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PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

Notas de clase

Profesores: A. Leonardo Bauelos S.Nayelli Manzanarez Gmez

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TEMA IVMODELOS PROBABILSTICOS COMUNES

INTRODUCCIN

Las variables aleatorias sirven para modelar p roblemas con incertidumbre en los cualesla pregunta que se desea contestar est claramente de limitada. En muchas ocasiones lospro blemas de in ter s, coi nciden en la forma en la que se def ine la var iab le aleato ria , ycon ello su funcin de probabilidad o de densidad y estas coincidencias permiten laformulacin de modelos. Los modelos o distribuciones de las variables aleatorias puedenclasificarse en continuos y discretos.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Una gran cantidad de fenmenos pueden modelarse utilizando distribuciones discretaso continuas. Para el caso de las distribuciones discretas considrense los siguientesejemplos.- En el lanzamiento de una moneda, cul es la probabilidad de obtener una guila?

- En el lanzamiento de monedas, cul es la probabilidad de obtener guilas?- En un metro cuadrado de tela, cul es la probabilidad de observar defectos? etc.

Las distribuciones discretas que se estudiaran en este tema son:UniformeBernoulliBinomialGeomtricade Pascal (Binomial negativa)Hipergeomtricade Poisson

DISTRIBUCIN DISCRETA UNIFORMELa distribucin discreta uniforme es una de las ms simples de todas las distribucione sdiscretas de probab ilidad. Es aquella en la cual la v.a. asume cada uno de sus valores conla misma probabilidad.

Definicin 4.1

Sea una variable aleatoria. que toma los valores , con

igual probabilidad

,

entonces la distribucin es discreta uniforme con parmetro .Se denota .

En la notacin , la variable aleatoria es , mientras que es un

par metro del cua l dep end e la dis tribuc in . P ued e util iza rse la notacin ind icando el1

par me tro , o simp lemente . En las def inic ion es aqu mos tra das se esc rib ir la

funcin utilizando el parmetro, pero en la solucin de problemas se escribir

simplemente .

Teorema 4.1

Si es una variable aleatoria con distribucin discreta uniforme,entonces:

DemostracinDe la definicin de valor esperado

Y de la definicin de la variancia

En realidad no es un parmetro. La distribucin discreta uniforme no tiene1

par me tros, pero e n es te m omento es d e ut ilid ad la notacin .

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Probabilidad y Estadstica Tema IV Pg. 2

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Debe observase la similitud entre las frmulas de la media y la variancia de unav.a. discreta y las frmulas utilizadas en la estadstica descriptiva para la media y lavariancia de un conjunto de datos.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.1Se selecciona a un alumno de un grupo de 10 para supervisar cierto trabajo,escogiendo aleatoriamente el nombre de una caja que contiene 10 papelesnumerados del 1 al 10.

a) Obtener la frmula para la distribucin de probabilidad de querepresenta el nmero del papel que se saca. Cul es la probabilidadde que el nmero que se saque sea menor a 4?

b) Determinar l a media y la v arianc ia d e .Resolucin

a)

b)

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

DISTRIBUCIN DE BERNOULLI

Es el caso ms sencillo para modelar un experimento. Tiene nicamente dos resultadospos ibl es; sat isfa cto rio o ins ati sfacto rio , b ueno o malo, alto o baj o, etc . q ue en genera l,

pue den denomi nar se xi to (e) o fra caso (f), con pro bab ilid ade s y ,

respectivamente.

Definicin 4.2

Sea la variable aleatoria que representa el nmero de xitos que se

obtienen al realizar un ensayo de Bernoulli, entonces tiene una

distribucin de Bernoulli con parmetro .

Se denota

La distribucin de Bernoulli tambin puede escribirse como:

Teorema 4.2

Si es una variable aleatoria con distribucin de Bernoulli, entonces:

La demostracin de la media y la variancia es inmediata a partir de ladefinicin.

La limitante de la distribucin Bernoulli es que slo se tienen dos resultados yel experimento slo se realiza una vez, por lo que sirve para el lanzamiento de unamoneda (que tambin se puede modelar con distribucin uniforme si la moneda es justa),par a el lanzamien to de un dad o per o cua ndo intere sa la obs ervacin de un nme ro enpar ticu lar con tra la no o cur ren cia de dic ho nmero , e tc.

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La principal utilidad de la distribucin de Bernoulli se obtiene cuando segeneraliza la definicin de la variable aleatoria de Bernoulli. Para ello, considrese elpro ceso d e B ernoul li.

PROCESO DE BERNOULLI

Si se repite un ensayo de Bernoulli, se tiene entonces un proceso de Bernoulli.

El proceso de Bernoulli tiene las siguientes propiedades.

1 ) E l exper imento consiste de ensayos de Bernoul li .2) Los resultados de cada ensayo pueden clasificarse como xito o fracaso.

3) La probabilidad de xito , permanece constante para todos los ensayos.4 ) Lo s ensa yo s so n indep en dientes.

A partir del proceso de Bernoulli se pueden definir otras variables aleatorias,como la binomial, la geomtrica y la de Pascal.

DISTRIBUCIN BINOMIAL

Definicin 4.3

Sea la variable aleatoria que representa el nmero de xitos que se

observan al realizar un proceso de Bernoulli, entonces recibe elnombre de variable aleatoria binomial, con distribucin

Se denota: 2

La expresin de la distribucin binomial es inmediata al observar que se desean

xitos en ensayos, por lo que se tiene fracasos; puesto que el orden en el que se

obtienen los xitos y los fracasos no es importante, deben de considerarse todas laspos ibil ida des , po r lo que

Teorema 4.3

Sea una variable aleatoria con distribucin binomial y parmetros

y , entonces:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.3Supngase que los motores de un aeroplano operan en forma independiente ytienen una probabilidad de falla de 0.4. Suponiendo que un aeroplano puederealizar una vuelo seguro en tanto se ma ntengan funcionando al menos la mitadde sus motores, determinar qu aeroplano, uno de 4 motores o uno de 2, tienemayor probabilidad de terminar su vuelo en forma segura.

Resolucin

Sea la variable aleatoria que representa el nmero de motores que funcionen

en el aeroplano de 2 motores, y sea la variable aleatoria que representa elnmero de motores que funcionen en el aeroplano de 4 motores.

,Entonces, para que los aeroplanos tengan un vuelo seguro se tiene:

Algunos autores denotan a la variable aleatoria binomial como o2

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Por lo que el aeroplano con 2 motores tiene una ligera probabilidad mayor determinar su vuelo en forma segura.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

DISTRIBUCIN GEOMTRICA

Definicin 4.4

Sea la variable aleatoria que representa el nmero de ensayos deBernoulli que se requieren para observar por primera vez un xito,

entonces tiene una distribucin geomtrica con parmetro .

Se denota por .

La expresin de la distribucin geomtrica se deduce con facilidad al plantearlas probabilidades de una serie de fracasos consecutivos y finalmente un xito.

.

.

.

La distribucin geomtrica en efecto es una funcin de probabilidad. Para

pro bar que l a suma de todo s los p osible s valore s de es 1 se uti liza laser ie geom tr ica :

,

por lo que

Teorema 4.4

Sea una variable aleatoria con distribucin geomtrica con parmetro

entonces

y funcin generadora de momentos

Demostracin de la media

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo4.3Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tiene unentrenamiento avanzado en programacin computacional. Los aspirantes sonentrevistados, uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de

aspirantes. Determinar la probabilidad de que se encuentre el primer asp irantecon un entrenamiento avanzado en programacin en la quinta entrevista.Resolucin

Sea la variable aleatoria que representa el nmero de entrevistas para obteneral primer aspirante con entrenamiento avanzado.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Al calcular probabilidades con la distribucin geomtrica, puede ser de granutilidad su funcin de distribucin acumulada,

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,

en donde es la probabilidad de fracaso y es la funcin parte entera.

DISTRIBUCIN DE PASCAL (Distribucin Binomial Negativa)

La distribucin de Pascal es una generalizacin de la distribucin geomtrica, as mismola distribucin Binomial Negativa es una generalizacin de la de Pascal, por lo quealgunos autores utilizan simplemente el nombre de distribucin Binomial Negativa.

Definicin 4.5

Sea una variable aleatoria que representa el nmero de ensayos deBernoulli que se requieren para observar el r-simo xito, si en cada uno

de los ensayos se tiene una probabilidad de xito , entonces tiene

una distribucin de Pascal con parmetros y .

Se denota por . 3

Teorema 4.5

Sea una variable aleatoria con distribucin de Pascal con parmetros

y , entonces

y funcin generadora de momentos

El nombre de Distribucin binomial negativa pro viene del hecho de que los

valores de la distribucin , para son los

trminos sucesivos de la expansin binomial .

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.4

Los empleados de una empresa que fabrica aisladores son examinados paradetectar la presencia de a sbesto en sus pulmones. La empresa debe enviar tresempleados con prueb as positivas de asbesto a un centro mdico para realizarlesms exmenes. Si el 40% de los empleados tienen pruebas positivasde asbestoen sus pulmones, encontrar la probabilidad de que se tenga que examinar 10empleados para encontrar tres con asbesto en sus pulmones.

Resolucin

Sea la variable aleatoria. que representa el nmero de empleados que debenexaminarse para encontrar al tercero con asbesto en sus pulmones, entonces:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.5Un gran lote de llantas contiene 1 0% de d efectuosas, y de ah se elegirn cuatropara c olocar las en un a uto .a) Obtener la probabilidad de que seis l lantas deban seleccionarse del

lote para obtener cuatro en buen estado.b) Calcula r el valor esp era do y la var iancia del nmero de selecc ion es

que deben efectuarse para obtener cuatro llantas sin defectos.

Resolucin

a) Sea el nmero de llantas que deben ser seleccionadas hastaencontrar cuatro en buen estado.

b)

o bien , y en algunos textos .3

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S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Tpico Especial: DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA

Cuando se desea calcular la probabilidad de obtene r xitos en ensayos, pero la

pro bab ilid ad en cad a ensayo no se man tien e con stante , sino que se ve modif ica da enfuncin de las extracciones anteriores, la distribucin binomial no puede utilizarse.

En estos casos se utiliza la distribucin hipergeomtrica.

En la prctica la diferencia entre la distribucin binomial y la distribucinhipergeomtrica radica en el hecho de que para el caso de la binomial se considera quela poblacin es infinita(o finita con reemplazo), mientras que para la hipergeomtrica

se considera que la poblacin esfin ita de tamao (y sin reemplazo) y en ella existenelementos que satisfacen la caracterstica de inters (xitos).

Definicin 4.6

Si la variable aleatoria representa el nmero de xitos en ensayos

extrados de una poblacin de tamao , con elementos que tienen la

caracterstica de inters, entonces es una variable aleatoria

hipergeomtrica con parmetros , y ; y con funcin depro babili dad:

Se denota 4

La deduccin de la frmula para la distribucin hipergeomtrica es inmediataal considerar nmero de casos a favor entre nmero de casos totales aplicando lastcnicas de conteo.

Debe observarse que la distribucin hipergeomtrica converge a la binomial

cuando . En la prctica, la distribucin binomial representa una buena

aproximacin a la hipergeomtrica siempre que .

Teorema 4.6

Sea una variable aleatoria con distribucin hipergeomtrica conparme tro s , y , en tonces :

El cociente debe interpretarse como la proporcin de elementos que

cumplen la caracterstica de inters, o bien, como la probabilidad de observar un xito

en la primera extraccin. Entonces si se sustituye el valor esperado y la variancia

de una distribucin hipergeomtrica se pueden escribir

El valor esperado coincide co n el de la distribucin binomial y la variancia slo

difiere en el factor , el cual recibe el nombre de fac tor de cor recci n por

pob lac in fin ita y se denota .

Si entonces y los parmetros de la distribucinhipergeomtrica coinciden con los de la binomial.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.6Cul es la probabilidad de que una auditora de H acienda detecte solamente dosdeclaraciones de impuestos con deducciones ilegales, si se seleccionan

o .4

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aleatoriamente seis de 18 declaraciones, ocho de las cuales contienendeducciones ilegales?

Resolucin

Sea la variable aleatoria que representa al nmero de declaraciones ilegales

detectadas, entonces:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.7Un cargamento de 120 alarmas contra r obo contiene cinco defectuosas. Si tresde ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarc adas para un cliente, obtenerla probabilidad de que al cliente le toque una defectuosa, utilizando

a) la frmula de la distribucin hipergeomtrica;b) la frm ula de la d istr ibucin b ino mia l co mo una apr oxi maci n.

Resolucin

a) Sea la variable aleatoria que representa el nmero de alarmascontra robo defectuosos de una muestra de tres, si en un lote de 120slo cinco estn defectuosos

b) Sea la var iab le aleato ria que repres enta el nmero de ala rmasdefectuosas.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

DISTRIBUCIN DE POISSON

La distribucin de Poisson es una de las distribuciones discretas que tienen msaplicacin. Sirve cuando se desea calcular la probabilidad de ocurrencias de un eventoen un intervalo continuo determinado. En particular, se puede modelar el nmero dellegadas por unidad de tiempo.

La distribucin de Poisson surge a partir del proce so de Poisson, el cual cumplecon las siguientes caractersticas.

1) Estacionaridad. La probab ilidad de que ocurra un evento en un intervalo de

tiempo de longitud es , con constante. recibe el nombre de intensidad delpro ceso.

2) Unicidad o No multiplicidad. La probabilidad de que ocurra ms de un

evento en un intervalo (de tiempo) de longitud ( ) es despreciable comparadacon la probabilidad de que ocurra solamente uno.

3) Independencia. El nmero de ocurrencias en cualquier intervalo de tiempoes independiente del nmero de ocurrencias en cualquier otro intervalo.

Deduccin de la funcin de Probabilidad de Poisson a partir de la DistribucinBinomialConsidrese la distribucin binomial

si para se cumple la relacin de modo que

, ,entonces

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Cuando , mientras que el tercer factor tiende a uno, por lo

que:

Para modificar la escala se sustituye por ,

que es la distribucin de Poisson obtenida anteriormente.

La escala no es indispensable para la distribucin de Poisson, puesto que

pue de con sidera rse que se e studia sob re 1 unidad (de tiempo ) con lo que .

Definicin 4.7

Sea una variable aleatoria con distribucin de Poisson, con parmetro

entonces

Se denota .

Comnmente, las unidades de la intensidad se consideran ,

per o en genera l so n .

Teorema 4.7

Sea una variable aleatoria con distribucin de Poisson y parmetro ,entonces:

Demostracin del valor esperadoLa demostracin del valor esperado se simplifica si se utiliza la frmula derecurrencia para la distribucin de Poisson,

de donde

,

o bien

por lo que

y para el lado izquierdo, si

y reescribien do a como , sin cometer error, puesto que para la sumafunciona como variable muda,

Por lo que

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S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.8

En promedio, en una cierta interseccin ocurren tres accidentes viales por mes.Determinar las probabilidades de que en un determinado mes en estainterseccin ocurran

a) ex ac tamente cinc o ac ciden tes;b) men os de tres ac cidentes.

Resolucin

Sea la variable aleatoria que representa el nmero de accidentes por mes.

a)

b)

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.9

Si tiene una distribucin de Poisson con parmetro , y si

, calcular .Nota: La dis tribuc in de Po isso n es :

;

Resolucin

De

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

APROXIMACIN DE LA DISTRIBUCIN DE POISSON A LABINOMIAL

Puesto que la distribucin de Poisson puede obtenerse como un caso lmite de ladistribucin binomial, no debe de sorprender que sirva para aproximar probabilidades

bin omiales. C uando es g rande y peq ue a, la s pr oba bil idades bin omiale s se pueden

aproximar mediante la distribucin de Poisson utilizando

Una regla aceptable para emplear la aproximacin es que si entonces

; o si la aproximac in es muy buena para . En general,

mientras ms grande sea y ms pequea sea , tanto mejor ser la aproximacin.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.10

Si el 0.8% de los fusibles depositados en un lote estn defectuosos, utilizar laaproximacin de Poisson para determinar la probabilidad de que cuatro fusibles

estn defectuosos en una muestra aleatoria de 400.

Resolucin

de donde

Sea la variable aleatoria que representa el nmero de defectuosos entre los

400, y la variable aleatoria que representa el

nmero de defectuosos,

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

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Despus de estudiar las variables aleatorias discretas, deben de estudiarse aquellosmodelos que sirven para los experimentos cuyo resultado tome valores de un conjuntocontinuo, lo que da lugar a las distribuciones continuas.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Las distribuciones continuas que se estudiarn en este captulo, son:Uniforme continua.Exponencial.Normal.

No son las nicas dis tribuc iones con tinuas , algu nas otras dis trib ucione s sonGamma, Erlang, t, F y la ji cuadrada. Las distribuciones t y ji cuadrada se estudiarn enel tema 6.

DISTRIBUCIN CONTINUA UNIFORMELa distribucin continua uniforme es las ms simple de todas las distribucionescontinuas de probabilidad.

Definicin 4.8

Sea una variable aleatoria que se distribuye

entonces tiene una distribucin continua uniforme con parmetrosy .

Se denota .

En la notacin de la distribu cin uniforme continua, debe observarse que setienen dos parmetros, por lo que no se puede confundir con la distribucin discretauniforme, puesto que la discreta se denota slo con un parmetro.

Teorema 4.8

Si es una variable aleatoria con distribucin continua uniforme,entonces:

Las demostraciones son inmediatas al aplicar la definicin de valor espe rado yvariancia.

Para la variable aleatoria continua uniforme, la funcin de distribucinacumulada puede obtenerse integrando directamente, de donde:

que se utiliza en el siguiente ejemplo.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.11El tiempo de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan el concretohacia una obra de construccin en una carretera, est distribuido uniformementeen un intervalo de 50 a 70 minutos. Cul es la probabilidad de que la dura cindel viaje sea mayor a 65 minuto s si se sabe que la duracin del viaje e s mayora 55 minutos?

Resolucin

Sea la variable aleatoria que representa el tiempo del viaje, entonces

,

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

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DISTRIBUCIN EXPONENCIAL

Dentro de un proceso de Poisson, considrese la variable aleatoria , que representa el

tiempo que transcurre entre dos ocurrencias sucesivas de un even to, lo cual llevar a ladistribucin exponencial.Para obtener la funcin de densida d de una variable aleatoria con distribucin

exponencial, se obtendr primero la funcin de distribucin acumulativa, y puesto que

la variable aleatoria es continua la funcin de densidad se obtiene de la relacin

Si es una variable aleatoria con distribucin de Poisson, entonces

per o agregan do a la d istr ibu cin la es cal a para el t iempo, se tiene:

por lo que :

Si la ocurrencia se da despus de ,

entonces antes de el nmero deocurrencias es igual a cero.

y calculando la probabilidad de

mediante la distribucin de Poisson.

Por lo que para obtener la funcin de densidad:

Definicin 4.9

Sea la variable aleatoria que representa el intervalo (generalmentetiempo), que transcurre entre dos ocurrencias sucesivas de un evento,

entonces tiene una distribucin exponencial con parmetro y

funcin de densidad

Se denota por .5

En ocasiones algunos autores utilizan el parmetro para definir a la funcin

de densidad exponencial, donde , por lo que la funcin de densidad queda:

Teorema 4.9

Sea una variable aleatoria con distribucin exponencial y parmetro

, entonces:

y la funcin generadora de momentos es:

Tambin se denota5

.

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S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.12El tiempo, en horas, que tarda un gerente en entrevistar a un aspirante para un

trabajo, tiene una distribucin exponencial con . Los aspirantes estn

pro gra mados en int ervalo s de de hor a, empeza ndo a las 8:0 0 a.m. , y los

aspirantes llegan exactamente a tiempo. Cu ando el aspirante con una cita a las8:15 a.m. llega a la oficina del gerente, cul es la probabilidad de que tengaque esperar para poder ver al gerente?Resolucin

Sea la variable aleatoria que representa el tiempo que tarda una entrevista,entonces:

O bien, utilizando la funcin de distribucin acumulada , ,

se tiene:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Los problemas de probabilidad, pueden involucrar ms de una distribucin pararesolverlos. El siguiente ejemplo muestra el caso en el cual se utiliza la variable aleatoriaexponencial y luego se calcula un valor esperado de una variable aleatoria discreta.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.13Un fabricante de un monitor de televisin comercial garantiza el cinescop io porun ao (8760 horas). Los monitores se utilizan en terminales de aeropuerto parapro gra mas de vue lo y estn e nce ndidos en uso con tinuo. La vida me dia de lostubos es de 20000 horas, y siguen una densidad de tiempo exponencial. Elcosto de fabricacin, venta y entrega es de $3000 y el monitor se vende en elmercado en $4000. Cuesta $1500 reemplazar el cinescopio cuando falla,incluyendo material y mano de obra. El fabricante no tiene obligacin desustituir el cinescopio si ya ha habido una primera sustitucin. Cul es lautilidad esperada del fabricante?

Resolucin

Sean la utilidad , y el tiempo de vida de un cinescopio.

Por lo tanto

Finalmente:

La utilidad ser de $467.99 por monitor.S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

La distribucin exponencial posee una caracterstica muy importante, la cual seconoce comofal ta d e memoria o amnsica. Es la nica variable aleatoria continua conrecorrido en los reales positivos que tiene esta propiedad.

La propiedad de falta de memoria dice que:

esto se comprueba con facilidad

DISTRIBUCIN NORMAL

La distribucin normales una de las ms utilizadas en la prctica. Muchos problemasreales tienen un comportamiento que se puede aproximar al de la distribucin normal.Fue descubierta por DeMoivre en 1733 como una forma lmite de la distribucinbin omial, de spus la es tud i Lapla ce, ap rox imad ame nte en el a o de 1775 y en ocasione sse le conoce como distribucin gausiana debido a que Gauss la cit en un artculo en

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1809.Durante los siglos XVIII y XIX se hicieron esfuerzos para establecer el modelo

normal como la ley bsica que rige las variables aleatorias continuas: de ah el nombre"normal". Estos esfuerzos fracasaron.

Definicin 4.10

Si una v ariable aleatoria tiene una funcin de densidad dada por:

Donde y son constantes tales que , , entonces

tiene una distribucin normal con parmetros, media y variancia

, lo cual se denota por:

Propiedades de la funcin de densidad normal

1)

2)

3) ,

4) Es smtrica

5) El mximo ocurre en

6) Puntos de inflexin en7) Curtosis igual a 3

Puesto que la distribucin normal es simtrica coinciden la media, la medianay la moda en el mismo valor. Por otro lado, la curtosis de la distribucin normal es 3, yes por eso que la curtosis se compara contra dicho valor.

Para obtener la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre entre

y , es necesario resolver la integral:

que equivale a obtener el rea bajo la curva normal; sin embargo, no existe solucinanaltica exacta para la integral, por lo que su evaluacin se hace utilizando mtodosnumricos o tablas de la distribucin normal estndar.

Una variable estandarizada es aquella que tiene media 0 y variancia 1.

La grfica anterior muestra una curva normal con parmetros media 2 y variancia 4.

DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR

La distribucin normal estndar es un caso particular de la distribucin normal, la cualtiene como parmetros 0 y 1, e s decir, tiene una media de cero y una variancia de 1. Se

denota mediante . El procedimiento para obtener una variable aleatoriacon distribucin normal estndar a partir de una variable aleatoria con distribucinnormal y parmetros cualesquiera es mediante un corrimiento y un escalamiento, lo quelleva a la expresin:

donde .

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La grfica anterior muestra una curva normal estndar.

La tabla del apndice 1 proporciona las probabilidades que se obtienen con la funcinde distribucin acumulativa normal estndar (reas bajo la curva normal estndar de co la

izquierda). Por ejemplo, la probabilidad de que sea menor que 1.66, ,es equivalente a encontrar el rea bajo la curva normal de menos infinito a 1.66. Estapro babil idad se ob tien e directame nte de la tab la. La pri mera columna propo rcionaenteros y un decimal mientras que el primer rengln proporciona el segundo decimal,as, para encontrar el 1.66 se localiza en la primera columna el 1.6 y sobre ese renglnse cruza con la columna cuyo encabezado es 0.06 obtenindose el valor de 0.9515.

Al obtener cualquier probabilidad que no proporcione directamente la tabla,deber recordarse que la distribucin normal estndar es simtrica con respecto alorigen, y que el rea total bajo la curva es la unidad.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.14Sea una variable aleatoria con media 0 y desviacin estndar 1, obtener:

a)

b)ResolucinUtilizando tablas de distribucin normal estndar

a)Que se obtiene directamente de la tabla.

b)Que se obtiene al realizar una diferencia de los valores encontrados enla tabla, para 1.97 y -0.86.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.15Los pesos de un nmero grande de pe rros de lana miniatura estn distribuidosaproximadamente en forma normal con una media de 8 kilogramos y unadesviacin estndar de 0.9 kilogramos. Si se registran las mediciones y secierran a dcimas de kilogramo, encontrar la fraccin de estos perros de lanacon pesosa) arriba de 9.5 kilogramos;b) cuando mucho 8 .6 k ilogra mos;c ) e ntr e 7 .3 y 9 .1 ki lo gr amo s in clu si ve .

Resolucin

a) : es la variab le alea to ria que representa e l peso de los perros de lanaminiatura

La fraccin de perros de lana miniatura con peso por encima de 9.5kilogramos es:

b)

La fraccin de perros de lana miniatura que pesa n cuando mucho 8.6kilogramos es:

c)

La fraccin de perros de lana miniatura que pesan entre 7.3 y 9.1kilogramos es:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Teorema 4.10Sea una variable aleatoria normal, , entonces lafuncin generadora de momentos est dada por:

La demostracin de este teorema se proporciona como tpico especial.

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APROXIMACIN DE LA DISTRIBUCIN NORMAL A LABINOMIAL

Las probabilidades asociadas con una distribucin binomial, pueden obtenerse

fcilmente cuando es pequea, utilizando la expresin

per o s i es gra nde , e l clculo se c omp lica. U na forma de res olv er esto s p roble mas esmediante la aproximacin de Poisson, vista en el tema anterior, pero tiene el

inconven iente de que debe ser grande y pequea. Ahora se estudiar otra formade aproximar probabilidades binomiales utilizando la distribucin normal.

Teorema 4.11

Si es una v.a. con distribucin binomial con parmetros y

, entonces la forma lmite de la distribucin de

cuando , es la distribucin normal estndar .

En general, la aproximacin es adecuada cuando

y

o bieny

Una forma de ilustrar la aproximacin, es mediante el histograma para ladistribucin binomial.

Finalmente, para realizar la aproximacin, es necesario realizar un ajuste porcontinuidad, es decir, la variable aleatoria binomial es discreta, mientras que la variablealeatoria normal es continua, por lo que debe realizarse un pequeo ajuste para mejorarla aproximacin.

Si para una variable aleatoria con distribucin binomial se desea calcular la

pro bab ilid ad de que este entre y , el aju ste por cont inu idad e st dad o p or:

donde es una diferencial de media unidad, i.e. representa media unidad de lasestudiadas.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.16

Si 20% de los residentes de cierta ciudad prefieren un telfono blanco quecualquier otro color disponible, determinar la probabilidad de que entre lossiguientes 1000 telfonos que se instalen en esta ciudad

a ) e nt re 17 0 y 18 5 i nc lu si ve se an bla nc os; yb) al menos 210 per o no ms de 225 sean bla nco s.

Resolucin

Utilizando aproximacin normal, y con la variable aleatoria que representeal nmero de telfonos blancos que se instalan.

a)

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b)

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NMEROS ALEATORIOS E INTRODUCCIN A LA SIMULACIN

La simulacin es una tcnica muy utilizada en la toma de decisiones cuando los modelospro bab ils ticos son muy comple jos par a ob ten er l a so luc in ana ltica.

El desarrollo tecnolgico de los sistemas computacionales ha permitido que lasimulacin de procesos sea cada vez ms utilizada. En e sta seccin se mostrar la forma

de generar variables aleatorias que sigan una distribucin en particular, utilizando elmtodo de la transformada inversa, y posteriormente se ilustrarn unas aplicaciones muysencillas de simulacin.

Mtodo de la Transformada inversa

El mtodo de la transformada inversa consiste en relacionar la funcin de distribucinde una variable aleatoria con un nmero aleatorio c on distribucin uniforme entre ceroy uno. De las propiedades de la funcin de distribucin se sabe que

por lo que se igua la e l nm ero aleato rio con dis trib ucin u nifo rme ent re c ero y uno conla funcin de distribucin acumulativa para despejar de esa ecuacin la variable aleatoria

, que tendr la distribucin buscada.

Esto es, se iguala

y de ah se despeja a , tenindose

y al escribir a como variable aleatoria se tiene

))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.17Obtener una expresin para generar nmeros aleatorios con distribucinexponencial utilizando el mtodo de la transformada inversa.

Resolucin

Sientonces, su funcin de densidad es

y su funcin de distribucin acumulativa es

Al igualar con la variable aleatoria , con , se tiene:

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De donde

per o si , ento nces es su si mtrico en e l inte rva lo

de cero a uno y tambin es una variable aleatoria uniforme, por lo quey se puede escribir:

de donde

y escribiendo en trminos de variables aleatorias

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

El mtodo de la transformada inversa tambin puede aplicarse para variablesaleatorias discretas. El siguiente ejemplo muestra la forma de hacerlo.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Ejemplo 4.18Un vendedor de peridicos sabe que la demanda diaria de los peridicos quetiene para venta est dada por:

0 1 2 3 4 5

0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05

Utilizar los nmeros aleatorios 0.4501, 0.0364, 0.5778, 0.8066 y 0.9591 paradeterminar la demanda de cada uno de los siguientes 5 das.

ResolucinLa funcin de distribucin acumulada de la demanda diaria est dada por

0 1 2 3 4 5

0.1 0.3 0.6 0.8 0.95 1

El histograma de probabilidad sera

y se ilustra la aplicacin del mtodo de la transformada inversa para el valor0.4501, el cual indica que en el primer da de la demanda es de 2 peridicos.La regla de asignacin es:

Utilizando la regla de correspondencia, las demandas seran:

Da Demanda

1 0.4501 2

2 0.0364 0

3 0.5778 2

4 0.8066 4

5 0.9591 5S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

El mtodo de la transformada inversa sirve para obtener una frmula queper mita generar los nmero s a lea tor ios con la dis tribuc in des ead a, a d icha frm ula sele llama gen erador. Una vez que se tiene el generador, entonces se debe utilizar unacomputadora o una calculadora que permita el manejo de hojas de clculo o de

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pro gra macin p ara o bte ner todo s los nme ros a lea tor ios dese ado s y de ah la simulacindel experimento.

Tpico Especial: Distribucin Binomial Negativa

Si la variable aleatoria representa el nmero de ensayos necesarios para observar el

xito, entonces es una variable aleatoria con distribucin de Pascal, ;

per o al mod ela r sobre el mi smo exp erimen to, se pued e de fin ir a la variabl e aleatori a ,

que representa el nmero de fracasos hasta que se observen los primeros xitos,tenindose la relacin

y es una variable aleatoria que recibe el nombre de binomial negativa. Se puededenotar por

aunque muchos autores utilizan la notacin o .

La funcin de probabilidad se deduce a partir de la distribucin de Pascal,tenindose:

Utilizando la propiedad de simetra del coeficiente binomial, la distribucinbin omial negativa p ued e escr ibi rse com o

donde es un entero positivo.

La distribucin binomial negativa puede generalizarse pa ra casos en los queno es un entero, para ello slo es necesario generalizar la definicin del coeficientebin omial a tr av s de la func in gamma.

Definicin 4.11

Si y son nmeros reales, entonces

donde es la funcin gamma.

Utilizando esta extensin de la definicin del coeficiente binomial, ladistribucin binomial negativa puede escribirse como

;

O bien, en forma ms compacta

en donde el coeficiente binomial pude calcularse como:

par a y ente ros.

Y de la ltima expresin para puede observarse la razn de que se le

denomine distribucin binomial negativa. Para hacerlo evidente considrese la

pro bab ilid ad d el espa cio muestra l, y a par tir de ah , se esc rib en l as p rob abi lidade s de ladistribucin, esto es:

Y utilizando el binomio de Newton (que ahora puede generalizarse tambin)

y los trminos

son las probabilidades de la variable aleatoria , el nmero de fracasos para observar los

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pri meros xi tos .Finalmente

Y del inicio

De donde

y se observa que el desarrollo del binomio negativo, proporciona los trminos depro bab ilid ad de la d istr ibu cin, d e a h e l nombre de binomial negativa.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Tpico Especial: Deduccin de la funcin de Probabilidad de Poisson a partir delproceso de Poisson

Sea la probabilidad de tener ocurrencias en el intervalo de tiempo ,

entonces, si se cumplen las caractersticas del proceso de Poisson

1. La probabilidad de una sola ocurrencia en un intervalo muy pequeo es .

2. El intervalo es tan pequeo que la probabilidad de tener ms de una ocurrencia esdespreciable.3. En un intervalo, los eventos son independientes.

Para observar ocurrencias en el intervalo , se tienen dos diferentes

(excluyentes) probabilidades.

1. Existen ocurrencias en , con probabilidad y ninguna en , con

pro bab ilid ad .

2. Existen ocurrencias en , con probabilidad y una ocurrencia en

con probabilidad .

De la suposicin de independencia, la probabilidad de observar ocurrencias

en es:

manipulando algebraicamente

si se toma el lmite cuando , entonces el lado izquierdo de la igualdad se

convierte en la derivada de , es decir,

. . . (a)

que es una ecuacin diferencial lineal con respecto a y una ecuacin en diferencias

finitas de primer orden con respecto a .

En particular, si , entonces (a) se convierte en

y puesto que (la probabilidad de tener -1 ocurrencias es cero)

Resolviendo por separacin de variables la ecuacin diferencial se tiene:

Y puesto que la probabilidad de tener cero ocurrencias en un intervalo de

longitud , debe ser uno, entonces , por lo que:

Si , entonces (a) se convierte en

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y puesto que entonces

Se tiene una ecuacin diferencial no homognea. Para resolverla se debe

considerar la condicin inicial , puesto que la probabilidad de tener una

ocurrencia en un intervalo de longitud cero, , es cero.

Simplificando la notacin, si entonces:

aplicando la transformada de Laplace6

antitransformando

En la notacin original

Procediendo de manera similar, para , de (a) se obtiene:

Al continuar el proceso se deduce que

expresin que recibe el nombre de distribucin de Poisson.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

Tpico Especial: Funcin Generadora de Momentos de la Distribucin Normal

Si es una variable aleatoria con distribucin normal y parmetros y entonces

;

Y la funcin generadora de momentos es

Realizando el cambio de variable

Algunas frmulas bsicas son:6

,

,

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y se observa que la integral junto con el coeficiente , es la integral de

una funcin de densidad normal con media y variancia uno, por lo que

su valor es 1.Finalmente la funcin generadora es:

AUTOEXAMEN TEMA IV

1.- En promedio, un jugador de beisbol conecta un "hit" en uno de tres intentos.Asumiendo que los eventos son independientes, la probabilidad de que conecte

exactamente 3 "hits" en 6 intentos es:

A) B) C) D) E)

2.- En cierta ciudad, la probabilidad de que ocurra una tormenta en cualquier dadurante la primavera es 0.03. Suponiendo independencia, la probabilidad de

que la primera tormenta ocurra el da 20 de la primavera es:

A) 0.0168 B) 0.03 C) 0.5438 D) 0.5606E) Ninguna de las anteriores.

3.- Un gerente de personal est entrevistando a empleados potenciales con el finde cubrir dos vacantes. La probabilidad de que el entrevistado tenga las

cualidades necesarias y acepte un ofrecimiento es 0.8. La probabilidad de que

el gerente deba entrevistar cuando mucho a 3 personas es:


4.- Con el propsito d e decidir si se aceptan los lotes de mercanca que enva unafbrica, se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar diezartculos al azar de cada lote y determinar el nmero de defectuoso s. Un lote serechaza siempre que se encuentren dos o ms artculos defectuosos entre losdiez seleccionados. Supngase que el nmero de artculos en cada lote esgrande y que cada lote contiene un 5% de defectuosos, entonces la

pro bab ilid ad de rechaz ar el lote es :

A) 0.0746 B) 0.914 C) 0.086 D) 0.599E) 0.401

5.- En un crucero poco transitado, slo el 20% de los automviles hacen alto totalantes de cruzar. De los siguientes 40 automviles que tra nsitan por el crucero,

el nmero esperado de ellos que hacen alto total es:

A) Prcticamente cero B) 6.4 C) 8 D) 32E) Ninguna de las anteriores.

6.- Un excursionista desea seleccionar el tipo de linterna de mano que debe llevaren su siguiente campamento. Puede llevar una linterna de una sola batera de6 V u otra que utiliza dos bateras tamao D de 1.5 V. En este momento tienedos bateras de 6 V y cuatro de 1.5 V y no puede comprar ms bateras. Si lapro bab ilid ad de que cua lqu ier batera func ion e es 0.6 y func ionan de man eraindependiente; entonces, las probabilidades de que las linternas de 6 V y de 3

V funcionen son, respectivamente:

A) 0 .16, 0 .179 B) 0 .48, 0 .346 C) 0 .84, 0 .821 D) 0 .36, 0 .13E) Ninguna de las anteriores.

7.- La probabilidad de que u n alumno de cierta universidad tenga telfono celulares 0.2. Entonces, la probabilidad de que el dcimo alumno entrevistado

aleatoriamente de esta universidad sea el quinto con telfono c elular es:


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8.- En cierto da, se puso en prctica la segunda etapa del plan de contingenciaambiental, en la Ciudad de Mxico. Si en la zona que le corresponde a unsupervisor hay 50 empresas, de las cuales 15 no siguieron los lineamientos dela contingencia, entonces la probabilidad de que 3 empresas de las 10 que

verifica no sigan los lineamientos es:


9.- Si los aviones que llegan a un aeropuerto siguen un proces o de Poisson con unatasa media de 8 aviones por hora. La probabilida d de que lleguen exactamente

10 aviones en las siguientes 2 ho ras es lo ms cercana a:

A) 0 B) 0.1126 C) 0.099 D) 0.0341E) Ninguna de las anteriores.

10.- En un sistema de cmputo de tiempo compartido, el nmero de peticiones detelepuerto es 0.2 por milisegundo, en promedio, y sigue una distribucin dePoisson. Entonces la probabilidad de que no lleguen peticiones durante los tresmilisegundos siguientes es:

A) 0.5488 B) 0.8187 C) 0.1822 D) 0.2729E) Ninguna de las anteriores

11.- Ciertas resistencias se fabrican con una tolerancia de . Si se consideraque la resistencia real est distribuida uniformemente dentro de dicho intervalo,

la probabilidad de que una resistencia con valor nominal de 1000 tenga unaresistencia real entre 990 y 1010 es:

A) 0.8 B) 0.6 C) 0.4 D) 0.2 E) 0.1

12.- El precio que se pide por cierto a rtculo se distribuye normalmente con mediade $50.00 y desviacin estndar de $5.00. Los compradores estn dispuestosa pagar una cantidad que tambin se distribuye normalmente con media de$45.00 y desviacin estndar de $2.50. La probabilidad de que se realice la

transaccin es:

A) 0 B) 1 C) 0.187 D) 0.813 E) 0.255

13.- Una videocasetera tiene una distribucin de tiempo de falla exponencial, contiempo medio de 20 000 horas. Si la videocasetera ha durado 20 000 horas,

entonces la probabilidad de que falle a las 30 000 horas o antes es:

A) 0.606 B) 0.3935 C) Prcticamente cero D) 0.777

E) Ninguna de las anteriores.

14.- De las siguientes curvas normales, con los p armetros que se indican, la que se

par ece ms a la cu rva con par me tro s y es:

A) B) C)

D) E)

15.- El tiempo de servicio en la ventanilla de cierto banco sigue una distribucinexponencial con una media de 2 minutos. La proba bilidad de que el tiempo de

servicio para el siguiente cliente sea de 3 minutos o ms es:


16.- Si para una variable aleatoria normal se sabe que y

entonces la media y la variancia de son,

respectivamente:

A) 3 , 2 B) 2 , 3 C) 2 , 9 D) -2 , 3E) Ningunos de los anteriores.

17.- Los parmetros de forma, sesgo ( ) y curtosis ( ) para una distribucin

normal deben tomar los valores:

A) , B) ,

C) , D) ,

E) ,

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18.- Si es una variable aleatoria con distribucin normal con media 2 y variancia

9, y Z es una variable aleatoria normal estndar, entonces es

igual a:

A) B)

C) D)

E) Ninguna de las anteriores.

19.- La precipitacin anual por lluvias en cierta regin tiene una distribucin normal

con y . La probabilidad de que en dos de los

pr ximos c uat ro ao s la pre cip itacin sea de ms de 44 es:

A) 0.004 B) 0.1587 C) 0.4761D) 0.1069 E) Ninguna de las anteriores.

20.- Una llamada telefnica lleg a un conmutador en un tiempo aleatorio dentrode un minuto. El conmutador estuvo completamente ocupado durante 15segundos de ese perodo de un minuto. La probabilidad de que la llamada

llegara cuando el conmutador no estaba ocupado es:

A) 0.75 B) 0.99 C) 0.25 D) 1E) Ninguna de las anteriores.

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