Reconstruccion de señales originales a partir de señales muestreadas

Teorema del muestreo. Si la diferencia de muestres es suficientemente alta, comparada con la componente de mas altas frecuencia que se incluye en la señal en tiempo continuo, las características de amplitud de la señal en tiempo continuo se pueden preservar en la envolvente de la señal muestreada.

Para reconstruir la señal original a partir de una señal muestreada, existe una frecuencia mínima que la operación de muestreo debe satisfacer. Dicha frecuencia mínima de especifica en el teorema de muestreo. Se supondrá que la señal en tiempo continuo x(t) tiene un espectro en frecuencia como el que se muestra en la figura 3-10. Esta señal x)t= no contiene ninguna componente de frecuencia arriba de w1 radianes por segundo.

Teorema del muestreo. Si ws, definida como 2pi/T, donde T es el periodo de muestreo, es mayor que 2w1, o

Ws >2w1

Donde w1 es la component de mas alta frecuencia presente en la se;al en tiempo discreto continui x(t), entonces la se;al x(t) se puede reconstruir completamente a partir de la se;al mnuestreada X*(t). el teorema implica que si ws>2w1 entonces, a partir del conocimiento de la se;al muestreada, es teóricamente posible recontruis con exactitud la se;al en tiempo continuo original. A continuación, se hara uso de un enfoque graffio intuitivo para explicar el teorema del muestreo. Para un enfoque analítico, véase el problema A-3-10.

En las figuras 3-11 a) y b) se muestran las graficas del espectro en frecuencia X*(jw) contra w para

Dos vvalores de la frecuencia de muestreo ws. La figura 3-11 a) corresponde a ws>2w1, mientras que la figura 3-11 b) corresponde a ws<2w1. Cada una de las grafifcas |X*(jw)| contra w consiste en |X(jw)|/T repetido casa ws=2pi/T rad/s. en el espectro en frecuencia de |X(j(w+-wsk))|/T se denominan componentes complementarias.

Si ws<2w1, las componentes de |X*(jw)| no se traslaparan, t el espectro en frecuencia muestreado se repetirá cada ws rad/s.

Si ws<2w1, la forma original de |X(jw)| no aparece mas en la grafica de |X*(jw)| contra w debido a la superposición de los espectros. Por lo tanto, se ve que la se;al en tiempo continuo x(t) se puede recontruir a partir de la se;al muestreada mediante impulsos x*(t) a través de filtrado si y solo si ws>2w1.

Se debe observar que si la frecuencia de muestreo es menor que el doble de la componente de mayor frecuencia de la se;al en tiempo continuo original, econtes, debido a que los espectros en

Frecuencia de la componente primaria y complementaria se traslapan, aun el filtro ideal no puede recontruir la se;al original en tiempo continuo. (en la practica, el espectro en frecuencia de la se;al en tiempo continuo en un sistema de control se puede extender mas alla de +-1/2ws, incluso cuando las amplitudes a altas frecuencias son peque;as.)

Debido a que el espectro en frecuencia del filtro ideal esta dado por

La tranformada inversa de Fourier del espectro en frecuencia da como resultado

Las características de corrimiento de fase del retenedor de orden cero se pueden obtener como sigue. Observe que sen(wT/2) adotpa valores positivos y negativos a medida que w se incrementa de ws a 2ws, de 2ws a 2ws y asi sucesivamente. De este modo, la curva de fase [parte inferior de la figura 3-15ª)] es discontinua en w=kws=2pik/T, donde k=1,2,3,… dicha discontinuidad o cambio de un valor positivo a uno negatico, o viceversa, sep puede considerar como un corrimiento de fase de 180o. en la figura 3-15ª), se supone que el corrimiento de fase es de -180. (se puede suponer también que es de +180) de esta manera,

Donde

Doblamiento. El fenómeno de traslape en el espectro en frecuencia se conoce como doblamiento. En la figura 3-17 se muestran las regiones donde se presenta error de doblamiento. La frecuencia 1/2ws se denomina frecuencia de doblamiento o frecuencia de Nyquist wN. Esto es,

Traslape. En el espectro en frecuencia de una se;al muestreada mediante impulsos x*(t), donde ws<2w1, como el mostrado en la figura 3-18, considere un punto de frecuencia arbitrario w2 que cae en la región del traslape del espectro en frecuencia. El espectro en frecuencia en w=w2 incluye dos componentes |X*(jw2)| y |X*(j(ws-w2))|. La ultima componente viene del espectro en frecuencia centrado en w=ws. De este modo, el espectro en frecuencia de la se;al muestreada en w=w2 incluye

Componentes no solo en la frecuencia w2 sino también en la frecuencia ws-w2(en general, en nws+-w2, donde n es un entero). Cuando el espectro compuesto se filtra mediante un filtro paso-bajas, tal como un retenedor de orden cero, algunas armonicas de alta frecuencia estarán aun presentes en la salida. La componente de frecuencia en w=nws+-w2 (donde n es un entero) aparecerá en la salida como si esta fuyera un componente de frecuencia en w=w2. No es posible distinguir el espectro en frecuencia en w=w2 de auqel en w=nws+-w2.

Aun cuando la se;al x(t) incluya una oscilación con w=3rad/s [esto es, la componente x2(t)=sen3t], la se;al muestreada no muestra esta oscilación. Dicha oscilación existente en x(t) entre los periodos de muestreo se denominan oscilación escondida.

Katsuhiko Ogata 2ª ed. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A., Sistemas de Control en Tiempo Discreto, pag. 90-98