RECEPCIÓN Y EXTENSIÓN DE LAS EXPLICACIONES METAFÍSICAS DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS EN LA ESPAÑA DEL SIGLO XIX - José M. Pacheco Castelao. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

8/9/2019 RECEPCIN Y EXTENSIN DE LAS EXPLICACIONES METAFSICAS DE LOS NMEROS IMAGINARIOS EN LA ESPAA DEL

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Recepcin y extensin de las explicacionesmetafsicas de los nmeros imaginarios en

la Espaa del siglo XIXJOSM.PACHECOCASTELAODEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA

1. Preliminares

El problema del rigor en Matemticas puede afrontarse al menos desde dospuntos de vista. El primero, que encontramos sobre todo en las Matemticascontemporneas, procede del explosivo desarrollo de esta ciencia durante el Siglo XIXy se distingue sobre todo porque los matemticos ejercientes son entrenados en ciertastcnicas que en lneas generales se componen de una mezcla de habilidades de clculo,uso generalizado de referencias cruzadas y la capacidad de deducir resultados de fuentesautorizadas y reconocidas. Por regla general este entrenamiento se considera el standardy en gran medida ha redundado en la desaparicin de la mayor parte de losrazonamientos intuitivos en grandes reas de las Matemticas. El segundo punto devista es el intento de basar los desarrollos de las Matemticas en principios slidosreferentes al estatus filosfico de las ideas que intervienen.

La Historia nos ofrece una gran cantidad de nomenclatura matemtica aplicada adiversas clases de nmeros, tales como negativos, imposibles, sordos, imaginarios,por citar solo algunos de los calificativos utilizados cuando las operaciones aritmticasno resultaban evidentes con alguna nueva clase de nmeros: Ntese que todos esosnombres denotan una cierta cualidad de imposibilidad metafsica, que habra quegestionar adecuadamente para que los clculos con estas entidades no se salieran de lopuramente formal. Ambos puntos de vista son de naturaleza diferente y tienen distintosmbitos de aplicacin. El primero se enfatiza cuando una teora matemtica se presentaaxiomticamente y despide un ligero aroma sintctico, mientras que el segundo quedareservado para cuestiones ms fundamentales e intenta preservar la unidad de lasMatemticas estableciendo conexiones conceptuales entre las sucesivas ampliaciones ydesarrollos. Hoy veremos un caso del segundo tipo, un episodio relativo a la

introduccin de los nmeros complejos en Espaa a mediados del XIX, y veremos queel rigor de la segunda clase puede venir acompaado por una falta absoluta del de laprimera clase, ofreciendo un resultado de bastante baja calidad. Sin embargo, tambinaparecern interesantes cuestiones filosficas y matemticas a lo largo de la exposicin.

La cualidad filosfica de los nmeros negativos e imaginarios fue un problemarecurrente para algunos filsofos y matemticos ilustrados a lo largo del XVIII, aunquesu uso prctico puede rastrearse en los primeros das del lgebra, en las obras deGirolamo Cardano (1501-1576) y Raffaelle Bombelli (1526-1578) al tratar el problemaclsico de dividir una cantidad dada en otras dos cuyo producto es tambin dado.Conviene notar que el inters de estas consideraciones se vio incrementado debido a la

emergencia del lgebra como una especie de Aritmtica Universal profundamenterelacionada con las consideraciones metafsicas referentes a las propiedades de los entes


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manipulados. Una observacin matemtica de gran inters acerca de estos precursoreses que no consideraban las soluciones complejas de una ecuacin polinmica comosoluciones stricto sensu, sino como entidades que satisfacan las funciones simtricas delas races. Esta idea, utilizada hasta bien entrado el XIX (por ejemplo, [Gilbert 1831]) esposiblemente la primera aparicin del concepto de solucin dbil de una ecuacin, en la

lnea, por ejemplo, de la consideracin de funciones no diferenciables como posiblessoluciones de ecuaciones diferenciales que dio origen a la Teora de Distribuciones.

Adems, hacia 1800 el lgebra estaba ya lista para recibir las magnitudesvectoriales, cuyas operaciones aritmticas exigen contar con diferentes propiedades(reflejadas en las respectivas coordenadas) simultneamente: Son operacionessincategoremticas . Pero la recepcin de estas ideas en Espaa se pospuso bastante y laencontramos en textos utilizados tras 1870 en la Enseanza Media, a veces en laSuperior, hasta los primeros aos del Siglo XX. Por supuesto, la historia de lasMatemticas espaolas del siglo XIX no es tan interesante como la de otros paseseuropeos (por ejemplo, no encontramos referencia alguna a Espaa en [Klein 1926])

pero se halla ntimamente relacionada con la turbulenta atmsfera poltica y cultural delsiglo, y que propici varias reformas educativas en nuestro pas. An no existe unestudio completo de estos temas, siendo [Surez 2006] un apreciable intento.

2. El personaje: Sinopsis biogrfica de Rey Heredia

La historia del estudio de los nmeros complejos en Espaa desde el punto devista filosfico es la del empeo del filsofo y matemtico autodidacta Jos Mara ReyHeredia (1818-1861), contemporneo de Bernhard Riemann (1826-1866). Se hallacontenida en su libro pstumo Teora Transcendental de las Cantidades Imaginariaspublicado en 1865, tras la muerte del autor, a expensas del Ministerio de InstruccinPblica. Los herederos de Rey presentaron el libro a un concurso nacional de libros detexto con el objeto de estudiar ideas para su aplicacin en la mejora de la EnseanzaMedia. Este tipo de concursos se convocaba en aplicacin de la Ley Moyano, debida alministro Claudio Moyano (1809-1890) que la promocion.

La mayor parte de los datos biogrficos de Rey se encuentran en el largo prlogoa Teora redactado por el poltico, mdico y acadmico Luis Felipe Monlau (1808-1871) que haba sido coautor de Rey en un libro en dos volmenes titulado Curso dePsicologa y Lgica publicado en Madrid el ao 1849.

Rey naci en Crdoba y a la edad de quince aos entr en el Seminario, dondepermaneci unos once aos, aunque finalmente no se orden. Durante los ltimos aosque permaneci all colabor en la docencia de filosofa y francs a los estudiantes ms

jvenes. Claramente los estudios eclesisticos de Rey influyen en sus textos, donde lascitas en latn se presentan sin traduccin. Al abandonar el Seminario se le ofreci unpuesto de profesor de Lgica en un colegio privado de Crdoba, pero prefiritrasladarse a la cercana Ciudad Real como profesor de la misma materia en un Institutooficial. En 1846 obtuvo el grado civil de Bachiller en Filosofa y fue nombradoCatedrtico del Instituto madrileo de Noviciado, que an existe con el nombre deCardenal Cisneros, donde escribi la parte de Lgica del Curso antes citado yconoci en 1850 al Catedrtico de Matemticas y posterior poltico y acadmico Acisclo

Fernndez-Valln Bustillo (1825-1895), quien le introdujo en el conocimiento de losnmeros complejos. Rey prosigui su carrera acadmica con diferentes ttulos, as


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obtuvo los deBachiller en Jurisprudencia (1852),Licenciado en Jurisprudencia (1854),yLicenciado en Filosofa y Letras (1857), pero no abandon el Instituto.

En su vida privada fue una persona respetable, de salud dbil, y muri en 1861vctima de tuberculosis, la misma enfermedad que le haba dejado viudo unos aos

antes, en 1854. Tras su temprana desaparicin el ayuntamiento de Crdoba le dedicuna calle, hoy larga y bulliciosa, aunque pocos cordobeses saben hoy da que lleva elnombre de un matemtico.

3. La formacin de Rey

Los Elementos de Lgica de Rey (Lgica de ahora en adelante) es un libropublicado en 1853, al evolucionar el libro coescrito con Monlau en dos textosindependientes, y representa la primera fuente para conocer las bases filosficas yculturales, as como las opiniones de su autor. Lgica tuvo muchas ediciones hastafinales del siglo XIX. Para este trabajo se ha utilizado un ejemplar de la duodcima

edicin [Rey 1849] del ao 1883 publicado por la clsica imprenta Sucesores deRivadeneyra. Este texto es un tratado de Lgica clsica que abarca Gramtica yDialctica, pensado para su uso en centros de Secundaria y cuyo objetivo es alcanzarsoltura en el arte de encadenar razonamientos plausibles para mantener duelosdialcticos. La exposicin es bastante unitaria, escrita en muy buen espaol, con elestilo florido tpico del XIX y se halla dividido en cuatro partes o libros, as como unlargo captulo introductorio titulado Prenociones.

A partir del estudio de Lgica es difcil adscribir a Rey a alguna corrientefilosfica concreta. Por supuesto, en la poca en que escribi el libro, en su treintena,tena conocimiento de varios problemas clsicos y de la obra de los autores msconocidos, pero no parece haberse definido en ningn sentido. Desde luego, y tal comomuestra la duodcima edicin, Rey no incluy nada relativo a las nuevas teoras lgicasdesarrolladas por su contemporneo George Boole (1815-1864), cuyo libro Aninvestigation into the Laws of Thought, on which are founded the MathematicalTheories of Logic and Probabilities fue publicado en 1854. Sin embargo, en las pginas256-257 declara, al tratar del sorites o deduccin mediante proposiciones encadenadas,

)()(...)(...)( 11121 nnnii pesppesppesppesp +

que:

Puede compararse el sorites una serie de ecuaciones en que concluimos laigualdad de dos extremos por ser iguales varios trminos medios

Algunos estudios [Calero 1994] apuntan a Rey como un idologue tardo,seguidor de la corriente filosfica, lingstica y pedaggica desarrollada alrededor deAntoine Destutt-Tracy (1754-1836) en los aos finales del siglo XVIII siguiendo lospasos de John Locke (1632-1704), del Abate Condillac (1715-1780) y otros ms[Picavet 1891]. Este grupo fue muy influyente en el diseo de polticas educativas en laFrancia prenapolenica, y se not su contribucin en otros varios pases. Por ejemplo, ellibro de Destutt lements dIdologie fue el origen del texto del matemtico espaol yCatedrtico de Salamanca Juan Justo Garca (1752-1830) publicado como Elementos de

Lgica Verdadera, prcticamente una traduccin del de Destutt aparecida en Madrid en1821. Garca tiene el privilegio de haber sido el primer profesor que explic Clculo


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Diferencial en instituciones universitarias espaolas [Cuesta 1985]. Las ramificacionesde los idelogos se pueden encontrar en textos tales como el norteamericano [Colburn1831]:

Success in reasoning depends very much upon the language which is applied

to the subject, and also upon the choice of the words that are to be used(p.241).

Para este trabajo es relevante citar la dfinition idologique que da Rey en la pgina 114deLgica de signo o smbolo:

[un signo es una] cosa cualquiera considerada como medio que nos conduceal conocimiento de otra,

idea que usar despus en Teora al tratar las diversas interpretaciones de la unidadimaginaria 1=i .

Tal vez una eleccin ms acertada sera considerar a Rey como un eclctico, talcomo muestra el listado de autores citados en Lgica, donde encontramos a PierreRoyer-Collard (1763-1845) y Victor Cousin (1792-1867) o Felicit Lamennais (1782-1854), as como algunas expresiones dubitativas acerca de la todava prevalenteLgicade Port Royal est a favor en la pgina 124 y en contra en la 118, y tambin por sufamiliaridad con algunos filsofos de la escuela escocesa del Sentido Comn, comoThomas Reid (1710-1796) [Reid 1764].

En toda la extensin de Lgica, el nombre de Emmanuel Kant (1724-1804)aparece una nica vez (p. 232):

El paso de las proposiciones a sus contrarias las llama Kantraciocinio delentendimiento

Y no se hace mencin alguna de la Lgica Trascendental ni de cualquier otra ideakantiana. Por tanto resulta una novedad la entusiasta aplicacin hasta el punto deincluir una traduccin de la primera parte de la Lgica Trascendental extrada de laCrtica de la Razn Pura de conceptos y mtodos kantianos en Teora. Podemosconcluir que Rey debi de estar entre los primeros lectores de Kant en Espaa, bien entraducciones fragmentarias del francs1 o incluso directamente en este idioma. Vase

[Albares 1996] para un estudio de la recepcin de Kant en Espaa durante la primeramitad del XIX. Por tanto, nos queda la duda de qu grado de profundidad tena elconocimiento de Kant por parte de Rey, aunque posteriormente fue clasificado comokantiano [Mndez Bejarano 1927].

Otro aspecto interesante mostrado por Rey en Teora, adems de su cita de Reid,es su conocimiento de dos autores britnicos considerados entre los creadores dellgebra en su sentido moderno: George Peacock (1791-1858) y John Warren (1796-

1La primera traduccin directa del alemn al espaol de la Crtica de la Razn Pura, aunque incompleta,fue realizada por el filsofo y poltico hispano-cubano Jos del Perojo Figueras (1852-1908) y apareci en

1883. Existen varias ediciones de esta traduccin publicadas por Losada en Buenos Aires, la ltimaconocida es de 1979. Perojo fue elegido dos veces diputado por Las Palmas, donde tiene dedicada unacalle y existe una estatua con un busto suyo.


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1852). Tenemos la impresin de que durante la ltima dcada de su vida Rey fueponiendo al da su base filosfica y matemtica, muy posiblemente como preparacinpara los sucesivos exmenes de su carrera acadmica.

4. La Teora de Rey

Teora es un libro bellamente impreso de XX+330 pages publicado en 1865 porla Imprenta Nacional de Madrid. Rey comenz a trabajar en l hacia 1855 y dedic a suescritura los cinco ltimos aos de su vida. La Teora es un ejemplo de buen espaol, yse halla ilustrada con una gran cantidad de litografas y figures geomtricassupervisadas por Valln, quien tambin comprob con poco xito, como veremos msadelante las matemticas del libro.

Para Rey el oficio de filsofo/matemtico se encuenta descrito por el lemaatribuido a Pierre Simon de Laplace (1749-1824) por F. Coyteux autor de un libropublicado en Paris por Moreau el ao1845: Expos dun systme philosophique suivi

dune thorie des sentiments ou perceptions y que cita al principio de su obra:

Il faut refaire les Mathmatiques, les placer sur un nouveau pidestal: Il serait dsirer que ce ft loeuvre dun homme nouveau, qui ft tranger aux mouvementset aux progrs des sciences et nen connt que les premiers lments.

Este programa, en cierto sentido predecesor de las escuelas logicistas de alrededor de1900 incluso podramos decir que de Bourbaki parece hallarse en la base de todoslose estudios posteriores sobre fundamentos de las Matemticas. Desde luego Reyinsiste en l varias veces a lo largo de Teora, especialmente en la parte final de laIntroduccin, donde escribi su ms profundo convencimiento sobre esta idea y sobre la

idoneidad de la Lgica Trascendental para el estudio de los nmeros complejos.

He aqu el ndice de Teora:

Prlogo de MonlauIntroduccinLibro I: Sobre la naturaleza e interpretacin de las cantidades imaginarias.

Captulo I: Exposicin matemtica del concepto de cualidad. Captulo II: Sobre las cantidades imaginarias consideradas como races. Captulo III: Sobre el modulo y el argumento de las cantidades imaginarias. Captulo IV: Interpretacin del imaginarismo en las ecuaciones de segundo

grado. Captulo V: Interpretacin del imaginarismo en las secciones cnicas. Captulo VI: Sumario del Libro y transicin a los siguientes.

Libro II: Sobre las cantidades imaginarias en el algoritmo de la suma. Captulo I: Sumas algebraicas. Captulo II: Suma sincategoremtica de cantidades. Captulo III: Sobre sumas poligonales.

Libro III: Las cantidades imaginarias en el algoritmo de la produccin. Captulo I: Productos binarios. Captulo II: Sobre productos ternarios.

Libro IV: Las cantidades imaginarias en el algoritmo de la graduacin (elevar apotencias).


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Las ideas de Bue sobre las cantidades imaginarias son uno de los ltimosepisodios en la aceptacin de los nmeros negativos e imaginarios como entidadesmatemticamente vlidas sobre bases metafsicas, tema tratado por diversos autores enel siglo anterior. Entre ellos tenemos a Abraham de Moivre (1667-1754), seguidos deJohn Wallis (1616-1702) [Smith 1959], Jean Argand (1768-1822) o Caspar Wessel2

(1745-1818) [Smith 1953, Wessel 1797] entre los que estaban a favor de las cantidadesimaginarias, mientras que entre los oponentes ms acrrimos encontramos a WilliamFrend (1757-1841), quien public sus Principles of Algebra en 1796. Las ideasdestiladas por Bue y Robert Woodhouse (1773-1827) [Woodhouse 1801 and 1802]habran de inspirar ms de un libro, por ejemplo el ya citado de Warren que fue otra delas fuentes de Rey, y partes del tratado de Peacock Treatise on Algebra de 1830.Tambin aparece citado Bue en la Thorie lementaire des Quantits Imaginaires, deHoel, aparecida en Pars en fecha tan tarda como 1874 [Hoel 1874].

Sorprende el tono neopitagrico empleado por Rey, que insiste en l a lo largode Teora, apoyndose en una frase de Blaise Pascal (1623-1662) que cita cinco veces

en el libro:

Los nmeros imitan al espacio, aunque son de naturaleza tan diferente

La frase est tomada de los Penses(Srie XXV, n 592 )[Pascal 1977, Vol II, p. 138] yRey la utiliza como argumento de autoridad en varios captulos de Teora. El originalfrancs esLes nombres imitent lespace, qui sont de nature si diffrente. Tal vez fuerainteresante analizar la traduccin de Rey, donde el francs qui se corresponde con elespaol aunque. Lo ms probable es que sea un recurso para insistir en las diferentesnaturalezas de espacio y nmero, o algo similar. Rey sabe que los nmeros son larepresentacin matemtica del tiempo como opuesto a espacio, y se muestra asombrado

ante la aplicacin de los nmeros a la descripcin del espacio. Posiblemente el estudiode la Lgica de Port Royal en la preparacin de su Lgica llev a Rey al estudio dePascal, donde encontr condensada en una sola frase la idea cartesiana de traducir lageometra a ecuaciones y que intent luego poner en prctica en Teora. Ms adelantedebi de interpretar la frase pascaliana como una vvida aplicacin de la aplicacin de lateora kantiana de las categoras al estudio de los nmeros imaginarios.

6. Breve estudio de la Teora

A primera vista, Teora se presenta como un comentario largo y erudito deltrabajo de Bue de 1806, que es seguido muy de cerca en las primeras partes del libro.Desde las perspectivas histrica y matemtica los puntos ms interesantes se hallan enla Introduccin, en el Libro I (Captulos I y II), Libro II (Captulo II), y Libro IV. Losrestantes Captulos estn dedicados a exponer los algoritmos algebraicos habituales y

2 En el libro de Wessel (traducido por Zeuthen) se encuentra la siguiente construccin: Dsignons par+1 la unit rectiligne positive, par+ une autre unit perpendiculaire la premire et ayant la mmeorigine : alors langle de direction de +1 sera gal 0, celui de -1 180, celui de + 90, et celui de- to -90 ou 270 ; et selon la rgle que langle de direction du produit est gal la somme de ceuxdes facteurs, on aura : (+1)(+1) = +1; (+1)(-1)=-1; (-1)(-1)=+1; (+1)(+)=+; (+1)(-)=-; (-1)(+)=-;

(-1)(-)=+; (+)(+)=-1; (+)(-)=+1;(- )(+)=-1. Il en rsulte que est gal 1 et que la

dviation du produit est dtermine de telle sorte quon ne tombe en contradiction avec aucune desrgles dopration ordinaires.


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las interpretaciones geomtricas de los complejos, siendo lo ms interesante lasmagnficas litografas en blanco sobre fondo negro, as como las complicaciones dealgunas explicaciones poco convincentes.

6.1. La Introduccin

La Introduccin es un largo texto programtico de 22 pginas de prosa fluida yelaborada. Dividida en trece secciones dedicadas a varios aspectos con ideas generalessobre Matemticas, el concepto de cantidad imaginaria, su historia, la necesidad de laMetafsica en las Matemticas, contiene varias citas de autoridades y tambin prrafos decarcter oratorio. Sin duda, es la parte ms brillante de la Teora y vale la pena leerla ydisfrutar sus largas frases y florido castellano.

La primera seccin trata de la exactitud de las Matemticas y asegura que en elfuturo, debido a la aplicacin de la Filosofa Trascendental, no quedarn misterios nioscuridades en esta ciencia:

Y esta esperanza se funda en el hecho, cada vez ms patente, de que los puntosms obscuros, por menos explorados o ms difciles para la ciencia, son

precisamente aquellos que la ponen en contacto con la filosofa del esprituhumano. De esta filosofa transcendental y crtica es de donde nicamente puedevenir la luz: hgase un esfuerzo, remuvase el obstculo, y ella se derramar atorrentes, inundando con claridad igual todo el cuerpo de la ciencia.(p. 2)

A continuacin se presenta uno de estos puntos oscuros, denominado por Rey elimaginarismo. En sus propias palabras, el imaginarismo es el scandalummathematicum. Y concluye:

Es necesaria una teora transcendental del imaginarismo, que salve todas lascontradicciones y d a la ciencia matemtica aquel esplendor e integridad a quetiene derecho con mejores ttulos que ninguna otra ciencia.

Las secciones III y IV continan con una revisin histrica del desarrollo terico de lateora de las cantidades imaginarias. De acuerdo con esta visin, no bastan razonespuramente matemticas para la comprensin de los imaginarios: Algunos opinan querepresentan la imposibilidad de resolver ciertas ecuaciones, Condillac es un idologueque piensa que son smbolos carentes de sentido [Condillac 1769], otros creen que sonsmbolos lgicos, de algunos, como Hone Wronski (1778-1853) se cree que intentan

subsumir el estudio de los imaginarios en el del infinito, y por ltimo se adjudica a Buela gloria de haber descubierto la verdadera interpretacin de las cantidades imaginariascomo la representacin de la perpendicularidad. Se citan otros autores favorables a estepunto de vista, tales como Joseph Gergonne (1771-1859), Warren, Peacock, M. F.Valls, citado dos veces como autor de un Essai sur la philosophie du Calcul (tambin lofu deDes formes imaginaires en Algbre: Leur interpretation en abstrait et en concret(Gauthier-Villars, Paris, 1869 y 1876)) yC. V. Mourey, quien public en ParsLa vraiethorie des quantits ngatives et des quantits prtendues imaginaires en 1818. SegnRey este ltimo introdujo la palabra versorpara denotar el argumento de un nmerocomplejo. Como autores opuestos a este punto de vista se cita a Charles Renouvier(1815-1903) [Renouvier 1950] y Augustin Cournot (1801-1877).


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Las Secciones V y VI se dedican a una reflexin sobre el lgebra y su capacidadpara tratar ideas ms complicadas que las de la Aritmtica. Rey toma partidodecididamente y contesta esta cuestin con el siguiente prrafo:

Puede haber afeccin o relacin geomtrica que no sea representable por el

lgebra? Yo digo resueltamente que no: y presento como demostracin elcontenido material de este libro,

Adems, contina diciendo en la pgina 6 que, de acuerdo con Pierre Simon de Laplace(1749-1824), an no se ha hecho la Metafsica de esta ciencia y que la notacinalgebraica tiene ms capacidad analtica que las manipulaciones puramente aritmticas:

Como lengua, alcanza el lgebra esa superioridad a la que no tiene derecho comociencia limitada a nmeros.

Finalmente, y aqu laIdologie aparece bastante clara, afirma que el lgebra es ms que

un lenguaje universal para las relaciones y propiedades de los nmeros y que suuniversalidad no es meramente filolgica: Es objetiva y se debe al hecho de que ellgebra trata de materias que no pueden ser estudiadas por la Aritmtica o laGeometra, tanto por separado como juntas.

Para introducir los esquemas kantianos utiliza las Secciones VII y VIII, dondepostula que el hacer matemtico es innato en la mente humana:

...este conocimiento es formado por la virtualidad propia de nuestro espritu, sindeber a la experiencia ms que la ocasionalidad de su excitacin; verdad contrala cual tanto se rebela el espritu sensualista y emprico que heredaron de la

Filosofa del siglo anterior los matemticos, ms que ningn otro linaje depensadores.

Segn Rey, nuestras mentes son ms matemticas de lo que creemos, pues nuestrasestructuras mentales se apoyan ms en la verdad lgica de juicios y proposiciones, enoposicin al lento avance experimental del conocimiento emprico. Este ltimo es deextensin tan reducida que la universalidad y necesidad de las Matemticas lo desborda.La Filosofa Transcendental, cuando intenta explicar el carcter especial delconocimiento matemtico, necesita establecer el carcter puramente subjetivo y lanaturaleza formal de espacio y tiempo como bases de las experiencias geomtrica yaritmtica respectivamente. Estos dos conceptos no se deducen de la experiencia, son

anteriores a ella y son condiciones trascendentales de la misma.

La intuicin del espacio, una vez liberada de todo elemento fenomnico osensible, es la de capacidad infinita, simultnea y homognea en la que no hay nadapredeterminado. Por otro lado, la intuicin del tiempo es la de una sucesin infinita demomentos esencialmente distintos y transitorios. Rey seala:

En esta serie estn determinadas las cosas como numerables: la numeracin esimposible sin la sntesis sucesiva de la unidad consigo misma

La idea de sntesis de la unidad consigo misma es claramente un trasunto de la

adicin, y la podemos encontrar en las bases axiomticas de los nmeros naturales,como en la bien conocida formulacin de Peano. Rey utiliza esta concepcin a lo largo


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de Teora, en un lenguaje que hoy se nos antoja pintoresco, donde por ejemplo el hechode que 111 = se describe como la esterilidad de la unidad bajo el algoritmo de la

produccin y otras semejantes.

En la seccin IX encontramos una sucinta descripcin del lgebra. Tras

considerar a Descartes como el descubridor del lgebra Cientfica y a Euclides como elprimer autor donde aparecen la Aritmtica y la Geometra como disciplinas hermanas,concluye con la citada frase de Pascal, que se presenta aqu por primera vez (p. 16).

La seccin X comienza planteando la cuestin de cmo incorporar el problemade los nmeros imaginarios en su programa pascaliano. He aqu la solucin:

La teora geomtrica de la posicin, o analysis sits, que era el gran desidertumde Leibnitz[]llegar a convertirse en una teora algbrica ordinaria, desde elmomento en que se nos den signos para todas las posiciones de las rectas en el

plano indefinido o en el espacio, con tal que estos signos no sean arbitrarios, sino

engendrados por el mismo clculo como resultados algortmicos necesarios de lasteoras de los nmeros.

En otras palabras, es necesario construir una teora de los signos, cuyos elementosbsicos describan todas las posibles afecciones de la direccin: Ahora ya est libre elcamino para la aparicin en escena de la Lgica Trascendental y las categoraskantianas. ste es el propsito de las ltimas dos secciones, XII y XIII, que presentanuna dura vindicacin de la Metafsica como elemento radical de las Matemticas. Heloaqu segn Rey (p. 20):

Horror a la Metafsica los matemticos, cuando ellos sin quererlo, y sin saberlo,

son los primeros metafsicos! Cuando las ideas de espacio, tiempo, movimiento,nada, infinito aparecen a cada momento como enredadas entre sus teoras, siendo la trama de sus clculos!

Y termina diciendo que los mejores matemticos encumbrados por la Historia fuerontambin profundos metafsicos: Ni Gottfried Leibnitz (1646-1716), Ren Descartes(1596-1650), Isaac Newton (1642-1727), Pascal o Leonhard Euler (1707-1783) habransido tan altos matemticos si su visin filosfica no hubiera sido tan profunda. Y sepregunta an Quin ignora que Kant fue matemtico antes que crtico? Y lo mismopodra decirse de Reid, Georg Hegel (1770-1831) y Karl Krause (1781-1832). En lapgina 22 leemos:

La crtica kantiana es un admirable trabajo matemtico

Para terminar, presenta una defensa de la crtica kantiana fundamentada en suvalor matemtico, y la Introduccin acaba con el deseo de una larga y fructfera alianzaentre la Filosofa y las Matemticas.

6. 2. Algunos aspectos del cuerpo de la Teora.

El contenido del Libro I est muy prximo al de la Memoria de Bue, siendo elpropsito de Rey el de establecer las definiciones y resultados como consecuencias

naturales del marco intelectual de las categoras.


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Segn Rey y su inspirador Bue, las cantidades imaginarias deben entendersemediante la aplicacin del concepto de cualidad. Aqu cualidad significa algo aadido ala cantidad, una especie de adjetivo o atributo modificador, de manera que la propiedadque tienen los nmeros como representacin de la cantidad se vea complementadatambin con un aspecto geomtrico. El caso ms sencillo es el de los nmeros

negativos, donde el signo menos o guin antepuesto a un nmero indica la inversin delsentido de los segmentos, emanantes de un origen fijo, que representan a los nmerosoriginales sobre una lnea recta. Hay una diferencia importante entre la nomenclatura deBue y Rey y la actual. Para ellos, lnea es lo que hoy entendemos por segmento finito,y direccin indica la eleccin de un sentido a lo largo de una recta. El estatusmatemtico de las cantidades negativas fue estudiado concienzudamente a finales delsiglo XVIII, por ejemplo, en la largamente olvidada Memoria de Wessel publicada enCopenhague, y en 1802 el filsofo y posteriormente masn Krause, citado por Rey enlas pginas 22 y 32 de Teora, defendi en Jena unaHabilitationsschriftdedicada a estetema con el ttuloDe philosophiae et matheseos notione et earum intima coniunctione.Se puede encontrar tambin una interesante revisin del carcter romntico de este

asunto en [Dhombres 2003]. Krause, que tuvo cierta influencia en crculos intelectualesespaoles e hispanoamericanos durante el siglo XIX, escribi un segundo ensayo sobrelos mismos asuntos en 1804 titulado Grundlagen eines philosophischen Systems der

Mathematik. Los fundamentos de las cantidades imaginarias fueron finalmenteestablecidos por Carl Friedrich Gauss (1770-1855) [Gauss 1831], y la estructuraalgebraica de cuerpo de los nmeros complejos fue dada a conocer por Hamilton poresos mismos aos.

Cuando aparece un objeto matemtico (por ejemplo alguna clase de nmerodescubierta como resultado de manipulaciones algebraicas) dotado de una dobleconsideracin cuantitativa y cualitativa, el principal problema es el de acomodar lasreglas de clculo a esta nueva situacin de modo y manera que las antiguas reglas seconserven como casos particulares de las de este nuevo mbito ms general. Estapropiedad, ya observada por Wessel, fue establecida por primera vez por Peacock y seconoce como ley de la conservacin de las propiedades formales. En 1867 mereci unlargo comentario de Hermann Hankel (1839-1873) en su obra Prinzip der Permanenzder formalen Gesetzten 3 . Por ejemplo, la regla de los signos 4 constituye un casoparticular, y las reglas aritmticas del clculo con complejos proporcionan otro. Laintencin de Rey fue basar estas ltimas reglas en el marco de la teora kantiana de lascategoras, para lo cual escogi dos categoras y sus juicios asociados de la siguientetabla, las subcategoras de la cualidad negacin y limitacin:

Categoras

Matemticas

Subcategoras Juicios

Unidad UniversalPluralidad ParticularCantidadTotalidad SingularRealidad Afirmativo

3Wenn zwei in allgemeinen Zeichen der arithmetica universalis ausgedrckte Formen einander gleichsind, so sollen sie einander auch gleich bleiben, wenn die Zeichen aufhren, einfache Grssen zu

bezeichnen und daher auch die Operationen einen irgend welchen anderen Inhalt bekommen.4 Rey cita a Jean LeRond DAlembert (1717-1783) y a Lazare Carnot (1753-1823) en la p. 33 de Teoracon relacin a la problemtica interpretacin de esta regla.


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Negacin NegativoCualidad

Limitacin Limitativo

Con esta eleccin, Rey encuentra la herramienta definitiva para encontrar la

diferencia entre no(ser B) y ser(no B) que explotar como origen de lainterpretacin cualitativa del signo de cantidad imaginaria 1 .Todas las posiblesdirecciones en el plano5 representan las diversas cualidades, de modo que podemoselegir un eje para representar una cualidad particularB, y en l un origen O separar lasideas poseer B positivamente o poseer B negativamente. As, si ),( BAR significaque se ha elegido un punto A en la parte positiva del eje B, entonces

),( BAR significar que A ha sido elegido en la parte negativa. Para cualquier otradireccin que no sea B lo que ocurre es ),( BAR , de modo que se cumplenecesariamente la relacin

),(),( BARBAR

Sin embargo, existen grados6 en cuanto a serB o no, que quedarn representados portodas las direcciones definidas por el origen y por los puntos de una circunferencia quepase por O y cuyo centro C satisfaga ),( BCR . Por tanto, la nica direccin cuyorepresentante geomtrico solo tiene un punto comn con la circunferencia ser laperpendicular al eje trazada por O, y representar la completa indiferencia con respectoa la cualidad B. Lo cual conduce a Rey a adoptar provisional y arbitrariamente elsmbolo 1 como signo de cualidad, en igualdad de usos con + , para denotar laperpendicularidad como representacin de la total indiferencia respecto de la cualidad

B. La idea anterior, aunque atractiva, tiene poca utilidad en la prctica matemtica,por lo que Rey se embarca en su justificacin combinndola con el problema clsico dela extraccin de races cuadradas de nmeros negativos. Leamos las palabras del propioRey (Teora, p. 51):

En el anterior captulo he considerado el smbolo 1 como un signo delimitacin de neutralidad perfecta, entre la afeccin positiva y la negativa, como la expresin ms propia de un grado mximo de indiferencia respecto deaquellas direcciones fundamentales. Sin embargo, por su forma radical revela el

signo 1 un origen algortmico potencial, y simboliza la totalidad de una teora

inmensa, de la cual no son sino determinaciones particulares los tres momentostpicos representados por los signos 1,, + correspondientes a los tresconceptos, realidad, negacin y limitacin. En la teora de la potencialidad, seade la graduacin, est el germen de la teora cualitativa.

Esta excursin acerca de la cualidad simblica de 1 y de la posible conexincon cuestiones algebraicas y no metafsicas constituye el ncleo de la argumentacin deRey, revelando el origen filolgico, semitico e idologique de su investigacin.

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Una pregunta natural sera por qu restringirse al plano? Tal vez su extensin al espacio hubierallevado a Rey a redescubrir los cuaterniones6 En cierto sentido, ya se estaba aplicando la Lgica Borrosa.


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Volvamos a la construccin de la raz cuadrada de 1 . Rey opina que la raz de1 no puede ser ni 1 ni 1+ , pues segn la doctrina comn y verdadera de los

algebristas, o regla de los signos, el cuadrado de cualquiera de los dos ser 1+ . Luegodel mismo modo que Wessel y Bue haban indicado sesenta aos antes la raz ha dehallarse en alguna direccin fuera de la direccin principal definida por 1 y 1+ , de

modo que contina, en su estilo retrico:

...la posicin indirecta, que corresponde a la raz 1 , debe constituir un gradotal de evolucin cualitativa respecto de la unidad positiva, que repetido este gradoen igual razn y manera progresiva, constituya a su vez la segunda potencia 1 ...

Notamos en este texto un uso inadecuado de 1 , pues es un caso donde deberade haberse empleado la expresin la raz cuadrada de 1 en lugar del smbolo. Esteerror muestra que Rey tena dificultades para distinguir conceptos cuando intentabatraducirlos en frmulas matemticas. En cualquier caso, lo interesante del prrafo es quela unidad positiva 1+ sufre una evolucin cualitativa que la va llevando sucesivamentea otras direcciones distintas de la suya propia antes de alcanzar la parte negativa del eje.Por supuesto Rey no lo explicita, pero es claro que est pensando en una rotacin del ejepositivo alrededor del origen sin salirse del plano, idea expresada por Gauss en 1831.Segn esta representacin, la raz cuadrada de 1 se obtendr tras alguna evolucinparticular, de modo que iterando esa misma evolucin sobre la raz cuadrada se llegaral cuadrado 1 de modo supuestamente natural. Pero la nica direccin con estapropiedad es la perpendicular, y concluye:

Luego la perpendicular representa la raz segunda de 1 , y el smbolo radical1 es a su vez genuina expresin de la perpendicularidad.

A continuacin lleva a cabo la deduccin anterior en notacin matemtica conpretensiones de generalidad: Sea p el coeficiente o evolucin particular que actasobre a para obtener la raz cuadrada de a , esto es, )()( aSQRTpaap == .Entonces,

...es claro que, repitiendo esta modificacin sobre la raz, quedar constituida lasegunda potencia a , y se tendr

En frmulas, escribiremos:

aapappapapp ==== 22 )()())((

y dividiendo la ltima ecuacin por a encontramos el resultado buscado:

12 =p , o su equivalente 1=p

Vale la pena un estudio crtico detallado de esta argumentacin, pues aparecenalgunos fallos o puntos oscuros en ella:

No se hace notar que a tiene que ser positivo. En caso contrario el argumento,que se reduce a dos rotaciones de igual ngulo, no resultara vlido.

Ms importante es el hecho de que el razonamiento no funciona cuando 1a .Con objeto de satisfacer las reglas habituales de la extraccin de races, ha de


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producirse una modificacin de la magnitud (longitud) simultneamente a larotacin. Supongamos, por ejemplo, que 1>a . Entonces, en la primeraaplicacin, la accin de p se compone de la rotacin y de la reduccin

aa + . Luego la segunda aplicacin de p tendra que componerse de la

rotacin y un alargamiento aa + . En otras palabras, sera unap diferente!

La ecuacin 12 =p no es una ecuacin numrica, sino puramente formal, cuyainterpretacin correcta es que la iteracin de un operador que acta sobre unacantidad positiva hace aparecer su cantidad opuesta, con lo cual el origenalgebraico de 1 sigue permaneciendo en la oscuridad.

La explicacin de Rey se halla inspirada en el argumento de la Memoria de Bue,que es mucho ms sencillo. Liberados de aspectos retricos, ambos razonamientos sereducen a la aplicacin a entidades operacionales cuyos modelos son rotaciones delplano alrededor de un punto fijo la idea de media proporcional conocida de laaritmtica.

Los Libros II, III, y IV de Teora contienen las manipulaciones algebraicas connmeros complejos. Rey utiliza la siguiente nomenclatura: Sntesis para la suma oadicin, produccin para la multiplicacin, y graduacin para elevar a potencias.Cuestiones de nombres aparte, Rey presenta y explica la suma por componentes y lamultiplicacin como operaciones sincategoremticas, indicndonos que consideraconjunta los aspectos cuantitativos y cualitativos de tales entidades. Ya en 1831Augustin Cauchy (1789-1857) haba estudiado los nmeros complejos como paresordenados [Cauchy 1831], [Prez-Fernndez 1999]. Sin tener en cuenta esos mnimostoques filosficos, los Libros II y III son de contenido clsico y no presentan novedadalguna. El libro IV, dedicado a la graduacin, es mucho ms interesante.

6. 3. El Libro IV y la capacidad matemtica de Rey

El lector del Libro IV puede observar en l los conocimientos matemticos de Reyy hasta qu punto los haba comprendido y asimilado. Comienza el Libro con algunasideas generales sobre la graduacin y cmo acta con cantidades positivas (graduacincuantitativa) y negativas (graduacin cualitativa), sealando que la diferencia entreambas es el comportamiento oscilatorio de la segunda. Tambin establece el carcteroscilatorio (p. 169 y sigs.) de las sucesivas potencias de 1 cuando extiende susconsideraciones al campo de los nmeros complejos. Esto lo consigue tras un largo

prembulo donde se reconoce la validez de la operacin a partir del plan inicial de Rey.Tambin se dedican una pocas pginas a la involucin o extraccin de races comooperacin inversa de la graduacin.

En la p. 179, al intentar hallar la forma binmica de [ ]m1

1 , Rey no duda en usarun nmero infinito de veces la frmula generalizada del binomio de Newton paraencontrar el desarrollo en serie de

[ ] [ ]mm11

)11(11 = ,

la primera vez para desarrollar la expresin global, y las restantes para sustituir la

correspondiente expresin cada vez que aparece p)11( . El lector deber concluirque para Rey, el argumento de autoridad que supone invocar el nombre de Newton


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deber de prevalecer sobre cualquier otra consideracin acerca de convergencia,infinitos actuales o potenciales, etc. etc. Aqu ya no hay Metafsica: simplemente estutilizando reglas bien conocidas y ello le parece argumento suficiente para aceptarlassin ms. Eso estaba bien en la poca de Bue, pero debemos de recordar que, cuarentaaos antes, Cauchy ya haba intentado introducir el rigor en estas cuestiones.

Tambin se consideran extensamente los polinomios ciclotmicos y se presentauna teora trigonomtrica de los imaginarios (p. 233 ff.), tema ya estudiado por losautores que desarrollaron la variable compleja. Ya se encuentra en Bue y era monedacorriente en sesiones acadmicas por toda Europa, como muestra por ejemplo [Svanberg1812]. Se dedica bastante atencin a las construcciones grficas, y finalmentealcanzamos el Captulo VII sobre la graduacin infinita de cantidades imaginarias.

Rey explica, bajo el bastante misterioso ttulo de Inevolubilidad esencial de launidad bajo el concepto de cantidad, que la unidad 1 se mantiene igual sin importar elexponente incluso si es infinito al llevar a cabo la graduacin m)1( . A continuacin

nos asegura que si la unidad es perturbada por adicin de una cantidad infinitesimal, lagraduacin evolucionar fructferamente, para lo cual hace aparecer la magnficafrmula [Euler 1748, Captulo VII] :

...321211

11 333

2

22

+

+

+

+=

+

y trabajando la Euler, los infinitos se eliminan y tras hacer 1= encontramos elnmero e. Tras ello establece la propiedad fundamental

+=

pep 1

y da una idea del clculo prctico de logaritmos.

En la p. 203 presenta una nueva versin del misterioso ttulo:Inevolubilidad dela unidad positiva bajo el concepto de calidad. Nmero e cualitativo. Parece natural queRey quisiera eliminar tal comportamiento no evolutivo por indeseable adaptando el

razonamiento anterior al caso en que 1= . Con el mismo espritu define el nmero

cualitativo:

E ...4321

1321

121

11

11

11 +

+

+=

+=

Y muy esperanzado escribe, cuando intenta hallar una expresin binmica para E:

En esta serie, cuya estructura es ya conocida [...] es posible reconocer laconvergencia de los trminos reales cuya suma es , y de los coeficientes de losimaginarios cuya suma es , a un punto comn en que ambas sumas se haceniguales; de suerte que en el lmite en que esto se verifica es un punto de tal


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naturaleza, que respecto de l se tiene = y la expresin sumatoria de la serie

infinita es 11

1 +=

+

.

Desgraciadamente esto no es cierto. La frase de Rey es posible reconocer... hubiesequedado mucho mejor aplicada si hubiera reconocido en Ela exponencial

1...841471.0...540302.01 +=e ,

que de alguna manera es un complejo unitario en el sentido de poseer mdulo 1 yargumento un radin, esto esto es, 11 = . Ello estropea la hermosa simetra que Rey

esperaba obtener de haberse encontrado el valor que postulaba, E 1= .

Los prrafos finales del libro son igualmente decepcionantes. Las ideas de Buey Argand sugieren de manera inmediata la posibilidad de extender al espacio la teora dela perpendicularidad. Ser posible representar la perpendicularidad de una recta con

respecto a un plano mediante alguna cantidad compleja 1+ ba ? Ya Franois Servois(1768-1847) haba intentado resolver negativamente la cuestin, estableciendo unprecedente de la teora de los cuaterniones que ms tarde desarrollara Hamilton.Nuestro autor, Rey, establece sin embargo que la exponencial doblemente imaginaria

( ) 11 es el nmero adecuado, y su justificacin se contiene en el siguiente prrafo,bastante crptico (p. 284):

Que tal debe ser la evolucin, se infiere del efecto natural de los exponentes realessobre una base imaginaria. Si el exponente positivo le imprime una mocin progresiva, el exponente cero la coloca sobre el radio, y el negativo la haceretrogradar por bajo de esta posicin; el imaginario la elevar desde este origende los arcos por un arco que puede llamarse imaginario como perpendicular a losarcos positivo y negativo.

Por tanto, las seis cantidades,

( ) ( )

+++

111,1,1,1,1,1

se postulan como sistema bsico del cual deducir la Geometra del Espacio. Por

supuesto, Rey no intenta probar en lo que queda de libro que ( ) 11 pueda expresarseen la forma 1+ ba : Simplemente opina que es una nueva clase de complejo cantidadimaginaria. Y lo mismo hicieron varios de sus seguidores (ver ms adelante) incluso a

sabiendas de que ( ) 11 es un nmero real.

En la pgina 291, justo antes de la traduccin del fragmento de Kant y del glosariofinal, Rey lleva a cabo una sntesis de todo su trabajo en tres lemas, aadiendo adems a

qu campo intelectual se aplica cada uno:


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1. El smbolo 1 es un signo de perpendicularidad (Bue)7. Este es unpensamiento matemtico puro.

2. Los nmeros imitan al espacio, aunque son de naturaleza tan diferente.(Pascal). Este pertenece a la Filosofa Matemtica.

3. La tabla de categoras contiene todos los momentos de cualquier proyectode especulacin, indicando incluso su ordenacin en el tiempo (Kant)8.Este pertenece a la Filosofa Trascendental.

7. Algunos epgonos de Rey

Las teoras de Rey gozaron de cierta popularidad en los aos subsiguientes yalgunos matemticos y profesores las incorporaron en sus textos, tal como se desprendede [Garca de Galdeano 1899] y de las palabras de Julio Rey Pastor (1888-1962), uno delos fundadores de las Matemticas espaolas contemporneas [Rey Pastor 1915].Presentamos aqu a algunos de estos seguidores.

7.1. Rochano

Jos Antonio Rochano Alemany, que fue profesor en Granada, aparece comodevoto discpulo de Rey, a quien al parecer conoci personalmente. En 1870 public susElementos de Algebra [Rochano 1870], texto que presenta una mezcla de copia deTeora y de otros aspectos algebraicos ms corrientes, tales como MCDs y dems.Rochano cita explcitamente a Rey en su texto e insiste en los aspectos ms polmicosde Teora, tal como los imaginarios esfricos, pero no presenta avance alguno sobreRey. No hemos encontrado ninguna otra actividad matemtica de Rochano al preparareste trabajo. Veamos una muestra de su prosa, un comentario al hecho de que

ba es un nmero real:

Consecuencia importante. Luego el producto de dos imaginarios es REAL. Cmose ha obrado este milagro? Con que dos cantidades simblicas, quimricas,imposibles, visionarias, combinadas por la va de la produccin, dan una cantidadque ya no es quimrica y visionaria?...

7.2. Domnguez Hervella

Otro profesor, el oficial de Marina Modesto Domnguez Hervella, public unosapuntes hacia 1870 con el ttulo de Elementos de Geometra analtica, que despus

fueron dados a la imprenta con igual ttulo en 1879 [Domnguez 1879]. Hemos utilizadouna copia de esta edicin. El libro comienza con una cita de la Introduccin de Teora, ymuchas de las ilustraciones estn claramente inspiradas en las originales del texto deRey. Hervella es mucho ms tcnico que Rey o Rochano, pero an se adhiere al uso de

7 Ainsi 1 est le signe de la perpendicularit, dont... [Bue 1806], p. 28.8 Rey presenta una versin reducida de la frase original de la Seccin 3, Prrafo 11 de Destranszendentales Leitfadens der Entdeckung aller reinen Verstandbegriffe: Denn da diese Tafel imtheoretischen Teile der Philosophie ungemein dienlich, ja unentbehrlich sei, den Plan zum Ganzen einerWissenschaft , sofern sie auf Begriffen a priori beruht, vollstndig zu entwerfen, und sie mathematischnach bestimmten Prinzipien abzuteilen, erhellt schon von selbst daraus, da gedachte Tafel alle

Elementarbegriffe des Verstandes vollstndig, ja selbst die Form eines Systems derselben immenschlichen Verstande enthlt, folglich auf alle Momente einer vorhabenden spekulativen Wissenschaft,ja sogar ihre Ordnung, Anweisung gibt, wie ich denn auch davon anderwrts eine Probe gegeben habe.


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( ) 11 para el estudio de la Geometra del Espacio, incluso sabiendo que es unnmero real. En un informe de la Real Academia de Ciencias incluido en el libro9 , unrevisor annimo reprocha al autor no utilizar el sistema de Hamilton en lugar de la vieja,desfasada y errnea doble exponencial imaginaria.

7.3. Navarro

Luciano Navarro Izquierdo, profesor de Salamanca, public en 1874 un Tratadode Geometra elemental y Trigonometra rectilnea y esfrica, libro que tuvo dosediciones ms en 1883 y 1887. En este trabajo hemos utilizado un ejemplar de lasegunda edicin [Navarro 1883]. Este autor utiliza libremente ideas tomadas de Rey apesar de no citarlo expresamente, y utiliza complejos en clculos trigonomtricosrutinarios tales como la obtencin de las frmulas del ngulo doble. Fue tambin autorde un Tratado de Aritmtica y lgebra aparecido en 1875, as como de un informe onota de 1886 sobre el mtodo de Bernardino de Sena para la aproximacin de races

cuadradas. Veamos una muestra de la escritura de Navarro, en Geometra (p. 23), dondeintroduce el concepto cualitativo de direccin:

Puesto que la cualidad de la cantidad no es otra cosa que su modo de ser u obrarcon relacin a la tomada por unidad, es evidente que toda recta, cuya direccinsea la misma que la de la unidad, es de la misma cualidad que sta, siendo decualidad distinta si su direccin es diferente: la cualidad de una recta no es otracosa, pues, que la direccin de la misma respecto de la unidad.

A continuacin sigue con el mismo clculo formal de Rey para obtener que 1 es elsigno de perpendicularidad.

7.4. Lubelza

Otro seguidor fue el Ingeniero de Minas Joaqun Lubelza, que fue profesor de laEscuela de Minas de Madrid. Fue autor de un texto de Clculo prcticamente actualpublicado en 1905 [Lubelza 1905] titulado Clculo Infinitesimal, que previamente habacirculado en forma de apuntes hacia 1901. Curiosamente, la Introduccin trata loscuaterniones, citando a Rey como descubridor de la calidad sincategoremtica de lasuma de vectores (a los que llama rectores). Lubelza escribi un breve manual deMecnica en 1901, as como un artculo en 1902 sobre las fuerzas centrfugas.

8. Conclusiones

Es sabido (vase p. ej. [Pacheco et al. 2006]) que la diseminacin, enseanza yestudio de las Matemticas fue una actividad poco organizada en Espaa durante laprimera mitad del siglo XIX. Slo un puado de personajes casi aislados trabajaron eneste campo, recluidos en las escuelas militares y en la enseanza media. Los avancesque se iban sucediendo en Europa llegaban tarde, a menudo en informes de segundamano, y no resulta sorprendente que los autores espaoles siguieran apegados a latradicin del siglo XVIII en sus aspectos ms prcticos, o bien que estudiaran algunascuestiones a medio camino entre las Matemticas y la Filosofa que a primera vista norequeran unos conocimientos matemticos profundos.

9 Un informe positivo garantizaba la venta de trescientas copias para las bibliotecas pblicas del pas.


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En este trabajo hemos considerado un caso del ltimo tipo: La recepcin y

extensin de las explicaciones metafsicas de los nmeros imaginarios y cmoinfluyeron en las Matemticas espaolas durante unos cincuenta aos. La crisis defundamentos de la segunda mitad del XIX tuvo poco impacto en Espaa [Pacheco

1991], con toda seguridad debido al poco desarrollo tecnolgico del pas, puesto quedebemos recordar que una gran cantidad de los problemas de Fundamentos tuvieron suorigen en el florecimiento de diversas clases de mquinas [Fernndez y Pacheco 2005].Uno de los resultados de la crisis fue la exigencia de rigor en los dos sentidos sealadosen la Introduccin, lo cual contribuy a un estudio consistente de los modelosmatemticos subyacentes a las entonces nuevas tecnologas.

El trabajo de Rey intent ser riguroso en los aspectos lgicos y metafsicos, perofracas en la aplicacin del rigor matemtico, tal como se mostr en el N 6. Por ellono resulta extrao que la obra de Rey gozara de una larga popularidad muy por encimade su valor matemtico, ensalzado por ejemplo en [Garca de Galdeano 1899] y en [Rey

Pastor 1915]. Estamos ante un caso donde la distincin apuntada por Grattan-Guinnessentre Historia y Tradicin es perfectamente aplicable [Grattan-Guinness 2004]. Sinembargo, hay que reconocer a Rey el mrito de enfrentarse a un problema realmenteduro con la idea ingenua de que podra resolverse desde su inicio con la aplicacin detcnicas puramente filosficas. Aunque slo fuera por ello, merece un lugar en lahistoria de las Matemticas espaolas del siglo XIX, incluso aunque sepamos que elresultado final fue un fiasco y que muchos problemas quedaron an sin solucin.

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RECEPCIÓN Y EXTENSIÓN DE LAS EXPLICACIONES METAFÍSICAS DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS EN LA ESPAÑA DEL SIGLO XIX - José M. Pacheco Castelao. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria