Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Acatlán

Licenciatura en Actuaría Análisis de Regresión

Semestre 2016-1

Problem Set 2 Estadística Multivariada y Distribución Normal

Los siguientes ejercicios representan un complemento práctico del curso de Análisis de Regresión, si

bien no forman parte de la evaluación por lo que no son obligatorios si se recomienda ampliamente

su resolución.

1. Pruebe que para una matriz aleatoria X: [𝔼(𝑋)]′ = 𝔼(𝑋′)

2. Pruebe que para un vector aleatorio X: Var(X)=E(XX’)-E(X)E(X’)

3. Pruebe que para un vector aleatorio X:

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = (

𝑉𝑎𝑟(𝑥1) 𝐶𝑜𝑣(𝑥1, 𝑥2)𝐶𝑜𝑣(𝑥2, 𝑥1) 𝑉𝑎𝑟(𝑥2)

⋯ 𝐶𝑜𝑣(𝑥1, 𝑥𝑛)⋯ 𝐶𝑜𝑣(𝑥2, 𝑥𝑛)

⋮ ⋮𝐶𝑜𝑣(𝑥𝑛, 𝑥1) 𝐶𝑜𝑣(𝑥𝑛, 𝑥2)

⋱ ⋮⋯ 𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑛)

)

4. Pruebe que para dos vectores aleatorios [Cov(X,Y)]’=Cov(Y,X)

5. Sean A y B matrices constantes, a y b vectores constantes, X y Y vectores aleatorios para los

cuales el producto AX+a y BY+b esta bien definido. Pruebe que Cov(AX+a,BY+b)=ACov(X,Y)B’

6. Pruebe el siguiente teorema:

“Teorema. Sean x,y v.a.i.’s con funciones generadoras Mx(t) y My(t) respectivamente,

entonces la función generadora de momentos de la variable z=x+y es Mz(t)= Mx(t)My(t)”

7. Pruebe que la función normal con media μ y varianza σ² es una función de densidad.

8. Sea 𝑥 = (

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

) un vector aleatorio de v.a.i.i.d.’s tales que xi~N(μ,σ²) y 1𝑛 = (

11⋮1

). Muestre

que:

∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 = (𝑥 − 1𝑛�̅�)′(𝑥 − 1𝑛�̅�) =

𝑛

𝑖=1

𝑥′ (𝕀𝑛 −1

𝑛1𝑛1𝑛

′ ) 𝑥

= (𝑥 − 1𝑛𝜇)′ (𝕀𝑛 −1

𝑛1𝑛1𝑛

′ ) (𝑥 − 1𝑛𝜇)

9. Sea 𝑥 = (

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

) un vector aleatorio de v.a.i.i.d.’s tales que xi~N(μ,σ²) y definamos la varianza

muestral como 𝑆𝑛2 =

1

𝑛−1∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛𝑖=1 . Pruebe que:

𝑛 − 1

𝜎2𝑆𝑛2~𝜒(𝑛−1)

2

10. Muestre que la media muestral (�̅�) y la varianza muestral (𝑆𝑛2) son variables aleatorias

independientes.

11. “Sean 𝑈~𝑁(0,1), 𝑉~𝜒(𝑘)2 , U y V independientes entonces

𝑈

√𝑉 𝑘⁄~𝑡(𝑘)” Muestre que:

√𝑛(�̅� − 𝜇)

𝑆𝑛~𝑡(𝑛−1)

12. Sean x, y v.a.’s normales estandarizadas con coeficiente de correlación igual a ρ, si a, b son

constantes diferentes de cero ¿Cuál es la distribución de z=ax+by?

13. Sea 𝑋~𝑁2(𝜇, Σ), determine la distribución del vector 𝑌 = (𝑥1 + 𝑥2𝑥1 − 𝑥2

), muestre que y1 y y2

son independientes si Var(x1)=Var(x2)

14. Sean X1, X2, … vectores aleatorios independientes con distribución Nm(μ,Σ) y sea 𝑆𝑁𝑖=

∑ 𝑋𝑖𝑁𝑖𝑖=1 . Para N1<N2 encuentre la distribución condicional de SN1 dado SN2

15. Sea 𝑋~𝑁3 [(000) , (

1 𝜌 0𝜌 1 𝜌0 𝜌 1

)], ¿existe algún valor de ρ para el cual x1+x2+x3 y x1-x2-x3 sean

v.a.i.’s?

16. Sea 𝑌~𝑁 [(

−23−15

) ,(

11 −8−8 9

3 9−3 6

3 −39 6

2 33 9

)] encuentre la distribución de:

a. z=4y1-2y2+y3-3y4

b. z1=y1+y2+y3+y4 y z2=-2y1+3y2+y3-2y4

c. z1=3y1+y2-4y3-y4, z2=-y1-3y2+y3-2y4 y z3=2y1+2y2+4y3-5y4

d. z1=y1, z2=(1/2)(y1+y2), z3=(1/3)(y1+y2+y3) y z4=(1/4)( y1+y2+y3+y4)

17. Pruebe el siguiente teorema:

“Teorema: Sea 𝑋~𝑁𝑚(𝜇, 𝕀𝑛) y A una matriz simétrica, entonces (𝑋 − 𝜇)′𝐴(𝑋 − 𝜇)~𝜒𝑡𝑟(𝐴)2 ssi A es

idempotente”

18. Sea Y=Xb0+U; b0 un vector de constantes de dimensión k, Xnxk una matriz de constantes y

𝑈~𝑁𝑛(0, 𝜎𝑈2𝕀𝑛) y definamos �̂� = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑌 y �̂� = 𝑌 − 𝑋�̂�. Encuentre las distribuciones

de �̂� y �̂�.

19. Pruebe que �̂� y �̂� (del ejercicio anterior) son independientes.