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RECTAS EN EL ESPACIO. ¿Cómo se puede determinar de manera única una recta en el espacio? . Eje Z. Eje Y. Eje X. Un punto P y una dirección u. L. P. u. ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en la recta L que pasa por Po con dirección u?. - PowerPoint PPT Presentation
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RECTAS EN EL ESPACIO
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
Eje X
Eje Y
Eje ZP
u
LUn punto P y una dirección u
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacioUn punto P y una dirección u
u
L
PoP
tu
Eje X
Eje Y
Eje Z
O
u PP oPL
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacioEcuación de la recta L que pasa por
P0(xo,yo,zo) con vector director u=(a,b,c)
El punto P(x,y,z) L si y sólo si P-Po u, es decir, si P-Po=tu, t (x-xo, y-yo, z-zo)=t
(a,b,c).Ecuaciones
paramétricas de la recta L
tczztbyytaxx
ooo
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
Si las coordenadas del vector director u=(a,b,c) son todas no nulas, abc0
Ecuación de la recta L que pasa por P0(xo,yo,zo) con vector director
u=(a,b,c)
czz
byy
axx 000
Ecuación simétrica de la recta L
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
Ejercicio Nº1Encuentre la ecuación de la recta L que pasa por P(1,2,-1) y es paralela al vector u=(2,3,-2). ¿Está el punto (2,1,2) sobre la recta L? ¿Está el vector (3,5,-3) en la recta L?
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
Ejercicio Nº2Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,3,-4) y Q(3,-2,5)
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
Ejercicio Nº3Encuentre la ecuación de la recta L que contiene a (2,3,-2) y es paralela
a la recta 2
5z6
1y3
2x
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
Ejercicio Nº4Encuentre la intersección de las rectas
t8zt4y
t317x:S y
t2zt23y
t1x:L
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
Ejercicio Nº5Encuentre la ecuación de la recta L
que pasa por (-2,3,4) y es ortogonal a:
t3zt23yt42x
:S y t57z
t34yt23x
:L
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacioSolución
Nº1:
2=1+2t t=1/2 pero para y, 1 2+3(1/2). Por lo tanto el punto (2,1,3)L.(3,5,-3)L, ya que satisface las ecuaciones paramétricas de la recta para el valor del parámetro t=1. Sin embargo el vector v=(3,5,-3) no está en L ya que para eso el origen también debería estar en L y no lo está
t21zt32yt21x (x,y,z)L si al sustituir
en las ecuaciones anteriores hay algún
valor de t que las satisfaga.
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
t.
t94zt53y
t2x
El vector director de la recta es: u=(3,-2,5)-(2,3,-4)=(1,-5,9). La ecuación de la recta viene dada por:
Solución Nº2:
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, por lo tanto,
podemos tomar como vector director de L el mismo vector director de la recta
dada que es (3,6,2) y así la ecuación de L es
t22zt63yt32x
Solución Nº3:
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
¿Hay valores de t, s para los cuales 1 + t = 17 + 3s -3 +2t = 4 + t -2 - t = -8 – s ?
Solución Nº4:
t8zt4y
t317x:S y
t2zt23y
t1x:L
102025501631
611712
1631
000510101
000510
1631
Punto de intersección es (2,-1,-3)
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacio
El vector director de L debe ser ortogonal a las rectas L1 y L2. Por lo tanto debe ser ortogonal a sus vectores directores (-2,3,5) y (4,-2,1), es decir , el producto vectorial de los dos
Solución Nº5:
=(13, 22, -8)124
532kji
t84zt223yt132x
La ecuación es
Al g
ebra
line
a l Rectas en el espacioPOSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS
RECTAS Secantes:
Se cortan en un punto Sus vectores directores no son paralelos
Se cruzan: No se cortanSus vectores directores no son paralelos
ParalelasSus vectores directores son paralelos
P = L1 L 2
L1 L 2 =
