RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL.

Llamado también ángulos en posición canónica ó estándar, es aquel ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema de coordenada. Su lado inicial coincide con el semi-eje positivo de las abscisas ( eje X ) y su lado final se ubica en cualquier región del plano.

Ejemplo:

Definición de las R.T. de un ángulo en posición normal.

1.Sea P ( x ; y ) perteneciente al primer cuadrante y a un ángulo en posición normal.

ysen

ra

cosx

ra

tany

xa

xctg

ya

secr

xa

cscr

ya

2. Encuentra las R.T. para P ( - x ; y ), P ( - x ; - y ) y P ( x ; - y ) con un ángulo «a»en posición normal.

SIGNO DE LAS R.T.

Problemas resueltos

1. Siendo un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal «a», halla sen a

( 5; 2)P

Desarrollo: y

x5

- 2a

- 23

2

3sena

2. Si ctg a = 2,4 además Halla:IIICa

12 cos

4M sena a

Desarrollo:

24 12

10 5ctg

- 12

- 5 13

5 1 122

13 4 13M

10 3

13 13M

13

13M

M = - 1

3. Si , 270°< q < 360°. Halla:2 25

169sen q

12tan 13cos 2M q q

Desarrollo:

25

169senq

5

13senq

- 5

13

12

5 1212 13 2

12 13M

5 12 2M

9M

M = 3

4. Indica el signo de:

2

2

200 cos400 tan 100

sec 600 csc300 cos500

senM

Desarrollo:

200 IIIC Sen 200° ( - )

400 IC Cos 400° ( + )

100 IIC 2tan 100 ( + )

600 IIIC2sec 600 ( + )

300 IVC Csc 300° ( - )

500 IIC Cos 500° ( - )

Reemplazando los signos:

M

M

ÁNGULO CUADRANTAL.Un ángulo en posición normal se llama cuadrantal cuando su lado final coincidecon un semieje.En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantales son: 0°, 90°,180°, 270° y 360° y todo ángulo cuadrantal tiene comomedida un múltiplo de 90°.

R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES.

I. R.T.para 90°

De la figura se observa:

y = r x = 0

ysen

rq

cosx

rq

tany

xq

cotx

yq

secr

xq

cscr

yq

90 1y

seny

0cos90 0

y

tan90 .0

yN D

0cot90 0

y

sec90 .0

rN D

csc90 1y

y

R.T. de 180°

-x = - r y = 0

ysen

rq

cosx

rq

tany

xq

cotx

yq

secr

xq

cscr

yq

0180 0sen

r

cos180 1r

r

0tan180 0

r

cot180 .0

rN D

sec180 1r

r

csc180 .0

rN D

ysen

rq

cosx

rq

tany

xq

cotx

yq

secr

xq

cscr

yq

R.T. para 270°

x = 0 - y = - r

270 1r

senr

0cos270 0

r

tan270 .0

rN D

0cot 270 0

r

sec270 .0

rN D

csc270 1r

r

ysen

rq

cosx

rq

tany

xq

cotx

yq

secr

xq

cscr

yq

R.T.para 360° y 0°

x = r y = 0

0360 0sen

r

cos360 1r

r

0tan360 0

r

cot360 .0

rN D

sec360 1r

r

c360 .0

rcs N D

Sen

tan

cot

sec

csc

0° 90° 180° 270° 360°

0 1 0 - 1 0

1 0 - 1 0 1

0 N.D 0 N.D 0

N.D 0 N.D 0 N.D

1 N.D - 1 N.D 1

N.D 1 N.D - 1 N.D

Ejemplos:

1. Halla el valor de :

2cos0 . 270 2cos180 .tan45M sen

Desarrollo:

2

1 1 2 1 1M

M = 1 + 2 = 3

2. Halla el valor de:

30

90 sec180sen

M sen

1

21 1M

1

22M

2M

Dos ángulos en posición normal se llamarán coterminales si sus lados finalescoinciden.

a Y q son coterminales420° y 60° son coterminales.

Si a y q son coterminales tal que a > q entonces se cumple que:

360 ;k k Za q

Ejemplos:

1. 405° y 45° son coterminales por que:405° - 45° = 360° = 1 vuelta

2. 780° y 60° so coterminales por que: 780° - 60° = 720° = 2 vueltas

3. 330° y – 30° son coterminales por que:330° - ( - 30° ) = 360° = 1 vuelta.

4. 2200° y 40° son coterminales por que:2200° - 40° = 2160° = 6 vueltas

5. 1500° y 60° son coterminales por que:1500° - 60° = 1440° = 4 vueltas.

K: número de vueltas

R.T. ÁNGULOS COTERMINALES.

a Y q son coterminales entonces se cumple:

. .RT RTa qcsc

r

yq

ysen

rq

cosx

rq

tany

xq

cotx

yq

secr

xq

ysen

ra

cosx

ra

tany

xa

cotx

ya

secr

xa

cr

csy

a

Ejemplos:

1. 405° y 45° son coterminales

2. 780° y 60° son coterminales.

3. 750° y 30° son coterminales.

4. 330° y – 30° son coterminales.

Sen 405° = sen 45°

Cos 780° = cos 60°

Tan 750° = tan 30°

Csc 330° = csc ( - 30° )

En general:

. 360 .RT k RTq q

Ejemplos:

1. Cos 780° = cos ( 720° + 60° ) = cos 60° = 1

2

2. Tan 1500° = tan ( 1440° + 60° ) = tan 60° = 3

3. Sen 900° = sen ( 720° + 180° ) = sen 180° = 0

4. 61tan tan 20 tan 3

3 3 3

Problemas resueltos:

1.Si A = sen90° + csc 270° y B = tan 180° + sec 360°.Halla el valor de:

A BM

A B

Desarrollo:

A = sen 90° + csc 270°

A = 1 + - 1 = 0

B = tan 180° + sec 360°

B = 0 + 1 = 1

0 1

0 1M

M = - 1

2.Encuentra el valor de :

2

3

90 2tan0 cos180 .sec 360

csc 270 3cot90 tan180 .cos0

senM

Desarrollo:

2

3

1 2 0 1 1

1 3 0 0 1M

1 1

1M

M = - 2

3. Halla: E = cos a. sec b

Desarrollo:

a Y b son coterminales

Como los ángulos son iguales:

E = cos a. sec b 1

Veamos:

20 29. 1

29 20E

cosx

ra

secr

xa

y

senr

a

tany

xa

cotx

ya

cscr

ya

- Sen a

Cos a

- Tan a

- Cot a

Sec a

- Ccs a

Se observa que el cos y sec de un ángulo negativo es positivo.

Ejemplo:

1. Sen ( - 30° ) = - sen 30° =

2. Cos ( - 30° ) = cos 30° =

3. Tan ( - 60° ) = - tan 60° =

1

2

3

2

3

4. 3tan 60 2sec 45E

Desarrollo:

3 3 2 2E

3 2E

E = - 5

Definición:Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea.

R.T.( ) R.T.( )

: no es agudo : sí es agudo

CASOS:

1. Ángulos menores que una vuelta. ( 360° )

Regla practica:

180°+ - x

360°R.T = + - R.T( x)

90°+ - x

270°R.T = + - CO . R.T ( x )

Ejemplos:

1. Tan 240° = tan ( 180° + 60° ) = tan 60° =

2. Cos 150° = cos ( 180° - 30° ) = - cos 30°= -

3. Cos 120° = cos ( 90° + 30° ) = - sen 30° = -

4. Sen 225° = sen ( 270° - 45° ) = - cos 45° = -

5. Cot 323° = cot ( 360°- 37° ) = - cot 37° = -

6. Sec 300° = sec ( 360° - 60° ) = sec 60° = 2

7. Sen 300° = sen ( 270° + 30° ) = - cos 30° = -

8. Tan 135° = tan ( 90° + 45° ) = - cot 45° = - 1

3

3

21

21

2

4

3

3

2

Problemas resueltos.

1. Indica la verdad o la falsedad de las proposiciones:

a) Sen ( 360° - x ) = - sen x b) Cos ( 360° - x ) = cos x c) Tan ( 180° + x ) = tan x d) Sen ( 270° - x ) = - sen x e) Cot ( 90° + x ) = - tan x

2. Reduzca : cos ( 90° + x ) + sen ( 180° - x )

Desarrollo:

- Sen x + sen x = 0

VVVF

V

3. reduzca la expresión:

tan 90 cos 360

tan 270 270

x xE

x sen x

Desarrollo:

cot cos

cot cos

x xE

x x

E = - 1 – 1

E = - 2

4.Halla el resultado de:

csc40 .cos 50

1 tan 45E

Desarrollo:

csc40 .cos50

1 tan45E

csc40 . 40

1 tan45

senE

1

1 1E

1

2E

5.Hallar el valor de:

30 tan 45 cos 60

sec 120 tan 225

senE

Desarrollo:

30 tan45 cos60

sec60 cot45

senE

Sec ( 120° ) = - sec ( 180°- 60° )Tan ( 225° ) = tan ( 270° - 45° )

Recuerda:

Entonces:

1 11

2 22 1

E

1

1E

E = 1

2. Ángulos mayores que una vuelta.

Si el ángulo es mayor que 360°, se divide el ángulo entre 360° y se trabaja con elresiduo y aplicamos los casos antes visto.

Sea a > que una vuelta

N° de vueltas

residuo

Entonces:

R.T. ( a ) = R.T. b

Ejemplos:

1. Encuentra el valor de tan 780°

Desarrollo:

Dividiendo 780° entre 360° se tiene:

780° = 2( 360° ) + 60°

Tan 780° = tan 60°= 3

2. Halla el valor de cos 1230°

Desarrollo:

Dividiendo 1230° entre 360° se tiene:

1230° = 3 ( 360° ) + 150° 150 II

Cos 150° = - ( 180° - 30° )

= - cos 30° =3

2

3. Halla el valor de sen 1320°

Desarrollo:

Dividiendo 1320° entre 360°

1320° = 3 ( 360° ) + 240° 240 III

Sen 240° = - ( 270° - 30° ) = - cos 30° = -

impar

1. Sen 1634° = par

0Sen 0° = 0

Cos = - 12. Cos 1773° =

3. Tan ( 2236° + x ) = par

0Tan x

3

2

4. Cot ( 1679° – x )=

impar

Cot ( – x ) = - cot x

5.7

4sen

24

sen

2

4 2sen

IV C

6. 5

tan3

tan 2

3

tan

3

3

IV C

7. cos 42

cos

2

0

9cos

2

8. tan4

tan 1

4

III Cimpar

9.

1117tan

4

tan 279

4

117cot

2x

cot 58

2x

par

cot2

x

tanx

Problemas resueltos.

1.Hallar el 19

cos4

Desarrollo:

cos 54

cos

4

II C

cos4

1 2

22

2.Halla el resultado de :

cos2 tan3

sec tan5

senN

Desarrollo:

cos2 tan3

sec tan5

senN

cos0 tan

sec tan

senN

0 1 0

1 0N

N = - 1

3. Simplifica la expresión:

25 7sec .

2 2

csc 15 .cos 5

x sen x

Ex x

Desarrollo:

Primero:

2513

2 2

74

2 2

Entonces:

sec 13 . 42 2

csc 15 .cos 5

x sen x

Ex x

sec .2 2

csc .cos

x sen x

Ex x

csc .cos

csc . cos

x xE

x x

E = -1