¿Qué es?

Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro, (FI), también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones. esta ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucesión de Fibonacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas... y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte.

Historia

Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, (FI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento.

Su valor

El valor numérico de FI, Ф, es de 1,618... . luego es un número irracional como PI, π, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales no periódicas. Es imposible conocer todas las cifras de dicho número (al igual que PI) y nos contentamos con conocer unos cuantos dígitos suficientes para la mayoría de sus aplicaciones.

Ejemplo del número áureo con 100 cifras decimales:1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818902449707207204189391137…

¿Qué mide?

Supón que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos trozos de tamaños distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplo dividiéndolo de modo que la parte mayor sea el doble que la menor, o cuatro veces la menor, etc. Ahora bien, sólo existe una forma de dividir tal segmento, de modo que la relación (razón o ratio) que guarden el segmento completo y la mayor de las partes sea igual. Es decir, son iguales el segmento y el trozo mayor que las dos partes entre sí. Para ello basta con que dividas la longitud del segmento inicial entre =1,6180339… y el resultado es la longitud del trozo mayor.

Rectángulo áureo

Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus proporciones.Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1 más la raíz de 5, por lo que la proporción entre los lados es 1 más la raíz de 5 todo ello dividido entre 2.Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, billetes de lotería, cajetillas de tabaco, etc...).

La Estrella Pentagonal

Según la tradición, la estrella pentagonal era el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde solo tenía cabida los números fraccionarios. La casualidad (o quizás no) hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro, el irracional como puedes ver en la figura, donde QN, NP y QP están en proporción áurea.

La Sucesión de Fibonacci

Consideremos la siguiente sucesión de números:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...Cada número a partir del tercero se obtiene sumando los dos que le preceden (por ejemplo, 21=13+8; el siguiente a 34 será 34+21=55). Esta sucesión es la llamada "Sucesión de Fibonacci" (Leonardo de Pisa 1170-1240). Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número de oro (1,61803398874989484820458...).

1 2

25

1 24

1; 1; 1 2

75025; : 1,618033989

46368

n

n

n

a a a n n

a apor ejemplo

a a

NUMERO DE ORO 1.- División de un segmento en media y extrema razón. División Áurea de un segmento.Dado un segmento AB, dividirle en dos partes AE y EB de forma que:

AB AE

AE EB2AE AB EB

El valor del cociente AB/AE se le denomina número de oro, normalmente

representado por . los segmentos AE y EB están en proporción áurea

Calculo del punto E que divide a segmento AB en media y extrema razón

Ahora veremos el procedimiento para encontrar el punto E que divide a un segmento en media y extrema razón

Se toma el punto medio M del segmento AB

Se traza la perpendicular por uno de los extremos del segmento AB

En este caso se ha elegido el punto B

Se toma como centro el punto B y se traza la circunferencia con radio BM yque corta a la perpendicular trazada por B en el punto C

Ahora tomando como centro el punto Ctrazamos La circunferencia de centro C y radio CB que corta al segmento AC en el punto D

Finalmente tomamos como centro el A y con radio AD trazamos la circunferencia de radio AD y que corta al segmento AB en el punto E ( este es el punto que divide al segmento en media y extrema razón)

El segmento AE se denomina segmento Áureo

1 51,618033988...

2

AB

AE

Número de Oro

Está es la gráfica que se encuentra en el libro de los elementos de Euclides. (para ser más exactos en el libro VI)

El número de oro se encuentra en algunos polígonos regulares.

Polígono regular de 10 lados

Construcción del pentágono regular a partir del segmento Áureo

Por el punto E trazamos la perpendicular ED=AE

Trazamos la circunferencia de centro E y radio EA (segmento Áureo)

Tomando como centro el punto D y radio DB se traza la circunferencia que corta a lainicial en los punto P y Q siendo estos vértices del pentágono buscado

Finalmente tomando como centros los puntos P y Q y radios BD se trazan las circunferencias que cortan a la inicial en los punto M y N siendo vértices del pentágono buscado

EJERCICIOS CON CABRI

• Construir un segmento áureo

• Construir un rectángulo áureo

• Construir un pentágono áureo