TEORfA.

DE LOS

PUENTES COLGADOSPOR

DON EDUARDO SAAVEDRA,

INGENIERO JEFE DE CAMINOS, CANALES Y PUERIfOS.

SEGUNDA EDlCION.

MADRIDIMPRENTA NA.CIONAL

1864.

La propia experieneia y consejos ajenos me han hechoconocer algunas de las faltas de que adolecia la primera edi-cion de este libro. Debiendo reimprimirse para texto de laEscuela de Caminos, he aprovechado la ocasion para corre-girlas en lo que me fuera dable, y por eso encontrará el lectoralgun. tanto variada esta edicion respecto..de la anterior.Mi principal atencion ha sido simplificar en lo posible la ex-posicion de las diversas teorías que componen este tratado, ymuy principalmente las relativas á la forma de equilibrio delas cadenas, al pandeo del fiador, á los puentes de varios tra-mos y á las oscilaciones, donde con tal objeto he introducidouna hipótesis nueva. He añadido el cálculo y aplicacionesdelos cables inversos y de los tirantes superiores, y en lugarde los puentes Vergniais que tienen poco de colgantes, explicoel sistema Oudry. Finalmente, he dedicado un capítulQá lafor!llacionde un proyecto de puente, que sirve al mismo tiempoen

.

todo el curso de la teoría de tipo para manifestarcon nú-meros cuál es la verdadera importancia, tanto de las fórmulasque se proponen, como de los términos y cantidades que sedesprecian.

INTRODUCCION.

Aunque sea bien conocido el sistema de puentes llamados colgantes,colgados ó suspendidos, así como las partes principalesde que se com-pone una obra de esta naturaleza, no estará demas, para la mejor inte-ligencia de este escrito, que empecemos por hacer una sucinta descrip.cion de lo más notable de ellas, con' lo cual, además de fijar lasdenominaciones de las diferentes piezas, haremos ver las circunstancias

y condiciones en que se encuentran.

El sistema de puentes que nos ocupa es el que ofrece más estabili:

dad y ménos rigidez entre todos: para hacer esto bien claro, es necesario

observar que todo puente está compuesto de dos partes, á saber: el ta-

blero cuya posicion y dimensiones son un dato comun átodos los sistemas,y la cercha, armadura ó cuchillo que sostiene con su resistencia yestabilidad al tablero; y que las diversas combinaciones entre la posicionde una y otra parte dan orígen á' una clasificacion de los puentes eneste sentido. La cercha ó cuchillo puede tener su convexidad ó suconcavidad dirigidas al tablero, y puede ser superior á él ó inferior, dedonde nacen cuatro géneros de puentes que son los representados enlas ,figs. 1, 2, 3, 4. En los dos primeros, los arcos a han' de ser rí-gidos ó susceptiblesde sufrir flexiony compresion, al paso que en losotros dos han de ser flexibles y capaces solo de sufrir tensiones.

La estabilidad de cada género depende de la posicion del tablerorespecto del centro de gravedad del arco, de lo que se sigueque el quela tiene mayor es el d'e la fig. 4.a (puentes colgados), y el que la tiene

vm'

1d i 1 a La rigidez depende de la naturalezade las plezasmenores e e a ' '~ '1' á élue se han de emple~rpara formal' el afCO,así ~omo

para re er~'

,

~s presiones del tablero: el género de b fig, 1:'

(puentes or4I~anos

d ' dera ó hierro) en que además de ser ngIdo el arco a tienen:e~:rlo las piezas bb que lo unen al tablero, es el que la ofrece ma-

~or, y en el de la fig. ,4,' es 1~menor. Los de las figs, 2 y 3 son en

ambas propiedadesun mtermedIO. ,

Las figs. 5 y 5A representan las dos proyeccIOnes de un puente

co!g~~~rco flexible es el conjunto de cadenas AO, ~ro', cuyos extre~os

se fi"an en la parte superior de los apoyos AC. Antes se c?nstrmansie~ re de eslabones de hierro forjado, de lo qu~

es u~ ejemplo elp

" d 'A "

. Pero ahora se hace un uso caSI extluslVo de los ca-puente e ranJuez, "d e' 01'

bles de alambre que es más fuerte y más barato y seacomO a m J,

1 ".' de las obras como se ve en el puente de Arganda yá as eXIgenCiaS ,- '

otros muchos construidos en Espana.El tablero se compone de un piso de tablones y largueros que des,

cansa en viguetas trasversales, suspendidas directamente de lo~cable~

arriostradas entre sí. Sobre ellas va tambien el antepecho ~?aran:

~illa, que puede di.sponersede modo que contribuyacon su ngIdez :la resistenciade la obra. , .

'llLa suspensionde las viguetas se verifica por. medIO~e var,l a

verticales que se llaman péndolas,y, son ?e hIerro forJad~ o d

1,' b La union de estas dos pieias se venfica con un estnbo dah

,am re(fi~ 6 )' ó átravesandocon un tornillo la vigueta (fig. 7). ~lerro v' b 11 t (fl 8) r laZo (fi~ 9

éndola se asegura al cable con un ca a e e Ig. o un, v',~ue no resbalan por impedírselouna ligadura que se colocaalcos~ad(Ta~bien se usa un caballete en los puentes de cadenas de hlerrforj,ad.o ' ,

' '1 fi 5 ' CU)Los apoyos puedeil ser pilas de fabnca, como en .

a~g, "e~ ~

caso se reunen formando' un pórtico para que tengan mas estapIhdald h ' (fi~ 1O) ~iratorias alrededor de una rodIlla CI

ó columnas e lerro. v' v

1 d ' u basea Y unidas por un travesañ,

o én lo alto, Comooca aen s " d l 'blp.sunasni otrasson susceptiblesde resistir.la tenslOn e os ca ~ ,

I~

consolidan por medio de tirantes AE, (fig.5) que se llaman fiadores,amarrados al interior del terreno ó del cimiento de la obra, en pozosy galerías.

Cuando los apoyosson movibles, el cable y el fiador se unen in-variablemente á su punto más alto, pero cuando son fijos se unen entre

sí apoyándolúsde diversas maneras. Á veces viene cada uno á' suje-tarse ~ un pasador que forma parte de un caballete movible de hierro,

pero las m~s son un cable continuo que corre sobre rodillos ó rozandosobre una plancha (fig. 11 ,. Tambien podrian quedar independientesuniéndose éada uno ~ un barrote de amárra empotrado en la fábricadel macizo (lig. 12), disposicion que se ha usado especialmente en las

, pilas intermedias..Lo flexible de estas obras no sólo hace descender con velocidad los

puntos en que se apoya una presion irregular, sino que, no oponiendoresistencia alguna tI los movimientos de contraccion, origina las trepi-daciones ql1~se sienten al paso de las cargas y las oscilaciones á que~l viento da lugar 'Cuando ~s fuerte. Á esta tendencia se oponen los~ables :inversos qll'e, ton péndolas m~ delgada~ sujetan pür debajo eltablero. '

En lo que sigue consideraremos los cables reducidos á uno solo de~eccionequivatentB~ la suma d'é las de todos, y lo representaremospor su eje de figura. Consideraremos el tablero reducido á la línea cd(figura 5 j, que pasa por losparamentossuperioresde todas las viguetas,'y reduciremos del mismo modo á su eje las péndolas y fiadores, y paraevitar la repeticion de datos, dando ~ conocer los resultados que. cor-

responden ~una obra de magnitud y proporcionesordinarias, en todasias aplicaciones numéricas que sea predso hacer, supondremos siempreque se trata del puente que como 'ejempl'Ose proyecta en el capítulo

~ltimo, cuyas dimensiones generales son las siguientes:

Ancho dél tablero. . . . , . , .. . . . , . . . . . , . . .

tuz ó amplitud del cable. . . , . . . . . , , , . . . . .Flecha definitiva del cable, . , . . . , . , . , . . . , , ,

Peso perl11anentedd tablero por metro lineal, , .

7 metros.200

151000 kilógramos.

2

"Xl

Estos númeras representan las condícianes en qúe se hallan vatÍo~puentes muy conacidO's,y san al. mismO'tiempO'bastante sencillas paraservir de tipO'y facilitar las cálculas. , ' .'

SiendO'flexibles las partes principales' que canstituyen un puentede esta clase ,será útil que recardeffiO's sucintamente láS' propiedadesmás notables de las palíganas funiculares sujetas principalmenteá pesas,que san las fuerzas que en nuestro" ejemplos han de obrar casi siempre.

Para que tres fuerzas que concurren en uIi p1mto estén en equi-librio, es necesaria:, L° que sus direccianes estén en un mismo plana,y 2.'\ que cada una sea igual y cantraria á la resill,tante de las. O'tra~

dos. PO'r consiguiente, si una fuerza F (fig. 13, actua en das hdas O'cardanes AC, BC, fijas en sus extremas A, B, el plano .de' la :figuraserá el que pasa par A y B, Y cantenga la recta CF, y las tensianes de

cada hila, que san las resistenciasque apone el sistema á que 'el equi~libría se altere, deben ser respectivamente las campanentes Ca, Cb, de

la fuerza representada .por la magnitud CF. De aquí se deduce, pri--mera, qúe can las magnitudes y direccianes de CF, Ca y Cb,ó sl1igual aF j se debe c'errar un triángulO',. en que cada lada sea la resul-

tante de las que farman el ángulO' a)Juesta ; y segunda, que un sistema

de'hitas AC{, 'C4Ca, ...C'a B (fig. 14) sametida en sus puntas de unian

á pesas P 4, P a, .. .P' a Y fija en' sus das extremas A, B, tamará par

sí misma una figura cantenida en el plana vertical que pase por A y Bf

Y que cada pesa debe ser igual á la resultante de las tensianes. de lasdos cardones adyacentes, cerrandO'con ellas un triángulO'. '

Comael equilibriode un sistema de farma .variable nO' se altera

porque se fije una parte de él, un lada cualquiera del polígano funicular,

no cambiará de tension ni de pasicion parque se supongan fijas toda5ó pattede las-restantes. Si hacemos esta supasiÓan respecto de toda~las ladas del polígana, menos 10'&dos ACMC'aB, eneontraremaB que 12resultante de sus tensianes debe ser igual y cantraria á la de todas lOEpeSDscamprendídog desde C4hasta C'3: esta resultante, por consiguiente,debe pasar poda interseccianC de las das ladas pralangadas, y Slmagnitud CR será la resultante de sus tensianeg respectivas Ca y Cb

Lo misma que hemas hecha respecta de las lados extremas~, pudiéramo¡

haber repetida respecta de atras das cualesquiera ,y de esta deducimas

que siempre que se. canazca la tensian en magnitud y direccion, de un

lada e delpalígana, la de otra cualquiera ha de ser la resultante de la

dada y de la suma de pesas aplicadas al palígana entre los das ladasque se 'Cansideran. Par esta, la campanente de la tensian de tados lasladas del palígona paralelamente á una de ellos es igual á la tensian deeste; siendo la atra companente vertical, é igual á la suma de las pesasintermedias.' '

Supandremas siempre que hay un lada harizantal en el palígana,,;

cama C1 C', y sutensian ,que es la mínima, será la que tamemaspor

punto de comparacianpara las demas. Así, una vez conacida ésta, la

de cada lada es la resultante de las pesas que actúan desde él hasta elpunta más baja, y de la tensian de Cl C'j par la que se ve tambienque la componenteharizantal de latensian es constante é igual á 'la dellada el C', y se llama tension horizontal. RepresentandO' par Q estalensian horizantal, par T la de un lada cualquiera AC4, par P la sumade tadas las pesas P4, Pa, P2, P1, camprendidas desde este lada hastael harizontal; y par fL el ángulO'que farma can esta la direccian de AC4,tendremoslas BcuaciO'nessiguientes entre estas cantidades:

.

T'=P2+Q2 T=~ P=T seno fL . P=Q tango fLcOS. fL

(1)

CuandO'se c.anazca la repartician de las pesas en 1as vértices delpalígana se canacerápar estasecuaciO'nes su figura. Si en tada Ó.parte

del palígana hay pesas rftpartidas segun una ley de cantinuidad, el po-lígana Ó.parte de él se ~anvertirá en una curva. De todas madas,siempre se verificará que si se representa la tensian de un lada par sulangitud, sus prayecciones harizantal y vertical representarán respecti-

vamente la tensian harizontal y la suma de pesas que actúan sabreél.CuandO'la fuerza F (fig. 13) nO'esté unida fijamente al punta C,

sinO'que par media de un anilla actúe en un hila cantinua ACB, nohabrá equilibriO'miéntras la direccian CF nO'divida en das partes igua-les el ángulO'ACB j parque el punta C tiende á describir un arco de

XII

elipse cuyos focos son A y B, Y la fuerza F tiene que ser normal á la

curva para quedar destruida, lo que exige que sean iguales los ángulosde los dos rádios vectores AC y CB con la recta CF. En este caso soniguales las tensiones Cq, Cb.

Si se extiende un hilo sobre una superficie, la presion que ejerce

es normal en todos sus puntos á su direccion, y la tension debe serconstante por esto en toda la longitud. La presion varia de un punto áotro en razon inversa del rádio de curvatura, y para demostrarlo, re-presentemos por AC, BC, (fig. 15) los dos elementos consecutivos dela curva que afecte el hilo, y por ACBF el círculo osculador en elpunto C: las tensiones, por ser iguales, pueden tambien estar repre-sentadas por las longitudes AC, BC,y la presion en este punto, que esla resultante CE de estas dos tensiones, es el do~le de la proyeccionCD de una de ellas sobre la normal CF. En el círculo CBF se verificaque

CAPÍTULO 1.

De los cables ó cadenas.

ARTÍCULO I.

CD=CB2CF

Cadenas sometidas á su propio peso.

T .('

1 . Si un hilo ó cadena AB (fig. 16) de espesor uniforme, sesuspend~ por sus extremidades de dos puntos A, B, que estén enuna hOflz~ntal, tomará una forma curva AOB, simétrica respectode la vertical ay equidistante de A y Bj pues siendo el mismo P á

u~ lado q~e á otro de esta línea y Q constante, p. debe ser tam-bl~n el mIsmo. Tomemos por origen de coordenadas el punto másbaJo O, Y pO,r ejes la horizontal y la vertical que por él pasen; sillamamos x e y !áS coordenadas de un punto m, s el arc() Qm y pe~ peso de la I1nIdad de longitud de cadena, la última de las eCl,Ia-CIones (1) .da

y como CE es la presion en la longitud CB, la correspondienteá launidad de longitud, será

CE , 2CD 2CBCB o CB = CF '

y siendo CB=T, CF=2p, resulta que la presion proporcional es

-,p d.y-

psd.x- Q

suponiendo que no haya rozamiento de la superficie con el hilo.

ecuacion de la tangente á la cadenaria, que es horizontal en elpunto O.

L - l'ps .a re a910DQ

es una fracclOnen todas las aplicaciones á

proyectos de puentes colgados, porque en el caso más desfavora-

U

ble, que es cuando s=AO, la condicion de equilibrio del pesode este arco y de la tension horizontal al rededor del punto A da

lIS

ps OCQ=DA'

, -1+V1+(PSY11=s -

QpsQ

siendo DD' la vertical del cen~ro de gravedad de dicho arco. Comola luz AB es más de diez veces la. flecha OC, y la distancia D,A escasi igual á la mitad de AC (pues en nuestro proyecto no difieren

,) 1 l

. OCambas más que en 4.0 centlmetros ., , a re aClon

DAes menor

de O,~y no llega á 0,3 con frecuencia.2. La abscisa y la ordenada se obtienen en funcion del arco

por las fórmulas

.a. Estasecuaciones contienen la tension horizontal, qUe es

desconocida: para eliminada; basta deducir de la segunda .el

valor de ~. que es '.

ps 2JL ,,2Q s' sto y2'

(2)

11- /11

y sustituido en la primera, que se trasforma en esta otra:

~; =[1 +(~y] x~s [1 ~%,3 ( ;y-%~ ( ;Y~%.i( :y ]; (3)

psdy_ps dx- Q .ds -O . ds -

V4(Póy'

de )a que se deduce, invirtiendo ]a serie:

(JL)2=~ (1-~ )'~~ ( -

x )2

.3.3

( X )3{

S 2 s. ¡P5 18 -2.35.27 1- 8 oo.()

de la pnmerase deduce, desarrollando é integrando,

[ 1 (PS )2. 3 (PS )'" 5 (PS )6

]x=s 1-2.3 Q +8.5 O -16.7 Q+oo.

4. Cuando' se quiera. saber la flechaf quEJtomará una cadena

de longitud 2L conocida, suspendida entre dos puntos cuya dis-t:mcia horizontal es 2H, los tres términos primeros de la ecua~cion(3) darán

série cuyos términos son rápidamente convergentes en las aplica-

ciones de es.ta teoría, porque el valor de ~ es mucho. menor que

la unidad.La segunda ecuacion se integra directamente determinando la

constan te por la condicion de que en el orígen: sean y=o y s 0.,y~~ .

f tV~5+V05-30{- (5)

2

que es la fÓi'mula que generalmente se emplea; pero el uso de laserie' (4) permite aproximar con más comodidad y exactitud.

16

5. La tension hbrizbhta1 se determina por medio de la ecua-cion (2). La tetision en cualquier' otro punto se halla por ,la fór-mula

T==Jp2 S2+Q2

17

gulo mpt formado por el peso, la tension y su componente hori-zontal, es el lado mp proporcional siempre á la abs'cisa mp', porconsiguiente la subnormal t'p' lo será á la tension'horizontal tp,ycomo esta es constante ,tambien lo será la subnormal, propiedadque caracteriza á la parábola. De esta consideracion, lo mismoque de la ecuacian (6) deducimos la de la curvadeducida de la primera (1).

6. Estas fórmulas no se aplican más que á la Cblocacion delcable en obra y al establecimiento de la pasadera 6 bamba d~'servicio, en cuyo ca50 es suficiente atribuirle una tension uni-,forme igual á Q, poniendo por p el peso de la unidad de longituddel cable y de la parte de tablero que sostiene.

px9.y=- 2Q

(7)

AllTICULO n.

en la cual se determina Q cuando se conoce el valor de las varia-bles para un punto, ó una condicion cualquiera á que la curV¡}haya de satisfacef. " "

8. En la práctica del establecimiento de los puentes colgadoses preciso no solo conocer, sino tambien saber calcular con faci-lidad los diferentes elemenlosde que se compone la construccion.Por esta ra.zon vamos á ocupamos detalladamente de la manerade hallar los más importantes. Estos son: 1.° las ordenadas, quemarcan las dimensiones de las péndolas: ~.o'la longitud de lacurva, que da la del cable y sus partes: 3.° la tension: y 4.° laseccion del cable. '

9. Las ordenadas se obtienen por la ecuacion (7) para unpunto cualquiera, pero como las péndolas se colocan á distanciasiguales entre sí, conviene calcularlas solo para estos puntos de-terminados. Suponiendo que sea h la separacion de dos inmedia-tas, y que no haya ninguna en el punto más bajo' de la curva, lapéndola que ocupa el lugar n, á contar desde el medio, tendrápor abscisa

Cadenas sometidas á itn peso r/!'pa1'tidounifo'i'memente sobre sitproyeccion horizontal.

7. En muchas ocasiones podremos admitir que la figllra quetome la cadena sea la correspondiente á una cárga repartida uni.....formemente segun la horizontal, porque el peso del tablero es laparte mayor del total del puente, y por estar las cadenas muytendidas, el de éstas y las péndolas por metro de proyeccion di'"fiere poco entre los distintos puntos de la luz. Para que se formejuicio acerca de esta 8Uposibion, indicaremos que en el proyectotipo la diferencia de pego ehtre el metro delceiltro y los de 105extremos es de unos 94 kilÓgram05, lo que equivalé á tInadesigualdad máxima' de 0,05 respecto del peso medio total per-manente de la obra. En este caso, la última ecuacion (1) da, de-signando ahora por p el peso repartido 'en la unidad de longitudhorizontal

dy - pxdx- Q

(6) xn= ~+(n-1)h=h(n-%)

tomando por ejes horizontal y vertical los que pasan por el puntomás bajo Ü (fig. 17), medio de la longitud AOB. Desde IWJs05~ 'conoce que esta curvá debe ser 1maparábola, porque en el tfián~

y su longitud berá

ph2Yn= 8Q (2n-1 )9. (8)

3

NÚ)IERO ORDENADADIFERENCIA SEGUNDA. DIFERENCIA PRIMERA.

CORRESPONDIENTE. '.DE LA PÉNDOLA.

1 A OA

"'"8

2 A A 9~8

3 A 2A 25~8

4 A 3A 49~8

5 A .. 4A 81~8

A (n-1)A. An (2n-1)\!-. 8

h2 .

L:.2yn=PQ (~n)2

19

Y de este modo el cálculo de todas las péndolas se reduce á sim-ples sumas.

11. El valor de Q se determina ordinariamente por la condi-cion de que la cadenaíenga una flecha y una abertura dadas:llamando f á esta flecha y H á la mitad de la abertura,

18

10. Aunque esta fórmula se presta con comodidad al cálculo,puede éste simplificarse, observando que la diferencia segundade Ynes

y si se hace crecer á n por unidades, esta diferencia serápH2

Q=~f'

( 10)

ph2.Q

(9 ) la ecuacion (') de la parábola se reduce á

que es constante é igual al doble del coeficiente de xl! en la ecua-cion (8) de la curva. Esto nos conducirá á efectuar el cálculo de,

las péndolas partiendo de los valores de 'y 1 Y P~2

,al que desig-

namos por A, en la forma siguiente:

JL- X2

f -H2(11)

yel valor de la diferencia constante (9) es

A-Q f-,..{N-%)2

representando por N el número de órden que corresponderia áuna péndola que estuviera en el punto de suspension del cable,en donde la abscisa es

.

xa=h(N-%)=H.

Si hubiera una péndola en. el punto más bajo ó vértice de lacurva, no habria más que reemplazar N por N+ 1/2' quedandotodo lo demas lo mismo.(12. Á la longitud Ynde cada péndola ha de añadirse la dis-tancia desde la horizontal Ox (fig. 18) al tablero. Segun más ade-lante se verá, la forma de éste es tambien parabólica ; de modoque la longitud de cada péndola se compone de tres partes: unaque es la ordenada de la curva del cable, otra la de la del tablero,y otra la distancia constante entre las tangentes horizontales áambas curvas. Siendo f' la flecha del tablero, la parte que á éstecorresponde se calculará por la diferencia segunda

20 2l

, 'r .A=2 (N-%Y.!

. 1f3(f+f'+e) (N-2)+e. (13)

efectuando las opéracionÚ (1°) coÍlla suma A+A' en lugar de A;tendremos de una vez las dos partes variables de la péndola, ysumando á la primera ordenada la distancia constante e entre losvértices O, O' de las dos curvas I saldrá de una vez la longitudto tal. ,

13. Puede ser útil averiglÍar la súma S de lás longitudes détodas las péndolas desde el orígen hasta la que ocupe el lugar N.

La expresion de la ordenada puede ponerse bajo la forma

14. La seccion de cada péndola se determinará por la mayorcarga que pueda actuar en un mismo momento, en el espacio h,atendiendo á la 'composicion y enlace de las piezas del tablero, yá la distribucion de las cargas accidentales y de prueba. Si es P'este peso y R 'la mayor tensiori "que se quiera hacer "soportar almaterial, la seccion será '

P~=- R

(H)

(2n-1)2Yn=YN(2N_1)2

15. Lá longitud de la curva desde' el orígen hasta mí "puntocualquiera, será

y haciendo la suma desde O hasta N, se obtendrá

S YN (2N-1) 2N (2N +1)

" '

(2N:-1)2 '1 . 2 . 3 %YN(N+1 + 2N1

1)

8 J:dX[1+( p~ y]%

ó

Cuando la suma se extiende á todas las péndolas de la mitad

del puente, se puede poner fpor YN,y como la fraccion2N~1

se puede despreciar por ser tan pequeña, que en el proyecto deejemplo vale 1/13529de la parte principal N + 1,resulta la éxpresionaproximada

'

[ 1 (px )2 1

(px )~ 1

(px )6

]8=X 1+ 2.3 Q -TI Q + 16.7 Q -oo.

y poniendo por Q su valor en. H Y f,

S=%f(N+1),

(12)[ (2fX)

2

(2fX)~

(2fX )6

]8=X, 1+% H2 -%0 H2. +1f112H2 ... (15)

. Para la parte correspondiente á la curvatura del tablero, ten-dremos

.y desde O hasta el punto extremo B,

S'.

%f'(N+1) [ f2 f~ f6

]L=H 1+% H2 -% H~ +% H6 ."(16)

y por consiguiente, la suma total de las longitudes de las péndo-las correspondientesá la Ínitad"'de la abertm'a;será, te'niendo encuenta que no hay péndola en el apoyo,

. La aproximacion será sUficiente casi siemp'ré tOmando los dosprimeros términos.

2~

~6. La ecuacion (15) puede recibir otra forma que será útilmás adelante. Efectuando la multiplicacion por x, se puede es-cribir

2:1

2{2H2 J> %tang.2(.(

(18)

cantidad que nunca llega á 0,08.~8. La secciO'lidel cable debe calcularse por la fórmula (U)

en la que es R la mayor tension que se puede hacer soportar conseguridad á las barras ó alambres que lo forman. Siendo la ten-sion t variable para cada punto, la seccion trasversal que así re-sultase variaria tambien, disminuyendo desde los extremos alvértice; pero lo pequeño de esta variacion en los puentes ordi-narios, hace que siempre se adopte una .seccion capaz de. resistiren toda la longitud del cable á una tension uniforme é igual á lamayor T.En lugar de p se deberá poner el peso correspondienteal tablero, carga de prueba y péndolas en la unidad de longitud,pero como el peso del cable produce tambien un aumento en latension, será preciso suponer el peso hallado para él repartido enla proyeccion horizontal, y añadiéndolo á p hacer una nueva sus-titucion que dará otro valor de la seccion más aproximado.

~9. Estas operaciones pueden excusarse introduciendo comoincógnita en el valor de p la seccion desconocida e.>. Si es 'Ir el pesode la unidad de volúmen de la materia de que se ha de construirel cable, el peso de la mitad de la longitud será L e.>'Ir, Ysi p de-signa el peso de la unidad de la longitud del tablero, aumentadode la parte corre~pondienteá las péndolas, que se tomará porun término medio deducido de las fórmulas (13) y (ti) el peso queobra en el punto más a1to de la curva es

H2

[(2fX) ~ (2{X)

3.. ~ (2fX )

5.

]s=2f . Ir + 2.3H2 -,- ~.[) H2 ...

y observando que el ángulo [L ge la tangente en un punto m conla horizontal es

.

2fXtango [L=1I2

'

se tiene, llamando (.(al valor de [Len el punto B de suspension,

-H [

, ~ 3 - ~ 5 ] (17 )s- tango [L+ G) 3tango [L

8 [) tango [L...tango (.( .......

n. La tension se obtiene por la segunda fórmula (1) que da

t=Qdsdx

ó

_pH2- /

.

(2fX)2 .

t- 2{ V ~+ H2

y haciendo x==H obtendremos la tension máxima, que se verificaen el punto más alto,

P pH+L,,)71'

Y como por las fórmulas (1)

_pH2- / (X .. )2

T- 2{ V ~+ H T ,pH+Lc.>7!'seno (.(

Siendo Q la tension mínima, el valor de t oscila entre dos 'lf~mites, cuya diferencia es próximamente

resulta por fin

Re.>pH+Lc.>1t

seno (>;

ypH

",= R senoel.-L..(19)

25

mando en cada division la distancia h, por ejemplo en la (9)!l,ypor la perpendicular hl6, tendremos la longitud lo l6=Yo Y6'

21. La longitud constante que se ha de añadir á cada péndolase obtiene trazando á una distancia O O' unaparale]a á la O(H)iy la parte correspondiente á la curvatura del tablero por unarecta O' f' análoga á la anterior y en sentido inverso. Así s~ tie-nen en una misma línea las tres partes, y por consiguiente el totalde lá longitud de cada péndola.'

22. Hasta ahora se ha supuesto que ]a curva es simétrica:cuando los puntos de apoyo no estén á una misma altura, bastaráconocer su vértice para considerarla dividida en este punto endos partes de abertura y flecha distintas cada una. Este problemase resuelve con mucha facilidad sabiendo de antemano la natura-]eza de la curva. Lo más frecuente es que conociendo los puntosde suspension A, B, (fig. 21) se tenga la horizontal tangente ab, yentónces la media proporcional OC=aC'=ac entre Aa yaB'...: Bbnos da la posicion del vértice O. Siendo f1 y f2]as flechas cono-cidas Aay Bb , Y H la abertura ab, las semiaberturas Oa y Obsonrespectivamente

24

20. Cuando se c~lcula un proyecto, estas fórmulaf'¡ darán todoslosel~mentos nece;¡arios para.redactarlo ; pero al pasar á la.j3je-cucion,es indispensable reducirlas á trazados fáciles aplicables ála montea de ]a obra. .

Siendo OPN (fig. 19) una longitud que represente el pesoque actúa en toda la semi abertura de la cadena, si desdeelpu!l~oPN trazamos una recta que haga con la horizontal un ángulq el.

cu ya tano-ente es2f la distancia OQ será la componenteQ : sib H ' .

tomamos ahora Qh=h Y levantamos una perpendicular, tomalIlos

tambien sobre la recta OPN distancias OP1. ph, OP2=2ph .~unimos los pljntQs Pl'

P2'

etc. con el Q, las rectas 9°, QPl' QP2:.

QP3 QPN, representarán las tensiones de los lados del polígqno,la mavor de las cuales será QPN; la longitud de cada lado será,Qh,Ql1' Ql~ QlN' y la diferencia primera de las ordenada~ lasrectas hl1, hl2, hl3 hlN' Con estos datos podremos constrUIr elpolígono Ol1 l2 ln (fig. 20), porque se conocen ]a magnitud ydireccion de cada lado. Pero este procedimiento, fundado en lapropiedad que tienen las fuerzas en equilibrio de cerrar triángu-los, y qne mencionamos por ser aplicable á todos los casos dedistribucion de carga que se pueden presentar, no es bastante .ex-pedito para el presente, en el que hemos de marcar desde luego,no los inCrementos, sino las ordenadas mismas. Para obtenerlas,1bservaremos en la fórmula (8) y en el cuadro del núin. 10, que

valores de y crecen como los cuadrados de los números impa-por lo que si sobre una horizontal (fig. 21) se toman distan-'(1)i, 0(3)i, 0(5)2, 0(7)2, etc., y sobre la últimaO(H)i,se

una perpendicular igual á la flecha f, la recta °f cortará

..., ordenadas levantadas po,"los puntos de division segun las¡tudes pedidas de las péndolas. Si además se quiere trazar la

se refiere cada ordenada á los puntos 1, 2, 3 6áque.,'esponde en la figura del puente, resultando los Y1' Y2'Y3""'Y6'

La lon'gitud de cada lado ó arco de la curva puede obtenerse to-

H1=Hylft"

Ifl + v¡;

Hylr;y

,H2=Vf1 +Vf2 '

23. Por fin, en el caso frecuente de que el punto de apoyo A(fig. 23) esté algo distante de la primera péndola aa', toda la partede cable comprendida Aa queda de figura rectilínea y la semiluzy la flecha se encuentran disminuidas en las cantidades Ab, ab.Como esto puede inducir á error cuando sea la distancia Ab con-siderable, es preciso conocer á qué quedan reducidos los elemen-tos del trazado y del cálculo de ]a curva. Sea a el espacio cono-cido Ab ; H I f, las distancias dadas AC, ~O ; la semi luz verdaderaac será

H'=H~ay siendo

2f'aab=a tangoel..T'

4

26

f '- f -2a

f '. -.H'

, eS f'=f H-a .H+a

27

desde Ó hasta m. Llamando '7!'al peso específico del hierro, (,)'á laseccion constante de todas las péndolas, y 8 á la suma de sus lon-gitudes hasta m, el peso que se busca es (13)y (1"').

Por la ecuMionde la parábola de flecha (, la longitud de laordenada .a'asería p'h y+y' ( ~ )'7!'(,)S=71'X ~X ---:r- n+~ + 2n-,-~

(H-a)\!(

a2

)Y=f--n~=r. ~- -H2'en la cual son p' el peso total por metro que se adopta para elcálculo de las péndolas, y é y' las ordenadas en el punto m delcable y del tablero, y n el número de órden que ocupa la péndolaenm.

Poniendo por n, y é y' sus valores en x (9), resulta

en lugar de ser f', lo cual hace ver la influencia desfavorable queeste error ejerce en la determinacion de la longitud de las péndo-las, que puede llegar fácilmente á valer algunos milímetros.

ARTÍCULO IlI.'7!'(,)8='7!' X

p' (f+f')x (X2+31 xh+l1 h2 ) '.'3RH2 /2 /2'

De la curva real de equilt'brio de las cadenas de un puente colgado.expresion que podriamos desde luego introducir en nuestras ecua-ciones ; pero para simplificarlas sin dafiar á la exactitud, dandolesal mismo tiempo más generalidad, prescindiremos de la reparti-cion especial de las péndolas, suponiéndolas continuas en todo elpuente, lo que equivale á hacer á h infinitamente pequeño, encuyo' caso la fórmula se reduce á

24. Aunque la curva qu-e afectan los cables se aproxima muéhoá la parábola, y aún se confunde sensiblemente con ella en lospuentes de pequeña luz, cuando ésta aumente puede separar~ebastante de esa forma y ofrecer diferencias que debemos estudiar,para conocer cuáles son apreciables y deben tenerse en cuenta.,

,La resolucion directa del problema sería sumamente difícil,pero sabiendo que la curva ha de diferir muy poco de la pará-bola, supondremos que los pesos del cable y de las péndolas sonlos correspondientes á uncable parabólico de igual flecha y aber:"tura , en lo. que se cometlf un error despreciable, y entónces ve-'remos qué variaciones notables ofrece respecto de esta última lacurva real de equilibrio. .

~5.' El peso P correspondiente á un punto cualquiera m (figu-ra 18) se compone de tres part~s. La principal y preponderante esel peso px que obra proporcionalmente á la abscisa, y en el queestán coroprendidos el peso del tablero, el de la. carga y el de laparte de péndolas que está entre las horizontales Ox, O'x'. .

La segunda es el peso de la pal'te variable de las péndolas

8 1/. p' (f+f') X3

'7!'(,) = 3'7!'R H2

'"La expresion

11 p' ({+f') Hla'7!' R

representa el peso de todas las péndolas de medio puente: desig-nándolo por 'r, se tiene para el peso de la parte variable de las pén.dolas 'desde O hasta m '

ax'r H3 '

que es la forma en que acostumbra á presentarse.. «

28

, 'La última parte es el peso del arco Om, que considerado como

parabólico y llamando a al peso de la unidad de longitud, será (15)

29

L=H[1 +%~(1 +% ;:)](22)

aX(1 +%(~r) despreciando los cuadrados de la fraccion J!.:A respecto de .la uni-o

". P1'

dad; porque esta fraccion valdria con nuestros datos 0,015, y,nunca puede pasar de 0,03.

27. La importancia práctica de estas fórmulas se deduce desu comparacion con las que se hubieran establecido suponiendola curva parabólica, que son

.26. Sabiendoel valor de P, la ecuacionde la curva se deduce

de la diferencial

dy 1 [ ( af2 ) X3 ]dx , Q (p+a)x+ 1'+%T H3

. i/a f2Hp+ a =P1, l' + 13 -¡¡- P2

dy' (Pl+P2)Xdx =

Q", (Pl +P2)X2y=

, 2Q'.Q'-

(P1+P2)H2- 2f

L'=H (1+%~:).

Llamando P1H al peso del tablero con sus cargas, aumentadodel de una longitud de cable igual á la suya, y P2H al peso totalde la parte variable de las péndolas, con el del cable que sobradel término anterior, resulta

y la ecuacion diferencial se escribe más sencillamente así:

..

dy 1. [ x3 ]dx =0 PIX+P2 H2

Empezando por la última, observaremos que es inútil apreciarla fórmula (22), porque la dif~rencia sobre su análoga es

que da para la ordenada

f ~

L-L/=%H .1j/2P1

,1 [ Xi ]y= 2Q PIX2+P2 2H2 '

(20 )

cantidad tan pequeña que en nuestro ejemplo no vale 5 milí-metros.

'

para la tension horizontalTampoco la fórmula (21)es por sí digna de atencion, porque

la diferencia de empujes es

H2Q=

2f [Pl +%Pi]' (21)H3

Q-Q'=-%P22f '

y para la longitud de medio cable que disminuye solo en .siete milésimas el valor de Q y,la seccion

ao

d~.cal:Jle.Mucho.más pequeña es la influencia que tiene esta fór:-

mula' en el' valor de1~ co:mpar~do con su análogo; petó no su-

cede lo mismo con la fórmula (2°), expresion más aproximada dela ordenada, que puede diferir en algunos centímetros de la pa.,..rabólica, y en la cual es indispensable aprecia! con entera exac-titud el valor de Q. '. .

28. Se acostumbra en los proyectos á calcular lás péndolas'corrigiendo las ordenadas de la curva parabólica por medio delas diferencias de suecuacion con la (2°) ; pero es más expeditodiscutir directamente esta misma ecuacion. Si hacemos

.

al

guarden las relaciones p!;) entre sí , y que' seránresp{JctiV'áméI1tela t¡ y12 deJas últimasecuaciones. Haciendo como,ántes (9)

x=(n~+)h,

las ecu~ciones (23) se presentan en esta forma

y'= 4~2 (2n-1)2 ,,~JL (Q _~ )4Y - 16H4 ~ n '1 ,

y'~.EL X22Q

, "P2 X4.y = 2Q

. 2H2 '

Tomando luego sobre una recta oM (fig~ 25) distancias proporcio::'"nales á los cuadrados de los números impares, y la distancia f' enla 41tima division .desde B hasta A', la recta OA' da las ordenadasy¡', Y2', Y3', etc. de la primera curva (20). Llevando á continua~ionA'A={", y trazando una parábola de segundo grapoOCA, cuyosdiámetros conjugadol'! sean OA y OD, Úmdternos del iDisIDomodolas ordenadas y¡", Y2", Y3", etc. de la segunda curva, contadasdesde OA', y las longi,tudes de lás péndolas serán

la ecuacion (2°) se reduce á

y-y' +Y" ;

y llamando t¡ y f2 á los valores de y' é y" para x=H, resulta

, X2y .

f¡ H2 '"

X4Y =t2 M4 (23)

Yt< (1)2y¡'+V¡'Y¡"= (1)!ly¡"

y" = (3)2 Y2'+ Y2' Y2"= (3)2 Y2",Y3

. (5)2 Y3'+ Y3' Y3"--.:. (5)2Y3"

ecuaciones de dos parábolas<, una de segundo grado y otra decuarto, de la misma amplitud H y con las flechas t¡ y t2 respecti-vamente. Los valores de estas flechas se deducen de las relaciones

Y6(H)2 Y6'+Y6' y{=(H)2 Y{,

f=f¡+f2 , f2 - P2r; - 2p¡ , (24)

Trasladando los,puntos Y¡"'Y2"""" á las péndolas correspondientes,se podrá trazar la curva real de equilibrio Oy¡ Y2Y3, A (Hg.24.)

30. La construccion de la parábola OCA se hace sin dificultadporque se conocen la tangente OA' en O, Y la íangente en A, quese obtiene uniendo este punto con el E, medio de OA'. La peque-ñez de la máxima ordenáda de esta, curva, que en nuestro ejem~plo no ]Jega á 12, centímetros, hace suficiente que se conozCancuatro ó cinco puntos de ella, los que se pueden obtener, bienpor medio de las intersecciones de las rectas que desde O y A sedirijaná puntos de igual division en las tangentes, bien constru-yendo polígonoscircunscritos de doble número de lados.

yel cálculo de la primera ecuacion (23)se efectuaconforme se'hadIcho (10), quedando como correccion de ésta la segunda de di-chas ecuaciones.

29. La utilidad de las construcciones gráficas resalta más enesta curva, cuya ecuacion es más compleja. Para aplicarlas seempezará por dividir la flecha BA (fig. ~4) en dos partes que

32

31. Siendo OA la transformada de una parábola 'de igual flechay luz que la curva real, cuya tr~nsformada es OCA, podemos com-parar en ellas las propiedades de las curvas primitivas. Como OAes cuerda de la parábola OCA, la mayor desviacion entre ambaslíneas en sentido paralelo al diámetro OD tendria lugar en el me-dio F de la cuerda, donde la distancia FC es la mitad de FE, 6sea la cuarta parte de AA'. La ordenada del punto F es %BA, por

consiguiente la curva de la figura '2'&'tiene su mayor separacion

de la parábola en el punto de ésta en que

y=1j~f óseaH

x=- ¡¡

y esa desviacion' máxima es

Ll= 1J..f2'

32. Además de ser más sensibles las diferencias de longitudde las péndolas, que las de losdemas elementos, es más impor.....tan te el exacto arreglo de su dimension ántes de. colocal'las enobra, porque las deformaciones que resulten de una' falta .'de

esta clase en el tablero, no se corrigen sino corriendo más óménos las tuercas del estribo que abraza la vigueta, y como éstasno están tan libres que el movimiento de una no tenga influenciaen la inmediata, es imposible que al hacerse las correcciones sedejen igualmente tirantes todas las varillas, y de esto resulta unestado violento que no puede aparecer. á la vista hasta que' el ex-ceso de tension rompe ó deforma algunas de ellas con grave peli-grodel puente.

'.

33. De las consideraciones expuestas .en es~e capítulo se de-duce que las ecuaeiones delacadenaria solo servirán para cal-<:mlarla longitud, flecha y dimensiones de las bambas de servicio,y la flecha de fabricacion del cable; las de la parábola .para lalongitud, tension y grueso de los cables, y las de la curva real deequilibrio para construir la longitud de las péndolas, á no ser queel puente sea de perrueñasdimensioIÚ~s,encuyo caso serátam-bien sufic1entesuponer que se confunde con la 'pará~ola.

CAPÍTULO II.

De los apoyos.

3'&'. Cuando se puede disponer de un macizo, natural ó arti-ficial, capaz de resistir por sí solo á la tension horizontal de loscables de un puente, no es menester más que asegurar la íntimaunion de éstos con aquel para la completa estabilidad de la obra.Pero esto suele suceder raras veces, siendo la disposicion más ge-neral que se sujetená mí pilar 6 apoyo, Mn un fiador que se ín-troduce en el terreno, y éste es el que sirve las más veces de ver-dadero estribo.

35. Sea A (fig. 26) el punto de suspension de un cable cuyatangente es AT, AF el fiador sujeto invaríablemente en el punto Fy AB el apoyo. Sean (; el ángulo que forma AF con la horizontaly 6 el que formaABcon la vertical, F la tensiondel fiadory Glapresionque sufre elapoyoAB. Las fuerzas T, F Y G, que concur-ren en el punto A deberán hacerse mútuamente()quilibrio, paralo cutll es preciso que dada T, que se conoce por el capítulo ante-rior(17), las resistencias del fiador y del apoyo sean

F=Tcos. ()( + 6), coso (ti -'- 6)

(25)

G= Tseno ( ()( +tI )COSo (ti '- 6)

(26)

que 'nos indican, al mismo tiempo que la menor resistencia quedeberán tener la cadena ó@ble AF y el apoyo AB,las reacciones

. .5

34

que sufrirán los puntos F, B del terreno; de este modo se arregla-rán las dimensiones de una y otra pieza.

Las fórmulas y la figura nos indican que cuanto mayor sea ()

ó e más pequeño"

tanto mayor será la tension del fiador y lapre-sion del apoyo, llegando á ser infinitas cuando sus dos direccionesse confundan. Lo contI'ario sucede si

() disminuye ó e aumenta.

36. Las longitudes de AF y AB dependen de la magnitud delos ángulos (5y e, y como su seccion trasversal depende de los

mismos ángulos, pero de diferente modo, puede ser convenientesaber cuál será la direccion en que su volúmen sea mi ¡p.ínimo, ypor consiguiente más económico su establecimiento. Dichas longi-tudes son, llamando a á la altura de A sobre la horizontal FB

35

F=T:

como la resultante de estas dos fuerzas iguales será bisectriz delángulo FAT, si el apoyo está articulado en el punto B po podrá.e.star en equili.b~io ~i no son ,iguales los ángulos FAB, BAT,

Ysiendo esta POSICI?nlllestable a causa de la movilidad de la obraes inadmisible un apoyo articulado sin que' el fiador esté su-':jeto á él.

38. Es, pues, nece~ario en tal caso un apoyo fijo ABDC (figu-ra 27) que suele termmarse por una curva AC tangente en sus~xtremos á AT Y FC. La resultante EG formará siempre ángulosIguales con las componentes, y su valor será

aAF= seno (5

, aAB=-, cosoe ("+(5 )G==2Tsen. ~

y como el área de la seccion trasversal depende de los. valores deF y G, el volúmen será proporcional respectivamente á las ex-presiones

.

y sus componentes, horizontal y vertical ,

T (cos. "-coS. (»), T (sen. ,,+sen. f»).

1seno()coso(g-e)

, 1cosoecos. (g-e)

,. Si el eje del apoyo tiene la direccion de la resultante EG, bas-

tará que pueda re~istir á esa presion ; pero por lo que acabamos

d.e decir, este caso no se presenta en la práctica, porque la direc-ClOnde la resultante varía continuamente á. causa de la movilidadde la construccion que aumentaó disminuye el ángulo TÁD (figu-

r~ 26), por lo cual siempre que sea independiente la cadena con-tinua FCAM (fig. 27) del apoyo, éste debe poder resistir á unaaccion oblicua á su eje, cuya direccion é intensidad dependen delas de las tensiones de CF y AT. .

.39. Cons~deremos ahora el rozamiento que hay en la exten-

slOn;\.C al tIempo de moverse lGlcadena hácia M con el fin deequilibrar la tension en sus dos ramas. El efecto del rozami'entoserá disminuir la tension" dePF, que resultará menor que T: siel movimiento tuviera lugar en sentido contrario, por efecto deuna cOIltraccion del fiador ú otra causa cualquiera, la tension F seencontraria aumentada en la misma proporcion en' que ántes es-.

que serán un mínimo cuando AF divida en. dos partes iguales elángulo CABó AB divida del mismo modo el ángulo DAF. Petoeste re~ultado no tiene uso práctico, porque otras consideraciones,como la fácil construccion del apoyo y el amarrado. del fiado'robligan á disminuir los ángulos considerablemente.

37. Para que todas estas relaciones sean ciertas, es precisoque el fiador esté unido al apoyo independientemente de laca-dena '; pero puede suceder que no se verifique así, sino qué elfiador sea la prolongacion de ésta, simplemente apoyadá en elpunto A. Entónces, no considerando el rozamiento que puede des:.arrollar la parte de cadena que esta en contacto con el apoyocuando tienda á ejecutar un .movimiento cualquiera ,es evidenteque la tension T se<trasmitirá íntegraal fiador y se tendrá

36

taba disminuida. En ambos casos la intensidad y direccion de laresultante varian. Para--apreCi;.lT'estos efectos, observaremos quecuando un hilo flexible se apoya en Una superficie curva, su ten-sion en cada punto guarda con la presion que el mismo ejerce laproporl?ion delrádio de curvatura del hilo con la unjdad: lla-mando t'ála tension variable de los elementos de la curva AC,sá la longitud del arco contada desde A, fal radio de curvatura,y r á la relacion del rozamiento á lapresion para las materias que

, componen el cable y el apoyo, la presion por unidad de longituden un punto cualquiera habrá"de ser!p~r lo que acabamos de decir,

37

1.~ = - rJj~ ~ .

S. d d.s 1á 1 d d

'1 .

' f 'S d.s

, len o - e ngu o' e os norma es consecutivas" '-p, ,

o pes el que forman las dos normales extremas CH y AH: llamando 7á ese ángulo CRA, se obtiene

Fl.T=-rl'

t-,p

y-q

F=Te (117)

en la extension del elemento ds será

tdsp

siendo e la base de los logaritmos neperianos.La tension F es menor y la magnitud de la resultante G será

tambien más pequeña, pero aumentará su oblicuidad en elán-gulo GEG', siendo GG' la diferencia de tension

y el rozamiento que esta presion ocasionaT (1-e-r'J').

tdsr- ,p Si el apoyo es vertical, la presion disminuye, pero el empuje ho-rizontal aumenta, lo que hace preciso aumentar el ancho de su baseDB. Las componentes horizontal y vertical de G son ahorapor consiguiente, la tension que queda á la cadena en el --punto

que se considera, estará disminuida de la cantidad

dsdt=-rt- p

-r"tT (cos. Q.:-e coso fS),

-r"j .T (sen.c<+e seno fS) (28 )

y la ten~ion efectiva se deducirá integrando ésta expresion .deSde"O á s, de lo que resulta

.. .

40. Por el mismo método se demuestra que si el movimientode la cadena tiende á hacerse de A hácia C, el fiador sufre unatEmsion

r1F=Te (29)

l,~--r j'jS ds ,

T ,o p que es la fórmula por la que se habria de calcular el grueso deeste cable: la carga del apoyo aumenta disminuyendo su empujehorizontal. "

.

y en el punto C, llamando S al arco AC

.

38

,4,1. Cuando este apoyo es una simple columna de hierro, hade resistir á la presion que ocasi~na la componente de G paralela ásu eje, y á la flexion á que está solicitado' por la otra componenteperpendicular. En el caso en que sea una pila de fábrica, la re-sultan'ie"desupeso y de.la fuerza G debe ,pasar entre lO,s,puntosD y Bd<;Jla base y á cierta distancia de las aristas: Además deesto es precisoque"la presion final que resulte en la base DBquededestruida por la resistencia del cimiento en que seapoyalaobr~.

4,2. Aunque bajo el punto de vista de la ecO,nomíason preferi-bles los apoyos articulados en su punto más bajo, no es posibleque el puente tenga la rigidez ni la seguridad conveniéntes si nose hacen pilas capaces de resistir á un esfuerzo horizontal algoconsiderable que provenga de las tensiones horizontales del fiadory-de la cadena, ó de las cadenas de dos tramos adyacentes cuando,la pila es intermedia. La buena construccion exige que el fiadO,ryel cable sean de una pieza; y aunque el rozamiento aumenteu'ripocoelempujecontra la-pila, es sin embargo' más cO,nvenientedejado subsistir para aumentar la rigidez de 10sarcos, qué di!;":'minuirlo con rodillO,s,sectores, etc., cuya rO,turahaoc~~ionaao áveces la ruina de toda la obra.

4,3. La sujecion del punto F, que hemos s~puesto indefinida,se obtiene por el amarrado del fiador en el interior del terreon,que puede hacerse de dO,smodos principales. Por el primero (figu-ra 28), el fiadO,rAF se introduce en su misma diréccion en el ter-reno hasta cierta profundidad, en donde se termina por una placaMN: en este caso, la tension queda destruida por la componenteparalela á ella del peso' del. volúmen de tierra que tiende á des-prenderse de la masa total, y para calcular la profundidad ~ queha de ponerse la placa, se buscará el sólido' CMNDde mínima re-sistencia del macizo de tierra, de modo que.ésta sea dO,blepor loménos que la tension F. Lo más desfavorable y sencillo'es suponernulo' el rozamiento de las tierras. En .tal caso, el sólido que tiendeá desprenderse tiene la forma de un prisma cuyas aristas son pa-ralelas á la direccion del fiadO,r.Si se hace variar ésta en el puntoF (fig. 29) es preciso además que la resultante de FA YFE quededestruida por la resistencia del terreno á la compresion.

U. La segunda disposicion consiste en asegurar el fiador á la

39. .

fábrica inferior de los cimientO,s (fig. 30). Éneste caso JaJuerzaF y el peso del macizo con su rozamiento, ycO,hesion se han dehacer equilibrio en todas la~ líneas de rotura que se ensayen, yel punto, F debe resistir las presiones que resulten de Jasten-siones de las partes AF y FH.

Los problemas que para el establecimiento de esta fábrica re..sulten pertenecen á la teoría de lO,smacizos, y no daremO,ssO,breellos más pormenores. Muy variadas son las disposiciO,nes que s~O,bservan en el amarrado de lO,s puentes cO,nstruidQs; pero tO,daspueden reducirse á las dos anteriores, teniendo' presente que IO,strO,zos de bóveda que se suelen hacer en el interior del terrenon¿tienen más O,bjeto que aumentar la resistencia á. la compresio])en los puntos en que el cable de amarra muda de direcciO,n.Enel caso en que ésta se confie al macizo de tierra, se ha de ve~ ~ies ~osible que el terreno se inunde por las crecidas del ria,. ppe~en.tO,ncesel pesa de las tierras disminuye y su cO,hesiany raza:"miento, se anulan.

.

CAPÍTULO IIl.

De~erminacion de la Recha provisional del cable. ,

AHTÍCULO I.

Variaciones de flecha dependientes solo del cable.

45. Si entre dos puntos de ni ve] A, B (lig. 31) colocamos un.

cable suspendido y sin carga, la forma que afecte será una cade-naria, cuya flecha CO" estará determinada por la abertura y lalongitud. Si despues colocamos la carga permanente en ese cable,su forma se alterará y tomará la real de equilibrio A O' B quese puede considerarcol)lo una parábola; .este cambio habrá oca-sionado un aumento en la flecha con que el cable se colocó, ypor consiguiente, esta diferencia será menester restarla de la fle-

cha proyectada para obtener la de colocacion. Además, una vezcolocado el tablero, su peso extenderá en cierta longitud la pri-mitiva de los 'elementos de la curva, cambiándola en otra AOB demayor flecha y cuya diferencia junta con la anterior de~erá res-tarse de la flecha del proyecto. "

46. Para hacer estos cálculos es preciso saber ante todo elaumento de longitud que proviene de la elasticidad .del cable yconocer qué alteracion causa en la flecha un aumento pequeño enla longitud. Como la curva de eq~ilibl;io se confunde sensiblementé

con la parábola de igual flecha y luz, deducimos de la fórmula (16)

6

".~.r

42

que dando un incI'emento pequeño Áá L, el cOl'l'espondiente á fes con bastante aproximacion

113

En virtud de la ecuacion (3°) el descenso del vértice de la

curva será

3/ HP=/tT)"

, H2 Q ( f ~

)~/-- .. ./ ..

fE'"1+ /a H~ .

(3°)

llamando b al descenso que ocasiona la unidad de peso por uni-dad de longitud, y poniendo porQ su valor(10) ~nH y f,resultado que 1.10Sindica que una variacion pequeña en la longi-

tud puede ocasionada muy grande en la flecha, como que en elproyecto tipo están en la proporcion de 1 á 5.,

47. Veamos ahora qué alteraciorr producenen'la longitud delcable AOB las tensiones originadas por una carga uniforme. Sillamamos S' al arco de longitud aumentada y s al de la primitiva,la relacion del alargamiento á la longitud primitiva én cada cle-

,ds'1 d b " 1 ' 1 1

,'d 1mentosera-d - , que e era Igua arse a a re aown e a ten-

s '

sio:l. por unidad de seccion trasversal- al coeficiente de' elasticidadde la materia de que se compone el cable. Siendo E este, coefi-cien te, deberá vél'ificarse la ecuacion

H i

( f ~

)=3 -- I ..b /8E"'f~

,,1+ /3 H\J (33)

y el.aumento de flecha producido por una carga p por uniJad de,longItud es

48. El descepso ocasionado por una sobrecarga p' se obtendl'iasustituyendo p' en lugar de p en esta fórmula. Considerando áOJcomo proporcional á Q, estos descensos son aproximadamente

. H2'como la fracclOn T '

de modo que son mayores cuando más

grande es la luz ó 'menor la flecha.49. Calculado el valor de L'-.:...Lpara la curva AOB y restado

de L, se obtiene la- longitud del cable ántes de haberse dilatadosus elementos (*); y la flecha que corresponde á la cadenaria

AO"B, de la misma longitud y abe~tura que la parábola AO'B salede las ecuaciones (t) Ó (5).

p=bp

ds' . t--1=-ds E,,j

y poniendo en vez de t su valor en funcion de x (17) Y reempla~

zanJo d.s por su expresion ordinaria"

,

'

. Q [ (dy')

2

]ds'-da=~ 1+ --~ dxE", dx.

(31)

. .

Pudiendo tomarse la curva AOB como una parábola, será fácilhacel' la integracion, que da con toda exactitud

'- '- ~ [~ + ti, ' (2fX )

2

]s . S - E'"

'1/3 H2

(') La carga de prueba produce un alargallliento del cual, por causa delos asientos de la o,bra, queda permanente una tercera parte, segun los ex-perimelltos de'Vicat y Leblanc. En este ca~o, á la longitud L'-L es precisoañadir

,y para el alargamiento total I p', H

3

( . f' )l. EOJ TI + 13 W

L'-L=~~- (1+% ~: ) (32)siéndo D el. pc<o por ullidad de longitud de dicha carga de prueba.

44 45

en O será paralela á AF. Tomando el punto O por orígen y porejes las rectas Ox, Oy,si llamamos t la tension en el punto °,paralela á AF Y 17el peso de la unidad de longitud de fiador, lasecuaciones(l) nos dan .

ARTICULO n.

Variaciones de flecha debidas al fiádor.

50. La tension F que el peso de la obra produce en el fiadortambien lo dilata ocasionando un tercer aumento de flecha queserá preciso descontar al marcar la provisional. Si llamamos lá lalongitud de dicho fiador inclusas las. amarras, el alargamientofinal será

dy-

I7XJx'--¡--'

de donde deducimos

FlE",

(31)

17Y '2['x'J.

y cuando cable y fiador estén unidos por encima de un apoyofijo, la fórmula (30)da .el descenso del vértice de la curva

Y si se representa por a la distancia DF, la flecha vertical Of seobtendrá haciendo

F lHP=%E"'T

(33)

ax= 2 cos, () ,

y es

. Designando por b1 lo que vale este descenso cuando la ,cargapor unidad de longitud del tablero es la unidad de peso, se tiene

l7a2f= 8t cos,'J.t;

( 36)

p=b¡p cuya fórmula nos indica que cuanto mayor sea la tension que hade sufrir el fiador, tanto menor será su flecha ó pandeo. .

52. Para bailar con sencillez la diferencia de longitud entreAOF y -AfF, supondremos que esta parábola se confunde sensi-blemente con otra de la misma abertura y cuya flecha en sentidoperpendicular á AF sea.la proyeccion de Of sobre fO " procedi-miento que conduce á la misma expresion que un cálculo exac,to.Esa flecha es

.

El aumento de longitud, añadido al propio del cable, se dismi-nuirá de una sola yez de la longitud de éste para calcular la flechacadenaria.

51. Por grande que sea la tension F no será capaz de mante-ner en línea recta ?l fiador, cuyo peso ]e hará tomar una ligera

. curvatura. Conviene conocerla diferencia entre su longitud y lade su cuerda, aunque como vamos á ver,' este resultado no es deimportancia para el estudio que se hace en estecapí~ulo.

Notemos que por separarse poco el fiador de la línea recta,su peso se puede considerar como proporcional á la longitud dela cuerda AF (.6g. 32) Y la curva AOF como una parábola de ejevertical. La recta {O trazada verticalmente por el punto medio dela cuerda AF será un diámetro de esta parábola, y la tangente Ox

l7a'J.O'f= 8 tcos. t; ,

la cuerda es

acos.t;

4,6

Y sustituyendo estos valores en el de 2(L:-H) sacado de la fór-mula (16);resulta pam la diferencia qúe se busca

i';'

Y' el de las n curvas'

~2 a3%, t2 coso {;.

(J'2 a3l/~U

t'2 n2 cos.!;.

(3i)

53. Sin error se puede tomar para t el valor de F ,dado' porlas fórmulas del capítulo II, pues difieren ámbos tan poco , queen nuestro ejemplo el exceso no llega á 4 milésimas de uno deellos. Por si se quiere comprobar este resultado, daremos la fór-mula de t. Trazando por el punto' A la vertical AP y la tangenteAT hasta que encuentren á la tangente Ox, el triángulo ATPtendrá sus lados 'AT, TP Y AP proporcionaleis respectivamente á las

.' /Tia

tensiOnes en A, en °, yal peso de AO, que son F, t Y 2 ~ '. -. . co~

y como el ángulo APT es ,complemento de ~, la propiedad gene-ral de los triángulos oblicuángulos dará la expl'esion

Cuando se, hayan quitado los caballetes y colocado todo elpeso p en el cable, el exceso correspondiente á AOFest~ dado porla fórmula (3i), Y la alteracion de longitud del cable, produciMpor la diferencia entre ambos excesos será

,

24 :: ~:s. !;(1- n2t:'2) = 24 ;:::s. ~

(1- nf:2)' (38)

En.nuestro ejemplo, ~ vale muy cerca de 4, de mouo que

si se colocan tres caballetes intermedios, la diferencia de longitu-des del fiador ántes y despues de su fabricacion es materialmenten~a.

."

F2=t2+ ( (J'a )2+t~sen. f-\2 coso ~ coso ~

ARTICULO III.

(J'a- / ( (J'a )

2

t-- Ttangof-+ V F2_. T

;

Va~iaciones debidas á la movilidad del apoyo.

55. En el artículo anterior hemos examinado el caso en quelas variaciones del fiador se trasmiten íntegras á la cadena, quees lo más frecuente ipero cuando el apoyo no puede sufrir unaaccion oblicua á su eje, el fiador ya no es prolongacion de ella, ysus alteraciones hacen que la extremidad superior del apoyo semueva horizontalmente, variando la flecha por las variaciones dela abertura y no de la longitud, que permanece la misma n.

56. La fórmula que liga el aumento de abertura con la dis-minucion de flecha es con aproximacion suficiente,

de la que se deduce

54. Hemos dicho ántes que el efecto del pandeo es insensibleen la flecha del cable. Cuando éste se fabrica en su posicion defi-nitiva; varios caballetes que marcan la direccion AfF sostienenlos hilos del fiador y lo dividen en un número n de partes, cadauna de las cuales toma una curvatura semejante á AOF. Desig-nando por t' la tension que corresponde á. estas curvas, que esdebida solo al peso (J' propio del cable, el exceso de longitud decada una sobre su cuerda será

31 L .rp=I,{'n,

, . (39)

~2 a 311

v

12> t'2 n3 COSo ~

(*) Esta discusi~n no inter~~a al cálculo de la !1echa]provisiúnal, 'porqueel cable no se fabrica en su SItIOcon a [Jovos movibles' pero la 1. , . . , co ocamasaqm por su analogI:J.con las anteriores. .

48

siendo '11el aumento de abertura, que se deduce como la (30) dela (16).

57. Suponiendo que el apoyo AB (fi~. 33) es vertical, segunse acostumbra, el alargamiento total A'del fiador que está repre-sentado por Aa hace tomar al punto A la posicion A', y ,como losarcos del cíl'culo A'a, A'A,'cuyos centl'os están en F y B, se con-funden sensiblemente con sus tangentes en a y A, la separacionAA'es

CAPÍTULO IV.

Variaciones acciden~ales de la Recha deAniJ-iva.

ARTICULO I.

Influencia de ~as variaciones de temperatura.

AA'=Aa

coso a AA'

)/(iO)

58. Por ser el hierro una sustancia muy dilatable por el calor,las variaciones ordinarias de la temperatura deben alargar ó acor-tar sensiblemente las partes de que se compone el puente, y suefecto principal es alterar la flecha definitiva con que se ha esta-blecido el cable.

59. 'El alargamiento de un cuerpo prismático es p¡'oporcioñalá su longitud y al número de grados que la temperatura se eleva.Siendo í1el coeficiente de dilatacion para un gmdo de tempera-tura, resulta que cada unidad de longitud del cable, del fiador óde los apoyos Ee dilatará en la cantidad iJo, siendo o el númerode grados que mide la diferencia de temperaturas, y dando á iJelvalor que segun la materia de que estén compuestos les Corres-ponda. Multiplicando este factor por la longitud respectiva, obten-dremos los alargam.ientos ,A, Al' A2correspondientes al cable, alfiadol' y al apoyo. , '

.60. Empecemos pOI' el caso en que siendo el apoyo móvil, la

cadena y el fiador están unidos á su extremo superi9r A (fig. 34).ffi

.

,o

11=- cosog

El valor de l' se calculará por la misma fórmula (31)ysi sequier\l además por la (38), poniendo el valor de F (25)que ahoraconviene.

Al=Aa, A2=Aa'

.el efecto de las dos dilaLaciones simultáneas será tl'asladar elpunLoA á A', intel'seccion de los arcos de cÍl'culo que trazarian los

7

1)0puntos a, a', y que se confunden sensiblemente con las perpendi-culares a'A', aA'. La distancia a'A', en que se disminuye la luzpor esta causa, es

.fa

iJoe. (U)

3/ L ( Al )/4 -f

--A2 tango (5 .COSo(5

Por esta raza n , para que el tablero no baje nunca de la hori-zontal, es pl'ecisodarle un bombeo de forma parabólica, cuyaflecha sea p+iJoe, dando á o el mayor valor que pueda tener enla localidad la diferencia entre el máximo de la temperatura en elaño, y el medio en que el proyecto se calcula.

63. Si la cadena está solo apoyada sobre la pila, el alarga-miento del fiador se trasmite al claro y resulta un alargamientoto tal

'r.=Ab-cb=~-)'2 tango 1';coso f,

y la flecha habrá aU,mentado por esta causa la caniidad (39)

61. Por el aumento de longitud del cable habrá otl'O (3°) ),+A1 ;

3/ H..liT A

pero si se di'lata tambien el apoyo, el fiador habrá de aumentaren la cantidad

).~ seno (5,s¡en~o el total debido á estas tres dilataciones

3/ [~), +L

A ~

L tango e ]"

íf feos. (5

1f

A2

por consiguiente, el alargamiento total es

(41 )),+A1-A2 seno f"

:' como todos los puntos de la curva 1'e elevan la distancia Aa' eldescenso total del medio del arco será '

el descenso del vértice de la curva

w=% J!- A+3/L

A - (3/ L tango 1';), .

f 4f coso e 1 /4 ¡-;-- + 1 ).2

H3/It.T(A+A1-Á2 seno (»)

(1t.2)

y el del centro del tablero62. Si}a posici~n del tablero fuese la recta Bn', pOI' efecto del

d~scenso (.1) toma~la la figura parabólica BDB', y por el alarga-mIento vertIcal .Aa, esta curva se trasportaría á bdb', separando

l?s bordes del nIvel de las a-yenidas; pero las péndolas sufrirántambien una dilatacion que irá aumentando desde el centro enque será muy pequeña, hasta los extremos en que será casi iaualá la de los apoyos,; por lo cual la curva uel tablero se trasfor~aráen la BD'B', cuya flecha será la anterior aumentada de la dilata-cion de la péndola central, que es

%?

(I-+A1-)'2 selLo(»)-Á2+8oe. (14)

64. Si el fiador hubier~ de rozar sobre la piJa pa;:a moversede un' lado á otro cuando se dilata ó se contrae, su tension no seráconstante, y C?scilaráentre' los límites (27) y (29) del capítulo 2:,

produciendo en el apoyo un empuje horizontal en unoú otrosentido expresado por la fórmula (28). Si ambas piezas se han cal-culado con las reglas dadas allí, estaremos seguros de que los

.'.

52

cambios de temreratura no influirán en la resistencia de las pie-zas de la Ob~'d.

65. l'1"0todo el alargamiento Al se trasmite .al cable del modoquP- indican las fórmulas anteriores, porque una parte de él, sibien tan pequeña que en la práctica no merece calcularse, seconsume en disminuir la tension elástica del fiador y aumentarsu pandeo, efecto del menor valor que s~ tension F adquiere.Débese esta disminucion á dos causas: una, despreciable, es loque varía la tension T del cable por el aumento de flecha, y otra,el rozamiento que origina el paso del fiador sobre la pila fija, sies que éste se encontraba ántes en perfecto equilibrio. En este

-17último caso, F=T, y despues de hecho el movimiento, F-Tesiendo la diferencia de las dilataciones elásticas de ambos

63

en las péndolas, que se compensan en parte, son muy 'pequeños.67. Para hacer el cálculo más senciHo, y porque conduce al

mismo resultado, supondremos que los cables AOB, A'O'B' ocupanlas posiciones que corresponden á la temperatura más elevada,siendo t' la menor tensio/\ por unidad de longitud horizontal queentónces ha de ejercel' la parte 'fIm' de las péndolas. Cuando latemperatura haya Hegado á su mayor descenso, la flecha f delprimer cable habrá disminuido en cierta cantidad '1'(63), pero(;omo la tension t" con que ambos se solicitan será mayor, todala longItud .GFAO se dilatará, aumentando' la flecha en la can-tidad

(b +b1) (t"-t')

~ ( . -rr )E6> 1 - e

calculada por la fórmula (33) para el cable, y por la (35) para elfiador.

El efecto del pandeo de éste se puede despreciar por ser comoparativamente muy pequeño y estar compensado por el excesoque se atribuye al último término de la expresion anterior alprescrndir del rozamiento.

La flecha f' del segundo cable se disminuye por el descensQde temperatura en una cantidad análoga

'1"

y por la diferencia detension aumenta en

cantidad que habrá de rebajarse de )'1' En cuanto al aumento depandeo y la disminucion de T, se pueden considerar .sus efectoscomo nulos, y al despreciados se favorece la solidez de la obra.y de todos modos, el roce de las cadenas sobre las pilas aumentasu. rigidez, y es ventajoso, aú!1 cuando ocasione alguna pequeñafatiga en los apoyos y fiadores.

66. Segun queda dicho, los efectos del viento y de las vibra-ciones que tienden á levantar el tablero, se anulan poniendo pordebajo de éste un cable inverso A' O' B' (fig. 35) sujeto á él pOI'péndolas nm' que forman la continuacion de las ordinarias mn.Para que este s.istema produzca siempre su efecto, es menesterque cuando la temperatura sea más elevada haya en la péndolamm' alguna tension que solicite á los dos cables á unirse y man-tenga al A'O'B"estirado en la forma parabólica que le correspon-de ; y por otra parte, aunque la temperatura baje á su mínimo,el aumento de tension que produce en los dos cables lo invariablede la distancia mm' no ha de ser tal que comprometa su resisten-~ia. Y notaremos de paso que se considera esa distancia invaria-ble, porque los efectos del cambio de temperatura y de tension

b' (t"-t')

Hamando b' á la variacion que produce la unidad de peso en estecable con arreglo á la fórmula (33).

La condicion para que el sistema sea eficaz es que la dismi-nucicn Oasea igual al aumento O'a', lo que conduceá la ecuacion

f-"-(b+b¡) (t"-t')=b' (t"-t')-f'

de donde se saca

'1'+'1"t"- t'=b+b1+b'

, (Hi)

" . H2-

¡ 4f2 t"-t' H'2 -¡ 1.{'2

p=t

'"

t

'tf V 4+W' p' ~ 2{' V 4+~'2

.(43)

55

peso P en un punto m (fig. 36), la forma del cable variará'presen-tanda en ese punto un ángulo finito, y alterando la figura de lasdos partes Am,mB, que sin embargo seguirán siendo p~rabólicas.Este fenómeno, que se verificará indispensablemente siempre queuna cargá cualquiera atraviese el puente, nos interesa de dos ma-neras: por el aumento de tension que sufren los cables y los apo-yos, y por el descenso del punto correspondiente del tablero. Unaumento en las dimensiones de estas partes resistiria los efectosdel aumento de tension, si la carga de prueba no los p~odujerasiempre superiores; pero la deformacion del tablero no puedeevitarse, y solo pOI' un bombeo mayor que el que corresponde ála variacion de temperatura se puede evitar que torne una cUl'va-tura in versa.

711. Para apli~ar las formulas (1) es preciso saber ántes la po-sicion del punto más bajo de la cUl'va. Sea D este punto , y lIa- .memos a á la abscisa OE, siendo O el orígen y el punto medio deAB. La componente vertical de la tension en el punto B es

M

fórmula cuyos términos se han tenid() ya que calcular con Otl'05objetos.

68. Este aumento de tension en las péndolas producirá unaumento análogo en los dos cables, cuya expresion será para elpl'lmero

(t"-t') H2-

¡ 4f22{ V 4+If2

y para el segundo-

(t"-t') H'2-

¡- 4{'2

2{' V 4+H'2

Y lo que el esfuerzo por unidad de seccion tenga que crecer encada uno será respectivamente

Por lo comun la primera expresion es poco apreciable; pero su-cede lo contrario con la segunda, que forma. la parte principaldel esfuerzo del cable inverso.

69. Examinando las fórmulas (45)Y (46)se ve que cuant~ ma-

yores sean ",' y f' mayores son las variaciones en la tension delos cables y en la traccion que el inferior ejerce en el tablero;

.

pero la seccion que éste necesita para resistir á una fraccion dadase hace menor. Conviene, pues, dar al cable inverso la mayorflecha que sea compatible con la eficacia de sus esfuerzos paraqúe el sistema no carezca nunca de la necesaria rigidez á todastemperaturas.

p(H-a)+P

'f la presion vertical en dicho punto B, resultado de ]a descompo-;icion del peso total que actúa en el claro entre las do~ verticale~

Iue pasan por A, B, es

(H+ .)pH+P 2Hx.

:iendo x' la abscisa OG ; de donde resulta, teniendo que ser laslos idénticas

AHTICULO n.P(H-x')

a= 2pH(4,)

De las val'iaciones p1'oducidas p01' una ca1'ga accidental.72, Sabiendo]a posicion del punto D, podemos obtener ]a

cuacion de cualquiera de las dos curvas, que será para la.arte Am

70, . Si á un cable parabólico en equilibrio bajo la accion deun peso p por unidad de proyeccion horizont3], se suspende un

5657

Sustituyendo por a su valor, las fórmulas (48) y ('9) dan, háciendosucesivamente x=H, x=o; para x'=o,

dy p'(x-a)dx =

Q" 2f' 2pH +Ptango "-=H 2pH+2P,

2( Ptango .'1'=11 2pH+2P

y= PQ'

(x+H) (H-x+2a)2 .

(48 )

dy p(x-a)+Pdx = Q'

y=L~, (x+H-2a)+ ~,] (H-x).

y despreciando las potencias superiores á la primera, de ]a frac-. P

dclon2pH '

compara as Cop, ]a unidad, ]a longitud de la curva.

AO' viene .á ser

y pal'a la parte Bm.

(i9)

,,

[ 1 ( 2{' )~

( P ]L=H 1+TT H, ,1- 2pH)

El valor de Q' , que es la nueva tension horizont~l, se ha de

deducir de la condicion de que la suma de las longItudes de losarcos Am mB sea la misma ántes que despues de haber colocadoel peso P 'en m. Esta condicion nos dada Q' en funcion de x'; pero

,c:oIllocuaJquiera que éste sea, la diferencia e~t,resus valor~s eS'pequeña, nos contentaremos con hallar el maXlmo, que coues-ponde al punto O, en que x'=o. . ,

73. Si llamamos (á la flecha CO' que ento,n~es tO,mael cabl;(fig. 37), la mayor tension horizontal se deduClra haciendo y-f,

W~o en las~cuaciones(48) Y (49), Y reempla,zando a porsu valor,

resulta

La longitud AO de la parábola primitiva era

.

[ 1 (2f )!!

]L=H1+- ~-

2.3 H

y como ambas deben ser iguales , sale con a proximacion suficiente

~, r=f(1+'r.;H ), (M)

, pH2+PHQ = 2f'

.

mayol' tIecha que por el descenso debido á una carga accidentalPpuede tener el punto medio del cable.

De aquí se deduce el valor final de Q', que es aproximada-men te

.

Q'=pH2 (1+-~\2f '4pH )

Para calcular f' aplicaremos la propieda? enunci~da d,e que la

longitud de la curva AO' ha de ser igual a la semtlongltud ?elcableparabólico AO, La longitud de AO' se deduce de ~a Jor-

~ula (17), restando .la comprendida desd?el, ~unt~wás baJQhasta

el O' de la que hay entre dicho punto mas baJo yetA'les

L'H+a

"[(fang. Cf.-2-tang.fI.)+ .~(fang.3<>:-ta,ng,3

tango <>:, .. ,.' .

. ..]

y se ve que el aumento de tension horizontal es el mismo queproduCiria un peso equivalente á %P repartido en toda la longi-tud del puente,

74, La flecha 'f del tablero correspondiente al au.mento detemperatura, sumada á las diferencias que se deben al paso dela carga P, es la total que ha de afectar la parábola del tablero.

8

58

Estas diferencias provienen de dos causas: una, el cambio detJgura de la cadena, y otra, el aumento de longitud por ser ma-yor la tension. Para prevenir por completo el efecto de los cam-bios de figura, se toma el doble de la diferencia que la fórmula (U°)señala, y respecto de los aumentos de longitud, como ningunacarga los ha de ocasionar mayores que la de prueba, se adopta-rán éstos como límite, calculándolospor las fórmulas del capí-tulo III, en las que se pondrá su valor p' en lugar de p. El uso decables inversos atenúa mucho estas deformaciones.

7[). El paso de la carga accidental influye tambien en los arcos

inmediatos de un puente compuesto de muchos claros. Suponga-mos para mayor sencillez que en el tramo AB (fig. 38) hay unacarga p' por unidad de longitud, mayor que la p que obra sobreel inmediato AC, y que siendo fijo el apoyo AD, puede resbalarsobre él el cable continuo OAO'. Si cuando sobre los dos' obrabaun peso igual eran iguales las flechas y las aberturas, ahorahabrán yariado aquellas porque las tensiones que producen en Alos dos pesos distintos de cada tramo no serán iguales si lo son lasinclinaciones de las tangentes AT, AT1; por consiguiente, tendráque bajar el cable AOB y subir el AOIC, hasta que las componen-tes de las presiones respectivas en sentido de AT' y ATI' se equi-libl'en pasando cierta longitud de cadena de °1 á O.

76. Siendo el alargamiento de la curva AOB igual al acorta":::'miento de la AOIC, la fórmula (3°) nos indica que el aumento deflecha 00' será igual sensiblemente á la disminucion °1 °1', Elvalor de esta variacion deberá ser tal, que haga iguales lastensiones de los cables en los dos claros. El aum~nto de la tensionhorizontal por un aumento pequeño de flecha es, diferenciandocon relacion á f la fórmula (1°)

5!! ,

de donde se deduce que latension delacadena AOB sei'~, despues

de la deformacion (l),' "

1"=1/112

(f -" ) / '1 4.(f+p)22f'2' r \ + H2

La dismínucion de la flecha AC produce en Q y tango o: lasVal'laClOneS,

pI-I22/,2- 'f y 21'

-Ir'

por consiguiente

'"pI12. ,,/ 4.(f'-'f)2

11= 't.f'2 U+o/)V

,1+ H2

de.modo que contando con el rozamiento, se habrá de ,verificarla igualdad

-17Te =T'¡ :

reponiendo tang !l en lugar de ~ y despreciando los cuadrados

de rp respecto de f en los desarrollos dell'adical y de los productos,resulta

2pIr

-1"1

'"'=~--tÚ -p

. COS,2" -""1p'e +p

77. La fórmula precedente hace ver que con un coeficient~ de

'ozamiento igual á 0,25, Y valiendo p'=~

p, la alteracion de la...

]echa puede llegar á ser %de la total, y si se facilitase el movi:-niento con rodillos, valdria hasta más de %: y aunque estos re-¡ultados no son completamente exactos por caer fuera de la pri-nera hipótesis hecha acerca de su pequeñez, hacen ver que e~

p'H2- 2f2 '1'

Y el 'de la inclinacíon. de la tangente en.A, que es J.;

60

muy perjudicial la movilidad de las cadenas sobre las pilas ¡nter- .

medias, y que es preciso impedirla cuanto seapasib)e: Por otraparte, esa sujecion tan conveniente, no perjudica mucho la esta-bilidad del apoyo ,porque la diferencia de empujes cuando lacadena no puede moverse es

til

-r¡, p'e -p

f'= f:.

( -r"l ) ( 17 )COs.!a p'e +p +b'f 1+e-.

(p'-p) H! .2f '

cantidad mucho menor que la de la fórmula análoga precedente.79. El medio más eficaz de evitar esos movimientos es el em-

pleo de tirantes superiores AEB, AE1C (fig. 39), indispensables SIel apoyo intermedio es una biela movible. En este caso, cuandoel tramo AB esté más cargado, el apoyo girará -sobre su base des-viándose el punto A una cantidad AA' hácia dicho tramo, hastatanto que la diferencia d~ empujes ocasionada por la variacion decarga y de flechas, combinada con la presion total en A, dé unaresultante dirigida segun A'D. Llamando Q y Ql los empujes tota-les en AB y AC, P los pesos totales de la mitad de cada tram01"1)ladesviacion AA' y a la altura AD, se habrá' de verincarláecuacion

y pudiendo resbálar sobre el ap~yo (76).

(p'.

-p)H2 (, -~ )2f

Iti

cantidad qllenosuele diferir de la primera sino en una cuartaparte de su valor, y que aún anulando el rozamiento pasa de sumitad.

78. Estos efectos se disminuyen considerablemente si se sujetael tablero con cables inversos. El Al C1 (fig. 39) tendrá que subiruna cantidad '1'estirándose y allmentando la tension de las pén-dolas e'ri(jiert~ ca.ntidad t por unidad de longitug del tablerq, yel Al B1 descenderiiigual cantidad '1' d;sminuyendo la tension

tambien en igual cantidad y encogiéndose lo que su elasticidad lepermita.

Los valores de la tension del párrafo (76), desarrollados sinapreciar más qlle la primera potencia .de '1', dan la igualdad'

Ql+~Ql-Q-~Q .~

=-P a

I-a fórmula (10), cuando se da un incremento pequeño y si-multRneo á la luz y la flecha produce la expresion

pH2 ( 'n.''1' )~Q=

21 . n-T

cp=b't;

atendiendo á que el producto pH es constante; y como la relacion"1)

f.

'1' l.

l '1f es una. raCClOn tan pequeña de7'

que no sue e legar a 0,03,

se puede despreciar y atender solo al incremento '1'.

.

Falta ahora ver cuánto varía la flecha por un aumento" en laluz. Para esto observaremos que por las ecuaciones (33)y(35),I¡flongitud efectiva del cable. de longitud primitiva L, y con lacarga p es, cuando tiene dimensiones y carga dadas,

,-' -

(P'-t}e~1:"I(I- ~}(I+; sen.!a) . (p+t) (1+; }(I-; seu !u):

por:lafórnH.íla (33.) se tiene para el cable inverso (67)

con cuya expresion se. eÍimina t, y despreciando toda potenciade '1'superior á la primer'a, se deduce

, . Ir ( . 'L =L+;m b +b¡) 1)

6",)

62

ó tanibien, teniendo entónces la flecha f y la 1u?: H,Il2 '

(1-+) + ~r (I-+-)~

pH'!

2( ( " )il+--r-

, 2 f2L=H+3H:! .

p'H2

2{

'7H2 ( 'P' ) Ti ,'- 2{' \1+T

=--a(p+p+jk)H;

2 f:! 4fL=H+;r -H - :m

(b+b¡p),

de la que, reemplazando 'fy '1" por sus' valores en '~, se deduce,

(b+b¡)p,

atendiendo á que la fracciOl1.f

es muy pequeña en el

cable de suspension,

De a~bas expresiones se deduce

1 1 ' t d que ha de, tener el cable para alcanzar la fle-que es a ongl ucha f con la luz Hy la carga p. . I

'

Dando en esta expresion los incrementos a H y f, resulta, des-preciando las cantidades pequeñas respecto de '1',

4( p'-py.=

3H.

p'+p+

2'7 J!.- -L~ p:+p+2'7 ,(2( f'-b' '7

.('2 I ;).

a. H2

'7H2Q'=2f'

De todos los términos del denominador, es el más importante

el segundo, que da por sí solo un cociente muy aproximado, y elúltimo tiene apenas influencia. '

Conel valor de .~ se puede calcular el de '1'paráap,'eciar lamovilidad del puente, y el de '1"para que hallando con él el nuevovalor del empuje Q', se pueda saber si la tension del tirante com-prometerá demasiado su resistencia, y aumentar en, Bste caso supeso,

80. En todas estas investigaciones Se ha dejado de tener encuenta el aumento de flecha propio del cable cuando en vez dela carga p recibe otra p' mayor; pero con esto se han simplificado'mueho las fórmulas sin perder nada en su aproximacion. Tampocose discuten los casos en que hay varios tramos, porque se aplicanlos mismos procedimientos sin más diferencia que 'tener presenteentónces que la suma de los aumentos de flecha dejos tramoscargados ha de ser igual á la suma de las disminuciones qe losqué no lo están.

,o=-¡¡+ :k'P(I-(b+;¡)P),

de donde se deduce-¡¡

'f=-%H f+(b-b¡)p.

Llamando (1' al peso de la unidad de longit~d del tirante y ry 'f á su flecha y la va.riacion de esta, se tendra. para la cUI'va quedicho tirante afecte:

aH2 'f'~Q' -. 2f'.

7'

-¡¡

'f'=-%H {'-b'u '

y la ecuacion de equilibrio, cuando un peso p' mayor que p cargasobre el tramo AB, será

65

laciones verticales á las primeras y longitudinales á las segundas, ylas estudiaremos con entera separacion, empezando por estas úl-timas.

.ARTíCULO I.

83. Sea AB (fig. 40) una varj))a que bajo la accion constantede un peso P ha tomado un alargamiento BC: si otro cuerpo depeso p' viene á chocar á éste, la y¡u:iHa se alargará hasta que eltrabajo de la eI~sticidadhaya destruido la fuerza viva del choque,y despues sé acortará, oscilando ~un lado y otro, hasta que laresistencia del aire y otras causas destruyan este movimiento ini-cial : siendo cada vez menores segun esto las oscilaciones, la ex-tension de la primera es la que nos interesa conocer.

84. En el curso de este artículo Hamaremos L á la longitudprimitiva de la varilla, z' á la: distancia BC que se ha alargadopor el peso P; z" á)a distancia CO en que la alargaria el peso P'en reposo, z á la distancia v¡uiable de su ,extremo al punto O, Má.,}¡i,8Uina:de' las masas P Y' pIÓ,y vl"á 'la' velocidÍldqheclJevan'ai"pasal' por dicho punto O~ El principio de las fuerzas vivas, óseala igualdad entre la fuerza viva adquirida, y (31doble de la capti-dad de trabajo d,esarroHada proporciona la ecÚábión'" '

CAPÍTULO V.

Mavimien~as de DscilacJon.

Oscilacionelocasionadas por la elasticidad de las péndolas y el cable.

M. 'Se han estudiado hasta ahora la forma que afectan y lastensiones que sufren cada una de las partes de un puente colgado,suponiendo establecido el equilibrio entre las fuerzas que la.sso .

licitan y Jas resistencias que eHasoponen ; pero las cargas acCi-.

. '1dentales no actuan segun hemos supuesto de modo que no se'v~rifique ningun sacudimiento, sino que bien sea al rodar los car-ruages por las desigualdades del tablero" bien al marchar sobreél los hombresó los animales, se originan choques que puedenaumentar considerablemente en toda la obra los efectos que ánteshemos calculado

82. Dos clases de alteraciones produce en la cadena .un peso,cayendo con cierta velocidad sobre un punto cualquie~adel ta-'-blero: unadeformacion, análoga á la que hemos estudIado en elarticulo 2.° del anterior capítulo, y una extension,ó dilatacion,elástica, como la del capítulo 3.0 (47). La deformacion irá ?re-ciendo, cualquiera que sea su especie, con velocidad varIadahasta tanto que la fuerza viva de la masa que se mueve qu~dedestruida por las resistencias que opone el sistema, desde cuy.opunto el movimiento se convertirá en oscilatorio : se Jlaman OSCt-

li2M(v2-v12)=(P+P')z~ E¡' [%Z2+Z(Z'+z:)J, (51)

en que el primer término del segundo miembro tépresentael tra:::.bajo de los pesos, y el segundo el de la: fuerza elástica 'de laYa~rilla desdeeI punto Oeriadelante (*).

n La fuerza elástica d~ la varilla AILes (47 )EOJ i.. ,?uando JlegasJI'

extréllloáunpunto cualquiera D, y el trabajo deC'arrollado desdé.elputitó

E(,)l'z"

...TJo(z +z +z)dz,

I1Ú~es el <láüho término de la'fórmÜla (5!).

9

66. ,

2L'.

Multiplícandola ecuacion porE",

y observando que

6,7posicion' cualquiera D del extremo .de la v~rilla es la ordenadadel círculo multiplicada por k, porque el triángulo rectánguloODE da

PL ,-=Zo Ef.1' '

~

DE2-OE2 D02- VI- 2- .. - - k2 -z

P'L"~=z

E'" '

(Z'+Z,,)(~2- v;:_)_-z2. (52)

resultado á que.se llega despejando~: de la ecuacion (52).El

Ipáximo cortesponde al punto O, centro de las oscilaciones, enque es el radio del círculo.

87. La velocidad inicial de la masa Mestá rep¡'esentada por laordenada CM, Y es

¡'esulla

85. El mayol' alargamiento Z se obtendrá buscarido el valorde z que hace á v cero. Este valor es v =k- / VI2 _

Z "2o V k2 .

Z-~- lf '(53)

Si se conoce la velocidad v' que lleva el peso P' ántes del cho-que, al llegar al punto C se tiene

haciendo

k=VZ'~Z"

. P'vo=v'

P+P'.

86. La interpretacion geométrica de este resultado conduceá soluciones fáciles y elegantes. Si con una magnitud ON igual á

~. trazamos una circunferencia cuyo centro sea O, los puntosk .

N Y N' serán los extremos de la oscilacion de la varilla, corres-pondiendo cada uno á uno de los dos valores de la fórmula (53).La oscilacÜ:mascendente puede ocasionar compresion si N'caemás arriba que B,si n9no hace más quediEminúir,la tensiori. En

cuanto al valor de ~ es muy fácil construirlo, porque es el

medio proporcional entre BO y la altura correspondiente á la ve- .locidad v..

La misma constffiC'Cionnos permite aprecim' las demas cir-cunstancias del movimiento. La velocidad corr~pondiente á tina

Con cuyas relaciones, dada una de las tres velocidades v', Vo,VI'se conocen las otras dos.

88. El tiempo tardado en pasar de un punto cualquiera C áotro D está medido por el ángulo MOE que forman los radios OM,OE. Para demostrarlo tomemos una distancia Dd infinitamente pe-queña, dentro de la cual el movimiento se pueda considera¡' comouniforme: los triángulos semejantes OED, Ee'e, dan

Ee ee'OE = DE

ee'y COmollExk

es el elemento de espacio dividido pOI' la velo-

68 69

89. Prescindiendo como hasta aquí de la inerciade los puntosmateriales de la varilla AB; las leyes del movimiento para un puntocualquiera b se hallarán trazando una circunferencia que tengacon la MEN una tangente comun que pase por A. Si el peso delprisma se hubiera de tener en cuenta, se podria hacer con mucha'aproximacion.sumando al peso P la mitad del de la barra ,AB,locual produciria un pequeño aumento en z' y disminucion en VI'

90. Las consecuencias que se deducen de esta teoría, aplica,-bles á nuestro objeto, son las siguientes:

1," La influencia del choque es tanto mayor en la resistenciacuanto más corta es la varilla, pues siendo (85) el alargamientoabsoluto debido al choque

.

cidad, que es el elemento de tiempo, la expresion de éste es

kdt= ~~=ángulo EOe,'

por consiguiente, el tiempo tardado en pasar de una posicioncualquiera Má otra E es

ang. l\lOEt= k

.

El espacio recorrido al fin de un tiempo cualquiera es

_z=OE coso NOE, ~IV

' z'+z"

V(P+P

,

')LZ=-=VI -VI'k 9 gEoJ

y si se cuenta el tiempo desde el instante en que el móvil pasapor el.punto O, - la propol'cion segun la cual se haya alargado la varilla, será

VI kz= Tseno t. .-l: - / (P+P')Ez- L -VI

V. gE",L

El tiempo que dura una oscilacion completa es y la tension por unidad de superficie de la seccion trasversal de-bida al choque además de la correspondiente al equilibrio , será

27rT---. - k .

V(P+P')E

Et=vj .Lg',J

(5' )

y el nónwl'O de oscilaciones én un segundo

1" kn-~--- T - 2r.

2." Si la masa P, animada de una velocidad inicial cualquieraoscilase sujeta á la extremidad 'de la varilla, el centro de la osci-lacion sería el punto C (fig. 41) en que BC-z'; y si se suponeque al llegar al fin de la semioscilacion ascendente ó á B se co~loca un nuevo pesoP' sin velocidad inicial ninguna ,'la oscilaciondescenden'te tendrá por centro el punto O en queCOz" y porradio la distanciaOB, demodo que la amplitud de la oscilacion'entera se. habrá aumentado en la cantidad NNI=2CO=2z". Sial negar á NI se quita el peso P', el centro de oscilacion será elpunto C como ántes, y la oscilacion ascendente habrá aumentado

expresiones ambasindepéndientes de la velocidad inicial y de ]aamplitud de las oscilaciones.

'.

Débe Dotarse qne todas estas fórmulas son las del movimientode un punto material a~raido por un centro fijo proporcionalmenteá la distancia f lo que se debe á que el extremo de ]a varíll" sehaBa en el mismo caso.

';0 7l

(q,7), Y como el camino reconido en un instante pOI'el centro degravedad de esa carga es %d.z, <31trabajo que esta resistenciahaya efectuado desde la posicion de equilibrio con la carga p+p',en que el descenso elástico es z'+z", hasta que la desviacion hayallegado á su máximo Z+ z' + z" será

nuevamente en la cantidad BB1=2z" ; Y si 1;)econtinúa poniendoel peso al acabar la semioscilacion ascendénte, quitándolo' al finde la descendente, las amplitudes irán aumentando en una pro-

. gresion por diferencias.

2z", 4z", 6z" 2nz"

tanto por debajo del punto e como por encima , de modo que alcabo de un número corto de alternativas de accion del peso P', ellímite de elasticidad se habrá traspasad!), la progresion crecerámás rápidamente aún y l¡l varilla se romperá. Estos efectos seproducirian con más energía si el) lugar de colocar el peso p'sinvelocidad inicial, se dejase caer produciendo choque, pues losradios de las oscilaciones descendentes serian mayores, 'aunqueno varien los centros.

3: El número mayor de oscilaciones que puede hacer la va-rilla en el primer caso sin romp~rse se deduce de la ecuacion

~~ [%Z2+Z(z'+~")]

Entre ambas posiciones límites, el centro de gravedad de lospesos del tablero, que nunca han dejado de conservar la mismadistribucion, ha bajado la cantidad %Z, dando lugar á un tra-bajo igual á

% (p+P')HZ..

2nz"=(m-1) (z'+z")La velocidad al pasar por la posicion de equilibrio que conSI-

del'amos como inicial, es constante para todos los puntos é igualá Vi ; Y es tambien para todos nula en la máxima desviacion, porconsiguiente, la fuerza viva adquirida es

en la que m es la relacion de ]a carga límite á los pesos P+P'.y se ve que cualquiera que sea el diámetro de ]a varrlJa, siemprehabrá un número de oscilaciones repetidas que causen su rotura.

9'1. Hagamos aplicacion de estos principios al cálculo y cons-truccion de los puentes colgados.

Para tomar el caso más desfavorable y que en nada se mez:'"cIen en estas vibraciones las del artículo siguiente, haremos queel cuerpo chocante actúe en toda la extension del tablero con unpeso p' por unidad de longitud. ' .

Para hacer más sencilla la resolucion de este problema, su-pondremos conocida ]a forma que afecta e] cable en un instantecualquiera, y admitiremos que 'Se confunde sensiblemente con laparábola que pasa por los puntos de suspension y la posicion delvértice. De este modo, cuando dicho punto haya bajado una can-tidad z , se puede considerar que se ha producido el mismo efecto

que con una carga~

uniformemente repartida por la hori'zontal

-2(p+p')H V12

9 '::3'

Con estos datos se puede escribir ]a ecuacion de] movimiento total

(P-+;';')H Vi2=%(p+p')HZ-~~ [%Z2+Z(Z'+z")J.

Multiplicándola por :~ se puede escribir de este modo

Z2= ~ z' +Z"I 22 9

Vi

72 7,1

de donde se deduce, consel'vandoá k la misma significacion queántes,

.... AHTICULO 11.

( '." )aa

Osciladones debidasá la flexibilidad de la constrnccion.

93. Las oscilaciones verticales, debidas á la flexibilidad de ]acadena'de suspension, en nada perjudican directamente á]a esta-bilidad ni á ]a resistencia del puente; pero conviene saber quéinfluencia tienen en su extension las dimensiones de éste, pues sison muy grandes y rápidas, fatigan y destI;uyen los ensamblagesy articulaciones de todas las piezas, y si crecen á medida que sonmayores las dimensiones del puente, no se podrá nunca pasar deaberturas medianas ó pequeñas El caso más desfavorable es aquel

.. en que un peso P choca en el punto medio del cable O (fig. 37)con la carga permanente, y.es el que vamos á examinar.

9,f.. Para tener una medida de la resistencia que opone el ca-ble á variar de forma, supondremos que ésta se compone en todoslos instantes de dos ramas parabólicas que satisfacen á las ecua-ciones del núm. 72 n. Entónces, cuando el punto o se halla enotl'O O" distante de la posicionde equilibrio O' ]a cantidad z, estaresistencia estará medida por el esfuerzo necesario para mantenerel punto medio del cable en la posicion O", que por la fórmula(50) está expresado por

. v-

/3z=-tYT'

Esta fórmula indica que el efecto de la velocidad VI esequi-Z . . ..

valente al de una nueva sobrecarga bpor unidad de longitud,

y que el centro de las oscilaciones del punto medio se halla en laposicion que ocuparia el vértiée conlos pesos 2(p+p')H en re-poso. . .

.

92. El aumento de la tension del cablé será proporcional á la

sobrecarga ~ que corresponde á la unidad de longitud, cuyab .

cantidad, atendiendo á que en el valor de b (33) puede despre-

ciarse la fraccion~22 . , equivaleá .

v ~L-j~.(p'+p")E~-.1 H2

V . 9

Se deduce de esta expresion que será el efecto de las vibracio- .

nes elásticas tanto ménos sensible comparativamente cuanto me-nor sea la flecha con re]acion á la luz, y mayor sea ésta. Por lodemas es imposible de todo punto dar al cable la resistencia sufi-ciente para recibir sin alteraése una serie continuada de choques,por lo que debe evitarse que en el paso de las tropas por lospuentes colgados entren muchos hombres á la vez, y prohibirs{)absoJutam{)nteque marcqen con paso uniforme. .

Tambien se deduce de la comparacion de las fórmulas (5~)y'(55) que las pénd6]as, como 'varillas verticales, se hallan {)Jlcir-cunstancias más desfavorables que las cadenas de suspension.

4pH ,

f (z +z)

siendo z' la distancia OO'. El centro de gravedad de los pesos pno cambia de posicion, como puede comprobarse pOl'las fórmulasde los nLI!lWrOS (72) y (73); pOl' ]0 que lJamando Z al descens'omáximo contado desdfiO', y VI á la velocidad del peso P endicho punto O', ]a ecuacion de las fuerzas vivas será, entre las po-siciones inicial y fina] ,

-PVi\!

=pz- ~p.H (l/~Z2_ZZ' )2g I /.

. (') He comprobaclo experimentalmente que esta suposicion se apartapoco de la verdad, lo mismo qn~ las fórmulas que de ella result~n.

10

f"j,i

.

V. . Pf

Z-Vlí H '"p g

';5la curva será p]anay parabóliea, si~ndo la flecha en su planoigual á la flecha vertical f ántes del movimiento , v 1&'tension ho-rizontal (1°) .

de la que se deduce, poniendo por z'.su valor,

en cuya fórmula se ve que la amplitud de las oscilaciones es máspequeña cuanto mayor es la luz y menor la flecha del puente:Esto nos demuestra la ventaja que ofrecen los cables de grandeabertura y pequeño ángulo de suspension respecto de las oscila-ciones debidas á su flexibilidad.

, rH2 H2Q=_=_.l p 2+ q2

'2{ '2f V .

Como la inclinacion del plano de ]a curva sobre el horizontal

tiene por tangente~

las proyecciones de las flechas. serán

ARTICULO lII.

Oscilaciones horizontales.

(,=f -~Vp2+q2

("=fq

Vp2+q2

95. Las oscilaciones horizontales son producidas por la acciondel viento.Cua]quiera que sea su direccion, pudiendo añadirse ]acomponente vertical al peso de ia obra, sólo tendremos que con-siderar la horizontal. Ésta ejerce un efecto casi nulo en el tablero,tanto por su grande an9hma como por la pequeña superficie tras-versal que presenta. El efecto mayor es el causado en las péndo:-las y c¡lbles, que sin embargo, no pudiendo desviarse sin levantare] peso del tablero, reducen sus oscilaciones á pequeñas distancias

á un lado y otro de] plano vertical que los contiene en el estadode equilibrio. Obtendremos un límite suponiendo que el cablepuede girar libremente alrededor de la recta que une los puntosde suspension, y estos resultados pueden dar idea del modo deproyectar los cables cuando se quieren establecer en un, planoInclinado. . .

96. La cadena tomará ]a forma de equilibrio correspondienteá la accion de la resultante de los pesos yde la impu]sion delviento.. Suponiendo que éste actúa proporcionalmente á la aberturadel puente, y llamando q á su intensidad por unidad de longitud,las resultantes serán todas paralelas á ]a diagonal del rectánguloformado sobre p y q, y su ivtensidad

con las cuales se pueden trazar las parábolas proyecciones de ]adel cable.

97. La fuerza q, segun la teoría de la resistencia del aire, esde la forma .

vI!k-rr b -

'2g

en que v es la velocidad de] aire, b el grueso de la cadena, r. elpeso específico del aire y k un' coeficiente práctico. .

Cuando q es pequeño respecto de p, puede tomarse

Q'- Q( L ) '- ( q2

) "q ( q2

)- 1+ ea 2 , f -f 1-- , f =f- 1--~p '2p2P '2p2

r=yY+.q2,

de modo que pueden despreciarse la separacion horizontal y elaumento de empuje de las cadenas, y ]a separacio~ verticalesproporcional á la flecha de equilibrio. Debiendo. estos resultadosdisminuirse por ]a resistencia del tablero, vemos cuánta debe .serla pequeñez de este efecto, 10 que confirma ]a experiencia. Nosucede así con la accjon vertical sobre e] tablero que es á vec('sde gran consjderacion, {antopor ]a parte superior como pOI"]a

76

inferior; y como obra con intermitencia y desigualdad, produc@sacudimientos muy peIjudiciales en todas las partes de que ¡;ecompone el puente.

98. Los cables inferiores invertidos son el medio más eficazde contrarestar los desarreglos que produce la componente verti-cal del viento, cualquiera que sea el sentido en que actúe. Paraoponerse al efecto de la componente horizontal, el ingeniewOudt,y ha imaginado colgar cada extremo de las viguetas de dospéndolas diversamente inclinadas ab, aG, (flg. 42) situadas en elplano vertical que pasa por aa ysuspeÍldidas de dos cables cuyascurvas llevan la misma inclinacion. De este modo, mientras laprOIOngacion de la resultante R del peso P que actúa en a y de lafuerza Q del viento caiga en el interior del ángulo. bac, ambaspéndolas estarán tirantes y el tablero no se moverá. Pero es pre-ciso tener en cuenta que los movimientos elásticos de los cablessonmü.y sensibles, y que por esto la fijeza del punto a noseí'átan grande. '

CAPÍTULO VI.'

De los principales sís~8mas dapuen~8s colgados.

99. El sistema de cables con péndolas verticales no es el únicoque se ha adoptado para la construccion de puentes colgados, yaunque tiene más ventajas yse ha usado con más frecuencia quelosdemas, es indispensable dar una idea de los. principales.deéstos y comparados con el primero. Nos .limitaremos. áha<;erelexámen de los siguientes:

~.° El de Dredge.2.° El de tirantes;3.° El de cadenas inferiores.4.° El de Oudry.~OO. En el sistema de Dredge, el tablero se une á la cadena

por medio de péndolas inclinadas (fig.43), lo que permitedismi-nuir en una proporcion considerable el espesor de aquella, á par-tir de los extremos (fig. H), en que tiene el mismo que en la deun puente ordinario, al paso que en éstos la diferencia de tensio-nes es muy pequeña (~8). Aunque en la cadena se economizamucho material, es menester no olvidar .que las péndolas son .maslargas, y que descomponiéndose el peso mp que actúa en cadauna en las direccionesmn de la misma péndolay mE del tablero,sufren aquellas unate~sioh mt mayor, y que en el tablero se ejer-cen tensiones horizontales mq quevarianprecisamente al contra-rio (fig. 45) , circunstancias cuya exacta compensacion se .demos-trará muy pronto.

,1O~. Para estableceruIl puente de este sistema se .observará

que el empuje horizontal que se ejerce en el medio E tiene que

78

hacer equibrio alrededor del punto A á todos los pesos que carganen la extension EB del tablero, y que por esto la ecuacion de mo-mentos dará para dicho empuje la misma expresion (1°). Si seconstruye un triángulo QOP (fig. 46) igual al de la figura 19, enque QO sea el empuje horizontal en E y OP el peso de. la mitaddel puente, y se divide este último lado en partes iguales entresí y al peso de cada una de las divisiones del tablero, que debenser tambien iguales, se pueden trazar con facilidad las direccionesy magnitudes de las tensiones de todas las piezas del puente.

Para esto setirarán parIas puntos de division P1, P2, P3\ etc.,del lado OP rectas paralelas á OQ , y á partir de P se formará unpolígono cuyos lados sean sucesivamente paralelos á la direccio~de cada una de las pendolas (empezando por la más inmediata alapoyo) y cuya longitud esté comprendida entre dos paralelas con-secutivas: así, sIendo la distancia Pa q2' por ejemplo, igual al pesoque actúa en el punto e:¡del tablero (fig. 43), representado en láfjgura46 por P2 Pa, la tension ocasionada en la péndola será P2Paen magnitud y direccion (100), y la componente horizontal quecorresponde á este punto P2q2' De aquí se deduce la direccion decada lado del polígono que ha de formar la cadena y su ten'sion,pues debiendo equilibrar la resultante de cada dos de éstas al es-fuerzo que ejerce la péndola que comprenden, las tres fuerzashan de cerrar un triángulo con sus magnitudes y direcciones; ycomo se conocen las de cada una de las últimas, que son los ladosdel polígono PP7POP5,,,,,Pl'Y una de las primeras, que es la QP,direccion del lado adyacente al punto A (fig. 43) (por ser resul-tante de las fuerzas QOy OP) se unirá el punto Q con los Po\ P5" Pl'

Y las rectas Qpl' Qp2...QpO' QP, marcarán la direccion de cadalado del polígono á partir de E y la magnitud de su tension.Lasdistancias P2F2' PaPa representan las tensiones horizontales quese ejercen en toda la extension de las divisiones 'ele2' e2ea' etc.,.y.equivalen á la resultante Ó suma de las que desde el extremo Bse trasmiten de uno en otro punto hasta los el ,e2' etc., para des-truirse en medio del tramo: el empuje horizontal del puente sedescompone en dos pat'tes ; una Qq que sufre el eslabon centralde la cadena, y otra Oq que ha de resistir el tablero, ó una ca-dena de refuerzo que se le añada ,como la de la figura45.

79,)02. Con estos datos es muy fácil consiniir lafiO"ura del puen-

te. Como las péndolas suelen tener demasiada in~linacion en los~untos próximos al ~stribo para unirse ála cadena, se hacen par-tir del punto A dos o tres como Aes, Ae71 á las cuales serán res ,.

. 0\-

.pecttvamente paralelos los primeros lados

PP-7'P7PO del polígonode la figura 46, Y luego se empezará trazando un lado Al 'para-lelo áQpo Y Una péndola eol5 paralela á Po P5 ; desde el p~nto deinterseccion lo se trazará un lado lol5 paralelo á Qp5 y desde e5una péndola e¡)!)paralela á P4P5, continuando de este modo hastael punto l2' desde el cual una paralela á Qp 1pasará por el puntoej en donde termina el polígono.

. 1~3. Comparando la figura 46 con la 19, se ve la gran dife-renCIa que h~y en las tensiones de los elementQs más bajos de unacadena del sIstema de Dredge y las del sistema ordinario. Cadaeslabon, en .dicha ~ad~ma, s~ele disminuirse de una barra, ypara

q~e las ~enslOn;s slgUI.esen ngorosamente la misma progresion por?Ifer~ncIas sena precIso que el polígono PP7PO'''P2Pl ,estuvieseInscnto en una curva de segundo grado, cuyo foco fuese el puntoQ; porque entónces las distancias á éste de cada uno de los de lacurva aumentaria proporcionalmente á las del mismo á 'la rectaOQ. Si esta curva fuese una parábola, la diferencia de tension de

~os eslab~nesinmediatos sería exactamente igual al peso que sqs ,.tiene la pendola que comprenden, yel ángulo que cada una deéstas formase con la vertical sería doble que el del lado adyacente.

Es menest:r obse:vaI' que toda la parte Ppo delpolígonQ quecorresponde a laspendolasconcurrp,ntes en el punto A no sepuede sujetar á ninguna condicion, porque va está determinadoy el:lugar geométrico de sus vértices es siern"preUn arcodepará~bola, que prolongado. pasaria por el punto Q.

104. Toda la economía que puede resultar de poner laspén-.dolas más óménos inclinad~s ha de provenir de que el empleo dela madera para r~forzar el suelo sea ménos costoso .que el delhierr~ ; pero el puente pierde el carácter esencial y la principalventaJ~ .de los colgados, 'que consiste en permanecer siempre enla poslcIOn de equilibrio que les corresponde segun el modo cOnque están cargados. Lo que suele hacerse en .todos los casos enque se colocan péndolas inclinadas, es trasmitir los empujes 'áJo~

80

estribos por medio de la resistencia á la :?ID.presion,del tabler~:

pero entónces ,el vol úmen que se ha de anac1tr es, mucho ~ayol ,vel estado de la obra es ,tan violento, que co~o ha suc~dldo ya~lgunas veces, la desigualdad en la carga de las dos mItades esbastante paraqu~ el piso salte, formando una cm:a CbE y S05(8....niendo todo su peso de la mitad AE de la sllspenSIO? .

105. Caso particular de este sistema, aunque ~as antIguo: esd de los puentes sQstenidos por ,tirantes, que partiendo d~ dIfe-.

t ntos del tablero se reunen en el extremo superIOr delrenes pu, . "h.

(fiO' 47 )'

en el cual nnfiador e ,qmLbrasu tenslOJ?- onz()n-

apoyo ]~. , ,

1.d .' de

tal. La teoría de estos puentes se funda en a consl era clan . 'P que actúe en el punto M se descompone en sentIdoque un peso, ." 'r 1 1'0' 1

del tirante y del tablero en las tenSIOnes Mt y ~.l9' a cua e~ I~Qa

á Pt; de modo que para hacer un proyecto segun este sIstemabasta unir los puntos de division del tablero con el extremo delapoyo correspondiente, lo que da la figm~ del p~ente y la Jon~gitud de los cables; y para hanar s.us tensIOnes, a l,as que se ha-brán de arreglar 1as secciones trasversales, se~o~ara

desde A hasta

a una longitud igual. al peso de una dejas dJvlSlOnesdellablero,quedeb'en ser iguales, y la horizontal ~razada ~or a ~a por su

interseccion con cada tirante AM su tenslon Am, Igual a Mt, rl~

reaccion horizontal sobre el tableroam, igual á Mq, que deberadestruirse por un refuerzo conveniente. .

"

,

106. Como ladireccion en que el tirante eXIge ].In ~olumenmenores la inclinada con el horizonte ,i.5' (36), se han dIspuestopl'oyectos de puentes con tirantes paralelos, como en la figur~ 48,

s lue go el coste de los dos puentes,s!Jra elpero segun veremo, .' d '. ,. ldad d, e luz Y de flecha yla dlmenslOn e esta f,)SmIsmo, a Igua, ".

casi siempre irrealizable..

..

En ambos casos , el pandeo que habrian de.tener los tlrante5

centrales es un inconveniente de gran consideraClOn~ue ha~e~.uymovibles y desventajosos estos puentes, yes el,motlvo pnpc!p\\1pOl.'que 3e han abandonado.

,

.' ' .

107. Los puentes de cadenas inferiores (fig. 49). tIenen eJ~ e1dia mu ,poco uso, porque aím cuandoseeco~omlza

f,)nelIos l.a

constru~cion de apoyos y una parte del fiador, t¡('nen. poc,aes~abI-, .", t os que los ordIlla-.

lidad, yen el resto de la.obrasonmas ,eos os ",

,,"

SI

rios. Pal'll demostrado se observará que en'uno'de estos 'de'la

" misrna luz y' flecha, las pé~dolas ocupan el'ál'ea' AOC,qÜe'.es el

tercio del rectángulo AEOC, al paso que en los primeros ocupanel áre& AOE, doble de la anterior; por consiguiente, en igualdadde circunstancias, la suma de las longitudes de las pendolas esdoble en los puentes apoyados en las cadenas que en los suspen~didos 'por ellas: y además, cómo por' su manera de ' resistir .suseccion trasversal ha de ser mayor, resulta que el volúmen tota)dé las péndolas es más que doble. Por otra parte, para que estospuentes sean estables y puedanresistirlaaccion de las vibracio-nes, que tienden á producirse con más intensidad, es menesterdarles una flecha muy pequeña, apartándose así más de la rela-cion más econ6micapara los puentes suspendidos(H7). "

El proyecto de estos puentes se ha de hacer por las mismasreglas del capítulo 1.', variando lo re]atlvo á las péndolas con-forme con lo que se acaba de c;lecir.'

,

108. El sistema de Oudry, propuesto para salvar concuátrotramos de un kil6metro cada unO el estrechO de Mesina, tienéporobjeto hacer cadenas indeformables bajo la accion de las cargasaccidentales que pasen por el puente. Cada cuchillo se componededos cables cruzados (fig.50); cada'UlÍode loscu'áies' afecfil;lafOrma de' equilibrio qlielp,' corresponde .' cuando, una i"ll1ítad' estamás cargada que la otra. Arriostrando luego ]osdos cables ,demodo que su posicion mutua no pueda variar, como en.la parteAO se muestra, se consigue que miéntras las cargas nO pasen decierto límite, la curva de presiones no salga del interior de 'lafigura AOG,:pudiendo'mirar á todo élcuchiIlocoll1ü 'compuestOde dos sólidose]ásticos AOG, BOC, articu]ado~ én"]ospuntosA;

O, B, los cuales no permiten más variacion en las distanciasmutuas de estos tres puntos ni en su forma propia', que laqueproviene de su e]asticidao. Haremos el cálculo prescindiendo 'deestas pequeñas variaciones; que podrán tener, sin embargo,'a]gtihainfluencia sensible en las tÍ'epidac~ones causadas por elmovimiérito.

109. Sea f la flecha OE de] punto de interseccion, que se tomapor orígen de coordenadas; p ]a carga repartida uniformementeen toda la longitud AB, y p' el exceso por unidad de longitud enla 'parte EB,queocasiona ladeformacionde.la.,curva: ACB. La

41

82

ecuacion (6) diferenciada, da, para .la parte AO, cuya ordenadaqr designaremos por Yl

8311

'A=- .12P f

p+%p' .1f

d2Yl - Pdx2 -Q 2Q= (p+%p')H2

. rsiendo las ecuaciones de las dos curvas

y para la OCB, cuya ordenada será pn=Y2

d'JY2 p+p'da;2= Q

Yl=f (p~/2P'

X2 - %p'.h2p+%p'

Y2=f (p~-+;X~' . ~: - p;1~~'

~)

.~}Integrando ambas eéuaciones, se tiene

dYl==

px+Adx Q

,H .

d ' PaClen o P = n' estas ecuaciones tOJIlan esta forma:

dY2 . p+p'" +"

'A'da;= Q x ,- f ( xI! X )Yl- 2n+t .2nJi2-T (56)

Para el punto O, enque x ' O, ambas derivadas deben ser igua-les para establecer la continuidad entre las dos curvas, por con--siguiente, ,

",

Y2= 2n~1((2n+2) ~~2- ~)y la ordenada DC del punto más bajo es iguaJ á

A=A'.lj¡ l

8(n+1 )(2n+1)'

, la que sumada á f' da la flecha total de cada curva, queés

Integrando de nuevo, y teniendo presente que ambas curvas'Coincidenene1 origen,

pX2' ,

Yl' -W+Ax"

(4n+3)2f 8(n+1;)(2n+t)

.

p+p'Y2 -:-:-2Q'

x2+ A;¡;,11O. La

.e

,cua

.ci

,on de la P.

arte On'B del cable SI' m ' t.

bd ' b. . . e rICOse o -ten ra caro lando x en-"-.xen la "ecuacion(56),

resultando

La primera ecuaciónhadedar,.parael punto A, x=--'-7h, Yl {yla segunda, paraaL-h, Y2=fide ouyas condiciones se deduce

Yl.

2n ~1' (2n ~:+ ~}.

.'

84

Tomando la semisuma de lasordenadaspn, pn' de los dQs cables,resultará el valor de pm, que es lade la curva mediaOmB, y suexpresion .

85En el segundo caso, designando por e la. abscisadel punto .a,

S'etiene

.(m2

y= --¡;2

h+en= ph+p~

lz ~

demuestra que esa curva es la parábola que pasa por los puntosA, O, B. La semidiferencia de .las mismas ecuaciones da la sepa-racion de cada cable de dicha curva media, cuya expresion es

h-en'=ph+p~

Q -ph2+P(h-e)

,

2-2f

.

fx(h-x) .u=+ .

(:2n+1 ),h2:r

H 2. Obtenidos estos valores,es fácil hallar el momento res-pecto de un punto cua,lquiera m, que es en el primer caso'

correspondiendo el signo supe~ior á la partemn'y el inferior álaparte mn. Estas ecuaciones hacen ver que la mayor ó menor am-plitud de la parte nn'dependedel número n que se haya escogidopara hacer el proyecto, siendo ,la máxima cuando n=O.

H1. Elerppuje. horizontal que el sistema completo ejercesobre los puntos A y B se encontrará considenmdo que la resul-tantede todas las fuerzas que hayeIltre Oy B debe pasar por elpunto de articulacion O, incapaz de resistir á la accion. de ningun ,

par. SUP9ndremosqQe además de un peso uniformemente repár-:-tido p por unidad de longitud hay una carga en la mitad OB,acerca de la que haremos. dos .hipótesis:. 1.., que esté repartidauniformemente en la longitud EB, siendo Pl lo que correspondeála unidad: :2.., que esté concentrada en un punto a siendo P suintensidad.

.

Las reacciones sobre los apoyos serán en el primer caso

M1--%PIX(h-x)y en el segundo

. h'-eM2-%P~ x(h+x);

. ,

observal1doque en ambas expresiones dtisaparécep por serpara-bólicoel éjeBaÚ~O.

.'

Dividiendo estos momentos por el valor respec~ivodel empujehorizontal, se tendráladistanciámb áque la curva de presionescortaá la línea vertical nn', conocida la cual se podrán distribuirlos esfuerzos que corresponden á cada' cable y á los codales inter-medios por las reglas de la resistencia de materiales. .

'!13. Para que el arco no se deforme es menester que sufrantension los dos cables, ó lo que es)á mismo, que el punto b caigaentre n y n'. Esta condicion exige que

n ..ph+3fr.Plh.'n' ph+V"Plh;

MIQ; ó M2.

Q¡¡ <u,

~'

. . .-

y tomando los mOmentos respecto, del punto O se. obtienecualquiera que sea el valol' de. x y sin atender al signo de estas.expresio,nes, para lo cual se necesita que el máximo de

Q,'

-(p+%pj'}h21- - 2f". Mj

Ó1uó M2 .

Q2U

~

8G

~ea menO!; que la unidad, ó lo que esIomismo

.p <LL n

87

versos sistemas de puentes colgados; porque se demuestra ;comoproposicion general, que cualquiera que sea la disposieionmutuade las piezas, su volúmen total es el mismo, mién tras se conservenlas mismas las dimensiones generales, y se empleen materiales deigual naturaleza ejercitando resistencias análog~s.

Ántes es menester observar que un hilo AB (fig. 51 ) solicitadopor una fuerza P necesita para resistirla el mismo volúmen queel que exigon reunidos otros dos hilos AC, AD, proyecciones rec-tangulares de éste, sometido's cada uno respectivamente áunafuerza Q ó R, proyeccion de la misma P. En efecto, el volúmende este hilo ha de ser proporcionalá ABX P, el de ca9a una desus proyecciones lo ha de ser á ACxQ y ADXR, y como estosproductos están con el primero en la relacion de los cuadradosde los cosenos de los ángulos comprendidos, y los dos son. com-plementarios, la suma de los (los volúmenes será equivalente alprimero.

115. Para demostrar ahora el teorema enunciado, sean FA,FO la semiluz y la flecha de.un puente, incluyendo en esta últimá

la distancia hasta la horizontal del tablero, Tomando OD= ~,-p

se puede trazar en el rectángulo OBCDuna flgura análoga á la 46,que dé fodas las tensiones , porque CD es igual al peso total divi-

dido por p, ó P:. ; sólo que ahora dicha figura habrá girado :~~

ángulo recto. Suponiendo para' mayor generalidad que las divi-siones ab, be, etc. del tablero son desiguales, la figura se habráde construir. bajando las perpendiculares oq, pr de los puntos me-dios de las divisiones, que darán en el lado CDla porcion qr pro-porcional al.peso que carga en la péndola bm, y trazando desdeel primer punto así obtenido k' un polígono cuyos ladQs'sean su-:-cesivamente perpendicu}ares á la direccion de las.:pé?dolas ycomprendidos entre las mencionadas paralelas,se óbtendrá'enel lado o'p' representada la tension de la péndola bm; en el radioOp' la del lado mn, y en la perpendicular p'r la del tirante hori-zontal be. Todas estas líneas, multiplicadas por p dan las tensiones -

efectivas, y divididas por R la seccion tI'asversal que necesitacada pieza, de modo que los volúmenes de éstasson los productos

%P1U~n+1)< 1

P+%Pl

P(h-e)(2n+1) . h+x<1-

ph2+P(h-e) h-x

La primera desigualdad, independiellte de x, conduce á laexpreslon ~~,>,

lo que indica que miéntras la carga adicional gu~rde con la per-manente una relacion menor que la que ha servIdo para trazar la

. , . c ..

dp

figura, los dos cables expeflmentaran. tensIOn. uan o Pl=~

toda la tensioncargará sobre el cable OCBquedando el On'B sinninguná, y Ct~ando.Pi fuese ~ayor, c~mo este. úl~mo cabl.e.nopuede oponerse á una compresIOn, el sIstema dejara de ser mde-fQrmabley el. puente quedará sostenido. por' elcab!e AOCB.solo;

. En el segundo caso, el máximo.dél. primér nnembrotendralugar para el mayor valor de x, que eS e, puesto que el valor .deM2calculado nOse aplica más que desde O hasta .a. LaexpresIOnque corresponde á este máximo es

P(h+e)(2n+1)< 1-ph2+P(h-e)

Tratándose' de ~n peso que circule de un extremo.á otro ~el puen-te se verificará el caso más desfavora1Jlepara esta desIgualdad,cuando e-h , siendo entónces el límite de su valor'

P<%ph

2n+1

1,14, No se han hecho comparaciones entre el coste cle los di-

88

de las lineas "Correlativm;de las figl)ras OBA, ODC, multiplicadns

por~

. Vamos á hallar la suma de.aquell,ós ,productos.

Consideremos. tan sólo la parte de pu€nte comprendida entrelas dos verticales (v, g,p, que pasan por los puntos medios de dosespacios -consecutivos de tablero. La por-cion mf delladomJ tienepor proyeccioD,es rectangulares st, OV,y su tension 00', por su

,

posicion especial, tiene por proyecciones correspondientes Oo=sf,y 00', por cuyo motivo el volúmen de rnf es la suma de las áreasrectangulares sfdt y oo'm'v. Las ,proyecciones del trozo mg del ladomn, multiplicadas por las de su tension Op' dan las áreas tegu,vn'p'p. Las de la péndola bm son .mv y hm', las de su tension o'p'sonop y m'n', por lo que su volúmenes la suma de los rectángu-los depo y ,J~in'n'.b'.Finalmente, la porcion bo por su tension o'qproducen el area o'hiq,y el tI10Z0bp por su tension rp'rdan el rec~

.

tángulo b'p'ri; resultando de la adicion de todas estas áreas par-ciales la superficie comprendida entre las 'Closverticales rg,' q{,ylas dos, horizontales gu, {s, trazadaspor'Clonde aquellas encuen..,.tran al polígon() de suspension.

Aplicando este resultado Él las demas poreiol1es de tablero,lleO'aremos á conocer que elvolúmen de todo el hierro del puentede~de O ha&ta Ik está representado por la superficie lLDk' : quedael trozo lA del último lado, cuyo volúmen, por lo ántes dicho,será la suma delGFL y kBCk', resultando para el producto totalque se busca el área del rectángulo Fi,\CD disminüida de lape~queña faja GABk. Se ve, pues, que el volúmen total de hierro ne" .

cesario es independi,ente de la forma y distribilcion de las piezas,y es el mismo siempre que sean igpales la luz, la flecha, la altura' .del tablero y la última division de éste Bz, porque el peso de su'mitad Bk no descansa sobre la suspension, sino sobre el estriboen B. . .

H6. Siendo FA ' H, FF'={, F'O-e, Bz=h'la forma analí-ticadel área expresad!! es'

. ."

89

El valor exacto del empuje es

Q- Ok(kB+%Ok)-pFF'

(H-%h)(%H+t¡(h)pf

H2_1 / h2P

/(;<'2f

y sustituyéndolo en la fórmula' anterior, que para representar .el

volúmen V se multiplicará pOr-'L, sale. R.

V==,P(H;¡%h) [f(f+e)+%H(H+%h)]. (57)

(f+e+~ )H_l/2h(f+e),

~n las aplicaciones ordinarias se puede d~spreciar h sin iricon-vemente. .

.~~7..

Esta fórmula nos indica que la rélacion2'

que hacemás económica la qonstruccion, atendien(lo solo' al 'volúmen de

hierro es t¡(V 2+~ '

que vale muypróximameiite%; pero

nunc,a se adppta porq?e se origi~arian gastos mayores en losapo-yos o lleganan éstos a hacerse Imposibles por su gran

. altura iYademás el puente no sería bastante rígido ,segun Se ha visto enel anterior capítulo, ni las péndolas se podrian mantener bien ensu sitio en las porciones más inclinadas de los cables. Por esta,razon se nacen siempre éstos con una flecha de1!to Q %5 de 1aluz, y á veces de %0. ,

'.~~8. Conservando la misma relacion .entre

f y n, laexpre-slOn (57)es sensiblemente ~roporciorial á H2 : de esto se deduce .queel coste de los cables.y pendolas de un puente .

de.. longitlJddadae~tá en razon i~versa del D4mero de tramos .en que se divide:

Pll~s si el coste de cada uno ha de ser H2. el de los m será .H2.'o

.m2

'mCon est~ ~b~ervacion. se puede comparar la economía que,resultade s?bdlVldlr la lon?lt~d del puente con el aume'nto de gasto queOcasIOnael estableCImiento de m,ayor número de pilas intermedias.

, 4.49. La luz de un puente colgado no puede pasar de cie¡.toshmltes que dependen de la resistencia del hierro, pues se concibe

H!

~o

que puede haber un alambre de tallo~gitud, que sus~endido desus dos extremos se rompa por su propIO peso, y lo mIsmo, suce-derá con un conjunto de alambres, cualquiera que sea su numero,y con mayor razon si soportan :una carga además. Pero á.ntes deeste límite hay otro á partir del cual el aumento de seCClOnquese habrá de dar á los cables crece con tanta rapidez cuando au-menta un poco la luz, que equivale á hacer imposible la,cons-truccion de puentes colgados,á lo ménos con la economIa quepreside siempre á la eleccion de este g~nero de obras, y las pro-porciones de flecha y abertura convenIentes.

.

120. Para hacer esta discusion, sustituiremos en la ecuacion(19)

el valor de L en funcion de H y IX(16), de lo que resulta

91

OH'=~a '

. O1'=-L a '

R seno lX=b, 7t'(1 +% tang.2 a...)=a,

de las cuales la primera es constante para todos los valores de pmiéntras se conserven los mismos los de R y IX, Y la segunda es

proporcional á p. Claro es que cuando H= ~ no será posiblea

hacer el puente, pues la seccion debe ser infinita, pero áUIl conluces mucho menores será tan grande, que se puede decir que esimposible ó por lo ménos inconveniente en la práctica su cons-truccion. Por el contrario,. cuando los valores de H son pequeños,los de '" les serán casi proporcionales, y la seccion de los cablesaumentará poco áun cuando aumente la luz. No hay límite fijoque separe estas dos tendencias de 61 á aumentar proporcional:'"mente á la luz, como en los puntos próximos al orÍgen O, y áaumentar considerablemente para variaciones insensibles de Hcorno en los puntos próximos á H'; pero si tiramos la tangente ODsegun la cual crecerian con rigorosa proporcionalidad 61 y H, Yobservamos que en el infinito son tangentes la curva y la rectaCD, segun la cual 61es independiente de H en todos sus valores,podemos dividir á la curva en dos arcos ó porciones, desde Ohasta M y desde M hasta el infinito, en los que las tendencias dela curva se aproximarán más á las de la tangente respectiva queá las de la otra. El punto M obtenido por la horizontal DM, tienepor coordenadas

pHw- ./ . 2 )H '- R-sen. a-7t'(1 +1/6 tango IX-...

y si para mayor sencillez hacemos

espH

"'= b-aH

y poniéndolo bajo forma entera

a"'H-br-"+pH=O; ON=%OH' y NM=OT'

ec~acion que nos manifiesta que la luz y la seccion trasversal sonentre sí como las coordenadas de Ün mismo punto de una 'hipér-bola equilátera. La .potencia de. esta hipérbola ~e~á distinta. para

cada sistema de valores de p, IXY R, pero las propIedades de todas

serán comunes.121. Para examinarlas, tomemos como ejes las rectas OH, OT

(figura 53), y tracemos la curva, cuyo centro estará en C,en !a

interseccion de las dos asÍntotas, distantes del orígen las longI-tudes

porqueNM . H'D; además, segun las propiedades de la hipér-bola, OD-OE, por consiguiente, H'D=01' : debiendo ser cons-tante el producto d~.las distancias á las asíntotas, tambien se ve-rifica que

MDXDC~OH'XOT' ,

y corno DC= 201',

MD=%OH'=ON:

92

de modo que ON= ;a se puede considerar como un límite del

cual no conviene pasar para la semiabertura ,del 'puente, aunqueno sea imposible hacerlo. El límite á que no sepuede llegar abso-lutamente es OB', doble del anterior.

122. En cuanto á la mayor longitud que puede tener un hilosin peso adicional, la obtendremos de laecuacion (19),en que ha- 'ciendo p=O resulta

CAPÍTULO VII,

L=Rsen. (.(

1< , Redaccion del proyecto de un puenfe colgado.

. bque equivale á B=-,a

En los puentes colgados, los valores más grandes que suelendarse, á R Y (.(son

1t'=7800 kilóg. por metro cúbico

123,' No entrando en el cuadro de nuestro plan lo que puedeIIamarse la arquitectura del puente, tomaremos como datos delproyecto, sin indagar las razones que los motivan, las dimensio'"-nes ydisposicion que se marcan en las figuras 5 y 5A, y que nosservirán de punto de partida para mostrar la aplicaciori ordenadade las fórmulas contenidas en este libro.

124. La carga de prueba, á la cual se arregla el cálculo detodas las dimensiones, está generalmente prescrita por las dispo-siciones' reglamentarias' de la administracion, pero no debe pasarde un peso de 200 kilógramos por metro cuadrado del tablero, locual equivale á suponer el piso lleno enteramente de hombres.Esto es suficiente, porque los carruajes más cargados no produ-cen por unidad de superficie el tanto que le corresponde por lacarga de prueba. En los ferro-carriles, la prueba consiste en llenartodas las vias con trenes de locomotoras en reposo y con diferen-tes .velocidades.Á veces tambien se observa' el efecto' del pas'üdel tren sobre una cuña situada en el carril. '.

,

125. SUelo, Al proyectar el tablerQ,la primera condicion quedebe llenarse es que todas las piezas del arma~on estén perfecta-mente trabadas entre sÍ, con lo cual se conseguirá que el esfuerzode las cargas accidentales se reparta en un número mayor de vi-guetas, péndolas y cables,.haciendo menor de este modo la de-formacion general del sistema. Esta misma trabazon hará ménosflexible el tabler.o, y las oscilaciones verticales, así como las lon-

R=18 000 000 kilóg, por met.cuad. ; tango "=0,4;

el valor de 1<para el hierro es con poca diferencia

de modo que serán

El límite absoluto de la semiabertura.. H= 832m,50

El limite conveniente ... H=416m,25

El acero, que empieza á emplearse en 1ugar del hierro , pareceque permitiria alcanzar luces cuatro veces mayores. ~,

Estos resultados manifiestan cómo la abertura de 'los puentesI

colgados no puede 'ser ilimit~da, á ménos que se au~entase inde- .

finidamentela altura de los apoyos y el ángulo de suspension,aunque puede exceder á las que hasta ahora se han usado.

94

gitudinales y las ocasionadas por el viento quedarán destruidaspor la' rigidez de esta parte, que contribuirá indudablemente áque se amortigüen con prontitud las de las demasde la suspen-sion: por igual motivo conviene unir sólidamente á los estriboslos extremos de los largueros. Los antepechos pueden llenar elmismo objeto y aumentar este efecto si se les da la' forma de ce-losías.

La segunda condicion que es esencial en nuestra opinion, esque el tablero no sea de un peso poco considerable comparadotanto con el de la suspension como con el de las cargas acciden-tales que más comunmente hayan de pasar por él. Bien es verdadque esto ocasiona un gasto mayor por la cantidad de hierro quese necesita de más para los cables y las péndolas; pero este gastoes mucho menor de lo que aparece á primera vista, pues aunqueel peso permanente aumenta, tambieri sucede que siendo entón-ces menor la intensidad de los choques producidos por una ~ismamasa, el coeficiente de resistencia puede ser algo más elevado,produciendo por su parte economía en el material que se ha deemplear, al paso que se aumenta la duracion, seguridad y bene-ficios de la obra.

126. La distancia entre las viguetas se. comprende siempreentre 1,mOOy 1 ,m50, atendidas las dimensiones ordinarias de lostablones: aquí la fijamos en 1,m227, para que resulte la luz divi-dida en 163 partes iguales, correspondiendo 81 viglietas á cadamitad. La longitud de cada vigueta será de 8 metros, para quequeden 50 centímetros de madera por fuera de cada péndola, yel tablero se compondrá de una capa de tablones de 8 centíme-tros, y otra trasversal de tablas de 1:)centímetros de espesor; li-gado todo por riostras diagonales y una barandilla 'de madera porcada lado. Háciendo la seccion de la vigueta de 34. por 22 centí-metros, su carga po~ metro lineal se puede con,tar como sigue :

95

Este peso produce por milímetro cuadrado la máxima presion

R6 0,4.10x 4.9000 000

= -es . 220X34.02 =Ok,6

que es muy suficiente para la seguridad. Y aunque algunas car-gas accidentales puedan producir sobre un punto un peso mayorque el que corresponde por la de prueba, debe considerarse quepor la trabazon del suelo y la flexibilidad de la obra, este peso serepartirá sobre cuatro ó cinco viguetas, y no habrá nunca quetemer por la solidez.

l27. Cables. Siendo 200 metros la luz y 15m la flecha dadaspara los cables, se pueden desde luego preparar los elementos si-guientes:

HftangoIX

senoIX

coSo IX

100m,

15m,0,300,0,287,0,958,

y en seguida se calculará la longitud

L=100[1+%(0,3)2-%o(0,3)~] =101m,4.80 :

el tercer término aprecia 20 milímetros, aproximacion de que sepuede prescindircasisiempre. .

El peso por unidad de longitud horizontal se compone así:'

Peso propio. .. . ". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Peso.de 1,m227detablero...............Accesorios (sin la barandi\la) . , . . . . . .

'. . . .

Carga de prueba. . . . . . . . . . . , . . : . . . . . . . .

50,00 kils.108,80

5,80245,40

¡

VigUetas;, 326'

~

"Suelo Tablero .. ., 598 1000 kils.Acéessorios(inclusabarandilla). .76

Tensionmáxima del cable inverso (incluso su peso). 400

Pesopermanente.'. . . . . . .. " , . 1400Carga de prueba en 701de anchura. . . . . , . . . . .. .. 1400

--TOTAL..., 000' ... , 410,00 TOTAL..

'. . . . . . . 2800

96

"

~28. La ten~i9n máxima permanent~.á.qu(;) se debe.solI}eter

elhie~roes una cuestion de la mayor importancia, y cuyo des-cuido ó mala inteligencia ha producidQlosIPás funestos~es~lt~-:-dos. Las costumbres de muchos constructores y las preSCrIpCIOneSlegales que á ellas se han ajustado, juzgan segu~a una obra deesta clase cuando la tension mayor que sufre. el hIerro en. el 1110-

'mento de la prueba no pasa de la cuarta parte de la ~uepr()dll()ela .rotm;a, ten'sion que suele ser para las barras de hIerro de 12kilógramos por ~ilímetro cuadrado, y de ~8 para los cables tie"alambre. Estos límites, sin embargo, tomadosabsolutamente comosiempre sucede ,no pueden dar seguridad ninguna acerca de l,asolidez de la obra por las razones siguientes;

.:

.

, 1: Fijándonos en los cables de alambre ,puede haber ~l~unosque carezcan de la resistencia absoluta de rotura. de 72kIlogra-:-mospor milímetro cuadrado, en cuyo caso fallana la regla delatension legal de los ~8 kilógramos.

2." Suponiendo ,que Ee ensaye préviamente, segun se acos-tumbra la resistencia absoluta del material empleado, y se~ esta

:suficien~e, cabe aún gran variedad en la car~aquehacepasar el~Ümitede la elasticidad perfecta en las diferentes clases de alam-:-bres; de modo que, áun cuando un cable de alambre sufra la

'cargade prueba sin alteracion, y por consiguiente pueda s~frircargas igualesó menores indefinidamente, otro cable de la mIsmaresistencia absoluta sufrirá una alteracion, insensiblesisequiere,en elaCtóde la prueba, pero habiendo perdido algo de sus pro-piedades elásticas, por, poco que sea, caminará cada vez .m~s. rá-

pidamente hácia su alteracion completa; y aunque el hmIte d~rotura estuviese más distante que en el primero, negaría máspronto á éL Bien es verdad que el alambre dulce tiene la ;entajadeITI,aIlifestar,por una gran deformacion un pequeño deterIOrode .

~esta ,plas~.; Pf)!'o esto no sirve más que para aminorar el mal y dening~n modo para remediarlo..

.

3: El éxito de la prueba deja en el ánimo del constructor yde sus inspectores una gran confianza acer~a de la solidez delpuente; pero no siempre estará bien fun9ada esta opinion, puesla carga de prueba , por grande que sea, está en reposo, y se co-loca poco, á poco, al paso que una carga mucho más pequeña,

97

.pero que caiga éhocandó sobre' el iablero, pu~de'produéir un'efecto rriayory por larepeticion de'esos choques ya 'henios vistoque la masa más pequeña puede producir la ruinadela'obÍ'am~sfuerte y mejor construida~ Sería imposible, é inconvenienieáde-más, pretender que un puente tuviese la resistencia necesariapara sufrir un número considerable de choques repetidos {mifor:""memente y coincidentes con las oscilaciones de la suspension;pero es necesario y será muy prudente disponer los gruesos demodo que en las circunstancias ordinarias , como es el paso ó cru-zamiento de dos carruajes pesados ó en el de un cierto númei'ode hombres, puedan resistir' las cadenas y péndolas un corto riú-mero de choques sin alterar su elasticidad.

De aquí se deduce que para emplearse en los' puentés losalambres de hierro, es preciso que latension máxima p'erm'a.ne'nteno exceda de la cuarta parte de la que producé el alargamiéntolímite de elasticidad, y esta condicion exigirá por lo comun queen los cables no exceda la tension permanenteó Rde9 á 10 ki-lógramos.por milímetro cuadrado, nI la de prueba 'de 18. El pliegode condiciones d01puente debe exigir el experimento de la elas-ticidad y la rotura, no siendo ninguno de ellos suficiente por sísolo para asegurar la solidez de la obra. Para las bárras de hierrodeberán limitarse más los valores citados en las condiciones ha-,ciendo R=5 ó 6 kilógramos, y á lo sumo ~Oen la prueba.

~29. Con estos datos se calculará la seccion por l1:ifórmula (19)

2800X100 .

,. ,

~) = ~8000000 X 0,287-101,480 X 7783 =om.c,063891,

resultado que podremos adoptar, porque 'para el peso dé 1400 ki-lógramos por metro lin~al no da más que 9k,8 ~etension por mi-límetro cuadrado. En seguida obtenemos:

-

Peso del metro lineal de cables. . . . . . . . 490kDiámetrode un alambre. .,... . .. ..

"0,003

Area de su seccion;... . . """ 0,00000707Número de alambres.. . . . . . . . . . . . . . . 9040

13

9S

430. Podemos fijar el núrriero de cables ,en dos por cada lado.La seccionde las cadenas, mayor que la dejas barras de hierrode que se podia disponer para form,arlas, 'obligaba aL principio ámultiplicar su número hasta el punto de haber puesto 46 en elpuente de Menai, en Inglaterra. El uso de los cables de alambre ,

ha contribuido á disminuir este inconveniente ;pt}ro ,no se reco-me~dará nunca bastante la reduccion de cables, pues cuando hayYllrios,que sostienen un tablero ,es mu.y fácil qu~ el t~abajo .no sereparta entre ellos pol'Ígual, sobre todo en las vIbracIOnes I y re-sultando unO de ellos más cargado, COlTe peligro de alterarse.Así, la ig~aldad ó uniformidad de resistencia, la trabazon yla ri~aidez exiaen que los cables se hagan gruesos y poco numerosos,~ue susflechassean iguales, y que los de un mismo lado se fijenpor lazos ó 'eslabones á la distancia mutua conveniente.

Resulta, pues:

99'ar'CQ~qtle¡:¡braQepor encima de la pila 'será 0,5830el rádio,'y;comoel máximo valor del coeficiente de' rozamiento de las ligaduras,'de

.alambre sobre una plancha de hierro podrá ser 0,24, se tiene

17

e"'l

0,14

4,445

y dando á los fiadores la,mis,ma seccio"n que á los cables,la'ma':.;.yor'tension q'ueaquellos podráh etperimen.tar sise contraen ()onla carga de prueba sobre el tablero,ser~

'

48 X 4,44 5 '. 20k,07 por milímetro cuadrado., ,, , ;¡

D=4,1dV41~3 4,

efecto que no es 'de conseéuencia' alguria, vista iadificultád (le'que llegue á realizarse. '

La longitud' de los fiadores estirados es '59m,500; si se dejanlibres y sin parga en los cables; elp~ndeo lesaup1éhta Om,067; ysu proyeccion horizontal es 57''',000. ,

'

433. Apoyos. Cuando los apoyos ,son de fábricá,afectan laforma de un pórtico que, sirve. de entrada al pueI).t~. Daremos,á .cada pilar 3 metros de frente y 4de esp'esor,d~janao[)ir1etrosde luz para la entrada con 40m,50 bajo la clave del 'arco. Conestos datos se puede apreciar el macizo total de fábrica en unos500 metros cúbicos, que á2200 kilógramos el metro cúbico danun .peso de 4 125 000 kils. ,

Suponiendo que elníayol' razonamiento se verifica enelmo-meniode'la: prueba, las fórmulas (28) dan; ,

,

Número, de cables : o.,. .'... o,, 4,Número dé hilos de cada uno. .. ',' ... 2270Diámetro de un cable.. ., .,

"""""',"Om,1&O

QUYÓdiámetro se calcula por la fórmula

siendo neI número de hilos y d su diáme~ro.,

'

'

431. Para los cálculos sucesivos podemos ya poner los valores<le las fuerzas:

Tension hoÍ'Ízoiltal éon la éarga de prueba.ldem id. p~rmarienÜ: ...: . . . .. . .. . . . .'Tension máxima eón la carga de prueba. . .

ldemid. permanente~.. :. .. ...,. .,.

1110000kils.643333

1159'000671538

May()rempuje horiz(jntaI... . .. . . . . . . , o. . . 109675kMenorpresion vertical. . . . . . . . . .

". . . . '. 1?3173-3

~32. Fiador~. La inclinacion de los fiadores' se hace. igual ála de los cables con el objeto de.que la resultante de ambas ten-siones sea vertical, óse desvíe pocó cuandp haya rozamiento. El

La distaneia del eje de la base á que pasa lan:sultante de'estasfuel'zas es

409675X474425000 + 634733

4m,06;

100

ójsea~'á OD.1,94-.d'élaáristaéxteriór;y. la'hii~yor 'présioIfpdr mili:';:metro;cuadrado que en ,esta sevérificjuesera"

101

teros, la )íneaJ<;e pe ,más fácilrotura, por traslacion, formácon <lahorizontal un angulocuya tangente es O,~O; yJ~ componenteho-rizontal de la tension necesaria en el fiador para vencer esta re-sistencia es de 1290' toneladas.'

.

La misma componente que haria girar sobre su base á todo elmacizo, sin contar mas que su peso, sería de 4500 tonel~d~s;: ycomo todas las fuerzas dichas son mayores que la tensionhori-zontal mas grande que pueda ocurrir en el momento de]a prueba,estaremos seguros de la firméza de la amarra en todós casos. Nohemos entrado en el pormenor de las fórmulas que conducen 'aestosresultados , porque ni son difíciles ni corresponden al objeto

. de esta obra.135. Bombeo. La variacion extrema de temperatura en todo el

año se ,aprecia en 40., y e] coeficiente de dilatacion para un gradode temperatura viene a ser de 0,00001 por las observaciones quehizo Noyon al efecto. Resulta de estos datos:

=., ~ ;/,

2X1756733=Ok 2'

3X6000X 94-0' (',

esfuerzo que hO fsexagerado si. se emplean calizas' de regular ca~l¡dad;

.

.

.' ,

,'Dando al macizo de 10 metros de altura en qué se ap9ya elpórtico 30 centÍrnetrosde resalto y %0 de taJud>por cada lado,con 12 metros de longitud, se puede apreciar su volúmen e:Í1670metros cúbicos, y su peso en 1 500000 kils. El empujede las tier-rasque forman la avenida equivale á unos 326000 kilógramos, demodo que el punto de aplicacic.nde la. resultante' en ]a base distapróximamente de su eje ' "

.

109675 X 27 + 326000 X 3,333-1 m24-.

1500000+1125000+631733 - , ,8ó,

).+).1

+(apreciando dos términos)

'f

0,0004-om,073

5;13

. ,

el espacio quequeda hasta la ~ristaexterior,es ~m,06,y la maximapresionpor rllilímetro cuadrado:' ','"

om,375

2 X 32567333 X 12000x 2060

Ok,09.La di]atacion dé la péndola central es despreciable.La mayor carga que puede acumularse en un corto espacio

sera la de dosgaléras que se crucen y algunas personasquelle-nen el-rest!? del ancho entre barandillas. Este peso IÍopasarilde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12000 ¡(¡¡s.

Menor carga de los cables pormetrolineal...

1490D~scenso del punto medio.. . . . :. . . .. . . . .. Om,302

Con estos elementos se compone así la flecha del 'tablero:

134~ AmQrr~s. Constituye la amarra (fig. 5B), un macizo delcllal consideremos como, útiL para la.resistencia lapart~ compren-dida entre los planos Eb y Ee, que pasan por el extrema d,el fiadprprolongado. ,Sepueden apreciar sus dimensionescIl20J)1,etros de .longitud, ,10 de aIlchura y 6, de alto, queeselpesoábrazadopor la prolongacion de los fiadores que dan vuelta por dentro delas galerías hechas con esté fin. Con un coeficiente de ~ozamientoigual á 0,6, este macizo necesita una fuerza horizontal

. de 1600

toneladas para tnoverse sobre su base, no contando con la adhe'-rencia ni la resistencia' del terrapleno No contando tampoco conla esmerada trabazon que se da álosmate'riales, y apreciando en3500 kilógramos por metro cuadrado .la adherencia de .los mor-

Descenso por cambio de temperatura . .' Om,375

Doble del causado por la carga accidental. . . . Om,604

Flecha mínima que ha de conservar Om,221~-

. Flecha de mayor bombeo.,.. ;. 'IIIJ,200

1D.2 ~,

'1 ~6. :, PendQlas. El peso, ~nclusa la carga de 'prueba;: que ,cor-'responde ,á cada par de péndolas, es

'

"

'"

'

2800x1m,2~7' '3t36kilógramo~<'

y su' s~c~ion trasvers~l

103

Mar?á~a en 8usitioesia 'diferericia'máxima,"se 'coÍ'!'igen1ásdemasa oJo, porque, de todos modosh'abrá que retocar miicha'stuercas despues de suspendido el suelo. ,', ,

', 138. FlechaproVisional. Si el cable se fabrica en su sitio se'ha de calcular la flecha de la cadenaria qu'e despues"decarg~dóe.l tabl~ro y hecha la prueba ha de producir la parábola defini....tIva. SI se fabrica en una montea horizontaL se ha de ver la flechapara~~lica que con el peso propio y el del tablero, ha de da'r ladefimt,vadespues de la misma operacion, y si los al~mbres sejlÍn~an tendidos en línea recta se calcula la longitud de aque1Japarabola. Suponemos que se emplea el primer método.

,

La tonelada en cada metro de longitud del puente produce enel cable la dilatacion (t 7) , , ,

,

" ' '

3;t36573 '

.1' " d ' d- = mI ¡metros cua ra. os;6

" '

,

cuya s~perficie resultará poniendo a: cada '~xtre~o de, la, vigueta:~na péndola cilíndrica de' 2centímetrosde' diámetro )' ~k,tO depeso por metro lineal.

''". Ahora se dedllcirán por esteótden los elementos para calcu~

lar la longitud de cad~ péndola:' '

,

, (+ f', sumade las flechas de cable.y tablero.. .. ."e, distancia entre las dos curvas. .............. ,

N, número de órden que.corresponde al apoyo. ... . ,

A, diferencia segunda constante. .. . . . . .. . . . . . . .Yt, primera ,ordenada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6m,200 ,

Om,80082

Om,004878Om;80061O

10000 ,

.'1'00 (03)2 ,', , '

30 .20~6~891 (1++ )=om,027

y en el fiador ( 50)

Estos valores deben aproximarse hasía lasniil1OI;Iésima~,por-que el error que se cometa en A resulta en la última ordenada3321 veces mayor.

137. Despues de calculadas por sumas sucesivas todas, las.81péndolas, y visto que sale 17m,000 para la82, que es el apoyo, sepasa á corregir en la montea la diferencia con la curva real deequilibrio. La longitud total de las péndolas de medio puentees. . . . . . . . . .... , 497m

Su peso.. . . . . . . . . , . .:. . . . . . . . . . .'

. . . . .. .: 2~OOk '

El peso dlJ la partevariáble, i. . , . . . . . . . . . . . ,2130k

Pl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . : . . . . .' '1890kP2' . . . .. . . . . . . .,'. . . .'. '.. . . . ~

. . . . . . . . . . . . .. 28k.50

;: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . .. 0,0151

(2' . .'

. .. . . .. . . . .:. . . . . . . . . . .; ... . . . . . .. Om,112

A, máxima diferencia. ; .. . . . . . . . . ; .; . ; . . . . . . Om,028

DistanCia del centro áque corresponde... . . .. . .. 70m,70Núm!)ro de la péndola IJn que se encuentra. . . .. .' 58-

10000 8230xO,958

.20X63891

Om,022

Ó s~a un total. ~e om,Ot~. 'El pand~o del fiador, bien se haya Cons-trUido en su SItIO con caballetes, bien se haya fabricado fuera enlínea recta, no produce. efecto sensible.

.'

.'El peso del tablero y la tension dlJ! cable invlJfso suman. ..

. EItercio de la carga de prueba oo. , . . .. . . . . . , .. . .. . . .. ,< .

'

1',400 .,0',467

TOTAL.. . .. ......... 1\867

, Suma que producirá la dilatacion. . . . . . , . . . . . . . . . .'. . .de modo que la longitud de la caalJnariadeberáser. .....yla fllJcha que le corresponda, apreciando dos términos dela fó~mul~ (4), será. ;..

',""" oo.. .., :.,..

,OP',090101m,390

,Hm,5po "

10q

'Este resultado corresponde ala más baja temperatura: si se opera'a2tOceiltígradossobre ella, se ha de bajar 'el vértice om~~89;com'ose demostrará más adelante (~t~ ).' ,

,~39. Cables inversos. ,La línea de altas aguas peimite asegurar

los cablesinv'ersosa 7 'metros bajo la rasante del estribo , de modoque ]á mitad de la luz será ; ,

105accidentes qüepüdierarioc'urt-ir en los b]

, , ,"

, . .

consecuenbias desastrosas.' "',' 'ca

ef(iI1Vershs'nÓ~ilé5e~

De esta seccion resulta:

Mitad de la luz' de los cables superiores, . . , . . . . 100m, 00

Resalto del estribo 0:,30¡ 1m,OO

Ensanche del talud . .. . . .. . . . . . . . ."

0,70

Pesodelmatrolineal... . . ... . . .; . ,'.

"..Número de alambres. . .

'". . . . . . . . . .~

'".,.

Diámetrode cada cable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. .

y el esfuerzo que sufren los cables en el máximo es

SEMILUZ DE LOS INVERSOS. . . . . . . . . . . 99m,00 400-82 31.8 kils. por metro. lineal.

La flecha se arreglará de este modo:

Altura de lacuerda bajo la rasante.. . . . . , 7,00¡

Bombeo del tablero.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,20

Espesor del suelo . . . .. .. . . .. . 0,47¡Huelgo'desdeel ejede los cables... . .

'"0,23

FLECHA,. . . . . . . , . . .

140. Por un aumento de 40. detemperatura,lasflech:isau-mentan;

8m,20

Om,70En los inversos. . . . . . . . . . . . . . . . . .

"O.m,39~/'En la suspension. . . . . . . . .' .:.. o. . ... . .C, Oro375' , Om,767', ,

--,." '.

7,50 Cada tonelada por metro lineal hace variar lasflechas

Con estos datos se calculan;

tango()( 0,152sen., ()(.. .,. . ~. . ',' . . ~ . . ., .. . .. 0,150L' (condostérminossolos).. . ... 99m,378'

La seccion de los cables se haUará por la 'fórmula (19); perocomo su peso propio, en lugar de añadirse á ]a tension dada

, detOO kiJógramos por metro lineal, está inCluid.oen ella.' ~ sehalla sostenido por las péndolas del cablesuperlOr, cambiara e]signo que lleva en el denominador~ y la secion,será :

En losinversos.. . . . . . . . . . .3 OEn la suspension..

"'" ...:::::::: :0::2~~)~3JD,327

COCIENTE :..~

;... " 0',230

d

"

emódo que a la may' oÍ' te~ peratura .q"~edar 'á 't'od' 'a'

.,','

"". .

',,', VIa una trac-Clon baJo el tablero de 88'

Por metro lineal'

La .t "

, :.,.:'." ,

'

. . enSl0n mIlllmade los Illversos será .

", ..

tOOX 9920 OOOOOOX O,~5+99,378 X 7183

Om.c O~ Ot93.." y en la suspension

Se puede adoptada tension límite de 20 kilogramos por mi-línietro cuadrado, y aún más, para este caso extremo, porque los 1000+490+82+88.

o. "3290 o'

o"",'

X ~8; , 9>,08.:

u

106

La flecha de, pandeo que con aquella tension tendrá cada ladodel poHgono inverso no llega á % de miJímetro, y con la rigidez

del cable será materialmente nula. '

,141. La flecha de fabricacion del cable depende de la tempe-ratura á qtíe se.coloque. Suponiéndola de 24° sobre la mínima, laflecha definitiva de colocacion será

107

Flecha para la abscisa de 100 metros. . . .f-f' : ~ ...:.

',""e... .. . ., ;

""., .

N.................................A '.." , ,....

701,652601,452on',230

'

82 ,

0,0019430,230243

")Yl""""" '.', ...............

318-230~U '180k40

La longitud total de las péndolas de un lado e~ 213,50 metrosy su peso 332 kilógramos.

. ,

143. Oscilaciones. Aunque las fórmulas relativas á las oscila-ciones ofrecen muy poca seguridad en la magnitud absoluta desus resllJt~dos, propongámonos averiguar por ellas cuántos pasosen cadencIa con el puente podrian dar tres fijas de soldados quelo Henasen de parte á parte. Suponiendo que apoyan el pié en eltablero sin velocidad inicial, lo que baje el vértice de la curvaen la primera oscilacion será:

'

1.° z', descenso producido por la barga permanente.2.° z", descenso producido por la carga accidental.3.° z", nuevo d{)scenso producido por la velocidad con que

ésta pasa por el centro de oscilacion.. Cuando se hayan producido n oscilaciones alternadas, habrá

brecidoel descenso en 2n%", y el total será

24 24'"

",

,7,50-3,075XO,~30X 40+O,392,X

40 '1,311'

la traccion á esta temperatura

y la aHeracion de flecha que ,le corresponde si está el cable sincarga, '

3,075XO,180=om,554,

de modo que la flecha de fabricacion en la montea será

7,3H-0,55i.=601,757. . z'+2(n+1)z".

1,227x4QO=490k,8

Si la resistencia á la rotura es m veces la permanente, ested.esc.ensono podrá pasar de mz' sin ocasionar la rotura, por con-sIgUIente

H2 Las pé~dolas inferior~s sostienen una traccion de

á la qué corresponde una seccion de

m-1 z'n=~. 7-1.

4.90 8'8

.l' d d.--L - 2 mI Imetros, ,cua ra os

6",

'

14.4. El peso permanentepormetrolineales próximamente. 1600kEl peso de tres soldados ocup.¡¡ndoun metro. - . . .

'.. 200

Su relacion , que es la z' á z".. . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8, m puede valer.. . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . .. 8

cuya superficie se formará con dos péndolas cilindricas de 11 mi-límetros de diámetro y Ok,80 de peso por metro lineal de cadauna.

'

Ahora se tendrá, ariálogamente á las superiores,

Luego-n=27.

PUENTES DE ALAMBRE.

IRelacioll

Rel.cionNúmero Número Diámetro Diámetro de la resisten-

PUENTES. I Luz. I Flecha. I de la flecha de eables de de alambres de los cia absoluta áá la luz. cada lado. de cada cable alambres. delos cables. la tension de

prueba.

-- 1---Metros. Metros. Milíms. Metros.

Friburgo (Suiza).. . . . . . . . . . . ", 265,2 19,'28 1/13,8 2 1056 3,08 0,14 3,3011

""<::>La Roche Bernard (Francia). . . 198,2 15,20 1/13.04 2 1408 3,33 0,17 4,70 '-'>Cubzac (Idem), de cinco tramos. 1,09,0 12,00 l/O 6 202 4,00 » »Lorien t (Idem). . . .. . . . . . . . . .. 183,6 14,34 1/12.8 2 1650 3,01 0,16. 4,09Weeling (Estados~Unidos)..... 307,7 18,50 '/'6.6 6 550 » » »Cataratas del Niágara (Idem). .. 231,5 13,60 '/¡, 12

más gruesos juntos¡

» 0,13

I

»8 ménos 1767Niágara (Idem)..... .....,... 316,8 22,80

I

'/""I

10 250

1

» » 2,00Niágara (ferro-carril del Canadá). 250,0 18,00 1/13,9 2 3640 » 0,~5 5,00

DIMENSIONES DE LOS PUENTES COLGADOS MÁS NOTABLES.

PUENTES .DE CADENAS.

----.-

PUENTES..

,,1: ~.""~

ESLABONES. §",W""~

,¡;--""

...¡!J.~;~ g ~g',- .' ~

""S:~8. [; g. g~~[:

~ o' 8 ; 3 .,

~

I

1-'..' ~ ~ ti} g g.g ~

~'"g o~.

Luz. I Flecha. I ~::s. g- ~~~~~" g . ~ ~ :~... ~p;' ~ . (;p;;'~,

[ f; ~ ~:. ~ ~ ~,; °:1- ,g. ~ . ~ ~ : ~ ~: §,g.~

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r ,: ~ r;; :? : g-g--: : : . 7 e. :.~ ~ g.S-~--, ,-----

,...e00

Mets. Mets'

l

Mets. Mets. Mets. Mil. cs. Ms. Mets.Isla de Borbon, de.dos ,tramos.. 40,2 7,40 ;110.8 3 2 1,420,035 cir

.

cular ~1529 1,42 5,9 »Bamberg (Alemama).. . . . . . .

"64,3 4,31 /1<.9 4 2 4 2,48 0,090 0,018 '25920 1,'24 8,7 3,11

Graetz (Idem) .. , . ... 63,8 6,47 '/.,8 4 . 4 2,52 O,H 8 0,032 60320 1,25 14,5 4,4Podiebrad (Idem) 99,8 7,39 '/'3,8 4 2 8 3,16 0,092 O,OHi 44160 1,587,5 .2,8Praga (Idem), de dos tramos... 132,8 9,83 '/13,8 8 2 6 3,16 0,105 0,015 77300 1,58 ,9,0 3,51

Pesth{HUngria) 202,4 14,41 '/",. 4 2 iOyil 3,64 0,260[ ~:~~n327208 1,8014,0 2,7.,' ,14 COn6 ¡HammersmIth (Inglaterra) 121,8 8,96 /13,6 8 2 ¡4con 3 2,68 0,127 0,025 116100 1,34 9,0 »

MeI)3i(Idem) 176,6113,07 '/13.8 16.

4

1

5

1

3,00 0,092 0,0'25 167700 11110 8,51 3,0Tweed (Idem l. .. . . .. .. .. . .. ., 131,7

1

8,00 1/'8,2 6 3 2 4,55 0,051 cinular 24504. 1,51 5,49 »Seraing (Bélgica) . . .. . ., 105,0 7,(\0 '/18.. 4 2 '4 3,0'8 0,100 0,025 40000 1,50 4,00 4,5

INDICE.

PÁGINAS.

INTRODUCClON, , , . , , . , . . , . ,.""""""""""""""""

VII

CAPÍTULO J.-De los cables ó cadenas,

ARTícULO1.. Cadenas sometidas á su propio peso 13

ARTícULO2." Cadenas sometidas á un peso repartido uni-

formemente sobre su proyeccion horizontal. , . . .. , . . . . 16. ARTÍCULO3." De la curva real de equilibrio de las cadenas

de un puente colgado... ,. ,'",.. ", "..,.", 26

CAPÍTULO11.- Delos apoyos,.. .. ... ,.., 33CAPÍTULO 1II.- Determinacion de la flecha provisional del cable,

ARTÍCULO1." Variaciones de fl,echadependientes sólo delcable, , , . . , , . , . . ,

"

, , . , . . , . , . ."

. . , . . . . . . . . . . , . , . 41

ARTÍCULO2." Variaciones de fl,echa debidas al fiadur.."

. 44

ARTícULO 3." Variaciones debidas á la movilidad del apoyo. '47

CAPÍTULO IV.- V~riaciones accidentales de la flecha definitiva.,

ARTícULO1:- Infl,uencia de las variaciones dé temperatura, 49

ARTÍCULO2." Variaciones producidas por una carga acci-

dental. . . . . , , , . ... .""

. . ."

. . .. .. . .. . . .."'"

54

CAPÍTULO V, - Movimientos de oscilacion.ARTÍCULO1.' Oscüacionesocasionadaspor la elasticidad de

las péndolasy el cable.... . . .. , . .. . . . . . . . . . . , :. , .. 64

ARTícULO2." Oscilaciones debidas á ~a fl,exibilidad de la

construccion. . - . . . . . , . , . . . . . . . . . . . , . , . , .. . , . , , ,'

73

ARTícULO3." Oscilacioneshorizontales.. ,. . .""""'"

74CAPítuLO VI.-De los principales'sistemas de puentes colgados, 77

CAPÍTULOVIl.-Redaccion del proyecto de un puente colgado. 93

Dimensiones de los puentes colgadosmás notables , 108

TEORÍA

DE LOS

PUENTES. COLGADOSPOR

DON EDU ARDO SA AVEDRA,

INGENIERO JEFE DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS.

LAMINAS.

SEGUNDA EDICION.

MADRIDIMPRENTA NACIONAL

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ERRATAS.