Racionales Carla FINAL

CFE- Área Magisterial - Matemática II- Sala de Matemática 2014

Prof. Carla Damisa 1

Conjunto de los números Racionales

Recorrido del trabajo Eje conductor: Problemas que resuelven los números racionales que los otros conjuntos

numéricos no.

• Un poco de historia…

• Caracterizaciones que permitan diferenciarlos de los Naturales, los Enteros y los

Irracionales:

� Diferentes representaciones

� Densidad

� Operaciones posibles y sus propiedades

• Análisis de los algoritmos convencionales y sus relaciones con el SND y las

propiedades de dichas operaciones. Relaciones entre las operaciones.

• Problemas que resuelven los números Racionales. Relaciones con otros contendidos.

Un poco de historia… Según Morris Kline1, “La matemática, entendida como disciplina racional bien organizada e

independiente, no existía antes de que entraran en escena los griegos de la época clásica,

que va más o menos del 600 al 300 a. C.” Sin embargo los babilónicos y los egipcios alrededor del 3000 a. C hicieron progresos importantes en matemática. Estos progresos se registran en tablillas que datan de dos períodos, del 2000 a.C y otras en el período que va desde el 600 a.C y 300 d.C. Los babilónicos escribían los números naturales con escritura cuneiforme. En la siguiente imagen mostramos algunas escrituras de números babilónicos: Los babilónicos usaban algunas fracciones especiales combinando los signos usados para la escritura de los Naturales. Las fracciones ½, 1/3, 2/3, eran para los babilónicos totalidades,

1 Kline, M- (1994) El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Tomo I. Alianza Editorial. Madrid.



según plantea Kline (op. cit. p: 22), es el sentido de medidas de cantidades y no como se conciben actualmente como cociente de enteros, aunque obviamente, también los seguimos utilizando como medida de cantidades, por ejemplo “la décima parte de…”. Civilizaciones como la egipcia (2000 a. C.), empezaron a utilizar expresiones que representaban las fracciones, apareciendo así las escrituras fraccionarias, con el 1 como numerador. Utilizaban símbolos del ojo del dios Horus para representar algunas y otras las iban combinando. A modo de ejemplo presentamos las siguientes imágenes:

El óvalo sobre los tres palitos del 1/3 indicaba que el numerador era el 1, por eso aparece en todas las fracciones. Tenían símbolos especiales para la fracción ½, 2/3 y ¼. El resto de las fracciones se descomponían en fracciones “unitarias”, es decir con numerador 1. Esta escritura no era cómoda para operar con ella, quizás ese sea un posible motivo de porqué no siguieron profundizando en aritmética ni pudieron progresar en álgebra. Tanto los babilónicos como los egipcios no llegaron a reconocer los números irracionales como tales. Las raíces cuadradas sencillas que aparecían en algunos problemas aritméticos o algebraicos las expresaban como enteros junto con algunas fracciones logrando así alguna aproximación al número que resolvía el problema. Esa aproximación era suficiente para la resolución de los problemas de medidas. Se reconoce que los pitagóricos son los primeros en considerar que la matemática trabaja con objetos abstractos. Aunque representaban los números usando poligonales, los consideraban como elementos esenciales, como los componentes últimos de los objetos materiales. Para los pitagóricos los números eran solamente los enteros y una razón entre dos números no era una fracción. Por lo tanto las fracciones utilizadas para expresar “partes de unidades” estaban fuera del marco de estudio de la matemática griega. Se usaban en el comercio pero no en el estudio de la matemática. Los griegos llamaron razones conmensurables a las que se podían expresar por medio de números enteros. Esto significa que las dos cantidades están expresadas con la misma unidad. Pero encontraron otras razones que no podían expresarse con la misma unidad a las

que llamaron inconmensurables. Por ejemplo √�

� sería una razón inconmensurable. Pudieron

demostrar que √2 no se puede expresar por una razón con cuyos componentes son números enteros. Procedía por reducción al absurdo, (lo veremos más adelante). Estos números son los que hoy llamamos números Irracionales.



Características del conjunto de los números Racionales…

Podríamos preguntarnos si ya existe el conjunto de los números Naturales y el de los Enteros ¿para qué precisamos otro conjunto numérico?, ¿qué agregan a la matemática?, ¿qué problemas resuelven? Con los Naturales podemos operar2 con la adición y la multiplicación sin problemas. Con la “creación” de los Enteros pudimos resolver los problemas de la sustracción en el conjunto de los números Naturales evitando la restricción3 que debíamos establecer para realizar las “restas” sin problemas. Ahora bien, ¿qué pueden solucionar los números Racionales en relación a las operaciones aritméticas elementales? Hemos solucionado algunos problemas pero ¿qué sucede con la división? ¿Siempre es posible dividir dos números Enteros, con el divisor diferente de 0? Usemos algunos ejemplos: ¿Qué sucede con la división 10 por 5? Encontramos el número 2 ∈ Z tal que 2 x 5 = 10 siendo 10 y 5 dos números enteros también. Es decir que pudimos encontrar un entero que multiplicado por el divisor obtenemos el dividendo y todos pertenecen al mismo conjunto numérico. ¿Qué sucede con la división 11 por 5? No existe un número Entero que multiplicado por 5 de cómo resultado 11. ¡Estamos en problemas!

Con los números Racionales esta situación tiene solución. Es decir que 11 : 5 = ��

� ; porque

��

�

x 5 =11

donde los tres números intervinientes (11, 5 , ��

� ) son todos números Racionales.

La pregunta sería entonces ¿a qué le estamos llamando números Racionales?

Definición: llamaremos números Racionales a todos aquellos que se puedan representar

como una fracción.

Definición: llamaremos fracción a un cociente4 de números enteros.

2 Al hablar de operar nos referimos a la idea de operación binaria, en particular aritmética. Llamaremos operación, en ese marco, a una

función de AxA en A. 3 El minuendo debe ser mayor o igual que el sustraendo para poder considerar a la sustracción como una operación en el conjunto de los números Naturales. 4 Al hablar de cociente damos por hecho que existe, por lo tanto la división es posible y entonces el divisor es diferente de 0.



¿La expresión �,

es una fracción?

Para que esa expresión sea una fracción tanto el numerador como el denominador deben pertenecer al conjunto de los enteros, por la definición

anterior.

En este caso 2,1 ∉ Z, por lo tanto �,

no representa una fracción.

Esto no quiere decir que no se pueda escribir el número que representa �,

como una

fracción. Actividad 1

a) Representa la expresión �,

como una fracción.

b) Escribe el procedimiento utilizado y justifícalo.

c) ¿A qué conjunto numérico pertenece el número escrito como �,

? Justifica.

Otras representaciones de los Racionales

1) De la representación fraccionaria a la expresión decimal

Cómo ya sabes �

� ∈ � porque lo pudimos escribir como una fracción (Definición de

Racionales). Nos preguntamos ¿es la única forma de representarlo?

Si efectuamos el cociente entre 1 por 4 obtenemos la expresión 0,25, es decir que �

� = 0,25.

Efectúa, en tu cuaderno, la división 1 : 4.

� ¿Qué observamos? Llega un momento que obtienes un resto 0. Es decir que podrías continuar efectuando la división y obtendrías la cifra 0 para el cociente y la cifra 0 para el resto. Es decir que podríamos escribir

�

� = 0,25 = 0,250 = 0,2500 = 0,250�.

El arco sobre el 0 indica que esa cifra se repite infinitamente. Es decir que el número que

representa �

� admite una escritura periódica. En este caso el período sería la cifra 0.

A estas formas de escribir el número racional “un cuarto” 0,25 = 0,250 = 0,2500 = 0,250� ,

le llamamos expresión decimal. Además hemos observado que la expresión decimal de

ese racional es periódica, cuyo período es 0.



Para seguir pensando

¿Todas las fracciones tendrán expresión decimal periódica de período 0? ¿Todas las fracciones tendrán expresión decimal periódica? Justifica.

Si la pregunta anterior la respondes con sí, a partir de la representación decimal de los Racionales ¿podrías pensar en otra definición posible de ellos? Escribe la conclusión a la que llegas y explica matemáticamente. Actividad5 2

La expresión decimal de la fracción ��

��, ¿es periódica?

(a) En caso afirmativo: (i) ¿Por cuántas cifras, como máximo, está compuesto el periodo? (ii) Halla el periodo.

(b) En caso negativo, ¿ ��

�� representa un número racional o a un irracional?

2) De la expresión decimal a la expresión fraccionaria Para transformar una expresión decimal de un número Racional en una fracción podemos proceder como sigue si el período es 0:

2,3= ��

�� =

��

�� = 2,30� = ….

Si nos apoyamos en la numeración hablada, el número 2,3 se lee “veintitrés décimos”, allí tenemos “pistas” de cómo poder transformarla en fracción. Además como es una expresión decimal de período 0 se podrá escribir como una fracción con denominador potencia de 10.

¿Qué sucede cuando el período es distinto de cero?

Si queremos expresar en forma de fracción el Racional 1,5� podremos proceder como sigue. La idea es eliminar el período para poder transformar la expresión decimal en fracción.

Llamaremos P a 1,5�; si multiplicamos por 10 a P tenemos 10P = 15,5� , es decir 10P = 15,55555….. Combinaremos de manera de eliminar el período como ya dijimos: 10P = 15, 555555….. - 1P = 1, 555555……. 9P = 14, 0000000…..

Por lo tanto, obtenemos que P = ��

�: por lo tanto 1,5� =

��

�

5 Extraído de la Ficha 1 Conjuntos Numéricos (2014) del profesor Gustavo Franco.



Hemos construido una manera de expresar en forma de fracción un racional escrito en forma decimal con período distinto de 0. Utilizando este procedimiento de combinaciones lineales convenientes podremos siempre eliminar el período. Actividad 3

Expresar en forma de fracción los siguientes Racionales:

a) 3, 76�

b) 13, 51�

c) 0,32813� Mostrar procedimiento usado.

Para seguir pensando….

a) Haz una lista de fracciones irreducibles cuya expresión decimal tenga período 0. b) ¿Cuál será la condición para que esas fracciones irreducibles tengan período 0? c) Averigua cómo se llama este subconjunto de Racionales cuyas expresiones decimales

tienen período 0.

Los números Decimales como subconjuntos de los Racionales Sin duda una de las cuestiones que más se trabajan en la escuela primaria es el tratamiento de los “decimales”, sin especificar bien ¿a qué nos referimos con esa expresión?

¿A qué le llamamos números Decimales? No todo número expresado usando coma decimal es un número decimal. Lo que expresamos con “coma decimal” lo denominamos expresión decimal. Es decir que toda expresión decimal no tienen porqué ser un número decimal. Por ejemplo al número π lo podemos expresar en forma aproximada usando una expresión decimal (con coma) que usualmente es 3,14. Sin embargo π ≠ 3,14. Además sabemos que es un número irracional porque no es plausible de expresarse como una fracción y en consecuencia no tendrá período. Por lo tanto que se pueda aproximar a una escritura con coma no significa que sea un número decimal. Pero ¿qué es un número Decimal?

Definición: Llamaremos números decimales a todo número Racional que se puede

expresar como una fracción con denominador potencia de 10.



Actividad 4 a) Investigar cuáles de los siguientes Racionales son números Decimales:

3

4;1

3;28

21;1

8;3

7;7

5;5

12; 0,24; 3, 5�; 26, 56�; 0,32

b) En la lista de números de la parte a), analizar las descomposiciones factoriales en

números primos de los denominadores de las fracciones irreducibles. c) ¿Qué tienen en común los denominadores de las fracciones irreducibles de los

números Decimales de la parte a)? d) Establece otra posible definición de números Decimales usando lo analizado en

c). Actividad 5 Explicitar tres maneras diferentes de reconocer cuándo un número es Decimal. Actividad6 6

a) Sin expresar en forma decimal, explicitá argumentando, cuántos cifras como mínimo, después de la coma tendrán los siguientes racionales:

7

5;56

28;

7

50;85

2;7

4; 85

8

b) Silvia estableció la siguiente regla: “Todas las fracciones con denominador 4,

tienen dos lugares después de la coma en su expresión decimal”. ¿Es cierto? Fundamenta.

c) Establecer una conjetura sobre lo que sucedió en la parte a). Fundamenta

matemáticamente y escribí las condiciones en la que dicha conjetura funciona.

3) Representación sobre la recta Como sabemos los Racionales, los Naturales y los Enteros son plausibles de ser representados en la recta numérica. Actividad 7

a) Dada la siguiente recta ubicar los siguientes Racionales usando regla y compás:

1

2;5

4;11

8; 3

0,75 1

b) Escribe sintéticamente qué ideas pusiste en juego para ubicar los puntos que corresponden a los números de la parte a).

6 Actividad propuesta en escrito de Mayo 2014. Adaptada de Nap. Leer, escribir y argumentar. (2007). Ministerio de Educación, Ciencia y

Tecnología de la Nación. Buenos Aires.



Actividad 8 a) Dada la siguiente recta ubicar los siguientes Racionales usando regla y compás:

1

3;4

5;13

7; 0, 6�; 2,6

2 �

�

b) Explicitar el proceso usado para ubicar los puntos que representen los números anteriores.

c) ¿Qué diferencia hay entre el procedimiento usado en a) con el de la actividad 7?

Aplicación del Teorema de Tales para ubicar puntos sobre una recta Un poco de historia…

Tales de Mileto fue un filósofo y matemático griego. Nació y murió en la ciudad de Mileto, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía. Dirigió en Mileto una escuela de náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halis y dio acertados consejos políticos. Fue maestro de Pitágoras. Según la leyenda relatada por Plutarco, Tales de Mileto en

un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (conocidas como Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos, bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos, pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizó mediciones, en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara. Parece que Tales enunció el primer teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas.

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Primer teorema de Tales

“Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un

triángulo que es semejante al triángulo dado”

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que elcociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son

semejantes, se cumple que:

División de un segmento en partes iguales En la siguiente dirección podrás visitar la pprocedimiento de división de un segmento en partes iguales usando el Teorema de Tales.

www.youtube.com/watch?v=G6sNHZNMM5o

Actividad 9 a) Dada la siguiente recta ubicar los siguie

3

4;

b) Explicitar el procedimiento seguido.c) Compara tu procedimiento con la de otro compañero, ¿usaron el mismo?

0 Hasta ahora hemos ubicado númerosPero ¿estos la completan? La respuesta es no. Los números que completan la recta real son los Irracionales, es decir que junto con los números Racionales forman el conjunto de los números Reales.

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Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un

triángulo dado”.

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que elcociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son

División de un segmento en partes iguales

En la siguiente dirección podrás visitar la página en la que se puede división de un segmento en partes iguales usando el Teorema de Tales.

www.youtube.com/watch?v=G6sNHZNMM5o

Dada la siguiente recta ubicar los siguientes Racionales.

4

8;5

2;4

3;9

3; 0,2; 2, 6�; "

2

3

Explicitar el procedimiento seguido. Compara tu procedimiento con la de otro compañero, ¿usaron el mismo?

0 2

Hasta ahora hemos ubicado números naturales, enteros y racionales en la recta numérica. stos la completan? La respuesta es no. Los números que completan la recta real son

rracionales, es decir que junto con los números Racionales forman el conjunto de los

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Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son

puede visualizar el división de un segmento en partes iguales usando el Teorema de Tales.

Compara tu procedimiento con la de otro compañero, ¿usaron el mismo?

es en la recta numérica. stos la completan? La respuesta es no. Los números que completan la recta real son

rracionales, es decir que junto con los números Racionales forman el conjunto de los



¿Cómo ubicamos en la recta numérica los números que son Irracionales?

Ya7 los pitagóricos (siglo V a.C.) habían advertido que existían números que no eran

racionales.

Si construimos un cuadrado de lado la unidad, la medida de su diagonal se puede calcular

aplicando el teorema de Pitágoras: = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =2 2 2 2 22 2

1 1 2 2.OP OA AP OP OP OP Se

puede demostrar que el número cuyo cuadrado es 2, no es un número racional, es decir, no

se lo puede representar a través de una fracción; a este número se lo llama Número

Irracional.

Si trazamos ahora una circunferencia de centro O y radio el segmento OP, determinaremos

un punto P’ en la recta cuya abscisa es 2.De este modo hemos determinado por lo menos

un punto en la recta cuya abscisa8 no es un número racional.

7 Extraído y adaptado de material del Prof. Franco, G. (2012). Conjuntos numéricos. Inédito. 8 Podemos representar un punto ubicándolo en el plano. Para ello necesitamos sus coordenadas en relación a ciertos ejes de

coordenadas, por ejemplo P(x, y). La primera coordenada se denomina abscisa del punto P.

0 1

O A

P

0

O

1

A

P

P’

2



Actividad 10

Observe y analice la figura adjunta. a) Determine las abscisas de los puntos P y Q. b) Explique cómo procedería para determinar los

puntos de abscisas √5#√6 .

Actividad 11

a) Utilizando únicamente regla y compás, representa en la recta numérica los

siguientes números irracionales: +2 7 3 2 3

, , , y 2 7.2 3 5 4

Considera como unidad:

b) Haga una breve explicación del procedimiento usado.

u



¿Cómo ordenamos números Racionales?

Ya sabemos ordenar números Naturales y enteros ahora la idea es buscar criterios que nos sirvan para ordenar números Racionales. Actividad 12 a) Analiza qué numeradores o denominadores podrían tener cada una de las siguientes

fracciones para que sean menores que 1 y cuáles podrían tener para que sean mayores que

1. Anota ejemplos en los casilleros correspondientes:

c) Escribir características de los racionales mayores que 1, los menores que 1 y las

iguales que 1 cuando están escritos como fracción.

Actividad 13 a) Escribir 3 métodos diferentes para ordenar fracciones. Ejemplificar. Dar explicaciones de

por qué son diferentes.

b) En tu trabajo como maestro, ¿por qué sería importante conocer diferentes formas de

ordenar fracciones?

Para indagar9… Con tres números naturales consecutivos se construyen dos fracciones y se las compara, preservando un cierto orden, por ejemplo, con 3, 4 y 5, se obtienen 3/4 y 4/5. Prueben con otros números consecutivos. ¿Se obtiene siempre la misma desigualdad?

- ¿Será posible enunciar una ley general para tres números naturales consecutivos cualesquiera?

- ¿Pueden probar esta ley que enuncian?

9 Problema propuesto por el prof. H. Itzcovich en el coloquio desarrollado en el IPES en junio de 2014.

Fracción a completar Fracciones menores a uno Fracciones mayores a uno

5/.....

3/.....

..../4

...../7

11/....

25/.....

134/....

...../98


Actividad 14 ¡A jugar!

En parejas Escribir sumas que den como resultado 6Gana la pareja que haya encontrado la suma “más larga”. Luego de unas cuantas partidas:¿Quién ganó? ¿Cómo puedes explicar lo sucedido?Analizar qué formas de representar los números u¿La manera de escribir los números influyó en el posible ganador?

� ¿Qué sucedió con el ganador del juego de la actividad 14? Ya se habrán dado cuenta que es imposible lograr un ganador, ¿porqué?La justificación matemática de que nadie gana es pocada vez más largas depende de los sumandos usados. Además cada sumando lo puedo formar a partir de otros números Racionales, es decir que puede descomponerlo cada uno infinitamente. La propiedad que me permite poder epor más cercanos que éstos estén, es la En otras palabras, si tenemos dos números Racionales a y b, tales que a < b, siempre existirá un número c también Racional comprendido entrpropiedad me garantiza la existencia siempre de un racional comprendido entre a y b. Y a su vez si existe c tal que a < c< b, entre c y b pasará lo mismo y así sucesivamente, por eso en general se afirma que entre dos Ra

Otro juego10 Matías y Diego juegan a "quién no pasa laMatías parte del 0 y siempre debe sumar unrestar un número. Matías no puede llegar a un número maycontrario pierde. Diego no puede llegar a un número menor que el decontrario pierde. Estas son las primeras jugadas:

10 Actividad extraída de Matemática 7. Fracciones y Decimales. (2007). Aportes para la enseñanza. Escuela Primaria. Minister

Educación. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.


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Escribir sumas que den como resultado 6. Gana la pareja que haya encontrado la suma “más larga”.

Luego de unas cuantas partidas:

¿Cómo puedes explicar lo sucedido? Analizar qué formas de representar los números usaron. ¿La manera de escribir los números influyó en el posible ganador?

¿Qué sucedió con el ganador del juego de la actividad 14?

Ya se habrán dado cuenta que es imposible lograr un ganador, ¿porqué? La justificación matemática de que nadie gana es porque siempre pueden encontrar sumas cada vez más largas depende de los sumandos usados. Además cada sumando lo puedo formar a partir de otros números Racionales, es decir que puede descomponerlo cada uno

La propiedad que me permite poder encontrar siempre un racional entre otros dos dados, por más cercanos que éstos estén, es la PROPIEDAD DE DENSIDAD. En otras palabras, si tenemos dos números Racionales a y b, tales que a < b, siempre existirá un número c también Racional comprendido entre a y b, es decir a < c < b. Ésta propiedad me garantiza la existencia siempre de un racional comprendido entre a y b. Y a su vez si existe c tal que a < c< b, entre c y b pasará lo mismo y así sucesivamente, por eso en general se afirma que entre dos Racionales cualesquiera existen infinitos Racionales.

Matías y Diego juegan a "quién no pasa la línea". Matías parte del 0 y siempre debe sumar un número. Diego parte del 1 y siempre debe

Matías no puede llegar a un número mayor que el de Diego, de lo no puede llegar a un número menor que el de Matías, de lo

a) ¿A qué número llegó cada uno de los participantes?

b) ¿Puede Matías agregar 3 números más sin perder? ¿Y Diego?

. Fracciones y Decimales. (2007). Aportes para la enseñanza. Escuela Primaria. Minister



13

rque siempre pueden encontrar sumas cada vez más largas depende de los sumandos usados. Además cada sumando lo puedo formar a partir de otros números Racionales, es decir que puede descomponerlo cada uno

ncontrar siempre un racional entre otros dos dados,

En otras palabras, si tenemos dos números Racionales a y b, tales que a < b, siempre e a y b, es decir a < c < b. Ésta

propiedad me garantiza la existencia siempre de un racional comprendido entre a y b. Y a su vez si existe c tal que a < c< b, entre c y b pasará lo mismo y así sucesivamente, por

cionales cualesquiera existen infinitos Racionales.

número. Diego parte del 1 y siempre debe que el de Diego, de lo

Matías, de lo

llegó cada uno de los

¿Puede Matías agregar 3 números más sin

. Fracciones y Decimales. (2007). Aportes para la enseñanza. Escuela Primaria. Ministerio de



Actividades 15 y 1611

Para avanzar y cuestionar.

• Resuelve ambas actividades.

• ¿Qué conocimientos se ponen en juego para resolver los problemas anteriores?

• ¿Cómo los vincularías con la propiedad de densidad?

11 Las actividades de la 15 a la 18 fueron extraídas de NAP Leer, escribir y argumentar. (2007). Ministerio de Educación, Ciencia y

Tecnología de la Nación. Buenos Aires.



Ahora seguimos con operaciones En otros cursos ustedes han estudiado las operaciones que viven en el conjunto de los números Naturales. En este apartado les proponemos analizar qué operaciones “se agregan” en el conjunto de los números Racionales. En el conjunto de los Naturales están definidas dos operaciones “+” y “x” que verifican las

propiedades que siguen (para todo a, b, c naturales)

Propiedades Adición Multiplicación

Conmutativa a+b = b + a a.b = b.a

Asociativa (a+b)+c= a+(b+c) (a.b).c =a. (b.c)

Existencia de Neutro ∃ 0 ∈N / a+0 = 0+a ∃ 1∈N / a.1 = 1.a

Distributiva a(b+c) =a.b + b.c

Existencia de elemento absorbente

--------------- ∃ 0∈N / a.0 =0

Tanto la sustracción como la división no son operaciones en el conjunto de los números Naturales. Para que se “transformen” en operaciones hemos tenido que realizar algunas restricciones en cada dominio.

Restricciones o condiciones

Sustracción en N División en N

La primera componente del par ordenado de Naturales debe ser mayor o igual que la

segunda.

Es decir que el minuendo sea mayor o igual que

el sustraendo: m ≥ s

La primera componente del par debe ser múltiplo de la segunda y ésta diferente de 0.

Es decir que el Dividendo sea múltiplo del

divisor y éste no sea 0. dD•

= con 0≠d

Para indagar…

a) Armar un cuadro similar para el conjunto de los números Enteros y para los Racionales.

b) Buscar definición de adición y multiplicación en Q. c) Comparen qué operaciones se agregan como tales y qué propiedades nuevas

aparecen en Q.



Actividad 17 y 18

� Resolvé las actividades anteriores. � Revisá las ideas que están en juego en los dos problemas, listarlas y dar una posible

explicación de porqué los niños del diálogo piensan eso.



Actividad 19

Se conoce la cuenta de dividir 347 por 29

Decidir argumentando y usando solamente la

información anterior, cuáles de la siguiente

afirmaciones son ciertas: i) 347/29 > 11

ii) 347/29 > 12

iii) 347/29 = 11,28

347 29

57 11 28

Actividad 2012 – Área del rectángulo Parte 1 a) Un rectángulo tiene 1 m2 de área. Si su base mide 2 metros, ¿cuánto mide su altura? b) Un rectángulo tiene 1 m2 de área. Si su base mide 4 metros, ¿cuánto mide su altura? c) Un rectángulo tiene 1 m2 de área. Si su base mide 3 metros, ¿cuánto mide su altura? d) ¿Cuántos rectángulos posibles hay que tengan 1 m2 de área? Hallá pares de valores que puedan ser base y altura de dichos rectángulos. Parte 2 Ya sabés que el área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura. Esto significa que, de la parte 1, se pueden "extraer" multiplicaciones que dan 1. Anótalas y discutí con tu compañero si él anotó las mismas. Parte 3 Completá los siguientes espacios en blanco:

5 x ..........= 1 �

$ x..........= 1

6 x ..........= 1 �

� x ..........= 1

8 x ..........= 1 �

� x ..........= 1

12 Actividad extraída de Matemática 7. Fracciones y Decimales. (2007). Aportes para la enseñanza. Escuela Primaria. Ministerio de




Otros problemas para resolver a) Ahora vamos a considerar un rectángulo que tiene 2 m2 de área. Si la base de ese rectángulo tiene 4 m, ¿cuánto tiene la altura? b) ¿Cuántos rectángulos posibles hay que tengan 2 m2 de área? Hallá pares de valores que puedan ser base y altura de dichos rectángulos. c) Del problema anterior surgen unas cuantas multiplicaciones que dan por resultado 2. Anotalas. d) Completá los espacios en blanco:

�

�x ..........= 2 5 x ..........= 2

�

$x ..........= 2 7 x ..........= 2

8x ..........= 2 �

%x ..........= 2

d) Proponé otras multiplicaciones cuyo resultado sea 2. ¿Cuántas multiplicaciones posibles

hay?

Hasta ahora…

Sabemos que 3 x �

�= 1; 4&

�

� = 1; 5 x

�

�= 1, etc. O que sabemos también por cuanto hay que

multiplicar un número entero para que el resultado sea 1. Del mismo modo podemos calcular por cuanto hay que multiplicar una fracción con numerador 1 para que el resultado sea 1. Ahora la idea es extender estas relaciones para analizar si es cierto que dada cualquier fracción, siempre es posible multiplicar por otra de modo que el resultado sea 1.

Por ejemplo, ¿por cuánto habrá que multiplicar a �

� para que dé 1?

Para seguir haciendo… Actividad 21

¿Por qué número habrá que multiplicar a $

� para obtener como resultado 2? ¿Cuántos

números hay que cumplan esta condición?


Actividad 22 y 2313

Algoritmos con expresiones fraccionarias

a) Revisá la forma de sumar, restar, multiplicar y dividir b) Fundamentá cada método usado.

Multiplicación apoyada en la

Queremos encontrar el resultado de multiplicar

�

�

Con el modelo del sombreado del rectángulo y marca

ancho del rectángulo observamos que la zona rayada es del rectángulo grande

13

Las actividades 23, a 26 fueron extraída


Prof. Carla Damisa

Actividad 24 Ahora te pedimos que establezcas una reglaencontrar una fracción que multiplicada por otra te de cómo resultado un número entero.

Actividad 25 y 26

Algoritmos con expresiones fraccionarias

la forma de sumar, restar, multiplicar y dividir con fracciones. método usado.

Multiplicación apoyada en la representación gráfica

Queremos encontrar el resultado de multiplicar �

�&

�

�

�

�

Con el modelo del sombreado del rectángulo y marcando cada fracción sobre el largo y el

ancho del rectángulo observamos que la zona rayada es del rectángulo grande ��

xtraídas de Matemática 7. Op. Cit.


19

Ahora te pedimos que establezcas una regla para encontrar una fracción que multiplicada por otra te

ndo cada fracción sobre el largo y el '

��.



Por lo tanto si queremos determinar el área de lo sombreado deberemos multiplicar �

�&

�

�.

Como ya sabemos a través de la representación gráfica que ese resultado es '

�� entonces la

relación entre �

�&

�

�=

'

��entonces para multiplicar será necesario proceder así:

�(�

�(�=

'

��

División entre fracciones De manera general dividir dos fracciones es encontrar una tercera fracción que multiplicada por el divisor de cómo resultado el dividendo:

)

*:,

-=

.

/ tal que

.

/&

,

-=

)

*

Para proceder a encontrar la fracción .

/ será necesario pensar que

.

/ &

,

-=

)

* , de donde

).-

*.,&

,

-=

)

* es decir que

)

*:,

-=

)

*&

-

, con lo que la fracción

.

/ buscada se calcula como

)

*&

-

,.

Para seguir pensando….

Buscar razones de por qué funciona lo hecho en el párrafo anterior.

Otra forma… Para justificar que “para dividir dos fracciones multiplicamos el dividendo por el inverso del

divisor” podremos transformar el divisor en 1, porque si eso ocurre sabemos que el resultado de esa división es el dividendo. Para ello procederemos por multiplicar tanto al dividendo como al divisor por una fracción tal que el divisor resulte 1. Apelando a la propiedad de existencia del inverso en Q, sabemos

que existe y es único un racional -

,tal que

,

-&

-

,= 1

En otras palabras:

)

*:,

-=

1234

=12(43

34(43

= 12(43

� =

)

*&

-

,

Al analizar el primer y el último término resulta:

)

*:,

-=

)

*&

-

,



Análisis de los algoritmos convencionales

Con expresiones decimales

Ya has estudiado en el curso de Matemática I el fundamento del algoritmo convencional de la adición y de la multiplicación en Naturales. Ahora nos centraremos en la fundamentación del algoritmo convencional de la división con expresiones decimales con el fin de analizar lo que éste esconde. Antes te pedimos que realices la siguiente multiplicación para revisar lo hecho en Naturales y que puedas establecer relaciones con ella. Actividad 27 Explicitar una argumentación para explicar porqué al multiplicar 2,9 x 3,6 se dice que “al resultado se le debe correr la coma dos lugares”. Sugerencias: establecer relaciones con el SND, las propiedades de la multiplicación y las diferentes escrituras de un mismo racional Actividad 28

i) Ejecutar la división 853 por 4 a través del algoritmo convencional. ii) ¿Qué significa la frase “bajo el 5”? iii) ¿Por qué obtengo un “13” si no lo tenía antes y bajé un 3? iv) ¿Por qué en el cociente en la cifra de las unidades no puedo poner un 2? v) Analizar la marca “,” ¿qué significa? vi) ¿Cuánto vale el 2 que pusimos abajo del 0 y luego se convirtió en 20? vii) ¿Es lo mismo dividir 2 por 4 que 20 por 4? Actividad 29

705 | 72___ 57 9

� Pensar en lo que “decimos” cuando lo ejecutamos. � Analizar lo que se dice en este caso cuando expresamos: “9 por 2 es 18 al 25 es 7”,

¿qué operación está en juego? , ¿cómo la estamos realizando?



Actividad 30

725 /_7____ 025 103 4

� ¿Qué habilitamos cuando decimos “bajo el 2 y como no me alcanza para 7 pongo un cero….”?

� Analizar las relaciones escondidas, las no dichas. � Hacer la lista de supuestos que se creen decir y por lo tanto se dan por hecho que

“esas cosas dichas se saben”.

Síntesis de las propiedades y relaciones que sostienen la validez del algoritmo convencional de la división

� Descomposición aditiva del dividendo y del divisor usando la base del sistema. � Repertorios de cálculos multiplicativos, aditivos y sustractivos. � “Compensaciones” según el valor del mayor orden de los productos producidos.

Invarianza de la sustracción. � Componer en base a las cifras del dividendo original los cocientes parciales que se

van generando. � Valor posicional: valor según el lugar, reagrupamiento e inclusión. � “Para seguirla”: relación con expresiones equivalentes, Invarianza de la división. � Análisis del valor de los restos. � Si la división es en Q, elementos nuevos que aparecen en la escritura: la coma

decimal. � Controlar la ejecución de la división en base a la definición de división entera.

Distintos contextos en los que los Racionales resuelven problemas

Problema 114 a) Par a comparar la capacidad de una jarra con la de una taza de café, una persona comienza a llenar la jarra con las tazas. Mientras está volcando en la jarra la cuarta taza, la jarra se llena completamente. La persona vacía entonces la jarra, vuelca en ella el resto de la cuarta taza, y continúa llenando la jarra con las tazas. Repitiendo el procedimiento, establece que con 10 tazas llena exactamente 3 jarras. ¿Qué parte de la jarra es la capacidad de la taza? b) Al llenar la jarra por primera vez, sobró líquido de la cuarta taza. ¿Qué parte de la taza sobró? c) Si se consideran ahora tacitas cuya capacidad es la tercera parte de la taza de la parte a) del problema ¿qué parte de la jarra es la capacidad de una de estas tacitas?

14 Los problemas del 1 al 8 y del 18 al 23 son tomados y adaptados de las Fichas de trabajo de las Prof. C, Damisa e I, Piedra Cueva. (2013).



Problema 2 Se tiene que medir el segmento [AB]. Para ello se tienen las siguientes unidades: a y b (Dibujo abajo)

i) Indicar la medida del segmento [AB] con la unidad a.

ii) Indicar la medida del segmento [AB] con la unidad b. iii) Indicar la relación entre las medidas de los segmentos b y a.

Problema 3 De una jarra que contiene 2 ¼ litro de agua llené dos vasos de ¼ litro cada uno y un vaso de

1/3 de litro. ¿Cuánta agua quedó en la jarra?

Problema 4

A Nico le proponen que elija la bolsa de golosinas más pesada. La primera bolsa pesa 3 ½ kilo y la segunda pesa 20/6 Kg. ¿Cuál pensás que habrá elegido Nico? ¿Cuánto pierde si elige mal?

Problema 5

Diego recibió cierto dinero, gastó la tercera parte en compras de libros, los dos quintos del

resto en hojas A4 y le quedan aún $720.

i) ¿Qué significado tiene, en esta situación cada uno de los siguientes números:

3

11−=A , AB ⋅=

5

2,

3

1+= BC , CD −= 1

ii) ¿Cuánto dinero recibió Diego?

Problema 6

¿Cuánto hay que agregarle a ¾ para obtener 4/5? ¿En cuánto excede 7/9 a 2/5?

A

B

ba



Problema 7 En una clase de natación, se divide a los niños el primer día según su manejo previo en el agua, de la siguiente manera:

• 15% en el grupo A

• 2/5 en el grupo B

• 1/4 en el grupo C

• el resto en el grupo D ¿Qué fracción representa el número de niños del grupo D? ¿Qué porcentaje del total representa?

Problema 8

a) Completa las siguientes tablas Tabla 1 Esta tabla relaciona la cantidad de leche necesaria para la receta de un flan, según la cantidad de porciones que se desea obtener. Para esta receta se calcula ¼ litro de leche para 3 porciones. Cantidad de Porciones

10 8 5 6 2 ……

Leche necesaria (en litros)

¼

Tabla 2 Esta tabla relaciona la cantidad de personas para un asado con la cantidad de carne que habrá que comprar. Para el asado se calcula 1½ Kg de carne cada tres personas. Cantidad de personas

2 3 4 6 8 10

Cantidad de carne necesaria (en kilos)

b) Analiza la forma en que completaste cada tabla. ¿En las dos usaste la misma forma?,

¿cómo la completó tu compañero?


La construcción del campo conceptual de la proporcionalidad directa

Hay un conjunto importante deadquisición del concepto de elaborados simultáneamente con la nociónEfectivamente, pensar en relaciones de proporcionalidad directa nos puede remitir a situaciones como las siguientes:

- En la librería todos los artículos están rebajados un 20%.- Cada 2 kg de fruta se obtiene 1,5 kg de mermelada.- El tren marcha a 100km/h.- El plano de la casa está hecho a una escala de 1:250.- La presión del agua bajo la superficie del mar es directamente proporcional a laprofundidad. - Calcular cuántos paquetes de figur

tener 60 figuritas. - Averiguar de qué material está hecho un cubo de 5

Los diversos niveles de complejidad de cada una de las situaciones anteriores están dados, entre otras cosas, por los tipos de números en juego (naturales, enteros, racionales); la naturaleza de las magnitudes intervinientes (longitud, peso, área, volumen, peso específico, velocidad, presión); la conceptualización acerca de la medida; la variedad de contextos utilización; los conceptos derivados de ciertos contextos de utilización (porcentaje, escala, velocidad, peso específico). Es por eso que, al plantear el problema del aprendizaje de la proporcionalidad, es necesariotener en cuenta que la misma se inscrun proceso complejo en el que aparece una red de conceptos relacionados unos con otros, todos los cuales se van adquiriendo simultáneamente durante un período prolongado de tiempo. DEFINICIÓN: Una relación de proporcionalidad directa es una relación entre dos variables, en la que elcociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y se denomina constante de proporcionalidad. PROPIEDADES:

1- En una situación de proporcionalidad directmultiplicado por un número n es igual a n por el correspondiente del número a.

15 Adapatado de Panizza, M ; Sadovsky, P. El papel del problema en la construcción de conceptos Matemáticos

Educación y Cultura de la Provincia de Santa Fé.


Prof. Carla Damisa

La construcción del campo conceptual de la proporcionalidad directa

ay un conjunto importante de conceptos que desempeñan un papel fundamental en la proporcionalidad, y que esos conceptos están siendo

elaborados simultáneamente con la noción de proporcionalidad. Efectivamente, pensar en relaciones de proporcionalidad directa nos puede remitir a

En la librería todos los artículos están rebajados un 20%.

ruta se obtiene 1,5 kg de mermelada. El tren marcha a 100km/h. El plano de la casa está hecho a una escala de 1:250. La presión del agua bajo la superficie del mar es directamente proporcional a la

Calcular cuántos paquetes de figuritas (todos iguales) es necesario comprar para

Averiguar de qué material está hecho un cubo de 5 cm3 de volumen que pesa 1 kg.

Los diversos niveles de complejidad de cada una de las situaciones anteriores están dados, as, por los tipos de números en juego (naturales, enteros, racionales); la

las magnitudes intervinientes (longitud, peso, área, volumen, peso específico, presión); la conceptualización acerca de la medida; la variedad de contextos

conceptos derivados de ciertos contextos de utilización (porcentaje, escala,

Es por eso que, al plantear el problema del aprendizaje de la proporcionalidad, es necesariotener en cuenta que la misma se inscribe en el campo de lo multiplicativo, que se trata de

proceso complejo en el que aparece una red de conceptos relacionados unos con otros, cuales se van adquiriendo simultáneamente durante un período prolongado de

ación de proporcionalidad directa es una relación entre dos variables, en la que elcociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y se denomina

En una situación de proporcionalidad directa, el correspondiente de un elemento a multiplicado por un número n es igual a n por el correspondiente del número a.

El papel del problema en la construcción de conceptos Matemáticos. Flacso. Ministerio de


25

La construcción del campo conceptual de la proporcionalidad directa15

conceptos que desempeñan un papel fundamental en la proporcionalidad, y que esos conceptos están siendo

Efectivamente, pensar en relaciones de proporcionalidad directa nos puede remitir a

La presión del agua bajo la superficie del mar es directamente proporcional a la

itas (todos iguales) es necesario comprar para

de volumen que pesa 1 kg.

Los diversos niveles de complejidad de cada una de las situaciones anteriores están dados, as, por los tipos de números en juego (naturales, enteros, racionales); la

las magnitudes intervinientes (longitud, peso, área, volumen, peso específico, presión); la conceptualización acerca de la medida; la variedad de contextos de

conceptos derivados de ciertos contextos de utilización (porcentaje, escala,

Es por eso que, al plantear el problema del aprendizaje de la proporcionalidad, es necesario ibe en el campo de lo multiplicativo, que se trata de

proceso complejo en el que aparece una red de conceptos relacionados unos con otros, cuales se van adquiriendo simultáneamente durante un período prolongado de

ación de proporcionalidad directa es una relación entre dos variables, en la que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y se denomina

a, el correspondiente de un elemento a multiplicado por un número n es igual a n por el correspondiente del número a.

. Flacso. Ministerio de


2- En una situación de proporcionalidad directa, a la suma de los elementos de una de lasvariables, le corresponde la suma de los

Para revisar…. ¿En el problema 8 usaron alguna de estas propiedades para completar las tablas?Si no lo hicieron, ¿podrían usarlas?

Problema 9

a) ¿Qué significa el

segmento que está abajo a la izquierda del plano?

b) ¿cuál es la distancia aproximada entre la Plaza Independencia y el Monumento al Gaucho?

c) ¿Cuál es la longitud aproximada desde 18 de julio por avenida del Libertador hasta el Palacio Legislativo?

d) ¿Qué pusiste en juego en para resolver la parte b y c?

e) ¿Es un problema de proporcionalidad directa? ¿Por qué?

f) Si es de proporcionalidad directa, ¿cuál es el coeficiente de proporcionalidad?


Prof. Carla Damisa

En una situación de proporcionalidad directa, a la suma de los elementos de una de lasvariables, le corresponde la suma de los correspondientes de los elementos considerados.

alguna de estas propiedades para completar las tablas?Si no lo hicieron, ¿podrían usarlas?, ¿por qué?

Problemas de escalas

¿Qué significa el segmento que está abajo

¿cuál es la distancia aproximada entre la Plaza Independencia y el

¿Cuál es la longitud aproximada desde 18 de julio por avenida del Libertador hasta el

e en juego en para resolver la parte b y

¿Es un problema de proporcionalidad directa? ¿Por qué? Si es de proporcionalidad directa, ¿cuál es el coeficiente de proporcionalidad?


26

En una situación de proporcionalidad directa, a la suma de los elementos de una de las correspondientes de los elementos considerados.

alguna de estas propiedades para completar las tablas?

Si es de proporcionalidad directa, ¿cuál es el coeficiente de proporcionalidad?



Problema 1016 a) Un patio tiene forma rectangular de 80 metros de largo por 30 metros de ancho.

Dibujar el plano del patio usando una escala de 1:400. b) ¿Cómo se podría utilizar el plano que hiciste para estimar la distancia del centro del

patio a cada una de las esquinas? c) Si para el mismo patio se hace un plano con escala de 1:200, ¿resultará más grande o

más chica que la anterior? d) El mismo patio se representó ahora con un largo de 32 cm. ¿Cuál es el ancho del

patio en esta representación? ¿qué escala se utilizó?

Más problemas para resolver…

Problema 11

La siguiente tabla muestra la relación entre el tiempo de marcha de un auto con los kilómetros recorridos. El auto marcha siempre a la misma velocidad.

a) Completa la tabla. b) ¿A qué velocidad va el auto? c) Realiza una gráfica donde se visualice la relación entre la distancia recorría en

función del tiempo transcurrido. d) ¿Cómo es la forma del gráfico? e) Esta relación de distancia transcurrida en función del tiempo ¿es una

proporcionalidad directa? Si es así, ¿cuál es el coeficiente de proporcionalidad?

Tiempo de marcha del auto en horas (h)

0,5 3 4,25

Distancia recorrida en km

42 105

Problema 12

Un auto marcha a 86 km/h, además se sabe que marcha siempre a la misma velocidad. a) ¿Cuánto recorre en 20 minutos? b) ¿Y en 2 horas y 25 minutos? c) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 301 km? d) ¿Lo puedes resolver gráficamente?

Problema 13

Un automóvil recorre 45 Km en 17 minutos y otro recorre 55 Km en 27 minutos. ¿Cuál va a mayor velocidad?

16 Los problemas del 10 al 14 fueron extraídos y adaptados de Proporcionalidad. Seminario de Campo multiplicativo. Módulo 1. CePa



Problema 14 Para el juego de carreras de autos se dispone de un mazo de cartas. Cada tarjeta indica una velocidad. Comienza el niño que tiene la tarjeta con mayor velocidad. La tarjeta de Juan indica 120 kilómetros por hora, la de Andrés 2 km por minuto, la de Ignacio 2000 metros por minuto y la de Mateo 120000 metros por hora. ¿Quién empieza? ¿Por qué?

Problema 15 i) Halla la razón entre el área sombreada de cada figura y el área de toda la figura. ii) Expresa dicha razón de tres maneras diferentes a la anterior.

Problema 16

a) ¿Cuál es la expresión general para el cálculo del Perímetro de un cuadrado? b) Realiza una tabla donde se evidencien distintos valores del perímetro de un

cuadrado en función de la variación de la medida del lado del cuadrado. c) Realiza una representación gráfica de la situación anterior. d) Realiza los pasos anteriores pero con el área del cuadrado. e) ¿Qué relación tienen las magnitudes longitud lado del cuadrado y perímetro? ¿Y las

de longitud del lado del cuadrado y área? Explica.

Problema 17 - Más problemas con rectángulos.

a) Ahora vamos a trabajar sobre rectángulos cuya área es de �

� m2. Si la base mide

�

�m,

¿cuánto mide la altura? ¿Y si la base mide 4 m? ¿Y si la base mide 3 m, cuánto mide

la altura, sabiendo que el área es �

� m2?

b) Completá la siguiente tabla en la que se relacionan la base y la altura de un

rectángulo cuya área es �

� m2:



Problemas clásicos y no tanto… Te pedimos que con los problemas que siguen:

- los resuelvas, - listes los conocimientos que pusiste en juego en cada uno, - compares con tus compañeros lo hecho, - analices las formas de resolución y la validez de cada una.

Problema 18

Una empresa cobra $1800 por una excursión para 150 personas. El número de pasajeros es mayor que 150, cobra las tres cuartas partes de todos los pasajes. El domingo hubo una excursión de más de 150 personas y la empresa cobró en total $1800. ¿Cuántos pasajeros más hicieron el paseo?

Problema 19

Seis amigos; Daniel de 27 años, Emiliano de 25, Gonzalo de 28, Ignacio de 21, Javier de 23 y Luis de 24 irán de excursión a Porto Alegre. Entre todos deben pagar $12.700 a la empresa de turismo. Por una promoción especial, los menores de 26 pagan el 75% de lo que pagan los mayores. ¿Cuánto tendrá que pagar su pasaje cada menor de 26 años? ¿Y cada uno de los mayores?

Problema 20 Una máquina transforma fracciones. En ella se introduce una cierta fracción F y se obtiene

otra a partir de la siguiente transformación:

F 1

1

F

F

−+

a) Al introducir la fracción 1

2, ¿qué fracción se obtiene?

b) Introduce nuevamente la fracción obtenida en a), ¿cuál obtienes ahora? c) Si se continúa con el procedimiento de introducir la fracción que se va obteniendo hasta

realizar el proceso 20 veces, ¿qué fracción se obtendrá? d) ¿Y si se repite el proceso 2057 veces? e) Trata de argumentar tus conclusiones.

Problema 21 i) Las longitudes de las aristas de un prisma recto de base rectangular son 10; 5 y

14. Si cada arista aumenta 1

3 de su longitud, encontrar la relación entre los

volúmenes de ambos prismas.

ii) ii) Encontrar dicha relación sabiendo que ahora las longitudes de las aristas son a,

b y c.



Problema 22 a) Calcular el:

i) 10% de 120 , ii) 14% de 5345, iii) 3% de 18, iv) 123% de 15

b) El 33,5% de 18 es igual al 18% ¿de qué número? c) El a% de b es 175 ¿Cuál es el b% de a? Justificar.

Problema 23 Una camisa sale $250, va a aumentar en un 27%.

i) ¿Cuánto pasará a costar? ii) Un alumno para resolverlo realizó el siguiente cálculo:

250 x 1,27 ¿Es correcto? ¿Por qué?

Referencias bibliográficas

• Damisa, C; Piedra Cueva, I. (2013). Fichas de trabajo para los IINN de Montevideo. Inédito.

• Franco, G. (2012) Conjuntos numéricos. Inédito.

• Kline, M- (1994) El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Tomo I. Alianza Editorial. Madrid.

• Matemática 7. Fracciones y Decimales. (2007). Aportes para la enseñanza. Escuela Primaria. Ministerio de Educación. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.

• NAP Leer, escribir y argumentar. (2007). Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación. Buenos Aires.

• Panizza, M ; Sadovsky, P. El papel del problema en la construcción de conceptos Matemáticos. Flacso. Ministerio de Educación y Cultura de la Provincia de Santa Fé.

• Seminario de Campo Multiplicativo. Módulo 1. CePa. Postítulo Docente. Especialización Superior en Enseñanza de la Matemática para nivel primario.

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