Rayos X

C.F. Gelvez and D.H. UsecheDepartmento de Fsica, Universidad de los Andes, Cra 1 No 18A- 12 Bogota, Colombia

(Dated: 20 de agosto de 2015)

El informe del experimento rayos X pretende mostrar la validez en el Cobre de varios conceptos yteorias en fsica como el espectro de rayos X, el proceso bremsstrahlung, la difraccion de Bragg y laabsorcion de rayos X. El experimento consistio en primer lugar en la medicion de la intensidad de losrayos X del cobre difractados por dos cristales LiF y KBr. En segundo lugar medimos la intensidad delos Rayos X con = 1,54A en funcion del espesor de los filtros de absorcion de Al y Zn. Los primerosresultados fueron que el espectro del cobre es un espectro discreto acompanado de uno continuo, y quelas magnitudes de las dos lineas caracteristicas del espectro del cobre son K = 8,095 0,095[KeV ]y K = 8,870 0,045[KeV ]. Paralelamente, basados en el proceso bremsstrahlung, estimamos laconstante de Plank h = 6,46 1034 0,10 1034[J s]. Como resultado final, corroboramos quela relacion entre la intensidad de la senal monocromatica de los rayos X y el espesor de los filtros deabsorcion es exponencial decreciente, y calculamos los coeficientes de atenuacion para = 1,54A

del Aluminio y Zinc Al = 10,87 0,10[cm1] y Zn = 42,92 0,86[cm1]. Como conclusion,convalidamos los resultados experimentales con la teora, y proponemos mediciones adicionales paramejorar la precision de los datos.

Palabras clave: Espectro de rayos X del Cobre, Difraccion de Bragg, proceso bremsstrahlung, ab-sorcion de Rayos X

I. INTRODUCCION

El experimento consiste en dirigir rayos X hacia doscristales LiF y KBr, y medir la intensidad de los rayosdifractados por el cristal para varios angulos. El tubode rayos X consiste en un catodo que emite electroneslos cuales son acelerados a traves de una diferencia depotencial hacia un anodo (en nuestro experiemento elanodo es Cobre). El cobre que se encuentra en el anodoemite rayos X al desacelerar los electrones por el procesode bremsstrahlung.

Proceso de bremsstrahlung

Cuando un electron choca con un atomo, el atomoemite un foton con una longitud de onda dada por,

hc

= K K (1)

Donde K es la energa cinetica del electron antes del cho-que, y K es la energa cinetica despues del choque. Elespectro de los rayos X emitidos por el anodo es un es-pectro discreto sucedido por un espectro continuo. Sinembargo existe un minimo en la longitud de onda mde el espectro de rayos X. El minimo sucede cuando laenerga del foton emitido es maxima, el electron pierdetoda su energa cinetica en el choque,

m =hc

eV(2)

Espectro de Rayos X del Cobre

Algunos elementos como el Cobre (Cu) y el Molib-deno (Mb) emiten rayos X con varias longitudes deonda. La energa de los fotones emitidos corresponde ala diferenca en los niveles de energia de los elementos.

Algunas de las lineas de emision mas conocidas delCobre son las series K, L, y M. Algunas de estas lineasde emision del Cobre se pueden detectar atraves de ladifraccion de estos rayos con un cristal como LiF o KBr.Es posible detectar las lineas K y K cuyos valoresmas exactos son,

K = 8,048[KeV ], K = 8,905[KeV ] (3)

Difraccion de Bragg

La longitud de onda y por lo tanto la energa delos fotones de rayos X emitidos por el cobre se puedendetectar por medio de la difraccion con un cristal. Ladifraccion con cristales es conocida como difraccionde Bragg. En la difraccion de Bragg los atomos de lcristal sirven como planos de reflexon de las ondaselectromagneticas incidentes, generando difraccion porla diferenca de caminos en planos adyacentes, como lomuestra la figura 1.

Figura 1: Difraccion de Bragg

2La primera condion de Bragg es que el angulo de inci-denca es igual al angulo de reflexion, y la segunda quelas reflexiones de planos adyacentes deben combinarseconstructivamente, en ecuaciones,

n = 2d sen (4)

En esta ecuacion es el angulo de incidencia de los rayosX sobre el cristal, y d es la separacion entre planos enel cristal. La separacion entre los planos de (1,0,0) es laconstante del cristal, los valores para el LiF y KBr son,

dLiF = 2,015[A], dKBr = 3,290[A] (5)

Absorcion de Rayos X

Cuando los rayos X inciden sobre un material, laintensidad de la radiacion electromagnetica disminuyeexponencialmente con el grosor del material d, esto es,

I = Ie()d (6)

En esta ecuacion I es la intensidad sin filtro de absor-cion y () es el coefficiente de atenuacion lineal el cualdepende de la longitud de onda.

Calculo de variables fsicas

Basados en las ideas preliminares este informe pre-tende calcular las los valores K, K , la constante dePlank h, y los coeficientes de atenuacion lineal Al y Zndel Aluminio y Zinc respectivamente. La constante dePlank la calcularemos con la ecuacion 2, las constantesde atenuacion con la ecuacion 6, y la energia de las lineasK, y K , las calculamos con las ecuaciones de Plank yBragg combiandas, ecuacion 7,

E =hc

=

nhc

2d sen (7)

II. MATERIALES Y METODOS

El experimento consiste en medir la intensidad de losrayos X para varios angulos difractados por dos cristalesLiF y KBr. En terminos generales usamos el equipoPHYWE de rayos X y una computadora(ver figura 2).Los materiales que usamos del equipo PHYWE de rayosX son:

1. Unidad de rayos X, de 35kV.2. Goniometro para rayos X, de 35kV.3. Tubo de rayos X de Cu.4. Cristales LiF y KBr.5. Filtro de 1mm para la fuente de rayos X.6. Set de absorcion de rayos X, Al y Zn.7. Tubo contador, tipo B.

El procedimiento realizado se puede dividir en trespartes distintas: a) Medicion del espectro de rayos X

Figura 2: Equipo usado para este experimento endifraccion de Rayos X

difractados por LiF y KBr, b) Medicion del espectrode rayos X difractados por LiF y KBr con el filtroNi, c) Medicion del la intensidad del maximo de LiFcambiando el set de absorcion. Para lograr obtener estasmediciones realizamos los siguientes pasos:

1. Conectamos el tubo de Rayos X de Cu, asigna-mos un voltaje de 35kV, y una intensidad de 1mA.2. Calibramos el equipo PHYWE de rayos X. Tomamosen cuenta que un maximo de difraccion de los rayos Xdel cobre con LiF es a 22,6.3. Conectamos el equipo a la computadora y a traves delsoftware Measure medimos el espectro de LiF y KBrpara angulos entre 5 y 50 en pasos de 0,14. Medimos la intensidad del maximo de difraccion deLiF a 22,6 cambiando las peliculas de absorcion de Aly Zn, que se conectan en el tubo contador. Medimosdesde 0.0mm a 0.1 mm para juntos materiales, enpasos de 0.02mm y 0.025 para el Aluminio y el Zincrespectivamente.

III. RESULTADOS

Basados en las figuras 3 y 4 encontramos un espectrodiscreto superpuesto por un espectro continuo en la di-fraccion de los rayos X de Cobre sobre LiF y KBr. Asimismo, encontramos cuatro maximos en el espectro delLiF y 6 maximos en el espectro del KBr.

3Figura 3: Intensidad de los rayos X del cobre en funciondel angulo de incidencia con cristal LiF

Figura 4: Intensidad de los rayos X del cobre en funciondel angulo de incidencia con cristal KBr

Hallamos 4 maximos en la difraccion con el LiF loscuales corresponden a las lineas K, K , medidas paran = 1, 2. Al cambiar el LiF por KBr, se obtiene tresordenes de difraccion n = 1, 2, 3. Los valores de K,yK , se presentan en la tabla 1 y se obtienen a partir dede la ecuacion 6,

[] Linea Eexp[keV ]

LiF difraccion (Fig 3)

n=1 20,3 K 8.918

22.6 K 8.049

n=2 43.8 K 8.918

50.1 K 8.049

KBr difraccion (Fig 4)

n=1 12.6 K 8.668

13.9 K 7.840

n=2 24.9 K 8.918

27.8 K 8.049

n=3 39.3 K 8.918

44.5 K 8.049

Cuadro I: Energias caracteristicas del Cobre medidascon LiF y KBr

Para calcular los valores experimentales de K, y K ,hallamos el promedio, la desviacion estandar, y el errorestadistico de los datos en el Cuadro 1 para cada magni-tud. Los valores finales son,

K = 8,095 0,095[KeV ] (8)

K = 8,870 0,045[KeV ] (9)Es de resaltar que los valores calculados con su rango deerror incluyen a los volares esperados, y tienen un errorrelativo menor al 1 %. As mismo, cabe notar que 4 paresde datos en la tabla aciertan a los valores esperados,y un solo par se desvia del valor esperado. Este parde datos corresponden al primer y segundo maximo dela difraccion con el KBr. Es posible que la desviacionsucediera devido a que al ser los angulos muy minimosla precision del equipo fuera menor.

Ahora procedemos a encontrar el valor experimen-tal de la constante de Plank. Al observar las figuras 3y 4 podemos ver que para angulos menores a 10 laintensidad es maxima en 5, disminuye hasta ciertovalor y luego aumenta progresivamente. Estos cambiosen la intensidad se pueden explicar por el proceso debremsstrahlung. La intensidad es alta para anguloscercanos a 5 debido a que los rayos X estan dirigidoscasi directamente hacia el contador, y la intensidaddisminuye para angulos mayores al alejarse el contadorde los rayos directos. Sin embargo, para cierto angulo elcontador detecta unos rayos X adicionales que corres-ponden a la difraccion de los fotones mas energeticos enel espectro del Cobre, es decir el umbral en el procesobremsstrahlung. Con el minimo local de la intensidad sepuede hallar min a partir de la ecuacion 4, tomandon = 2, y con la ecuacion 2 se puede estimar el valorde la constante de Plank. Se encontro que el angulodonde empieza el continuo bremsstrahlung en el KBr esmin = 6,1

. As hallamos el valor experimental de laconstante de Plank,

h = 6,46 1034 0,10 1034[J s] (10)En este calculo ignoramos la grafica del LiF, debido

a que el min en el LiF no es tan pronunciado como enel caso del KBr. El error experimental lo calculamosteniendo en cuenta que el error relativo de h es el mismodel error relativo del angulo el cual es aproximadamentedel 1 %. El valor experimental de la constante de Plankse aleja al valor aceptado en un 2.5 %, esto nos demuestraque el experimento coincidio con la teoria del procesobremsstrahlung.

En tercera instanca mostramos los resultados so-bre la absorcion de rayos X del cobre por parte delAluminio y Zinc. En los cuadros 2 y 3, incluimos laintensidad de la senal I/Icirc en funcion del espesor,donde I = 8083, = 22,6, = 1,54A. Recordamos quemedimos el cambio en la intensidad por espesor del filtro

4de absorcion para un angulo fijo, o lo que es lo mismopara la misma longitud de onda.

Espesor d [mm] Intensidad I/I0.0 1.0

0.02 0.772

0.04 0.611

0.06 0.489

0.08 0.395

0.10 0.342

Cuadro II: Relacion de intensidad de los rayos X yespesor de filtro de absorcion de Aluminio para

= 1,54A.

Espesor d [mm] Intensidad I/I0.0 1.0

0.025 0.419

0.05 0.184

0.075 0.077

0.10 0.011

Cuadro III: Relacion de intensidad de los rayos X yespesor de filtro de absorcion de Zinc para = 1,54A.

Basados en la ecuacion 6 se espera que la relacion en-tre el espesor del filtro de absorcion y la intensidad de losrayos X sea exponencial. Para mostrar que la relacion esexponencial incluimos los datos en una grafica semiloga-ritmica de base 10,

Figura 5: Intensidad de los rayos X de Cobre en funciondel espesor de los filtros de absorcion de Aluminio y

Zinc para = 1,54A.

Basados en los datos anteriores realizamos la regresionlogaritmica para calcular Al y Zn los coefficientes deatenuacion lineal para = 1,54A del aluminio y zincrespectivamente, asi como el error estadistico de estasconstantes,

Al = 10,87 0,10[cm1] (11)

Zn = 42,92 0,86[cm1] (12)La correlacion de los datos R2 es del 99 % para el Alu-

minio y del 98 % para el Zinc, lo cual demuestra quelos datos efectivamente estan relacionados por una fun-cion exponencial. Debido a la alta correlacion estadisticade los datos el error relativo de las constantes de atena-cion resulta ser menor al 5 %. Los anteriores argumentosmuestran que el experimento concuerda con la ecuacion6.

IV. CONCLUSIONES

Atraves de la difraccion de los rayos X del cobre obtu-vimos que los rayos caracteristicos tienen una magnitudK = 8,095 0,095[KeV ] y K = 8,870 0,045[KeV ].Dado que el error experimental de estas transicionesde energa es menor al 1 % y el valor hallado experi-mentalmente con su rango de error concuerda con elvalor aceptado, podemos afirmar que el Cobre tiene dostrancisiones de energa caracteristicas K y K , y quelos cristales LiF y KBr actuan como planos permitiendodifraccion de Bragg. Adicionalmente, el instrumentoutilizado tenia una precision del 0,1 la cual es unaposible razon de los resultados positivos de la difracconde los rayos X en estos cristales.

En el experimento de difraccion hallamos un valor de laconstante de Plank h = 6,4610340,101034[Js],y encontramos un espectro continuo adicional al espec-tro discreto del cobre (figuras 3 y 4). Estos resultadosdemuestran el proceso bremsstrahlung, es decir, losrayos X del cobre son el resultado de la desaceleracionde electrones al chocar inelasticamente multiples vecescon atomos de Cobre. El resultado de h tiene un errorexperimental menor al 2 %, sin embargo, el resultadofinal y su error no incluyen el valor aceptado. Paramejorar el resultado de h es recomedable medir mvariando la diferencia de potencial entre el catodo yel anodo en el tubo de rayos X, graficar V vs 1/m yrealizar la regresion lineal.

A traves del experimento de la absorcon de rayosX por Aluminio y Zinc pudimos comprobar que larelacion entre el espesor del filtro y la intensidad dela senal es exponencial(fig5), tambien calculamos lascoeficientes de atenuacion del Aluminio y Zinc para = 1,54A, estos son Al = 10,87 0,10[cm1] yZn = 42,92 0,86[cm1]. Obtuvimos un error relativo

5menor al 5 % lo cual corrobora que la relacion entre d eI es exponencial. Para proximos experimentos con esteequipo se propone medir la relacion de d e I para otras

longitudes de onda y as investigar la dependecia de y.

[1] R. Eisberg, Quantum Physics of Atoms, molecules, so-lids, nuclei, and particles(John Wiley & Sons, 2nd Edition,1974.)

[2] D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics(Pearson,2nd Edition. 1992)