Razón de oro

La razón de oro (el símbolo es la letra griega "phi" de la

izquierda) es un número especial que vale aproximadamente 1.618

Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras

áreas.

La idea

Si divides una línea en dos partes de

manera que:

la parte larga dividida entre la corta

es igual que

el total dividido entre la parte larga

entonces tienes la razón de oro.

Adivinándola

Sólo hay un valor que hace que a/b sea igual a (a+b)/a. Probemos un poco a ver si podemos

descubrirlo:

Probamos a=7 y b=3, entonces a+b=10:

7/3 = 2.333..., Pero 10/7 = 1.429..., así que no funciona

Probamos ahora a=6 y b=4, entonces a+b=10:

6/4 = 1.5, pero 10/6 = 1.666..., ¡más cerca pero todavía no!

Probemos a=6.18 y b=3.82, entonces a+b=10:

6.18/3.82 = 1.6178..., y 10/6.18 = 1.6181..., ¡estamos muy cerca!

De hecho el valor exacto es:

1.61803398874989484820... (continúa sin repetirse)

Las cifras siguen sin repetirse. De hecho se sabe que la razón de oro es un número

irracional, y te hablaré sobre eso más adelante.

Calcularlo

Puedes calcularlo tú mismo empezando por cualquier número y siguiendo estos pasos:

A) divide 1 entre tu número (1/número)

B) suma 1

C) ese es tu nuevo número, empieza otra vez desde A

Con una calculadora, sólo pulsa "1/x", "+", "1", "=", una y otra vez. Yo empecé con 2 y

saqué esto:

Número 1/número Suma 1

2 1/2=0.5 0.5+1=1.5

1.5 1/1.5 = 0.666... 0.666... + 1 = 1.666...

1.666... 1/1.666... = 0.6 0.6 + 1 = 1.6

1.6 1/1.6 = 0.625 0.625 + 1 = 1.625

1.625 1/1.625 = 0.6154... 0.6154... + 1 = 1.6154...

1.6154...

¡Se va acercando más y más!

Pero llevaría mucho tiempo acercarnos de verdad, hay mejores maneras y se pueden

calcular muy rápidamente miles de cifras.

Dibujarlo

Hay una manera de dibujar un rectángulo con la razón

de oro:

Dibuja un cuadrado (de lado "1")

Pon un punto en la mitad de un lado

Dibuja una línea desde ese punto a una esquina

contraria (medirá √5/2)

Gira esa línea hasta que vaya en la dirección del

lado del cuadrado

Entonces puedes extender el cuadrado a un rectángulo

con la razón de oro.

La fórmula

Mirando el rectángulo que acabamos de dibujar, puedes ver que tiene una fórmula sencilla.

Si un lado mide 1, el otro lado mide:

La raíz cuadrada de 5 es aproximadamente 2.236068, así que la razón de oro es

aproximadamente (1+2.236068)/2 = 3.236068/2 = 1.618034. Es una manera muy fácil de

calcularlo cuando lo necesites.

Belleza

Muchos artistas y arquitectos creen que la razón de oro da las

formás más agradables y bellas.

Este rectángulo se ha hecho usando la razón de oro, parece un

típico marco de un cuadro, ¿no?

Muchos edificios y obras de arte usan

la razón de oro,

como el Partenón en Grecia.

Sucesión de Fibonacci

Aquí tienes una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos, su proporción

está muy cerca de la razón de oro. De hecho, cuanto más grande sean los números de

Fibonacci, más cerca del valor exacto.

Probemos algunos:

A B B/A

2 3 1.5

3 5 1.666666666...

5 8 1.6

8 13 1.625

... ... ...

144 233 1.618055556...

233 377 1.618025751...

... ... ...

El más irracional...

La razón de oro es el número más irracional. Este es el porqué...

Una de las propiedades especiales de la razón de oro es que se puede escribir en

términos de sí mismo, así:

(con números: 1.61803... = 1 + 1/1.61803...)

Esto se puede expandir en una fracción que no se acaba nunca (llamada

"fracción continua"):

O sea, encaja perfectamente entre fracciones simples.

Otros números irracionales están bastante cerca de números racionales (por ejemplo Pi =

3.141592654... está cerca de 22/7 = 3.1428571...)