Qué es una onda ecuatorial de kelvin

5/9/2018 Qu es una onda ecuatorial de kelvin

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Acta Occanografica del Pacifico. INOCAR, Ecuador, 1(I), Octubre, 1980

~QUE ES UNA ONDA ECUATORIAL DE KELVIN.?

Par:PEDRO RrPA (1)

A nte s que nud a , dcbo aclarar ql le e s te e s UII ar ticu lo de d ivu lgacion y s u contenido n o e s e lre su lra do d e in v es tig ac io n e S or ig i n u le s de I a l l t o r . 1L , __

L a ir np or ta n cia de l e stu dio d e las on das d e K e lvin (ecuatoriales 0 costeras) rad ica , en parte, e n~ 'l hccho de q u e cs tas prove e n u n r necan i smo cficaz para cl t ranspor te de energfa (en la forma dept1r t I J r b a c i ( ) T l ( ? S d e dens idad v corr ie nte ) e n U113 direccion p ar tic ul ar .. Estas s e n a l e s se t r as l adan s in dis -t1lr s.on , cs dccir, s in carnbiar de form a ....

I){,r ~ ~ " . iIII pi ()~ una de Ia s t C o r ( a S IT l ~l 1 )01)L Il ar e s s ob re e 1 f e n 6 men 0 de EI N iii0 P os tu Ia q u e e s t e~l~ ur i~in~l ('I~ J j_ forma de IJTl~j I ,:~d~i :~.qJ ton a l d e Kelvin, p roducida por la relajaci6n de los vientosmed ic s de l es tc . Estes vien tos manticucn norma lmcnte u n grad ie n te d e presion, caracte r izado por u na ume n t o d e te m pe ra tu ra , a profuudida d con s tan te , h acia e l oeste. 1 \1 dis rninui r anonnalmente los v ie n ...

~ < ~:lc1it1_ la pcu dicu tc de las isopicnas esta e n desequi l ibr io d ando origen a la onda ecuatorial d ei \ _ : . , - } : (l~le fi r .ilrne n tc prOUlLCC 11 n aUT11en to d e la t empe r a t u r a del agua e n e l Pacifico oriental. Es po-sible q u e e s t a se n a l . a l l lcgur :.i la costa de Amer ica de l Su r , se divida fundamentalmente e n dos par-t \. \ ~ ~ qt1~ J ~i,! .\.~:/ )~. pr()p3g11E'11 hacia e l N orte ~ / e l Su r, e n la form a de ondas costeras de Kelvin .

I'or ot ra r~artL\~ 1 1 1 1 a ond a d e Kelvin p r o v c c li n ejemplo mu y senci l lo de dos f e n 6meno s f u n d a -mentales de I~ j Occauograf Ia Fisica de frccu en cias bajas : e I ba lance geostrofico y la conservacion devor t ic id a d po tenc ia l .

P ara s im plif ica r e l tratarniento de l problema, vamos a su pon e r q u e las e scaJas hor izon t a l e s sonsuf icicntemente gran de s com o pa ra pode r hace r la "aproximacion hidrostatica", es decir: i) 1a presionen u n p un t o e s igual a 1 peso de ta co lumna d e 3gl1a (d e seccion unitaria) e nc ima d e e se pun t o , ii]1a s ve locid ad es h oriz on ta 1e s n o varfan co n la p ro fund idad e n cada capa d e dens i dad constante.

De todos lo s agentes q u e modi f ican e l e s t ado f is ico de l oce an o solo t e nd r emos e n cu e n ta a las -jf/cr::as restitutivas (re sponsable s d e la exis t enc ia d e ondas ) , ell particular, la fuerza d e pre s ion (debidaa la gravcdad te rr e s t re ) }' la "fuerza" d e Coriolis (debida a la rotacion terrestre). N o analizaremos las -[uerzas exterP'las(debidas, por ejemplo, a l viento y la presion atmosferica) q u e causan e s t a s ondas, n ila s ! tu .Jr:as dis ipa t ivas (d e bid as tan to a la viscos id ad y difusion mol ec u l a r como a los e fe ctos de 1a " tur -bulenc ia" oceanica) q u e am or tigu an a la s ondas.Etectos lie Ia gra'vcdad terrestre

Qu e e) pe so de l agu a e s r e sponsab l e de la e xis tcn cia de ondas es un concepto bien conocido.C on sid ere se , por ejemplo, un canal angosto de profundidad H(x.,t) (fig. I). Si s e perturba la superficie,apa re ce n fu e rza s d e p re s ion , Fp' que tienden a volverla a s u estado d e equilibrio, H= Ho = = cte .

(1) Join Institute for the Study of the Atmosphere and the Ocean (PMI~l/lJ\\"')CrC~ESE, Espinoza 843, a.p, 2732, Ensenada, BC. Mexico.


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Ac ta Oceanografica del Pacifico. VoL I, . N O t 1, 1980

_.

,.

H (X . t ) - -

,//////////////////////////////1/////////////Fig, 1. Fuerza d e pre s ion que tienden a re s t itu ir la s u pe rficic li..

bre a su form a origin al.

Es tas fu erzas p roducen velocidades hor i zon ta l e s , cuy a d ive rge n cia a su vez modifica a la a ltu rade la superficie, El re s u ltado fin a l es que la p e r tu rbaci6 n origin a l se d ivid e e n dos partes igu ale s q ues e p ropagan , s in ca rn bia r forma, e n a rn bas direcciones (fig.Z).

-c + c . .. . III . . . . . II' . . . -U U

"4 . . II . . . II: II -III/, '//////////////////////////1////////////

F i g 1 l 2. Propagaclon de Ia perturbaci6n inicial.Es to se puede expresar matem aticam en te e n L a fo rma

1 1H(x,t) = " 2 H(x-ct,O) + 2 " H(x + ct.O}, (1)don de c y ..c son las velo cidades de rase de am b as sen ales.

La velocidad d e la s pa r tfcu la s , u, d e p e n d e de la per tu rbacion de la superficic y del sentido d epropagacion de la s e ria l. Por ejemplo, e n el pu n ta m e d ic de 1a se n a l d e 1 3 i zqu i e rda (de recha) h ayuna divergcncia (convergencia) de velocidad hor i zon ta l que tiende a bajar (subir) la superficie , causan ..do efectivamente u n a tra s lacion de la per tu rbacion hacia 1 3 i zqu i e rda (dcrecha). Es decir q u e u e s po-sitivo (negativo) donde hay una elevacion (depresion) d e la supe r f ic ie , para la s e n a l que se propagahacia la derecha; y tiene el signo opuesto para la otra s e n a l . Por e j e rnp lo , para e l caso d e la fig~2, e lva lor d e u e s ta dado por:

1u(x,t) = 2 " [H (x-c t,O ) .-H (x + ct.O) ] cillo. (2)132


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P. Ripa i tQue cs una Onda Ecuatorial de Kelvin?

La velocidad de fase esta dada por c2=gH o' e s decir, c=20Om js eg. pa ra u n a profund idad tipicade l oceano . Este e s u n va lor d em a s iado grande para e l tipo de fe n om en os que queremos describir(par ejernplo, a la senal Ie lle va solo u n as 14 horas para recorre r lO .OOOkm~ t e l "ancho" de l Pacifi-co). Sin embargo, el hecho de que el oceano e s ta estratificado hace que existan otros modos para lapropagacion d e perturbaciones, con ve locidade s de fase mucho m a s inferiores. El modelo m as s e ncil loque podemos utilizar (sacrificando detalle en pro de simplicidad) es uno de dos capas (fig.3) y tal

que la capa su pe rior (con den s i -dadp:rJ e s m u cho m en os profu n daq u e la capa inferior (con dens i -d ad P2 > PI)o .. E

c,//////////////////////////////////////////////}~

Fig. 3. Oceano estratificado, modelo de dos capas,

s e esta dado por c2 =g (1 - P I I 1 1 ) Ho ,q ue tie n e n orm alm en te un valor entre 1 y 2 m /s eg ..Efectos de la rotacion terrestre

Resu l ta que 1a d in am ica d ee s te modelo es mu y s imi lar a ladel an te r ior , donde u y H son aho-ra la velocidad de particulas y pro-fundidad de la capa superior; m ie n ..t ra s q u e la capa inferior e sta practi-camente en repose, Los cam bios deH se d e be n fu n dam e n tah n e n te a ldesplazamiento d e la i n t e r f a s e , yaq u e e l desplazamiento de la s up erfi-cie e s igua l a t pr imero multipl icadopor -( p 2 /P I1), factor que tiene t ipi-camente un valor en t r e -0,002 y-Ot004. Es deci r que si la i n t e r f a s eba ja , d iga rn os , unos 50 m , la supe r -ficie s ub e u no s lOa 20 em s .

El va lor d e la ve locidad de f a . .(3)

Una pe r sona pa rada sabre una plataforma giratoria q u e arroje u n obje to, ve que la t rayectoriade e s te s e cu rva hacia u n lado (fig.4). Un observador q u e n o e s te s u bido a la pla ta fo rma , sin emba r -

mu e v e uniformernente e n l inea recta. Es de ck que la curva tu ra d e la tra -y e ctor ia n o e s u n fenomeno dina rn ico (debido a u n a fu e rza real) si-n o un e f ec to geometrico de la descripcion de l movimiento de sd e u ns is tem a n o in e rcia l (a ce le rado). El observador e n la p la ta form a , s inembargo, atribuye la cu rva tu ra de la trayectoria a que 13 "fue rza"de C oriolis prod u ce u n a ace le racion , a , pe rpe n d icu la r a la velocidad,V~ De ] a figu ra 4, co n t su f ' i c i en t emen t e pequefio, t e n e r no s -~ a t 2= (Vt)(wt), e s decir, a= V2w, dondeco e s la velocidad angu l a r dela p la ta for m a. M a s pre cis am en te , la aceleracion, velocidad y velocidadan gu la r e s tan representados por vectores (el Ultimo pe rpendicu l a r yhacia a fue ra del p l a no de la fig~4) y la aceleraci6n de Coriolis estadada por el producto vector ia l .

go, ve q u e e l proyectil s e....t', #IIt IIIt

Fig. 4~ Efe cto dela rotacionterrestre.

* PO I ejemplo, desde nuestro p~nto de vista, el sol "gira" alrededor de 1a tierra co n una aceleracion cerur ipeda re-sultante de 1 a "fuerza' centrijuoa y 1 a "fuerza" de Coriolis (dirigida hacia la tierra),

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Acta Oceanografica del Pacifico. Vol. 1, No. l , 1980

(4)En el caso de la tierra, W tiene la direcci6n del eje de rotacion, sentido hacia el Norte y magnitud. _ . . . . .

igu aJ a 1 cpd. Por otra parte, las ve locidades V en - e l oceano son practicamente horizontales, y por 1 0tanto en 1a ecuaci6n 4 solo interesa el valor de la componente vertical (en una determinada latitud)de 2w, cuyo valor es

f = 2 cpd sen(latitud), .'-- (5)Por ejcmplo, la frecuencia d e precesion del pendulo de Foucault e s igua l a Y z f. N6tese q u e f (al

q u e n on n a lm en te s e llama parame t ro de Coriolis) es positivo (negativo) en el hemisferio Norte (Sur).Ondas de Kelvin,

Las ondas de Kelvin son perturbaciones de las isopicnas que se propagan, s in ca mbiar d e [anna,s iempre en la misma direccion, las corr ie nte s a socia da s con e s ta senal son paralelas a la direcci6n depropagacion (es decir , son ondas longitudinales) .. En la d ire ccion tr an s ve rs al hay, por 1 0 t an to , un gra-diente de presion, F, que equilibra a 1a "fuerza' de Coriolis, F (Balance geostr6fico).

Una on da e cu a toria l d e K e lvin esta centrada e n el ecuador y s e propaga hae ia e l e s te , EI ba lan -c e g eo st ro fic o esta i1 u s trado en la fig, 5, para e l ca so de una estructura zonal como el de la fig.3 ..

.

IIII. - - - - - - - - - - - - . .~ - - - - - - - - - - - - + - - - ~ C U . . ~ - ~

F . IF'pe ., ~I

- -~t NIIIIII

Fe t I. .

1 , Fp Fe t1 H


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P. Ripa ~Que es una Onda Ecuatorial de Kelvin ?

miento del parrafo anterior, con u cambiado de signa) H no puede tender a H oal au me nta r la d i s t an -cia a l ecuador, sino que a I cont rario como veremos m as ad elan te , el valor de H crece in de fini d am en..*e.

Ad e r n a s de la propiedad part icular de balance geostrofico, u n a onda de K elvin s a tis face e l prin-cipio, mucho mas general, d e co ns er va cio n de vorticidad potencial (que e s u n a le y exacta, de n tro de lcontexto de la aporximacion hidrostatica), Este principio no es mas que la constancia, para carla co -l umn a de agua, de 1a com pon en te vertical de l momenta angu la r respecto de un sistema in e r cia l ..

-E1 mom en ta an gu la r e s igu a l al momenta de inercia multiplicado pq r Ia velocidad angula r . E1primero, debido a que el volumen se conserva, es inversamente proporcional a" la altura de la colurn-na de agu a. EI s egundo es igual a~ f (que es la contribucion de la tie rra a la rotaci6n alrededor de lavertical) mas ~ de la vorticidad re lat iva (que e s la rotaci6n relativa a la tierra). Cons ec u en t emen t e , la

n 1"\. V ~U..l= (f +c .. -~ ) /Ha x o Y , (6)vorticidad potencial e s constante siguiendo una partfcula, En pocas palabras, si u na columna de aguaSf achica (agranda) Y/o Sf mueve hacia el Su r (norte), tiene que aumentar (disminuir) su vorticidadre lativa.

A l escribir esta ecuaci6n h em os u tiliz ado un par de coordenadas cartesianas (con origen e n a l-gun punta del ecuador), llamando (x,y) y (u,v) a las componentes (en las direcciones hacia e l e s te yhacia e] norte) de los vectores posicion y velocidad respectivamente, Es decir que despreciamos losefectos de ]a curva tu ra terrestre, salvo en 1 0 q u e hace a la variacion de f con la latitud (ecuacion 5),la q u e a su vez podemos aproximar en la fo rma

f = B Y , (7)dond e B~O l cpm /km .. Esto es 10 que s e llam a "aproximacion d e pJano,B ".

En la ausencia de movimiento (H=Ho, u= v=O) 1 3 vorticidad potencial es solo funci6n de 1 3 lati-tud, n:f/Ho~ Esta relacion tiene q u e ser cierta tambien an t e la presencia de cualquier onda de Kel-vin, ya que e s t a ultima no produce desp Jazamien to s meridionales (v= 0) y cada particula conserva s uvalor d e n a Esta condicion, junto con la definicion (6) irnplican que

a t . .a y + f ( H fHo - 1) = O. (8)Por otra parte, la condicion de balance geostroflco puede ser escrita en la forma

3H _fu + g ( 1- P 1 / P z ) a - O .yLas dos ultimas ecuaciones detenninan la estructura meridional de cualquier onda de Kelvin, e n

(9)

1 a formau = U ( x.t) exp ( -!h B y 2 I c, )

(10)H =:: Ho ( 1 + u l c ),

con c dado por la ecuaci6n (3).* Hay otras ondas ecuatoriales, c a s ; sin dispersion y cast en balance geostrofico que se propagan hacia el oeste (on-

das planetarias 0 de Rossby) .. Sin embargo, el "casi~es aqui fundamental para Iograr e se sentido de propagacioD.

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~~ + d(H u ) - 0d X - , - (11)

Acta Oceanografica del Pacifico .. VoL 1~ No.1, 1980

D e manera que la amplitud de u n a onda d e Kelvin disminuye un 3 ~ a u n a distancia del ecua-dor igual a (c/ S)Yz(a la qu e se l lama "radio de deformacion de Rossby") y u n 6370 ados veces esadistancia .. Un valor tipico del radio de defonnaci6n de Rossby es entre 200 y 300 km.

Para tenninar de caracterizar matematicamente a una onda ecuatorial de Kelvin debemos encon-trar la evolucion de 1 3 amplitud U(x,t). Esto se puede hacer utilizando la ecuacion de conservaci6nde masa

_.reernplazando H por HoeD el segundo termino de esta ecuacion (es decir suponiendo que lu I < . . . c ) , 10que d a como resultado

(12)e s d e cir que las ondas de Kelvin s e p ropagan s in dispersion hacia el este, tal eual como fue anticipa-do.

Las expresiones (1 0) y (12) junto con la raiz positiva de (3) proveen la expresi6n genera1 deu n a on da d e Kelvin, para el modelo de la figura 3 ~ Es tas ecuaciones muestran tambien claramenteque para u n a on da d e Ke lvin que se propague hacia el oeste (la que s e obtiene con un valor nega t i -vo d e c e n 10 y 12) s e Uega a 1 resultado absurdo que u y H divergen rapidarncntc con y 2 .

Terrninamos con algunas ideas para profundizar el tema de este articulo, para los lectores que ten-gan interes:

i) La estructura vertical del modelo de la figura 3 es claramente demasiado senci11a para daruna descripcion detallada de fenomenos en el oceano real. Con un modelo con mas capas 0, mejor to-davfa, con u n a variaci6n gradual de la densidad con la profundidad se encuentra que existen diversos"modos vertlcales' para las perturbaciones (con varios cambios de s igna de u e n la vertical). Tarnbienexisten on das de K e lvin pa ra estos modos, cuya unica diferencia con la aqui descrita (aparte de la e s -tructura vertical) esta en e l valor de c (q u e e s m e n or para cada modo sucesivo),

ii) Es com un tomar a f coma constante para ciertos problemas en latitudes medias (en realidad,a varios radios de defonnaci6n de distancia del ecuador); esto es 10 que se llama "aproxirnacion deplano f'..n este caso las ecuaciones 8, 9 y 11 tienen tambien solucion de onda s de Ke lv in , si existeu n a cos ta (Ia direcci6n x es a 10 largo de la costa) que mantiene el gradiente de presi6n. t ,Puede ob-tener el equivalente de la ecuaci6n 10 para este caso ? &

iii) Para poder obtener la ecuaci6n 12 tuvirnos que "hacer trarnpa' al linearizar a la ecuaci6n11, bajo la suposicion de que la amplitud de la onda es suficientemente pequena (H - HoY l u i c).En realidad, es fcil ver que 8 y 9 (que fueron obtenidos bajo la condicion vJ) no son estrictamentecompatibles con 11, si se incluyen los terminos no lineales. Esto nos lleva a 1 fascinante mundo de lasin te raccion es n o lin ea le s entre ondas oceanicas q u e , en algunos ca sos s irve para justificar las aproxima-ciones de la teorfa lineal pero que en muchos o t T O S pre dice la existencia de nuevos fenomenos. Esteautor va a publicar un articulo sabre este tema proximamente.

AGRADECIMIENTOQuiero aprovechar e s t a oportunidad para agradecer la hospitalidad del INOCAR, quien me invito

a dar una Conferencia sobre e l terna de este artfculo.

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