Punto 4:

Primero Para resolver esta integral, hay que tener en cuenta que: 

tan²(x) = sec²(x) - 1 

Por lo tanto: 

∫ tan³(x) dx = ∫ tan(x) * [sec²(x) - 1] dx 

Distribuimos: 

∫ tan³(x) dx = ∫ tan(x) * sec²(x) dx - ∫ tan(x) dx 

Para resolver la primera integral, tomamos t = tan(x), de manera que dx = dt / sec²(x)

∫ tan(x) * sec²(x) dx =∫tan(x) dt =∫t dt = [t²]/2 = [tan²(x)]/2 

En cuanto a la segunda integral, es directa. Para eso, planteamos la tangente como sen(x) / cos(x), nos queda: 

∫ tan(x) dx = ∫ sen(x)/cos(x) dx = -∫-sen(x)/cos(x) dx 

que responde a la forma u' / u. Entonces: 

∫ tan(x) dx = - Ln|cos(x)| 

∫tan³(x) dx = [tan²(x)]/2 - [- Ln|cos(x)|] + c 

∫ tan³(x) dx = (1/2) * tan²(x) + Ln|cos(x)| + c