Área: MATEMATICA Asignatura: MATEMATICA … 3y x ejercicios propuestos: 1. opera: a. x - 4x+ 3 x-1 - x- 3 1 + x-1 1 2. institucion educativa manuela beltran ... aprobada segÚn resolucion

INSTITUCION EDUCATIVA MANUELA BELTRAN

APROBADA SEGÚN RESOLUCION DE FUSION CON NUMERO

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DE SEPTIEMBRE DE 2002 y 2487 DE NOVIEMBRE DEL 2010

UNIDAD DIDACTICA

Código: MABE-GA-FUD-02 Versión: 02 Fecha: 01-01-2012 Página 1 de 24

Área: MATEMATICA Asignatura: MATEMATICA Curso(s): NOVENO

Docente: ERNESTO CUADROS Período 2 : 1 de abril- 23 de junio/13

Estándar:

Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. Objetivos:

Integrar el hacer del estudiante al conocimiento matemático y geométrico.

Enfatizar en la necesidad de resolver problemas en la vida diaria utilizando expresiones racionales.

Reconocer la representación gráfica de las principales funciones: lineales, cuadráticas, cubicas y exponenciales.

Mejorar los resultados de las pruebas externas (saber 9)

Competencias a desarrollar Interpretativas: Identifica las operaciones básicas con expresiones racionales Identifica la notación científica como medio para manejar números muy grandes o muy pequeños Argumentativas: Resuelve problemas cotidianos utilizando la escritura científica y la manipulación de expresiones racionales Propositiva: Muestra situaciones, las cuales se resuelven planteando ecuaciones Laborales Trabaja activamente en el desarrollo de las actividades propuestas para la clase Personales Respeta a sus compañeros de grupo y ayuda que los demás lo hagan

Indicadores de Desempeño 1. Dadas dos fracciones algebraicas cualesquiera, las presenta durante la clase; sumadas,

multiplicadas y divididas entre sí 2. Realiza durante la clase el procedimiento para hallar la solución de 3 ecuaciones 3. Realiza durante la clase el proceso para solucionar dos inecuaciones sencillas de una

sola variable, presentando la solución en notación de intervalo y en la recta real 4. Escribe en notación científica 10( números muy grandes y números muy pequeños) y

devuelve el número a la escritura de 10 números en notación científica 5. Aplica las propiedades de potenciación en los reales para resolver 10 ejercicios

propuestos en clase 6. Realiza la conversión de 10 ejercicios con radicales a potenciación y los presenta

resueltos durante la clase 7. Realiza el taller en clase para identificar si las relaciones dadas son funciones

Titulo Unidad: APLICACIONES ALGEBRAICAS:

Metodología: Se organiza el salón de clase en grupos de 5 estudiantes, a los cuales se les entrega una unidad didáctica; que previamente se explica en cuanto a contenido y alcances así como los indicadores de competencia a alcanzar una vez finalice el trabajo propuesto en ella. La unidad en su contenido hace referencia a la conceptualización mínima necesaria que el estudiante debe conocer para aprender a desarrollar cada uno de los ejercicios propuestos al igual que las actividades que debe realizar al final de la unidad. Una vez, el estudiante lea e interprete la unidad didáctica y maneje con propiedad los conceptos expuestos en el contenido, será capaz de resolver los ejercicios propuestos, con base en los ejercicios resueltos que aparecen en la guía como ejemplo. Paralelo al desarrollo de la unidad debe ir mostrando avances en una investigación de una variable escogida por cada uno de los estudiantes Las actividades planteadas al final de la unidad se resuelven aplicando los conceptos adquiridos en la apertura conceptual. Para aquellos

Acciones Evaluativas para la Clase

Evaluación Escrita

X Evaluación Oral

Trabajo en Grupo

X Trabajo Individual X

Exposición Quist X

Revisión de Cuaderno

Taller X

Tareas x Laboratorio

Informe de laboratorio

Mesa redonda

Otras: Entrega de informes de las actividades al terminar



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UNIDAD DIDACTICA


estudiantes que presenten desempeños superiores, se les aplicaran actividades de profundización planteadas en la unidad. Las evaluaciones escritas serán la sustentación individual del trabajo realizado. Al finalizar esta unidad el estudiante deberá entregar los resultados de la investigación para una variable propuesta por él

la clase

CONTENIDO:

NUMEROS REALES Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Conjunto de los números reales - Los naturales - Los enteros - Los racionales - Los irracionales - Los reales

Fracciones algebraicas. - Operaciones con fracciones algebraicas

Notación científica Potenciación en reales.

- Propiedades. - Potencias de base real con exponente racional (radicales) - Ejercicios de práctica de manejo de propiedades de potenciación

Radicales, propiedades y operaciones

Semejanza de polígonos y criterios de semejanza de triángulos

Circunferencia, sus elementos y su área

DESARROLLO DEL CONTENIDO:

1. Operaciones con Fracciones algebraicas

Título: operaciones con expresiones algebraicas racionales (fraccionarias) Les colocamos nombres como indica la figura Primero copie la forma de realizar la actividad

Dadas las fracciones:

La actividad se debe realizar en el cuaderno y consiste en:

a) sumar las dos fracciones b) multiplicar las dos fracciones c) dividir las dos fracciones

Para sumar dos expresiones algebraicas racionales el proceso es el siguiente:

( )( ) ( )( )

( )( )

Ej:

( )( ) ( )( )

( )( )

Luego se simplifica

Para multiplicar dos expresiones algebraicas racionales el proceso es el siguiente:

(

)(

)

( )( )

( )( )

Ej: (

) (

)

( )( )

( )( )

Para dividir dos expresiones algebraicas racionales el proceso es el siguiente(ley de orejas):

( )( )

( )( )

Ej:

( )( )

( )( )

3x+3

2x-1x-32x+1

y

D1 D2

N1 N2

FR

AC

CIO

N 1 F

RA

CC

ION

2



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EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplos

1. Sumar:

( )( ) ( )( )

( )( )

se suman semejantes

2. Multiplicar:

(

)

( )( )

( )( )

3. Dividir:

(

)

4. Operaciones combinadas 4

3

25

2 aaa

Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones

40

)a1516(a

40

a15a16

40

a35a28

8

a3

5

a2

4

a3

2

a

5

a2 222

5. x

4

16

x5

2

x3 2

En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición

4

x11

4

x5x6

4

x51x32

4

x5

2

x3

x

4

16

x5

2

x3 2

6.

4

5

y15x10

y12x8:

y9x4

y3x222

Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el numerador y el denominador, para simplificar si es posible.

y3x2

y3x2:

y9x4

y3x2

4

5

)y3x2(5

)y3x2(4:

y9x4

y3x22222

Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor invertida :

y3x2

1

y3x2

y3x2

)y3x2)(y3x2(

y3x2

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Opera:

a. 3+4x-x

1-x -

3-x

1 +

1-x

12



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b. 2-x+x

1+x -

1-x

3 +

2+x

12

c. 2+3x-x

1-x -

1+x

3 -

2-x-x

x22

d. 2-x+x

2+x -

1+x

3 -

1-x

x22

Sol: a)1-x

1 ; b)

2-x+x

4+3x2

; c)2-x-x

5+3x-2

; d)1-x

3x-22

Solución de problemas

2. Un hortelano planta

de su huerta de tomates,

de alubias y el resto, que son 280 m2

, de patatas. ¿Qué

fracción ha plantado de patatas?. ¿Cuál es la superficie total de la huerta? 7/20 - 800 m2

3. El paso de cierta persona equivale a

de metro. ¿Qué distancia recorre con 1.000 pasos?.¿Cuántos pasos debe dar

para recorrer una distancia de 1.400 m.? 875 m - 1600 pasos

4. En un frasco de jarabe caben

de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con cuatro litros y medio de jarabe. 12

5. Un laboratorio comercializa perfume en frascos que tienen un capacidad de

de litro. ¿Cuántos litros de perfume

se han de fabricar para llenar 1.000 frascos?. 150 litros

6. Un camión cubre la distancia entre dos ciudades en tres horas. En la primera hora hacen

del trayecto, en la

segunda los

de lo que le queda y en la tercera los 80 km. Restantes. ¿Cuál es la distancia total recorrida?. 384

7. He gastado las tres cuartas partes de mi dinero y me quedan 900 euros. ¿Cuánto tenía?. 3600

8. De un depósito de agua se saca un tercio del contenido y, después

de lo que quedaba. Si aún quedan 600 litros.

¿Cuánta agua había al principio? 1500 l.

9. ¿Cuántas botellas de

de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?. 40

10. Un vendedor despacha por la mañana las

partes de las naranjas que tenía. Por la tarde vende

de las que le

quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg. De naranjas. ¿Cuántos kg. Tenía?. 2000 kg.

11. Con el contenido de un bidón de agua se han llenado 40 botellas de

de litro. ¿Cuántos litros de agua había en el

bidón?. 30 litros.

12. Un frasco de perfume tiene una capacidad de

de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se pueden llenar con el

contenido de una botella de

de litro?. 15



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13. Jacinto come los

de una tarta y Gabriela los tres quintos del resto. ¿Qué fracción de tarta ha comido

Gabriela?.¿Qué fracción queda?. 3/7 comido - 2/7 le queda

14. De un depósito que contenía 1.000 litros de agua se han sacado, primero

del total y, después,

del total

¿Cuántos litros quedan? 200

15. De un depósito que estaba lleno se han sacado

del total y después un quinto del total. Sabiendo que aún quedad

400 litros, ¿cuál es la capacidad del depósito?. 1500 l.

16. Aurora sale de casa con 3.000 euros. Se gasta un tercio en libros y, después,

de lo que le quedaba en ropa. ¿ Con

cuánto dinero vuelve a casa?. 400 €

17. ¿Cuál es la fracción que multiplicada por

es igual a

?. 20/9

18. Los

de los vecinos de la casa de Ángel son extremeños y la cuarta parte de éstos son de Cáceres. Sabiendo que hay

seis vecinos de Cáceres. ¿Cuántos hay en la casa de Ángel?. 84

19. En una clase,

de los alumnos hacen el camino de su casa al colegio en coche o en autobús. Si los tres cuartos hacen

el viaje en coche y 7 van en autobús ¿Cuántos alumnos hay en la clase? 60

20. Los

de lo gastado lo gastado por una familia este año son 8.700 euros. ¿Cuánto suponen los dos tercios de los

gastos de esa misma familia?. 6960

21. El propietario de un solar ha decidido venderlo en parcelas. Vendió primero

del mismo, después la mitad de lo

restante y aún le quedaron 244 m sin vender. ¿Cuál era la superficie del local?. 854 m2

22. Un poste está clavado en el lecho de un río, un séptimo de su longitud está oculto en tierra, dos quintos ocultos por el agua y sobresalen 6 mts. ¿Cuál es la longitud del poste?

23. Un poste de 7mts está clavado en el lecho de un río, dos séptimos de su longitud está oculto en agua, un sexto oculto en tierra. ¿Cuál es la longitud del poste que está visible?

24. Una botella llena pesa 1,56 kg y al derramarse la cuarta parte del líquido peso medio kilogramo. ¿Cuánto pesa la botella?

25. Hallar la distancia que recorre una persona en tres días, si el primero recorre

de Km, el segundo

de Km y el tercero

de Km

26. Un empleado se gana $1500 y desea saber cuánto le queda para comprar otros artículos si se gasta

del salario en comida y en

alquiler paga $350más que en comida? R/ $650

2



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2. Notación científica

La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez. Básicamente, la notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez. En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica. Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal. Es más fácil entender con ejemplos: 732,5051 = 7,325051 • 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda) −0,005612 = −5,612 • 10−3 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha). Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.

Nota importante: Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será positivo. Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 será negativo.

Otro ejemplo, representar en notación científica: 7.856,1 1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7. 7,8561 La coma se desplazó 3 lugares. 2. El número de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103. 3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende. Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es: 7,8561 • 103 Operaciones con números en notación científica Multiplicar Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica producto de potencias para las potencias de base 10. Ejemplo: (5,24 • 10

6) • (6,3 • 10

8) = 5,24 • 6,3 • 10

6 + 8 = 33,012 • 10

14 = 3,3012

15

Veamos el procedimiento en la solución de un problema: Un tren viaja a una velocidad de 26,83 m/s, ¿qué distancia recorrerá en 1.300 s? 1. Convierte las cantidades a notación científica. 26,83 m/s = 2,683 • 101 m/s 1.300 s = 1,3 • 10

3 s

2. La fórmula para calcular la distancia indica una multiplicación: distancia (d) = velocidad (V) x tiempo (t). d = Vt Reemplazamos los valores por los que tenemos en notación científica d = (2,683 • 101 m/s) • (1,3 • 103 s)

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/PotenciasDe10.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Potenciabaseentera.htm



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3. Se realiza la multiplicación de los valores numéricos de la notación exponencial, (2,683 m/s) x 1,3 s = 3,4879 m. 4. Ahora multiplicamos las potencias de base 10. Cuando se realiza una multiplicación de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) se suman los exponentes. (101) • (103) = 101+3 = 104 5. Del procedimiento anterior se obtiene: 3,4879 • 104 Por lo tanto, la distancia que recorrería el ferrocarril sería de 3,4879 • 10

4 m

La cifra 3,4879 • 10 elevado a 4 es igual a 34.879 metros. Dividir Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica división de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notación científica. Hagamos una división:

(5,24 • 107) (6,3 • 104)

= (5,24 ÷ 6,3) • 107−4 = 0,831746 • 103 = 8,31746 • 10−1 • 103 = 8,31746 • 102

Suma y resta Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este ejemplo: 5,83 • 109 − 7,5 • 1010 + 6,932 • 1012 = lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las potencias de 10, en este caso el factor será 109 (la potencia más pequeña), y factorizamos: 109 (5,83 − 7,5 • 101 + 6,932 • 103) = 109 (5,83 – 75 + 6932) = 6.862,83 • 109 Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos queda: 6,86283 • 1012, si eventualmente queremos redondear el número con solo dos decimales, este quedará 6,86 • 1012.

Ejercicios propuestos:

1. Expresa en notación científica: a) 25.300 c) 4.376,5 e) 1.254,96 g) 823000000000000

b) 0,000000089 d) 9.800.000.000.000 f) 96.300.000 h) -0,000000678

2. Escribe con todas sus cifras los siguientes números escritos en notación científica:

a) 2,51 · 106

b) 9,32 · 10-8

c) 1,01 · 10-3

d) 1,15 · 10

4

e) 3,76 ·1012

f) 9,3 · 10

5

3. Realiza las siguientes operaciones en notación científica: a) (3,73 · 10-1) · (1,2 · 102) b) 13.200 · 5,4 · 105

c) (1,365 · 1022) ÷: (6,5 · 1015) d) (1,431 · 103) ÷ (5,4 · 105)

4. Calcula el término que falta en cada caso: a) (2,5 · 106) · ¿? = 8,4 · 105 b) (3,6 · 10

12) ÷ ¿? = 2 ·10

12

5. Sabiendo que cada persona tiene en la cabeza promedio de aproximadamente, 1,5 · 106 cabellos y que en el mundo hay, aproximadamente, 5 · 10

9 personas, ¿cuántos pelos hay en la Tierra?

6. La siguiente tabla de información sobre nuestro sistema solar:



http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraFactorizacion.htm



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a) ¿Cuál es el planeta de radio menor? b) ¿Cuál es el planeta que está casi 10 veces más lejano al Sol que la Tierra? c) Calcula la distancia que hay entre Venus y la Tierra? Expresa el resultado en Km. d) Imagina que se descubriese un nuevo planeta llamado Vallecus a 25.880.800.000.000 m. del Sol. Expresa esta distancia en notación científica. e) ¿Cuántas veces estaría más lejos del Sol que la Tierra?

7. La distancia entre La Tierra y el Sol es 1,5 · 108 km, la distancia entre La Tierra y Júpiter es 9,3 · 108 km y Neptuno está

situado a 4.500.000.000 km. del Sol. a) Expresa en notación científica la distancia del Sol a Neptuno. b) Calcula la distancia a la que está situado Júpiter respecto del Sol. c) Calcula cuántas veces es mayor la distancia del Sol a Neptuno que la que hay a La Tierra.

8. Escriba en notación científica los números:

a) 6384,22 b) 0,0001035 c) -312 d) 325000000000,0 e) 2523,35 f) 1,0001035 g) -0,0000000006 h) 0,00006458

9. Expresa en notación normal los siguientes intervalos de tiempo medidos en segundos.

a. Vida media del hombre 1x109_______________________ b. Tiempo que tarda la tierra en girar sobre si misma 8,64x10

4_______________________

c. Periodo de un electrón en su órbita 1x1015

_______________________ d. Periodo de vibración de una cuerda de guitarra 0,1x10-5_______________________ Expresa en notación científica las siguientes masas medidas en kilogramos. e. Masa del sol 600 000 000 000 000 000 000 000 000 000 _______________________ f. Masa de un barco 10 000 000 000 _______________________ g. Masa del átomo: 0,000 000 000 000 000 000 000 1 _______________________ h. Masa de la tierra: 5 970 000 000 000 000 000 000 000 _______________________

10. Escriba en forma decimal los números:

9

5

4

6

101)

10381)

1002.6)

103)

d

c

b

a



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UNIDAD DIDACTICA


NOTACIÓN CIENTÍFICA. OPERACIONES 10. Sumas

Ejemplos: (7,2.105)+(1,93.105)=(7,2+1,93).105=9,13.105 (7,2.10

3)+(8,4.10

3)=15,6.10

4=1,56.10

5 (hay que transformar el resultado para que quede en notación científica)

Efectúa las siguientes sumas sin utilizar la calculadora: a) 2,33.10

11+4,86.10

11=

b) 5,43.10-8

+8,5.10-8

-3,124.10-8

= c) 6,93.10

6+4,87.10

6-1,2.10

6=

d) 5,9.10-11

-8,73.10-11

-9,3.10-11

= Si las potencias de 10 no son iguales tendremos que “transformar” algunas, como en el siguiente ejemplo: 1,2.105+3,6.106=0,12.106+3,6.106=3,72.106

a) Efectúa 5,8.103+9,8.104= 11. Productos:

Ejemplo: (6,24.105).(5,1.10-13)=31,824.105+(-13)=31,824.10-8=3,1824.10-7 Efectúa (puedes utilizar la calculadora pero sólo las teclas x, +, -)

a) (5,43.1012).(8,2.10-5)= b) (6,2.10-15).(1,8.10-13)=

12. Divisiones: Ej:(5,31.1015)÷(6,3.10-4)=(5,31÷6,3).(1015÷10-4)=0,843.1015-(-4)=0,843.1019=8,43.1018

a) (3,4.107) ÷(8,1.10-6)=

b) (8,2.10-7) ÷(4,5.106)=

c) (1,4.10-7) ÷(5.10-6)=

d) ( , , ) ( . )

,

2 63 10 8 6 10 3 10

5 93 10

5 5 4

9

=

e) ( , , ).( , )

,

7 43 10 4 1 10 7 4 10

1 01 10

8 8 5

11

=

13. Con calculadora: para escribir 8.105 tecleamos:

. Utiliza la tecla para poner los números negativos. Efectúa con la calculadora:

a) 7,84.1012-9,4.10-9=

b) (7,84.1015+1,24.1016-9,87.1014).(3,1.10-11)=

c) ( , ( , ) ( )

( , , ) ( , )

8 731 10 3 4 10 5 10

2 5 10 9 1 10 6 2 10

5 7 3

6 5 4

=



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UNIDAD DIDACTICA


3. Potenciación en reales. POTENCIA DE UN NÚMERO.

Si RayNn , entonces na , es igual al producto de n veces el número real a tomado como factor, es decir

vecesn

n a...aaaaa

Ejemplos:

12555553

11111115

81

16

3

2

3

2

3

2

3

2

3

24

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION Producto de potencias de igual base: el producto de potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los términos factores.

Simbólicamente: nmnm aaa

Ejemplo: 2021082108 33333 Cociente de potencias de igual base: El cociente de dos potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes del término dividendo menos el del divisor.

Simbólicamente: nm

n

m

aa

a con a ≠ 0 y m>n

Ejemplo: 9312

3

12

555

5

Potencia de una potencia: La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base y de exponente igual al producto de los exponentes que haya en la expresión

Simbólicamente: nmmn aa

Ejemplo: 302532

53222

Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de dichas potencias.

Simbólicamente: nnnbaba

Ejemplo: 3332525

Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es igual al cociente de dichas potencias

Simbólicamente: n

nn

b

a

b

a

b ≠ 0

Ejemplo: 2

22

4

5

4

5

Exponente cero: toda cantidad con exponente cero es igual a 1



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UNIDAD DIDACTICA


Simbólicamente: 10 a a ≠ 0

La expresión 00 no está definida Exponentes enteros negativos: si n es cualquier entero negativo y a un número real diferente de cero se cumple que:

n

n

aa

1 o que

n

n

aa

1

En caso que la base sea un número racional se tiene que nn

a

b

b

a

Ejemplos:

8

1

2

12

3

3 33

5

3

3

5

Ejercicios propuestos:

1. Indica si el signo del resultado es positivo o negativo:

7( 6) b. 4( 4) c.

13( 12)

2. Expresa como potencia:

( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5)

5 5 5 5 5

( 3) ( 3) ( 3)

3. Calcula:

3

5 b. 4

12 c. 7

2

d.

43

7

e.

45

2

f. 3

6

7

=

g. 3

5

2

4. Aplica propiedades a2 · a3 = b. x6 : x4 = c .a7 ÷ a = d. (b3)4 = e.2

3 · 2

7 · 2

15 = f. a

8 · a

6 · a

10 = g. ((x

2)

3)4= h .a

13 ÷ a

6 =

i.

4 7

2 11

x y

x y j.

3 7 12

2 5

x y z

x y z k.

245

2

l. 25x

1. 36 aa

2. aa 5

3. yxyx aa 32

12. 423mn

13. 3232

53 xx

19.

10

32

23

t

t

k

k



2049


UNIDAD DIDACTICA


4. xbb

5. 23 22

6. 65p

7. 82b

8. aa43

9.

xx

5

6

3

1

10. 2

3x

11. 232p =

14. 31313 aa mm

15. 42222 9:3 yyy

16.

3

3

2

a

a x

17.

1

3

m

m

w

w

18.

3

23

12

x

x

p

p

20.

n

m

mm

a

aa34

2213

21.

ba

ba

abba

xx

xx34

32

22

22.

2

3

2

13

5x

x

x

x

n

n

n

n

23. 115132 128:64

xxx

GUIA DE EJERCICIOS

Potencias y sus Propiedades.

Definición: aaaaaan (n veces)

Ejemplo: 83 = 888 = 512

Calcular el valor de: 1) 31 + 52 2) 23 – 52 3) 25 + 8 + 42 + 33 4) 62 + 72 – 83 5) 122 – 93 6) 43 + 23 – 91 7) 102 + 82 + 33 8) 53 – 25 9) 112 + 43 – 24 10) 82 – 63 11) 95 – 73 12) 23 – 45 + 92 13) 152 – 122 14) 34 + 53 – 62 15) 35 – 27 16) 53 + 32 17) 62 + 34 18) 112 – 92 19) 45 + 35 20) 83 – 102 21) 74 – 53 22) 35 – 27 23) 142 + 21 – 103 24) 42 + 43 25) 62 + 64 26) 105 – 103 27) 82 + 72 28) 131 + 81 29) 27 + 52 + 43 30) 202 – 102

Propiedad de la Multiplicación de Potencias de Igual Base: mnmn aaa

Ejemplo: 63 x 64 = 63+4 = 67 = 279936 Calcula el valor de: (utiliza la calculadora si el número es muy grande) 1) 51 x 52 2) 33 x 32 3) 20 x 2 x 22 x 23 4) 82 x 81 x 83

5) 122 x 123 6) 43 x 43 x 41 7) 105 x 102 x 103 8) 23 x 25 9) 42 x 43 x 44 10) 62 x 63 11) 95 x 93 12) 43 x 45 x 42 13) 152 x 152 14) 54 x 53 x 52 15) 75 x 77 16) 33 x 32 17) 62 x 64 18) 112 x 112 19) 45 x 45 20) 93 x 92 21) 74 x 73 22) 25 x 27 23) 142 x 141 x 143 24) 42 x 43 25) 62 x 64 26) 105 x 103 27) 82 x 82 28) 131 x 135 29) 47 x 42 x 43 30) 202 x 208



2049


UNIDAD DIDACTICA


Propiedad de la división de Potencias de Igual Base: mn

m

n

aa

a

Ejemplo: 9333

3 246

4

6

Calcula el valor de:

1) 5

52

2) 2

3

3

3 3)

2

4

2

2 4)

5

7

8

8 5)

5

6

12

12 6)

6

9

4

4 7)

1

3

10

10 8)

10

13

6

6 9)

2

5

7

7 10)

18

20

9

9

11) 15

16

11

11 12)

9

17

2

2 13)

1

3

13

13 14)

17

21

3

3 15)

11

14

14

14

16) 3

7

4

4 17)

9

12

6

6 18)

6

8

20

20 19)

11

15

7

7 20)

1

3

9

9

21) 9

10

10

10 22)

15

20

2

2 23)

8

9

16

16 24)

4

15

1

1 25)

3

8

5

5

26) 4

7

3

3 27)

10

11

11

11 28)

6

8

8

8 29)

2

10

7

7 30)

50

100

1

1

Propiedad del exponente cero: 10 a Ejemplo: 1210 = 1

Calcular el valor de: 1) 30 + 20 + 100 2) 120 + 80 – 140 3) 20 + 42 + 30 4) 60 + 72 – 80 5) 93 – 120 6) 43 + 20 – 90 7) 102 + 80 + 33 8) 25 – 50 9) 112 + 40 – 24 10) 63 – 80 11) 95 – 73 12) 23 – 40 + 90 13) 150 – 120 14) 62 – 30 + 50 15) 27 – 30 16) 53 + 32 17) 62 + 34 + 10010 18) 92 – 110 19) 45 + 35 + 1200 20) 83 – 100 21) 53 – 70 22) 35 – 20 23) 103 – 140 + 21 24) 42 + 40 – 30 25) 62 + 60 26) 105 – 100 27) 82 + 70 28) 130 + 81 29) 20 + 50 + 43 30) 102 – 200

Propiedad de potencia de una potencia: mnmn aa

Ejemplo: (33)2 = 33x2 = 36 = 729 Calcular el valor de: (utiliza la calculadora si el número es muy grande) 1) (51)2 2) (34)2 3) (22)3 4) (82)1 5) (122)3 6) (43)3 7) (105)2 8) (23)5 9) (42)4 10) (62)3 11) (95)3 12) (43)5 13) (152)2 14) (54)3 15) (15)7 16) (33)2 17) 62 x 64 18) 112 x 112 19) 45 x 45 20) 93 x 92 21) (74)3 22) (25)7 23) (142)1 24) (42)3 25) (62)4 26) (105)3 27) (82)2 28)(131)0 29) (47)0 30) (200)10 31) (37)4 32) (54)2 33) (82)2 34) (103)5 35) (112)9



2049


UNIDAD DIDACTICA


1. Escribe cada potencia como un producto de factores iguales. a) 55 b) 23 c) 84 d) 48 e) 367 f) 1002 g) 35 h) m3 i) 136 j) 157 k) 48 1) (a + b)2 2. Usando la calculadora, encuentra el valor de cada potencia. a) 26 b) 133 c) 65 d) 54 e) 122 f) 104 g) 302 h) 153 i) 104 3. Escribe cada una de las siguientes multiplicaciones como una potencia y calcula su valor. a) 13 · 13 · 13 b) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 d) 10 · 10 · 10 · 10 4. Escribe cada potencia como una multiplicación de factores iguales y escribe su valor. a) 23 b) 72 c) 103 d) 101 e) 27 f) 53 5. Escribe en forma de potencia los siguientes números de modo que la base sea la menor posible. a) 8 b) 36 c) 64 d) 121 e) 125 f) 1.000 g) 2.401 6. Completa con el número que falta para que cada igualdad sea verdadera. a) 2 = 32 b) 3 = 81 c) 3 = 243 d) 4 = 64 e) 5 = 625 f) 10 = 10.000.000 7. Escribe cada número como una multiplicación de potencias. a) 108 b) 432 c) 675 d) 900 e) 1.225 f) 1.125

8. ¿Qué número elevado a 5 es 243? 9. ¿Qué número elevado a 3 es 216? 10. ¿Cuál es el número cuyo triple de su cuadrado es 300? 11. Usa tu calculadora y escribe el valor de cada potencia. a) 56 = b) 28 = c)113 = d) 152 = e) 203 = f) 172 = 12. Indica, en cada caso, qué potencia es mayor. Verifica tus respuestas con la calculadora.



2049


UNIDAD DIDACTICA


a) 25 ____ 52 b) 46 ____ 64 c) 92 ____ 29 d) 38 ____ 83 d)103 ___ 310 16. Transforma cada potencia para que el exponente quede positivo y luego calcula su valor. a) 2-3 b) 3-2 c) 5-2 d) 2-5 e) 10-1 f) 4-1 g) 1-4 13. Calcula el valor de cada potencia y luego multiplícalas para obtener el valor de cada expresión. a) 24 · 2-3 b) 3-3 · 31 c) 53 · 5-2 d) 73 · 7-3 e) 2-4 · 23 f) 33 · 3-1 g) 5-3 · 52 14. Escribe cada expresión como una potencia con exponente negativo.

3

1 f)

7

1 e)

6

1 d)

10

1 c)

5

1 b)

3

1 a)

523424

15. Calcula el valor de cada potencia.

2

3 f)

5

1 e)

3

2 d)

3

2 c)

4

1 b)

4

1 a)

533322

16. Escribe cada expresión como una potencia. a) 26 · 36 b) 22 · (-3)2 · 62 c) 34 · 34 · 34 d) 44 · (-5)4 e) 72 · 112 f) (5)3 · 53 · (5)3 g) 25 · 35 · 55 h) 83 · 103 i) 134 ·134 · 104 20. Escribe cada número como una multiplicación de potencias de distinta base y de igual exponente. a) 225 b) 1.225 c) 22.500 d) 196 e) 2.500 f) 125.000 g) 1.296 h) 4.900 i) 1.331.000 21. Calcula el valor exacto de cada expresión: a) 25 + 33 = b) 34 – 42 = c) 34 – 32 = d) 83 – 82 = e) 3 + 22 + 23 + 24 – 25 f) 3·23 - (2-5)2 + 50 – (4+5·6)0 g) 30 + 3-1 + 3-2 + 3-3

h) 100 + 101 + 102 + 103 + 104 i) 32 + 22 – 40 + 5·(3 – 5)0 j) 3722552

722322

3·2·)2·3·()3·2(

3·2·3·)2·()3(

k) 44

3232

2·5·)5·3(

2·5·2·3·5·2 l)

2234

2245

2·5·3·2·)3·7(

7·7·3·2·3·7

22. Desarrolla los siguientes ejercicios combinados:

1) 22 (4 7) 2) 315 (5 3) 3) 27 4 4) 25(4 3)

5) 37 3(9 1) 6) 26 3 7) 2(6 3) 8) 26( 3)



2049


UNIDAD DIDACTICA


9) 2 25 4 10) 2(5 4) 11)24 5

3 3 12)

2(4 5)

3

13)

24 5

3 3

14)

24 5

3 3

15) 24 5

3 3 16)

2

4 5

3 3

17) 2 3 2(4 5) (7 3) (8 1) 18) 2 3 24 5 7 3 8 1 19) 2 3 24 (5 7) 3 (8 1)

20) 2

2 3(4 5) (7 3) (8 1) 21) 2 3 2(4 5) (7 3) (8 1) 22) 4

3 2(4 1) 5

23) 7

5 23 2 2 24)

2

2

2 2

2

25)

2

2

2 2

2

26)

2

2

2 2

3 2

27)

3

3

2 3

3

28)

2

3

2 2

2 2

Completa la tabla siguiendo el ejemplo:

Base Exponente Potencia Calculo Valor

2 3 32 2 2 2 8

3 4

13 6

5 2

2 5

Expresa en forma de potencia de base 10:

100000000 10 b) 100000 10 c) 100 10 d) 10000 10 Expresa en forma de potencias de base 2:

a) 64 2 b) 16 2 c) 256 2 Expresa en forma de potencias de base 3:

a) 27 3 b) 729 3 c) 243 3 Expresa en forma de potencias de exponente 2:

a)

2

64 b)

2

100 c)

2

36

4. Radicales, propiedades y operaciones



2049


UNIDAD DIDACTICA


Un radical es una expresión de la forma n

a , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar

Si el coeficiente es 1 o el índice es 1, no se escriben pero se deben tener en cuenta !!!

CALCULO DE LA RAIZA DE UN NÚMERO (SIN CALCULADORA) Para empezar, vamos a ver cómo calcular la raíz cuadrada de un número de una o dos cifras. Por ejemplo, calculemos la raíz cuadrada de 71:

Esto es fácil: simplemente tenemos que hallar el número más alto, del 0 al 9, que multiplicado por si mismo nos dé 71 o menos. En este caso, el número que buscamos es 8, ya que 8x8=64, que es inferior a 71, y 9x9=81, que es superior a 71. Además, la operación tiene un "resto" que vale 7, ya que 71-8x8=7. Todo esto lo escribimos de esta manera:

Fácil, ¿no? Pues ahora vamos a ver cómo se calcula la raíz cuadrada de un número de más de dos cifras. Por ejemplo, el

71492: √

El primer paso consiste en dividir el número en grupos de dos dígitos, comenzando por la derecha: √ A continuación, calculamos la raíz cuadrada del grupo de más a la izquierda:

En este caso hemos calculado la raíz cuadrada de 7, que es 2 con un resto de 3. A continuación "bajamos" el siguiente grupo de dos dígitos y lo ponemos a la derecha del resto:

En el siguiente paso multiplicamos nuestra solución parcial por 2 (siempre por 2) y ponemos el resultado (4) en una nueva fila de la columna de la derecha:

Ahora viene la parte más complicada del cálculo. Tenemos que buscar un dígito de 0 a 9 para añadir a la derecha del 4, lo cual nos dará un número de dos cifras. Ese número de dos cifras, multiplicado por el dígito que hemos buscado, nos dará un número que tiene que ser igual o inferior a 314, que es el número que tenemos después de "bajar" el siguiente grupo de cifras. El dígito más alto que encontremos será la siguiente cifra de la solución. En este caso, el dígito que buscamos es 6, porque 46x6=276, que es inferior a 314, y 47x7=329, que se pasa de



2049


UNIDAD DIDACTICA


314:

El resto es 38. Ahora tenemos que, como antes, bajar el siguiente grupo de cifras y también multiplicar la solución parcial por 2 y añadir el resultado a la columna de la derecha:

Y, como antes, tenemos que buscar un dígito, concatenarlo al "52", multiplicarlo por el resultado, y procurar que el resultado sea igual o inferior a 3892:

Y, como podéis ver, la raíz cuadrada de 71492 es 267, con un resto de 203. Podemos comprobarlo fácilmente, calculando 267x267=71289, y 71492-71289=203. Fácil, ¿no? Algunos os preguntaréis cómo se pueden calcular las cifras decimales de la raíz cuadrada. Es decir, si usamos una calculadora, ésta nos dirá que la raíz cuadrada de 71492 es 267,3798... ¿cómo se pueden calcular estas cifras decimales con lápiz y papel? La respuesta es muy simple: sólo tenéis que "bajar" grupos de dos ceros y seguir calculando la raíz cuadrada hasta que os canséis. Por ejemplo, aquí veis cómo he calculado las dos primeras cifras decimales:



2049


UNIDAD DIDACTICA


En cualquier caso hoy en día con las calculadoras apenas si se usa este algoritmo Actividad: Hallar las siguientes raíces cuadradas, realizando el procedimiento manuela y con dos decimales:

a) √ b) √ c) √ d) √ e) √

f) √ g) √ h) √ i) √ j) √

k) √ l) √ m) √ n) √ o) √ Respuestas de las raíces cuadradas:

a) 18,81488772 b) 29,189039 c) 18,7082869 d) 91,4002188 e) 99,3730346

f) 19,62141687 g) 27,1108834 h) 200,805876 i) 27,4590604 j) 5,91607978

k) 7,348469228 l) 7,61577311 m) 5,09901951 n) 19,6417922 o) 5,94978991

RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO

Si ,Rb,Ra se cumple que ba:sisolosi,ab 2 , donde a es la raíz cuadrada de b

Ejemplo: 255525 2 porque

RAIZ CUBICA DE UN NÚMERO

Si ,Rb,a entonces se cumple que ba:sisolosi,ab 33 , donde a es la raíz cúbica de b


RAIZ ENESIMA DE UN NÚMERO

Si Nny,Rb,a entonces se cumple que ba:sisolosi,ab nn , donde a es la raíz enésima de b


EXPONENTES RACIONALES



2049


UNIDAD DIDACTICA


Una expresión radical puede escribirse como una potencia de exponente racional, es decir n

mn m aa

Ejemplo: 32

3 2 55

PROPIEDADES DE LOS RADICALES.

Raíz enésima de un número real elevado a la potencia n: para cualquier ,Zn se cumple que:

aaaa n

nn/nn n

1

Raíz enésima de un producto: la raíz enésima de un producto es igual al producto de ls raíces enésimas de los factores. Para

cualquier ,Zn se cumple que nnn baba

Raíz enésima de un cociente: la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas del dividendo y del divisor.

Para todo ,Z,b,a,n se cumple que: n

nn

b

a

b

a

Raíz enésima de una raíz: la raíz enésima de una raíz es igual a otra raíz, cuyo índice es el producto de los índices. Para todo

,Z,b,n,m se cumple que: √ √

√

Propiedad fundamental de los radicales: Se puede multiplicar o dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número y el valor de la raíz no cambia, por tanto

Nkdonde,bbbbn nn/mkn/kmkn km

Se debe tener en cuenta que si n es par, entonces el radicando debe ser positivo para que exista una raíz real. Ejercicios propuestos (Resolverlos aplicando las propiedades de las raíces)

TAREA DE REFORZAMIENTO – POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS TALLER

I. Calcular:

a. 36 b. 5 243 c. 100 d. 121

e. 3 216 f. 4 16 g. 3 125 h. 4 81

i. 4 2401 = j. 101= 2. Escribe en forma de radical las siguientes expresiones

a. 2

1

5 b. 4

3

2 c. 2

1

7 d. 3

1

x

3. Escribe en forma de potencia

a. 11 b. 3 5 c. 4 7 d. 2

4. Aplica las propiedades de la radicación y comprueba



2049


UNIDAD DIDACTICA


a. 4100 b. c. 3 2 d.

4 5 3 e. 5 53

5. Completar el número que falta en el casillero correspondiente :

a) ( -2 ) 5 = e) ( +4 )4 =

b) (+11) 2 = f) ( 12 )2 =

c) ( - 80 )º = g) ( -9 )

3 =

d) ( -10 )3 = h) ( -5 )

-3 =

6. Aplica las propiedades de la potenciación y escribe como una sola potencia :

a) ( -3 )2 ( -3)

3 ( -3)

4 = b) ( x

3 )

2 . ( x

4 )

3 =

c)3

9

)6(

)6(

= d)

5.5

5.5.52

846

=

e)23

2

. 22

3

= f)[ ( a3 )

2 ( a

2 )

5 ]

3

7. Aplica las propiedades de la radicación y calcula :

a) 10081x = b) 1252163 x = c) 512)343(273 xx = d) 2536144 xx =

e) 633 2543 xx =

f) 28352 .).()(6 aaa =

4.Hallar la raíz cuadrada de :

a) 53824 b) 68715 =

8. Simplificar :

a) 34

47

.

.

ba

ba = b)

= c)

54.6

7458

..3

...33

cab

cba = d)

245

6437

...10

...10

ymz

zym=

9. Resuelve las siguientes operaciones combinadas :

a) √ ( )

( √ )

b) ( -7 + 4 )4 ÷ 3

3 - 25 . ( -2 ) c) 916

2.43

273

d) 13.83273.16

9

144



2049


UNIDAD DIDACTICA


5. Semejanza de polígonos y criterios de semejanza de triángulos

Xxx para clases de geometría xxxxxxxxxxxxx

6. Circunferencia, sus elementos y su área xxxxxxxxxxxxxxxx ojo este tema será para periodo 4

7. Ecuaciones lineales con dos variables y sus características Las ecuaciones lineales con dos variables se pueden presentar en varias formas:

, ,

Las anteriores ecuaciones son lineales porque el exponente de las variables es uno. Además no son tres ecuaciones diferentes. Es la misma ecuación presentada en diferentes formas. Sin embargo la tercera forma es la más útil para el análisis porque muestra la forma general de la ecuación. La forma general de una ecuación lineal es , en donde: y es la variable dependiente, x es la variable independiente, m es la pendiente, debe ser un número real diferente de cero b es el término independiente, es un número real que indica que la función corta al eje y en el punto (0,b) Ejemplo:

En la ecuación

se observa que:

y es la variable dependiente, x es la variable independiente,

m es la pendiente que equivale a

, es un número real diferente de cero

b es el término independiente que equivale a 2 , es un número real que indica que la función corta al eje y en el punto (0,2) Ejercicios propuestos: Completar la siguiente tabla:

Función Pendiente

m

Término Indepen.

b

Punto de Corte con

El eje y

Función Pendiente

m

Término Indepen.

b

Punto de Corte con

El eje y 1) 2)

3) -3 -4 (0,-4) 4)

5)

6)

7) 8) 9) 10)

11)

12)

13)

14)



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UNIDAD DIDACTICA


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0 2 4 6 8

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15) √ 16) √

17) √ 18)

√

19) 20)

21) √ 22) √

La pendiente m indica el grado de inclinación de la recta con respecto al eje horizontal x Ejemplo: En la ecuación la pendiente es 3 (figura 1), indica que por una unidad de desplazamiento horizontal la recta cambia 3 unidades en forma vertical, veamos esto en el siguiente gráfico, en donde se ha utilizado un lápiz como unidad de medida:

El grado de inclinación de esta recta es 3, porque en forma horizontal hay una unidad de medida y en forma vertical hay tres unidades. También se dice que tiene pendiente 3. En la figura 2 la pendiente es -3 porque se mide una unidad horizontal hacia la izquierda y tres unidades hacia arriba Nota: Cuando la pendiente es positiva, la función va del cuadrante 1 al cuadrante 3. (Figura 1) Cuando la pendiente es negativa, la función va del cuadrante 2 al cuadrante 4 (Figura 2)

Ejercicios propuestos: Observe el grado de inclinación de las rectas y determine por simple inspección el valor de la pendiente. Analice en cuanto cambia la variable y por una cambio de una unidad en la variable x

Recta # Signo de la Pendiente

Valor de la Pendiente

R1 2

R2

R3

R4 negativo

R5

R6

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Solución gráfica

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Solución gráfica



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UNIDAD DIDACTICA


Actividades: (de varios temas, esto es la evaluación, ojala sea tipo icfes, mucho gráfico, proponer a partir del gráfico, usar comparaciones, relaciones, preguntas abiertas, crucigramas, falso o verdadero justificando respuesta , etc)

Área: MATEMATICA Asignatura: MATEMATICA Curso(s):NOVENO

Docente: Ernesto Cuadros

Recursos: unidad didáctica, Internet ( videos de sistemas de ecuaciones lineales 2x2)

Evaluación: Se valorara el trabajo en grupo, la prueba escrita, las actividades realizadas en clase, laboratorios

realizados.

La evaluación se hará semanalmente y al finalizar cada periodo, teniendo en cuenta la conceptualización y

aplicación del trabajo teórico practico desarrollado por los estudiantes.

Bibliografía

Soluciones 9, editorial Futuro

Actividades de Profundización:

Documents

Área: MATEMATICA Asignatura: MATEMATICA … 3y x ejercicios propuestos: 1. opera: a. x - 4x+ 3 x-1 - x- 3 1 + x-1 1 2. institucion educativa manuela beltran ... aprobada segÚn resolucion