RECORRIDOS Y GRAFOS EULERIANOS

Un ciclo euleriano o circuito euleriano es aquel camino que recorre todas las aristas de un grafo tan solo una única vez, siendo condición necesaria que regrese al vértice inicial de salida

ciclo = camino en un grafo donde coinciden vértice inicial o de salida y vértice final o meta

Una definición más formal lo define como: "aquel ciclo que contiene todas las aristas de un grafo solamente una vez".

Se debe tener en cuenta que no importa la repetición de vértices mientras no se repitan aristas.

En la teoría de grafos, un camino euleriano es un camino que pasa por cada arista una y solo una vez.

Un ciclo o circuito euleriano es un camino cerrado que recorre cada arista exactamente una vez. 

Ciclos eulerianos

La imagen, corresponde a un ciclo euleriano, por lo tanto, es un grafo euleriano ya que si un grafo admite un ciclo euleriano, se denomina grafo euleriano.

Ejemplos:

• Si un grafo está formado por dos subgrafos eulerianos unidos al menos por un vértice y sin aristas en común, entonces es euleriano.

• Un grafo conexo G=(V,A) es euleriano Û todo vértice tiene grado par. • Un grafo conexo tiene un camino abierto euleriano Û tiene exactamente

dos vértices de grado impar.

Historia

El origen de la teoría de los ciclos eulerianos fue planteado y resuelto por el propio Leonhard Euler en 1736 en un problema que tiene el nombre de Siete puentes de la ciudad de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII y actualmente, Kaliningrado, provincia rusa) dando origen a la Teoría de los grafos.

El problema se enuncia de la siguiente forma: Dos islas en el río Pregel, en Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo sin repetir las líneas?

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento).

Casos

Dado un grafo conexo (no existen nodos aislados) y no dirigido  , si   tiene exactamente dos vértices de grado impar, entonces   tiene un

camino euleriano no cerrado. En caso de que todos los vértices tengan grado par,   tiene un ciclo euleriano.

Propiedades

Un grafo conexo y no dirigido se dice que es euleriano si cada vértice tiene un grado par.

Un grafo no dirigido es euleriano si es conexo y si se puede descomponer en uno con los vértices disjuntos.

Si un grafo no dirigido G es euleriano entonces su gráfo-línea L(G) se dice que es también euleriano.

Un grafo dirigido es euleriano si es conexo y cada vértice tiene grados internos iguales a los externos.

Un grafo no dirigido se dice que es susceptible de ser recorrido (en inglés: traversable) si es conexo y al menos dos vértices en el grafo tienen grado impar.