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Radián
El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades.
Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud
es igual a la del radio. Su símbolo es rad.
Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional
de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento
presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas.
Esta unidad se utiliza primordialmente en física, cálculo
infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.
Índice
[ocultar]
1 Definición
2 Utilidad
3 Análisis dimensional
4 Equivalencias
5 Conversiones entre grados y radianes
6 Véase también
7 Referencias
o 7.1 Bibliografía
8 Enlaces externos
[editar]Definición
El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es
igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s/r, donde θ es
ángulo, s es la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto,
el ángulo completo, , que subtiende una circunferencia de radio r,
medido en radianes, es:
[editar]Utilidad
El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que
simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante
sencillos múltiplos o divisores de π.
[editar]Análisis dimensional
El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo,
la función seno de un ángulo "x" expresado en radianes cumple:
Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:
donde x se expresa en radianes.
[editar]Equivalencias
La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad =
180°
La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g
La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.
Grados
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
Radianes
0 π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π 7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado
sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.
El Radián tiene una unidad derivada llamada π Radian por segundo
(πRad/s). Esta tiene una equivalencia con las Rpm. Las equivalencias
se pueden calcular fácilmente con la ecuación que sigue:
De Rpm a πRad
que con la ecuación simplificada:
De πRad a Rpm
que con la ecuación simplificada:
[editar]Conversiones entre grados y radianes
Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes,
expresados como fracciones de π.
Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes.
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir
ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de
180° equivale a π radianes (recordemos que el número π ≈
3,14159265359…).
Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las
siguientes figuras:
Para convertir grados en radianes o viceversa, partimos de que
180° equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y
resolvemos.
Ejemplo A
Convertir 38° a radianes. radian x 38º 38ºrdian /180º = 0.21radianes
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la
posición de los radianes.
Despejamos x, también simplificamos.
Por último obtenemos el equivalente decimal:
x = 0,6632 radianes.
Ejemplo B
Convertir 2,4 radianes a grados.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la
posición de los grados.
Despejamos x.
Por último obtenemos el equivalente decimal:
x = 137°30'35.5"
[editar]Véase
EJERCICIOS PROPUESTOS:MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO1. Un motor e léct r ico incrementó e l va lor de su ve loc idad angular de 10 a 35 rad/s en 2 s .Calcular su aceleración y su desplazamiento durante ese tiempo.•Solución: α = 12.5 rad/s2, θ = 45 rad.2. Determinar el valor de la velocidad angular de una rueda a los 18 s, si tenía una velocidadangular inicial cuyo valor es de 6 rad/s y sufre una aceleración angular de 3 rad/s2.•Solución: α = 60rad/s2.3. Una rueda ro ta a una ve loc idad angular in ic ia l de 3 rad/s y exper imenta una ace lerac iónangular de 1 rad/s
2, durante 10 s. ¿Qué velocidad angular tiene el final de los 10 s y cuál fuesu desplazamiento?•Solución: ω = 13 rad/s, θ = 80 rad.4. Un eje que rota a 7 rev/s aumenta su frecuencia a 13 Hz en 0.35 s. Determinar el valor de suaceleración angular.•Solución: α = 107.71 rad/s2.5. Una hélice rota inicialmente con una velocidad angular de 200 rad/s y recibe una aceleraciónconstante de 5 rad/s2, d u r a n t e 9 s . C a l c u l a r : a ) v e l o c i d a d a n g u l a r a l o s 9 s , b ) e l desplazamiento, c) las revoluciones efectuadas en ese tiempo.•Solución: a) ω = 245 rad/s, b) θ = 2002.5 rad, c) θ = 318.7 rev.6. La velocidad angular de un motor que rota a 2000 rpm desciende uniformemente hasta 1000rpm en 10 s. Calcular la aceleración del motor y el número de revoluciones que realiza.•Solución: α = -10.472 rad/s2, θ = 250 rev.7. Un engrane ro ta con una ace lerac ión constante de 15 rad/s2. Calcu lar a) e l número derevoluciones que efectúa en 8 segundos partiendo del reposo y b) durante el cuarto segundo.•Solución: a) θ = 76.39 rev, b) θ = 8.35 rev.8. La velocidad angular de un motor que rota a 666 rpm desciende uniformemente hasta 333rpm efectuando 33 rev. Calcular la aceleración angular y el tiempo necesario para realizar las33 rev.•Solución: α = -8.796 rad/s2, t = 3.964 s