r r E s E Q DAse d i − jks d - UPM 2010/gtd_ut… · •Se cumple el principio de Fermat. Grupo de Radiación. Dpto. SSR 56 UTD. DIFRACCIÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVES •Da

1

35

2.2.-- GTD Y UTDGTD Y UTD

•Incluye difracción (fenómeno local) por bordes, vértices o esquinas.

•Elimina las discontinuidades de los campos de GO en las zonas desombra y en sus fronteras.

•La dirección de los rayos difractados se obtiene aplicando el principio de Fermat generalizado. La fase es proporcional al camino óptico.

•Corrección de amplitud: Se basa en la conservación de la energía en un tubo de rayos. Las distancias de las caústicas dependen del punto de difracción, del tipo de onda incidente y de la geometría en Qd.

•Problema canónico (D) : incidencia sobre una cuña plana indefinida.

•La polarización correcta del campo difractado se obtiene a través de un diádico D.

•UTD corrige discontinuidades de GTD en ISB y RSB.

( )r rE s E Q D A s ed i

d

jks( ) ( )= −

Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR

36Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR

GTD Y UTD. GTD Y UTD. DIFRACCIDIFRACCIÓÓNN

•Arista recta indefinida

•Superficies planas

•Superficies curvas

•Arista curva

•Arista finita. Efecto del vértice

•Cuerpos con curvatura suave

•Difracción por pendiente

•Corrientes equivalentes

2

37

0β̂

φ̂

'φ̂

'0β̂


GTD. GTD. DIDIÁÁDICO D. CUDICO D. CUÑÑA DE A DE ÁÁNGULONGULO

•Solución de GTD. No repara en superficies curvas

[ ]α π= −2 n

( ) ( )D n

e sin n

n ksin

n n n n

s h

k

j

, , ' , ,cos cos

'cos cos

'φ φ βπ

π β π φ φ π φ φ

π

=−

−−

−

+

−4

02 2

1 1m


GTD. GTD. EJEMPLOEJEMPLO

DISPERSIÓN POR CUÑA . ONDA PLANA TM

•Campo incidente:

•Campo reflejado:

•Campo difractado:

•Fronteras de sombra:

•Campo total:

( ) ( )E s Cez

i jks, cos 'φ φ φ= −

( ) ( )E s Cez

r jks, cos 'φ φ φ= − +

( ) ( )E s E Q D ne

sz

d

z

i

d s

k

jks

, , ' ( ) , ' , ,φ φ φ φ π=−

2

φ π φISB = + ' φ π φRSB = − '

E

E E E gion I

E E gion II

E gion III

z

t

z

i

z

r

z

d

z

i

z

d

z

d

=

+ + ≤ < −

+ − < < +

+ < ≤ −

0

2

φ π φπ φ φ π φπ φ φ π α

' Re

' ' Re

' Re

3

39

GTD. GTD. EJEMPLOEJEMPLO

•Resultados:

Coeficientes de difracción de Keller a 10 GHz para una cuña. Incidencia con onda plana (φ’=55º, α=40º)

Campo dispersado por una cuña. Incidencia con onda plana (φ’=55º, α=40º, f=3Hz,s=1m, polarización soft) . Nivel de campo incidente 0 dB.


ØISB=235º

ØRSB=125º

40

UTD. UTD. MEJORAS A GTD. LOCALIZACIMEJORAS A GTD. LOCALIZACIÓÓN DE LA FUENTEN DE LA FUENTE

•Evita las cáusticas de GTD en las fronteras de sombra.

•Acota el campo en la frontera, mult. D por una función de transición.

•Falla si el campo incidente no es un campo de rayo óptico y si la difracción no es un fenómeno local.

•Fronteras de sombra: Cara 0: Cara n:

•Cara n en la sombra:

•Cara 0 en la sombra:

φ = 0 φ π= n

( )0 1≤ ≤ −

≤ = + ≤

φ ππ φ π φ π

'

'

n

nISB

( )

−≤+−=≤

≤≤

πφπφπφπ

1'0

'

n

n

ISB


4


UTD. UTD. REFLEXIREFLEXIÓÓNN.

•Reflexión de la cara n:

•Reflexión de la cara 0:0

0

≤ ≤

≤ = − ≤

φ πφ π φ π'

'RSB

( )( ) ( )n n

n n nRSB

− ≤ ≤

− ≤ = − − ≤

1

1 2 1

π φ π

π φ π φ π

'

'


UTD 2D. UTD 2D. DIDIÁÁDICO D. CUDICO D. CUÑÑA DE A DE ÁÁNGULONGULO

• Sirven para cuñas con superficies curvas.

•Campo difractado en 2D:

•Coeficiente de difracción:

[ ]α π= −2 n

( ) ( )E s E Q De

sz

d

z

i

d s

jks

=−

( ) ( )D L L L n D D R D Ds h

i ro rn

s h, ,, , , , ',φ φ = + + +1 2 3 4

( ) ( )[ ]De

n k nF k L a

j

i

1

4

2 2 2=

− + −

−

−

+

π

ππ φ φ

φ φc o t'

'

( ) ( )[ ]De

n k nF k L a

j

i

2

4

2 2 2=

− − −

−−

−

π

π

π φ φφ φc o t

''

( ) ( )[ ]De

n k nF k L a

j

r n

3

4

2 2 2=

− + +

+−

+

π

π

π φ φφ φc o t

''

( ) ( )[ ]De

n k nF k L a

j

r o

4

4

2 2 2=

− − +

+−

−

π

π

π φ φφ φc o t

''

5

43

UTD 2D. UTD 2D. DIDIÁÁDICO D. CUDICO D. CUÑÑA DE A DE ÁÁNGULONGULO

•Distancias cáusticas:

•Funciones:

•Función F:

Ls s

s si =

+'

'L

s

sr

r

r

00

0=+

ρρ

1 1 2

0 0ρ θro n

n ns a,, ,' cos

= −

a±

( )

−=

±±±±

2

2cos2 2 βπ

βNn

a

2n Nπ β π+ ±− =

2n Nπ β π− ±− = −

Ls

s

rn

rn

rn=+

ρρ

β φ φ± = ± '

[ ]α π= −2 n



UTD. UTD. CONTINUIDAD EN LAS FRONTERAS DE SOMBRACONTINUIDAD EN LAS FRONTERAS DE SOMBRA

•Continuidad en ISB. Se estudian los campos en un sector alrededor de ISB

•Nos fijamos en D1, que fuerza la continuidad en ISB (cara n iluminada).

•El resto de los coeficientes son finitos y continuos en ISB

•Se evalúa D1, en un entorno de ISB ( )φ φ π ε− = − +'

( )cot

'cot

π φ φ εε

ε+ −

=

−

≈−

→2 2

20

n n

n

( )a + − =+

≈β

π ε ε2

2 22

2

cos

N + = 0( )β φ φ π ε− = − = − +'

[ ]F kL a F kLk ss

s sei i j+ =

≈

+

ε πε

π2

4

2 2

'

'

Dss

s slim10 2ε

εε→

=+

'

'

6


UTD. UTD. CONTINUIDAD EN LAS FRONTERAS DE SOMBRACONTINUIDAD EN LAS FRONTERAS DE SOMBRA

•Evaluamos la parte discontinua del campo difractado:

•El campo incidente en ISB es:

•El campo difractado es:

•El campo total será:

( )

U Ce

s sUd

jk s s

cd=+

+− +ε

ε2

'

'( )

( )

( )U

Ce

s si

lim

jk s s

ε

ε

ε→

− +

= +<

>

0

0

0 0

'

'

( )

( )U

UU

UU

d

i

cd

i

cd

=

−+ <

+ >

20

20

ε

ε

( )

( )U

UU

U

UU

t

i

i

cd

i

cd

=+−

+ <

+ >

20

20

ε

ε


GTD Y UTD. GTD Y UTD. COMPARACICOMPARACIÓÓNN

•Onda plana incidente en un semiplano conductor

7


UTD. UTD. DIFRACCIDIFRACCIÓÓN POR PENDIENTE 2DN POR PENDIENTE 2D

•Tiene en cuenta los términos de difracción de orden superior, proporcional a la derivada del campo incidente en Qd.

•El campo difractado será:

•El campo difractado total será:

( )U sjk

D U

n

e

s

d s h

Q

jk s

d

=−1 ∂

∂φ∂∂

,

'

( )U U Q Djk

D U

n

e

s

d i

d s h

s hi

Q

jks

d

= +

−

,

,

'

1 ∂∂φ

∂∂


UTD. UTD. DIFRACCIDIFRACCIÓÓN POR CUN POR CUÑÑA. 3DA. 3D

•El ángulo de incidencia en el borde es β0.

•Debe usarse D como diádico

•Se emplea un sistema de coordenadas asociado al borde

•El campo difractado es:

( )( ) ( )

E

E

D

D

E Q

E Q s seo

d

d

s

h

i

d

i

d

jksβ

φ

β

φ

ρρ

=−

−

+

−0

00'

'

( ) ( )D L L L n D D D Ds h

i ro rn

, , , , , ',φ φ = + +1 2 3 4m

Dsin

Dj

D

j

D3

0

21=

β

8


UTD. UTD. DIFRACCIDIFRACCIÓÓN POR CUN POR CUÑÑA. 3DA. 3D

•Longitudes y distancias cáusticas:

( )( )( )Ls s

s ss ini e

i i i

e

i i i=

+

+ +

ρ ρ ρ

ρ ρ ρβ1 2

1 2

20

( )( )1 1 2 0 0

20

ρ ρ βe

ro n

e

i

e n n

e

n n s n

a sin,

, ,$ $ $' $= −

⋅ ⋅

( )( )( )L

s s

s ssinro n e

r n r n r n

e

r n r n r n

,, , ,

, , ,=

+

+ +

ρ ρ ρ

ρ ρ ρβ

010

20

010

20

20

1 1 2

1 1 1ρ ρ θr i ia= +

cos 222

cos211

a

i

ir

θρρ

+=

( )1 12

0ρ ρ β

= −−

e

i

e

e

n s s

a sin

$ $' $


UTD. UTD. DIFRACCIDIFRACCIÓÓN POR VN POR VÉÉRTICERTICE

•La finitud de las cuñas genera una discontinuidad de campo en los vértices, que actúan como una DSB.

•UTD corrige estas discontinuidades aplicando difracción en vértices y corrientes equivalentes.

•Campo difractado (incidencia esférica, 1 vértice, 1 borde):

( )[ ]s

eakLF

YM

ZI

E

E jks

ccc

cc

cc

c

c

πββπ

ββββ

φ

β

4coscos

sinsin0

0

00

−

−+−

∗

∗=

( )( )

( )( )

4

'

8'0

π

φ

β π j

eh

es

c

i

c

i

ekZQC

YQC

QE

QE

M

I −

∗

∗

=

Ls s

s ssin=

+' ' '

' ' '20β L

s

sc = +ρ

ρ

9


UTD. UTD. DIFRACCIDIFRACCIÓÓN POR VN POR VÉÉRTICERTICE

•La expresión anterior se aplica por cada par lado-vértice

•Extensión (n≠2):


UTD. UTD. CORRIENTES EQUIVALENTESCORRIENTES EQUIVALENTES

•No son corrientes físicas.

•Permiten calcular el Ed por un borde finito, fuera del cono.

•Se calcula Ed (UTD) para borde infinito y se iguala al campo creado por una corriente, que va según el borde, de valor desconocido. Se integra según el borde infinito y se obtiene la corriente equivalente.

•Para calcular Ed por borde finito, se integra la corriente anterior a lo largo de la longitud del borde.

•Se elimina así la cáustica causada por el factor de dispersión.

•Cálculo de Ie

•Campo incidente plano:

•Corriente en el borde:

( )rE z E e ei jkz i' $

'cos '= − β0

( )rI z I e ee e jkz' $

'cos '= − β0

10


UTD. UTD. CORRIENTES EQUIVALENTESCORRIENTES EQUIVALENTES

•Potencial vector magnético debido a Ie:

•Campo lejano dispersado debido a Az:

•Campo lejano por UTD:

•Igualando se obtiene Ie:

•Este método es una alternativa a la difracción por borde y esquina.

( ) ( )r r rA r I z

e

sdze

jks

=−

−∞

∞

∫ ' '4π

( )( )

A rI z e

k sine

e

sz

e

s

j

jkz

jks

sr

≈

−

−−'

' cos

π

β

π β

4

080

E jkZsin Azβ β0 0=

0'

00

cos'

βββ

sjkzjks

s

i es

eDEE

−−

−=

( ) ( ) ( ) ( )Ie e

ZsinE

ke D

e

i

i j

sζβ

ζπ

ζπ

= −⋅ −$ $

0

48


GTD. GTD. DIFRACCIDIFRACCIÓÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVESN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVES

•Creeping waves (difracción por superficies curvas)

•Problema canónico: fuente lineal + cilindro

•La solución incluye 2 términos: rayos difractados por superficie.

•Válida lejos de la frontera de sombra de rayos de superficie SSB.

•Los rayos son solidarios a la superficie,

hasta Q1 y Q2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2211

1

22

1

21 '' t

N

n

n

jkt

d

jksit

N

n

n

jkt

d

jksid n

d

n

d

eDes

eQUeDe

s

eQUPU

αα −

=

−−

−

=

−−

∑∑ +≈

y

11


GTD. GTD. DIFRACCIDIFRACCIÓÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVESN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVES

•Creeping waves (difracción por superficies curvas)

•Extensión a geometrías generales tratando el problema como local y empleando como radio del cilindro equivalente el de la curva en el punto en cuestión.

•El camino recorrido a lo largo de la superficie curva se obtieneintegrando.

•Se cumple el principio de Fermat.


UTD. UTD. DIFRACCIDIFRACCIÓÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVESN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVES

•Da continuidad al campo de GTD en las fronteras de sombra SSB.

•Es válida en las regiones de transición.

•Soluciona problemas no contemplados en GTD.

•Divide el estudio en dispersión, radiación y acoplamiento, según la posición de la fuente y el punto de observación.

12



DISPERSIÓN

•Solución en la zona iluminada

•Solución en la zona de sombra

( ) ( )U P U Q Rser

l

i

r s h

r

r

jksr=+

−,

ρρ

( ) ( )U P U Q Te

s

d

d

i

s h

jks

d

d

=−

' ,

( ) ( )U P U Pt

d

d

d=

Cilindro a=λ b=2λ

Incluye Ud en zona iluminada

( ) ( ) ( )U P U P U Pt

l

i

l

r

l= +

NO incluye Ud en zona iluminada



RADIACIÓN

•Observación en la zona iluminada

•Observación en la zona de sombra

( ) ( ) ( )E P C ZJ Q H sine

s

l

l

n l

l

l

jks

l

l

=−

0 ' ξ θ

( ) ( ) ( ) ( )( )E P C ZJ Q Ha Q

a Qe

e

sn

d

d

n l

c

jkt

jks

d

d

=

−−

00

0

16

''

ξ

13



ACOPLAMIENTO

•Campo debido a una corrientes eléctrica

( ) ( ) ( )E Q C ZJ Q F en

n

s c

jkt= −0 ' ξ


UTD. UTD. EJEMPLOSEJEMPLOS

Campo cercano. Monopolo eléctrico sobre cilindro circular:

( )$ ' cos ' $ ' $n Q x sin y= +φ φ

( )$ ' ' $ cos ' $t Q sin x yl = −φ φ

( ) ( )x y a asin' , ' cos ' , '= φ φ

( ) ( )x y s ssin0 0, cos ,= φ φ

( ) ( )$

' $ ' $s

x x x y y y

sl

l=− + −0 0

( )( )θ l l lsin s t Q= ⋅−1$ $ '

•Geometría:

( ) ( )$

' $ ' $n

y y x x x y

s

l

l=− − + −0 0

•Zona iluminada:

− ≤ ≤π

θπ

2 2l

•Campo directo:

mka

=

2

1 3

ξ θl lka

= −

2

1 3

cos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rE s

y y

sE s x

x x

sE s yl

l n

l

l n

l,'

, $'

, $φ φ φ=−−

+−0 0

( ) ( ) ( )E s CZJ Q H sine

sn

l

n

l l l

jks

l

l

, 'φ ξ θ=−

0

14


•Campo difractado en superficie:


$ $b z1 =$ $b z2 = −

s s a sd d

12 2

2= − =

( )tans

a

d

φ φ11− =

( )( )tans

a

d

φ π φ+ − =2 22

( )t a1 12= − +π φ φ '

( )t a2 22= + −π φ φ '

ξck

a t1

1 3

2 312

=

−

ξck

a t2

1 3

2 322

=

−

( )( )

a Q

a Q

0

0

1 6

1'

=

( )$ cos $ $n Q x sin y1 1 1= +φ φ

( )$ cos $ $n Q x sin y2 2 2= +φ φ

( ) ( ) ( )rE s E s x E s sin yd

n

d

n

d

1 1 1 1 1, , cos $ , $φ φ φ φ φ= +

( ) ( ) ( )rE s E s x E s sin yd

n

d

n

d

2 2 2 2 2, , cos $ , $φ φ φ φ φ= +

( ) ( ) ( )E s CZJ Q H ee

sn

d

n

l

c

jkt

jks

d

d

1 0 11

1

1

, 'φ ξ= −−

( ) ( ) ( )E s C ZJ Q H ee

sn

d

n

l

c

jkt

jks

d

d

2 0 12

2

2

, 'φ ξ= −−


•Campo total:


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

rr r r

r rE sE s E s E s

E s E s resto

t

l d d l

d d

,, , ,

, ,φ

φ φ φπ

θπ

φ φ=

+ + − ≤ ≤

+

1 2

1 2

2 2

15



Monopolo eléctrico sobre disco circular. Campo lejano

•Campo monopolo

•Geometría

Punto QPunto Q:

Punto PPunto P:

( )rE sin

e

rm

jkr

θ θ θ=−

$

$ $n z0 =$ $e y=$' $s x=

$ $ cos $s sin x z= +θ θ

$ ' $ $φ θ= = −z

$ $'β0 = y

$ $ cos $ $φ θ θ θ= − + =sin z x

$ $β0 = − y $ $n xe =

$ ' $φ θ=$ $'β0 = y

$ $φ θ= −$ $β0 = − x

$ $n ye = −

$ $n z0 = −$ $e y= −$ ' $s x= −

$ $ cos $s sin x z= +θ θ


•Campo incidente en Q:

•Campo difractado desde Q:


( )rE Q

e

a

i

jka

= −−

$ 'φ

( ) ( )rE

e

a

D

s seQ

d

jka

h jksθρρ

φ=+

−−

2$

s r asin= − θ ρθ

=a

sin

( )( )r

Ee

asin

D e

rQ

d

jka sin

h

jkr

θθ

θθ

=− − −1

2$( )D L L L nh

i ro rn, , , , ' , ,φ φ β0

βπ

0 2= n=2

$ $ $n e xo × = −

− =$ $'s xt

$ $t x0 = −

− ⋅ =

− ⋅ =

$ $

$ $

'

'

s n

s t

t

t

0

0

0

1

[ ] ( )

φ

φ π π θ θ

φπ

θ θ π

' cos( )

cos( ) cos

= =

= − − −

= + ≤ ≤

a

a sin sign

1 0

20

L ai =

L aron, =

16


•Campo incidente en P:

•Campo difractado desde Q:


( )rE P

e

a

i

jka

=−

$ 'φ

( )( )

rE

e

a

D

s seP

d

jka

h jksθρρ

φ= −+

−−

2$

s r asin= + θ ρθ

= −a

sin

( )( )r

E je

asin

D e

rQ

d

jka s in

h

jkr

θθ

θθ

= −− + −1

2$( )D L L L nh

i ro rn, , , , ' , ,φ φ β0

βπ

0 2= n=2

$ $ $n e xo × = −

− =$ $'s xt

$ $t x0 = −

− ⋅ =

− ⋅ =

$ $

$ $

'

'

s n

s t

t

t

0

0

0

1

[ ] ( )

φ

φ π π θ θ

φπ

θ θπ

φπ

θπ

θ π

' cos( )

cos( ) cos

= =

= − − −

= − ≤ ≤

= − ≤ ≤

a

a sin sign

1 0

20

25

2 2

L ai = L aron, =


•Campo total:


r

r r r r

r r rEE E E E

E E E

t

m

P

d

Q

d

PQ

d

d d

PQ

d

=+ + + ≤ ≤

+ + ≤ ≤

02

21 2

θπ

πθ π

Documents

r r E s E Q DAse d i − jks d - UPM 2010/gtd_ut… · •Se cumple el principio de Fermat. Grupo de Radiación. Dpto. SSR 56 UTD. DIFRACCIÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVES •Da