R ECUACIONES E INECUACIONES I Z). 1. a) ARQ Cuadernillo-Matematica.pdf · Cuadernillo de Trabajos Prácticos 1 CPU – MATEMÁTICA Práctica 1 OPERACIONES EN R – ECUACIONES E INECUACIONES

Cuadernillo de Trabajos Prácticos 1

CPU – MATEMÁTICA

Práctica 1

OPERACIONES EN R – ECUACIONES E INECUACIONES

I – Operaciones combinadas con números enteros (Z).

1. Suma, resta, producto y cociente.

a) 6)147(2)54(12

b) 209)37()125(4)32(

c) 3]}1)57(4[7)]26(9[2{

d) )2(:)37()294)(3(8:)32(

2. Potenciación y Radicación.

a) 0022 7777

b) 2:105)51(324 2223

c) )8(:)4()123(125)31( 2522

d) 233632 ])1[()3(:)3()2)(2()2(

e) 02941272 5555555 .:.:

f) 3 25 64 3 )4()4()2(:)2(2.2

g) 253 32 2592 23)(23)(.3)(243].1)(4:16[

II – Operaciones con números racionales (Q).

3. Adición, Sustracción, Producto y Cociente.

a)

2

51

3

2

5

4: b)

5

4

3

12

4

3

2

1

5

4

2

3

3

2.:.

c)

4

5

3 d)

4

5

3

e)

4

12

12

3

4

32

11

f)

5

15

14

11

3

13

2

12

g)

9

10

5

3

7

101

5

2

2

51

.

)(:

4. Potenciación y Radicación.


a)

2

222

33

1

3

1

3

1 b)

232

2

3

4

3

2

31

2

12

5

1:

c)

4

5

3

4

12

43

1

34

32 2

1

2

2

:. d)

32

3

2

14

4

9

2

536

64

1

e)

3

2

8

71

5

1

25

16. f)

3

21

2

1

17

5

49

822

g)

0

73

4

5

32

3

34

1

8

1329 h)

1 2

2 3

2 3

5 51

2

1 1

4 81 1

31

4

III – Números Irracionales.

5. Operar, si es necesario racionalizar, y dejarlo expresado con la menor cantidad de términos posible (no

aproximar).

a) 22

1223 b) 7512331227

c) 33

3

333 216

2

1639 d)

4

20

3

720452

e) 32

1 f)

2

2

12

2

13

32

1

g) 53232

h) 5152212353222

6. Los números 347347 a y 324324 b son números enteros, sin usar

calculadora averiguar cuáles son. Ayuda: elevarlos al cuadrado y observar que pasa.

IV – Ecuaciones e inecuaciones en el conjunto de los números reales (R).

7. Resolver las siguientes ecuaciones.


a) xx 425 b) xxx 46323 c) xx

215

63

d) 3 8 4 : 2 4 2x x x e) 102

15

2

32 x

xx f) 11252 x

g) 1153 2 xxx h) 175322

x i) 21132

x

j)

55

2322

x

k) 4

3129

2

13

x l) 0

3

2

92 2

x

m) 0)32)(1( xx n) 02222 xx ñ) 023 23 xx

o) 5252

2

x p) 75

7572

x q)

5253522

x

8. Proponer una ecuación que describa la situación planteada y resolverla.

a) Los dos quintos de un número más 5 unidades da por resultado la mitad del dicho número. ¿Cuál es

el número?

b) El perímetro de un rectángulo cuya base es el triple de la altura es de 72cm. Calcular el área del

rectángulo.

c) El área de un rectángulo cuya base es el doble de la altura, es de 24cm2 . Calcular su perímetro.

d) El perímetro de un triángulo isósceles es 20cm y los lados distintos miden (x + 8)cm y (2x – 4)cm

respectivamente. ¿Cuáles son los posibles valores de los lados? Recordar: En un triángulo isósceles dos

de sus lados tienen la misma medida.

e) Juan gastó 2/3 de sus ahorros en libros y con el resto compró ropa por $180. ¿A cuánto ascendían los

ahorros de Juan?

9. Representar en la recta numérica los conjuntos 43,A y 61,B y escribir como un intervalo o

como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos:

i. BA ii. BA iii. BA iv. AB

10. Ídem 9. para:

a) 2,A y

1

2

1,B b) 30,A y ,B 3

c) 30,A y ,B 3 d)

5

2

51 ,,A y 70,B

11. Resolver las siguientes inecuaciones y expresar las soluciones como un intervalo o unión de intervalos.

a) 1383 x b) 1422 x c) )3(252)4(3 xxx

d) 0523 xx e) 092 x f) 0)5)(312( xx

g) 03

12

x

x h) 0

1

x

x i) 1

23

x

x


12. Dados 142 x/RxA y xx/RxB 2103 , representar en la recta y escribir

como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos:

i. A ii. B iii. BA iv. BA v. BA

13. Ídem 12. para:

a) 4254 xx/RxA y 1042 x/RxB .

b) 0322 xx/RxA y 043 x/RxB .

c)

512

x

x/RxA y 253 x/RxB .

14. a) Hallar todos los Rb de manera que x = 1 satisfaga 23 bx .

b) Hallar todos los Ra de manera que x =2 no satisfaga 132 ax .

15. Resolver las siguientes ecuaciones.

a) )2(:101 x b) 36 x c) 23 5 x

d) 3132103 :x e) 5212

x

f) 4231318 2 x

g)

2

35

2

1)12(12

4

3

x h) 0

3

14

x

x i) 0

33

2

x

xx

j) 012 xx k) 062 xx l) xxx 21

m) 02

13)12( 2 xx

16. Representar en el plano (R2).

a) los puntos: P=(2;3); Q=(-1;2); R=(2;-1); S=(7/2;7/2);T=(2;-2); U=(3;0); V=(0;-1/2)

b) todos los puntos que tienen:

i) abscisa 3

ii) ordenada 1

iii) abscisa 3 y ordenada 1

iv) abscisa mayor o igual a ½.

v) abscisa menor que 2 y ordenada mayor o igual que 0

vi) abscisa y ordenada iguales

b) Los siguientes conjuntos:

i) A={(x;y)ϵR2/x=2}

ii) B={(x;y)ϵR2/y=-1}

iii) C={(x;y)ϵR2/ x≤3;y=-1}

iv) D={(x;y)ϵR2/-2<x≤3}

v) E={(x;y)ϵR2/x=2;y>1}


vi) F={(x;y)ϵR2/-1≤x≤4;-3<y≤3}

Respuestas

1.a) 5 b) 6 c) 0 d) –47

2. a) 2 b) –53 c) 14 d) 38 e) 0 f) 0 g) –17

3. a) 2/15 b) 1 c) 12/5 d) 3/20 e) 20/21 f) 27/4 g) -1/14

4. a) 28/3 b) –1/8 c) 5/3 d) 47/8 e) 39/2 f) 15/8 g) 51/2 h) 1/16

5. a) 22

5 b) 24 c) 3 21 d) 5

2

5 e) 32 f) 2 g) 1233 h) 0

6. 4a y 2b

7. a)

3

1S b) 21S c)

7

1S d) S e) RS f) 66;S g) 22;S

h)

3

71;S i) S j) 11;S k)

2

5S l)

2

3

2

3;S m)

1

2

3;S

n) 222 ;;S ñ)

3

20;S o) 525S p) 7232 S q) 1S

8. a) xx2

15

5

2 . El número es 50.

b) Una posible ecuación es 7232 xx . El área es 243cm2. ( 9x )

c) Una posible ecuación es 242 x.x . El perímetro es 312 cm. ( 3212 x )

d) El problema no tiene solución. Una posibilidad es que 204282 xx , en este caso 2x y por

lo tanto dos lados congruentes miden 10cm y el desigual 0 cm: ABSURDO! La otra posibilidad sería que

204228 xx , siendo 4x , un lado mide 12cm y los otros dos miden 4cm, TRATÁ DE

DIBUJARLO…

(Recordá que en cualquier triángulo siempre la suma de las medidas de dos de sus lados es mayor que la

medida del otro lado y menor que su diferencia).

e) Una posible ecuación es xx 1803

2. Juan tenía $540 ahorrados.

9. i. 41,BA ii. 63,BA iii. 13,BA iv. 64,AB

10. a) i.

1

2

1,BA ii. 2,BA iii. 21

2

1,,BA

iv. AB

b) 3 BA ii. ,BA 0 iii. 30,BA iv. ,AB 3

c) BA ii. ,BA 0 iii. 30,BA iv. ,AB 3

d)

5,

2

51,0BA ii. 7,BA iii. 0,BA iv. 75

2

51 ,,AB

11. a) ,S 7 b) ,S 6 c) , 2S d) 2

, 5,3

S

e) 33,S

f) ,45,S g)

2

1,3S h) ,01,S i)

1,

3

2S

12. i.

,A

2

5 ii. 3,B iii.

3

2

5,BA iv. RBA v. ,BA 3

13. a) i. 2 ,A ii. ,B 9 iii. BA iv. ,,BA 92 v. 2 ,BA


2

b) i.

,,A

2

32 ii. ,B 4 iii. ,BA 4 iv.

,,BA

2

32

v.

4

2

32 ,,BA

c) i. 20,A ii.

5

1,B iii.

5

10,BA iv. 2,BA v.

2

5

1,BA

14. a) ,b 5 b) 1 ,a

15. a) 36S b) S c) 1S d) 0S e) 16S f)

2

5

2

5;S g)

2

1S

h) 1

4S

i) 0S j)

0

2

1;S k) 3S l) 03;S m)

2

16;S

16. a)

b) i. ii. iii.

iv. v. vi.

c) i. ii. iii.

1

P Q

R

S

T

U V

3

1

3

1

2 -1 -1

3

1


-1

-3

4

3

iv. v. vi.

MATEMÁTICA – CPU

Práctica 2

Funciones. Funciones lineales y cuadráticas.

FUNCIONES

1. Damiana, al irse del parque olvidó de subir a su

perro Vicente en la parte trasera de su camioneta.

Los gráficos hacen referencia al movimiento de la

camioneta y de Vicente, que corre para alcanzarla.

a) ¿Cuál es el gráfico que representa el recorrido de Vicente?

b) ¿A qué distancia estaba Damiana de Vicente cuando éste

comenzó a correr?

c) Vicente, ¿alcanza a subir a la camioneta?

En caso afirmativo, ¿cuánto tiempo y cuántos metros aproximadamente corrió?

d) Inventar un gráfico en el que Vicente se vaya cansando y no logre llegar a la camioneta.

2. En la serie Viaje al fondo del mar aparece como una estrella el Sea-View, un súper submarino nuclear

que en su interior lleva otro submarino muy pequeño llamado Aerosub. Éste utiliza como base al

submarino estrella y además de transitar bajo el agua, es capaz de volar.

Durante una misión de investigación, la tripulación del Sea-View siguió los desplazamientos del

pequeño submarino. El gráfico que aparece a continuación muestra la altura h (en metros sobre el nivel

2

1

-2 3

distancia al

parque (m)

tiempo(seg)

25

15


del mar) a la que se encuentra el Aerosub en función del tiempo t (en horas). Donde 0t representa la

cero hora del 3 de mayo de 1963.

a) ¿Qué día y a qué hora partió el Aerosub del Sea-View?

b) ¿A qué profundidad se encontraba?

c) ¿A qué altura se encontraba entre las 19 y 20 horas del 2 de mayo?

d) ¿Desde qué hora y día hasta qué hora y día duró la misión?

e) ¿Entre qué valores varió la altura del Aerosub?

f) ¿Cuándo estuvo sobre el nivel del mar?

g) ¿En qué momentos estuvo al nivel del mar?

h) ¿En qué intervalos de tiempo estuvo ascendiendo?

i) ¿Cuánto tiempo pasaron los tripulantes estudiando un banco de coral que se encuentra a 50 metros

de profundidad? ¿Entre que horas sucedió?

j) Las respuestas a las preguntas d), e), f), g) y h),¿qué representan de la función h?

(Por ejemplo: imagen, dominio, conjunto de positividad, etc.) Explicitar cada uno de ellos.

3. ¿Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a una función?

a) b) c)

d) e) f)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

2 4 6 8 10 12 t (horas) -8 -6 -4 -2 0

100

50

-50

-100

-150

h(t) (metros)


4. El gráfico representa una función RRf :

Observando el gráfico determinar 1y 0234 ff,f,f,f .

FUNCIÓN LINEAL

5. En cada caso, hallar la función lineal f que cumpla lo pedido, hacer el gráfico correspondiente y

encontrar la pendiente de la recta determinada por el gráfico de f.

a) 3)0( f y 4)1( f b) 42 f y 21 f c) 7)2( f y 7)3( f

d) 0)1( f y el punto 3,2 pertenece al gráfico de f.

6. Sea la recta r de ecuación 32 xy .

a) Hallar tres puntos de r.

b) ¿ r7,5 ? ¿ r 1,2 ?

c) Encontrar k para que:

i. rk ,4 ii. rk 2, iii. rkk 3,1

d) Hallar los puntos de corte de la recta r con los ejes coordenados.

7. Calcular la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas.

a) 32 xy b) 24 yx c) yx 23 d) 132

yx e) 5y

8. En cada caso, dar la ecuación de la recta que verifica lo pedido.

a) Pasa por los puntos (1,2) y (-1,3).

b) Pasa por el (2,1/2) y es paralela a y = 2x + 5.

c) Es perpendicular a 23

2 xy y pasa por el (-2,-1).

d) Es horizontal y pasa por (2,-5).

e) Es vertical y pasa por el punto (2,-3).

f) Es perpendicular a la recta 5y y pasa por el punto (3,8).

-3 -5

4

2 1

-2

-1 -7

3

5 3 -4 -2 -6

5


9. Probar analíticamente que el triángulo cuyos vértices son A = (1,4), B = (0,2) y C = (2,1) es

rectángulo en B.

10. Dados los puntos 51y 2313 ,C,B,,A , hallar gráfica y analíticamente la ecuación de la recta

que contiene a la altura del triángulo ABC que pasa por A. (Recordar: Una altura de un triángulo es el

segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado, que pasa por el vértice opuesto)

11. Hallar la ecuación de la recta representada en cada gráfico.

a) b) c)

d) e) f)

12. Hallar k para que los puntos 32y 1032 k,,,, estén alineados.

13. Hallar analítica y gráficamente la intersección entre los siguientes pares de rectas.

a) 2:

1:

xyr

xyr b)

932:

12:

yxr

yxr c)

2:

43:

yr

xyr

d) 2

45

x:r

xy:r e)

724

32

yx:r

yx:r f)

426

23

yx:r

xy:r

14. Proponer un sistema que describa la situación planteada y resolverlo.

a) Las entradas para un espectáculo se vendieron a $40 la platea y $27,5 los palcos. Calcular cuántas

entradas de cada tipo se vendieron si asistieron 800 personas y los ingresos fueron de $27625.

b) El perímetro de un triángulo isósceles es 18,6cm. Si el lado desigual se aumenta en 3 cm, el

triángulo obtenido es equilátero ¿Cuál es la longitud de cada lado del triángulo isósceles?

c) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9. Si se permuta el orden de los dígitos se

obtiene el número aumentado en 45 unidades. ¿Cuál es el número?

15. En cada caso, hallar las coordenadas del punto P.

a) b)

2

1

7

4

2

5

-3 1 -7/2

3

3

2 P

rr r

r

2

4

P

rr r

r

2

2


16. En cada caso, dibujar los gráficos de las funciones lineales f y g. Representar sobre el eje x

el conjunto xgxf/Rx y escribirlo como un intervalo.

a) 23 xxf y 5xg b) 12 xxf y 25 xxg

17. Martina se va de vacaciones con unos amigos y desean alquilar un auto por 10 días. Disponen de dos

opciones:

A: 120 pesos por día.

B: 60 pesos por día más un recargo de 1,5 pesos por km recorrido.

a) Si llamamos xBxA y , respectivamente, a las funciones de gasto respecto a los km recorridos al

cabo de los 10 días, hallar sus expresiones y realizar un gráfico que represente cada opción.

b) ¿Cuántos km deberían recorrer para que el gasto fuera el mismo con cualquiera de las opciones?

c) ¿Cuál opción les convendrá elegir si piensan recorre alrededor de 500km?

18. Una escultura de un cierto artista plástico, comprada hoy cuesta $3500 y se sabe que aumenta su valor

linealmente con el tiempo, de modo tal que, después de 10 años valdrá $5600. Otra escultura del mismo

artista, hoy se vende a $4000 y se estima que dentro de 15 años valdrá $6400.

a) Escribir la fórmula del valor V para cada una de las esculturas en función del tiempo ( tV1 y tV2 ).

b) Determinar cuál de las dos esculturas aumenta su valor más rápidamente.

c) ¿En qué momento el valor de las piezas será el mismo y cuál será dicho valor?

19. a) Dar una ecuación de una recta que pase por el punto (-3,1) y que no se interseque con la recta

de ecuación x+3y = 4.

b) Hallar las ecuaciones de dos rectas perpendiculares que se intersequen en el punto (1,2).

c) Encontrar la ecuación de la recta paralela a la recta r: y = 3, que pasa por el punto de intersección

de las rectas y = –2/3 x + 3 e y = 1/3 x – 9.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

20. En cada caso graficar la función cuadrática f, especificando coordenadas del vértice, eje de simetría y

concavidad de la parábola que representa y hallar imagen, ceros, conjuntos de positividad y

negatividad e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

a) 42 xxf b) 32 xxf c) 8122 xxf

d) 312 xxxf e) 562 xxxf f) 322 xxxf

21. Teniendo en cuenta lo hecho en el ejercicio 20,

Resolver las inecuaciones: i. 042 x ii. 08122

x

22. a) Calcular los puntos de intersección de los gráficos de las siguientes funciones y graficar.

i. 2 2 2 2 f x x x g x x ii. xxg xx x f2

3

2

5

2

1

2

1 2

iii. xxgx xxf 2 212

iv. 3 4 22 xxxgxxf


v. 4 82 22 xxgxxf vi. 2 23 2f x x g x x x

b) Observando el gráfico en cada caso, hallar el conjunto xgxf/Rx .

c) Para el caso i. encontrar la ecuación de una recta, paralela al gráfico de g y que no corte a la

parábola.

23. a) Hallar las coordenadas del punto A, sabiendo que

la parábola es el gráfico de 482 xxxf y

el punto V es el vértice de la parábola.

b) Hallar los valores de x para los cuales el gráfico de

la parábola está por encima del de la recta.

24. Al producir un cantidad x (en miles de toneladas) de cierto producto agropecuario se llegó a la

conclusión que, de acuerdo al lugar donde viven y los diferentes gastos que tienen, dos productores

reciben ganancias mensuales (en miles de pesos) determinadas por las siguientes funciones:

872

1 xxG y 622 xxG .

a) Graficar ambas funciones y decidir cuántas toneladas deben producir ambos productores para

obtener la misma ganancia.

b) Si los dos producen aproximadamente la misma cantidad de toneladas mensuales, ¿para qué

cantidades tiene más ganancia el primer productor?

Más ejercicios…

25. Dada la parábola 322 xaxy

a) Hallar el valor de a si se sabe que el eje de simetría es la recta 1x .

b) Para el valor hallado en a) graficar la parábola indicando concavidad, vértice y puntos de

intersección con los ejes.

c) Hallar 3 y/RxA .

26. Teniendo en cuenta el dibujo y sabiendo que el gráfico de f es

una recta paralela a la recta de ecuación 2 8x y ,

a) hallar la función lineal f y el conjunto de

los x tal que f x g x .

b) Determinar la función cuadrática g.

27. Sea la parábola bxxy 42 .

a) Hallar Rb para que la parábola pase por el punto 032 , .

b) Para el valor de b hallado en a), determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la

parábola y es perpendicular a la recta 32 yx .

V

A

5

2

f

g


28. Los sistemas

bxy

bxaxyS

2

1 : y

bxy

bxaxyS

2

2 : , con a y b positivos, están representados en

alguno de los gráficos siguientes. ¿Cuál corresponde a cada uno?

Respuestas

1. a) El segmento de recta. b) 50m c) Sí, recorrió aprox. 75m en 55 seg. d)

2. a) 17h del 2 de mayo. b) 150m bajo el nivel del mar.

c) 100m bajo el nivel del mar. d) Desde las 17h del 2 de mayo hasta las

12 del 3 de mayo. e) Entre 150m por debajo del nivel del mar hasta

100m por encima del nivel del mar. f) Entre las 21h del 2 de mayo

hasta las la 1 del 3 de mayo y entre las 5 y las 9 del 3 de mayo.

g) A las 21h del 2 de mayo y a la 1, 5 y 9 del 3 de mayo. h) Entre las 17 y las 19, entre las y las 22 del 2

de mayo y entre las 4 y las 6 del 3 de mayo. i) 2 horas, entre las 2 y las 4 de las 3 de mayo.

j) d) Dominio de f 127, e) Imagen de f 100150, f) Ceros de f 9513 ,,,

g) Positividad de f 9513 ,,

h) Intervalos de crecimiento estricto de f: 57 , , 24 , y 64, .

3. a) No. b) Sí. c) No. d) Sí. e) Sí. f) No.

4. 41y 4,50320314 ff,f,f,f .

5. a) 3f x x , pendiente: 1m b) xxf 2 , pendiente: 2m

c) 7xf , pendiente: 0m d) 33 xxf , pendiente: 3m

6. a) Por ejemplo, 51y 1130 ,,,, . b) r7,5 y r, 12 . c) i. 11k ii. 25k iii. 5k

d) Punto de corte con el eje x: 023 , , punto de corte con el eje y: 30 , .

7. a) pendiente: 2m , ord. al origen: 3b . b) pendiente: 41m , ord. al origen: 21b .

c) pendiente: 23m , ord. al origen: 0b . d) pendiente: 23m , ord. al origen: 3b .

e) pendiente: 0m , ord. al origen: 5b .

8. a) 2

5

2

1 xy b)

2

72 xy c) 4

2

3 xy d) 5y e) 2x f) 3x

9. La recta que pasa por A y B tiene pendiente 2ABm y la recta que pasa por B y C tiene pendiente

1 2 3

4 5 6

distancia al

parque (m)

tiempo(seg)

25

15


21BCm . Entonces 1212 .m.m BCAB. Por lo tanto las rectas que contienen a los lados

AB y BC son perpendiculares. Luego, el triángulo es rectángulo en B.

10. 4

53

y x

11. a) xy b) xy2

1 c) 7

2

3 xy d) 5y e) 3x f)

3

7

3

2 xy

12. 2k

13. a) Las rectas se intersecan en el punto 2123 , . b) Las rectas se intersecan en el punto 13, .

c) Las rectas se intersecan en el punto 22 , . d) Las rectas se intersecan en el punto 62, .

e) El sistema que resolviste es incompatible. La solución es el conjunto vacío. Las rectas no se cortan,

son paralelas. f) El sistema que resolviste es compatible indeterminado pues tiene infinitas

soluciones. En este caso las dos ecuaciones corresponden a la misma recta.

14. a)

2762552740

800

y,x

yx Se vendieron 450 plateas y 350 palcos.

b)

3

6182

xy

,yx Los lados iguales miden 7,2cm y el otro 4,2cm.

c)

451010

9

yxxy

yx El número es 27.

15. a)

13

18

13

12,P ,

xy:r,xy:r

2

32

3

2 b) 010,P ,

5

2

12 xy:r,xy:r

16. a)

,

3

7 b)

2

1,

17. a) 1200xA y x,xB 51600 b) 400km c) La opción A.

18. a) 35002101 ttV , 40001602 ttV b) La primera escultura.

c) Dentro de 10 años y su valor será $5600.

19. a) xy3

1 b) Por ejemplo, las rectas

2

5

2

1 e 2 xyxy c) 5y

20. a) vértice: 40 ,V , eje de simetría: 0x , concavidad positiva (cóncava), ,fIm 4 ,

220 ,C , ,,C 22 , 22,C , crece en ,0 , decrece en 0, .

b) vértice: 30,V , eje de simetría: 0x , concavidad negativa (convexa), 3,fIm ,

330 ,C , 33,C , ,,C 33 , crece en 0, , decrece en ,0 .

c) vértice: 81 ,V , eje de simetría: 1x , concavidad positiva (cóncava), ,fIm 8 ,

130 ,C , ,,C 13 , 13,C , crece en ,1 , decrece en 1 , .

d) vértice: 81,V , eje de simetría: 1x , concavidad negativa (convexa), 8,fIm ,


e) vértice: 43,V , eje de simetría: 3x , concavidad negativa (convexa), 4,fIm ,


f) vértice: 21,V , eje de simetría: 1x , concavidad positiva (cóncava), ,fIm 2 ,


0C , RC , C , crece en ,1 , decrece en 1 , .

21. i. ,,S 22 ii. 13,S

22. i. ii.

iii. iv.

v. vi.

23. a) 51 ,A b) El intervalo 41, .

24. a) 5 ó 7 toneladas. b) Si producen entre 5 y 7 toneladas.

25. a) a=-1

b) cóncava hacia arriba (concavidad positiva), V=(1;4), intersección con eje x ceros C0={3;-1} puntos

(3;0) y (-1;0). Intersección con eje y: ordenada al origen oo=3 punto de intersección (0;3)

c) (0;2)

26. a) f(x)=1/2 x ; (-∞;0)U(4;+∞) b) g(x)=-1/2x(x-5)

27. a) b=1 b) y=2x-7

28. S1 corresponde al gráfico 2 y S2 corresponde al gráfico 6

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

a) Los puntos 0 2, y 01, .

b) El intervalo 1 0, .

c) Por ejemplo, la recta

2 5y x .

-3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

a) No se cortan.

b) R

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

x

y

a) El punto 1 2, .

b) 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

a) Los puntos 1 3, y

1 2 15 4, .

b) El intervalo 1 2 1, .

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

a) Los puntos 2 0, y 2 0, .

b) ,, 22 . -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

a) El punto 1 2, .

b) ,1 .


C.P.U. MATEMATICA

Práctica 3

TRIGONOMETRÍA – FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. Calcular los valores exactos de x, cos , sen , tg y tg .

2. Calcular los valores exactos de los elementos indicados en los siguientes triángulos rectángulos y su

perímetro y su área.

a) b) c)

3. La distancia entre los edificios A y B es de 120m. Si el edificio A mide 98m de altura y el ángulo de

elevación desde el punto más alto del edificio A al punto más alto del edificio B es de 32º. Calcular,

aproximadamente, la altura del edificio B.

4. Hallar las medidas del lado x y del ángulo α.

a) Si además se sabe que la altura desde A es 5.

b)

α

45º

4

x

y α

x

8

6

B

A

32º

120m

30º

5

20

α

x

A

B C

25 α

45º

x

6

C B

A

α

5

13

x

60º

3

x y

α


Respuestas

1. 12x , 135 /cos , 135 /sen , 125 /tg y 125 /tg .

2. a) º30 , 32x , 3y , 333 perímetro , 2

33área .

b) º45 , 2 2x , 22y , 424 perímetro , 4área .

c) 10x , 84753 º 212526 º , 24perímetro , 24área .

3. Aproximadamente 173m.

4. a) 10 5 2 3 12,39; 23º 48́x b) 7 2 9,90; 98º 7´48́ ´x


C.P.U. MATEMATICA

Práctica 4

VECTORES

1. Sean )3,1(u , )5,2( v , )0,3(w y 2,0 t .

a) Graficar twvu y , , .

b) Calcular y graficar:

i. v ii. vu 2 iii. 2 3u v t iv. 2

23

u v w v. 3

2 2 34

v t u w

2. Si 43 ,u , 03,v y 15,w , calcular la longitud de los vectores:

a) u, v y w b) vu y wu c) u2 y u3

3. En cada caso, determinar todos los valores de k para que:

a) 3u si k,u 1 b) 13v si 53,kv c) 1w si 34,kw

4. Dibujar un sistema de vectores (que representen fuerzas) y determinar analítica y gráficamente (método

de la poligonal) la resultante y la equilibrante del sistema.

5. Descomponer un vector en dos direcciones ortogonales entre sí.

Respuestas

1. b) i. 2 5v , ii. 2 0 1u v , iii. 2 3 5 7u v t ,

iv. 2 8

2 83 3

u v w ,

v. 3 17

2 2 3 24 4

v t u w ,

2. a) 5 3 26u , v , w . b) 4u v , 29u w . c) 2 10 3 15u , u .

3. a) 8 ó 8k k . b) 9 ó 15k k . c) 1 1

ó 5 5

k k .


MATEMÁTICA – CPU

Práctica 5

Problemas de aplicación.

1. ¿Cuántos centímetros mide el perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado mide el doble que el lado

de un cuadrado de perímetro 16cm?

2. Santiago está preparando su puesto para la feria de ciencias que se

realizará en su escuela. Ha decidido poner como fachada un plancha de

acrílico rectangular con un cuadrado cortado en el centro para atender a la

gente. El lado menor mide 4m y el mayor el cuádruple de la mitad del

otro. El perímetro del rectángulo es el doble del perímetro del cuadrado.

a) Si quiere pegar una cinta alrededor del contorno de la

fachada, ¿cuántos metros de cinta necesitará?

b) ¿Cuántos m2 de acrílico utilizará para armar el frente?

3. ¿Cuál es el área de la figura coloreada si su perímetro es 86cm?

4. En la figura hay cuatro cuadrados cuyas dimensiones son las que muestra la figura.

a) ¿Qué parte del cuadrado grande es la zona sombreada?

b) Si el lado del cuadrado es 7cm,

i. ¿cuántos centímetros cuadrados es el área de la zona sombreada?

ii. ¿cuántos centímetros es el perímetro de la zona sombreada?

5. La figura está formada por cuadrados superpuestos.

El área de la parte rayada es 18cm2.

¿Cuál es el la longitud del contorno de la zona blanca?

8 cm

24 cm

7 cm

El perímetro de una figura es la

longitud de su contorno.

El contorno de una figura es el

conjunto de líneas que la limitan, tanto

exterior como interiormente.

1

7a

3

7a

5

7a a


6. La figura está formada por dos cuadrados y dos triángulos.

El triángulo gris es equilátero. El área de cada cuadrado es

64cm2 y el perímetro del triángulo rayado es 22,93cm.

¿Cuál es perímetro de la figura?

7. El área de un cuadrado de lado a es 16cm2. ¿Cuántos cm2 es el área de un cuadrado de lado 2a?

8. En un triángulo uno de sus lados mide 7,2cm y la altura correspondiente 3,5cm. La medida de otro de

sus lados es 8cm, ¿cuál es la medida de la altura correspondiente a este lado?

9. La guarda está formada por cuadrados y triángulos isósceles.

El perímetro de cada cuadrado es 24cm y el perímetro

de cada triángulo es 20,48cm.

a) ¿Cuál es el perímetro de la guarda?

b) ¿Cuál es el área de la guarda?

10. La figura está formada por dos cuadrados congruentes. El perímetro de la figura es 42cm. M es el punto

medio de AB . ¿Cuál es área de la figura?

11. La figura está formada por un rectángulo y cuatro triángulos equiláteros congruentes.

El perímetro del rectángulo es 21cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura?

Respuestas

1. 24cm.

2. a) 36m b) 23m2

3. (192 – 28) cm2 = 164 cm2

4. a) 32/49 b) i. 32cm2 ii. 64cm

5. 6 6 2 cm

6. 46,93cm

7. 64cm2

8. 3,15cm

9. a) 108,8cm b) 360cm2

10. 72cm2

11. 35cm

B

A

M

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R ECUACIONES E INECUACIONES I Z). 1. a) ARQ Cuadernillo-Matematica.pdf · Cuadernillo de Trabajos Prácticos 1 CPU – MATEMÁTICA Práctica 1 OPERACIONES EN R – ECUACIONES E INECUACIONES