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UN IVEHS1 DAD NACIUNAL DE COLOMBIA
SECC 1ON AL HON1lOLES
r - m ; i n j o i ) dl ciencias y adminisihacion
DICAMI AMEN I U DE CIENCIAS
MECANICA DE UNA PARTICULA
CAUCUS EDUARDO URREOO ALZAIE
Aspirante a Profesor Asociado
Mfln i7.a les, Septiembre de 1.990
CUNIENIDU
Página
PRESEN IACIUN 1
CAP1TULU 1. IN l'RUUUÜÜ I UN 5
1.1 Qué es la física 5
1.2 Conceptos básicos 5
1.2.1 Espac io 7
1.2.2 El tiempo 10
1.2.3 El movimiento 11
1.3 Los dominios de la física 13
1.3.1 Los dominios de la mecánica 15
CAP1IULU 2. MED1CI UN, UNIDADES Y L) IMENSI UNES 17
2.1 Error ex per imen tal... 18
2.2 Precisión y exactitud 18
2-3 ni-fras o diyitos significativos 19
2.4 Cantidades primarias y secundarias 24
2.4.1 Metro 25
2.4.2 Kilogramo 26
2.4.3 Segundo 26
2.4.4 Culombio 26
2.4.5 algunas cantidades secundarias o derivadas..27
2.5 Dimensiones y fórmulas dimensionales 29
11
2.6 Sistemas de unidades 3o
2.7 Fac tores de conversión 31
2.7.1 Algunos factores de conversión importantes..33
CAPIIULU 3. DEFINICIONES Y ELEMENIÜS MA1EMAIICUS BASICOS
3.J Límite de una función 35
3.2 Continuidad.... 36
3.3 Derivada de una función .Velocidad . . 37
3.3.1 Veleidad media 37
3.3.2 Velocidad instantánea 40
3.3.3 Aceleración media 44
3.3.4 Derivada de una función 46
3.3.5 Segunda derivada 49
3.3.6 Aceleración instantánea 49
3.3.7 Derivación de vectores 52
3.4 Vectores velocidad y aceleración. Def.Gra1....54
3.5 Posicion,velocidad y aceleración en
coordenadas cilindricas (polares) 62
3.6 Diferenciales 68
3.7 Primitiva de una función 71
3.8 Integral indefinida 71
3.9 Integral definida 72
CAPITULO 4.FUERZAS Y MUMENI US DE TUERZA EN EQUILIBRIU
1 1 1
4.1 Fuerzas concurrentes 74
4.2 Torque de una fuerza 79
4.3 Torque de varias fuerzas concurrentes 81
4.4 Cúpla o par de fuerzas 82
4.5 Caso general..... 83
4.6 Fuerzas coplanares 88
4.7 Fuerzas paralelas 92
4.8 Primera ley de Newton 98
4.9 Principio clásico de relatividad 98
4.10 Estática 99
4.10.1 Equilibrio de una partícula 99
4.10.2 Equilibrio de un cuerpo rígido 102
CAPITULO 5. PRINCIPIU DE CONSERVACION DE LA CANIIDAD DE
MOVIMIENTO. LEYES DE NEWTON.
5.1 Masa 108
5.2 Cantidad de movimiento lineal 108
5.3 Conservación de la cantidad de movimiento
1 ineal 110
5.4 Leyes de Newton 114
5.4.1 Primera lev 114
5.4.2 Segunda ley 115
5.4.3 Tercera ley 116
IV
CAPI IUL-U 6.LAS FUERZAS DE LA NATURALEZA
6.1 Ley de Newton de gravitación universal 126
6.2 Fuerza electromagnética 131
6.2.1 Dimensión y unidades de la carga eléctrica..132
6.3 La fuerza nuclear fuerte 135
6.4 La fuerza nuclear débil 136
fc. 5 Fuerza elástica, 137
6.6 Fuerzas viscosas o de rozamiento 142
CAPIlULU7. EL PROBLEMA DEL MUVIMILNIU DE UNA PARIICULA
7.1 Fuerza neta igual a cero , 152
7.2 Fuerza neta constante 154
7.3 Fuerza neta dependiente de la velocidad 171
7.4 Fuerza neta dependiente de la posición angularl74
7.5 Fuerza neta dependiente de la posición 1B6
7.5.1 energía cinética 187
7.5.2 Trabajo(Una dimensión) 188
7.5.3 Teorema del trabajo y la energía cinética...18B
7.5.4 Dimensiones y unidades del Trabajo y la
Enprníri. . , 189
7.5.5 Definición general de trabajo 195
7.5.6 fuerzas conserva t i vas 204
7.5.7 energía potencial 207
7.5.8 relación entre energia potencial y fuerza...2lO
V
7.5.9 energía mecánica 212
7.5.10 Principio de conservación de la energía
mecánica en sistemas conservativos 212
7.5.11 Descripción cualitativa del
movimiento en gráficas de energía 216
7.5.12 Energía potencial gravitatoria 220
7.5.13 Energía potencial electrostática 223
7.5.14 Principio de conservación de la energía.
Caso general 224
CAPI IULU 8. 1RANSFURMACIUNEB EN I RE MARCUS UE REFERENCIA
8.1 Principio de relatividad 236
8.2 Marcos de referencia inerciales 236
8.3 Trans f ormac iones de Galileo 237
8.4 Fuerzas ficticias 248
BIBLIUURAFIA 258
INDI CE DE F I«UROS
Página
1.Coordenadas que especifican la posición
de un punto P respecto a un marco de
1 Velocidades media e instantánea 37
2 Gráfica del ejemplo 7.4 41
3 Aceleración media e instantánea 44
4 Movimiento de una partícula en el espacio..55
5 Coordenadas cilindricas o polares 63
diferencial y el incremento de una función..69
1 Empujando un bloque sobre una superficie...74
2 (a)Dinamómetro;(b) Aparato para equilibrar
pesos 7 5
3 Torque de una fuerza 79
4 Torque de fuerzas concurrentes 81
5 Cúpla o par de fuerzas 82
6 Sistema del ejemplo 4.3 90
7 Centro de gravedad de varios cuerpos 95
8 Centro de gravedad de una figura plana 96
9 Equilibrio en un plano inclinado 100
10 Equilibrio de una figura plana 105
11 Gráficas del ejemplo 4./ 106
Vil
Figura 5.1 Colisión ideal de dos cuerpos en un plano..110
Figura 5.2 y 5.3 diagramas del ejemplo 5.2 119
Figura 5.4 Diagrama del ejemplo 5.2 121
Figura 5.5 Diagaratna de cuerpo libre(DCL) del ej.5.3..122
Figura 5.6 Diagrama del ejemplo 5.4 124
Figura 6.1 Fuerza de qravitación 126
Figura 6.2 Fuerza elástica 138
Figura 6.3 Bloque empujado por resorte en plano
inc 1 inado 139
Figura 6.4 DCL del ejemplo 6.6 144
Figura 7.1 Bloque en plano con fricción.... 157
Figura 7.2 Sisleina del ejemplo 7.4 160
Figura 7.3 Gráfica del ejemplo 7.5 163
Figura 7.4 Gráfica del ejemplo 7.5 165
Figura 7.5 Movimiento parabólico del E j . 7 . 5 168
Figura 7.6 Péndulo cónico 176
Figura 7.7 Relación vectorial entre Q,r y v 180
Figura 7.8 Transmisión del movimiento por poleas 184
Figura 7.9 El peralte 185
Figura 7.10 Bloque empujado por un resorte 191
Figura 7.11 Trabajo de una fuerza en una trayectoria..196
Figura 7.12 Trabajo contra el peso de un objeto 199
Figura 7.13 Trabajo entre dos puntos por varias
trayectorias 201
Figura 8.4 Bloques del ejemplo 8.3
Figura 8.5 DCL en marco de referencia no inercial
-Ejemplo 8.3-
1
PRESEN IOCIUN
Con el propósito de cumplir uno de los requisitos que
exige la reglamentación vigente he preparado el presente
documento. Quiero expresar algunas de las consideraciones
académicas gue desde mi punto de vista justifican su
temática y su enfogue.
Este material recoge el resultado del trabajo de docencia
de mas de dos años en la dirección de cursos de mecánica
para ingenierías . Es una propuesta alrededor de la
enseñanza de la mecánica de una partícula.
El objetivo central atiende a la necesidad de afrontar
con buen rigor la base de la mecánica clásica dejando de
lado la multiplicidad aparente de presentación temática
de los cursos regulares, mediante la aplicación intensiva
de los conocimientos dados a conocer en seis capítulos
introductorios al problema crucial : el problema del
movimiento de una partícula. Pretendo que el estudiante
no pierda de vista gue todo gira alrededorde éste asunto,
y que él puede solucionarse mediante el conocimiento de
2
elementos matemáticos básicos aplicados a la solución de
una simple ecuación diferencial, que ,según las
circunstancias del problema, genpr an , en su análisis
geométrico, todos los tipos de movimientos . El concepto
mismo de energía es, desede éste punto de vista, una
técnica que siendo conveniente para resolver una
situación particular, originó un tratamiento alterno para
la solución general del mismo problema.
En e] desarro]lo de dos cursos compartidos con el
matemático BERNARDO ACEVEDÜ F. , en donde se usó un mismo
grupo de estudiantes para suministrarles la información
cor refponcJ ien te a la mecánica y el cálculo diferencial e
integral, se realizaron algunas acciones en pro de la
integración de tales cursos. Las conclusiones de esta
actividad han influenciado la presentación interna de
algunos capítulos , particularmente el tercero,y , en
general, toda su secuencia. Se hizo además alguna labor
en cuanto a uniformidad en las nutaciones.
El trabajo en cuestión contiene un orden de temas dentro
de 1 as varias alternativas que usualmente pueden
escogerse que no es ,a mi juicio ,crucial para el logro
del objetivo que pretende cumplirse con el enfoque
presen tado.
3
El hecho de comenzar con la situación de equilibrio antes
de presentar formalmente las leyes de Newton obedece mas
bien a la necesidad de agotar el tema de la estática en
primera instancia, evitándose así que se vea en forma
superficial o se omita en el curso, como
desafortunadamente suele ocurrir cuando se ubica como su
parte final, con el consecuente perjuicio para la
formación del estudiante que no tiene oportunidad de
informarse del asunto en otras asignaturas de su plan de
estudios.
La eliminación de la cinemática como capítulo
independiente obedece al propósito general declarado
arriba. Adiciona1mente, en forma aislada, el estudio
geométrico del movimiento es una invitación al uso de los
modelos y fórmulas característicos de la formación
generalizada impartida en la enseñanza de la física en la
educación media. La reeducación del estudiante debe
escoger rutas menos mecánicas, que no eviten el necesario
lenguaje matemático de la física.
4
Tal como se ofrece, el documento relaciona un contenido
temático mínimo, quecreo sinembargo completo, permitiendo
agotar esta parte del curso con baja intensidad
presenc ia1.El trabajo en formade taller se ha facilitado.
De ser aceptada su validez, pretendo completar el texto
hasta incluir en él el contenido teórico del la
asignatura correspondiente en los nuevos planes de
estudio de las ingenierías.
5
CAPITULO 1
INTRODUCCION
1.1 QUE ES LA FISICA?
La física responde a dos preguntas!
-De que está hecho el universo?
-Cómo y porqué se comportan las cosas que hay en él?
Para contestarlas acostumbra "seccionar" al universo
en las porciones que le interesan, a las que llaman
sistemas haciendo objeto de estudio sus propiedades
mas elementales.
Los sistemas pueden variar drásticamente de tamaño
desde un conjunto de partículas subatómicas, hasta un
grupo de galaxias; todos ellos están conformados por
una o varias cosas cuya constitución o materia se
acepta hoy como una variedad de las casi infinitas
combinaciones de diferentes tipos de partículas. Los
objetos mas familiares a los sentidos están
6
conformados de protones , neutrones y electrones;
estas partículas subatómicas en distintos arreglos
constituyen átomos, que a su vez hacen parte, en
distint^^ combinaciones de las formas de matpria
comunes como líquidos, sólidos y gases.
La primera información respecto de los sistemas del
universo proviene de los sentidos. Las sensaciones
de color, frío, calor, ruido y gusto ponen al hombre
en contacto con el mundo que lo rodea; ellas definen
las propiedades de las cosas. Estas propiedades
son sinembargo insuficientes para los propósitos de
la física; se requiere de sus mediciones
cuantitativas. Se logra éste propósito mediante
instrumentos de medida que son elementos que
extienden y perfeccionan la información proveniente
de los sentidos.
La física tiene entonces varias caracteristicas que
la distinguen de otras ciencias y la clasifican como
ciencia exacta:
-Se interesa
fundamentales
en
que
los principios
describen y
generales y
explican el
7
comportamiento de los sistemas.
-Los eventos de su dominio son los que se pueden
medir. Se fundamenta en la experimentación.
-Relaciona las propiedades y el comportamiento de los
sistemas mediante expresiones del lenguaje
matemático.
1.2 CONCEPTOS BASICOS.
1.2.1 ESPACIO
A medida que se separan las manos se es
conciente que pau1 atinamente se abarca mas
espac io.
El concepto de espacio estará siempre referido
de objetos o conjuntos de objetos -las manos del
ejemplo- y sus relaciones. Gasta entender por
espacio como algo en donde se ubican las cosas.
Newton, quien prácticamente inventó la física,
no estaba de acuerdo con estos conceptos pues
imaginaba el espacio como un absoluto,
independiente de las cosas que contenía.
Después de Einstein se acepta que las
propiedades de una región del espacio dependen
de la clase de cosas o materia que halle en sus
proximidades.
La medida del espacio o ubicación de los
cuerpos se hace desde un punto fijo a uno de
ellos 1,llamado marco de referencia. El espacio
que rodea a este punto o marco de referencia
está definido por el conjunto de los vectores N
- dimensionales referidos a él. Para el
propósito de lo tratado en este escrito el
espacio tridimensional es suficiente.
Es de resaltar que las medidas de posición su
ubicación (u otra propiedad), desde un marco
particular de referencia no tienen ventaja
alguna sobre los hechos desde cualquiera otro
marco.
1Que deberá ser un cuerpo rígido (ver Sec.1.2.3.)
El espacio físico tiene dos propiedades
importan tes :
e J e z e j e z e j e z
Coordenadas Coordenadas Coordenadas Rectangulares Cilindricas Esféricas
Figura 1.1
Coordenadas que especifican la posición de una partícula P respecto de un marco de referencia.
Invariancia en la traslación. Es homogéneo;
esto quiere decir que un cuerpo que se traslade
de un sitio a otro de ése espacio no cambia sus
propiedades. Una manera de entender esta
1 0
propiedad es pensar en que un objeto cuadrado lo
será en la tiérra, el sol u otro sitio del
un iverso.
Invariancia en la rotación. Es isótropo; los
cuerpos no cambian de propiedades al rotar en
ése espacio. El ejemplo del objeto cuadrado es
igualmente útil para captar el sentido de esta
propiedad: seguirá siendo cuadrado aún cuando se
le gire.
1.2.2 EL TIEMPO.
Se usará de nuevo una aproximación intuitiva a
éste concepto sin entrar a definirlo.
El hombre percibe el tiempo y lo mide con los
movimientos repetitivos de las cosas (el sol, la
luna, las estrellas) que le rodean. Es
conciente de él por los cambios metabólicos
propios o ajenos que suceden por su discurrir,
por el nacimiento, por la muerte.
11
El tiempo tiene una única dirección que apunta
desde el pasado hacia el futuro; éso lo
distingue de el espacio. Todos los procesos
naturales que hoy se conocen se desarrollan en
el sentido en el que se aumenta el desorden
universal, que es el mismo sentido del
transcurrir del tiempo.
Unas imágenes cinematográficas o de video que se
pasen en sentido contrario proporcionarán
ejemplos de acontecimientos que no ocurren en la
dirección en la que pasa el tiempos un
clavadista que va desde la piscina al trampolín,
agua regada en una superficie que termina dentro
de un vaso, implosiones que a partir de un
montón de escombros construyen un edificio, etc.
(En todos ellos disminuye el desorden: son
hechos no naturales, de concurrencia altamente
improbable, por no decir imposible).
1.2.3 EL MOVIMIENTO.
Un objeto está en movimiento respecto de un
marco de referencia cuando su posición cambia
con el tiempo. Por su extensión todos los
objetos ocupan mas de una posición;
suficientemente lejos del marco de referencia de
un observador todo objeto puede ubicarse en un
punto. En ésa circustancia se dice que el
cuerpo se puede tratar como partícula. Una
estrella por ejemplo, a pesar de su gran tamaño,
se ve desde la tierra como un punto luminoso
pues desde acá su dimensión parece desaparecer
con la distancia.
El movimien Lo de una partícula se denomina de
traslación.
Los cuerpos extensos se consideran como
agregados o conjuntos de partículas. Cuando las
distancias o posiciones relativas de las
partículas no se modifican con tiempo se tiene
un cuerpo rígido. Todo cuerpo u objeto que se
mencione en adelante se entenderá como rígido.
1 3
Cuando en un marco de referencia ubicado en un
cuerpo rígido se observa que todas sus
partículas se mueven haciendo arcos de
circunferencias cuyos centros pertenecen a una
línea recta se dice que el cuerpo está en
rotación.
La traslación de un cuerpo extenso se estudia
asimilándolo a una partícula ubicada
convenientemente en su centro de masa (concepto
que se describirá posteriormente).
Las medidas del movimiento de los cuerpos se
hacen mediante la determinación de su
velocidad, que será de traslación o rotación
según el caso. La velocidad de traslación es
la relación entre el cambio de posición en un
intervalo de tiempo. Su magnitud se puede
expresar en unidades tan familiares como km/h o
m/s.
1.3 LÜS DOMINIOS DE LA FISICO.
1 4
Históricamente la física se ha dividido en distintas
ramas justificadas en la clasificación de los
fenómenos según su percepción. La luz generó la rama
gue se llama óptica, el sonido la acústica, el calor
la termodinámica.
Al movimiento, el mas general de los fenómenos de
observación directa, lo estudia la mecánica, que fué
la primera rama de la física que se desarrolló como
ciencia exacta.
El electromagnetismo estudia los fenómenos
relacionados con la carga eléctrica. Aunque es
responsable de la mayor parte de las experiencias
sensoriales, apareció solo como rama organizada de la
física en el siglo XIX.
A este conjunto de ramas se denomina física clásica.
En el siglo XX se ha desarrollado una nueva física
gue trata de explicar en forma general estos
fenómenos y otros mas denominada física moderna que
incluye como campos la teoría de la relatividad, la
mecánica cuántica y el estudio de las partículas
e1emen ta 1es.
1 5
1.3.1 LÜS DOMINIOS DE LA MECANICA.
En la figura 1.2 se muestra la separación actual
de la mecánica, parte de la física que se
interesa por el movimiento y sus causas. Las
divisiones de velocidad y tamaños son algo
arbitrarias y corresponden a la décima parte de
la velocidad de la luz y el tamaño de un átomo
respee tivamen te.
t amaño m
CLAS ICA
1 < r , 4 m
CUANT ICA
R E L A T I V I S TA
C U A N T I C A R E L A T I V I S T A
0.1 c : 3 x 1 0 7 m / s
Figura 1.2
Las teorías mecánicas
v e l o c i d a d
16
La mecánica clásica o newtoniana se aplica a
objetos mayores que un átomo (objeto grande),
que se mueven a velocidades menores que una
décima parte de la velocidad de la luz
(velocidades bajas). En estas notas se
estudiará este campo de la física.
CAPITULO 2
MEDICION, UNIDADES Y DIMENSIONES
La mayoría de las afirmaciones acerca de las propiedades
de los objetos en la vida cotidiana son de tipo
cualitativas. Así se afirma que el cielo es azul, un
trozo de metal es frío, que el hierro es mas pesadoque el
a 1godón etc.
Cuando se observa un fenómeno se considera que la
afirmación de ese tipo es completa. La obtención de
valores cuantitativos de las propiedades de los sistemas
físicos se hace mediante el proceso de medición que se
realiza, por lo general, comparando una cantidad de la
propiedad a determinar con algún patrón definido
arbitrariamente que se considera la unidad de ésa
propiedad particular. El resultado es la asignación de
un número a esa propiedad física.
El ejemplo mas sencillo de medición es la determinación
de la longitud de un objeto. Se usa para ello una regla
1 8
con una escala, que previamente se ha obtenido de la
comparación ds su dimensión con la de un metro patrón, de
tal forma que se le asigna al objeto el número de veces
que el metro patrón cabe' en esa distancia. Si el
resultado es 20 la cifra completa su sentido si se le
añade la unidad correspondientes, por ejemplo 20 mts.
2.1 ERROR EXPERIMENTAL.
Toda medida esta afectada por un error debido a las
imperfecciones en el instrumento de medida o a la
menor o mayor pericia del experimentador.
2.2 PRECISION Y EXACTITUD.
Cuando se hace una medida su magnitud depende de
factores que involucran el tipo y número de
mediciones,aparato y método empleados. Asi, la cifra
que cuantifica la propiedad con su respectiva unidad
no es una información completa; se requiere una
indicación del grado de confiabi1idad de la medida.
19
La precisión de una medida tiene que ver con su
reproducibi1idad mientras que su exactitud nos
permite conocer su desviación respecto del valor real
de la cantidad física que se mide.
2.3 CIFRAS G DIGITOS SIGNIFICATIVOS (EL ERROR PROBABLE).
Se dice que sólo son significativos los dígitos de
una cantidad numérica que son el resultado de
mediciones reales, o cálculos hechos a partir de
mediciones reales. Por ejemplo, la cantidad 0.0016°C
tiene dos digítos significativos, es decir, dos
números en los que se tiene certeza razonable de los
resultadosde la medición de temperatura; estas cifras
dan una idea de la precisión de la medición de la
cantidad expresada por el número. Como ya se
mencionó todo resultado de una medida deberá incluir
algún índice de precisión que bien puede ser la
desviación stándar o el límite de error. Cuando esto
noaparezca se asume la incertidumbrecomo ± 1 unidades
del último dígito que aparece. En el caso presente,
1. 6x 10- 3° C, el error a asumir seria de ± lxiO""*0C, lo
que indica que la cifra bien podría ser 1.5x1o-3 ó
2 0
1 . 7x 10—3° C.
Fácilmente se puede concluir que no tiene sentido en
una manipulación de datos experimentales, que
involucre operaciones aritméticas, conservar mas
decimales que aquellos que tenga el número de menor
cifras decimales; cuando se manejen constantes como
TI , e, h, en la manipulación de resultados de mediciones
sus cifras significativas deben limitarse en idéntico
c r i ter io.
Ejemplo 2.1:
La medida del radio de un circulo es 1000 +_ 1 mm.
Calcular el perímetro.
Perímetro = p = 2nr
p=2x3,141592 ...xlOOO =
p=6283.185307 mm.
El número de decimales de la fracción 0.185307 mm no
tiene sentido pues la medida a partir de la cual se
hizo el cálculo tenia una incertidumbre de ±1 mm; el
resultado del cálculo no puede tener una
incertidumbre menor.
2 1
p= 6283 ± & mm.es la expresión correcta.
Este valor es el resultado de la multiplicación de la
constante 2n por cada uno de los términos de la
med ida.
Como conclusión, el tratamiento de las cifras
significativas se realiza más fácilmente haciendo
todas las operaciones teniendo en cuenta el criterio
expuesto solo al expresar el resultado.
Cuando se hace una medida individual (o muy pocas
medidas), la precisión se expresa según la mitad de
la menor división que tenga la escala de medida del
aparato que se usó en la prueba.
Ejemplo 2.2:
Una regla común tiene como límite de error para medir
distancias 1/2 mm pues su escala tiene 1 mm como
menor separación impresa. Es decir, si medimos un
objeto con esa regla y la medida de su longitud dió 5
2 2
mm, la expresión correcta será 5 +_ 0.5 mm,lo que
significa que el número que describe la medida tiene
una incertidumbre de 0.5 mm.
Ejemplo 2.3;
Calcular área de un rectángulo cuyas medidas son:
ancho: 0.75 m ; largo: 1.243 m.
A= ancho x largo: .0.75 m x 1.243 m
A=0.93225 m(2)
Error en el ancho: lxlO"'' m
Error en el largo:lxlO-3 m
Suponiendo que hay efectivamente un error en la
medida del ancho el área tendrá una incertidumbre de:
A A = 1.OxlO_2mxl.243m = 1.243x10 = m =
Haciendo otro tanto para un error en la medida del
1 argo
2 3
A A = 1x10 Tmx0.75m = 7.5x10 ^m =
Como no se puede garantizar Ja inexistencia de tales
errores en una de las dimensiones deberá escogerse la
mayor incertidumbre encontrada en el área A =
1.243x 10_=: rtf . Hay una cifra dudosa enel lugar de las
centesimas en el área;su expresión correcta es
entonces:
A = 0.93 ± 0.01 m"'
Se corrobora la afirmación que se hacía anteriormente
en el sentido de que las operaciones matemáticas con
datos experimentales no pueden proporcionar un mayor
número de cifras significativas que la medida menos
precisa que se esté usando.
Un conjunto numeroso de medidas permite establecer
otras técnicas para expresar la precisión como son el
valor medio,la desviación media y la desviación
cuadrática media.
Ejemplo 2.4:
2 4
Tómese una moneda (o objeto cualquiera) y mídase su
longitud (y espesor). Repítase la operacióncon varias
personas. Calcular el promedio aritmético (VALOR
MEDIOrVM) y hallar de cada una de ellas su desviación
(valor absoluto de la diferencia entre VM y medida).
(a) Promediar de nuevo tales desviaciones. Se tendrá
la DESVIACION MEDIA ( DM) . Expresar la medida con la
precisión dada por la desviación media: VM±DM .
(b) Elevando al cuadrado cadadesviación y encontrando
la raízcuadrada de su suma se tendrá LA DESVIACION CM
(cuadrática media). Expresar la desviación con la
precisión dada por la desviación CM mediante VM ±DCM.
2.4 CANTIDADES PRIMARIAS Y SECUNDARIAS.
Las cantidades o propiedades físicas se dividen en
dos grupos. Previamente se escogen un número
reducido de ellas y las demás se expresan en función
de estas.
2 5
Una lista de cantidades primarias que es útil en
física clásica e ingenienaes: longitud, masa,tiempo,
temperatura y cantidad de carga eléctrica; para este
curso, aunque no es necesario se agregará la fuerza a
esta lista.
En la siguiente tabla se relacionan las cantidades
primarias y algunas de las secundariascomo funciones
de e11 as:
CANTIDADES PRIMARIAS.
Dimensión Nombre Unidad S.I -símbolo
L Longitud Metro ( m )
m Masa Kilogramo ( k )
t tiempo Segundo ( s )
T Temperatura Grado kelvin (°K)
q Carga Culombio ( C )
f Fuerza Newton ( N )
Algunas définie iones :
2.4.1 METRO ( m ):
2 6
Es igual a 1650763.73 longitudes de onda de la
radiación electromagnéticaemitida por el isótopo
86 Kr en su transición entre los estados 2pl0 y
5d 5.
2.4.2 KILOGRAMO ( Kg ) :
Es la masa de un bloque de platino conservado en
la oficina internacional de pesos y medidas en
Sévres. En la práctica es igual a la masade 10 -
3 metros cúbicos de agua destilada a 4o C
( 5. OiBBx 103=l Atomos del isótopo de 12 C).
2.4.3 SEGONDÜ ( s ):
1/31556725.975 de la duración del año tropical
de 1900, siendo el año tropical el tiempo
transcurrido entre el paso consecutivo de la
tierra a través del equinocciovernal (21 marzo).
Otra definición mas moderna: 9192631770 períodos
oscilación de los electrones del átomo de cesio
133 cuando realizan transiciones entre sus
niveles estacionarios hiperfinos.
2 7
2.4.4 CULOMBIO < C ):
Es el valor absoluto de la carga negativa
contenida en 6.2418x10 e1ec trones.
2.4.5 ALGUNAS CANTIDADES SECUNDARIAS O DERIVADAS):
Dimensiones Nombre Unidad S.I - simbolo
! 2 Area Metro cuadrado ( m- ;
L3 volumen Metro cúbico ( m~ )
L/t velocidad ( m/s )
L/t= Aceleración ( m/s*)
FL Energía Julio ( J)
FL/t Potencia Vatio (watt)
mL/t= (*) Fuerza Newton (N)
(*) Cuando se utiliza la fuerza como unidad derivada
2.5 DIMENSIONES Y FORMULAS DIMENSIUNALES.
En el cuadroanterior se hizo que las letras 1, m, t,
q y F, reprepresentaran la idea o concepto de
distancia, masa, tiempo, temperatura, carga eléctrica
y fuerza respectivamente, sin tener en cuenta las
2 8
unidades en las que se expresen tales cantidades.
Las dimensiones de las cantidades secundarias pueden
expresarse en función de las primarias; por ejemplo,
la velocidad, sin importar sus unidades u orden de
magnitud se encontrará dividiendo la longitud por el
tiempo. Asimismo la aceleración tiene dimensiones [
L / f ] y la presión [ F/ l? j .
Las leyes de la física tienen su expresión en el
lenguaje matemático de las ecuaciones. Las unidades
que usualmente se utilizarán son las del sistema
internacional, pero aunque se utilizara otro sistema
en las ecuaciones de la física su validez siguesiendo
la misma siempre que se usen las unidades de las
cantidades primarias y secundarias correspondientes o
compatibles.
fc. j eiriD i o 2 . d :
La ecuación de caida libre es:
2 9
y-yo- Vot.+gt=/2
donde y= altura del cuerpo
yo= nivel inicial o de referencia
v„= velocidad inicial
g = aceleración de la gravedad.
t = tiempo
Dimensiona1mente la ecuación se puede expresar!
L = L/1 . t + L/t31 . t H = L
En donde no se tuvo en cuenta las unidades en los que
se expresarían cada unodelos términos de la ecuación;
la ecuación es pues dimensiona1mente correcta. Una
forma de darse cuenta si una ecuación está equivocada
es verificar las dimensiones de todos sus términos
(todos deberían tener las dimensiones como en el
ejemplo expuesto).
Además de una ecuación incorrecta usualmente se
cometen erroresal no utilizarlas cantidades primarias
y secundarias compatibles. Por ejemplo, si en la
ecuación anterior se expresó el tiempo en minutos
(min), la aceleración en metros/segundo 3 (m/s3) y
3 0
la velocidad inicial en m/s se comete un error:
y-yo = vot-gt2/2
= [m/s. min] - [m/s3. min3 ] U n i d a d e s
inhomogéneas
= [m.min/s] - [m.(min)3/s3]
En este caso se utilizaron corchetes para hacer el
análisis de unidades (el dimensional ya se realizó
arriba y estaba correcto). Se puede observar que las
unidades de los términos de la derecha de la igualdad
son diferentes y no proporcionan las longitudes
busc adas.
2.6 SISTEMAS DE UNIDADES.
Los mas usados son:
C G S: centímetro,gramo,segundo, (dina, statcu1ombio)
M K S: (SI) metro, kilogramo, segundo, (newton,
cu 1ombio)
P L S: pie, libra, segundo ( lbf,culombio )
3 1
Dentro de un mismo sistema se usan prefijos para los
múltiplos y submúltiplos de las unidades:
10 - 1 Deci
10~ = Centi
10'" Mili
101— & Micro
1 0 N a n o
1 0 P i c o
10 1 Deca
10 3 Hecto
1 0 3 Kilo
10 * Mega
10 7 Giga
10 Tera
2.7 FACTORES DE CONVERSION.
En casos como el anterior se deben utilizar los
factores de conversión que faciliten el tratamiento
homogéneo de unidades. Un factor de conversión esuna
relacióndel tamaño de una unidadde un sistema a otra
múltipla o submúltipla del mismo, a 1acorrespondiente
unidad en otro sistema. En el ejemplo anterior:
1 minuto = 60 segundos
3 2
1 min = 60b
Dividiendo a ambos lados por 60 s:
1 min/ 60 s = 1
O dividiendo a ambos lados por i min:
1 = 60 s / min
Es decir, ambos factores son equivalentes a la unidad
y por lo tanto pueden mutiplicar a un término de una
ecuación sinafectarla. Así, lacombinación inhomogénea
de unidades es :
Cm/s.min]#i = [m/s#min]#60 s/min = 60*[m]
Y [m#(min)3 /s =] = [m*(minf /s2]*1*1
[m# (min ) ]#60
s/min#60 s/min
3600 m
3 3
En consecuencia, la homogeneidad de unidades del
ejemplo propuestose garantiza al utilizarlas unidades
dadas (min, m/s3 y m/s), siempre que elprimer término
de la derecha se multiplique por 60 y el segundo por
3600. Se puede observar que igual resultado se
obtiene al convertir el tiempo de minutos a segundos
antes de realizar el computo correspondiente.
2.7.1 ALGUNOS F ACIORES DE CONVERSIUN IMPÜRIANIES:
3.28 pie/m ;2.54 cm/plg ; 28.3 lt/pie3
9.8 N/kgf ; 4.19 j/cal ; 1.6x10 j/eV
746 watt/Hp ; 2.21 lb/kg
3 4
CAPITULO 3
DEFINICIONES Y ELEMENTOS MATEMATICOS BASICOS
Las propiedades de los sistemas físicas se representan
con variables o símbolos. Así, en el caso de la
descripción del movimiento de una particula, se utiliza r
como símbolo de la posición . En la física clásica éste
vector tiene tres componentes; para coordenadas
cartesianas : r = (x,y,z). En el caso mas general cada
una de las componentes depende de otras propiedades como
la masa, la velocidad, el tiempo, la velocidad, etc.
Así.por ejemplo:
x = f (m,vx,t) ; donde:
m = masa ; vx
de la velocidad
; t = tiempo.
= componente
en el eje x
Definidos los valores de m, vx y t , se tendrá un valor
único para . í es entonces una función.
3 5
3.1 LIMITE DE UNA FUNCION
Si en la función anterior la dependencia se restringe
únicamente ai tiempo, el límite de x cuando t tiende
a un valor finito T :
Lím f(t) = X Ec 3.1 t— T
Si para todo e > O ( por pequeño que sea), existe 8
>0 tal que si :
O < | T— 11 < 6 entonces
Ees.3.2
| x - f ( t) | < e
En palabras, se puede entender que el límite de f(t)
a medida que t se aproxima a T es X, si la diferencia
entre los números f(t) y X puede hacerse tan pequeña
como se quiera, al escogerse t suficientemente
próximo a T.
Algunas propiedades importantes de los limites son :
3 6
Lím b f(t) = b Lím f(t) Ec 3.3
Lím [ f(t) + g(t) ] = Lím f(t) + Lím g(t) Ec 3.4 t—>T t->T te—>T
Lím f(t).g(t) = Lím f(t).LÍm g(t) Ec 3.5
Lím f(t)/g(t) =[Lím f(t) / Lím g(t) t—>t t—>-r t— > t
Ec 3.6
Si Lím g(t) ^ O te—>T
2 CONTINUIDAD
La función f(t) es continua en T si
Lím f(t) = f(T) Ec 3.7 te—>T
En este curso las funciones que representan
propiedades de los sistemas siempre son continuas en
todos los puntos de su dominio. Es decir, no hay
situaciones para las que "desaparezca" o se
3 7
interrumpa la definición de una propiedad
3.3 DERIVADA DE UNA FUNCION. VELOCIDAD
3.3.1 VELOCIDAD MEDIA
Experimenta 1mente se pueden tener un conjunto de
datos de la posición de una partícula que se
mueva en la dimensión x y de alli obtener una
función x = f(t), cuya gráfica puede ser la
siguien te:
x
fCT+AO
fCTD A t
Q
Ax
R
t T T+At
Figura 3.1
Velocidades media e instantánea
3 8
Debe observarse que los
a la medición se han
continua y suave.
puntos que corresponden
unido con una curva
A x : delta equis, repre
posición entre
T + A t .Se le de
senta la variación de la
un par de instantes T y
nomina desplazamiento.
El segmento de recta PQ que una a los puntos (T
, f ( T ) ) y (T + ̂ t , f (T+At) ) , es la hipotenusa
del triángulo rectángulo PRQ que tiene por
catetos /\ x y ¿51.
El cociente es la pendiente (ma)de la
recta secante que pasa por P y Q.
m a = (¿y</At) = ct(t+At- f ( t n / At = v M
Ec 3.8
En física ésta es la definición de velocidad
media de la partícula cuando se mueve en la
dirección x, entre el intervalo de tiempo T y
T = A.t. Sus dimensiones son [Lt-1] y las unidades
3 9
en el SI son [m/s].
Ejemplo 3.1;
Una partícula ocupa la posición x = 18 m en t =
ls , y x = 25m en t = 2s.
(a)Cuál es el desplazamiento?;
(b)Cuál es su velocidad media ?
(a) ¿\ x = (25—18) m = 7m = f (2s) - f(ls)
(b) vM¡, = (¿y</At) = ( 7m ) / ( 2-1 ) s = 7 m/s
Ejemplo 3.2i
Un automóvil se dirige por una carretera plana y
recta recorriendo 20 km en 10 minutos. Regresa
por el mismo camino gastándose 15 minutos.
(a) Halle la velocidad media a la ida.
(b) a la venida.
(c) la velocidad media en el trayecto total.
4 0
(a) A x//£ = 20km/lOmin = 2km/min x 60min/hr
120km/hr = v ,(1
(b) A x//Nf: = —20km/15min
= -4/3km/min x 60min/hr
-BOkm/hr = v . .
(c) A x / A t = 0/25min = O = vM total
Ejemplo 3.3
El auto del problema anterior recorre ahora 20
km en 10 min hacia el norte y los siguientes 20
km hacia el este. Cuál es la velocidad media
del trayecto total?
Vmowtc = V v = 120 km/hr j = 120 km/hr(0 ,1)
= v „, = 80 km/hr i = 80 Km/hr(l, 0)
v = v„ + V V = 80 i + 120j = (80 , 120)Km/hr
3.3.2 VELOCIDAD INSTANTANEA
41
Volviendo a la Ec 3.8, dejándo fijo a T y
haciéndo tender A t a cero, el valor de la
pendiente a la curva que representa la
trayectoria en P corresponde al límite:
m r = Lím m m = Lím ¿2Sx/A t
m,. = Lím C f ( t + A T ~ f(t)] / At = V M ( T ) Xt->o
Ec 3.9
Físicamente esta expresión es la velocidad
instantánea en el eje x ( vM ) en t = T.
Ejemplo 3.4;
*( m ) 5 i — r ,
3
\ / 4 1 8 ¡ i
-2 \/ i a b —-4- c + d -H
Figura 3.2
Gráfica del ejemplo 3.4
4 2
En la gráfica anterior:
(a)Hallar la velocidad media en los intervalos
seña 1ados.
(b)Cuando es positiva, negativa o nula la
velocidad instantánea ?
(a)
Para el intervalo a:
= (O - ( 1 ) ) / (3 - O) = -(1/3) m/ s
Para el intervalo b:
VM), = (2 — O) / (2 — O) = 2 m/s
Para el intervalo c:
vM„ = (2 — 2) / (8 — 6) = O m/s
4 3
Para el intervalo d:
vM>, = ( —1 — ( —2 ) ) / ( 10— 8)= •i m/s
(b)
Atendiendo a los signos de las tangentes a la
curva, según ios rangos de la posición:
O < x < 2 , VM < O
En x = 2 , v = O
2 < x < 6 , v > 0
En x = 6 , v = O
6 < x < 8 , v = 0
8 < x <9 , v < O
En x = 9 , v = O
9 < x <10, v > O
4 4
x > 10 , v = O
3.3.3 ACELERACION MEDIA
De idéntica forma se puede hablar de aceleración
media durante cierto intervalo como el cambio de
la velocidad instántanea vM en ese lapso de
tiempo.
a,,,,- [v„<t + £t- v ,.t ( t ) ] / A t= A v H / A t Ec 3.10
Gráficamente, para un movimiento unidimensional:
v „
Figura 3.3
Aceleraciones media e instantánea
4 5
Ejempio 3.5
Una nave espacial parte desde el reposo con una
aceleración media de 10 m/s3.
(a) Cuánto demorará para alcanzar O.le?
(b) Que espacio recorrerá para alcanzar tal
ve 1oc idad?
a = A v/At =(0. Ix3xl0"m/s - 0 ) / A t = 10 m/iP
A t =( 3*10^m/s)/(lOm/s i
A t = 3*10*5.
(b) v„ = A t
A x = v„ A t = 1.5 * 10 7m/s*3xl0!' s
A, x = 4 . 5 * 10 1 3m
La velocidad media en x se supone ( 0 + 3xl0°)/2
= 1.5x10^
Al considerar el movimiento rectilíneo.
4 6
3.3.4 LA DERIVADA DE UNA FUNCION
La derivada de una función x = f(t) es una
función definida por :
Lím [f(t+At- f(t)] / A t = f'(t) = df/dt <!Vfc—>0
Ec 3.11
Para un punto t = T existe la derivada si :
L í ír¡ [ f \ t +¿St - f(t) ] / A t existe. >0
Para ello se requiere de la continuidad de la
función en t = T. La velocidad es la primera
derivada de la posición.
Ejemplo 3.6;
(a)
Si se tiene que x =
es su derivada ?
i ( t) = C = constante, cuál
4 7
Lím [ f ( t + A t - f(t)] / A t = f'(t) At->o
Lím [C - C] / A.t = O = f' ( t) = df/dt
At >0
(b)
Hallar la derivada de x = f(t) = t«
Lím C f ( t + A t - f(t)] / ¿\t = f'(t) a,t->o
Lím [(t + A t ) 2 - tz ] / ¿\t = f'(t) « 2t
>o
(C )
Hallar la derivada de x = f(t) = e* = EXP(t)
Lím [ f ( t + A t - f(t)] / A t = f'(t) >o
Lím [EXP( t+At)-EXP( t) ] / A t a*—>o
= EXP ( t) Lí m [EXP ( t) -1 ] / A t = EXP(t) ¿s*—>o
4 0
Algunas operaciones de la derivada
Si f y g son funciones de t, C es una constante
y EXP = e es la base de los logaritmos
natura 1 es:
dC/dt = O
dt/dt = i
d/dt(f + g) = df/dt + dg/dt
d/dt (f.g) = (df/dt)*g + f*(dg/dt)
d/dt f" = n f "_1df/dt
d/dt (f/g) = [g(df/dt) - f(dg/dt)]/g2
df/df = (df/dv)(dv/dt)
d / d U C * ) = (ln C) C v
d/dt(EXP(t)) = EXP(t)
4 9
d/dt(lnt) = 1/t
d/dt (logt) = (log e) /t
d/dt(Sent) = Cost
d/dt(Cost) = - Sent
3.3.5 SEGUNDA DERIVADA
La derivada de la primera derivada se denomina
segunda derivada. Su notación es :
dz f/d t2 = f"(t) = d/dt(df(t)/dt) = d/dt (f'(t))
Ec 3.12
3.3.6 ACELERACION INSTANTANEA
La aceleración instantánea a, en el instante t
en el que la velocidad instantánea vale v K es
5 0
también el límite de la aceleración media:
a„ — Lím a ,, = Lim Ayx/ A t = dvx/dt
=d~ x/dt"
Ec 3.13
Las unidades de aceleración (media o
instantánea) tienen por dimensión Lt - 3; para el
caso del sistema las unidades son m/s 3
E iemplo 3.6
Un cuerpo se mueve en línea recta de acuerdo a
la expresión x = (lm/s3) t 2 -(6m/s)t + 5m; x se
mide en metros y t en segundos.
(a) en cuales tiempos el cuerpo pasa por el
or ígen?
51
(b) halle la velocidad media en el intervalo de
t = 35 a t = 55s
(c) cual es la velocidad instantánea en t = 45s?
(d) en qué tiempo el cuerpo se halla quieto?
(e) en qué tiempo la aceleración instantánea es
igual a cero?
(f) señale los intervalos de tiempo en el que el
movimiento es acelerado y en el que es
retardado.
(a) x = O = lt" —6t + 5 >t , = + 5s
t-, = +1<;
( b) v M = A x / A t =( x « -x)t_3}/{5 - 3}
O —(-4)/2 m/s = 2m/s
(c) dx/dt = 2t - 6 —> ( d x / d t ^ . = 2 m/s
5 2
(d) dx/dt = 0 2t-6 = O
t = 6/2 = 3s
(e) d 3x/dt 2 = 2 m/s 3;es decir, no hay momento
para el que a sea cero la aceleración.
(f) si a>o el movimiento es siempre acelerado.
3.3.7 DERIVACION DE VECTORES
Se dice que un vector A es función de una
magnitud escalar t cuando a cada valor de t
corresponde un cierto vector A(t)
A = A (t)
La derivada del vector A(t) se define por:
dA/dt = Lim [A(t+ A(t)] / A t = A'(t)
5 3
Ec 3.14
Expresando a en función de su vector unitario
u«(t) :
A = A(t) u«(t)
La derivada del vector A puede entenderse como
dA/dt = dA/dt ü« + A d i W d t Ec 3.15
En coordenadas cartesianas los vectores
unitarios í = (1,0,0), j =» (0,1,0) y k =
(0,0,1) son constantes luego de haber escogido
el sistema coordenado o marco de referencia. Si
A está expresado en ése sistema coordenado, la
Ec 3.15 queda :
dA/dt = dA/dt ii« Ec 3.16.a
0 también,
dA/dt = (d/dt)(A „,A V,A J = <A'K,A' V,A' J
5 4
Ec 3.16.b
Propiedades de la derivación vectorial
d/dt(A + B) = dA/t +dB/dt
d/dt(fA) = (df/dt)A + f dA/dt
d/dt(A.B) = (dA/dt).B + A.(dB/dt)
d/dt(AxB) = dA/dt x B + A xdB/dt
3.4 LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACION.
DEFINICI O«» GENERAL -
, en dos o
de tipo
locidad y
En un movimiento de carácter mas general
tres dimensiones, cabe una definición
vectorial para los conceptos de ve
ace1erac ión.
Para aclarar
siguiente ,en
conceptos considérese la figura
donde se representa el movimiento de
5 5
una partícula en un plano, en dos instantes
diferentes: P en el instante tt , y Q en el instante
t = .
r± define la posición de la partícula en el instante
tx
r 3 define la posición de la partícula en el instante
t=
Figura 3.4
El movimiento de una partícula en el espacio
5 6
De acuerdo con la definición escalar la relación
entre el cambio de posición y el intervalo de tiempo
considerado permite el cálculo de la velocidad medias
v„ = - r./^t = A r / A t Ec 3.17
A r es el vector desplazamiento
De manera similar el vector velocidad instantánea se
define como
v = dr/dt Ec 3.18
Es decir, la derivada del vector posición respecto
del tiempo.
Ya que r es un vector igual a xi + yj +zk = (x,y,z)
, en coordenadas cartesianas, dr/dt se entiende como:
dr/dt = d/dt (xi+yj +zk) = d/dt(xi) + d/dt(yj) +
d/dt(zk)
=(dx/dt) i + <dy/dt)j +(dz/dt)k
pues di/dt = O = dj/dt =dk/dt
5 7
ya que i, j, y k no varían con el
tiempo.
dr/dt = v„ i + j + k = (vx , v v , vE ) = v Ec 3.19
La dirección de este vector es la dirección del
límite del vector /\r cuando A t - > O ; en la gráfica
esto sucede conforme Q se dirige hacia P. Esta
dirección es la misma de la tangente a la curva
recorrida por partícula en el espacio( trayectoria).
Su módulo se calcula como el de todo vector:
v I = v = (v,= + v v=+ v )'* Ec 3.20
La velocidad siempre podrá representarse como
v = v u-,. Ec 3.21
donde u t es el vector unitario tangente a la
El vector aceleración media se define como:
