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Análisis de la cotización de Volskwagen utilizando modelos de regresión armónica. Francisco Parra Rodríguez Doctor Economía UNED
Modelos de Regresión Armónica. La aplicación de la forma de Fourier a los modelos de series temporales ha dado lugar a los modelos de regresión armónica. Una regresión armónica dinámica es una particularización del conjunto de modelos de componentes no observables que adopta la siguiente forma:
( ) ( )0
( ) cos sin ; 1,2,...,R
i i i i t
i
x t a t b t t Nϖ ϖ ν=
= + + = ∑ (1)
donde vt es residuo con la forma de un proceso estacionario, que puede ser representado por un modelo ARMA; ai, bi y wi son parámetros desconocidos. El número de armónicos R se puede considerarse conocido o desconocido, existiendo diferentes procedimientos para determinar el número de armónicos a considerar en el método de estimación. Una vez se establece el número de armónicos y se determinan las frecuencias wi, se realiza una regresión para obtener una estimación de los parámetros ai y bi . A partir de esta regresión se obtiene el residuo vt, y se procede a identificar y estimar un modelo ARMA para vt. El problema esta entonces en determinar el número de armónicos R y las frecuencias wi. Existiendo para ello cinco procedimientos:
1- Los métodos basados en el periodograma o la transformada discreta de fourier (TDF) (Wittle (1952), Walter (1973), Hannan (1973), Campbell y Walter (1977) etc..).
2- Los métodos del espectro mixto (Priestley (1964,1981) y Bhansali (1979)). 3- Los métodos autoregresivos (Marple, (1987), Troung Van’s (1990)). 4- Métodos de autovalores (Pisarenko (1973) y Kay Marple (1981)). 5- Métodos de regresión dinámica (Young, Pedregal y Tych, 1999).
Los métodos basados en el periodograma, proporcionan estimaciones de las frecuencias ωi cuando se asume que vt es un error gausiano. La Transformada de Fourier, F(u), se define para una función continua de variable real, f(x), mediante la siguiente formula:
[ ]F(u) f(x)e 2 ixu dx= −
− ∞
∞∫ π
siendo i = −1 , [ ]e cos(2 ux) isen(2 ux)2 iuxπ π π= + y u una variable que representa
las distintas frecuencias.
Esta función tiene transformada inversa, lo que significa que ha partir de la función F(u) podemos calcular la función f(x):
[ ]f(x) F(u)e 2 ixu du= −
− ∞
∞∫ π
Para que una función tenga Transformada de Fourier han de verificarse algunas condiciones (Condiciones de Dieterlich). No obstante, hay que destacar que, por regla general, las funciones con las que tratamos los problemas reales verifican todas las condiciones que es necesario imponer para que las expresiones anteriores puedan calcularse.
Como ya se ha señalado, la Transformada de Fourier es una función compleja con una parte real y otra parte imaginaria, es decir: F u R u I u( ) ( ) ( )= + donde R(u) es la parte real y I(u) es la parte imaginaria.
La representación gráfica de la función de magnitud F(u) se le denomina Espectro de Fourier y se expresa en términos del modulo del número complejo:
F u R u I u( ) ( ) ( )= +2 2
Las series temporales no son consideradas funciones continuas como tal, sino muestras de señales continuas tomadas a una misma distancia temporal a partir de un valor inicial Y0. La Transformadas Discreta de Fourier asociadas a una sucesión finita (Yt) de tamaño N, que está definida para los armónicos 2πk/n con:
El gráfico de los módulos al cuadrado frente a la frecuencia es el periodograma o espectro empírico de la sucesión Yt. Entonces, si se tiene en cuenta la relación de Parseval que expresa que :
Se muestra que el periodograma estudia de hecho la distribución de la varianza o potencia de la serie en función de los diversos armónicos.
Dado que la expresión:
=−=
=== ∑
=
−−
imparnnk
parnnkeY
nw
n
t
ntik
tk,
21...2,1,0
,2
...2,1,01
0
2)1( π
2,2
2
2
21
1
2 nqwwn n
q
k
k =+= ∑−
=
σ
)2)1(
ntik
eπ−−
equivale a:
−+
−
ntk
in
tksen
ππ 2)1(cos
2)1(
Alvarez (1990) propone obtener el periodograma, a partir de los coeficientes de Fourier, obtenidos al estimar por minimos cuadrados una ecuación del tipo:
( )t
k
j
ojpot vtjwbtjaaC +++= ∑ sincos 0ϖ
En la que tC designa el ciclo estimado (serie libre de tendencia); Two
π2=;T es el
tamaño de la serie y coincide con el periodo de mayor ciclo que es posible estimar con el tamaño de la serie; j indica el orden del armónico; ja y jb son los coeficientes a
estimar por mínimos cuadrados; tv es un residuo no explicado de los k ciclos que verifica las propiedades clásicas de la perturbación de los modelos econométricos1.
El periodograma o estimador del espectro se calcularía entonces a partir de:
( ) ( )π4
22
jj
j
baTwI
+=
y la contribución de la varianza por cada armónico, sería ( )
2
22
jj ba +.
Si una serie temporal presenta en su periodograma unos pocos ciclos que explican un porcentaje significativo de su varianza e incluye además algún picos en el periodograma, podemos obtener un estimador del ciclo de dicha serie temporal a partir
de los kw y de los armónicos correspondientes a dichos ciclos.
Partiendo pues de una representación de la tendencia ó movimiento relevante de la serie temporal obtenida, por ejemplo a partir de una tendencia cuadrática, una especificación de un modelo de regresión armónica sería el siguiente:
( )t
k
j
ojj vtjwbtjatttx +++++= ∑ sincos)( 0
2 ϖγβα (2)
1 La estimación de cada par de coefientes ja y jb se realiza independientemente para cada
armónico regresando la serie tCsobre cada seno y coseno calculado para tjwo
Donde k es el número de armónicos correspondientes a los ciclos que explican en el peridograma un porcentaje suficiente de la varianza de la serie. Como se puede observar el modelo de regresión armónica anteriormente descrito se asemeja al obtenido partir de la aproximación univariada en la forma de Gallant (1), para el caso particular en donde x=t:
( ) ( ) ( )tjt
J
j
jttt jwsvjwuwwwg sincos22
1/
1
2 −+++= ∑=
δβαθ (3)
Que también se puede presentar a efectos de su estimación mínimo cuadrática como:
( ) ( ) ( )twsvtwuctbtatx jjj
J
j
j sincos/1
2 ++++= ∑=
θ (4)
Donde 1
2
−⋅=
T
jw j
π, el vector de parámetros es ( )JJ vuvucba ,,...,,,, 11=θ de longitud
JK 23+= . Estimación de un modelo armónico a la cotización me nsual de VW La serie a la que vamos a estimar un modelo armónico es la cotización mensual de Volskwagen (VW) correspondiente al periodo que va desde el 1 de Enero 2003 al 2 de Diciembre del 2009. La cotización de VW sufrió un fuerte proceso especulativo en octubre del 2008, que llevo la cotización desde un valor de 200 euros, a que cotizaba a comienzos de septiembre hasta un máximo de 1005,81 euros a que cotizo el 28 de octubre del 2008. A parte de este proceso propio, la cotización de VW acusa la perdida de valor que origina la crisis financiera global actual. El carácter altamente especulativo de esta cotización tiene así un enrome atractivo a efectos de estudiar su posible modelización econométrica. Figura nº1.- Cotización VW en euros (media mensual).
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200
400
600
800
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1200
Dez-0
9jul
-09
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7
jun-0
7
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07
Aug-0
6
Mrz-
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Okt-05
Mai-
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4jul
-04
feb-
04
sep-
03
Apr-0
3
Apertura Alto Bajo Final
En la figura nº2 se recoge los resultados de la estimación de un modelo armónico de la cotización VW según el procedimiento descrito en el apartado anterior, ecuación (2).
La aproximación realizada presenta como se ve una tendencia exponencial creciente, y un conjunto de armómicos que permiten aproximar con bastante precisión el procesos especulativos de octubre del 2003, y el efecto de la crisis financiera del 2009, pero amplifica una oscilación que no se observa con tanta intensidad en la cotización del 2003 al 2006.2 Figura nº2.
Evolución de la cotización mensual de las acciones de wolkswagen.
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09
empirico Tendencia cuadrática WV
En el periodograma obtenido (Tabla nº1) destacan, dadas las características de la serie ajustada a la tendencia cuadrática, los ciclos de largo plazo, y uno de siete-ocho meses, que correspondería a un movimiento armónico complejo en torno a los armónicos de orden 10 y 11, que es el que amplifica el modelo armónico construido. Tabla nº1 Periodograma de la cotización VW
Armónico Periodo R2 aj bj I(wj) 1 84,00 0,11 10,38 -22,72 4170,71 2 42,00 0,14 -28,55 0,10 5449,66 3 28,00 0,12 -22,32 14,31 4700,00 4 21,00 0,12 -16,86 20,02 4577,45 5 16,80 0,08 -0,32 21,69 3146,39 6 14,00 0,01 2,92 -5,38 250,08 7 12,00 0,00 -1,74 -0,28 20,84 8 10,50 0,03 -10,08 7,91 1097,39 9 9,33 0,00 -4,24 -0,23 120,24
10 8,40 0,04 4,38 15,45 1724,39
2 La cotización VW no es una serie estacionaria como se puede apreciar, y tampoco lo es descontando la
tendencia cuadrática calculada, por ello no hay garantías de que el periodograma obtenido ofrezca los
mejores resultados a la hora de explicar la varianza de la serie temporal, en el sentido de que no se
descarta la existencia de ciclos de periodo superior a N/2 que resulten determinantes en la dinámica de la
serie temporal.
11 7,64 0,05 12,97 11,47 2004,16 12 7,00 0,03 12,15 0,56 989,62 13 6,46 0,01 3,10 -7,55 445,13 14 6,00 0,01 -6,10 2,90 305,16 15 5,60 0,01 1,12 9,04 554,74 16 5,25 0,01 7,17 5,78 566,41 17 4,94 0,01 6,42 0,24 275,49 18 4,67 0,00 2,15 -3,08 94,28 19 4,42 0,00 -3,63 -1,24 98,35 20 4,20 0,01 -3,83 3,90 199,64 21 4,00 0,01 -0,58 8,72 510,55 22 3,82 0,01 6,12 6,07 496,40 23 3,65 0,00 5,37 -0,13 193,12 24 3,50 0,00 0,75 -0,09 3,86 25 3,36 0,00 -1,68 3,40 96,07 26 3,23 0,01 1,52 8,00 443,38 27 3,11 0,02 9,15 7,14 900,25 28 3,00 0,02 11,72 -1,81 939,75 29 2,90 0,01 4,57 -7,44 509,45 30 2,80 0,00 -2,89 -4,39 184,53 31 2,71 0,00 -3,15 1,43 80,12 32 2,63 0,00 0,30 4,33 126,11 33 2,55 0,00 3,76 3,78 189,88 34 2,47 0,01 6,68 -0,49 299,52 35 2,40 0,00 1,89 -4,93 186,21 36 2,33 0,00 -2,89 -1,32 67,26 37 2,27 0,00 -0,86 4,13 118,81 38 2,21 0,00 2,42 3,99 145,54 39 2,15 0,01 5,05 2,27 204,82 40 2,10 0,00 4,57 -0,40 140,38 41 2,05 0,00 1,25 -2,86 65,06 42 2,00 0,00 -0,51 0,00 1,72
La representación del periodograma, que como se aprecia, es pareja a la del R2 que se obtiene en la regresión individual de cada par de senos y cosenos con la serie ajustada de tendencia, que se ha realizado para obtener una estimación de ja y jb ,
permite observar un conjunto de oscilaciones relevantes, como es el movimiento armónico complejo de los armónicos de orden 10 y 11, de periodo de 7-8 meses, junto a otro de menor intensidad, correspondiente a los armónicos 28 y 29, oscilaciones que tienen un periodo de 3 meses.
Figura nº 3 Periodograma de la cotización mensual de VW.
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2000,00
3000,00
4000,00
5000,00
6000,00
1 3 5 7 9 11131517192123252729313335373941
0,00
0,02
0,04
0,06
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0,14
0,16
periodograma
R2
Se ha calculado el periodograma de la agregación trimestral (figura 4) de la cotización VW, a fin de analizar la oscilación que ocurre cada 7-8 meses en otro frecuencia. En la representación realizada se aprecia un periodograma en frecuencia trimestral muy semejante al de frecuencia mensual en los 14 primeros armónicos, por otro lado se aprecia que el movimiento complejo en torno el armómico de orden 10 y 11, constituyen un ciclo más amplio que incluiría tambien los armónicos adyacentes. Figura nº4.- Periodograma del promedio trimestral de la cotización VW.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
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2000
periodograma
periodograma
trimestral
La representación que se alcanza con el modelo armónico obtenido (ecuación 2), sigue amplificando dichos ciclos de media frecuencia, en el periodo 2003 a 2006. Ver figura 5.
Figura 5.
Evolución de las cotizaciones trimestrales de Wolks wagen.
-50
0
50
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2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
VW empirico Tendencia cuadrática
En frecuencia semestral (ver figura nº 6), se altera notablemente el periodograma correspondiente a los 7 primeros armónicos, apareciendo ahora un pico en el armónico 6 (el que tiene lugar cada 14 meses en el promedio mensual, o cada 2,33 semestres), que no se había apreciado en los periodogramas obtenidos con las frecuencias mensual y trimestral. Si bien hay que tener presente que esta oscilación parece ser la misma que la que en las frecuencias mensuales y trimestrales aparecen con los armónicos de orden 10 y 11 y adyacentes; de hecho el ciclo correspondiente al armónico 6, amplifica también una oscilación que es inobservable en la cotización real entre los años 2003 y 2006 (ver figura nº7).
Figura nº6.- Periodograma del promedio semestral de la cotización VW.
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periodograma
periodograma
semestral
Figura nº 7
Evolución de la cotización semestral de las accion es de wolkswagen.
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empirico Tendencia cuadrática WV
Si se obtiene ahora el periodograma de la transformación logarítmica de la serie, que acota la varianza derivada del fuerte proceso especulativo, se obtienen mejores propiedades cíclicas, ya que los ciclos de largo plazo van perdiendo importancia a medida que aumenta su frecuencia, y el ciclo de 7-8 meses de periodo correspondiente al movimiento armónico complejo de orden 11 y adyacentes, adquiere ahora mayor relevancia en el periodograma (ver Figura nº 8). También el ciclo complejo que se forma con los armónicos de orden 27 y 28 (3 meses) aparece como destacable.
Tabla nº2 Periodograma del logaritmo de la cotización VW Armónico Periodo R2 aj bj I(wj)
1 84,0 0,2376 0,0541 -0,2334 0,38 2 42,0 0,1487 -0,1373 0,1306 0,24 3 28,0 0,1272 -0,1149 0,1323 0,20 4 21,0 0,1194 -0,1318 0,1071 0,19 5 16,8 0,0603 -0,0294 0,1170 0,10 6 14,0 0,0030 0,0265 -0,0023 0,00 7 12,0 0,0027 -0,0028 0,0253 0,00 8 10,5 0,0219 -0,0327 0,0649 0,03 9 9,3 0,0029 -0,0166 0,0205 0,00
10 8,4 0,0196 0,0243 0,0644 0,03 11 7,6 0,0514 0,0797 0,0778 0,08 12 7,0 0,0159 0,0478 0,0393 0,03 13 6,5 0,0111 0,0442 -0,0270 0,02 14 6,0 0,0065 -0,0045 0,0395 0,01 15 5,6 0,0110 0,0301 0,0419 0,02 16 5,3 0,0134 0,0449 0,0349 0,02 17 4,9 0,0058 0,0285 0,0243 0,01 18 4,7 0,0018 0,0154 0,0142 0,00 19 4,4 0,0008 -0,0057 0,0124 0,00 20 4,2 0,0025 0,0118 0,0214 0,00 21 4,0 0,0085 0,0010 0,0452 0,01 22 3,8 0,0075 0,0273 0,0327 0,01 23 3,7 0,0047 0,0314 0,0118 0,01 24 3,5 0,0046 0,0216 0,0255 0,01 25 3,4 0,0035 0,0114 0,0269 0,01 26 3,2 0,0078 0,0257 0,0349 0,01 27 3,1 0,0155 0,0523 0,0316 0,02 28 3,0 0,0148 0,0597 -0,0024 0,02 29 2,9 0,0043 0,0282 -0,0153 0,01 30 2,8 0,0001 -0,0002 -0,0059 0,00 31 2,7 0,0003 0,0053 0,0059 0,00 32 2,6 0,0018 0,0153 0,0137 0,00 33 2,5 0,0014 0,0136 0,0120 0,00 34 2,5 0,0047 0,0334 0,0049 0,01 35 2,4 0,0018 0,0151 -0,0146 0,00 36 2,3 0,0002 0,0070 -0,0024 0,00 37 2,3 0,0029 0,0142 0,0225 0,00 38 2,2 0,0011 0,0119 0,0111 0,00 39 2,2 0,0035 0,0252 0,0143 0,01 40 2,1 0,0025 0,0138 0,0201 0,00 41 2,0 0,0002 0,0046 -0,0041 0,00 42 2,0 0,0001 0,0029 0,0000 0,00
Figura nº 8
Por otro lado, la representación gráfica (figura nº9) del modelo armónico, se aproxima notablemente a la de la serie original transformada. Figura nº 9.
Evolución de la cotización mensual de las acciones de wolkswagen. Serie Logaritmica.
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empirico Tendencia cuadrática WV
La primera diferencia de la cotización VW (figura nº8) es una serie en apariencia estacionaria, lo que hace más preciso el utilizar el periodograma calculado para oscilaciones de periodo inferior a N/2 como representación de la varianza de la serie por la ausencia de oscilaciones de largo plazo. Por otro lado, la diferencia del logaritmo de la cotización en terminología financiera se considera el rendimiento
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
mensual del valor, que es otra de las señales sobre las que se suele observar la cotización de los valores bursátiles. Las oscilaciones relevantes ahora son la correspondiente al movimiento armónico complejo de orden 13 y adyacentes (7,5-6,5 meses) y el compuesto por los armónicos 27, 28 y 29 (3 meses). Tabla nº3 Periodograma de la diferencia del logaritmo de la cotización de VW. Armónico Periodo R2 aj bj I(wj)
1 83,0 0,0133 0,0022 -0,0248 0,00 2 41,5 0,0033 -0,0053 0,0111 0,00 3 27,7 0,0101 -0,0035 0,0214 0,00 4 20,8 0,0353 -0,0042 0,0403 0,01 5 16,6 0,0070 0,0073 0,0165 0,00 6 13,8 0,0005 0,0004 0,0048 0,00 7 11,9 0,0179 -0,0271 0,0099 0,01 8 10,4 0,0243 -0,0054 0,0332 0,01 9 9,2 0,0138 0,0205 0,0146 0,00
10 8,3 0,0034 0,0101 0,0074 0,00 11 7,5 0,0573 0,0307 -0,0414 0,02 12 6,9 0,0173 0,0111 -0,0261 0,01 13 6,4 0,0950 -0,0588 -0,0308 0,03 14 5,9 0,0094 -0,0048 0,0203 0,00 15 5,5 0,0018 0,0063 -0,0067 0,00 16 5,2 0,0214 0,0065 -0,0309 0,01 17 4,9 0,0107 -0,0009 -0,0223 0,00 18 4,6 0,0068 -0,0138 -0,0111 0,00 19 4,4 0,0227 -0,0223 0,0235 0,01 20 4,2 0,0090 -0,0185 0,0087 0,00 21 4,0 0,0350 0,0218 0,0339 0,01 22 3,8 0,0104 0,0216 0,0040 0,00 23 3,6 0,0049 -0,0102 -0,0111 0,00 24 3,5 0,0007 0,0051 -0,0027 0,00 25 3,3 0,0144 0,0103 0,0237 0,00 26 3,2 0,0344 0,0346 0,0200 0,01 27 3,1 0,0900 0,0590 -0,0265 0,03 28 3,0 0,1332 0,0181 -0,0765 0,04 29 2,9 0,0860 -0,0211 -0,0596 0,03 30 2,8 0,0172 -0,0276 -0,0060 0,01 31 2,7 0,0077 -0,0175 0,0073 0,00 32 2,6 0,0001 0,0010 -0,0013 0,00 33 2,5 0,0064 0,0118 0,0126 0,00 34 2,4 0,0301 0,0155 -0,0340 0,01 35 2,4 0,0316 -0,0321 -0,0209 0,01 36 2,3 0,0434 -0,0449 0,0018 0,01 37 2,2 0,0006 0,0036 -0,0037 0,00 38 2,2 0,0021 -0,0031 0,0093 0,00 39 2,1 0,0117 0,0045 -0,0229 0,00 40 2,1 0,0502 0,0433 -0,0213 0,02 41 2,0 0,0037 0,0126 -0,0033 0,00 42 2,0 0,0037 0,0126 0,0033 0,00
Figura nº8
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,04
0,05
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
El modelo armónico calculado se aproxima bastante a la serie original, muestra una tendencia a largo plazo marcada por la disminución del rendimiento, y una oscilación del mismo que tiene lugar aproximadamente cada 6-8 meses, combinada con otra de de menor intensidad que tiene lugar cada 3 meses. Figura nº 9.
Evolución de la cotización de las acciones de wolks wagen. Diferencia logarítmicas.
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Jan-
03
Mai
-03
sep-
03
Jan-
04
Mai
-04
sep-
04
Jan-
05
Mai
-05
sep-
05
Jan-
06
Mai
-06
sep-
06
Jan-
07
Mai
-07
sep-
07
Jan-
08
Mai
-08
sep-
08
Jan-
09
Mai
-09
sep-
09
empirico Tendencia cuadrática Rendimientos VW
Diferenciación e integración de un modelo de regres ión armónica. Al igual que el modelo FFF puede resolverse eligiendo aquellos que mejor aproximen la función a estimar, y sus primeras y/o segundas derivadas, se puede hacer lo propio con el modelo de regresión armónica pero utilizando operadores de diferencias de distinto orden. Definimos ahora un operador de diferencias ttt xBxx )1(1 −=− − , de forma que
utilizando la especificación (4), se llegaría a:
( ) ( )
−+−+−+−+−
++++=− ∑∑
==
J
j
jjjj
J
j
jjjj twvtwutctbatwvtwuctbtatxB1
2
1
2 )1(sin)1(cos)1()1()sin()cos()/()1( θ
(5) Operando (5) se obtiene:
( )[ ] ( )[ ]∑=
−−++−++−=−J
j
jjjjjjjjjj twwuwvtwwvwuctcbtxB1
)sin()sin()cos(1)cos()sin()cos(12)()/()1( θ
que cabe expresar como:
∑=
+++=−J
j
jjjj twtwttxB1
)sin()cos()/()1( νµδβθ (6)
Siendo
jjjjjj
jjjjjj
wvwuv
wvwuu
νµ
=−−
=+−
)cos()sin(
)sin()cos((7)
La integración de este modelo requiere resolver el siguiente sistema:
=−−=+−
jjjjjj
jjjjjj
wvwuv
wvwuu
νµ
)cos()sin(
)sin()cos(
Que da como solución:
( ))(sin)(cos)cos(21
)sin()cos(1
)cos(1
)sin(
22
jjj
jjjj
j
j
jjj
j
www
wwv
w
wvu
++−+−
=
−−
=
µν
µ
(8)
En tanto que:
2
2
δβ
δ
+=
=
b
c
Estos coeficientes devolverían los coeficientes de la expresión (4) a partir de la optimización de (6). Diferenciación e integración del modelo armónico de VW. Los modelos armónicos estimados que ofrecen las mejores aproximaciones, es decir la transformación logarítmica de la cotización VW, y la diferencia de la transformación logarítmica o rendimiento mensual de la acción, presentan problemas de aproximación cuando se diferencian o se integran.
La diferenciación del modelo armónico del logaritmo de la cotización VW que aparece en la figura nº1. Los resultados de la diferenciación se aproximan a la evolución de la serie real diferenciada, si bien se aprecia en los años intermedios del periodo algunas diferencias puntuales. Figura nº 9
DIFERENCIAS LOGARITMICAS DE LA
COTIZACION VW
-1
-0,5
0
0,5
1
f eb-
03
j un-
03
Okt -
03
f eb-
04
j un-
04
Okt -
04
f eb-
05
j un-
05
Okt -
05
f eb-
06
j un-
06
Okt -
06
f eb-
07
j un-
07
Okt -
07
f eb-
08
j un-
08
Okt -
08
f eb-
09
j un-
09
Okt -
09
diferenciación de la est imacion s.f. del logaritmo
diferencias logaritmimas VW
estimación s.f . diferencias logaritmicas
En la tabla nº 4 aparecen los coeficientes calculados en el proceso de diferenciación y el valor del periodograma 3. Tabla nº 4.- Peridograma de la diferenciación del modelo armónico del logaritmo de la cotización VW.
Armónico Periodo Uj -Vj I(wj) 1 83,00 -0,0173 -0,0047 0,00 2 41,50 0,0179 0,0219 0,01 3 27,67 0,0266 0,0289 0,01 4 20,75 0,0257 0,0436 0,02 5 16,60 0,0407 0,0188 0,01 6 13,83 0,0016 -0,0117 0,00 7 11,86 0,0123 0,0048 0,00
3 El cálculo de los dos primeros coeficientes de la diferenciación sería el siguiente:
( ) ( )( ) ( ) 1
1
0047,084
2sin054,084
2cos233,0233,0
0173,084
2sin233,084
2cos054,0054,0
νππ
µππ
=−=−+−
=−=−−
( ) ( )( ) ( ) 2
2
0219,084
4sin137,084
4cos131,0131,0
0179,084
4sin131,084
4cos137,0137,0
νππ
µππ
==+−+
==++−
8 10,38 0,0309 0,0297 0,01 9 9,22 0,0092 0,0148 0,00
10 8,30 0,0503 0,0007 0,02 11 7,55 0,0826 -0,0336 0,05 12 6,92 0,0487 -0,0226 0,02 13 6,38 -0,0030 -0,0483 0,02 14 5,93 0,0319 0,0236 0,01 15 5,53 0,0548 -0,0034 0,02 16 5,19 0,0610 -0,0197 0,03 17 4,88 0,0433 -0,0102 0,01 18 4,61 0,0258 -0,0040 0,00 19 4,37 0,0075 0,0162 0,00 20 4,15 0,0323 0,0080 0,01 21 3,95 0,0462 0,0442 0,03 22 3,77 0,0619 0,0079 0,03 23 3,61 0,0479 -0,0175 0,02 24 3,46 0,0513 0,0102 0,02 25 3,32 0,0404 0,0239 0,01 26 3,19 0,0675 0,0238 0,03 27 3,07 0,1035 -0,0018 0,07 28 2,96 0,0875 -0,0553 0,07 29 2,86 0,0315 -0,0473 0,02 30 2,77 -0,0049 -0,0093 0,00 31 2,68 0,0133 0,0060 0,00 32 2,59 0,0359 0,0134 0,01 33 2,52 0,0318 0,0129 0,01 34 2,44 0,0637 -0,0098 0,03 35 2,37 0,0209 -0,0348 0,01 36 2,31 0,0122 -0,0076 0,00 37 2,24 0,0356 0,0383 0,02 38 2,18 0,0266 0,0182 0,01 39 2,13 0,0530 0,0227 0,02 40 2,08 0,0305 0,0379 0,02 41 2,02 0,0089 -0,0085 0,00 42 1,98 0,0058 0,0000 0,00
La representación del periodograma correspondiente a los coeficientes calculados (figura nº10), se asemeja al periodograma de los rendimientos logarítmicos mensuales de la cotización VW, destaca ahora la oscilación armónica de orden 11, en vez de la de orden 13 que destacaba en el periodograma original, recordemos que el ciclo de esta frecuencia no acaba de ser precisado en los diferentes periodogramas realizados a las diferentes series de cotización; el ciclo de tres meses, también aparece bastante impreciso en el periodograma de la serie diferenciada.
Figura nº 10. Peridograma de la diferenciación del modelo armónico de la serie logarítmica.
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
periodograma diferenciación Periodograma
Por su parte, la integración de los coeficientes del modelo armónico del rendimiento o diferencia logarítmica de la cotización mensual de VW4, presenta como se puede apreciar en la figura nº 10 y nº 11, una peor aproximación al logaritmo de la cotización, tanto en lo relativo a su evolución temporal que resulta como al periodograma que se calcula (Tabla nº5).
4 El cálculo de los dos primeros coeficientes de la integración sería el siguiente:
( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0174,0
842sin
842cos
842cos21
842sin0022,0
842cos10247,0
3323,0
842cos1
842sin0174,00022,0
221
1
=++−
+−−=
=−
++=
πππ
ππ
π
π
v
u
( )( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0300,0
844sin
844cos
844cos21
844sin0053,0
844cos10111,0
0768,0
844cos1
844sin0300,00053,0
222
2
−=++−
−−=
−=−
+−=
πππ
ππ
π
π
v
u
Figura nº 10
Logaritmo de la cotización VW
0
1
2
3
4
5
6
7
Jan-
03
M ai -
03
sep-
03
Jan-
04
M ai -
04
sep-
04
Jan-
05
M ai -
05
sep-
05
Jan-
06
M ai -
06
sep-
06
Jan-
07
M ai -
07
sep-
07
Jan-
08
M ai -
08
sep-
08
Jan-
09
M ai -
09
sep-
09
estimacion s.f. del logaritmo
logaritmo VW
Integracion s.f. diferencia logaritmica
Tabla nº 5.- Peridograma de la integración del modelo armónico de diferencias logarítmicas de la cotización VW.
Armónico Periodo uj -vj I(wj) 1 84,00 0,3323 0,0174 0,74 2 42,00 -0,0768 -0,0300 0,05 3 28,00 -0,0968 -0,0048 0,06 4 21,00 -0,1357 0,0063 0,12 5 16,80 -0,0400 0,0276 0,02 6 14,00 -0,0104 0,0033 0,00 7 12,00 -0,0321 -0,0455 0,02 8 10,50 -0,0565 0,0079 0,02 9 9,33 -0,0106 0,0366 0,01
10 8,40 -0,0044 0,0166 0,00 11 7,64 0,0629 0,0145 0,03 12 7,00 0,0326 -0,0015 0,01 13 6,46 -0,0003 -0,0711 0,03 14 6,00 -0,0200 0,0060 0,00 15 5,60 0,0084 0,0017 0,00 16 5,25 0,0259 -0,0107 0,01 17 4,94 0,0147 -0,0118 0,00 18 4,67 0,0001 -0,0142 0,00 19 4,42 -0,0248 -0,0012 0,00 20 4,20 -0,0140 -0,0056 0,00 21 4,00 -0,0060 0,0278 0,01 22 3,82 0,0089 0,0121 0,00
23 3,65 -0,0003 -0,0100 0,00 24 3,50 0,0037 0,0007 0,00 25 3,36 -0,0036 0,0157 0,00 26 3,23 0,0105 0,0218 0,00 27 3,11 0,0378 0,0053 0,01 28 3,00 0,0312 -0,0330 0,01 29 2,90 0,0052 -0,0354 0,01 30 2,80 -0,0124 -0,0097 0,00 31 2,71 -0,0103 -0,0001 0,00 32 2,63 0,0008 -0,0004 0,00 33 2,55 0,0037 0,0084 0,00 34 2,47 0,0130 -0,0146 0,00 35 2,40 -0,0132 -0,0147 0,00 36 2,33 -0,0226 -0,0042 0,00 37 2,27 0,0021 -0,0015 0,00 38 2,21 -0,0023 0,0044 0,00 39 2,15 0,0035 -0,0112 0,00 40 2,10 0,0225 -0,0090 0,00 41 2,05 0,0064 -0,0014 0,00 42 2,00 0,0063 0,0017 0,00
Figura nº11. Peridograma de la integración del modelo armónico de la serie de diferencias logarítmicas.
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
Periodograma de la integración Periodograma
Una forma de obtener la mejor representación posible conjunta de la cotización logarítmica de VW y de la diferencia logarítmica de la cotización, consistiría en plantear la minimización de las diferencias observadas entre los periodogramas calculados con las series originales y los resultantes de la diferenciación o de la integración, según se inicie el procedimiento de optimización con los coeficientes obtenidos en la serie de diferencias logarítmicas ó la serie del logaritmo de la cotización, se podrá realizar dos tipos de optimización. Así denominando
( ) ( )π4
22
pp
p
BATwI
+= , al periodograma de la serie del logaritmo.
( ) ( )π4
22
pp
p
baTwI
+= al periodograma de la serie de diferencias del logaritmo.
( ) ( )π
υµ4
22
* pp
p
TwI
+= al periodograma de la diferenciación de la serie del logaritmo.
( ) ( )π4
22
* pp
p
vuTwI
+= al periodograma de la integración de la serie de diferencias logaritmicas
Se puede plantear las dos siguientes optimizaciones:
( ) ( ) ( ) ( )( )
−+
+−
+∑∑
==
2/
1
2*2/
1
22222
44min
T
p
pp
T
p
ppppwIwI
BATBAT
πλλ
πυµ
( ) ( ) ( ) ( )( )
−+
+−
+∑∑
==
2/
1
2*2/
1
22222
44min
T
p
pp
T
p
ppppwIwI
baTbaT
πλλ
πυµ
Los resultados de la primera de las optimizaciones, realizada con el método del gradiente conjugado, que se describe en el anexo nº 2, se inicia con los coeficientes de la serie logarítmica5, aparece en las figura nº 12, en tanto que los coeficientes que resultan de la optimización y la diferenciación de estos, se han recogido en las tablas nº 6 y 7. Figura nº 12. Resultados de la optimización iniciada con los coeficientes de la serie logarítmica
Logaritmo de la cotización VW
0
1
2
3
4
5
6
7
Jan-
03
M ai -
03
sep-
03
Jan-
04
M ai -
04
sep-
04
Jan-
05
M ai -
05
sep-
05
Jan-
06
M ai -
06
sep-
06
Jan-
07
M ai -
07
sep-
07
Jan-
08
M ai -
08
sep-
08
Jan-
09
M ai -
09
sep-
09
estimacion s.f. del logaritmo
logaritmo VW
Integracion optimizacion s.f. diferencia logaritmica
DIFERENCIAS LOGARITMICAS DE LA
COTIZACION VW
-1
-0,5
0
0,5
1
f eb-
03
j un-
03
Okt -
03
f eb-
04
jun-
04
Okt -
04
f eb-
05
j un-
05
Okt -
05
f eb-
06
j un-
06
Okt -
06
f eb-
07
j un-
07
Okt-
07
f eb-
08
j un-
08
Okt -
08
f eb-
09
j un-
09
Okt -
09
diferenciación de la opt imizacion s.f . del logaritmo
diferencias logaritmimas VW
est imación s.f . diferencias logaritmicas
0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,45
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
Periodograma de la integración Periodograma
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
Periodograma diferenciación Periodograma
5
( ) ( ) ( ) ( )( ) 002719,044
min2/
1
2*2/
1
22222
=
−+
+−
+∑∑
==
T
p
pp
T
p
ppppwIwI
BATBAT
πλλ
πυµ
Tabla nº5.- Periodograma de la optimización de los coeficientes de regresión de la serie de logarítmica.
Armónico Periodo Uj -Vj I(wj) 1 84,00 0,0541 -0,2334 0,38 2 42,00 -0,1373 0,1306 0,24 3 28,00 -0,1148 0,1322 0,20 4 21,00 -0,1316 0,1069 0,19 5 16,80 -0,0291 0,1161 0,10 6 14,00 0,0261 -0,0023 0,00 7 12,00 -0,0031 0,0283 0,01 8 10,50 -0,0320 0,0635 0,03 9 9,33 -0,0179 0,0222 0,01
10 8,40 0,0216 0,0573 0,03 11 7,64 0,0716 0,0699 0,07 12 7,00 0,0411 0,0337 0,02 13 6,46 0,0518 -0,0316 0,02 14 6,00 -0,0036 0,0315 0,01 15 5,60 0,0203 0,0282 0,01 16 5,25 0,0327 0,0254 0,01 17 4,94 0,0202 0,0172 0,00 18 4,67 0,0121 0,0111 0,00 19 4,42 -0,0093 0,0204 0,00 20 4,20 0,0085 0,0154 0,00 21 4,00 0,0007 0,0324 0,01 22 3,82 0,0144 0,0172 0,00 23 3,65 0,0151 0,0057 0,00 24 3,50 0,0085 0,0100 0,00 25 3,36 0,0071 0,0168 0,00 26 3,23 0,0160 0,0218 0,00 27 3,11 -0,0352 -0,0212 0,01 28 3,00 0,0468 -0,0019 0,01 29 2,90 0,0309 -0,0168 0,01 30 2,80 -0,0006 -0,0150 0,00 31 2,71 0,0068 0,0075 0,00 32 2,63 0,0041 0,0037 0,00 33 2,55 0,0075 0,0066 0,00 34 2,47 0,0205 0,0030 0,00 35 2,40 0,0142 -0,0138 0,00 36 2,33 0,0210 -0,0073 0,00 37 2,27 0,0037 0,0059 0,00 38 2,21 0,0046 0,0043 0,00 39 2,15 0,0116 0,0066 0,00 40 2,10 0,0137 0,0198 0,00 41 2,05 0,0049 -0,0043 0,00 42 2,00 0,0063 0,0000 0,00
Tabla nº6. Periodograma de la diferenciación de los coeficientes optimizados de regresión de la serie logarítmica.
Armónico Periodo uj -vj I(wj) 1 83,00 -0,0173 -0,0047 0,00 2 41,50 0,0179 0,0219 0,01 3 27,67 0,0265 0,0289 0,01 4 20,75 0,0257 0,0435 0,02 5 16,60 0,0404 0,0187 0,01 6 13,83 0,0016 -0,0116 0,00 7 11,86 0,0137 0,0054 0,00 8 10,38 0,0302 0,0291 0,01 9 9,22 0,0099 0,0160 0,00
10 8,30 0,0448 0,0006 0,01 11 7,55 0,0741 -0,0301 0,04 12 6,92 0,0418 -0,0194 0,01 13 6,38 -0,0035 -0,0566 0,02 14 5,93 0,0255 0,0188 0,01 15 5,53 0,0369 -0,0023 0,01 16 5,19 0,0444 -0,0143 0,01 17 4,88 0,0306 -0,0072 0,01 18 4,61 0,0203 -0,0031 0,00 19 4,37 0,0123 0,0266 0,01 20 4,15 0,0232 0,0057 0,00 21 3,95 0,0331 0,0317 0,01 22 3,77 0,0326 0,0042 0,01 23 3,61 0,0230 -0,0084 0,00 24 3,46 0,0201 0,0040 0,00 25 3,32 0,0253 0,0149 0,01 26 3,19 0,0422 0,0148 0,01 27 3,07 -0,0696 0,0012 0,03 28 2,96 0,0685 -0,0433 0,04 29 2,86 0,0345 -0,0518 0,03 30 2,77 -0,0126 -0,0239 0,00 31 2,68 0,0169 0,0076 0,00 32 2,59 0,0096 0,0036 0,00 33 2,52 0,0175 0,0071 0,00 34 2,44 0,0392 -0,0060 0,01 35 2,37 0,0197 -0,0328 0,01 36 2,31 0,0368 -0,0230 0,01 37 2,24 0,0093 0,0100 0,00 38 2,18 0,0102 0,0070 0,00 39 2,13 0,0244 0,0105 0,00 40 2,08 0,0302 0,0374 0,02 41 2,02 0,0094 -0,0089 0,00 42 1,98 0,0127 0,0000 0,00
Los resultados de la segunda de las optimizaciones, es decir la que se inicia con los coeficientes de la serie de diferencias logarítmica6, aparece en las figura nº 13, en tanto que los coeficientes que resultan de la optimización y la diferenciación de estos, se pueden seguir en las tablas nº 7 y 8. Como se aprecia ambas optimizaciones dan lugar a resultados muy semejantes.
Figura nº 13.- Resultados de la optimización iniciada con los coeficientes de la serie de diferencias logarítmicas.
Logaritmo de la cotización VW
0
1
2
3
4
5
6
7
Jan-
03
Mai -
03
sep-
03
Jan-
04
M ai -
04
sep-
04
Jan-
05
M ai -
05
sep-
05
Jan-
06
Mai -
06
sep-
06
Jan-
07
M ai -
07
sep-
07
Jan-
08
M ai -
08
sep-
08
Jan-
09
Mai -
09
sep-
09
estimacion s.f. del logaritmo
logaritmo VW
Integracion optimizacion s.f. diferencia logaritmica
DIFERENCIAS LOGARITMICAS DE LA
COTIZACION VW
-1
-0,5
0
0,5
1
f eb-
03
j un-
03
Okt -
03
f eb-
04
j un-
04
Okt-
04
f eb-
05
j un-
05
Okt -
05
f eb-
06
j un-
06
Okt -
06
f eb-
07
j un-
07
Okt -
07
f eb-
08
j un-
08
Okt -
08
f eb-
09
j un-
09
Okt -
09
diferenciación de la opt imizacion s.f . del logaritmo
diferencias logaritmimas VW
est imación s.f . diferencias logaritmicas
0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,45
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
Periodograma de la integración Periodograma
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
Periodograma diferenciación Periodograma
Tabla nº7. Periodograma de la optimización de los coeficientes de regresión de la serie
de diferencias logarítmicas.
Armónico Periodo uj -vj I(wj) 1 83,00 0,0019 -0,0178 0,00 2 41,50 -0,0137 0,0248 0,01 3 27,67 -0,0064 0,0387 0,01 4 20,75 -0,0052 0,0503 0,02 5 16,60 0,0180 0,0407 0,01 6 13,83 0,0010 0,0115 0,00 7 11,86 -0,0138 0,0051 0,00 8 10,38 -0,0067 0,0414 0,01 9 9,22 0,0153 0,0109 0,00
10 8,30 0,0360 0,0264 0,01
6
( ) ( ) ( ) ( )( ) 002722,044
min2/
1
2*2/
1
22222
=
−+
+−
+∑∑
==
T
p
pp
T
p
ppppwIwI
baTbaT
πλλ
πυµ
11 7,55 0,0476 -0,0642 0,04 12 6,92 0,0181 -0,0425 0,01 13 6,38 -0,0502 -0,0263 0,02 14 5,93 -0,0074 0,0310 0,01 15 5,53 0,0251 -0,0265 0,01 16 5,19 0,0096 -0,0456 0,01 17 4,88 -0,0013 -0,0314 0,01 18 4,61 -0,0163 -0,0132 0,00 19 4,37 -0,0201 0,0212 0,01 20 4,15 -0,0220 0,0104 0,00 21 3,95 0,0248 0,0386 0,01 22 3,77 0,0325 0,0061 0,01 23 3,61 -0,0180 -0,0197 0,00 24 3,46 0,0167 -0,0089 0,00 25 3,32 0,0117 0,0271 0,01 26 3,19 0,0388 0,0223 0,01 27 3,07 0,0634 -0,0285 0,03 28 2,96 0,0186 -0,0787 0,04 29 2,86 -0,0208 -0,0587 0,03 30 2,77 -0,0264 -0,0057 0,00 31 2,68 -0,0170 0,0072 0,00 32 2,59 0,0015 -0,0020 0,00 33 2,52 0,0131 0,0140 0,00 34 2,44 0,0165 -0,0361 0,01 35 2,37 -0,0320 -0,0209 0,01 36 2,31 -0,0433 0,0017 0,01 37 2,24 0,0063 -0,0066 0,00 38 2,18 -0,0037 0,0111 0,00 39 2,13 0,0052 -0,0265 0,00 40 2,08 0,0431 -0,0212 0,02 41 2,02 0,0125 -0,0033 0,00 42 1,98 0,0123 0,0032 0,00
Tabla nº8. Periodograma de la integración de los coeficientes optimizados de regresión
de la serie de diferencias logarítmicas
Armónico Periodo Uj -Vj I(wj) 1 84,00 0,2390 0,0164 0,38 2 42,00 -0,1721 -0,0791 0,24 3 28,00 -0,1749 -0,0089 0,21 4 21,00 -0,1694 0,0079 0,19 5 16,80 -0,0985 0,0679 0,10 6 14,00 -0,0248 0,0079 0,00 7 12,00 -0,0164 -0,0233 0,01 8 10,50 -0,0704 0,0098 0,03 9 9,33 -0,0079 0,0274 0,01
10 8,40 -0,0156 0,0591 0,02 11 7,64 0,0974 0,0225 0,07 12 7,00 0,0532 -0,0025 0,02 13 6,46 -0,0002 -0,0607 0,02 14 6,00 -0,0305 0,0091 0,01
15 5,60 0,0336 0,0067 0,01 16 5,25 0,0383 -0,0158 0,01 17 4,94 0,0206 -0,0166 0,00 18 4,67 0,0001 -0,0168 0,00 19 4,42 -0,0224 -0,0011 0,00 20 4,20 -0,0166 -0,0067 0,00 21 4,00 -0,0069 0,0317 0,01 22 3,82 0,0134 0,0181 0,00 23 3,65 -0,0005 -0,0176 0,00 24 3,50 0,0119 0,0022 0,00 25 3,36 -0,0041 0,0179 0,00 26 3,23 0,0118 0,0244 0,00 27 3,11 0,0406 0,0057 0,01 28 3,00 0,0320 -0,0340 0,01 29 2,90 0,0051 -0,0348 0,01 30 2,80 -0,0118 -0,0092 0,00 31 2,71 -0,0101 -0,0001 0,00 32 2,63 0,0012 -0,0007 0,00 33 2,55 0,0041 0,0093 0,00 34 2,47 0,0138 -0,0155 0,00 35 2,40 -0,0132 -0,0147 0,00 36 2,33 -0,0218 -0,0041 0,00 37 2,27 0,0038 -0,0027 0,00 38 2,21 -0,0027 0,0053 0,00 39 2,15 0,0041 -0,0129 0,00 40 2,10 0,0223 -0,0090 0,00 41 2,05 0,0063 -0,0014 0,00 42 2,00 0,0061 0,0016 0,00
Bibliografía Abadie, J.(1978): «The GRG Method for Nonlinear Programming» en Greenberg, H.J.(Ed), Design and Implementation of Optimization Software, Sijthoff and Noordhoof, pp. 325-363. Alvarez N. (1990). Una aproximación a los ciclos económicos. Economía aplicada cuantitativa I. Cuadernos de la UNED. 1990: 143-201. Artis M., Clavel J.G., Hoffmann M. y Nachane D. (2007) “Harmonic Regression Models: A Comparative Review with Applications”. Institute for Empirical Research in Economics”. University of Zurich. Working Paper Series .September 2007 SSRN-Harmonic Regression Models: A Comparative Review with Applications by Michael
Artis, José Clavel, Mathias Hoffmann, DILIP NACHANE Bhansali, R.J. (1979) “A Mixed Spectrum Analysis of the Lynx Data," Journal of the Royal Statistical Society, Ser. A, 142(2), 199-209. Campbell, M.J. and Walker, A.M. (1977), \A Survey of Statistical Work on the Mackenzie River Series of Annual Canadian Lynx Trappings for the Years 1821-1934 and a New Analysis," Journal of the Royal Statistical Society, Ser. A, 140(4), 411-431. Gallant, A. R.(1981) "On the Bias in Flexible Functional Forms and an Essentially Unbiased Form." J. Econometrics 15(1981):211-45. Gallant, A. R.(1984) "The Fourier Flexible Form." Amer. J. Agr. Econ. 66(1984):204-15. Hannan, E.J.(1971), “Non-linear Time Series Regression," Journal of Applied Probability, 8, 767-780. Hannan, E.J.(1973), \The Asymptotic Theory of Linear Time Series Models," Journal of Applied Probability, 10, 130-145. Hestenes, M.R. y Stiefel E. (1952), "Methods of Congugate Gradients for Solving Linear Systems", J. Res. Natl. Bur. Stand., 49, pp. 409-436, 1952. Kay, S.M. and Marple, S.L. (1981), “Spectrum Analysis - A Modern Perspective," Proceedings of the IEEE, 69, 1380-1419. Lasdon y Waren(1978): «Generalized Reduced Gradient Software for Linearly and Nonlinearly Constrained Problems» en Greenberg, H.J.(Ed), Design and Implementation of Optimization Software, Sijthoff and Noordhoof, pp. 363-397. Lasdon, Waren, Jain y Ratner(1978): «Design and Testing of a Generalized Reduced Gradient Code for Nonlinear Constrained Programming», ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 4, pp. 34-50. Marple, S. (1987) “Digital Spectral Analysis with Applications”, Prentice-Hall, Englewood Cli®s, N.J. Parra F. (2008): “Estimación modelos de regresión armónica”, http://econometria.wordpress.com/2008/04/13/estimacion-modelos-de-regresion-
armonica/ Pisarenko, V.F. (1973), “The Retrieval of Harmonics from a Covariance Function," Geophysical Journal of Royal Astronomical Society, 33, 347-366. Priestley, M.B. (1964), “Estimation of the Spectral Density Function in the Presence of Harmonic Components," Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B, 26, 123-132. Priestley, M.B. (1981), “Spectral Analysis and Time Series, Academic Press, London. Reid, J. K.(1971), "On the Method of Conjugate Gradients for the Solution of Large Sparce Systems of Linear Equations", in J. K. Reid, Ed., Large Sparce Sets of Linear Equations, New York: Academic Press, pp. 231-254, 1971. Ríos, S. (1988), “Investigación operative”. Centro de Estudios Ramón Areces. Madrid. Truong-Van, B. (1990), “A New Approach to Frequency Analysis with Amplied armonics," Journal of the Royal Statistical Society, Ser.B, 52(1), 203-221. Whittle, P. (1952), “Tests of Fit in Time Series," Biometrika, 39, 309-318.
Tweeten, L. "Hypothesis Testing in Economic Science." Amer. J. Agr. Econ. 65(1983):548-52. White, H. "Using Least Squares to Approximate Unknown Regression Functions." Int. Econ. Rev. 21(1980):149-70. Young, P.C., Pedregal, D.J. and W.Tych (1999), \Dynamic harmonic regression," Journal of Forecasting, 18, 369-394.
ANEXO Nº1
COTIZACIÓN MENSUAL DE WV (PROMEDIO MENSUAL DE DATOS DIARIOS).
Datum Apertura Alto Bajo Final Volumen Dez-09 83,15 83,39 78,81 79,47 1.178.600 nov-09 111 111,4 78,1 82 739.100 Okt-09 112,99 124 108,48 110,64 292.400 sep-09 135,6 136,01 108,12 112,33 622.600 Aug-09 252,26 257,19 133,51 135,05 569.900
jul-09 245,46 261,46 209,25 252,26 356.700 jun-09 218,12 259,62 216,28 241,14 485.800 Mai-09 234,25 239,5 208,75 213,49 451.500 Apr-09 230 257,18 225,51 239,23 407.900 Mrz-09 187 268,6 185,25 231,3 712.900 feb-09 247,39 279,79 188 188 702.300 Jan-09 252 304,87 231,95 249,45 532.700 Dez-08 275,5 313 249,95 250 698.400 nov-08 482 506,5 247,6 280,33 1.111.100 Okt-08 280 1.005,01 201,02 499,5 4.977.400 sep-08 201,24 305,06 195,6 278,01 3.333.900 Aug-08 198,41 210,19 192,3 204 1.289.100
jul-08 181,11 215,43 164,8 204,76 2.722.200 jun-08 175,89 185,97 170,5 183,28 1.754.300 Mai-08 190,04 194 176,15 177,05 1.274.400 Apr-08 183,01 192,25 175,8 189,39 1.677.000 Mrz-08 149,99 188,5 149,99 183,64 2.568.100 feb-08 151,75 154,04 147,34 149,99 2.006.800 Jan-08 156,1 161,5 144,3 151,79 2.927.300 Dez-07 164,12 165,35 152,12 156,1 1.202.900 nov-07 199 199,7 154,19 163,84 1.966.800 Okt-07 158,9 199,6 158,15 197,9 3.115.700 sep-07 152,36 159,67 148,79 158,5 1.601.400 Aug-07 130,55 153,69 129,73 151,6 3.201.300
jul-07 117,88 133,23 116,73 132,54 2.343.800 jun-07 113,98 118,35 106,36 118,1 2.120.300 Mai-07 111,39 117,2 104,24 112,79 1.945.900 Apr-07 112,75 116,76 110,08 111,39 1.985.800 Mrz-07 95,35 119,18 90,01 112,5 10.287.300 feb-07 85,85 98,26 84,11 95,34 7.971.300 Jan-07 85,89 87,88 82,23 85,51 4.102.300 Dez-06 82,24 86,73 80,28 85,89 2.687.900 nov-06 76,92 88,4 76,73 82,25 7.280.300 Okt-06 67,51 79,54 66,43 77,3 3.531.800 sep-06 62,3 69,2 60,66 67,18 2.486.300 Aug-06 58,85 64,26 57,85 62,35 1.920.100
jul-06 55,6 60 51,35 58,75 2.232.600 jun-06 55,66 56,25 50,4 54,83 1.809.300 Mai-06 61,21 62,7 52,37 55,31 2.634.500
Apr-06 62,45 66,3 60,91 61,21 2.564.600 Mrz-06 58,4 63,15 54,75 62,31 2.626.400 feb-06 48,8 60 48,47 58,66 3.864.500 Jan-06 44,7 50,34 44,7 48,8 2.630.000 Dez-05 44,52 47,15 43,86 44,61 1.827.400 nov-05 45,29 47,37 43,5 44,55 2.448.400 Okt-05 51,25 54,18 44,26 45,45 3.947.000 sep-05 43,05 53,19 41,9 51,2 6.182.400 Aug-05 44,74 45,15 42,01 42,75 2.582.900
jul-05 37,82 45,19 37,54 44,76 4.119.300 jun-05 35,99 38,63 35,66 37,82 2.223.200 Mai-05 32,45 36,14 32,02 35,74 2.083.900 Apr-05 36,54 36,72 31,75 32,24 2.946.600 Mrz-05 37,3 37,82 34,88 36,72 2.398.700 feb-05 37 38,53 36,17 37,35 2.489.000 Jan-05 33,53 36,93 33,48 36,81 2.747.200 Dez-04 33,74 34,64 32,94 33,35 1.715.100 nov-04 34,7 36,4 33,73 33,95 2.319.500 Okt-04 30,99 35,9 30,95 34,82 4.655.000 sep-04 31,8 33,75 30,8 30,99 3.247.800 Aug-04 33,73 34,53 30,34 31,56 2.306.200
jul-04 35,09 35,12 31,97 33,73 2.943.400 jun-04 34,75 34,97 34,72 34,72 3.281.800 Mai-04 36,6 37,55 34,25 35,77 2.030.000 Apr-04 35,84 38,97 35,36 36,75 3.115.800 Mrz-04 37,9 39,9 33,95 35,54 3.107.900 feb-04 40,75 40,89 37,25 37,8 3.324.400 Jan-04 44,15 44,94 40,11 40,46 2.915.900 Dez-03 41,85 44,77 41,36 44,15 1.750.300 nov-03 43,2 45,82 40,98 41,45 2.467.600 Okt-03 38,17 44,43 37,65 44 2.519.400 sep-03 45 46,74 37,58 38,59 2.852.800 Aug-03 37,98 45,48 37 44,65 2.031.200
jul-03 36,4 38,65 34,49 38,05 2.448.500 jun-03 30,93 37,39 30,55 36,88 3.100.600 Mai-03 31,34 33,14 28,5 30,71 2.894.600 Apr-03 29,47 35,06 28,72 31,5 2.361.500 Mrz-03 37,7 37,75 28,06 29,2 3.339.800 feb-03 39,02 39,9 33,99 37,01 2.209.100 Jan-03 34,74 38,84 33,1 38,25 2.292.200
ANEXO Nº 2
MÉTODO DEL GRADIENTE CONJUGADO
El método de gradiente conjugado (CGM) se aplica a la ecuación bAu = ,
cuando A es definida positiva y simétrica. Sin embargo también existe una forma de aplicar esta clase de procedimientos en el caso en que la matriz A, no es simétrica. La idea básica en que descansa el método del gradiente conjugado consiste en construir una base de vectores ortogonales y utilizarla para realizar la búsqueda de la solución en forma más eficiente. Tal forma de proceder generalmente no sería aconsejable porque la construcción de una base ortogonal utilizando el procedimiento de Gramm-Schmidt requiere, al seleccionar cada nuevo elemento de la base, asegurar su ortogonalidad con respecto a cada uno de los vectores construidos previamente. La gran ventaja del método del gradiente conjugado radica en que cuando se utiliza este procedimiento, basta con asegurar la ortogonalidad de un nuevo miembro con respecto al último que se ha construido, para que automáticamente esta condición se cumpla con respecto a todos los anteriores.
El método del gradiente conjugado es, por tanto, un método iterativo que a partir de un iterante inicial va calculando sucesivos iterantes que se van acercando a la solución exacta del sistema lineal. El iterante k+1 será la solución, si la diferencia entre él y el iterante k es menor que un cierto número prefijado. El método del gradiente conjugado se enfoca como un método de minimización de la función F, convexa y con un único mínimo:
( ) ( ) ( ) NRuubuAuuF ∈∀−= ,,,2
1
siendo (x,y) el producto interior de x por y.
Así para k=1,..., N-1, se calcula el mínimo de la función F sobre la variedad lineal
),...,( 00 Nppu +
Esto es, sea NRu ∈0 , construimos
{ }Nppp ,...,, 10
base ortogonal de NR respecto al producto escalar (A·, ·).
Realizando una serie de operaciones, el algoritmo nos queda de la siguiente forma:
• a) Inicialización del algoritmo: Sea el iterante inicial NRu ∈0 cualquiera, definimos
00 Aubr −=
y definimos la primera dirección de descenso como
00 rp =
• b) Iteraciones: Para k = 0, . . . , N - 1 se hace la minimización correspondiente, esta equivale a:
111
111
11
1
11
1
+++
+++
+++
++
+
−=
+=
=
−=
=
kkkk
kkkk
kk
kkk
kkkk
kk
kkk
Aprr
puu
pAp
rr
prp
pAp
rAp
αα
α
β
β
El criterio de parada es, obviamente:
ε<∞
r
Donde es un valor de convergencia prefijado próximo a cero.
Se puede probar que las direcciones de descenso así definidas son conjugadas, es decir, ortogonales 2 a 2 con el producto escalar (A·, ·) y que este algoritmo nos va a llevar al mínimo de F y por tanto a la solución del problema. Además los residuos son ortogonales entre sí.
El algoritmo del gradiente conjugado así definido, converge a lo sumo en N iteraciones a la solución exacta del sistema A·x = b con A simétrica y definida positiva. Aunque normalmente, lo suele hacer antes.
Por otra parte, podemos ver que este método necesita muy poca memoria para ser realizado, cuando la matriz del sistema es simétrica y definida positiva. El método de Newton converge en general en un menor número de iteraciones, si bien requiere más memoria.
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