Realizacion de Controladores y Filtros Digitales

7/23/2019 Realizacion de Controladores y Filtros Digitales

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REALIZACION DE CONTROLADORES Y FILTROSDIGITALES

Se estudiaran los mtodos de realizacin para funciones de transferenciapulso que representan controladores y ltros digitales. La realizacin de

controladores y ltros digitales puede incluir ya sea software, hardware oambos. En general, la realizacin de funciones de transferencia pulsosignica determinar la conguracin fsica para la combinacin apropiada deoperaciones aritmticas y de almacenamiento.

En una realizacin de software se obtienen programas de computadora parala computadora digital in!olucrada. En una realizacin de hardware seconstruye un procesador de propsito especial mediante circuitos talescomo sumadores digitales, multiplicadores y elementos de retardo "registrosde corrimiento con un periodo de muestreo # como un tiempo de retardounitario$.

En el campo de procesamiento digital de se%ales, un ltro digital es unalgoritmo de c&lculo que con!ierte una secuencia de n'meros de entrada enuna secuencia de salida, de modo que las caractersticas de la se%al secambien de una manera predeterminada. Esto es, un ltro digital procesauna se%al digital pues permite el paso de algunas componentes defrecuencia deseadas de la se%al digital de entrada y rechaza algunas otrasno deseadas. En trminos generales, un controlador digital es una forma deltro digital.

(ay diferencias importantes entre el procesamiento digital de se%alesutilizado en comunicaciones y el que se utiliza en control. En control digital

el procesamiento de se%ales se debe hacer en tiempo real. Encomunicaciones, el procesamiento de se%ales no se necesita hacer entiempo real, y por lo tanto se puede tolerar retardos en el procesamientopara me)orar la e*actitud.

#rataremos las realizaciones en diagramas de bloques de ltros digitales queemplean elementos de retraso, sumadores y multiplicadores. +qu seestudiaran algunas estructuras diferentes de realizaciones en diagramas debloques. ichas realizaciones en diagramas de bloques se pueden utilizarcomo base para un dise%o de software o hardware. e hecho, una !ez quese completa el diagrama de bloques de la realizacin, la realizacin fsica en

hardware o software es directa. -bser!e que en el diagrama de bloques deuna realizacin, la funcin de transferencia pulso de z

1 representa un

retardo de una unidad de tiempo "gura .$. -bser!e tambin que en el

plano s, z1

corresponde a un retardo puro eTs

.

Figura 1.1


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+ continuacin se !er&n los ltros digitales que se emplean con propsitosde ltrado y control. La forma general de la funcin de transferencia pulsoentre la salida /"z$ y la entrada 0"z$ est& dada por1

".$

onde las aj y las bj son para muchos controladores digitales

coecientes reales "algunos de estos pueden ser cero$. La funcin detrasferencia pulso es de esta forma. 2or e)emplo, la funcin de transferenciapulso para el controlador 23 dado por la ecuacin1

Se puede e*presar en la forma de la ecuacin ., como sigue1

+hora se estudiaran las formas de programacin directa y est&ndar de los

ltros digitales. En estas formas de programacin, los coecientes aj y

bj "que son cantidades reales$ aparecen como multiplicadores en el

diagrama de bloques de la realizacin. +quellos esquemas de diagramas de

bloques donde los coecientes aj y bj aparecen de manera directa

como multiplicadores se denominan estructuras directas.

Programacin direca!

4onsidere el ltro digital dado por la ecuacin ".$. 5tese que la funcinde transferencia pulso tiene n polos y m ceros. En la gura .6 se muestraun diagrama de bloques de la realizacin del ltro. El hecho de que estediagrama de bloques representa la ecuacin ".$ se puede !er f&cilmente,puesto que a partir del diagrama de bloques se tiene


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+l reordenar esta 'ltima ecuacin se obtiene la ecuacin ".$.

Figura 1."

Este tipo de realizacin se denomina programacin directa. 2rogramacindirecta signica que se obtiene la realizacin del numerador y eldenominador de la funcin de transferencia pulso mediante con)untos de

elementos de retraso por separado. El numerador utiliza un con)unto de melementos de retraso y le denominador utiliza un con)unto diferente de nelementos de retraso. e esta manera, el n'mero total de elementos deretraso utilizados en la programacin directa es m 7 n.

El n'mero de elementos de retraso empleados en la programacin directase puede reducir. e hecho, el n'mero de elementos de retraso se puedereducir de n 7 m a n "donde n 8 m$. El mtodo de programacin que utilizael n'mero mnimo posible de elementos de retraso se denominaprogramacin est&ndar.

En la pr&ctica, se trata de utilizar el n'mero mnimo de elementos de

retraso en la realizacin de una funcin de transferencia pulso dada. 2ortanto, la programacin directa que requiere un n'mero de elementos deretraso mayor que el !alor mnimo es m&s o menos de !alor acadmico m&sque de !alor pr&ctico.

Programacin e#$ndar!

4omo se estableci pre!iamente, el n'mero de elementos de retrasorequeridos en la programacin directa se puede reducir. e hecho, eln'mero de elementos de retraso utilizados en la realizacin de la funcin de

transferencia pulso dada por la ecuacin ".$ se puede reducir de n 7 m an "donde n 8 m$ mediante el reacomodo del diagrama de bloques.


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2rimero, se rescribe la funcin de transferencia pulso /"z$90"z$ dada por laecuacin ".$ como sigue1

onde

".6$

/

".:$

Entonces, se dibu)a el diagrama de bloques para los sistemas dados por lasecuaciones ".6$ y ".:$ respecti!amente. 2ara dibu)ar el diagrama debloques, se puede rescribir la ecuacin ".6$ como1

".;$

/ la ecuacin ".:$ como1

".


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Figura 1.%

Los diagramas de bloques de las guras .6 y .:c son equi!alentes, pero elultimo utiliza n elementos de retraso, mientras que el formal utiliza n 7 melementos de retraso. -b!iamente, se preere el 'ltimo diagrama, el cualutiliza un n'mero m&s peque%o de elementos de retraso.

Comenario#!

-bser!e primero que utilizar un n'mero mnimo de elementos de retrasoahorra espacio en memoria en los controladores digitales. #ambin utilizarun n'mero mnimo de puntos suma es con!eniente.

En la realizacin de controladores o ltros digitales, es importante tener unbuen ni!el de e*actitud. En esencia, son tres las fuentes de error queafectan la e*actitud1

.> El error debido a la cuanticacin de la se%al de entrada en un n'meronito de ni!eles discretos. "Se puede considerar como una fuente aditi!a de


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ruido denominado ruido de cuanticacin. Este se puede considerar como

ruido blanco? la !arianza del ruido es

6.> El error debido a la acumulacin de los errores de redondeo en lasoperaciones aritmticas en el sistema digital.

:.> El error debido a la cuanticacin de los coecientes aj y bj de la

funcin de transferencia pulso. Este error puede hacerse m&s grande amedida que el orden de la funcin de trasferencia pulso se incrementa. Estoes, en ltros digitales de orden superior en la estructura directa, los errores

peque%os en los coecientes aj y bj causan grandes errores en la

localizaciones de los polos y los ceros del ltro digital.

Estos tres errores surgen debido a las limitaciones pr&cticas del n'mero debits que representa a las muestras de la se%al y a los coecientes. -bser!eque el tercer tipo de error se puede reducir mediante la descomposicinmatem&tica de las funciones de transferencia pulso de orden superior enuna combinacin de funciones de transferencia pulso de orden peque%o. eesta forma, el sistema se puede hacer menos sensible a la ine*actitud delos coecientes.

2ara la descomposicin de funciones de transferencia pulso a n de e!itar elproblema de sensibilidad de los coecientes, se utilizan por lo regular lostres enfoques siguientes.

.> 2rogramacin en serie.

6.> 2rogramacin en paralelo.

:.> 2rogramacin en escalera.

Programacin en #erie!

El primer enfoque empleado para e!itar el problema de la sensibilidadconsiste en implantar la funcin de transferencia pulso @"z$ como unacone*in en serie de funciones de transferencia pulso de primero y segundoorden. Si @"z$ se puede escribir como un producto de funciones de

transferencia pulso G1(z) , G2(z) , = , Gp(z) o

@"z$A G1 (z )G2 (z )Gp(z )


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Entonces el ltro digital para @"z$ puede entrar dado como una cone*in en

serie de las componentes de ltros digitales G1 (z ) ,G2(z ) ,,Gp(z) , como

se muestra en la gura .;.

Figura 1.&

En la mayora de los casos, las Gi(z)(i=1,2,, p) se eligen como

funciones de primero o segundo orden. Si los polo y ceros de @"z$ son

conocidos, G1 (z ) ,G2(z ) ,,Gp(z) se pueden obtener agrupando un par de

polos comple)os con)ugados y un par de ceros con)ugados para producir unafuncin de segundo orden, o agrupando polos y ceros reales para producirfunciones ya sea de primero o segundo orden. 2or supuesto, es posibleagrupar dos ceros reales con un par de polos comple)os con)ugados, o!ice!ersa. La agrupacin es, en un sentido, arbitraria. Es preferible hacer laagrupacin de formas diferentes para !er cu&l es la me)or con respecto aln'mero de operaciones aritmticas requeridas, los rangos de loscoecientes, etc.

2ara resumir, @"z$ se puede descomponer como sigue1

Los diagramas de bloques para

".B$

/ para

".C$

Se muestran en las guras .


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Figura 1.'a ( ).

Programacin en *ara+e+o!

El segundo enfoque para e!itar el problema de sensibilidad de loscoecientes es e*pandir la funcin de transferencia pulso @"z$ en fracciones

parciales. Si @"z$ se e*pande como una suma de +, G1 (z ) ,G2(z ),,Gq(z ) ,

o de modo que

onde + es simplemente una constante, entonces el diagrama de bloquespara el ltro digital @"z$ se puede obtener como una cone*in en paralelode q 7 ltros digitales, como se muestra en la gura .B.


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Figura 1.,

ebido a la presencia del trmino constante +, las funciones de primero ysegundo orden se pueden elegir de formas sencillas. Esto es, @"z$ se puedee*presar como

El diagrama de bloques para

".D$


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/ el correspondiente para

".$

Se muestran en las guras .Ca y b, respecti!amente. La cone*in enparalelo de q 7 componentes de ltros digitales como se muestra en lagura .C producir& el diagrama de bloques para el ltro digital @"z$.


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Figura 1.-a ( )

Programacin en e#ca+era!

El tercer enfoque para e!itar el problema de sensibilidad de los coecienteses implantar una estructura en escalera, esto es, e*pandir la funcin de

transferencia pulso @"z$ en la siguiente fraccin continua y programar deacuerdo con esta ecuacin1

".F$

El mtodo de programacin basado en este esquema se denominaprogramacin en escalera. efnase

Entonces @"z$ se puede escribir como

Se e*plicara este mtodo de programacin mediante un e)emplo sencillodonde nA6. Esto es

Gediante el uso de las funciones , la funcin detransferencia @"z$ se puede escribir como sigue1


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-bser!e que se puede escribir como

".$

El diagrama de bloques para dada por la ecuacin ".$ se muestra

en la gura .Da. e manera similar, el diagrama de bloques para laque puede estar dado por

".6$

Se puede dibu)ar como se muestra en la gura .Db. -bser!e que


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Gediante la combinacin de las dos componentes de los ltros digitales,como se muestra en la gura .a, es posible dibu)ar el diagrama debloques del ltro digital @"z$ como puede apreciarse en la gura .b.


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)

Figura 1./a ( )

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