Raíces de ecuaciones no lineales - Métodos Numéricos › uploads › 2 › 5 › 9 › 7 › 2… · Determinacion de´ c para el modelo del paracaidista Determinacion gr´ aﬁca

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Raıces de ecuaciones no lineales

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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MOTIVACION GRAFICO BISECCION FALSA POSICION Comparaciones Problemas

TOPICOS1 MOTIVACION

Raıces de la ecuacion de segundo gradoModelo del paracaidistaMetodos cerrados

2 GRAFICODeterminacion de c para el modelo del paracaidista

3 BISECCIONAlgoritmo del metodo de biseccionMetodo de biseccion: Programa MATLAB

4 FALSA POSICIONAlgoritmo del metodo de la falsa posicionMetodo de la falsa posicion: Programa MATLAB

5 Comparaciones6 Problemas

Problema 1Problema 2

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Topicos1 MOTIVACION







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Raıces de la ecuacion de segundo grado

Ecuacion

f (x) = a x2 + b x+ c = 0

Esta ecuacion tiene solucion exacta.

Solucion

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2a

x2 =−b−

√b2 − 4ac

2a

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Ecuacion

f (x) = a x2 + b x+ c = 0


Solucion

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2a

x2 =−b−

√b2 − 4ac

2a

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Ecuacion

f (x) = a x2 + b x+ c = 0


Solucion

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2a

x2 =−b−

√b2 − 4ac

2a

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Modelo del paracaidista

Velocidad del paracaidista

v (t) =gm

c

(1− e−

cmt)

Con esta funcion se puede encontrar la velocidad delparacaidista en cualquier instante de tiempo t.

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Determinacion del coeficiente de arrastre (c)

Supongamos que queremos determinar el coeficiente dearrastre de un paracaidista de masa m para que alcance unavelocidad v en un tiempo t.Problema: Calcular los ceros de la funcion:

f(c) =gm

c

(1− e−

cmt)− v

Es una ecuacion no linealNo se puede encontrar la solucion exacta (ceros de lafuncion)Hay que encontrar la solucion numericamente

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f(c) =gm

c

(1− e−

cmt)− v


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f(c) =gm

c

(1− e−

cmt)− v


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f(c) =gm

c

(1− e−

cmt)− v


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f(c) =gm

c

(1− e−

cmt)− v


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Metodos cerrados

¿Que son los metodos cerrados?Los metodos cerrados necesitan que la raız de la funcioneste encerrada dentro de dos valores dados,Que la funcion tenga un cambio de signo.

¿Que metodos cerrados estudiaremos?Metodos graficos,Metodo de biseccion,Metodo de la falsa posicion

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Metodos cerrados



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Metodos cerrados



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Metodos cerrados



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Metodos cerrados



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Metodos cerrados



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Metodos cerrados



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Topicos1 MOTIVACION







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Determinacion de c para el modelo del paracaidista

Determinacion grafica del coeficiente de arrastre (c)

Problema: Use el metodo grafico para determinar elcoeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista demasa m = 68.1 kg tenga una velocidad de v = 40m/s en eltiempo de caida libre t = 10 sSolucion: Evaluando los datos en la funcion tenemos:

f (c) =667.38

c

(1− e−0.146843c

)− 40 = 0

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Determinacion grafica del coeficiente de arrastre (c)

Problema: Use el metodo grafico para determinar elcoeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista demasa m = 68.1 kg tenga una velocidad de v = 40m/s en eltiempo de caida libre t = 10 sSolucion: Evaluando los datos en la funcion tenemos:

f (c) =667.38

c

(1− e−0.146843c

)− 40 = 0

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Function MATLAB

function cc = f(c)

cc = (667.38 ∗ (1− exp(−0.146843 ∗ c)))./c− 40;

end

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M-File MATLAB

clear

clc

c = [4 : 2 : 20];

fc = f(c);

Salida = [c′ fc′]

plot(c, fc)

title(′Determinacion de c′)

xlabel(′c′)

ylabel(′f(c)′)

grid

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Salida MATLAB

c f(c)4.0000 34.11496.0000 25.14258.0000 17.653510.0000 11.369112.0000 6.066914.0000 1.568716.0000 −2.268818.0000 −5.560820.0000 −8.4006

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Grafica MATLAB

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Grafica MATLAB

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Grafica MATLAB

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Grafica MATLAB

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Grafica MATLAB

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Grafica MATLAB

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Topicos1 MOTIVACION







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Algoritmo del metodo de biseccion

Algoritmo

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Algoritmo1 Elija un valor inicial inferior xi,2 Elija un valor inicial superior xs,3 Calcular el valor medio xm = xi+xs

2 ⇒ raız aproximada,4 Evaluar para determinar en que subintervalo esta la raız,

Si f(xi) ∗ f(xm) < 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo izquierdo. Por tanto, xs = xm y vuelva al paso3,Si f(xi) ∗ f(xm) > 0, entonces la raız se encuentra en elsubintervalo derecho. Por tanto, xi = xm y vuelva al paso 3,Si f(xi) ∗ f(xm) = 0, entonces la raız es igual a xm ytermina el calculo.

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Metodo de biseccion: Programa MATLAB

Programa MATLAB

function r a i z =b isecc ionv1 ( f , x i , xs , t o l e r a n c i a )% bisecc ionv1 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% f : Entrada de l a func ion anonima% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadoi f f ( x i )∗ f ( xs )<0

xm= x i ;while abs ( f (xm) )>t o l e r a n c i a

xm=( x i +xs ) / 2 ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0

xs=xm;e l s e i f f ( x i )∗ f (xm)>0

x i =xm;else

r a i z =xm;end

endr a i z =xm;

elser a i z = ’No hay cambio de signo ’ ;

end

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Metodo de biseccion: Programa MATLAB

Programa MATLAB

>> bisecc ionv1 (@( x ) x ˆ2−2 ,1 ,2 ,0.001)ans =

1.4141

>> bisecc ionv1 (@( x ) x ˆ2−4 ,1 ,2 ,0.001)ans =No hay cambio de signo

>> bisecc ionv1 (@( x ) x ˆ2−4 ,1 ,3 ,0.001)ans =

2

>> bisecc ionv1 (@( x ) 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) ) −40 ,14 ,15 ,0.001)ans =

14.7803

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Topicos1 MOTIVACION







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Algoritmo del metodo de la falsa posicion

Algoritmo

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Algoritmo del metodo de la falsa posicion

AlgoritmoUsando los triangulos semejantes de la figura tenemos:

f(xi)

xm − xi=

f(xs)

xm − xs

Despejando xm

xm = xs −f(xs)(xi − xs)

f(xi)− f(xs)

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Metodo de la falsa posicion: Programa MATLAB

Programa MATLAB

function r a i z = fa l sapos i c i onv1 ( f , x i , xs , t o l e r a n c i a )% fa l sapos i c i onv1 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a ı z% f : Entrada de l a func ion anonima% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadoi f f ( x i )∗ f ( xs )<0


xm=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0


x i =xm;else

r a i z =xm;end

endr a i z =xm;


end

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Metodo de la falsa posicion: Programa MATLAB

Programa MATLAB

>> f a l sapos i c i onv1 (@( x ) x ˆ2−2 ,1 ,2 ,0.001)ans =

1.4141

>> f a l sapos i c i onv1 (@( x ) x ˆ2−4 ,1 ,2 ,0.001)ans =No hay cambio de signo

>> f a l sapos i c i onv1 (@( x ) x ˆ2−4 ,1 ,3 ,0.001)ans =

1.9999

>> f a l sapos i c i onv1 (@( x ) 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) ) −40 ,14 ,15 ,0.001)ans =

14.7804

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Topicos1 MOTIVACION







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Programa MATLAB

function [ r a i z , i t e r a c i o n ]= b isecc ionv2 ( f , x i , xs , t o l e r a n c i a )% bisecc ionv2 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% f : Entrada de l a func ion anonima% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadoi t e r a c i o n =0;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0


i t e r a c i o n = i t e r a c i o n +1;xm=( x i +xs ) / 2 ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0


x i =xm;else

r a i z =xm;end

endr a i z =xm;


end

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Programa MATLAB

function [ r a i z , i t e r a c i o n ]= fa l sapos i c i onv2 ( f , x i , xs , t o l e r a n c i a )% fa l sapos i c i onv2 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% f : Entrada de l a func ion anonima% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r% xs : Valor i n i c i a l supe r io r% t o l e r a n c i a : Menor va l o r f (xm) estimadoi t e r a c i o n =0;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0


i t e r a c i o n = i t e r a c i o n +1;xm=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;i f f ( x i )∗ f (xm)<0


x i =xm;else

r a i z =xm;end

endr a i z =xm;


end

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Programa MATLAB

>> [ r a i z , i t e r ]= b isecc ionv2 (@( x ) 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) ) −40 ,14 ,15 ,0.001)r a i z =

14.7803i t e r =

10

>> [ r a i z , i t e r ]= fa l sapos i c i onv2 (@( x ) 667.38/ x∗(1−exp(−0.146843∗x ) ) −40 ,14 ,15 ,0.001)r a i z =

14.7804i t e r =

2

>> [ r a i z , i t e r ]= b isecc ionv2 (@( x ) x ˆ10−1 ,0 ,1.3 ,0.001)r a i z =

1.0001i t e r =

12

>> [ r a i z , i t e r ]= fa l sapos i c i onv2 (@( x ) x ˆ10−1 ,0 ,1.3 ,0.001)r a i z =

0.9999i t e r =

44

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Funcion x10 − 1

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Programa MATLAB

function bisecc ionv3 ( f , x i , xs ,EE)% bisecc ionv3 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% f : Entrada de l a func ion anonima% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r , xs : Valor i n i c i a l supe r io r% EE: Er ro r estimado , IM : numero de i t e r a c i o nIM=1;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0

xm( IM ) = x i ; xm( IM+1) =( x i +xs ) / 2 ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100; %Erro r aproximadowhile EA( IM+1)>EE

i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )<0xs=xm( IM+1) ;

e l s e i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )>0x i =xm( IM+1) ;

endIM=IM+1; xm( IM+1) =( x i +xs ) / 2 ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100; %Erro r aproximado

endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[xm( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ EA( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz Er ro r Apro ’ )disp ( Sal ida2 )

elser a i z = ’No hay cambio de signo ’

end

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Programa MATLAB

function f a l sapos i c i onv3 ( f , x i , xs ,EE)% fa l sapos i c i onv3 : Nombre de l a func ion% r a i z : Valor de l a r a i z% f : Entrada de l a func ion anonima% x i : Valor i n i c i a l i n f e r i o r , xs : Valor i n i c i a l supe r io r% EE: Er ro r estimado , IM : numero de i t e r a c i o nIM=1;i f f ( x i )∗ f ( xs )<0

xm( IM ) = x i ; xm( IM+1)=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100; %Erro r aproximadowhile EA( IM+1)>EE

i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )<0xs=xm( IM+1) ;

e l s e i f f ( x i )∗ f (xm( IM+1) )>0x i =xm( IM+1) ;

endIM=IM+1; xm( IM+1)=xs−( f ( xs ) ∗( x i−xs ) ) / ( f ( x i )−f ( xs ) ) ;EA( IM+1)=abs ( ( xm( IM+1)−xm( IM ) ) /xm( IM+1) ) ∗100; %Erro r aproximado

endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[xm( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ EA( 2 : size (xm, 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz Er ro r Apro ’ )disp ( Sal ida2 )

elser a i z = ’No hay cambio de signo ’

end

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Topicos1 MOTIVACION







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Problema 1

ProblemaDetermine las raıces reales def(x) = 4x3 − 6x2 + 7x− 2.3:

a-) Graficamente.b-) Utilizando el metodo de biseccion para localizar la

raız mas pequena. Use los valor es iniciales xi = 0y xs = 1 iterando hasta que el error aproximado εasea menor que el error estimado εs = 10%.

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Problema 2

ProblemaDetermine las raıces reales def(x) = −26 + 85x− 91x2 + 44x3 − 8x4 + x5:

a-) Graficamente.b-) Utilizando el metodo de biseccion para localizar la

raız mas grande con εs = 10%. Utilice comovalores iniciales xi = 0.5 y xs = 1.0.

c-) Realice el mismo calculo que en b); pero con elmetodo de la falsa posicion y εs = 0.2%

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