CAPÍTULO 7

Rectas e hiperplanos� Conjuntos convexos�

Este capítulo consta de dos secciones. En la primera se darán las definiciones de recta, segmento de rectae hiperplanos en R

n. En la segunda se verán algunos resultados sobre conjuntos convexos. Quien deseeestudiar un poco más sobre estos tópicos puede consultar el capítulo 6 de [7].

7.1. Rectas. Segmentos de recta. Hiperplanos

Los conceptos de recta, segmento de recta e hiperplanos en Rn son útiles en programación lineal (véase el

capítulo 6 de [12]). Antes de proseguir con la discusión, se hará una pequeña aclaración sobre la notacióny se hará una diferencia entre lo que es un punto P en el espacio R

n y el segmento de recta dirigido (vectorcoordenado o simplemente vector), que tiene como extremo inicial el origen de coordenadas O y como

extremo final al punto P. Éste se denotarár por−−→OP o simplemente p.

Al punto P ∈ Rn se le asignan las coordenadas �x1� x2� . . . � xn) y se escribe P �x1� x2� . . . � xn), mientras que

al vector−−→OP también se le asignan coordenadas �x1� x2� . . . � xn), pero escribiremos

−−→OP = �x1� x2� . . . � x3)

o simplemente, p = �x1� x2� . . . � x3) (ver figura 7.1 en el caso de R3).

x

x1

3

x2

x

x

x

PP(x , x , x )

O(0, 0, 0)

1

1

2

2 3

3

p = 0P =(x , x , x )3

RI 3

O(0, 0, 0)

1 2

Figura 7�1� Puntos y vectores en R3.

�57

7.1. Rectas y planos Hiperplanos

Nota. Dados dos puntos P �x1� x2� . . . � xn) y Q�x�1� x�

2� . . . � x�

n) en Rn, el segmento de recta dirigido o

vector, que tiene como punto inicial a P y como punto final Q� se denotará por−−→PQ y se le asignan las

coordenadas �x�1 − x1� x�

2 − x2� . . . � x�

n − xn). En tal sentido, y dado que

−−→OQ−

−−→OP = �x�1� x

�

2� . . . � x�

n)− �x1� x2� . . . � xn)

= �x�1 − x1� x�

2 − x2� . . . � x�

n − xn)�

se escribireá−−→PQ = �x�1 − x1� x

�

2 − x2� . . . � x�

n − xn).

7.1. Definición (Rectas). En Rn, la recta que pasa por el punto P en la dirección del vector d �= � se

define como el conjunto de puntos:

(7.1) � = {X ∈ Rn :

−−→OX =

−−→OP + λd� λ ∈ R} .

Se dice además, que el vector d es un vector director de la recta �.

Según la definición anterior, un punto X0 ∈ Rn pertenece a la recta � dada por (7.1) sii existe un λ0 ∈ R

tal que−−→OX0 =

−−→OP + λ0d.

x

d

P

y

λ d

λ dOX=OP+   

RI2

Figura 7�2� Una recta en R2.

7.2. Ejemplo. En R3, la recta que pasa por el punto P �1� 2� 3) en la dirección del vector d = �1� 0� 5)� es

el conjunto de puntos:

� =˘X�x1� x2� x3) ∈ R

3 : �x1� x2� x3) = �1� 2� 3) + λ�1� 0� 5)� λ ∈ R¯.

El punto X0�−1� 2�−7) pertenece a dicha recta, pues:

−−→OX0 = �−1� 2�−7) = �1� 2� 3) + �−2)�1� 0� 5).

Sin embargo, el punto X∗�2� 3� 2) no pertenece a la recta �, pues no existe λ∗ ∈ R tal que:

�2� 3� 2) = �1� 2� 3) + λ∗�1� 0� 5) = �1 + λ∗� 2� 3 + 5λ∗).�

158

Hiperplanos 7.1. Rectas y planos

Ahora bien, si el punto Q de Rn está sobre la recta (7.1) y Q �= P� entonces existe un λ0 ∈ R tal que

−−→OQ =

−−→OP + λ0d. De aquí que d =

1

λ0

−−→PQ� y por lo tanto:

� =nX ∈ R

n :−−→OX =

−−→OP + λd� λ ∈ R

o

=

X ∈ Rn :

−−→OX =

−−→OP +

λ

λ0

−−→PQ� λ ∈ R

ff

.

En consecuencia, se puede decir que la recta que pasa por los puntos P y Q (P �= Q) de Rn es el conjunto

de puntos:

(7.2) � =nX ∈ R

n :−−→OX =

−−→OP + t

−−→PQ� t ∈ R

o.

y

x

P

Q

t  PQ

OX=OP+t  PQ

PQ = 0Q − OP

RI2

Figura 7�3� Gráfica de una recta que pasa por los puntos P y Q.

7.3. Ejemplo. La recta que pasa por los puntos P = �1� 2� 3) y Q = �4� 1� 1) de R3� es el conjunto de

puntos:

� =˘X�x1� x2� x3) ∈ R

3 : �x1� x2� x3) = �1� 2� 3) + t�3�−1�−2)� t ∈ R¯.

�

7.4. Definición. [Segmento de recta]

El segmento de recta que une los puntos P y Q de Rn, se denota por PQ y se define así:

PQ =nX ∈ R

n :−−→OX =

−−→OP + t

−−→PQ� para 0 ≤ t ≤ 1

o.

=nX ∈ R

n :−−→OX = t

−−→OP + �1− t)

−−→OQ� para 0 ≤ t ≤ 1

o.

Según la definición anterior, un punto X0 ∈ Rn pertenece a PQ sii existe 0 ≤ t0 ≤ 1 tal que

−−→OX0 =

−−→OP + t0

−−→PQ.

159

7.1. Rectas y planos Hiperplanos

P

PQ = OQ − OP

y

x

Q

0t PQ

OX = OP + t  PQ0

IR 2

Figura 7�4� Segmento de recta que une los puntos P y Q

7.5. Ejemplo. El segmento de recta que une al punto P �1� 2� 3� 4) con el punto Q�0� 1� 0� 2), es el conjuntode puntos X�x1� x2� x3� x4) ∈ R

4:

PQ =˘X ∈ R

4 : �x1� x2� x3� x4) = �1� 2� 3� 4) + t�−1�−1�−3�−2)¯�

El punto X0�1

2�

3

2�

3

2� 3) pertenece a PQ, pues

�1

2�

3

2�

3

2� 3) = �1� 2� 3� 4) +

1

2�−1�−1�−3�−2).

Sin embargo, el punto X∗�−1� 0�−3� 0) no pertenece a PQ, pues no existe t∗ con 0 ≤ t∗ ≤ 1 tal que

�−1� 0�−3� 0) = �1� 2� 3� 4) + t∗�−1�−1�−3�−2)

= �1− t∗� 2− t∗� 3− 3t∗� 4− 2t∗) .�

7.6. Definición. [Hiperplano]

En Rn, el hiperplano que pasa por el punto P y que es normal al vector n �= 0, se define como el conjunto

de puntos:

H =nX ∈ R

n : �−−→OX −

−−→OP ) · n = 0

o�

o lo que es lo mismo,

H =nX ∈ R

n :−−→OX · n =

−−→OP · n = cte.

o�

donde “·” es el producto interno usual en Rn (véase apartado 1.2.3).

7.7. Observación. En R2 y en R

3 los hiperplanos tienen una estructura muy particular. En efecto,

1. En R2, un hiperplano es una recta. Así por ejemplo, el hiperplano (recta) que pasa por el punto

P �4�−3) y que es normal al vector n = �−5� 2), es el conjunto de puntos X�x1� x2) de R2 que

satisfacen la ecuación:−−→OX · n = −5x1 + 2x2 = −20− 6 = −26 =

−−→OP · n�

160

Hiperplanos 7.1. Rectas y planos

n

X

x

�

P

RI3 x

x

1

2

3

Figura 7�5� Gráfica de un plano en R3.

o sea,

−5x1 + 2x2 = −26.

2. En R3, un hiperplano es un plano. Así por ejemplo, el hiperplano (plano) que pasa por el punto

P �2�−1� 1) y que es normal al vector n = �−1� 1� 3), es el conjunto de puntos X�x1� x2� x3) de R3

que satisfacen la ecuación:−−→OX · n = −x1 + x2 + 3x3 = −2− 1 + 3 = 0 =

−−→OP · n�

o sea,

−x1 + x2 + 3x3 = 0 .

7.8. Ejemplo. Dados los puntos Q�1� 1� 1), P �1�−1� 2) y el vector n = �1� 2� 3)� encuentre el punto deintersección, si lo hay, de la recta que pasa por el punto P en la dirección del vector n y del hiperplano(plano) que pasa por Q y es normal al vector n.

La recta que pasa por P en la dirección del vector n� es el conjunto de puntos de X�x1� x2� x3) de R3 tales

que:

�x1� x2� x3) =−−→OX =

−−→OP + λn = �1�−1� 2) + λ�1� 2� 3). λ ∈ R .

El hiperplano (plano) que pasa por Q y que es normal al vector n, es el conjunto de puntos de X�x1� x2� x3)de R

3 para los cuales se satisfacen la ecuación:−−→OX · n = x1 + 2x2 + 3x3 = 6 =

−−→OQ · n .

Ahora bien, si denotamos por I al punto de intersección entre la recta y el plano, entonces:−→OI =

−−→OP + λ∗n

para algún λ∗ ∈ R� y también−→OI · n =

−−→OQ · n.

De esto se sigue que:−−→OP + λ∗n =

−−→OQ .

Utilizando las propiedades del producto interno encontramos que:

λ∗ =

−−→PQ · n

�n�2=

1

14.

161

7.1. Rectas y planos Hiperplanos

En consecuencia, las coordenadas del punto buscado están dadas por:

−→OI =

−−→OP + λ∗n = �1�−1� 2) +

1

14�1� 2� 3)

= �15

14�−

12

14�

31

14) .�

La figura 7.6 ilustra la situación de la intersección entre una recta y un plano.

n P

Q

x

x

x1

x2

3

RI3

Figura 7�6� Gráficas de un plano y una recta en R3

7.9. Definición. Sea H el hiperplano de Rn descrito por la ecuación−−→OX · n =

−−→OP · n = c

Los conjuntos

S1 =nX ∈ R

n :−−→OX · n ≤ c

oy

S2 =nX ∈ R

n :−−→OX · n ≥ c

o�

se denominan los semiespacios cerrados con frontera H.

Los conjuntos

S1 =nX ∈ R

n :−−→OX · n < c

oy

S2 =nX ∈ R

n :−−→OX · n > c

o�

se denominan semiespacios abiertos con frontera H.

Nota. Los semiespacios abiertos no incluyen la frontera H� mientras que los semiespacios cerrados si laincluyen.

7�1 Ejercicios

162

Hiperplanos 7.1. Rectas y planos

x n

y

x

.

..x n > c 

= c

< cx n.

..

IR2

Figura 7�7� Ilustración de semiespacios abiertos

En los ejercicios 1 al 3 responda verdadero o falso, justificando su respuesta.

1. El punto X �4� 5� 0) pertenece a la recta que pasa por el punto P �1� 2�−3) en la dirección delvector d = �1� 1� 1).

2. El punto X �0� 1� 2) pertenece al segmento de recta que une a los puntos P �1� 2�−3) y Q �4� 5� 6).3. Sean Q �1� 2� 3) � P �0� 1� 2) y n = �1� 1� 1). El punto de intersección de la recta que pasa por P en

la dirección del vector n y de hiperplano que pasa por Q y que es normal al vector n, esM �2� 0� 1).

En los ejercicios 4 al 7 demuestre la afirmación correspondiente

4. Sea H =nX ∈ R

k :−−→OX · n = c

oun hiperplano de R

k.

a) Muestre que si X = 0 /∈ H� entonces existe un vector n∗ �= � tal que:

H =nX ∈ R

k :−−→OX · n∗ = 1

o.

b) Demuestre que si X = 0 /∈ H� entonces existen k puntos b1� b2� . . . � bk de H� que como vectoresson linealmente independientes.

c) Demuestre que si X = 0 /∈ H� entonces

H =

(

X ∈ Rk : X =

kX

i=1

λibi�

kX

i=1

λi = 1

)

� .

donde b1� b2� . . . � bk son puntos de H� que como vectores, son linealmente independientes.5. Encuentre b1� b2 y b3 tales que

H =˘X ∈ R

3 : X · �2� 1� 1) = 1¯

=

(

X ∈ R3 : X =

3X

i=1

λibi�

3X

i=1

λi = 1

)

6. Sean b1 = �1� 0� 0)� b2 = �1� 1� 0) y b3 = �1� 1� 1).a) Demuestre que b1� b2 y b3 son linealmente independientes.b) Encuentre un vector n∗ �= 0 tal que:

H =

(

X ∈ R3 :

−−→OX =

3X

i=1

λibi�

3X

i=1

λi = 1

)

=nX ∈ R

3 :−−→OX · n∗ = 1

o.

163

7.2. Conjuntos convexos Hiperplanos

7. Sea H =˘X ∈ R

k : X · n = c¯un hiperplano de R

n.a) Muestre que X = � ∈ H sii c = 0.b) Demuestre que si X = � ∈ H� entonces existen k− 1 puntos a1� a2� . . . � ak−1 de H� que como

vectores son linealmente independientes.c) Demuestre que si X = 0 ∈ H� entonces

H =

(

X ∈ Rk :

−−→OX =

k−1X

i=1

λiai

)

.

donde a1� a2� . . . � ak−1 son k − 1 puntos de H� que como vectores son linealmente independi-entes.

8. Encuentre a1 y a2 tales que

H =nX ∈ R

3 :−−→OX · �2� 1� 1) = 0

o

=nX ∈ R

3 :−−→OX = λ1a1 + λ2a2

o

9. Sean a1 = �1� 1� 1) y a2 = �1� 0� 1).a) Muestre que a1 y a2 son linealmente independientes.b) Encuentre un vector n∗ �= 0 tal que:

H =nX ∈ R

3 :−−→OX = λ1a1 + λ2a2

o

=˘X ∈ R

3 : v ·N∗ = 0¯.

10. Demuestre que todo hiperplano de Rn es una variedad lineal de dimensión n−1 (véase el apartado

1.2.1).

7.2. Conjuntos convexos

Los conjuntos convexos juegan un papel importante en la programación lineal. En particular se tiene quela llamada región factible de un problema de programación lineal es un conjunto convexo (vea el teorema6.6(iii) de [12]).

7.10. Definición. Sea C un subconjunto de Rn. Se dice que C es convexo, si para dos puntos cualesquiera

P y Q de C� el segmento de recta PQ está contenido en C.

En la figura 7.1 los conjuntos C1 y C2 son convexos, mientras que los conjuntos C3 y C4 no son convexos.

7.11. Teorema. Todo hiperplano de Rn es un conjunto convexo.

Demostración� Sea H el hiperplano de Rn descrito por la ecuación

−−→OX · n =

−−→OP · n = c

y sean Q1 y Q2 puntos de H. Ahora, si X∗ es un punto de Rn cuyas coordenadas satisfacen:

−−→OX ∗ =

−−→OQ1 + t�

−−−→Q2Q1)� 0 ≤ t ≤ 1 �

164

Hiperplanos 7.2. Conjuntos convexos

C 4

P

Q

P

Q

yC1

P

C2

Q

C3

P

x

y

x

(b)(a)

Q

Figura 7�1� Conjuntos convexos y no convexos

entonces X∗ es un punto del segmento de recta Q1Q2 y se tiene que:

−−→OX ∗ · n =

h−−→OQ1 + t�

−−−→Q2Q1)

i· n

=h−−→OQ1 + t�

−−→OQ2 −

−−→OQ1)

i· n

=−−→OQ1 + t

−−−→OQ2 · n− t

−−→OQ1 · n

= �1− t)−−→OQ1 · n + t

−−→OQ2 · n

= �1− t)c+ t c

= c �

es decir, X∗ ∈ H. Por lo tanto H es un conjunto convexo. �

7.12. Teorema. Sea H el hiperplano de Rn. Todo semiespacio cerrado o abierto con frontera H es un

conjunto convexo.

Demostración� Sea H el hiperplano de Rn descrito por la ecuación

−−→OX · n =

−−→OP · n = c .

Se demuestrá únicamente que el semiespacio abierto con frontera H

S =nX ∈ R

n :−−→OX · n < c

o

es un conjunto convexo. En el caso de semiespacio cerrados con frontera H se procede de manera análoga.

Sean pues Q1 y Q2 puntos del conjunto S y sea X∗ un punto del segmento de recta Q1Q2 . Puesto que

Q1 ∈ S y Q2 ∈ S, entonces−−→OQ1 · n < c y

−−→OQ2 · n < c, de aquí que:

−−→OX ∗ · n =

h−−→OQ1 + t�

−−−→Q2Q1)

i· n

=h−−→OQ1 + t�

−−→0Q2 −

−−→OQ1)

i· n

=−−→OQ1 + t

−−→0Q2 · n− t

−−→OQ1 · n

= �1− t)−−→OQ1 · n + t

−−→OQ2 · n

< �1− t)c+ t c = c �

165

7.2. Conjuntos convexos Hiperplanos

esto es, X∗ ∈ S. Por lo tanto S es un conjunto convexo. �

7.13. Teorema. La intersección de dos conjuntos convexos de Rn es un conjunto convexo de R

n.

Demostración� Sean C1 y C2 dos conjuntos convexos de Rn y sea C3 = C1 ∩ C2. Si C3 tiene solamente

un punto, entonces C3 es automáticamente convexo. Sean Q1 y Q2 dos puntos distintos de S3 , ya que C1 yC2 son conjuntos convexos de R

n, entonces:−−→OQ1 + t�

−−→OQ2 −

−−→OQ1) ∈ C1 Para todo t tal que 0 ≤ t ≤ 1.

y−−→OQ1 + t�

−−→OQ2 −

−−→OQ1) ∈ C2 Para todo t tal que 0 ≤ t ≤ 1.

En consecuencia.−−→OQ1 + t�

−−→OQ2 −

−−→OQ1) ∈ C3 = C1 ∩ C2 para todo t tal que 0 ≤ t ≤ 1 y por lo tanto C3 es

un conjunto convexo de Rn. �

La prueba del siguiente corolario se puede obtener aplicando el principio de inducción matemática y sepropone como un ejercicio.

7.14. Corolario. La intersección de un número finito de conjuntos convexos de Rn es un conjunto conexo

de Rn.

7.15. Teorema. [Envolvente convexa]Sean X1� X2� . . . � Xm puntos de Rn. El conjunto:

C =

(

X ∈ Rn :

−−→OX =

mX

i=1

αi

−−→OXi; αi ≥ 0� i = 1� . . . �m�

mX

i=1

αi = 1

)

es un conjunto convexo y es llamado la Envolvente convexa de los puntos X1� X2� . . . � Xm.

Demostración� Sean P y Q dos puntos de C; entonces existen escalares α1� α2� . . . � αm y β1� β2�. . . � βm no negativos, tales que:

−−→OP =

mX

i=1

αi

−−→OXi�

mX

i=1

αi = 1

y

−−→OQ =

mX

i=1

βi

−−→OXi�

mX

i=1

βi = 1 .

Sea ahora X∗ un punto en el segmento de recta PQ� esto es, un X∗ para el cual se satisface

−−→OX ∗ =

−−→OP + t�

−−→OQ−

−−→OP )� 0 ≤ t ≤ 1.

Puesto que:

−−→OX ∗ =

mX

i=1

αi

−−→OXi + t

"mX

i=1

βi

−−→OXi −

mX

i=1

αi

−−→OXi

#

=

mX

i=1

[�1− t)αi + tβi]−−→OXi �

donde �1− t)αi + tβi ≥ 0 para i = 1� . . . �m� ymX

i=1

[�1− t)αi + tβi] = �1− t)

mX

i=1

αi + t

mX

i=1

βi

= �1− t) + t = 1 �

166

Hiperplanos 7.2. Conjuntos convexos

entonces X∗ ∈ C. En consecuencia, C es un conjunto convexo. �

7�2 Ejercicios

En los ejercicios 1 al 2, responda verdadero o falso, justificando su respuesta.

1. La unión de dos conjuntos convexos de Rn es un conjunto convexo de R

n.

2. El conjunto de todas las soluciones x =ˆx1 x2 · · · xn

˜Tde un sistema de ecuaciones lineales

Ax = y� tales que xi ≥ 0 , i = 1� . . . � n es un conjunto convexo.

En los ejercicios 3 al 4 demuestre la afirmación correspondiente

3. Si T : Rn → R

m es una transformación lineal, entonces envía conjuntos convexos en conjuntosconvexos.

4. Demuestre que si T : R2 → R

2 es una transformación lineal biyectiva, entonces T envía triángulosen triángulos.

167

Índice alfabético

Base, 7cambio de, 13canónica de �

n, 9ortogonal, 10, 49ortonormal, 10

c-inversa de una matriz, 112Choleskydescomposición, 146

Conjuntosconvexos, 164

DescomposiciónLU, 131

Descomposiciónde Cholesky, 146en valores singulares, 151QR, 138

Desigualdad de Schwarz, 10Determinante, matriz, 3Diagonal principal, matriz, 1Diagonal, matriz, 2Diagonalizaciónsimétricas, 48cuadrática, 75ortogonal, 51simultáneacuadráticas, 77de matrices, 63

Diagonalización de matrices, 39

Eigenvalores, eigenvectores; veavalores �vectores) propios, 31

Espacio columna, matriz, 13Espacio fila, matriz, 13Espacio generado, 7Espacio nulo, matriz, 14Espacio vectorial, 5base, 7base ordenada, 8de transformaciones lineales, 13dimensión, 7subespacio, 6suma directa, 8

Espacios fundamentales, matriz, 13

Factorización de matrices; verdescompisición de matrices, 131

cuadrática, 71cambio de variables, 74clasificación, 72diagonalización de una, 75

indefinida, 72, 82negaitivamente definida, 82negativamente definida, 72negativamente semidefinida, 82negitivamente semidefinida, 72no negaitiva, 72no posiitiva, 72positivamente definida, 72, 82positivamente semidefinida, 72, 82

Forma escalonada reducida, 4

g-inversa de una matriz, 99, 103método, 15Gram-Schmidt, proceso, 140Gram-Schmidt, proceso de, 10

Hermitematriz superior, 115

Idéntica, matriz, 2Identidad, matriz, 2transformación lineal, 11Inversacondicional, 112generalizada, 99, 103, 143cálculo de, 107propiedades, 105

LUdescomposición, 131

MatricesDiagonalización de, 39factorización, 131no negativas, 89semejantescaracterísticos de, 37

simétricasdiagonalización, 48

Matrices elementales, 4Matrizadjunta, 3cambio de base, 13cofactor ij, 3de cofactores, 3cuadrática, 72transformación lineal, 12determinante, 3propiedades, 3

diagonal, 2espacio columna de una, 13espacio fila de una, 13

�69

Índice alfabético

espacio nulo de una, 14espacios fundamentales de una, 13forma escalonada reducida, 4hermite superior, 115idempotente, 94idéntica, 2inversa, 2, 15propiedades, 2

menor ij, 3operaciones elmentales, 4particionada, 17determinante, 21, 23inversas, 24operaciones con, 18

caracterí stico de una, 34rango de una, 13, 15semejante, 13submatriz, 17transpuesta, 2propiedades, 2

traza de una, 28valor propio de una, 33vector propio de una, 33

solución aproximada, 122Mínimos cuadrados, 120

Operaciones elmentales en una matriz, 4

Producto interno, 9

QRdescomposición, 138

Rango de una matriz, 13Rectas, planos e hiperplanos, 157

Sistemas de ecuaciones, 15c-inversas,g-inversa, 119Gauss-Jordan, 15solución aproximada, 122mínimos cuadrados, 119

Solución mí nima cuadrada, 122

Transformación linealálgebra de, 12imagen, 11inversa de una, 13matriz de una, 12transformación inyectica, 11valores propios, 31vectores propios, 31

Transformacion linealtransformación sobreyectiva, 11

Transformación linealnúcleo, 11

Transformaciones lineales, 11Transpuesta, matriz, 2

Valor propio, 31espacio asociado a un, 33multiplicidad algebraica de un, 34geométrica de un, 33

caracterí sticos; veavalores �vectores) propios, 31

Valores singularesdescomposición, 151

Variedad lineal, 15Vector propio, 31Vectores, 5, 157coordenadas resp. a una base, 8linealmente dependientes, 7

linealmente independientes, 7, 15, 16, 41ortogonales, 10ortonormales, 10proceso de Gram-Schmidt, 10propios ortogonales, 49

170

Bibliografía

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