REACTIVOS OLIMPIADA 2014resueltos

7/21/2019 REACTIVOS OLIMPIADA 2014resueltos

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PRIMER GRADO

Problemas de primer grado para olimpíada 2014

1- Con cinco triángulos equiláteros se armó esta figura El triángulo grande tiene cm de!er"metro# El lado del triángulo mediano es la mitad del lado del triángulo grande$ el lado

del triángulo !eque%o es la mitad del lado del triángulo mediano & as" sucesi'amente#(Cuál es el !er"metro de la figura)

Res!uesta*

1+1+1

2+1

2+1

4+1

4+1

8+1

8+ 1

16+ 1

16

+- Marcos tiene todas las letras del a,ecedario en tres tama%os* grandes$ medianas &!eque%as*

A$$C$D$E$# # # $. A$$C$D$E$# # # $.

A$$C$D$E$# # # $.

/sando letras de dos tama%os$ Marcos quiere escri,ir el nom,re de su amiga A0A# (De cuántasmaneras !uede acerlo)

Solución: 0otemos !ara em!e2ar que tiene obligatoriamente que utili2ar dos tama%os de letras!ara las dos A del nom,re# 3a& tres o!ciones en lo referente a los tama%os de letra* grande-mediano$ grande-!eque%o & mediano-!eque%o# /na 'e2 que a sido fi4ado los tama%os de letra ausar$ a& cuatro maneras de escri,ir el nom,re

A0A

A0 A A0A



A0 A

Entonces el total de maneras es 5 6 7 1+#

- 8e tienen dos dados# En las caras de uno de ellos a!arecen los n9meros +$ 6$ :$ 1 ;$+ & ;6$ mientras que en las caras del otro a!arecen los n9meros del 1 al ;# <iramos losdados & multi!licamos los dos n9meros que o,tengamos# (Cuál es la !ro,a,ilidad de queesta multi!licación sea un cuadrado !erfecto)

L a p r o b a b i l i d a d es / 1 4 H a y e n t o t a l 36 p os i b l esr es u l t a d os a l t i ra r l os d a d o s. L u e g o, los u n i c o s r es ul t a d os q u e g e ne ra n u nc u a d r a d o p e r f e c t o s o n: {1,4}, {1,16}, {1,64}, {2,2}, {2,8},

{2,32}, {4,4}, {4,16}, {4,64}. n t o n c es la p r o b a b i l i d a d d e qu e c a i g a a l g u n a d e l as c o m b i n a c i o n es a n te r i o res es !/"#= 1/4 .

4- Un poliedro en forma de balón de futbol tiene 32 caras: 20 son hexágonos regulares y

12 son pentágonos regulares !"uántos #$rtices tiene el poliedro%

&olución

'bser#emos (ue cada #$rtice lo es de cada pentágono y (ue dos pentágonos no compartenning)n #$rtice "omo son 12 pentágonos y cada uno tiene * #$rtices+ en total hay ,0 #$rticese otra manera: .ay 20 hexágonos+ cada uno con , #$rtices+ para un total de 120 #$rtices .ay

12 pentágonos+ cada uno con * #$rtices+ para un total de ,0 #$rtices /ero cada #$rtice es

compartido por tres figuras+ por lo tanto el poliedro tiene120+60

3=60

#$rtices



*- (=u> fracción del e5ágono regular re!resenta la figura som,reada ?rom,o@$si tiene dos'>rtices so,re so,re la mitad de los lados del e5ágono )

$oluci%n:

Consideremos la siguiente construcción*

8e !uede 'er el área ,uscada equi'ale a 6 triángulos de un total de +6 es decir$ el área som,reada

es

4

24=1

6 del e5ágono#



;# Pro,lema 1:# Mire las guras# Am,as an sido formadas con las mismas

cinco !ie2as# El rectángulo mide B cm 1 cm$ & las otras !artes son

cuartos de dos c"rculos diferentes# a diferencia entre las medidas de los

!er"metros de am,as guras es*F#

:# El arco A es un cuarto de una circunferencia de centro O & radio 1 cm*

os arcos OA & O son semicircunferencias# (Cual es el área de la región

som,reada)

RESPUESTA:

l perímetro de la &gura de la derec'a es 1( )*10l perímetro de la &gura de la i+quierda es 1()*"0

Su diferencia es 20 cm.l perímetro de la &gura i+quierda se compone de 2cuartos de circunferencias grandes, 2 cuartos decircunferencias pequeas, 2 segmentos de 10 cm cadauno y 2 segmentos de ( cm cada uno. l perímetro dela &gura derec'a se compone de 2 cuartos decircunferencias grandes, 2 cuartos de circunferenciaspequeas y un segmento de 10 cm. La diferencia est-compuesta por un segmento de 10 cm y 2 segmentos

rasladamos esos segmentos circulares 'asta formar la siguiente &gura:

Tenemos aora que el !rea del se"mento circular de centro #, radio

10 $ arco de %0, es equi&alente al !rea som'reada ori"inal. Paracalcularla, 'asta con restarle el !rea del trian"ulo #A( al !rea del

sector circular #A(. Entonces, el !rea 'uscada es

Res)uesta:



# (Cuántas ,olas a& en la siguiente !ila triangular si se tienen B filas)

# (Cuántos n9meros a& entre 1 & ?sin contar el 1 & el

@ que no sean di'isi,les entre ni entre B)

Res)uesta:

n(n+1)2

n/ (0 &las*uarta +la

RESPUESTA:

eamos cuantos nmeros entre 101 y 2!! son mltiplos de " y (.ltiplos de " en cada centena 'ay "", luego en total 'ay ## mltiplos.ltiplos de ( en cada centena 'ay 20 pero como no estamos contandoel "00 tenemos en total "! mltiplos de ( entre 101 y 2!!. 3lgunos deestos nmeros son mltiplos de " y ( a la e+, es decir, mltiplos de 1(y estos nmeros, que son 1", los estamos contando dos eces. Luego, lacantidad total de nmeros mltiplos de " % ( es: ##*"!51"/!2 por lotanto, como el total de nmeros entre 100 y "00 es 1!! 6sin contar el 100y el "007, los nmeros que no son mltiplos de " ni de ( es

1!!5!2/10-



1 # El resultado de*3−

(1+

3

2

)−

(1−

3

2

) es*

El alumno tendrá que acer las o!eraciones necesarias !ara encontrar el

resultado que es 1#

8EG/0DO GRADO

1- 8e tienen ; ,loques grandes & : ,loques !eque%os# 8i un ,loque !eque%o !esa +H deuno grande & cuando todos los ,loques 4untos !esan 6 ilos# (Cómo se de,en dis!oner estos

,loques en cada lado de una ,alan2a de dos ,ra2os !ara que !esen lo mismo)

$oluci%n: Como cada ,loque !eque%o !esa +H de uno grande$ : ,loques !eque%os !esarán

:

2

3=16

3 'eces lo que !esa un ,loque grande# Como todos 4untos !esan 6 ilos$ se tiene*

?; J

16

3 @ de !eso de cada ,loque grande 7 6 ilos es decir

6H de !eso de cada ,loque grande 7 6 ilosde donde cada ,loque grande !esa ilos & !or tanto*

cada ,loque !eque%o !esa + ilosPor otro lado !ara dis!oner los ,loques en cada ,ra2o de la ,alan2a se tiene dos !osi,ilidades* ,loques grandes & 6 ,loques !eque%os en cada lado de la ,alan2aB ,loque grandes & un ,loque !eque%o en un lado & F !eque%os & uno grande en el otro#

25 a suma de 1 n9meros !ares consecuti'os es +1+:$ alle el ma&or de dicos

n9meros#



$oluci%n : 8ea el !rimer n9mero !ar* +5

El segundo !ar consecuti'o será* + ?5 J 1@El tercer !ar consecuti'o será* + ?5 J +@& as" sucesi'amente$ entonces tenemos*

+5 J + ?5 J 1@ J + ?5 J +@ J + ?5J @ J + ?5 J 6@ J + ?5 J B@ J + ?5 J ;@ J + ?5 J F@J+ ?5 J :@ J + ?5 J @ J + ?5 J 1@ J + ?5 J 11@ J + ?5 J 1+@ J + ?5 J 1@ J + ?5 J 16@J+ ?5 J 1B@ J + ?5 J 1;@ J + ?5 J 1F@ J + ?5 J 1:@ 7 +1+:sim!lificando tenemos*:5 J 6+ 7 +1+:de donde*5 7 6Fcomo el 9ltimo !ar era + ?5 J 1:@ !ara 5 7 6F tenemos 1#

3- n un ardn en forma de rectángulo+ con dimensiones de m 4m se tra5ó una

#ereda diagonal de 1m desde las es(uinas+ como se muestra la figura

6 "alcula el área de la #ereda6 &i el ardinero utili5a para regar * litros de agua 7por cada metro cuadrado8+!cuántos litros necesita el ardinero para regar la #ereda%

$oluci%n:

l área de la #ereda es el área total del rectángulo menos el área de los 2 triángulos

9s: m 4m 2;m2

7l área total8

7,m 4m8 < 2 12m2 7l área de cada triángulo8

ntonces el área de la #ereda es: 2;m2

- 24m2

4m2

/or lo (ue el ardinero necesita 4 * 20 litros de agua

45 89u-nto mide el olumen de un octaedro cuya distancia ente dosrtices opuestos es de 10 cm;



B- a figura re!resenta un modelo construido con ,olas & 'arillas# (Cuántas ,olas &cuántas 'arillas de cone5ión tiene) (Cuántas ,olas & 'arillas de cone5ión tendrá unaconstrucción de cinco !isos con la misma ,ase) Calcula las ,olas & las 'arillasnecesarias !ara construir un modelo de 1 !isos)

?i@ ase * 1+ 'arillas & ,olas?ii@ Para construir el !rimer !iso*1+ 'arillas$ ,olas & 'arillas?iii@ Para construir el segundo !iso*1+ 'arillas$ ,olas & 'arillasEntonces !ara una construcción de cinco !isos se tienen* 1+JB ?1+ J @ 7 11F 'arillas & JB5 7 B6,olas#Para una construcción de cien !isos se tienen* 1+ J 1 ?1+ J @ 7 +11+ 'arillas & J 1 5 7 ,olas

; # Calcula la suma de los !rimeros F m9lti!los de * J ; J J K #

J 1 1 1

<$P=$3

">6">*17?2 / >0"

se resultado se multiplica por " 6por ser mltiplo de tres7 /



F# Calcula en área som,reada si el área del cuadrado es #+B 5 1;

:# a f igura ACD es un rectángulo determina el 'alor del

ángulo L#

<$P=$3

0.00002(@10#/2( de perímetro

A2(/( lado del cuadrado

(?2 / radio

Brea/ π @5

2 x 5

2 /25

4π / #

1

4π



RESPUESTA

# (Cuál es la c if ra dec imal que ocu!a e l lugar +16 en e l

desarrollo decimal de4

101 )

4

101 7 #;;;;;;;;

RESPUESTA:

4

101 7 #;;;;;;;;

2014?4 / (0".( 6cociente entero7 ermina el ciclo de 4 nmero de la serie"!#0

0.( C4 / representa 26que sobraron7516por ser el primer cero de dcimo7/1 porlo tanto le corresponde el primer lugar de la serie de los cuatro dígitos que se



1#uis & Elena 'an a formar cada uno de ellos un n9mero de tres cifras#

Para ello$ eligen alternati'amente un d"gito cada uno entre los

n9meros 1$ +$ $ 6$ B & ; ?los d"gitos no se !ueden re!etir@#

uis gana si el n9mero formado es m9lti!lo de # En caso contrario$ gana Elena#

8i eligen los n9meros al a2ar$ (qu> !ro,a,ilidad de ganar tendr"a uis)

RESPUESTA:

amos a ima"inar que slo eli"e uno de los u"adores, $ que el otro

se conforma con lo que queda, $a que )ara contar las o)ciones $

sa'er si sale o no m3lti)lo de nos da i"ual lo que a"a el otro

u"ador.

Para ele"ir la )rimera cifra tiene / o)ciones, )ara la se"unda, ,

inde)endientemente de la cifra que eli"iese en )rimer lu"ar, $ )ara la

tercera, cuatro o)ciones. Esto, contando todas las )osi'les

rami+caciones del n3mero, ar5a un total de /664 7 120 n3meros

)osi'les.

8e todos ellos, &amos a contar los que sean m3lti)los de . El )rimer

n3mero, emos &isto que )uede ser cualquiera 9/ o)ciones, )ero el

se"undo slo )uede ser uno de los cuatro que no son del mismo ti)o

que el )rimero, $ el tercero 3nicamente )uede ser del ti)o restante,

formado )or slo dos n3meros, es decir, que tendr5amos /6462 7 4;



<ERCER GRADO

1- Para acer una torre de cartas de 1 !iso se usan + cartas$ !ara acerla de + !isos seusan F cartas$ !ara acerla de !isos se usan 1B ( cuántas cartas a& que usar !ara acer un

torre de +; !isos)

8O/CIO0*Cada !iso se constru&e con pilares de dos cartas$ usando la misma cantidad de !ilares que el ni'eldel !iso a construir# Para el caso +; se necesitará entonces+ ?1 J + J * * * J +;@ 7 +; 5 +F

A!arte de los !ilares$ se necesita las ,ases !ara estos !ilares$ tomando en cuenta que el ni'el finalno usa ninguna ,ase# Como se usa una carta !ara cada !ilar$ a& que contar cuántos !ilares a&desde el ni'el 1 al +B

1 J + J * * * J +B 7?1 H+@ 5+B 5 +;Entonces en total se usarán ;F BF cartas !ara la torre de +;*

+- 89u-nto mide el -rea sombreada 3 entre el -rea sombreada D en lasiguiente &gura;

APICA0DO los criterios de seme4an2a concluimos que los triángulos en la figura son seme4antes

& congruentes los dos grandes & los dos cicos$ !or ello se des!rende que las a>reas son iguales

!or ello el área A entre el área es igual a 1#

? E A/M0O <E0DRA =/E E8CRIIR E DE8ARROO DE MA0ERA NORMA /8A0DO E

8IMOI8MO MA<EAM<ICO ADEC/ADO@



- 89u-ntos nmeros de " cifras se pueden formar con 0, 1, 2, 2, 2, 2 ;

&olución9ontemos los nmeros segn los dígitos que tienen: 9on 0, 1, 2 'ay 4nmerosE con 0, 1, 1, 'ay 2E con 0, 2, 2 'ay 2E con 1, 1, 2 'ay "E con 1, 2, 2'ay ", y con 2, 2, 2, 'ay 1. n total son 1(.

45 n una pir-mide cuadrada todas sus aristas miden 2 cm. los puntos D

y 9 son puntos medios de las aristas. ncuentre qu tipo de trianguloes el tri-ngulo 3D9 y cuales son sus medidas.

3quí el alumno tendr- que usar el teorema de Pit-goras para encontrar lalongitud del segmento 3D y 39 lo cual es muy sencillo, de a'í dir- de qu tipode triangulo es: is%sceles, equil-tero ,etc.



(5 D y F9 son medianas del tri-ngulo 3D9. 3dem-s G y H son los puntosmedios de D y 9 respectiamente. Pruebe que FGH es un

paralelogramo.

$i D y F9 son medianas entonces F y son puntos medios de lossegmentos 3D y 39 respectiamente, y por el teorema del segmento que pasapor el punto medio, el segmento F es la mitad del segmento D9, de lamisma manera GH es la mitad del segmento D9 , por ello F/ GH y son

paralelos. Fe a'í que FGH es un paralelogramo.6 L alumno tendr- que 'acerlo anterior usando el simbolismo matem-tico necesario7

;# En un cu,o sól ido de 6 cm de lado se ace una !erforación

en forma de !r isma recto con ,ase cuadrada de 1 cm de

lado desde el centro de cada cara asta su cara o!uesta ?en

la f igura que se i lustra una de las !erforaciones@$ a& que

acer dos !erforaciones más usando las otras !are4as de

caras o!uestas (cuántos cent "metros c9,icos de 'olumen

tiene el nue'o sólido)



F# (Cuales son todos los di'isores del 1+6)RESPUESTA

:# (Cuál es el área del triángulo som,reado si los lados de los cuadrados

son & ; res!ecti'amente)

RESPUESTA

l cubo tiene un olumen de 4"/#4 cm", en la prime perforaci%n se quita unolumen de 4 cm" y en las otras dos perforaciones se quitan "cm" ya que seintersectan en el centro en las perforaciones, en un cubo de olumen 1cm". 3síel olumen &nal es #4545"5"/(4cm"



#as cuerdas A & CD se cortan en el !unto P como se indica en la figura#

(Cuál es el área del PC si el área de PAD es : & la ra2ón

AP

PC =2

5 )

1#=ueremos crear un código que conste$ en !rimer lugar$ de una 'ocal$ &

a continuación de dos cifras distintas elegidas entre el 1 & el $ am,os

incluidos# (Cuántos elementos distintos !odemos conseguir con este

código)

RESPUESTA:

Los tri-ngulos <A(* y < AP= son semeIantes y la ra+%n de semeIan+a es AC

AQ

/93 /", de aquí PJ mide

36 /2. ntonces el -rea de < AP= es

3 x 22 /"

RESU>TA8#

Los tri-ngulos APD CP son seme4antes !or tener sus ángulos iguales

?!or e4em!lo QDA7QDC !orque a,arcan el mismo arco@# Además en esta

seme4an2a AP corres!onde a CP$ as" que la ra2ón de seme4an2a es

2

5; entonces larazón entre l asáreases ,

?2

5 @+$ as" que el área de PC es 8 (5

2

PC

=5

RESPUESTA

n la primera solamente 'ay ( posibilidades, que son las cinco ocales, y con losnmeros como son ! se buscan las combinaciones de los nmeros de dos en dos,que 'acindolo sería >2 posibilidadesE y posteriormente se obtiene el producto de (y >2 que da el resultado de las combinaciones del c%digo. <espuesta//0

com'inaciones.



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