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Pág 1021
OBSERVACIÓN IMPORTANTE : Como cada término de una sucesión está íntimamente relacionado con el orden que ocupa, entonces, en muchas situaciones, se encontrará la ley de formación en base al número ordinal. EJEMPLO 01
2 ; 7 ; 12 ; ………………
:
Indicar la ley de formación para la siguiente sucesión:
MÉTODO PRÁCTICO
−3 −3 −3 −3
2 ; 7 ; 12 5n − 3
:
Se multiplica a cada ordinal por la razón y se debe forzar a que resulte su respectivo término en la sucesión, ya sea sumando o restándole una cantidad a deducir:
Ordinal: 1º 2º 3º …… nº
OJO :
Al multiplicar al 1 (primer ordinal) por 5, debemos forzarlo a que resulte 2, por eso es que le restamos 3.
EJEMPLO:
Indicar la ley de formación en:
6 ; 9 ; 14 ; 21 ; ………
6 ; 9 ; 14 ; 21 ; ………
Resolución :
MÉTODO PRÁCTICO
+5 +5 +5 +5
6 ; 9 ; 14 ; …… ; n2 + 5
:
Se eleva al cuadrado cada ordinal y se debe forzar a que resulta su respectivo término en la sucesión : Ordinal : 1º 2º 3º …… nº
Aplicación de una experiencia general que se ha verificado que es verdadera, A una situación en particular.
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO :
Ejemplo
n (n 1)21 2 3 n ++ + + + =
:
Si se sabe que:
Calcular: 1 + 2 + 3 + …… + 2002 RESOLUCIÓN
2002 200321 2 3 2002 2005003×+ + + + = =
:
*Aplicaremos la fórmula para n = 2002 :
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA1
¿Cuántos cuadraditos pequeños se puede contar en? A) 1225 B) 3500 C) 1750 D) 1725 E) 355 RESOLUCIÓN:
*Aplicaremos situaciones particulares, conservando una forma análoga a la original , tendremos: CASOS PARTICULARES
→ 1 = 12
# DE CUADRADITOS
→ 4 = 22 → 9 = 32
♦ Luego para lo pedido, se tendrá que: # de cuadraditos pequeños: 352 = 1225 RPTA. : A
PROBLEMA 02
Hallar la suma de cifras del resultado de la siguiente expresión:
( 666 …… 666)2
Se deduce
Término :
Ley de formación ó enésimo
×5 ×5 ×5 ×5
+3 +5 +7
+2 +2
( )2 ( )2 ( )2 ( )2
Se deduce
Términos :
Ley de Formación
“2005 cifras”
+5 +5
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# de Cifras
A) 4004 B) 18018 C) 12012 D) 808 E) 2003 RESOLUCIÓN:
*Observamos que la característica a variar es la cantidad de “6”, luego: CASOS PARTICULARES
♦ 62 = 36 → 9 = 9 × 1 ♦ 662 = 4356 → 18 = 9 × 2
SUMA DE CIFRAS
♦ 6662 = 443556 → 27 = 9 × 3 ⇒ La suma de cifras para la expresión pedida será:
9 × 2005 = 18045 RPTA.: B
PROBLEMA 03
¿Cuántos triángulos totalmente sombreados hay en total? A) 200
B) 8000
C) 400
D) 380
E) 210 Resolución :
CASOS PARTICULARES → 2 = 2 × 1
∆S. SOMBREADOS
→ 6 = 3 × 2 → 12 = 4 × 3
*Luego para el problema , lo pedido será: 20 × 19 = 380 RPTA.: D PROBLEMA 4
¿De cuántas formas distintas se puede leer “MOSHERA” en el siguiente arreglo?
A) 128
B) 256
C) 255
D) 127
E) 64 RESOLUCIÓN:
CASOS PARTICULARES
1 → 1 = 20
# DE FORMAS DE LEER
1 2 → 2 = 21 1 2 3 → 4 = 22 ♦ Luego para el problema pedido :
# de Formas de leer MOSHERA: 27 − 1 = 26 = 64 RPTA.: E
PROBLEMA 6
Calcular el número total de rombos sombreados que hay en: A) 625 B) 10000 C) 2500 D) 5000 E) 5050 RESOLUCIÓN:
CASOS PARTICULARES
1 = 12
# DE ROMBOS SOMBREADOS
1 Cifra
2 Cifra
3 Cifra
M O O
S S S H H H H E E E E E
R R R R R R A A A A A A A
M
-1
M
O O
-1
S S S
O O
M
-1
Mitad
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El trip
le de
los n
úmero
s Tria
ngula
res
4 = 22 9 = 32 ♦ Luego para lo pedido: 502 = 2500
RPTA.: C
PROBLEMA 7
Calcular la suma de cifras del resultado de:
444 44 888 888−
A) 12000 B) 6000 C) 4000 D) 3300 E) 6666 RESOLUCIÓN:
CASOS PARTICULARES
6844 =−
SUMA DE CIFRAS
→ 6 = 6(1)
66884444 =− → 12 = 6(2)
666888444444 =− → 18 = 6(3) *Luego para la expresión pedida, la suma de cifras será: 6(1000) = 6000
RPTA.: B
PROBLEMA 7
¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse, 100 personas asistentes a una reunión? A) 10000 B) 1000 C) 5005 D) 505 E) 4950 RESOLUCIÓN:
CASOS PARTICULARES
Para 2 personas : →
# DE APRETONES
1 221 ×=
Para 3 personas : → 2 323 ×=
Para 4 personas : → 3 426 ×=
* Luego para 100 personas el número de apretones de mano será:
99 1002 4950× =
RPTA.: E PROBLEMA 8
Hallar el total de puntos de contacto en: A) 290 B) 870 C) 420 D) 1305 E) 2875 RESOLUCIÓN:
CASOS PARTICULARES
# PUNTOS DE CONTACTO
: → 3 = 3 × 1 : → 9 = 3 × 3
: →18 = 3 × 6
*Para: ( )29 302n 30 3 1305×= ⇒ =
RPTA.: D PROBLEMA 9
Calcular el número total de bolitas sombreadas en: A) 900
B) 2500
C) 1275
D) 420
E) 950 RESOLUCIÓN
:
Total de bolitas
2 323 ×= 4 5
210 ×= 6 7221 ×=
# de bolitas sin sombrear
1 221 ×= 2 3
23 ×= 3 426 ×=
Mitad
Mitad
“2000 Cifras” “1000 Cifras”
2 Cifras 1 Cifra
2 Cifras 4 Cifras
6 Cifras 3 Cifras
NÚME
ROS
TRIAN
GULA
RES
PARA n = 2
PARA n = 3
PARA n = 4
CASOS PARTICULARES
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Pág 1024
# de bolitas sombreadas
2 3 1 22 2× ×− 4 5 2 3
2 2× ×− 6 7 3 4
2 2× ×−
Luego para lo pedido será:
50 51 25 262 2 950× ×− =
RPTA.: E
PROBLEMA 11
¿Cuántas bolitas se contará en la figura 20?
A) 1200 B) 960 C) 800 D) 1160 E) 820 Resolución:
CASOS PARTICULARES F(1) → 1 = 1 × 1 F(2) → 8 = 2 × 4 F(3) → 21 = 3 × 7
# DE BOLITAS
⇒ Para F(20) → 20 × 58 = 1160 RPTA.: D
OJO:
La regla hay que deducirla (no es una adivinanza)
. 01 Si: 1 = 1
2 = 2 − 2
3 = 3 − 3 + 3
4 = 4 − 4 + 4 − 4
Hallar: 10
A) 10 B) 100 C) 0 D) 20 E) 50
02 En el problema anterior, hallar: 237 + 400 − 37
A) 200 B) 4000 C) 600 D) 637 E) 0
03 Hallar “A + B” en la figura 20.
A) 20
B) 210
C) 36
D) 26
E) 21 04 De acuerdo al problema anterior, ¿qué figura
corresponde?
1 2 3 ················ 35 36
A) fig 12 B) fig 18 C) fig 36 D) fig 40 E) fig 15
05 ¿Cuántos palitos de fósforo son necesarios para
formular la figura 20?
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
06 El problema anterior, ¿cuántos palitos de fósforo
se necesitan para la figura 30?
A) 33 B) 30 C) 28 D) 27 E) 32
07 Los puntajes obtenidos por un alumno son los
siguientes.
Nº Examen Puntaje 1 2 2 5 3 10 4 17
¿Qué nota obtuvo en el décimo segundo examen?
×3 −2
×3 −2
×3 −2
+ 3
+ 3
×3 −2
Mitad
× 3 − 2
PRIMERA PRÁCTICA
RAZONAMIENTO INDUCTIVO
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Pág 1025
A) 194 B) 145 C) 226 D) 137 E) 205
08 Hallar P(10) .
( )( )( )( )( )( )( )( )( )
1(1) 2
1 1(2) 2 3
1 1 1(3) 2 3 4
1 1 1 1(4) 2 3 4 5
P 1
P 1 1
P 1 1 1
P 1 1 1 1
= −
= − −
= − − −
= − − − −
A) 110 B) 1
9 C) 111
D) 112 E) 1
8
09 En el problema anterior, hallar P(32)
A) 130 B) 1
31 C) 133
D) 134 E) 1
29
10 Si: 1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 52 …… fila 1
2 × 3 × 4 × 5 + 1 = 112 …… fila 2
3 × 4 × 5 × 6 + 1 = 192 …… fila 3 …… Hallar el resultado de la fila 20.
A) 3612 B) 4002 C) 4212 D) 4612 E) 4192
11 Si: 11 − 2 = 32 …… fila 1 1111 − 22 = 332 …… fila 2 111111 − 222 = 3332 …… fila 3
Hallar el resultado de la fila 20. A) 333 … 32 B) 333 … 32 C) 333 … 32
D) 333 … 32 E) 333 … 32 12 ¿Cuántos números forman una distribución de
100 filas?
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
A) 5050 B) 2030 C) 2050 D) 5000 E) 5600
13 En el problema anterior, ¿cuántos números forman una distribución de 40 filas?
A) 810 B) 900 C) 820 D) 1600 E) 800
14 Si: Fila 1: 313 Fila 2: 3213 Fila 3: 33213 Fila 4: 343213
Hallar la suma de los números en la fila 15. A) 130 B) 128 C) 130 D) 132 E) 126
15 En el problema anterior, hallar la suma de los
números de la fila 24.
A) 306 B) 303 C) 312 D) 333 E) 313
♦ Si: 1 = 2
2 = 9
3 = 28 16 Hallar: 7
A) 681 B) 342 C) 350 D) 344 E) 50
17 10
A) 101 B) 1010 C) 1111 D) 1001 E) 111
18 “x” si: x = 1332
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 01 Calcular la suma de los elementos de la fila 2003. Fila 1 → 1 3 3 6 ← Fila 2 Fila 3 → 6 10 10 15 ← Fila 4 Fila 5 → 15 21
e indicar la suma de cifras del resultado. A) 12 B) 10 C) 8
19 cifras 18 cifras 21 cifras
20 cifras 30 cifras
SEGUNDA PRÁCTICA
RAZONAMIENTO INDUCTIVO
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D) 18 E) 23 02 Calcular:
2 + 4 + 6 + 8 + …… A) 300 B) 930 C) 420 D) 425 E) 931 03 Si: 1 + 2 + 3 + …… + 2003 = K
Calcular: 13 + 23 + 33 +…… + 20033 A) K B) K3 C) 2K2
D) K2 E) ( ) 2K(K 1)2
+
04 Calcular la suma de todos los términos cuando
este arreglo tenga 25 filas:
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
A) 212 − 1 B) 223 − 1 C) 214 − 1 D) 225 − 1 E) 252 − 1 05 Calcular la suma de cifras del resultado de la
siguiente expresión:
E = (333 …… 335)2 A) 265 B) 266 C) 267 D) 268 E) 269 06 Calcular el doble de la raíz cuadrada de la suma de
todos los elementos del siguiente arreglo
3125191371
2621161161
211713951
161310741
1197531
A) 400 B) 800 C) 420 D) 840 E) 200 07 Hallar la suma de todos los elementos de la
siguiente matriz:
191813121110
18171211109
13127654
12116543
11105432
1094321
A) 1000 B) 400 C) 420 D) 200 E) 8000 08 Calcule el número de hojitas sombreadas. A) 2630 B) 2480 C) 3125 D) 2500 E) 2550 09 ¿Cuál es la suma de todos los términos del
siguiente arreglo triangular de 10 filas?
1 1 1
1 2 1 1 3 3 1
1 1 A) 2120 B) 2047 C) 2000 D) 1993 E) 2048 10 En la siguiente figura. ¿cuántas bolitas
sombreadas hay? A) 360 B) 900 C) 461 D) 625 E) 720 11 ¿Cuántos triángulos pequeños hay en total?
30 términos
87 cifras
400
11 términos
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Pág 1027
A) 806 B) 992 C) 900 D) 720 E) 560 12 ¿Cuántos puntos de contacto se contará en la
figura 25? A) 600 B) 625 C) 1080 D) 810 E) 975 13 Calcular la suma de las cifras del resultado de la
siguiente expresión: S = (111 … 11 + 222 … 22 + 333 …33)2
A) 100 B) 870 C) 900 D) 810 E) 800 14 Se muestran las siguientes figuras ¿cuántos
triángulos habrán en total, en la figura # 20?
A) 210 B) 420 C) 630 D) 150 E) 240 15 ¿Cuántos palitos hay en total? A) 920 B) 840 C) 625 D) 660 E) 780 16 ¿Cuántos rombos del tamaño indicado se pueden
contar en la siguiente figura?
A) 625 B) 600 C) 1350 D) 300 E) 900 17 ¿Calcule el número total de palitos en : A) 450 B) 720 C) 625 D) 420 E) 610 18 ¿Calcule el número total de palitos en: A) 620 B) 420 C) 310 D) 300 E) 210
100 cifras 100 cifras 100 cifras
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