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El teorema de la funcion implıcita
Renato Alvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla
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x
y0
0 ����
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x 0 y0( ),(x,y)
https://renato.ryn-fismat.es/clases.html
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 1
¿Cuando la ecuacion F (x , y) = 0
define una funcion y = f (x)?
����
I
x
y0
0 ����
����
x 0 y0( ),(x,y)
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 2
Problema: ¿cuando F (x , y) = 0 define una funcion y = f (x)?
Para aclarar ideas: La Ec. F (x , y) = x2 + y2 − 1 = 0 define una circunfe-rencia en R2.
����
I
x
y0
0
Ahora bien, si queremos despejar la y tenemos y = ±√
1− x2. ¿Cual delas dos ramas tomamos?
Una eleccion: y = f (x) =√
1− x2 que es continua en [−1, 1] pero noes diferenciable en los extremos.
Otra eleccion: f (x) =√
1− x2 si x ∈ Q y f (x) = −√
1− x2 si x ∈ I
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 3
Problema: ¿cuando F (x , y) = 0 define una funcion y = f (x)?
Para aclarar ideas: La Ec. F (x , y) = x2 + y2 − 1 = 0 define una circunfe-rencia en R2.
����
I
x
y0
0
Ahora bien, si queremos despejar la y tenemos y = ±√
1− x2. ¿Cual delas dos ramas tomamos?
Una eleccion: y = f (x) =√
1− x2 que es continua en [−1, 1] pero noes diferenciable en los extremos.
Otra eleccion: f (x) =√
1− x2 si x ∈ Q y f (x) = −√
1− x2 si x ∈ I
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 3
Problema: ¿cuando F (x , y) = 0 define una funcion y = f (x)?
Para aclarar ideas: La Ec. F (x , y) = x2 + y2 − 1 = 0 define una circunfe-rencia en R2.
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I
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y0
0
Ahora bien, si queremos despejar la y tenemos y = ±√
1− x2. ¿Cual delas dos ramas tomamos?
Una eleccion: y = f (x) =√
1− x2 que es continua en [−1, 1] pero noes diferenciable en los extremos.
Otra eleccion: f (x) =√
1− x2 si x ∈ Q y f (x) = −√
1− x2 si x ∈ I
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 3
Problema: ¿cuando F (x , y) = 0 define una funcion y = f (x)?
Para aclarar ideas: La Ec. F (x , y) = x2 + y2 − 1 = 0 define una circunfe-rencia en R2.
����
I
x
y0
0
Ahora bien, si queremos despejar la y tenemos y = ±√
1− x2. ¿Cual delas dos ramas tomamos?
Una eleccion: y = f (x) =√
1− x2 que es continua en [−1, 1] pero noes diferenciable en los extremos.
Otra eleccion: f (x) =√
1− x2 si x ∈ Q y f (x) = −√
1− x2 si x ∈ I
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Solucion: Aproximamos F (x , y) por el plano tangente a (x0, y0) t.q. F (x0, y0) = 0
Sea la ecuacion F (x , y) = x2 + y2 − 1 = 0
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I
x
y0
0 ����
����
x 0 y0( ),(x,y)
Entorno I (en verde) de (x0, y0) (ampliado a la derecha) donde podemos construirla funcion implıcita f (x) tal que F (x , f (x)) = 0.
En rojo se representa el plano (recta) tangente a F (x , y) en (x0, y0).
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Solucion: Aproximamos F (x , y) por el plano tangente a (x0, y0) t.q. F (x0, y0) = 0
Sea la ecuacion F (x , y) = x2 + y2 − 1 = 0
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I
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y0
0 ����
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x 0 y0( ),(x,y)
Entorno I (en verde) de (x0, y0) (ampliado a la derecha) donde podemos construirla funcion implıcita f (x) tal que F (x , f (x)) = 0.
En rojo se representa el plano (recta) tangente a F (x , y) en (x0, y0).
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 4
Solucion: Aproximamos F (x , y) por el plano tangente a (x0, y0) t.q. F (x0, y0) = 0
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I
x
y0
0����
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x 0 y0( ),(x,y)
Si F es diferenciable en (x0, y0) entonces en un entorno de (x0, y0)
F (x , y) = F (x0, y0) +∂F (x0, y0)
∂x(x − x0) +
∂F (x0, y0)
∂y(y − y0) + o(‖h‖).
Como F (x0, y0) = 0 y F (x , y) = 0 (¿por que?) entonces
∂F (x0, y0)
∂x(x − x0) +
∂F (x0, y0)
∂y(y − y0) ≈ 0
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Solucion: Aproximamos F (x , y) por el plano tangente a (x0, y0) t.q. F (x0, y0) = 0
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I
x
y0
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x 0 y0( ),(x,y)
Si F es diferenciable en (x0, y0) entonces en un entorno de (x0, y0)
F (x , y) = F (x0, y0) +∂F (x0, y0)
∂x(x − x0) +
∂F (x0, y0)
∂y(y − y0) + o(‖h‖).
Como F (x0, y0) = 0 y F (x , y) = 0 (¿por que?) entonces
∂F (x0, y0)
∂x(x − x0) +
∂F (x0, y0)
∂y(y − y0) ≈ 0
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Solucion: Aproximamos F (x , y) por el plano tangente a (x0, y0) t.q. F (x0, y0) = 0
∂F (x0, y0)
∂x(x − x0) +
∂F (x0, y0)
∂y(y − y0) ≈ 0.
Luego un valor aproximado de y en funcion de x es
y − y0 ≈ −[∂F (x0, y0)
∂y
]−1 ∂F (x0, y0)
∂x(x − x0).
Como y = f (x) y y0 = f (x0) tenemos
∆f (x)
∆x≈ −
[∂F (x0, y0)
∂y
]−1 ∂F (x0, y0)
∂x
En el lımite ∆x → 0 obtenemos un valor para f ′(x0).
Notese que para obtener y necesitamos que∂F (x0, y0)
∂y6= 0.
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Solucion: Aproximamos F (x , y) por el plano tangente a (x0, y0) t.q. F (x0, y0) = 0
∂F (x0, y0)
∂x(x − x0) +
∂F (x0, y0)
∂y(y − y0) ≈ 0.
Luego un valor aproximado de y en funcion de x es
y − y0 ≈ −[∂F (x0, y0)
∂y
]−1 ∂F (x0, y0)
∂x(x − x0).
Como y = f (x) y y0 = f (x0) tenemos
∆f (x)
∆x≈ −
[∂F (x0, y0)
∂y
]−1 ∂F (x0, y0)
∂x
En el lımite ∆x → 0 obtenemos un valor para f ′(x0).
Notese que para obtener y necesitamos que∂F (x0, y0)
∂y6= 0.
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Solucion: Aproximamos F (x , y) por el plano tangente a (x0, y0) t.q. F (x0, y0) = 0
∂F (x0, y0)
∂x(x − x0) +
∂F (x0, y0)
∂y(y − y0) ≈ 0.
Luego un valor aproximado de y en funcion de x es
y − y0 ≈ −[∂F (x0, y0)
∂y
]−1 ∂F (x0, y0)
∂x(x − x0).
Como y = f (x) y y0 = f (x0) tenemos
∆f (x)
∆x≈ −
[∂F (x0, y0)
∂y
]−1 ∂F (x0, y0)
∂x
En el lımite ∆x → 0 obtenemos un valor para f ′(x0).
Notese que para obtener y necesitamos que∂F (x0, y0)
∂y6= 0.
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Solucion: Aproximamos F (x , y) por el plano tangente a (x0, y0) t.q. F (x0, y0) = 0
∂F (x0, y0)
∂x(x − x0) +
∂F (x0, y0)
∂y(y − y0) ≈ 0.
Luego un valor aproximado de y en funcion de x es
y − y0 ≈ −[∂F (x0, y0)
∂y
]−1 ∂F (x0, y0)
∂x(x − x0).
Como y = f (x) y y0 = f (x0) tenemos
∆f (x)
∆x≈ −
[∂F (x0, y0)
∂y
]−1 ∂F (x0, y0)
∂x
En el lımite ∆x → 0 obtenemos un valor para f ′(x0).
Notese que para obtener y necesitamos que∂F (x0, y0)
∂y6= 0.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 6
Apliquemos lo anterior a nuestro ejemplo F (x , y) = x2 + y 2 − 1 = 0.
Como Fy (x0, y0) = 2y0 6= 0 ∀y0 6= 0 ⇒ podremos definir una funcion fen cualquier entorno de (x0, y0), x0 ∈ (−1, 1) que escojamos siempre quey0 6= 0, i.e., x0 6= ±1 . . .
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I
x
y0
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Apliquemos lo anterior a nuestro ejemplo F (x , y) = x2 + y 2 − 1 = 0.
Como Fy (x0, y0) = 2y0 6= 0 ∀y0 6= 0 ⇒ podremos definir una funcion fen cualquier entorno de (x0, y0), x0 ∈ (−1, 1) que escojamos siempre quey0 6= 0, i.e., x0 6= ±1 . . . pero si y0 = 0, i.e., x0 = ±1
0x =1
0y =0 I
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Teorema de la funcion implıcita:
Caso de una ecuacion
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 8
Teorema de la funcion implıcita
Sea F : A ⊂ Rn × R 7→ R, A ⊂ Rn × R abierto y sea (x0, y0) ∈ A.Supongamos que:
1 F (x , y) := F (x1, x2, . . . , xn, y) ∈ C (p)(A), p ≥ 1,2 F (x0, y0) := F (x01, x02, . . . , x0n, y0) = 0,
3 F ′y (x0, y0) =∂F (x01, x02, . . . , x0n, y0)
∂y6= 0.
Entonces ∃ un abierto I = (x0−h, x0 +h)× (y0−k, y0 +k) ⊂ A alrededorde (x0, y0) y una funcion f : Ix ⊂ Rn 7→ Iy ⊂ R t.q.
1 F (x , y) = 0 en I ⇐⇒ y = f (x), i.e., F (x , f (x)) = 0 en I
2 f (x) ∈ C (p)(Ix) .
3 Para todo x ∈ Ix , las derivadas parciales de f (x) se calculan por
∂f (x1, . . . xn)
∂xi= −[F ′y (x , f (x))]−1 · [F ′xi (x , f (x))] i = 1, 2, . . . , n.
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Teorema de la funcion implıcita
Sea F : A ⊂ Rn × R 7→ R, A ⊂ Rn × R abierto y sea (x0, y0) ∈ A.Supongamos que:
1 F (x , y) := F (x1, x2, . . . , xn, y) ∈ C (p)(A), p ≥ 1,2 F (x0, y0) := F (x01, x02, . . . , x0n, y0) = 0,
3 F ′y (x0, y0) =∂F (x01, x02, . . . , x0n, y0)
∂y6= 0.
Entonces ∃ un abierto I = (x0−h, x0 +h)× (y0−k, y0 +k) ⊂ A alrededorde (x0, y0) y una funcion f : Ix ⊂ Rn 7→ Iy ⊂ R t.q.
1 F (x , y) = 0 en I ⇐⇒ y = f (x), i.e., F (x , f (x)) = 0 en I
2 f (x) ∈ C (p)(Ix) .
3 Para todo x ∈ Ix , las derivadas parciales de f (x) se calculan por
∂f (x1, . . . xn)
∂xi= −[F ′y (x , f (x))]−1 · [F ′xi (x , f (x))] i = 1, 2, . . . , n.
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Teorema de la funcion implıcita
Sea F : A ⊂ Rn × R 7→ R, A ⊂ Rn × R abierto y sea (x0, y0) ∈ A.Supongamos que:
1 F (x , y) := F (x1, x2, . . . , xn, y) ∈ C (p)(A), p ≥ 1,2 F (x0, y0) := F (x01, x02, . . . , x0n, y0) = 0,
3 F ′y (x0, y0) =∂F (x01, x02, . . . , x0n, y0)
∂y6= 0.
Entonces ∃ un abierto I = (x0−h, x0 +h)× (y0−k, y0 +k) ⊂ A alrededorde (x0, y0) y una funcion f : Ix ⊂ Rn 7→ Iy ⊂ R t.q.
1 F (x , y) = 0 en I ⇐⇒ y = f (x), i.e., F (x , f (x)) = 0 en I
2 f (x) ∈ C (p)(Ix) .
3 Para todo x ∈ Ix , las derivadas parciales de f (x) se calculan por
∂f (x1, . . . xn)
∂xi= −[F ′y (x , f (x))]−1 · [F ′xi (x , f (x))] i = 1, 2, . . . , n.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 9
Teorema de la funcion implıcita
Sea F : A ⊂ Rn × R 7→ R, A ⊂ Rn × R abierto y sea (x0, y0) ∈ A.Supongamos que:
1 F (x , y) := F (x1, x2, . . . , xn, y) ∈ C (p)(A), p ≥ 1,2 F (x0, y0) := F (x01, x02, . . . , x0n, y0) = 0,
3 F ′y (x0, y0) =∂F (x01, x02, . . . , x0n, y0)
∂y6= 0.
Entonces ∃ un abierto I = (x0−h, x0 +h)× (y0−k, y0 +k) ⊂ A alrededorde (x0, y0) y una funcion f : Ix ⊂ Rn 7→ Iy ⊂ R t.q.
1 F (x , y) = 0 en I ⇐⇒ y = f (x), i.e., F (x , f (x)) = 0 en I
2 f (x) ∈ C (p)(Ix) .
3 Para todo x ∈ Ix , las derivadas parciales de f (x) se calculan por
∂f (x1, . . . xn)
∂xi= −[F ′y (x , f (x))]−1 · [F ′xi (x , f (x))] i = 1, 2, . . . , n.
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Prueba del teorema de la funcion implıcita
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 10
Teorema de la funcion implıcita
Sea F : A ⊂ Rn × R 7→ R, A ⊂ Rn × R abierto y sea (x0, y0) ∈ A.Supongamos que:
1 F (x , y) := F (x1, x2, . . . , xn, y) ∈ C (p)(A), p ≥ 1,
2 F (x0, y0) := F (x01, x02, . . . , x0n, y0) = 0,
3 F ′y (x0, y0) =∂F (x01, x02, . . . , x0n, y0)
∂y6= 0.
Entonces ∃ un abierto I = (x0−h, x0 +h)× (y0−k, y0 +k) ⊂ A alrededorde (x0, y0) y una funcion f : Ix ⊂ Rn 7→ Iy ⊂ R t.q.
1 F (x , y) = 0 en I ⇐⇒ y = f (x), i.e., F (x , f (x)) = 0 en I
2 f (x) ∈ C (p)(Ix).
3 Para todo x ∈ Ix , las derivadas parciales de f (x) se calculan por
∂f (x1, . . . xn)
∂xi= −[F ′y (x , f (x))]−1 · [F ′xi (x , f (x))] i = 1, 2, . . . , n.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 11
Prueba TFI: ∃f , t.q. F (x , f (x)) = 0 en I
Asumimos que F ′y (x0, y0) > 0, entonces, como F ′y (x , y) es continua en(x0, y0) ∈ A, se tiene que existe todo un entorno I = Ix × Iy de (x0, y0)donde F ′y (x , y) > 0. Luego, F (x , y) como funcion de y es estrictamentecreciente. Como F (x0, y0) = 0 entonces tenemos que
0 > F (x0, y0 − k) < F (x0, y0) < F (x0, y0 + k) > 0.
Como F (x , y) es continua en A entonces los signos de F se mantienenen todo un entorno de cada punto, i.e., existe un entorno Ix (que porsimplicidad asumimos igual al de antes) tal que
0 > F (x , y0 − k) < F (x0, y0) < F (x , y0 + k) > 0, ∀x ∈ Ix .
Pero para cada x ∈ Ix la funcion h(y) := F (x , y) cambia de signo en losextremos del intervalo Iy , luego por el Teorema de Bolzano ∀x ∈ Ix existeun unico y ∈ Iy tal que F (x , y) = 0 (la unicidad es consecuencia de lamonotonıa de h(y)). Definiendo la funcion f : Ix 7→ Iy ⊂ R de forma quey = f (x) obtenemos una funcion que cumple con que F (x , f (x)) = 0.
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Prueba TFI: ∃f , t.q. F (x , f (x)) = 0 en I
Asumimos que F ′y (x0, y0) > 0, entonces, como F ′y (x , y) es continua en(x0, y0) ∈ A, se tiene que existe todo un entorno I = Ix × Iy de (x0, y0)donde F ′y (x , y) > 0. Luego, F (x , y) como funcion de y es estrictamentecreciente. Como F (x0, y0) = 0 entonces tenemos que
0 > F (x0, y0 − k) < F (x0, y0) < F (x0, y0 + k) > 0.
Como F (x , y) es continua en A entonces los signos de F se mantienenen todo un entorno de cada punto, i.e., existe un entorno Ix (que porsimplicidad asumimos igual al de antes) tal que
0 > F (x , y0 − k) < F (x0, y0) < F (x , y0 + k) > 0, ∀x ∈ Ix .
Pero para cada x ∈ Ix la funcion h(y) := F (x , y) cambia de signo en losextremos del intervalo Iy , luego por el Teorema de Bolzano ∀x ∈ Ix existeun unico y ∈ Iy tal que F (x , y) = 0 (la unicidad es consecuencia de lamonotonıa de h(y)). Definiendo la funcion f : Ix 7→ Iy ⊂ R de forma quey = f (x) obtenemos una funcion que cumple con que F (x , f (x)) = 0.
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Prueba TFI: ∃f , t.q. F (x , f (x)) = 0 en I
Asumimos que F ′y (x0, y0) > 0, entonces, como F ′y (x , y) es continua en(x0, y0) ∈ A, se tiene que existe todo un entorno I = Ix × Iy de (x0, y0)donde F ′y (x , y) > 0. Luego, F (x , y) como funcion de y es estrictamentecreciente. Como F (x0, y0) = 0 entonces tenemos que
0 > F (x0, y0 − k) < F (x0, y0) < F (x0, y0 + k) > 0.
Como F (x , y) es continua en A entonces los signos de F se mantienenen todo un entorno de cada punto, i.e., existe un entorno Ix (que porsimplicidad asumimos igual al de antes) tal que
0 > F (x , y0 − k) < F (x0, y0) < F (x , y0 + k) > 0, ∀x ∈ Ix .
Pero para cada x ∈ Ix la funcion h(y) := F (x , y) cambia de signo en losextremos del intervalo Iy , luego por el Teorema de Bolzano ∀x ∈ Ix existeun unico y ∈ Iy tal que F (x , y) = 0 (la unicidad es consecuencia de lamonotonıa de h(y)). Definiendo la funcion f : Ix 7→ Iy ⊂ R de forma quey = f (x) obtenemos una funcion que cumple con que F (x , f (x)) = 0.
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Prueba TFI: f ∈ C (0)(Ix)
IProbemos que f (x) ası definida es continua. De la construccion anteriorse sigue que ∀ε > 0 (ε suficientemente pequeno para que y0 ± ε ∈ Iy )∃δ > 0 lo suficientemente pequeno para que (x0− δ, x0 + δ) ∈ Ix y tal queF (x , y) cambie de signo en los extremos de [y0 − ε, y0 + ε].
Luego ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que si ‖x − x0‖ < δ entonces |f (x)− f (x0)| < ε.
IProbemos que f ∈ C (1)(Ix):
Elegimos ∆x = hei , ei i-esimo vector de la base canonica de Rn.
f es continua en Iy , luego f (x + ∆x) = f (x) + ∆y = y + ∆y , donde∆y = f (x + ∆x)− f (x)→ 0 si ∆x → 0.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 13
Prueba TFI: f ∈ C (0)(Ix)
IProbemos que f (x) ası definida es continua. De la construccion anteriorse sigue que ∀ε > 0 (ε suficientemente pequeno para que y0 ± ε ∈ Iy )∃δ > 0 lo suficientemente pequeno para que (x0− δ, x0 + δ) ∈ Ix y tal queF (x , y) cambie de signo en los extremos de [y0 − ε, y0 + ε].
Luego ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que si ‖x − x0‖ < δ entonces |f (x)− f (x0)| < ε.
IProbemos que f ∈ C (1)(Ix):
Elegimos ∆x = hei , ei i-esimo vector de la base canonica de Rn.
f es continua en Iy , luego f (x + ∆x) = f (x) + ∆y = y + ∆y , donde∆y = f (x + ∆x)− f (x)→ 0 si ∆x → 0.
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Prueba TFI: f ∈ C (0)(Ix)
IProbemos que f (x) ası definida es continua. De la construccion anteriorse sigue que ∀ε > 0 (ε suficientemente pequeno para que y0 ± ε ∈ Iy )∃δ > 0 lo suficientemente pequeno para que (x0− δ, x0 + δ) ∈ Ix y tal queF (x , y) cambie de signo en los extremos de [y0 − ε, y0 + ε].
Luego ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que si ‖x − x0‖ < δ entonces |f (x)− f (x0)| < ε.
IProbemos que f ∈ C (1)(Ix):
Elegimos ∆x = hei , ei i-esimo vector de la base canonica de Rn.
f es continua en Iy , luego f (x + ∆x) = f (x) + ∆y = y + ∆y , donde∆y = f (x + ∆x)− f (x)→ 0 si ∆x → 0.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 13
Prueba TFI: f ∈ C (1)(Ix)
Como F (x , y) = F (x+∆x , y +∆y) = 0 entonces, por el teorema del valormedio para funciones escalares de varias variables, existe un θ ∈ (0, 1) talque
0 = F (x + ∆x , y + ∆y)− F (x , y) = DF (x + θ∆x , y + θ∆y)
(∆x∆y
)=∂F (x + θhei , y + θ∆y)
∂xih +
∂F (x + θhei , y + θ∆y)
∂y∆y .
Como F (x , y) ∈ C (1)(I ) entonces tomando lımites ∆x → 0 ⇒
0 =∂F (x , y)
∂xi+∂F (x , y)
∂ylımh→0
∆y
h.
Luego, si∂F (x , y)
∂y6= 0 ⇒ existe el lım
h→0
∆y
h=∂f (x , y)
∂xi.
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Prueba TFI: f ∈ C (1)(Ix)
Como∂f (x1, . . . xn)
∂xi= −
F ′xi (x , f (x))
F ′y (x , f (x)), i = 1, 2, . . . , n,
y f (x), F ′x y F ′y son continuas entonces f ′ es continua (¿por que?).
Derivando la expresion anterior se tiene que f ∈ C (2)(Ix) (¿por que?).
∂2f (x1, . . . xn)
∂xj∂xi=
∂Fxi(x,f (x))
∂xj︷ ︸︸ ︷[F ′′xixj (x , f (x)) + F ′′xiy (x , f (x))fxj (x)]F ′y (x , f (x))
[F ′y (x , f (x))]2
−Fxi (x , f (x))
∂Fy (x,f (x))
∂xj︷ ︸︸ ︷[F ′′yxj (x , f (x)) + F ′′yy (x , f (x))fxj (x)]
[F ′y (x , f (x))]2
Y ası, derivando sucesivamente, se deduce que f ∈ C (p)(Ix).
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 15
Prueba TFI: f ∈ C (2)(Ix)
Como∂f (x1, . . . xn)
∂xi= −
F ′xi (x , f (x))
F ′y (x , f (x)), i = 1, 2, . . . , n,
y f (x), F ′x y F ′y son continuas entonces f ′ es continua (¿por que?).
Derivando la expresion anterior se tiene que f ∈ C (2)(Ix) (¿por que?).
∂2f (x1, . . . xn)
∂xj∂xi=
∂Fxi(x,f (x))
∂xj︷ ︸︸ ︷[F ′′xixj (x , f (x)) + F ′′xiy (x , f (x))fxj (x)]F ′y (x , f (x))
[F ′y (x , f (x))]2
−Fxi (x , f (x))
∂Fy (x,f (x))
∂xj︷ ︸︸ ︷[F ′′yxj (x , f (x)) + F ′′yy (x , f (x))fxj (x)]
[F ′y (x , f (x))]2
Y ası, derivando sucesivamente, se deduce que f ∈ C (p)(Ix).Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 15
Ejemplo de aplicacion.
Ejemplo: Sea la ecuacion z3 + 2(x + y)2z + ez−1 − 4 = 0.
1 Prueba que la ecuacion anterior define una funcion z = f (x , y) en elentorno U del punto (0,−1, 1) y que dicha funcion es una funcionC (∞)(U) en dicho U.
2 Calcula las derivadas parciales ∂f∂x y ∂f
∂y en dicho punto.
3 Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 de f en (0,−1, 1).
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 16
Solucion:
Sea la funcion
F : R3 7→ R, F (x , y , z) = z3 + 2(x + y)2z + ez−1 − 4
1) En el punto (0,−1, 1) se verifica la ecuacion F (0,−1, 1) = 0.
2) F es C (p)(R3) para todo p ∈ N y F ′z(0,−1, 1) = 6 6= 0.
En TFI nos dice que existe en todo un entorno de (0,−1, 1) una funcionz = f (x , y), f ∈ C (p)(R2) para todo p ∈ N tal que F (x , y , f (x , y)) = 0en dicho entorno de (0,−1, 1).
Para calcular las derivadas usamos que
F ′x(0,−1, 1) = F ′y (0,−1, 1) = 4(x + y)z = −4 ⇒
∂f (0,−1)
∂x= −F ′x(0,−1, 1)
F ′z(0,−1, 1)=
2
3,
∂f (0,−1)
∂y= −
F ′y (0,−1, 1)
F ′z(0,−1, 1)=
2
3.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 17
Solucion:
Sea la funcion
F : R3 7→ R, F (x , y , z) = z3 + 2(x + y)2z + ez−1 − 4
1) En el punto (0,−1, 1) se verifica la ecuacion F (0,−1, 1) = 0.
2) F es C (p)(R3) para todo p ∈ N y F ′z(0,−1, 1) = 6 6= 0.
En TFI nos dice que existe en todo un entorno de (0,−1, 1) una funcionz = f (x , y), f ∈ C (p)(R2) para todo p ∈ N tal que F (x , y , f (x , y)) = 0en dicho entorno de (0,−1, 1).
Para calcular las derivadas usamos que
F ′x(0,−1, 1) = F ′y (0,−1, 1) = 4(x + y)z = −4 ⇒
∂f (0,−1)
∂x= −F ′x(0,−1, 1)
F ′z(0,−1, 1)=
2
3,
∂f (0,−1)
∂y= −
F ′y (0,−1, 1)
F ′z(0,−1, 1)=
2
3.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 17
Calculando derivadas de orden 2 en el punto (0,−1, 1)
F (x , y , z) = z3 + 2(x + y)2z + ez−1 − 4 = 0
Como f es C (∞)(R2) en un entorno de (0,−1) entonces es diferenciabletantas veces como se quiera.
Derivando dos veces respecto a x la ecuacion F (x , y) = 0 y considerandoz como funcion de x , y y zx = zy = 2/3, tenemos:
2zxx (y + x)2+8zx (y + x)+3z2zxx+ez−1zxx+(6z+ez−1)z2x +4z = 0 V
zxx = − 8
27.
Derivando respecto a y dos obtenemos
2zyy (y + x)2+8zy (y + x)+3z2zyy+ez−1zyy+(6z+ez−1)z2y +4z = 0 V
zyy = − 8
27.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 18
Calculando derivadas de orden 2
Respecto a x y y tenemos
2zxy (y + x)2+ 4(zy + zx) (y + x) + 6zzxzy+
ez−1zxzy + 3z2zxy + ez−1zxy + 4z = 0V
zxy = − 8
27.
Usando Taylor z(x , y) = P2(x , y) + o(x2 + (y − 1)2
)P2(x , y) = z(0,−1) + Dz(0,−1)(x , y + 1) + 1
2D2z(0,−1)(x , y + 1)
= 1 +
(2
3
2
3
)(x
y + 1
)+(x y + 1
)(− 427 − 4
27
− 427 − 4
27
)(x
y + 1
)
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 19
Teorema de la funcion implıcita:
Caso general
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 20
Teorema de la funcion implıcita: caso general
Sea el sistema de ecuaciones:F1(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) = 0,F2(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) = 0,
...Fm(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) = 0,
donde Fk : A ⊂ Rn × Rm 7→ R, k = 1, 2, . . . ,m.
Por sencillez denotaremos por F (x , y) la funcion F : A ⊂ Rn ×Rm 7→ Rm
cuyas componentes son las Fk anteriores, por lo que el sistema anterior loescribiremos por F (x , y) = 0.
La pregunta es si existe una f : Ix ⊂ Rn 7→ Iy ⊂ Rm t.q. Fk(x , f (x)) = 0,i.e., si existen m funciones yk = fk(x) := fk(x1, · · · , xn) tales que
F (x1, . . . , xn, f1(x), . . . , fm(x)) = 0 en un entorno de (x0, y0) ∈ A.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 21
Teorema de la funcion implıcita: caso general
Sea x0 := (x01, x02, . . . , x0n) e y0 := (y01, y02, . . . , y0m) y denotemos porIx el intervalo [x0 − h, x0 + h] y por Iy el intervalo [y0 − k , y0 + k].
Definamos las matrices (apliaciones lineales)
f ′ : Rn 7→ Rm, f ′(x) =
∂f1(x)
∂x1
∂f1(x)
∂x2. . .
∂f1(x)
∂xn...
.... . .
...∂fm(x)
∂x1
∂fm(x)
∂x2. . .
∂fm(x)
∂xn
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 22
Teorema de la funcion implıcita: caso general
F ′x : Rn 7→ Rm, F ′x(x , y) =
∂F1(x , y)
∂x1. . .
∂F1(x , y)
∂xn...
. . ....
∂Fm(x , y)
∂x1. . .
∂Fm(x , y)
∂xn
F ′y : Rm 7→ Rm, F ′y (x , y) =
∂F1(x , y)
∂y1. . .
∂F1(x , y)
∂ym...
. . ....
∂Fm(x , y)
∂y1. . .
∂Fm(x , y)
∂ym
Notese que F ′y (x , y) es una matriz cuadrada que sera invertible si y solo sidetF ′y (x , y) 6= 0.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 23
Teorema de la funcion implıcita: caso general
Sea F : A ⊂ Rn × Rm 7→ Rm, A ⊂ Rn × Rm abierto y sea (x0, y0) ∈ A.Supongamos que:
1 F (x , y) ∈ C (p)(A), p ≥ 1,
2 F (x0, y0) = 0,
3 detF ′y (x0, y0) 6= 0 o sea,F ′y (x , y) es una matriz invertible.
Entonces existe un intervalo I = [x0−h, x0 +h]× [y0−k , y0 +k] alrededordel punto (x0, y0), I ⊂ A, y una funcion f : Ix ⊂ Rn 7→ Iy ⊂ Rm t.q.
1 F (x , y) = 0 en I ⇐⇒ y = f (x), i.e., F (x , f (x)) = 0 en I
2 f (x) ∈ C (p)(Ix) .
3 Para todo x ∈ Ix , la diferencial de f (x) se calcula por
∂f (x1, . . . xn)
∂xi= −[F ′y (x , f (x))]−1 · [F ′xi (x , f (x))] i = 1, 2, . . . , n.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 24
Teorema de la funcion implıcita: caso general
Sea F : A ⊂ Rn × Rm 7→ Rm, A ⊂ Rn × Rm abierto y sea (x0, y0) ∈ A.Supongamos que:
1 F (x , y) ∈ C (p)(A), p ≥ 1,
2 F (x0, y0) = 0,
3 detF ′y (x0, y0) 6= 0 o sea,F ′y (x , y) es una matriz invertible.
Entonces existe un intervalo I = [x0−h, x0 +h]× [y0−k , y0 +k] alrededordel punto (x0, y0), I ⊂ A, y una funcion f : Ix ⊂ Rn 7→ Iy ⊂ Rm t.q.
1 F (x , y) = 0 en I ⇐⇒ y = f (x), i.e., F (x , f (x)) = 0 en I
2 f (x) ∈ C (p)(Ix) .
3 Para todo x ∈ Ix , la diferencial de f (x) se calcula por
∂f (x1, . . . xn)
∂xi= −[F ′y (x , f (x))]−1 · [F ′xi (x , f (x))] i = 1, 2, . . . , n.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 24
Ejemplos
Ejemplo 1: F (x , y , z) = x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 − r2 = 0. ¿Se pueden encontrar
z = f (x , y)? ¿Cuanto valen∂z
∂xy∂z
∂y?
Ejemplo 2: F (x , y , z) = y2z + x log z − x = 0, se sabe que z(1,−1) = 1.Encontrar el polinomio de Taylor de orden 2 de z en el punto (1,−1).
Ejemplo 3: Sea F (x , y , z) = x2y +ex +z = 0. ¿Que puntos (b, c) definenuna funcion x(y , z) tal que x(b, c) = 0?
Calcula, si es posible,∂x
∂yy∂x
∂z.
Ejemplo 4:
{(x − 1)2 + y2 − z = 0,x2 + y2 + z2 − 1 = 0.
Decidir si este sistema se puede resolver respecto a x , i.e., si existen y =y(x) y z = z(x). Calcula y ′(x) y z ′(x) donde se pueda.
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Ejemplos
Ejemplo 1: F (x , y , z) = x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 − r2 = 0. ¿Se pueden encontrar
z = f (x , y)? ¿Cuanto valen∂z
∂xy∂z
∂y?
Ejemplo 2: F (x , y , z) = y2z + x log z − x = 0, se sabe que z(1,−1) = 1.Encontrar el polinomio de Taylor de orden 2 de z en el punto (1,−1).
Ejemplo 3: Sea F (x , y , z) = x2y +ex +z = 0. ¿Que puntos (b, c) definenuna funcion x(y , z) tal que x(b, c) = 0?
Calcula, si es posible,∂x
∂yy∂x
∂z.
Ejemplo 4:
{(x − 1)2 + y2 − z = 0,x2 + y2 + z2 − 1 = 0.
Decidir si este sistema se puede resolver respecto a x , i.e., si existen y =y(x) y z = z(x). Calcula y ′(x) y z ′(x) donde se pueda.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 25
Ejemplos
Ejemplo 1: F (x , y , z) = x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 − r2 = 0. ¿Se pueden encontrar
z = f (x , y)? ¿Cuanto valen∂z
∂xy∂z
∂y?
Ejemplo 2: F (x , y , z) = y2z + x log z − x = 0, se sabe que z(1,−1) = 1.Encontrar el polinomio de Taylor de orden 2 de z en el punto (1,−1).
Ejemplo 3: Sea F (x , y , z) = x2y +ex +z = 0. ¿Que puntos (b, c) definenuna funcion x(y , z) tal que x(b, c) = 0?
Calcula, si es posible,∂x
∂yy∂x
∂z.
Ejemplo 4:
{(x − 1)2 + y2 − z = 0,x2 + y2 + z2 − 1 = 0.
Decidir si este sistema se puede resolver respecto a x , i.e., si existen y =y(x) y z = z(x). Calcula y ′(x) y z ′(x) donde se pueda.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 25
Ejemplos
Ejemplo 1: F (x , y , z) = x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 − r2 = 0. ¿Se pueden encontrar
z = f (x , y)? ¿Cuanto valen∂z
∂xy∂z
∂y?
Ejemplo 2: F (x , y , z) = y2z + x log z − x = 0, se sabe que z(1,−1) = 1.Encontrar el polinomio de Taylor de orden 2 de z en el punto (1,−1).
Ejemplo 3: Sea F (x , y , z) = x2y +ex +z = 0. ¿Que puntos (b, c) definenuna funcion x(y , z) tal que x(b, c) = 0?
Calcula, si es posible,∂x
∂yy∂x
∂z.
Ejemplo 4:
{(x − 1)2 + y2 − z = 0,x2 + y2 + z2 − 1 = 0.
Decidir si este sistema se puede resolver respecto a x , i.e., si existen y =y(x) y z = z(x). Calcula y ′(x) y z ′(x) donde se pueda.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 25
Teorema de la funcion inversa
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 26
Teorema de la funcion inversa
Supongamos que tenemos la ecuacion f (x) = y , f : R 7→ R y queremosresolverla. Para ello la reescribiremos de la forma F (x , y) = f (x)− y = 0.
Lo que queremos es saber si esta ecuacion es resoluble respecto a x , i.e.,si existe una funcion x = g(y) de forma tal que F (g(y), y) = 0 para todoy de cierto intervalo dado.
Si en el intervalo Iy existe la solucion definiendo Ix el conjunto de las x talesque x = g(y) tendremos dos funciones f (x) y g(y) que son mutuamenteinversas. Es decir, encontrando las condiciones que nos permiten resolverla ecuacion F (x , y) = 0 respecto a x , sabremos en que condiciones f (x)es invertible.
Pero eso es justo lo que nos afirma el Teorema de la funcion implıcita.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 27
Teorema de la funcion inversa
Supongamos que tenemos la ecuacion f (x) = y , f : R 7→ R y queremosresolverla. Para ello la reescribiremos de la forma F (x , y) = f (x)− y = 0.
Lo que queremos es saber si esta ecuacion es resoluble respecto a x , i.e.,si existe una funcion x = g(y) de forma tal que F (g(y), y) = 0 para todoy de cierto intervalo dado.
Si en el intervalo Iy existe la solucion definiendo Ix el conjunto de las x talesque x = g(y) tendremos dos funciones f (x) y g(y) que son mutuamenteinversas. Es decir, encontrando las condiciones que nos permiten resolverla ecuacion F (x , y) = 0 respecto a x , sabremos en que condiciones f (x)es invertible.
Pero eso es justo lo que nos afirma el Teorema de la funcion implıcita.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 27
Teorema de la funcion inversa
Supongamos que tenemos la ecuacion f (x) = y , f : R 7→ R y queremosresolverla. Para ello la reescribiremos de la forma F (x , y) = f (x)− y = 0.
Lo que queremos es saber si esta ecuacion es resoluble respecto a x , i.e.,si existe una funcion x = g(y) de forma tal que F (g(y), y) = 0 para todoy de cierto intervalo dado.
Si en el intervalo Iy existe la solucion definiendo Ix el conjunto de las x talesque x = g(y) tendremos dos funciones f (x) y g(y) que son mutuamenteinversas. Es decir, encontrando las condiciones que nos permiten resolverla ecuacion F (x , y) = 0 respecto a x , sabremos en que condiciones f (x)es invertible.
Pero eso es justo lo que nos afirma el Teorema de la funcion implıcita.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 27
Teorema de la funcion inversa
Para resolver la ecuacion f (x)−y = F (x , y) = 0 respecto a x es suficienteque:
¶ F sea C (p)(A), con A cierto entorno abierto de cierto (x0, y0) que sa-tisface la ecuacion f (x0) = y0
· F ′x(x0, y0) = f ′(x0) 6= 0
Entonces el TFI nos dice que existe en un entorno V (y0) de y0 ciertafuncion x = g(y) tal que F (g(y), y) = 0 ⇒ f (g(y)) = y y ademas g esC (p)(V (y0)) y su derivada se expresara por
g ′(y0) = −F ′y (x0, y0)
F ′x(x0, y0)=
1
f ′(x0).
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 28
Teorema de la funcion inversa
Teorema (de la funcion inversa)
Sea f : A ⊂ Rn 7→ Rn definida en un entorno del punto x0 ∈ A tal que
1 f (x) ∈ C (p)(A), p ≥ 1,
2 f (x0) = y0, en x0,
3 f ′(x0) es una aplicacion invertible.
Entonces existe un entorno abierto U(x0) ⊂ A de x0 ∈ A y otroV (y0) ⊂ f (A) de y0 ∈ f (A) tal que f es invertible en U(x0), i.e.,
1 Existe su inversa f −1 : V (y0) 7→ U(x0),
2 f (−1) ∈ C (p)(V (y0)),
3 Para todo x ∈ U(x0) e y = f (x) ∈ V (y0) se tiene que
(f −1(y))′ := Df −1(y) = [f ′(x)]−1 := [Df (x)]−1.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 29
Teorema de la funcion inversa: Ejemplos
Sea la funcion f : Rn 7→ Rn definida por y = f (x) = Ax , donde A es unamatriz real n× n. Es obvio que f es C (p)(Rn) para todo p ∈ N. Podemosademas tomar cualquier x ∈ Rn y definir y = Ax .
La derivada (total) de f es la matriz A. Entonces si A es invertible (oequivalentemente, si el Jacobiano de f , que es detA es diferente de cero),entonces f es invertible. Ademas Df −1 = [Df ]−1, i.e., [Df (x)]−1 = A−1.
Renato Alvarez-Nodarse El teorema de la funcion implıcita U. Sevilla 30