 23 % Pi= 3000 psia re = 3000 piesB = 1.475 bbl/BF k= 10 md h = 150 pies

Calcule la presin del yacimiento a 1 pie, 10 pies y 100 pies despus de 0.3 hrs deproduccin.

SOLUCION

Por medio de la siguiente expresin

22

82.310002637.0

wwtD rrc

ktt ==

Los tiempos adimensionales son: para 1 pie 31.85, para 10 pies 0.3185 para 100 pies0.003185. Y el x es, respectivamente 0.0007849, 0.07849 y 7.849. Para el primer x,se usa la aproximacin logartmica, Ei = 6.572, para el segundo y tercero se debeusar tabla 1.3 y resulta un valor de la integral exponencial de 2.044 y para el tercer decero.

2

948 (20)(1.475)(0.72)70.6 3000 70.6 6.572 2993.43(10)(150)

ti i c rqBP P E psikh kt

= +

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Pruebas de Presion Escobar Freddy