RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

DEFINICIÓNLa razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las

medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto a uno de los ángulos agudos.Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.

Elementos: Catetos

Hipotenusa (H) b

m ∢ CAB (agudo)

Cumpliéndose: (Teorema de Pitágoras) b2 = a2 + c2

Definimos con respecto a :

Seno de

Coseno de

Tangente de

Cotangente de

Secante de

Cosecante de

Por ejemplo: csc = 3

NOTA:

1. En un triángulo rectángulo hipotenusa > catetos

Entonces: 0 < sen < 1 0 < cos < 1sec > 1 csc > 1

2. sen2 sen 2

3.

EJEMPLOS1. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, reducir: E = senA secC + cosC cscA

Del gráfico:

E = 1 + 1 E = 2

2. Si: es un ángulo agudo tal que . Calcular tg .

Cateto opuesto (CO) a

Cateto adyacente (CA) c(con respecto a )

I

N

V

E

R

S

A

S

inversas

C

BA

ba

c

A B

C

a

c

b

Del dato:

debe estar dentro de un triángulo rectángulo.

Por Pitágoras:

m

Piden:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLESSon aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados.Como por ejemplo:

Triángulo Notable de 45º y 45º

Triángulo Notable de 30º y 60º

TRIÁNGULOS APROXIMADOS

EJEMPLOS

1. Calcular: E = sen230º + tg37º

Reemplazando valores:

2. Evaluar:

hipotenusa

2

AB

C

1

3

aa

a

a

45º

45º

2a 2a

60º 60º

30º 30º

a a

2a3a

60º

30º

a

5a 3a

37º

53º

4a

25a 7a

16º

74º

24a

a

a

45º

45º

a

Reemplazando:

3. En el gráfico hallar: 7tan +cot

ABC notable (37° 53°) BAC notable (37° 53°)BAC = 37° + 37° = 45° = 8° (notable)

entonces : 7tan +cot

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

sen . csc = 1

cos . sec = 1

tg . ctg = 1

COMPLEMENTARIOSsen = cos

tg = ctg

sec = csc

EJEMPLOS:Si: sen2x = cos80º.Calcular: “x”

sen2x = cos80º

90º (Complementarios)2x + 80º = 90º x = 5º

En un triángulo rectángulo sus ángulos agudos son ”” y "” y se cumple que: : 16Sen = Sec. Hallar:

16Sen = Sec =

16Sen.Cos= 116Sen.Sen = 142Sen2 =12 4.Sen =1Sen =1/4

Siempre y cuando:

+ = 90º

(Complementarios)

Siempre y cuando: =

a

b

c

Si: Sec .Sen40º = Ctg50º

Csc .Cos20º = Tg70º

Calcular : (y/x).

Si: Tg(x+10º) = Cos3x.Csc(80º-x) , Csc(2x+y) = Secy; calcular Tg (x + y)

Tg(x+10º) = Cos3x.Csc(80º-x)

(x+10º)+(80º-x)=90ºCos(x+10º)= Sen(80º-x)Sen(x+10º)=Cos3x (x+10º) +3x=90º x = 20ºCsc(2x+y) = Secy

Sen(2x+y) = Cosy (2x+y) +y = 90º x + y = 45ºx =20º y = 25ºTg(20º + 25º) = Tg(45º) = 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMALÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal.

Donde:, son las medidas de los ángulos en posición normal mostrados.L.I.: Lado InicialL.F.: Lado Final

También son llamados ∢s en posición canónica o

estándar.

x

y

Del siguiente gráfico definiremos las razones trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar.

REGLA DE SIGNOS

ComprobaciónUtilizamos el siguiente gráfico para un ángulo en posición normal de medida “”.

IC. x; y r son positivos entonces todas las divisiones son positivas.

IIC. cos = +

IIIC. cot = +

IVC. sec = +

Ejemplo 1 Solución 1

Del siguiente gráfico calcular: a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”:r2 = r2 + (-3)2 r =

b) Reemplazamos las definiciones:

E = -3 + 4 E = 1

Ejemplo 2 Solución 2

Indicar el signo resultante de la siguienteoperación: E = sen 130º . cos 230º . tg 330º E = sen130º . cos230º . tg330º

E = + . - . - E = +Ejemplo 3 Solución 3

Indicar el cuadrante al que pertenece la tg = - { IIC IVC }medida angular “” si: csc = + { IC IIC } tg < 0 csc > 0

Ejemplo 4Si: IIC, IIIC, hallar el signo de: I. |Tg + Sen|

y

x

(x; y)

r

x

y

Segundo Primero

Tercero Cuarto

S P

T C

encsc

ositivasTodas

gcot

ossec

+

+ +

x

y

(-; +) (+; +)

(-; -) (+; -)

x

y

(1; -3)

IIC IIIC IVC

IIC

CR.T.

IC IIC IIIC IVC

sen + + - -

cos + - - +

tg + - + -

cot + - + -

sec + - - +

csc + + - -

II. Cos + Sen

III:

Sabemos que: IIC, IIICI. |Tg + Sen| Siempre el valor absoluto es positivo.

|Tg + Sen| es (+) II. Cos + Sen IIC Cos < 0 IIIC Sen < 0 Cos + Sen es (-)

III:

(+) ; (-) ; (-)

ÁNGULO CUADRANTALEs aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincide con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este

ángulo siempre tendrá la forma “ ”; n Z ó “n. 90º”.

Ejemplo:Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; …

n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º; … R. T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES

COMPROBACIÓN

1.

2. 0rr

xº90cos

0

3.

ÁNGULOS COTERMINALESDos ángulos en posición normal se llamarán coterminales o cofinales si sus lados finales coinciden.Ejemplo:A) B)

y son coterminales son coterminales ( IIC) ( IC)Observaciones: A) Si: y son coterminales entonces la diferencia de sus magnitudes es un múltiplo de 360°.

- = n . 360° donde n Z.

El siguiente gráfico muestra algunos ángulos cuadrantales y su medida.

x

y

90º180º

-90º

m∢R.T.

0º, 360º 90º 180º 270º

0; 2 /2 3/2

sen 0 1 0 -1cos 1 0 -1 0tg 0 N 0 Ncot N 0 N 0sec 1 N -1 N

csc N 1 N -1

0 = Cero1 = UnoN = No definido

La división de un número entre 0 (cero) es una operación no

definida.

x

y

90º

(0; r)

r

x' x

y'

y

x' x

y'

y

B) Los coterminales de un ángulo "" se obtienen mediante la relación:

+ n . 360° ó + 2nDonde: n Z

C) Si y son coterminales entonces sus correspondientes funciones trigonométricas son iguales:

F.T.() = F.T.()

R.T. DE ÁNGULOS COTERMINALESSi dos o más ángulos son coterminales entonces las razones trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico,

es decir, son iguales. COMPROBACIÓN

1. Por definición:

2. Por definición:

3. Concluimos que:

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Sirve para encontrar el equivalente de la R.T. de un ángulo cuya medida difiera a la de un ángulo agudo en términos de la R.T. (puede ser la misma o su R.T. complementaria) de un ángulo por lo general agudo. PARA ÁNGULOS POSITIVOS MENORES A UNA VUELTA

COMPROBACIÓN

Nótese que la R.T. original cambia a su R.T. complementaria toda vez que aparece 90º ó 270º y el signo + ó – depende de la R.T. original según el cuadrante donde actúa.

Comparen los signos de esta tabla con los signos del tema anterior (Regla de Signos) y comprobarán que son los mismos.Ejemplo:Reducir la siguiente expresión: E = cos(90º + A) + cos(270º + A)Recomendamos seguir el siguiente orden:

1. Primero señalamos el cuadrante.2. Luego indicamos el signo de la R. T. Original en ese cuadrante.

E = cos (90º + A) + cos (270º + A)E = [-senA] + [+senA]E = -senA + senA E = 0

COMPROBACIÓN

IC IIC IIC IVC m∢R.T.

90º- 90º+ 270º- 270º+

sen +cos +cos -cos -cos

cos +sen -sen -sen +sen

tg +cot -cot +cot -cot

cot +tg -tg +tg -tg

sec +csc -csc -csc +csc

csc +sec +sec -sec -sec x

y(-a; b)

90º+

a

br

En el

IIC–

IVC+6

“En ambos cambiamos a su R.T. complementaria

IC IIC IIC IV m∢R.T.

180º- 180º+ 360º+

sen +sen -sen -sen

cos -cos -cos +cos

tg -tg +tg -tg

cot -cot +cot -cot

sec -sec -sec +sec

csc +csc -csc -csc

En el

x

y

(-a; b)

180º -

a

br

Son ∢s coterminales los que tienen el mismo

lado inicial y final.x

y(a; b)

R.T. = R.T.

=

Nótese que la R.T. original no cambia toda vez que aparece 180º ó 360º y el signo + ó – depende de la R.T. original.Ejemplo:

Reducir: E = csc(180º - x) + csc(360º - x)Siguiente los pasos del ejemplo anterior.

E = csc (180º - x) + csc (360º - x)

E = [+cscx] + [-cscx]

E = cscx – cscx E = 0Ejemplo:

Calcular: E = 8sen150º + sec240º + 3cot315º

Para este tipo de medidas se sugiere relacionarlas exclusivamente con 180º ó 360º y luego continuar con los pasos del ejemplo anterior.

E = 8sen (180º - 30º) + sec (180º + 60º) + 3cot (360º - 45º)

E = 8 [+sen30º] + [-sec60º] + 3[-cot45º]

E = 8 . - 2 - 3 . 1 = 4 - 2 - 3 E = -1

Ejemplo : tg 300º (300º IV)

tg 300º = tg (360º - 60º) = -tg 60º = - (en el IVC la tg es -)

tg 300º = -

Ejemplo : sen 120º (120º IIC)

sen 120º = sen (90º + 30º) = +cos 30º =

(en el IIC el sen es +)

a) sen 120º =

PARA ÁNGULOS NEGATIVOS COMPROBACIÓN

1.

2.

Cambia por su co - razón

IIC+

IVC–6

IVC–6IIIC

–6IIC

+6

sen(-) = -sen

cos(-) = cos

tg(-) = -tg

cot(-) = -cot

sec(-) = sec

csc(-) = -csc

x

y

(a; b)

(a; -b)

r

r

-

3.

El signo negativo de la medida angular es colocado adelante de la R.T. salvo los R.T. coseno y secante en las cuales el signo de la medida angular puede obviarse.Ejemplos:

Csc(-60°) = -Csc60° =

Sen(-225°) = -Sen225° = - [ -Sen45°] =

Tan(-210°) = -Tan210° = - [ +Tan30°] = -

Calcular: E = tg(sen20º) + tg(sen340º)

Primero reducimos: sen340º = sen (360º - 20º) = -sen20º

Reemplazando:

E = tg(sen20º) + tg(-sen20º)

E = tg(sen20º) – tg(sen20º) E = 0

PARA ÁNGULOS MAYORES A UNA VUELTA Para este caso la medida angular que es mayor a una vuelta () será dividida entre 360º; tomando el resto () de dicha

operación como medida angular resultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:

360º = 360º . n + R.T. = R.T. n

También podríamos decir que el número entero (n) de vueltas (360º) se eliminaEjemplos:1. Calcular: tg1223ºRealizamos la operación mencionada.

1223º 360º 1223º = 360º . 3 + 143º1080º 3 143º

tg1223º = tg143º

Observamos que 143º es menor a una vuelta pero falta reducir al primer cuadrante.

tg143º = tg (180º - 37º) = - tg37º = -

2. Calcular: sen 1985º 1985º 360º

1800º 5 Residuo 185º

Luego : Sen 1985º = Sen 185º = Sen (180º + 5º) …… (*)

= -Sen 5º

Sen 1985º = -Sen 5º3. Hallar tg 5535º

IVC–

supuesto

IIC–

5535º 360º 5400º 15 Residuo 135º

Luego : Tg 5535º = Tg 135º = Tg (90º + 45º) …… (*)

= -Ctg 45º

Tg 5535º = -1¡NO TE OLVIDES!Los pasos (*), pertenecientes al tema anterior.4. Calcular: Sen (-2400º)sen (-2400º) = -Sen 2400º

2400º 360º 2160º 6 Residuo 240ºLuego : -Sen 2400º = -Sen 240º

= -Sen (180º + 60º) …… (*)

= -(-Sen 60º) = Sen 60º

Sen (-2400º) =

5. Hallar: Cot(-1020°)

Cot(-1020°) = -Cot1020° = -Cot300° = -[-Cot60°] =

1020° 360° 300° 2

ACTIVIDADES1. Calcular el mayor de dos arcos coterminales, sabiendo que su diferencia es a la suma de ellos como 32 es a 33 y el menor de

ellos está comprendido entre 40° y 50°.2. Si = 30° k y = 45° k, calcular los menores valores positivos de y sabiendo que son ángulos coterminales.

3. Sabiendo que: Sen = y Cosec = .Calcular Cos, si y son ángulos coterminales y ambos pertenecen al segundo

cuadrante.4. Si = 10° + 20° + 30° + …. + n°. Determinar el menor valor de n para que sea un ángulo cuadrantal.

5. En el problema anterior hallar el valor de y calcular: R = Sen () + Sen Sen

6. Si P = Sen . Sen . Sen …..

Q = Cos ( ) . Cos ( 2 ) . Cos (3 ) .......Calcular P2 + Q2

7. Del gráfico calcular: E = 7 sen + 6 cos

8. Si el punto P(- ; 2) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es “”. Calcular : E = sen + sec

9. Si: Sec = 6 y IIC. Calcular el valor de: E = Ctg + Cos 10. Del gráfico mostrado, calcular: E = Csc + Cos ß

x

y

(-4; -3)

Y

X

(12, 5)

ß

(3, 4)

11. Si: Ctg 0 Csc 0, en qué cuadrante está .

12. Calcular:

13. Calcular: E = cos120º + tg405º + sen1110º

14. Del grafico calcular: E = csc + cot

15. Calcule Tg si ABCD es un cuadrado

16. Del gráfico, hallar: E = 2Tg + Sen A D

CB4

7

y

x30º

º

Y

X

(3, 4)(5, 3)

-1

8

x