¿Qué es Estadística?

Es la ciencia encargada de recoger, clasificar, describir y analizardatos numéricos que sirvan para deducir conclusiones y tomardecisiones a partir de estos análisis.

La Estadística se divide en dos grandes grupos: Estadística descriptiva o deductiva: Se ocupa de la recolección, organización y representación de datos en forma coherente. Estadística inductiva o inferencial: Se ocupa de interpretar los datos recogidos y obtener conclusiones a partir de ellas.

¿ Qué es una población?

Población o Universo: Es el conjunto de todos los individuos u objetos que poseen alguna característica común observable.Una población puede ser finita o infinita.

Ejemplo: - La población consistente en la fabricación de refrigeradores, en una empresa determinada, en un día determinado, es finita.- La población formada por todos los posibles sucesos (caras o sellos en tiradas sucesivas de una moneda es infinita.- La población formada por los Números Naturales es infinito- La población formada por el número de alumnos de un colegio determinado, en un año determinado es finito.

¿Qué es una muestra?

Muestra es un subconjunto de la población. Es una parte de ella.

Se dice que una muestra es representativa de la población, cuandocorresponde más o menos al 20% de ella. Y se pueden deducir importantes conclusiones acerca de ésta, a partir del análisis dela misma.

Ejemplo: Población: Padres de los alumnos de un colegio Muestra: Padres de los alumnos de Octavo año

La muestra se puede elegir en forma aleatoria, estratificada omixta

¿Qué es una variable?

Una variable es la característica o atributo a observar.

El conjunto de valores asignados a la variable se llama dato o dominio de la variable.Las variables pueden ser continuas o discretas.

Variable continua es aquella que puede tomar cualquier valorentre dos valores dados, es decir, en un rango determinado.Ejemplo: La estatura de los alumnos de un cuarto básico es continua, porque pueden medir 1,40 m 1,42 m 1,408 m etc

Variables discreta son aquellas que toman un valor entero

Ejemplo: El número de hijos de una familia es discreta, porque puede haber 1, 2, 3, ....etc. hijos

Ejercicios

Decir de las variables siguientes cuáles representan datos

discretos o datos continuos. Número de acciones vendidas cada día en un mercado de

valores.Respt: Discreta

Temperaturas registradas cada media hora en un observatorio.

Respt: Continua

Período de duración de ampolletas producidos por una empresa determinada

Respt: Continua

Censos anuales del colegio de profesores.Respt: Discreta

Número de billetes de $10000 circulando en Chile

Respt: Discreta Pulgadas de precipitación en una ciudad durante varios meses del año.

Respt: Continua

Alumnos matriculados en la Universidad Andrés Bello, en los últimos cinco años.

Respt: Discreta

Dar el dominio de cada una de las siguientes variables y decir si son continuas o discretas.

Número de litros de agua en una máquina de lavar.Dominio : cualquier valor de cero litros a la capacidad de la máquina ( 12,3 12,005 12,0047 etc)Variable : Continua

Número de libros en un estante de librería.

Dominio : 0, 1, 2, 3, ........ Hasta el mayor número de libros que puedan entrar en el estante.Variable : Discreta

Suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de

dadosDominio : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12Variable : Discreta

Tiempo de vuelo de un proyectil

Dominio : De cero en adelante ( 5 5,3 5.045 etc)Variable : Continua

Estado civil de un individuo

Dominio : Casado, soltero, viudoVariable : Discreta

Velocidad de un automóvil en kilómetros por hora. Dominio : De 0 en adelante ( 120 120,8 120,04 etc)Variable : Continua

Distribuciones de frecuencias

Toma de datos: Es la obtención de una colección de los mismos que no han sido ordenados numéricamente.

Ejemplo: Conjunto de alturas de 100 estudiantes, sacados de unalista alfabética de una Universidad.

Ordenación: Es una colocación de los datos numéricos tomados,en orden creciente o decreciente de magnitud.

Ejemplo:32 , 45, 100, 120 , 145, 186, 198, 200 ( ordenación creciente ) 200, 198, 186, 145, 120, 100, 45, 32 ( ordenación decreciente)

Al recoger información se obtiene un gran número de datos,que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada distribución de frecuencias.

Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite un valorde la variable.

Ejemplo: Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la asignatura de Matemática, por un grupo de 30 alumnos: 7 – 3 – 5 – 4 – 3 – 4 – 5 – 6 – 5 – 7 – 3 – 2 – 6 – 5 – 4 – 6 – 3 - 4 – 5 – 2 - 7 – 4 – 5 – 7 – 6 – 5 – 4 – 2 –3 - 1

Variable Estadística Frecuencia absoluta

Calificación Nº de alumnos

1 1

2 3

3 5

4 6

5 7

6 4

7 4

Frecuencia acumulada hasta un valor determinado: es el número de observaciones menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas.

Ejemplo:

3047

2646

2275

1564

953

432

111

-------------Nº de alumnosCalificación

Frecuencia acumuladaFrecuencia absolutaVariable estadística

Frecuencia relativa: es el cuociente entre la frecuencia absolutay el número total de individuos de la muestra

Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Calificación Nº de alumnos -----------

1 1 1 / 30

2 3 3 / 30

3 5 5 / 30

4 6 6 / 30

5 7 7 / 30

6 4 4 / 30

7 4 4 / 30

NOTA: La suma de las frecuencias relativas es igual a 1Ej. 1 / 30 + 3 / 30 + 5 / 30 + 6 / 30 + 7 / 30 + 4 / 30 + 4 / 30 = 30 / 30 = 1

Frecuencia relativa porcentual: Es la frecuencia relativa expresada en porcentajes.

Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa porcentual

Calificación Nº de alumnos -----------

1 1 ( 1 / 30 ) • 100

2 3 ( 3 / 30 ) • 100

3 5 ( 5 / 30 ) • 100

4 6 ( 6 / 30 ) • 100

5 7 ( 7 / 30 ) • 100

6 4 ( 4 / 30 ) • 100

7 4 ( 4 / 30 ) • 100

NOTA: La suma de las frecuencias relativas porcentuales es el 100%

Ejercicios

Los siguientes datos son las calificaciones de un grupo de 27 alumnos en la asignatura de matemática: 5 6 5 7 4 2 3 5 4 6 7 5 4 6 5 4 5 6 4 3 4 6 7 5 4 5 6

a) Construya una tabla de distribución de frecuenciasb) ¿Cuántos alumnos tienen nota inferior a 5? c) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota 4? d) ¿Cuántos alumnos tiene nota 6? e) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota superior o igual a 4?

RespuestaCalificación frecuencia Frecuencia

acumuladaFrecuencia relativa

Frec. relat. porcentual

2 1 1 1 / 27 = 0,037 3,7

3 2 3 2 / 27 = 0,074 7,4

4 7 10 7 / 27 = 0,259 25,9

5 8 18 8 / 27 = 0,296 29,6

6 6 24 6 / 27 = 0,222 22,2

7 3 27 3 / 27 = 0,111 11,1

b) 10 alumnos tienen nota inferior a 5,0c) El 25,9% de los alumnos tiene nota 4,0d) 6 alumnos tienen nota 6,0 e) El 88,8% de los alumnos tiene nota igual o superior a 4,0

Una encuesta realizada a alumnos de Cuarto Medio acerca de su futura profesión, indica lo siguiente:

Variable profesión

F. absoluta Nº de alumnos

Ingeniería 10

Medicina 6

Economía 12

Periodismo 8

Derecho 5

Arquitectura 9

Otras 10

a) Completar la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual.b) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados?c) ¿Cuál es la profesión que tiene mayor preferencia?d) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere arquitectura?e) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere medicina?

Respuesta

Profesión Frecuencia F. acumulada F. relativa F. relat. %

Ingeniería 10 10 10 / 60 = 0,166 16,6

Medicina 6 16 6 / 60 = 0,100 10,0

Economía 12 28 12 / 60 = 0,200 20,0

Periodismo 8 36 8 / 60 = 0,133 13,3

Derecho 5 41 5 / 60 = 0,083 8.3

Arquitectura 9 50 9 / 60 = 0,150 15,0

Otros 10 60 10 / 60 = 0,166 16,6

b) 60 alumnos fueron encuestados c) Economía es la profesión con mayor frecuenciad) El 15% de los alumnos prefiere Arquitecturae) El 10% de los alumnos prefiere Medicina

En una muestra de 40 familias, el número de hijos se distribuye según la tabla:

Variable F. absoluta

Nº de hijos Nº de familias

1 2

2 8

3 12

4 14

5 3

6 1

a) Completa la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual.b) ¿Cuántas familias tienen menos de 4 hijos?c) ¿Cuántas familias tienen 5 hijos?d) ¿Cuál es la frecuencia relativa de las familias que tienen 2 hijos? e) ¿Qué porcentaje de familias tiene 6 hijos?f) ¿Qué fracción representan las familias con 2 hijos?g) ¿Qué fracción representan las familias con 4 hijos?

RespuestaNº hijos Frecuencia F. acumulada F, relativa Frec. Relat. %

1 2 2 2 / 40 = 0,05 5

2 8 10 8 / 40 = 0,20 20

3 12 22 12 / 40 = 0,30 30

4 14 36 14 / 40 = 0,35 35

5 3 39 3 / 40 = 0,075 7,5

6 1 40 1 / 40 = 0,025 2,5

b) 22 familias tienen menos de 4 hijos c) 3 familias tienen 5 hijos d) La frecuencia relativa de familias con 2 hijos es de 0,20 e) El 2,5% de las familias tiene 6 hijosf) 1 / 5 de las familias tienen 2 hijosg) 7 / 20 de las familias tienen 4 hijos

Medidas de tendencia central en valores no agrupados.

Son valores representativos de la totalidad de los datos. Su cálculo permite analizar los datos en torno a un valor central.

Los valores centrales más usados son: Media aritmética. Mediana Moda.

Media aritmética ( X )

Media aritmética: corresponde al promedio de los valores. Se simboliza por X

La media aritmética se obtiene sumando los valores de la variabledividido por el número total de valores.

En forma General : X = x1 + x2 + x3 +....xn n

Ejemplo: Determinar el promedio de notas de un alumno, en la asignaturade Lenguaje y comunicación.

Las notas son: 3- 5 - 7 - 6 - 4 - 5 - 3 - 5 - 4 - 5 - 3 - 4

X = 3 + 5 + 7 + 6 + 4 +5 + 3 +5 + 4 + 5 + 3 + 4 = 54 = 4,5 12 12

Luego, el promedio de notas del alumno es 4,5

Mediana ( Me )

Es el valor de la variable que deja igual número de valores antes ydespués de él en una distribución de frecuencias

Según el número de valores de la variable se distinguen dos casos:

Si el número de valores es impar, la mediana coincide con el valor central. Ejemplo: 5 – 8 – 9 – 11 – 12 – 13 – 15 Luego, la mediana es el 11

NOTA: los valores deben estar ordenados. Puede ser en forma creciente o decreciente

Si el número de valores es par, la mediana es el promedio aritmético de los dos valores centrales.

Ejemplo: 2 – 3 – 5 – 6 – 8 – 9 – 11 – 12

El calculo sería: ( 6 + 8 ) : 2 = 14 : 2 = 7

Luego, la mediana es 7

Moda ( Mo )

Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia

Ejemplo:

Variable F. absoluta

Nº de hijos Nº de familias

1 2

2 8

3 12

4 14

5 3

6 1

La moda es 4 hijos, porque tienemayor frecuencia, que es del 14familias.

Ejercicios

Las calificaciones de un estudiante de la UNEMI, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar el promedio de sus notas.

Respuesta: X = 84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78 = 480 = 80 6 6

Luego, el estudiante tiene promedio 80

Diez medidas de diámetro de un cilindro fueron registradas como: 3,88 4,09 3,92 3,97 4,02 3,95 4,03 3,92 3,98 y 4,06

Respuesta:

X = 3,88 + 4,09 + 3,92 + 3,97 + 4,02 + 3,95 + 4,03 + 3,92 +3,98 +4 ,06 10

= 39,82 = 3,98 10

Luego, la media aritmética es 3,98

Calcular el salario medio semanal de 65 empleadosSalario Frecuencia

$ 55.000 8

$ 65.000 10

$ 75.000 16

$ 85.000 14

$ 95.000 10

$ 105.000 7

Respuesta

Salario ( x) Frecuencia F • X

$ 55.000 8 $ 440.000

$ 65.000 10 $ 650.000

$ 75.000 16 $ 1.200.000

$ 85.000 14 $ 1.190.000

$ 95.000 10 $ 950.000

$ 105.000 7 $ 735.000

X = 440.000 + 650.000+ 1.200.000 + 1.190.000 + 950.000 + 735.000 65

= 5.165.000 = 79.461,538 65

Luego, el sueldo promedio es $ 79.461,5

Las calificaciones de un estudiante de la UNEMI, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar la mediana de sus calificaciones

Respuesta:Se deben ordenar las calificaciones: 68 72 78 84 87 91 Luego, la mediana es 78 + 84 = 162 = 81 2 2

Hallar la moda de los siguientes números: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.

Respuesta: La moda es el número 5, ya que su frecuencia es mayor

Representación gráfica de la información

Gráfico lineal o de segmentos: Se utiliza especialmente para representar datos numéricos de situaciones que ocurren en períodos sucesivos.

0

5

10

15

20

25

30

35

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Tem

peratura

gráfico de Barra : Permite hacer comparaciones mediante barras paralelas colocadas en forma vertical u horizontal entre dos ejes perpendiculares.

010

203040

50607080

90

1ertrim.

2dotrim.

3ertrim.

4totrim.

MatematicaLenguaje

Gráfico circular: Consiste en un círculo dividido en sectores que representan las frecuencias relativas porcentuales de una distribución

Los 360 grados del círculo se dividen proporcionalmente alporcentaje correspondiente de cada frecuencia.

1er trim.13%

2do trim.17%

3er trim.57%

4to trim.13%

Distribución de frecuencias con datos agrupados

Rango: Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de ellos.

Ejemplo: Si la estatura del alumno más alto de un curso es 1,92 m y la del menor es 1,68 m, entonces el rango de estos datos es: 1,92 m – 1,68 m = 0,24 m = 24 cm.

Clases o intervalos : En la ordenación de datos muy numerosos, es usual presentarlos agrupados y ordenados en clases o categorías.

Ejemplo: En un grupo de 50 alumnos se registraron los siguientes puntajes en una prueba:

61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 7379 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 8077 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87

Para ordenarlos y agruparlos, se establecen los intervalos que se usarán, determinando el rango de los datos.

Dato mayor: 88 Dato menor: 61 Rango: 88 – 61 = 27

De acuerdo con el rango y teniendo en cuenta la cantidad de datos, se forman los intervalos.

Si quisiéramos formar 6 intervalos, se tiene que dividir el rangocon la cantidad deseada.27 : 6 = 4, 5 se aproxima a 5 ( amplitud aparente del intervalo)

Intervalo de puntajes Frecuencias

60 – 64 5

65 – 69 5

70 – 74 8

57 – 79 12

80 – 84 16

85 – 89 4

El intervalo 60 – 64 es unsímbolo para representara la clase respectiva

Los valores 60 y 64 sonlos límites aparentes dela clase.

Los límites reales de una clase se obtienen calculando el promedio entre el límite aparente superior de una clase y el límite aparente inferior de la clase siguiente.

Ejemplo: Calcular los límites reales de la clase 70 – 74

Lri = 2

7069=

2

139 = 69,5 Límite real inferior

Lrs = 2

7574=

2

149 = 75,5 Límite real superior

Tamaño o amplitud de una clase: Corresponde a la diferencia entre su límite real superior y el límite real inferior. Ejemplo: 75,5 – 69,5 = 5 Su amplitud es igual a 5

NOTA: Todas las clases tienen igual tamaño.

Marca de clase: Es el punto medio de un intervalo de clase.

Ejemplo.

7270 – 74

6765 – 69

6260 – 64

Marca de claseIntervalo

Frecuencia total: Es la suma de las frecuencias absolutas de todas las clases.

Ejemplo:

1011 -15

116 – 10

121 – 5

FrecuenciaIntervalo

Frecuencia total 12 + 11 + 10 = 33

Ejercicios

61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 7379 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 8077 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87

Dado los siguientes puntajes, determinar:

a) Determinar seis intervalos b) Determinar el límite real superior e inferior de cada clasec) Determinar la marca de clase de cada intervalod) Determinar la frecuencia absoluta

RespuestaSe debe determinar el rango: Pje mayor – Pje menor: 88 – 61 = 27

Luego, 27 : 6 = 4,5 se aproxima a 5 la amplitud del intervalo

Intervalo Lri - Lrs Marca de clase Frecuencia

60 – 64 59,5 – 64,5 62 5

65 – 69 64,5 – 69,5 67 5

70 – 74 69,5 – 74,5 72 8

75 – 79 74,5 – 79,5 77 12

80 – 84 79,5 – 84,5 82 16

85 – 89 84,5 – 89,5 87 4

Ordena los siguientes datos de menor a mayor y calcula su rango: 3,22 2,92 3,01 4,48 5,06 4,31 2,98 3,07

Respuesta: Ordenado: 2,92 2,98 3,01 3,07 3,22 4,31 4,48 5,06Rango: 5,06 – 2,92 = 2,14

La siguiente distribución de frecuencias corresponde a los salarios de los empleados de una fábrica:

Salarios ( $ ) Frecuencia

50.000 – 54.999 7

55.000 – 59.999 18

60.000 – 64.999 32

65.000 – 69.999 45

70.000 – 74.999 52

75.000 – 79.999 28

80.000 – 84.999 16

85.000 – 89.999 8

f) Determina la frecuencia acumulada.

20685.000 – 89.999

19880.000 – 84.999

18275.000 – 79.999

15470.000 – 74.999

10265.000 – 69.999

5760.000 – 64.999

2555.000 – 59.999

750.000 – 54.999

FrecuenciaSalarios ( $ )

Respuesta:

acum

g) Determinar la frecuencia relativa

8 / 206 = 0,03885.000 – 89.999

16 / 206 = 0,07780.000 – 84.999

28 / 206 = 0,13575.000 – 79.999

52 / 206 = 0,25270.000 – 74.999

45 / 206 = 0,21865.000 – 69.999

32 / 206 = 0,15560.000 – 64.999

18 / 206 = 0,08755.000 – 59.999

7 / 206 = 0,03350.000 – 54.999

Frecuencia relativaSalarios ( $ )

Respuesta:

h) Determinar la frecuencia relativa porcentual

3,885.000 – 89.999

7,780.000 – 84.999

13,575.000 – 79.999

25,270.000 – 74.999

21,865.000 – 69.999

15,560.000 – 64.999

8.755.000 – 59.999

3,350.000 – 54.999

Frecuencia relativaSalarios ( $ )

Respuesta:

%

Ejercicio

Después de medir las alturas de 40 alumnos de un curso, resultaron los siguientes valores de la variable:

154 178 150 166 182 175 163 175 150 162 155 155 161 165 160 159 160 168 165 162 163 155 157 161 162 155 167 164 162 158 158 163 166 167 156 164 170 176 172 160

a) Determina el rango

Respuesta: 182 - 150 = 32

b) Determina 8 intervalos:

Respuesta: El rango es 32. Luego, 32 : 7= 4,5 (5 amplitud )

Intervalo

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 – 174

175 – 179

180 – 184

c) Determinar la frecuencia

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169

160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

1

4

2

7

14

8

4

Frecuencia

g) Determinar la frecuencia acumulada

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169

160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

40

39

35

33

26

12

4

F. acumh) Determinar la frecuencia relativa porcentual

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169

160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

2,5

10

5

17,5

35

20

10

F. Relat %

i) ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 ?

Respuesta: 12 alumnos miden menos de 160

j) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 170 y 174 ?Respuesta: El 5% de los alumnos miden entre 170 y 174k) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 160 y 174 ?

Respuesta: El 57,5 % de los alumnos mide entre 160 y 174l) ¿Cuál es la frecuencia total ?Respuesta: n = 40m) ¿Cuál es la amplitud del intervalo ?Respuesta: c = Lrs – Lri = 159,5 - 154,5 = 5

Representación gráfica en datos agrupados

Histograma: Es un gráfico de barras verticales que sirve para representar los datos de una distribución de frecuencias en la cual los valores de la variable están agrupados en intervalos.

Las bases de las barras o rectángulos están sobre el eje horizontal y su ancho ( longitud sobre el eje) es igual al tamaño de los intervalos de clase.

El histograma tiene la siguiente característica:

Ejemplo:

Esta tabla de distribución de frecuencias indica las edades de losalumnos que asisten a clases de Inglés.Edad frecuencia

5 – 7 8

8 – 10 10

11 – 13 7

14 – 16 5

17 – 19 4

2468

10

5- 7 8-10 11-13 14-16 17-19I

f

Eje x = intervalosEje y = frecuencia

Polígono de frecuencia

Es la modalidad de un gráfico de datos que se origina al unirlos puntos medios de los lados superiores de las barras de un histograma.

6 9 12 15 18

2468

10

x

f

•

•

••

•

El punto medio de cada intervaloes la marca de clase

Ejercicio

Dada la tabla de distribución de edades de un grupo de padrescuyos hijos están en primer año de universidad. Hallar: a) media aritmética b) Mediana c) Moda

Edad frecuencia

45 – 48 2

49 – 52 5

53 – 56 12

57 – 60 8

61 – 64 5

a) Media aritmética

Edad f x f • x

45 – 48 2 46,5 93

49 – 52 5 50,5 252,5

53 – 56 12 54,5 654

57 – 60 8 58,5 468

61 – 64 5 62,5 312,5

X = f • x = 1780 = 55,625 n 32

¡ Puff……!

b) Mediana

32561 – 64

27857 – 60

191253 – 56

7549 – 52

2245 – 48

F acumfEdad

n = 32

n / 2 = 32 / 2 = 16

L i m = 52 + 53 = 52,5 2

f (acum ant) = 7

c = 56,5 - 52,5 = 4

f m = 12

Me = 52,5 + ( 16 – 7 ) • 4 = 52,5 + 9 • 4 = 55,5 12 12

: El intervalo modal es [53 - 56] . Luego. La moda es su marca de clase: 53 + 56 = 54,5 2

c) Moda:

* Construye una tabla de distribución de frecuencias de datos

agrupados en intervalos de clase. Considera como limite inferior del primer intervalo = 10 y c = 10 El puntaje obtenido por 130 alumnos en una prueba de biología

es el siguiente:

12 45 53 85 23 91 34 56 65 70 72 74 86 95 32 45 56 58 33 49 55 70 66 62 64 55 83 26 34 72 60 64 72 80 58 98 50 20 35 76 68 90 99 56 48 56 68 82 40 92 38 56 84 66 78 74 25 15 48 50 66 49 53 83 91 42 64 72 54 89 92 28 34 40 56 64 68 63 35 56 66 38 82 78 74 90 85 66 70 72 58 66 80 80 95 96 99 94 40 42 58 65 67 81 90 50 48 52 62 70 80 93 45 36 49 81 73 56 38 51 23 90 84 96 75 38 28 36 83 29

Respuesta:

Intervalo

10 – 19

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 - 99

M. de Clase

14,5

24,5

34,5

44,5

54,5

64,5

74,5

84,5

94,5

frecuencia

2

8

13

14

22

20

17

17

17

F. acum.

2

10

23

37

59

79

96

113

130

F. Relat

0,015

0,061

0,100

0,107

0,169

0,153

0,130

0,130

0,130

F. Relat.%

1,5

6,1

10,0

10,7

16,9

15,3

13,0

13,0

13,0

De acuerdo con la tabla anterior, responder las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos?

Respuesta: Hay 27 alumnos

b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 60 y 89 puntos?

Respuesta: Hay 54 alumnos

c) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 40 y 99 puntos?

Respuesta: Hay 107 alumnos

d) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos?

Respuesta: El 20,7 % de los alumnos

e) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo entre 50 y 59 puntos?

Respuesta: el 16,9 % de alumnos

f) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 60 puntos?

Respuesta: 59 alumnos

g) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 30 puntos? Respuesta: 10 alumnos

h) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 50 o más puntos?Respuesta: 93 alumnos

i) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 70 o más puntos?

Respuesta: 51 alumnos

j) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo menos de 20 puntos?

Respuesta: 1,5 % de los alumnos

k) ¿Cuál es la marca de clase que representa al intervalo de mayor frecuencia?

Respuesta: la marca de clase de mayor frecuencia es 54,5

l) ¿Cuál es el límite aparente superior del tercer intervalo?

Respuesta: 39

m) ¿Cuál es el límite real inferior del quinto intervalo?

Respuesta: 49,5

n) ¿Cuál es la amplitud del intervalo?

Respuesta: c = 10

n) Calcula la media aritmética:

Respuesta:Intervalo

10 – 19

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 - 99

M. de Clase

14,5

24,5

34,5

44,5

54,5

64,5

74,5

84,5

94,5

f • x

29

196

448,5

623

1199

1290

1266,5

1436,5

1606,5

X = f • x n

17

17

17

20

22

14

13

8

2

frecuencia

n = 130

X = 8095 130

X = 62,26

ñ) Calcula la mediana:

Respuesta:

Intervalo

10 – 19

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 - 99 17

17

17

20

22

14

13

8

2

frecuencia

n = 130

F. acum.

2

10

23

37

59

79

96

113

130

n / 2 = 130 / 2 = 65

L i m = 59,5 c = 10

f(acum. ant) = 59

f m = 20

Me = 59,5 + ( 65 – 59 ) • 10 20

Me = 59,5 + 6 • 10 20Me = 59,5 + 3 = 62,5

o) Calcular el intervalo modal y la moda :

Respuesta:

El intervalo modal es [50 - 59] porque tiene la mayor frecuencia , que es 22.

La moda corresponde a la marca de clase de ese intervalo.

Luego, Mo = 50 + 59 = 54,5 2

a + b = c

Ejercicios

Calcular el rango entre. 3,22 2,93 3.01 4,48 5,06 4.31 2,98 3,07

Repuesta: 5,06 - 2,98 = 2,08

El siguiente cuadro muestra el consumo anual en Chile de kilogramos de carne de bovino per cápita.

Año 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1996

Consumo 17,0 15,0 14,7 14,0 15,6 17,3 18,5 18,1 17,6 20,0

a) Calcular el consumo promedio desde 1986 hasta 1992

Respuesta: X = 115,8 = 16,54 7

b) Calcular el consumo promedio de los 10 años?

Respuesta: X = 1678 = 16,78 10

La siguiente tabla representa las medidas de una pieza de motores

Intervalo Frecuencia

100 – 109 4

110 – 119 17

120 – 129 29

130 – 139 18

140 – 149 10

150 – 159 5

160 – 169 2

Dibuja en un mismo gráfico el histograma y el polígono de frecuencias.

Respuesta:

f

104,5 114,5 124,5 134,5 144,5 154,5 164,5

4

18

29

10

•

•

•

•

••

•

Marca de clase

Dado las siguientes frecuencias, calcular la mediana,

la moda y la media aritmética 6 - 7 - 7 - 3 - 4 - 1 - 7 - 5Respuesta:

Me : Para calcular la mediana se deben ordenar las frecuencias: 1 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 7 - 7 Luego, 5 + 6 = 11 = 5,5 Me = 5,5 2

Mo = La moda es 7 , porque es la frecuencia que más se repite

X = 6 + 7 + 7 + 3 + 4 + 1 + 7 + 5 = 40 = 5 8 8

Las notas obtenidas por 45 alumnos en una prueba de

Estadística son: Notas Frecuencia

1 1

2 4

3 5

4 6

5 9

6 12

7 8

Determinar : Mo, Me y X

Respuesta:

X = 1•1 + 2 • 4 + 3 • 5 + 4 • 6 + 5 • 9 + 6 • 12 + 7 • 8 = 221 = 4,9 45 45

Me = Como n / 2 = 45 / 2 = 22,5 Luego. la mediana es 5 , pues es el primer valor de la variable cuya f(acum.) es igual o mayor que 22,5

Mo = La moda es 6 pues es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta