REFLEXIONES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/index.htm

Debemos preparar a nuestros alumnos para su inserción en la sociedad; esto es, entre otras cosas, ayudarlos a formar una actitud independiente que les permita evaluar hechos y elegir caminos.

Creemos que desde la escuela y desde el primer año de la Universidad en forma sistemática, tenemos el compromiso de tratar de que sean capaces de:

Leer textos e interpretarlos. Familiarizarse con el lenguaje matemático. Traducir un mensaje coloquial a una expresión matemática donde se

pongan de manifiesto las premisas establecidas y los resultados a obtener.

Elaborar sus propias estrategias de resolución. Sentirse estimulados para verbalizar los caminos empleados para

llegar a la meta. Realizar intercambios de interpretaciones de enunciados y

estrategias utilizadas. Lograr una actitud positiva hacia lo novedoso. Decidir si cuentan, o no, con suficientes herramientas como para

encarar el problema, de no ser así, saber a qué fuentes de información confiables pueden recurrir.

Adquirir contenidos matemáticos y lógicos

Creemos que la resolución de problemas es un posible camino hacia estos objetivos. Este tipo de trabajo es valioso porque logra integrar en un todo armonioso los polos alrededor de los que gira la enseñanza: los contenidos y los procesos.

Aclaramos que una buena parte de los problemas que aquí presentamos son una recopilación de los que aparecen en libros argentinos y extranjeros de gran difusión. En muchos casos creemos haber perfeccionado dichos enunciados. Otros problemas son de nuestra creación.

Por último queremos transcribir algo que nos parece de una riqueza y una actualidad muy grandes, sobre todo porque fue escrito hace 55 años. Se trata del prefacio de la primera edición en inglés del libro: "Cómo plantear y resolver problemas", de G. Polya.

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"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella imperecedera en la mente y en el carácter.

Por ello, un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.

Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de matemáticas tiene también una particular oportunidad. Dicha oportunidad se pierde, claro está, si ve a las matemáticas como la materia de la que tiene que presentar un examen final y de la cual no volverá a ocuparse una vez pasado éste. La oportunidad puede perderse incluso si el estudiante tiene un talento natural por las matemáticas, ya que él, como cualquier otro, debe descubrir sus capacidades y aficiones; no puede saber si le gusta el pastel de frambuesas si nunca lo ha probado. Puede descubrir, sin embargo, que un problema de matemáticas puede ser tanto o más divertido que un crucigrama, o que un vigoroso trabajo intelectual puede ser un ejercicio tan agradable como un ágil juego de tenis. Habiendo gustado el placer de las matemáticas, ya no las olvidará fácilmente, presentándose entonces una buena oportunidad para que las matemáticas adquieran un sentido para él, ya sean como pasatiempo o como herramienta de su profesión, o su profesión misma o la ambición de su vida"

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UNA POSIBLE DEFINICIÓN DE PROBLEMA

Mucho se habla de problemas, sin embargo cuando buscamos una definición la tarea no resultó simple.

Los autores más conocidos no la han dado, se han remitido a describir las características de un problema.

Después de investigar bastante hallamos una que nos satisfizo bastante. Se trata de la siguiente, dada por la profesora de la U.B.A. Herminia Azinián:

Un problema existe cuando hay tres elementos, cada uno claramente definido:

Una situación inicial.

Una situación final u objetivo a alcanzar.

Restricciones o pautas respecto de métodos, actividades, tipos de operaciones, etc., sobre los cuales hay acuerdos previos.

¿QUÉ IMPLICA RESOLVER UN PROBLEMA?

La expresión "Resolución de Problemas" fue introducida por matemáticos pero actualmente no se limita tan solo al ámbito de la matemática sino que constituye algo mucho más amplio.

Los problemas son situaciones nuevas que requieren que la gente responda con comportamientos nuevos. Casi permanentemente enfrentamos "problemas" en nuestra vida cotidiana.

Resolver un problema implica realizar tareas que demandan procesos de razonamientos más o menos complejos y no simplemente una actividad asociativa y rutinaria.

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¿CÓMO RESOLVER PROBLEMAS?

La pregunta que nos planteamos no es de fácil respuesta como lo marca, en buena medida, nuestra experiencia.

Creemos que no sólo afecta a la enseñanza de esta disciplina sino a otras pues, entre las primeras dificultades con las que se enfrenta el alumno, están incluidas tanto la lectura y comprensión de un texto como el planteo de una situación problemática sea cual fuere el tema del que se trate.

La simbolización de un problema es un aprendizaje constructivo, por lo tanto individual y distinto, en el cual cada uno utiliza sus propias estrategias.

La incorporación de nuevas formas de resolución de problemas crea un conflicto con los viejos conocimientos, y por ello se tiende a rechazarlas.

Ayudar a desarrollar capacidades y aptitudes en los alumnos para que éstos puedan resolver con éxito situaciones problemáticas de distinta índole es, quizá, uno de nuestros más complicados desafíos.

Dada entonces una situación problemática en particular, el objetivo radica en establecer cómo se la puede caracterizar, con el propósito de intentar modelizarla, cómo se la puede definir en términos de problemas y cómo, encontrada la metodología de la resolución específica, se llega al modelo.

Cuando los problemas que se resuelven son matemáticos o juegos, se tiene la posibilidad de adquirir metodologías de razonamiento permanentes, explicitadas mediante estrategias conducentes a modelizar tales situaciones.

Esto permite aprovechar los mecanismos de resolución y reutilizarlos en nuevas problemáticas.

Por lo tanto, resulta de valorable importancia disponer de un gran número de estrategias o saber generarlas, tales que, conocidas y comprendidas las disciplinas implícitas, se intente transferirlas a los efectos de poder hallar solución al problema.

En general tales estrategias corresponden más a procedimientos heurísticos (tentativas asistemáticas para acercarse a una solución) que a procedimientos algorítmicos.

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LAS PARTES DE UN PROBLEMA

Según una buena parte de los autores que se han dedicado al tema, la resolución de problemas consta de tres etapas o procesos.

Etapa inicial o inicio de presentación (I):

Consiste en comprender el problema familiarizándose con él lo más posible. Supone la identificación, el análisis y la interpretación de los datos disponibles inicialmente. Requiere de una suficiente atención dedicada al problema para activar y estimular la memoria y prepararla para recoger los puntos importantes en pos de una idea útil. Supone la determinación de esta idea.

Momento de Producción (O):

Se trata de la ejecución de un plan, aquel al que la "idea feliz" dio inicio y que, en principio, permite la obtención de la solución al problema.

Comprende un conjunto de operaciones o transformaciones diversas a saber:

a. Recuperación de la información almacenada en la memoria a largo plazo. b. Exploración de la información ambiental. c. Transformaciones en la memoria a corto plazo. d. Almacenamiento de información intermedia en la memoria a largo plazo. e. Eventual alcance de una solución.

Etapa de Enjuiciamiento, Verificación o Contrastación (C):

En esta etapa se evalúa la solución generada contrastándola con el criterio de solución empleado, estableciendo el correcto enlace de todos los operadores, desde el I, pasando por el O hasta llegar al C.

En consecuencia, un "problema" puede formalizarse como la terna ordenada de la forma P = (I, O, C).

Así, "resolver problemas" equivale a incorporar modos de búsqueda para la satisfacción de situaciones particularmente comprendidas, las cuales pueden corresponder a la vida cotidiana o a problemas que no tengan, directamente, que ver con ésta.

Al hablar de inteligencia se suele frasear que "quien más sabe más posibilidades de aprender tiene". La explicación de esta frase permite

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conciliar el aprendizaje de metodologías (estrategias) de resolución de problemas con situaciones particulares, pues el concepto de "quien más sabe" está ligado a métodos de razonamiento y no a particulares estados.

UNA POSIBLE CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS

Supongamos que el objetivo consiste en resolver el problema p1, y que el problema p2 ya ha sido resuelto.

Varios autores establecen la siguiente taxonomía para relacionar entre sí dos problemas:

A. El problema p1 no está relacionado con el p2, o bien p1 y p2 no tienen elementos en común. La estrategia de resolución de p2 no nos servirá.

B. El problema p1 es equivalente al p2, entonces p1 y p2 son isomorfos y la manera en que resolvimos p2 nos servirá para resolver p1.

C. El problema p1 es similar al p2, entonces p1 tiene elementos en común con p2, por lo tanto son análogos. En este caso puede darse que:

1. p1 y p2 tengan la misma dificultad. 2. p1 sea más simple que p2. 3. p1 sea más complejo que p2.

La estrategia de resolución para p2 podrá orientarnos en mayor o menor medida, según se dé el caso 1), 2) ó 3).

D. El p1 es un caso especial del p2, entonces decimos que p1 está incluido en p2. El p1 constituye un caso particular del p2 y, por tanto, ya está resuelto.

E. El p1 es una generalización del p2, entonces decimos que p1 incluye al p2. El p1 podrá, posiblemente, ser resuelto usando el p2 como parte del conjunto de estrategias a utilizar.

Vamos a resolver problemas

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CON ECUACIONES O CON TUS PROPIAS ESTRATEGIAS

Cuatro problemas, sencillos, resueltos:

1) Dos hermanos deciden ahorrar juntos las propinas que reciben de su padre durante un año. Al final de este período lograron reunir $192. Si el hermano mayor ahorró el triple de lo que ahorró el menor, ¿cuánto ahorró cada uno?

PRIMERA SOLUCION:

Trato de estimar las cantidades pedidas.

Sospecho que el menor debe haber ahorrado aproximadamente $40. Como el mayor ahorró el triple, esta cantidad es de $120. Luego sumo ambas cantidades para ver si mi estimación responde a los datos del problema: $40+$120 = $160.

¡Me quedé corto!

Pruebo con $50 para el menor. Entonces al mayor le corresponden $150. Sumo: $50+$150 = $200.

¡Me pasé, pero no mucho!

Sigo tanteando. Supongo ahora que el menor ahorró $48. Entonces el mayor ahorró 3.$48 , o sea $144. Sumo ambas cantidades:

$48+$144 = $192.

¡SI!, encontré la solución de mi problema.

Respuesta: el hermano menor ahorró $48 y el hermano mayor $144.

Habrás notado que esto de "probar" o "tantear" no nos resultó cómodo en esta oportunidad, ¡pero es totalmente válido!.

Pero puede ocurrir que nos cansemos antes de llegar a la solución, o que el problema no tenga solución y no podamos convencernos de ello.

Veamos, entonces, otra alternativa para resolver nuestro problema:

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OTRA POSIBLE SOLUCION:

Identifiquemos qué es lo que se pide y cuáles son los datos del problema.

Llamemos x al dinero que ahorró el menor.

Luego, el hermano mayor ahorró 3x

Ya que juntos ahorraron $192 debe ser:

x +3x = $192.

Resuelvo esta ecuación y encuentro que x=$48 .

Es decir, el hermano menor ahorró $48.

Como el hermano mayor ahorró 3x, resulta:

3$48 = $144.

Respuesta: el hermano menor ahorró $48 y el mayor $144.

2) En el corral de una escuela-granja hay sólo corderos y gallinas. Patricio y Ana deben informar a su maestra cuántos animales hay allí. Cada uno cuenta a su manera. Cuando regresan Patricio dice que contó 192 patas y Ana, que contó las cabezas, llegó a 60. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el corral?

PRIMERA SOLUCION:

Teniendo en cuenta que las cabezas deben sumar 60, probemos:

Supongamos 50 corderos y 10 gallinas. Calculemos la cantidad de patas que tendría que haber:

Corderos: sabiendo que cada uno tiene 4 patas, el total de patas de corderos se obtiene multiplicando por 4 la cantidad supuesta de corderos, es decir, 4.50 = 200.

Gallinas: sabiendo que cada una tiene 2 patas, el total de patas de gallinas se obtiene multiplicando por 2 la cantidad supuesta de gallinas, es decir, 2.10 = 20.

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El total de patas sería 200+20 = 220. ¡Nos pasamos!

Vamos a suponer ahora que hay 20 corderos y 40 gallinas. En este caso, procediendo como lo hicimos anteriormente, resulta que el total de patas sería de 160. ¡Nos quedamos cortos!

Seguimos probando hasta encontrar que, si consideramos que hay 36 corderos y 24 gallinas, se verifican las condiciones del problema

Respuesta: En el corral hay 36 corderos y 24 gallinas.

SEGUNDA SOLUCION:

Podríamos suponer que las gallinas se paran en una pata y los corderos en las patas traseras; ahora tendríamos 60 cabezas y 96 patas.

Como las gallinas tienen una sola pata en la tierra, las patas que quedan (96-60) corresponden cada una a un cordero; hay entonces 36 corderos y 24 gallinas.

TERCERA SOLUCION:

Si llamamos "c" a la cantidad de corderos y "g" a la cantidad de gallinas, tenemos:

4c + 2g = 192 patas

c + g = 60 cabezas

De la segunda relación resulta

g = 60 - c

que reemplazada en la primera nos dice

4c + 2(60-c) = 192,

es decir, 4c + 120 – 2c =192,

o sea, 2c = 72,

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de donde c = 36

Para conocer g volvemos unos renglones atrás y nos encontramos con que g = 60 – c, es decir, g = 60 - 36 = 24

Respuesta: en el corral hay 36 corderos y 24 gallinas.

Es muy probable que si el maestro se limita a dar el enunciado del problema y deja a los alumnos un tiempo saludable para la resolución (sin tratar de inducir la solución que él cree correcta) aparezcan estas soluciones u otras más.

Para un aprovechamiento total del trabajo conviene que cada alumno, en un breve párrafo, relate cómo llegó a la solución expuesta incluyendo los intentos previos, aunque éstos hayan sido infructuosos.

3) Un número de dos cifras es tal que: la suma de las cifras es 11 y la cifra de las unidades es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1. ¿Cuál es dicho número?

Los datos están dados en función de las cifras del número que tengo que encontrar, entonces nuestras incógnitas serán dichas cifras; por ejemplo: si el número que estamos buscando es 35, nuestras incógnitas serán el 3 y el 5. ¿Cómo hacemos para escribir al 35 en función del 3 y del 5?

Así: 35 = 3.10 + 5.

Y esto lo podemos hacer con cualquier número de dos cifras; en general:

si ab es un número donde a representa la decena y b la unidad (no interpretar como producto), resulta

ab = a.10 + b.

Entonces volvamos a los datos de nuestro problema:

"...la suma de las cifras es 11..." , es decir, a + b = 11,

"...la cifra de las unidades es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1...", es decir ,

b = 2.a - 1

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Bastará reemplazar en la primera ecuación el valor de b que nos brinda la segunda ecuación, es decir:

a + (2.a – 1) = 11

es decir, 3.a – 1 = 11

o sea, 3.a = 12

de donde sale que a = 4

Para hallar el valor de b reemplazo en la segunda ecuación el valor de a encontrado:

b = 2.4 – 1 = 7.

Entonces, a = 4 y b = 7 .

Respuesta: el número buscado es 47.

4) Ricardo compró dos libros y un cuaderno por $80. Si un libro cuesta la mitad del otro y el cuaderno $40 menos que el libro más caro, ¿cuánto pagó por cada artículo?

Llamemos x al libro más caro.

Entonces el libro más barato cuesta x/2.

Y el cuaderno cuesta x-40.

La suma de los precios de los tres artículos es $80. Luego:

x + x/2 + x – 40 = 80

Esta ecuación es equivalente a

es decir,

5x – 80 = 160 por lo tanto

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Si x = 48 entonces x/2 = 24 y x – 40 = 8

Respuesta: Ricardo pagó $48 y $24 por los libros y $8 por el cuaderno.

DIEZ PROBLEMAS SENCILLOS PROPUESTOS. (CON RESPUESTAS)

1. Juan y Pedro son mellizos. Julián tiene 3 años más que ellos y las edades de los tres sumadas es 42. ¿Qué edad tiene Julián?

Rta: 16 años. 2. Un maratonista está compitiendo en una carrera de 8500m. Sufre

una lesión y se retira cuando ha recorrido la cuarta parte de lo que le faltaba por recorrer. ¿Cuántos metros corrió realmente?

Rta: 1700 m. 3. Siendo 68m el perímetro de un rectángulo y 12,5m uno de sus lados,

¿cuál es la longitud del otro? Rta: 21,5 m. 4. La suma de tres números pares consecutivos es 72. ¿Cuáles son esos

números? Rta: 22, 24 y 26. 5. Tengo $66 en billetes de $2 y de $5. Si en total tengo 18 billetes,

¿cuántos billetes de cada valor tengo? Rta: 8 billetes de $2 y 10 de $5. 6. Dos toneles contienen en conjunto 108 litros de vino. Si pasáramos 4

litros de un tonel al otro, éste contendría el doble de vino que el primero. ¿Cuántos litros de vino contiene cada tonel?

Rta: 40 y 68 litros. 7. José nació 2 años después que Pablo y 3 años antes que César.

¿Cuántos años tiene cada uno si la suma de sus edades es 17? Rta: José 6 años, Pablo 8 años y César 3 años. 8. Tres personas reúnen un pequeño capital de $9500 para establecer

un comercio minorista. Si la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la tercera ½ de lo que aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución de cada uno de ellos?

Rta: $3000, $5000 y $1500. 9. Un comerciante quiere preparar 10 kg. de te para venderlo a $15 el

kg. Va a utilizar un te de $22 el kg. y otro de $12 el kg. Calcula cuántos kg de cada clase de te debe colocar.

Rta: 3kg. del de $22 y 7 kg. del de $12. 10. Encuentra un número de dos cifras que al sumarle 9 se convierte en

otro número con las mismas dos cifras en orden invertido. ¿Puedes encontrar otro? ¿Hay más? ¿Cuántos? Rta: todos los números que cumplen esa condición son: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 y 89.

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CON ECUACIONES O CON TUS PROPIAS ESTRATEGIAS

Seis problemas, algo más complejos, resueltos.

1) Juliana recorre a velocidad constante una distancia de 300 km invirtiendo un determinado tiempo. Si la velocidad se incrementara en 25 km por hora, el tiempo requerido sería 2 horas menor que el anterior. ¿Cuál es el tiempo que invirtió Juliana?

La velocidad desarrollada por Juliana puede escribirse , si llamamos t al tiempo que empleó.

Ahora bien, si el tiempo empleado fuese 2 horas menos, es decir t-2 , la

nueva velocidad podría escribirse .

Pero esta es 25 km/h mayor a la de Juliana, de modo que podemos poner

Velocidad de Juliana = Nueva velocidad – 25 km/h, o sea

Sigue que

y

Multiplicando 300(t-2)=(350-25t)t

De donde 300t-600=350t-25t2

Y 25t2-50t-600=0

Dividiendo por 25 queda t2-2t-24=0

Con la resolvente, se obtiene , de donde t1=6 y t2=-4 .

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Dado que un tiempo negativo no puede ser solución de nuestro problema, respondemos que Rta. Juliana empleó 6 horas en su recorrido.

2) Este problema, de origen árabe, data del siglo XI. A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra. Sus alturas son de 20 y 30 pies, y la distancia entre sus troncos (que suponemos verticales) es de 50 pies. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Ambos descubren simultáneamente un pez en la superficie del río justo entre las palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y volando directamente hacia el pez, lo alcanzan al mismo tiempo. Si los pájaros vuelan a la misma velocidad ¿A qué distancia de la palmera más alta apareció el pez?

Hagamos un esquema que nos ayude: Hemos designado con X lo que debemos calcular. A y B son las posiciones de los pájaros y P la del desdichado pez… cado.

Dado que los triángulos de la figura son rectángulos, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras para escribir AP2=302+x2 y BP2=202+(50-x)2 .

Pero sabemos que ambos pájaros alcanzan simultáneamente al pez, volando a igual velocidad, de donde podemos decir que AP=BP. Esto supone que AP2=BP2 y entonces resulta 302+x2=202+(50-x)2

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Desarrollando el cuadrado y sumando 900+x2=400+2500-100x+x2 sigue que 100x=2000 y entonces x=20 .

Rta. El pez apareció a 20 pies de la palmera más alta.

3) La suma de tres números es 176. El primero es la cuarta parte del tercero y este supera al segundo en 40 unidades. ¿Cuáles son esos números?

Si denominamos a, b y c a los números buscados podemos escribir

Despejando en la (3) queda b=c-40

Reemplazando en la (1)

resolviendo de donde c=96.

Resulta que b=56 y a=24.

Rta. Los números son 24, 56 y 96.

4) Jorge reparte 35 revistas entre sus amigos, dándole a cada uno tantas revistas como amigos son, más dos revistas. ¿Cuántos amigos tiene Jorge? Rta. 5.

Si simbolizamos con x a la cantidad de amigos de Jorge, la cantidad de revistas que reparte a cada uno es x+2. Como el total de revistas es 35, podemos poner

x(x+2)=35

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que equivale a

x2+2x-35=0

Sigue que

de donde

x=5 o x=-7

La solución negativa carece de sentido así que

Rta. Los amigos de Jorge son 5.

5) En un campeonato internacional de ajedrez, cada maestro debió jugar exactamente una vez con cada uno de sus adversarios. Si en total se jugaron 45 partidas y la cantidad de maestros es un número par, ¿Cuál fue el número de maestros que participó del campeonato?

El modelado de este problema no es fácil. Sólo aparece un dato numérico explicitado y no resultan obvias las vinculaciones entre el mismo, los demás datos y la pregunta.

Pero observaremos cómo todo esto se vuelve más claro en cuanto alguno de los alumnos (o bien el docente) plantea el isomorfismo entre esta situación problemática y el campeonato de Primera División "A" que organiza semestralmente la Asociación del Fútbol Argentino. La mayoría de los alumnos conoce que en este campeonato intervienen 20 equipos y que se juegan 19 fechas.

Los pares isomorfos, llamando x a la cantidad de maestros, serán:

1. (CANTIDAD DE EQUIPOS DE PRIMERA A, CANTIDAD DE MAESTROS) = (20, X)

2) (CANTIDAD DE PARTIDOS QUE SE JUEGAN EN UNA FECHA,

CANTIDAD MÁXIMA DE PARTIDAS QUE PUEDEN JUGARSE SIMULTÁNEAMENTE)

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Pero el par anterior también puede pensarse

2’) (MITAD DE LOS EQUIPOS, MITAD DE LOS MAESTROS) = (10, X/2)

Otro de los pares isoformos es:

3) (CANTIDAD DE FECHAS DE UNO DE ESTOS CAMPEONATOS DE

A.F.A.,

CANTIDAD DE VECES EN QUE SE REÚNEN TODOS LOS MAESTROS A

JUGAR)

Que también puede pensarse:

(CANTIDAD DE EQUIPOS MENOS UNO, CANTIDAD DE MAESTROS MENOS UNO) = (20 – 1, x – 1)

Por último puede colocarse el dato numérico del problema:

1. (CANTIDAD TOTAL DE PARTIDOS, CANTIDAD TOTAL DE PARTIDAS) = (190, 45)

Pero si ahora nos preguntamos ¿Cómo se obtuvo el número 190?, la respuesta será: multiplicando el número de fechas por la cantidad de partidos por fecha, o sea 19 por 10.

Dicho de otro modo: multiplicado la cantidad de equipos menos uno por la mitad de los equipos participantes.

Si recordamos que x es el número de maestros (incógnita del problema)el producto isomorfo con 19 . 10 = 190 será:

que es una ecuación de segundo grado cuya única solución positiva es x = 10. Que será la respuesta al problema.

Nota: el dato que aparece en el problema, aclarando que el número de maestros es par, fue necesario por el modo de razonamiento elegido, de lo contrario no resulta relevante, como se verá en el próximo modo de resolución.

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No descartamos la posibilidad de que el alumno resuelva tanteando, por ejemplo mediante un diagrama de árbol, la cantidad finita de posibilidades, que aquí es poca, en cuyo caso el docente, de ningún modo debe rechazar esta forma de trabajo.

Si se desea que el alumno tenga la necesidad del planteo de la ecuación simplemente se deberá buscar un número bastante mayor, por ejemplo 5.356 en lugar de 45 para el cual, el tanteo resultará bastante engorroso.

Acerca de este mismo problema podemos pensar una modelización bien diferente que nos resulta interesante, justamente por lo distinta de la anterior:

Se necesitan dos maestros (representados por los puntos A y B) para jugar una partida. Gráficamente podemos visualizarlo mediante un segmento:

Dos maestros juegan una partida, representada gráficamente por el segmento de extremos A y B. Si los maestros fuesen tres, el número de partidas está dado por la cantidad de segmentos que se pueden formar con tres puntos no alineados:

Si los maestros fueran cuatro:

Observemos que el número de partidas está dado por el número de lados más el número de diagonales del cuadrilátero.

Con cinco maestros:

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Si ahora llamamos:

x: al número de lados, lo que además equivale al número de vértices (x>2).

d: al número de diagonales desde un vértice.

n: al número total de diagonales podemos "armar" el siguiente cuadro:

x d n x + n

3 0 0 3

4 1 2 6

5 2 5 10

6 3 9 15

. . . .

. . . .

. . . .

x x – 3

luego debe ser:

= 45.

Claro está, es ésta una ecuación de segundo grado cuya única solución positiva es x = 10.

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En este caso estamos en presencia de un caso especial del problema de calcular el número n de diagonales de un polígono de x lados

En caso de conocerse el tema: "Combinatoria", sólo a un nivel elemental, este problema podría resolverse con el planteo de la ecuación: C(x, 2) = 45 lo

que equivale a decir que es la misma que quedó planteada.

Nuestra intención fue, mediante este ejemplo, mostrar cómo un problema que aparece en muchos libros de gran difusión, puede aprovecharse de distintos modos, según la temática en que se quiera insistir, o bien según la formación de nuestros alumnos.

6) Se tiene un caño de forma cilíndrica de 12 m de largo, su sección es una circunferencia de 4 m de longitud. Una soga rodea al cilindro dando 4 vueltas exactas al mismo. Calcular el largo de la soga.

Si pensamos que se hace un corte longitudinal sobre el segmento que determinan los extremos de la soga en la superficie cilíndrica y luego se aplana se tiene un rectángulo:

Considerando cuatro rectángulos de 3m por 4 m, y calculando la longitud de la diagonal

Luego la longitud de la soga será de 20 m.

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Muy frecuentemente nos encontramos con problemas que son casos particulares de otros o bien de propiedades conocidas, cuestión que tanto el docente como el alumno utilizan muy seguido.

DIECISÉIS PROBLEMAS PROPUESTOS. (CON RESPUESTAS)

1. En un triángulo rectángulo, el cateto menor es igual a 3/5 de la hipotenusa. Esta supera por 3 cm al cateto mayor. ¿Cuál es la medida de cada lado? Rta. 9,12 y 15 cm.

2. Hallar dos números reales tales que sean 56 unidades menores que su propio cuadrado. Rta. –7 y 8.

3. Un tren, obligado por una nevada, debió marchar a 5 km por hora más lentamente que su velocidad promedio habitual. Llegó a destino con un atraso de 1 hora en su recorrido, de 280 km ¿Cuál fue su velocidad durante la emergencia? Rta. 35 km/h.

4.- He pensado un número natural menor que cien; tiene la suma de sus cifras igual a 10. Si se invierten las cifras y al número así formado se le suma 3, resulta otro número 57 unidades mayor que el pensado. ¿Cuál es el número que pensé? Rta. 28.

5.- Los alumnos de un curso alquilaron un micro para una excursión en $1200. Finalmente tres chicos desistieron del viaje y cada uno de sus compañeros debió pagar $20 más de lo previsto inicialmente. ¿Cuál era el número original de alumnos? Rta. 15.

6.- En un rectángulo cuya base es menor que la altura, el perímetro es 17cm y el área es 15 cm2. ¿Cuál es la longitud de la base? Rta. 2,5 cm.

7.- ¿Cuál es el número natural tal que la mitad del producto por su consecutivo es 105? Rta. 14.

8.- Viajando en su automóvil, Pablo se desplazó de una ciudad a otra a una velocidad media de 40 km/h. El trayecto de regreso lo realizó a 60 km/h de promedio. ¿Cuál fue la velocidad promedio del viaje completo? Rta. 48 km/h.

9.- Las ametralladoras de un avión de combate disponen de cargadores de 300 proyectiles cada uno. Se las ha mejorado de modo que ahora son capaces de disparar dos proyectiles más por segundo, agotando un cargador

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en 5 segundos menos que el modelo anterior. ¿Cuántos proyectiles por segundo puede disparar la ametralladora inicial? Rta. 10.

10.- Un problema de origen hindú se presentaba en esta forma:

Regocíjanse los monos Divididos en dos bandos. Su octava parte al cuadrado En el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce Atronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay en la manada, en total?

Rta. Existen dos soluciones:16 y 48.

11.- Dos ciclistas corren en un velódromo manteniendo constantes sus velocidades. Uno de ellos alcanza al otro cada 170 segundos. Si corriesen en sentidos opuestos, se encontrarían cada 10 segundos. ¿A qué velocidad se desplaza cada ciclista si la longitud de la pista es de 170 metros? Rta. 8 y 9 m/s.

12.- Daniel y Roberto disfrutaban de un viaje en sus motocicletas cuando, a 100 km de arribar a una ciudad, la moto de Daniel sufrió una ligera avería. Por esta causa debió reducir su velocidad de los 100 km/h que promediaban a 50 km/h. Decidieron que Roberto continuaría su marcha a la velocidad inicial prevista, yendo a la ciudad a comprar el repuesto necesario y retornando hacia el encuentro con Daniel. Suponiendo que no demoró en comprar el repuesto, ¿Cuánto tiempo demoraron en encontrarse? Rta. 1hora 20minutos

13.- En una reunión, todos los asistentes se saludaron con un apretón de manos. ¿Cuántas personas asistieron si los apretones fueron 120? Rta. 16.

14.- Stendhal recuerda en su Autobiografía un hecho que le produjo una fuerte impresión, en sus épocas de estudiante. Escribe que llegando un día a la casa de su maestro Euler "…lo encontré resolviendo su problema acerca de los huevos que la campesina llevaba al mercado… Esto fue para mi un descubrimiento. Comprendí lo que significaba valerse de un arma como el álgebra pero, Demonios!, nadie me lo había explicado antes…" Este es el problema en cuestión. Dos campesinas llevaron 100 huevos al mercado, entre ambas. Una de ellas llevó más cantidad que la otra pero ambas obtuvieron la misma cantidad de dinero. La primera dijo "Si yo hubiera traído la misma

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cantidad que tu, habría recibido 15 cruceros". La segunda respondió "Y si yo hubiera vendido los huevos que tu tenías, habría sacado de ellos 6 2/3 cruceros". ¿Cuántos huevos llevó cada una? Rta. 40 y 60.

15.- Guillermo fue a comprar las gaseosas para un cumpleaños. Disponía para esto de $18. Se encontró con que cada una costaba 30 centavos más de lo esperado y por eso el dinero le alcanzó para 3 botellas menos de las planeadas. ¿Cuántas compró? Rta. 12.

16.- José María suma las notas obtenidas en la última prueba de matemática, historia y geografía obteniendo 25. La nota de historia es 2 unidades menor que la de matemática y 1 unidad mayor que la de geografía. ¿Cuál es la nota de cada evaluación? Rta. 10 en matemática, 8 en historia y 7 en geografía.

OCHO PROBLEMAS DE INGENIO, SENCILLOS RESUELTOS.

1. El vaso de agua y el vaso de vino.

Tenemos un vaso con agua y un vaso con vino. Tomamos una cucharadita de agua del primer vaso, la echamos en el segundo y removemos, con lo que tendremos una mezcla homogénea de vino con un poco de agua. A continuación, con la misma cuchara, tomamos una cucharadita de esta mezcla y la echamos en el vaso de agua.

¿Habrá más vino en el vaso de agua que agua en el vaso de vino, o viceversa?

Respuesta:

La apariencia engañosa es la siguiente: al vino le echamos una cucharada de agua pura, mientras que al agua le echamos una cucharada de vino aguado, luego habrá más agua en el vino que vino en el agua. Pero este razonamiento es falso, porque al vaso de agua, cuando le echamos la cucharada de vino aguado, le falta la cucharada de agua que hemos quitado previamente. Razonando de la forma debida, resulta evidente que habrá la misma cantidad de agua en el vino que de vino en el agua: a cada vaso le hemos quitado una cucharada de líquido y luego se la hemos añadido, es decir, cada vaso contiene al final de la operación la misma cantidad de líquido que al principio, luego lo que al vaso de vino le falte de vino lo tendrá de agua, y viceversa.

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2. ¿Cuántos años tiene?

A un aficionado a los rompecabezas le preguntaron cuántos años tenía. La contestación fue compleja:

Tomad tres veces los años que tendré dentro de tres años, restadles tres veces los años que tenía hace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora.

¿Cuántos años tiene ahora?

Respuesta:

La solución aritmética es bastante complicada, pero el problema se resuelve con facilidad si recurrimos al álgebra y planteamos una ecuación. Designaremos con la letra x el número de años buscado. La edad 3 años después se expresará por x+3, y la edad de 3 años antes por x-3. Tenemos la ecuación:

3(x+3)-3(x-3)=x

Despejando la incógnita, resulta

x=18.

El aficionado a los rompecabezas tiene ahora 18 años.

Comprobémoslo: Dentro de 3 años tendrá 21; hace 3 años tenía sólo 15. La diferencia 3.21-3.15=63-45=15 , es decir, igual a la edad actual del aficionado a los rompecabezas.

3. Las atribuciones de Robinson

Si le abandonaran en una isla desierta y le dieran a elegir entre un martillo y una caja de clavos ¿que escogería?

Imagínese, además, que la isla está llena de árboles, y un buen día se declara un incendio en la punta norte. Para colmo de males, sopla un persistente viento del norte, por lo que el fuego amenaza con barrer toda la superficie de la isla en pocos minutos. La vegetación es tan tupida que no hay un solo rincón en tierra en que un hombre pueda resguardarse de las llamas. Podría tirarse al mar mientras durara el

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incendio, pero no se lo vamos a poner tan fácil: el agua está infestada de tiburones.

¿Qué haría?

Respuesta:

Mucha gente elige el martillo, sin pensar que un martillo es fácil de suplir con una piedra, mientras que una caja de clavos tendría una gran utilidad y es difícil suplir por otros métodos de ensamble.

En cuanto al incendio, la solución sería provocar un nuevo fuego hacia la mitad de la isla y mantenerse entre ambos frentes de llamas. Cuando el primero llegara a la mitad, el segundo ya habría consumido el resto de la vegetación y el fuego se apagaría por falta de combustible.

4. Calcetines y guantes

En una misma caja hay 10 pares de calcetines de color café y 10 pares negros, y en otra caja hay 10 pares de guantes de color café y otros tantos pares negros. ¿Cuántos calcetines y guantes es necesario sacar de cada caja, para conseguir un par de calcetines y un par de guantes de un mismo color (cualquiera)?

Respuesta:

Bastan 3 calcetines, porque 2 serán siempre del mismo color. La cosa no es tan fácil con los guantes, que se distinguen no sólo por el color, sino porque la mitad de los guantes son de la mano derecha y la otra mitad de la izquierda. En este caso hará falta sacar 21 guantes. Si se sacan menos, por ejemplo 20, puede suceder que los 20 sean de una mano (por ejemplo, 10 de color café de la mano izquierda y 10 negros de la mano izquierda).

5. Los misioneros y los caníbales

Tres misioneros y tres caníbales han de cruzar un río en una barca en la que sólo caben dos personas. Los tres misioneros saben remar, pero solo uno de los caníbales sabe hacerlo. Por otra parte, han de efectuar el traslado de forma que en ningún momento los caníbales superen en número a los misioneros, pues en tal caso se los comerían.

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¿Cuál es el mínimo número de viajes que habrán de efectuar para cruzar todos al otro lado sin que los caníbales se coman ningún misionero, ni lleguen siquiera a mordisquearlo?

Respuesta:

Designando con una m a cada uno de los misioneros, con una c a los caníbales que no reman y con ç al caníbal que rema, tendrán que cruzar de la siguiente forma (evidentemente, los números impares son viajes de ida y los pares de vuelta):

1. cç 2. ç

3. cç 4. ç

5. mm 6. mc

7. mç 8. mc

9. mm 10. ç

11. cç 12. ç

13. cç

6. Un guardarropa surtido

Todas mis camisas son blancas menos dos, todas son azules menos dos y todas son rosa menos dos.

¿Cuántas camisas tengo de cada color?

Respuesta:

Si todas son blancas menos dos, entre azules y rosas sólo hay dos, es decir una de cada una. Repitiendo el mismo razonamiento para las rosas o azules, se ve que sólo hay una camisa blanca, una azul y una rosa. Esta es la solución obvia pero cabe otra más sofisticada: tengo dos camisas, y ninguna de las dos es ni blanca ni azul ni rosa (por ejemplo: una amarilla y otra verde). Todas menos dos, es decir cero son blancas, cero son azules y cero son rosas.

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7. El abuelo y el nieto

Lo que voy a contar sucedió en 1932. Tenía yo entonces tantos años como expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo esta coincidencia, me dejó pasmado al contestarme que con su edad ocurría lo mismo. Me pareció imposible.

- Claro que es imposible -añadió una voz-.

Pues es completamente posible. Mi abuelo me lo demostró. ¿Cuántos años teníamos cada uno de nosotros?

Respuesta:

A primera vista puede creerse, efectivamente, que el problema está mal planteado; parece como si el nieto y el abuelo fueran de la misma edad. Sin embargo, las condiciones exigidas por el problema se cumplen fácilmente, como vamos a verlo ahora mismo.

El nieto, evidentemente, ha nacido en el siglo XX. Las dos primeras cifras del año de su nacimiento, por consiguiente, son 19; ése es el número de centenas. El número expresado por las cifras restantes, sumado con él mismo, debe dar como resultado 32. Es decir, que este número es 16: el año de nacimiento del nieto es 1916, y en 1932 tenía 16 años.

El abuelo nació, claro está, en el siglo XIX; las dos primeras cifras del año de su nacimiento son 18. El número duplicado, expresado por las restantes cifras, debe sumar 132. Es decir, que su valor es igual a la mitad de este número, o sea a 66. El abuelo nació en 1866, y en 1932 tenía 66 años.

De este modo, el nieto y el abuelo tenían, en 1932, tantos años como expresan las dos últimas cifras de los años de su nacimiento.

8. La cadena

A un herrero le trajeron 5 trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, y le encargaron que los uniera formando una cadena continua.

Antes de poner manos a la obra, el herrero comenzó a meditar sobre el número de anillos que tendría necesidad de abrir y forjar uno nuevo. Decidió que le haría falta abrir y cerrar cuatro anillos.

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¿No es posible efectuar este trabajo abriendo y forjando un número menor de anillos?

Respuesta:

Puede cumplirse el trabajo encargado, abriendo sólo tres eslabones. Para ello es preciso soltar los tres eslabones de uno de los trozos y unir con ellos los extremos de los cuatro trozos restantes.

CINCO PROBLEMAS DE INGENIO, SENCILLOS PROPUESTOS. (CON RESPUESTAS)

1. Las etiquetas cambiadas

Un pastelero recibe tres paquetes con 100 caramelos cada uno. Uno de los paquetes contiene caramelos de naranja, otro de limón y el tercero mitad y mitad: 50 de naranja y 50 de limón.

Pero el fabricante le advierte que, a causa de un error de envasado, las tres etiquetas de los paquetes- naranja, limón y surtidos- están cambiadas.

¿Cuántos caramelos tendrá que sacar como mínimo el pastelero para averiguar el contenido de cada paquete?

Respuesta:

Basta con sacar un solo caramelo del paquete con la etiqueta "surtido".

2. El tocón traicionero

Dicen que este problema lo planteó en cierta ocasión un matemático rural. Es un cuento bastante divertido. Un campesino encontró en el bosque un anciano desconocido. Se pusieron a charlar. El viejo miró al campesino con atención y le dijo:

En este bosque yo sé que hay un toconcito maravilloso. En caso de necesidad ayuda mucho.

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¡Cómo que ayuda! ¿Acaso cura algo? Curar no cura, pero duplica el dinero. Ponés debajo de él el

portamonedas con dinero , cuentas hasta cien, y listo: el dinero que había en el portamonedas se ha duplicado. Esta es la propiedad que tiene. ¡Magnífico tocón!

¡Si pudiera probar! – exclamó soñador el campesino. Es posible. ¡Cómo no! Pero hay que pagar. ¿Pagar? ¿A quién? ¿Mucho? Hay que pagar al que indique el camino. Es decir, a mí en este

caso. Si va a ser mucho o poco es otra cuestión.

Empezaron a regatear. Al saber que el campesino llevaba consigo poco dinero, el viejo se conformó con recibir un peso y 20 centavos después de cada operación en que se duplicara el dinero. En eso quedaron.

El viejo condujo al campesino a lo más profundo del bosque, lo llevó de un lado para otro y, por fin, encontró entre unas malezas un viejo tocón de abeto cubierto de musgo. Tomando de manos del campesino el portamonedas, lo escondió entre las raíces del tocón. Contaron hasta cien. El viejo empezó a escudriñar y hurgar al pié del tronco y, al fin, sacó el portamonedas, entregándoselo al campesino.

Este miró el interior del portamonedas y…, en efecto el dinero se había duplicado. Contó y dio al anciano el peso y los veinte centavos prometidos y le rogó que metiera por segunda vez el portamonedas bajo el tocón maravilloso.

Contaron de nuevo hasta cien; el viejo se puso otra vez a hurgar en la maleza junto al tocón y de nuevo se realizó el milagro: el dinero del portamonedas se había duplicado. El viejo recibió del bolsillo el peso y los 20 centavos convenidos.

Escondieron por tercera vez el portamonedas bajo el tocón. El dinero también se duplicó esta vez. Pero cuando el campesino hubo pagado al viejo la remuneración prometida, en el portamonedas no quedó ni un solo centavo. El pobre había perdido en la combinación todo su dinero. No había ya nada que duplicar y el campesino, abatido, se retiró del bosque.

El secreto de la duplicación maravillosa del dinero, naturalmente, está claro para ustedes: no en balde el viejo, rebuscando el portamonedas, hurgaba en la maleza junto al tocón. Pero, ¿pueden ustedes indicar

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cuánto dinero tenía el campesino antes de los desdichados experimentos con el traicionero tocón?

Respuesta:

Antes de la primera duplicación el campesino tenía 1 peso y 5 centavos

3. Las dos fichas

En un tablero del juego de damas hay que colocar dos fichas, una blanca y otra negra. ¿De cuántos modos diferentes pueden disponerse dichas fichas?

Respuesta:

Las dos fichas se pueden disponer de 4032 modos diferentes.

4. El tabernero astuto

Un señor entra en la taberna y pide cuatro litros de vino.

¿No le daría o mismo cinco, o tres? -pregunta el tabernero-. Sólo tengo un barril de ocho litros y dos cazos vacíos para medir, uno de tres y otro de cinco.

Pero el cliente insiste en que quiere cuatro litros, ni uno más ni uno menos, y el tabernero se las ingenia para medir cuatro litros exactos utilizando sus cazos.

¿Cómo lo hace?

Ayuda: Tener en cuenta que se puede trasvasar de un cazo al otro.

5. El impermeable, el sombrero y los chanclos

Cierta persona compró un impermeable, un sombrero y unos chanclos y pagó por todo 200 dólares. El impermeable le costó 90 dólares más que el sombrero; el sombrero y el impermeable juntos costaron 160 dólares más que los chanclos. ¿Cuál era el precio de cada prenda?

El problema hay que resolverlo mentalmente, sin emplear ecuaciones.

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Respuesta:

Los chanclos, 20 dólares, el sombrero, 45 dólares y el impermeable 135 dólares

TRES PROBLEMAS DE INGENIO, MÁS COMPLEJOS, RESUELTOS

1. Los huevos de gallina y de pato

Las cestas contienen huevos; en unas cestas hay huevos de gallina, en las otras de pato. Su número está indicado en cada cesta: 5, 6, 12, 14, 23 y 29. "Si vendo esta cesta -meditaba el vendedor- me quedará el doble de huevos de gallina que de pato".

¿A qué se refiere el vendedor?

Respuesta:

El vendedor se refería a la cesta con 29 huevos. En las cestas con números 23, 12 y 5 había huevos de gallina; los de pato se hallaban en las cestas designadas con el 14 y el 6.

Hagamos la comprobación. Total de huevos de gallina que quedaron:

23+12+5=40

De pato:

14+6=20

De gallina había el doble que de pato, lo que satisface a las condiciones del problema.

2. El recital

Un día, un famoso grupo musical, hizo un concierto tan malo que tuvo que salir corriendo del escenario. Para poder escapar, disponían de un túnel que estaba muy oscuro, por el que podían pasar como máximo dos personas al mismo tiempo. Sólo tenían una linterna para poder cruzar el túnel. Los cuatro componentes del grupo, no eran igualmente rápidos. Habían realizado simulacros y uno tardaba 10 minutos en recorrer el túnel, otro tardaba 5 minutos, otro tardaba 2 minutos y el último tardaba 1

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minuto. Cuando van de dos en dos, siempre tardan en recorrer el túnel el tiempo que tarda el más lento. Lógicamente si dos de ellos han pasado el túnel con la linterna, uno de los dos tiene que volver para que puedan pasar el túnel los que falten. La pregunta es la siguiente: ¿es posible que el grupo pueda escapar en 17 minutos?

La respuesta es la siguiente: 1) el problema tiene solución. 2) nombraré a las personas por el tiempo que tardan: - van el 1 y el 2.........................2 minutos. - vuelve el 1..............................3 minutos. - van el 10 y el 5......................13 minutos. - vuelve el 2.............................15 minutos. - van el 1 y el 2........................17 minutos. Hay otra posible solución si el primero que vuelve es el 2.

3. Besos y abrazos

Los Gómez y los López se encuentran por la calle, y rápidamente se produce un efusivo intercambio de besos y abrazos. Cada uno de los López saluda a cada uno de los Gómez. Al saludarse dos varones se dan un abrazo, mientras que al saludarse dos mujeres, o un hombre y una mujer, se dan un beso. Al final de la efusiva salutación se han producido 35 abrazos y 42 besos.

¿Cuántas mujeres y cuantos varones hay en cada familia?

Respuesta:

Cada uno de los Gómez saluda a cada uno de los López, o sea que el total de saludos (independientemente de que sean besos o abrazos) será igual al producto del número de miembros de una familia por el de la otra. El número total de saludos será la suma de abrazos y besos, o sea 42 +35 = 77. Ahora bien, 77 sólo puede descomponerse en dos factores de las formas 7 x 11 y 77 x 1; pero la segunda posibilidad no sirve, ya que si el miembro solitario fuera mujer, los abrazos serían 0 y los besos 77, y si fuera un hombre, los besos serían 0.

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Análogamente, los 35 abrazos equivalen al producto del número de varones de una familia por el de la otra, y como 35 sólo puede descomponerse en dos factores de las formas 5 x 7 y 35 x 1, y la segunda posibilidad queda eliminada por incompatible, tenemos que hay 5 varones en un familia y 7 en la otra, y que las familias constan de 7 y 11 miembros respectivamente. Así que en una familia hay 5 varones y 2 mujeres, y en la otra 7 varones y 4 mujeres.

TRES PROBLEMAS DE INGENIO, MÁS COMPLEJOS (CON RESPUESTAS)

1. Diógenes y los tres jóvenes

Iba Diógenes por el bosque con su linterna en la mano, cuando se encontró con Flora.

- ¿Qué buscas, Diógenes? -le pregunto la diosa primaveral.

A lo que el filósofo contestó con su famosa frase:

- Busco un hombre.

- Pues aquí cerca hay uno -díjole la diosa-, pero no bastará la luz de tu linterna para reconocerlo, ya que está en compañía de dos faunos de apariencia totalmente humana.

»Son dos faunos muy singulares, pues mientras uno siempre dice la verdad, el otro miente invariablemente. En cuanto al hombre verdadero, como es habitual entre los de vuestra voluble especie, unas veces dice la verdad y otras miente, de forma imprevisible.

»Sigue, oh, Diógenes, por este camino y hallarás a los tres jóvenes, que se llaman Jacinto, Narciso y Lirio. Puedes hacerles dos preguntas, de las que se contestan diciendo sí o no; las dos preguntas se las puedes hacer al mismo, o bien una a un joven y otra a otro, como prefieras. Si de este modo averiguas cuál de los tres es el hombre, premiaré tu ingenio dándote mi protección, y la Naturaleza te será propicia.

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Como es bien sabido, Diógenes vivió en un tonel, en armonía con la Naturaleza y sin necesidades urbanas, por los que es de suponer que superó la prueba.

¿Cómo lo hizo?

Ayuda: las dos preguntas pueden ser,

a. De tus compañeros, ¿es Narciso el que más probablemente contestaría con la verdad a una pregunta?

b. Sí le preguntara al otro fauno si Jacinto es el hombre, ¿me diría que sí?

En cada caso analizar distintas posibilidades.

2. Los veintiún bocadillos

Pedro, Felipe y Saturio están preparando bocadillos para una excursión. Tienen veintiún panecillos y un trozo de queso. Cuando llevan hecho siete bocadillos, se dan cuenta de que, si siguen poniendo la misma cantidad de queso en cada uno, no habrá bastante para todos, y deciden reducir a la mitad la cantidad de queso por bocadillo. Aún así, sólo consiguen hacer siete bocadillos más, y quedan siete panecillos sin queso.

Sin partir ningún bocadillo ni panecillo, ¿Cómo harán el reparto de forma que a cada uno de los tres le toque la misma cantidad de pan y de queso?

Respuesta:

Un posible reparto es: 3e 1m 3p, 3e 1m 3p, 1e 5m 1p (e= bocadillo con ración de queso entera, m con media ración, p panecillos sin queso), y otro 2e 3m 2p, 2e 3m 2p, 3e 1m 3p.

3. La unidad

¿Cómo expresar la unidad, empleando al mismo tiempo las diez primeras cifras?

Respuesta: 148/296 + 35/70 = 1

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CUATRO PROBLEMAS, SENCILLOS, RESUELTOS

1. Calcular el área de la zona sombreada, si se trata de un rectángulo y dos círculos, todos tangentes entre sí. (10 significa 10 cm.)

El rectángulo tiene 40 cm de base y 20 cm de altura, por lo tanto su área es 800 cm2. Cada círculo tiene un área de p 100 cm2, por lo tanto entre los dos tienen un área de 200 p cm2. La diferencia entre ambas áreas será entonces de 200(4 - p ) cm2.

2. Demostrar que la diferencia entre el ángulo suplementario y el complementario de un mismo ángulo agudo es siempre de 90 grados.

Si llamamos S a la medida del ángulo suplementario de A (agudo) y C a la del complementario de A (agudo), resulta:

S + A = Dos rectos y

C + A = Un recto. Si restamos miembro a miembro, resulta:

S - C = Un recto, que es lo que queríamos demostrar.

3. El perímetro de un patio rectangular es de 56 metros. El ancho es igual a los 2/5 del largo. Calcular el área del patio.

Si llamamos A a la medida del ancho y L a la del largo resulta A + L = mitad del perímetro. O sea

Luego L = 20 m. A= 8m

Rta.: El área es de 160 metros cuadrados

4. El perímetro del rectángulo ABCD es de 60 centímetros y su largo es el doble de su ancho. x mide 1,5 centímetros. Calcular el área sombreada.

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Si llamamos l y a a las medidas del rectángulo blanco será:

l + a = 30 cm. Luego, como el largo es el doble del ancho será 2a + a = 30 cm. De donde a = 10 cm y l = 20 cm. Entonces el rectángulo blanco tendrá 200 cm2 de área. El rectángulo exterior tiene 23 cm de largo y 13 de ancho. Su área es entonces de 299 cm2. La diferencia entre ambos es de 99 cm2, respuesta al problema.

GEOMETRÍA Y ALGO MÁS

Diez problemas sencillos propuestos. (Con respuestas).

1) Calcular el área total de un tanque cilíndrico de 2 metros de altura y de 50 centímetros de radio de la base. Calcular también cuántos litros de agua aproximadamente se necesitarán para llenarlo. Rta: 2, 5 pm2 de área y aproximadamente 1570,8 litros de capacidad.

Comentario: En cuanto al cálculo del área del cilindro, es importante que se descubra que todo se reduce a sumar las áreas de dos círculos y de un rectángulo. Pero sobre todo que se observe que a la longitud de la base del rectángulo puede encontrarse sin mayores dificultades.

2) Calcular el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide rectangular que tiene por base un cuadrado de 10 cm de lado y una altura de 12 cm.

Rta: el área lateral es de 260 cm2, el área total de 360 cm2 y el volumen 400 cm3.

3) Un oficinista, un día cansado de su trabajo, resolvió dar la vuelta al mundo a pie caminando por el Ecuador, pero antes de salir pensó en calcular cuanto más recorrería su nariz que sus pies, sabiendo que la misma está 1,80 metros del suelo. Obtuvo como respuesta: aproximadamente 11,31 metros. ¿Fue correcto su cálculo?

Rta: Sí.

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4) ¿Existe un triángulo que tenga por lados segmentos de 3, 5 y 9 centímetros? ¿Por qué?

Rta: No, pues la suma de tres más cinco resulta menor que 9.

5) ¿Cuál es valor de un ángulo central de un hexágono regular?, ¿y de un octógono regular?, ¿y de un eneágono regular?

Rta: 60, 45 y 40 grados respectivamente.

6) ¿Cuál es valor de un ángulo interior de un hexágono regular?, ¿y de un octógono regular?, ¿y de un eneágono regular?

Rta: 120, 135 y 140 grados respectivamente.

7) ¿Cuál es valor de un ángulo exterior de un hexágono regular?, ¿y de un octógono regular?, ¿y de un eneágono regular?

Rta: 60, 45 y 40 grados respectivamente.

8) En un triángulo isósceles, un ángulo es igual a los 4/5 de la suma de los tres ángulos del triángulo. Calcular todos los ángulos interiores de ese triángulo.

Rta: 144, 18 y 18 grados.

9) Si en un paralelogramo uno de sus ángulos exteriores mide 132 grados 39 minutos, calcular la medida de todos sus ángulos interiores.

Rta: Dos de 47 grados 21 minutos y los otros dos de 132 grados 39 minutos.

10) Determinar los valores de x, z y w, sabiendo que cada uno de los tres polígonos tiene área 648 centímetros cuadrados. El primero es un rectángulo divido en cuatro rectángulos iguales. El segundo es un paralelogramo, donde los dos segmentos consecutivos a z tienen la misma longitud que él y los segmentos verticales son las alturas. En el tercero, los cuatro rectángulos pequeños son iguales. (6 significa 6 cm)

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Rta: x=27 cm z=36 cm w=21,6 cm

CUATRO PROBLEMAS, ALGO COMPLEJOS, RESUELTOS

1) La recta AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto A. Dicha circunferencia tiene 9 centímetros de diámetro. C pertenece a la circunferencia y el segmento CB mide las dos terceras partes del radio de la circunferencia. Determinar si el área sombreada es mayor, igual o menor que la de la cuarta parte del círculo.

Dado que OA=4,5cm y

resulta:

OB=4,5cm+3cm=7,5cm

Luego (aplicando el teorema de Pitágoras por ser el triángulo OBA rectángulo, dado que la tangente resulta perpendicular al radio en el punto de tangencia) es

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de donde el área sombreada será

Calcularemos ahora el área del círculo

p(4,5)2=20,25p

luego el área de un cuarto del círculo es

5,0625p

y como

5,0625p>13,5 (pues p>2,666...)

La respuesta es que el área sombreada es menor que el área de la cuarta parte del círculo.

2) Calcular el área exacta de la figura sombreada, sabiendo que ABCDEF es un hexágono regular, inscripto en la circunferencia de centro O, que la longitud de la misma es de 24 pi cm y que el ángulo ASE es recto.

El radio de la circunferencia es de 12 cm pues 2pr=24p. La apotema del hexágono es

O sea

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El trapecio isósceles BEDC tiene por área 3 veces la del triángulo equilátero

EOD o sea :

El triángulo rectángulo ABS tiene por área :

El área sombreada resulta entonces:

3) Calcular el área exacta de la zona sombreada si: la curva interior es arco de la circunferencia de centro O; la curva exterior es arco de la circunferencia de centro O’; las rectas BO y AO son perpendiculares y el segmento OA mide 4 metros.

o sea que

El semicírculo de centro O’ tiene área de o sea 4p m2 .

El cuarto de círculo de centro O tiene área .

La diferencia entre este cuarto de círculo y el triángulo AOB es la zona no sombreada:(4p-8)m2

La diferencia entre el semicírculo y la zona no sombreada es la "media luna" : 8m2.

La suma entre las áreas de la "media luna" y el triángulo AOB es el área pedida : 16 m2.

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4) Una correa continua corre, en torno de dos ruedas, de manera que éstas giran en sentidos opuestos. Las ruedas tienen 3 cm y 9 cm de radio y la distancia entre sus centros es de 24 cm. Determinar con error menor que 0,01 cm la longitud de la correa.

Los triángulos OAP y PDO’ son semejantes. Si llamamos x al segmento OP resulta :

de donde x = 18 cm.

Si llamamos y1 al segmento AP, aplicando el teorema de Pitágoras al

triángulo OAP resulta cm; y si lo aplicamos al triángulo O’BP, llamando y2 al segmento PB resulta y2 = cm.

Como el segmento AB = y2 + y1 será la medida del segmento AB de cm.

Además, la tangente del ángulo convexo AOP (cateto opuesto sobre cateto adyacente) es igual a y1 / OA. Por lo tanto dicha tangente vale , o sea ese ángulo mide 60 grados. Luego el ángulo cóncavo AOC mide 240°.

de donde resulta que la medida del segmento AC es de 12p cm.

Análogamente la medida del segmento BD = 4p cm.

Luego será: AC + BD + 2AB = cm.

Con la respuesta es: 91,83 cm.

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TRECE PROBLEMAS, ALGO COMPLEJOS, PROPUESTOS. (CON RESPUESTAS)

1) Sabiendo que AOPQ es un cuadrado de 16 centímetros de perímetro, que ABCD es un rectángulo de 25 centímetros cuadrados de área y que Q es el centro de la circunferencia que pasa por D y por O, hallar las dimensiones del rectángulo ABCD.

Rta:

Dibujar en escala, con los datos y con los resultados obtenidos, la figura que describe al anterior problema. Compararla con la presentada y luego discutir la siguiente afirmación:

LA GEOMETRÍA (ELEMENTAL) ES EL ARTE DE RAZONAR SOBRE FIGURAS MAL HECHAS (Henri Poincaré).

2) a) Si el área sombreada fuese de15 centímetros cuadrados y el ángulo A, las dos terceras partes del ángulo B, calcular la medida del radio. b) Si la relación entre los ángulos fuese la misma que en a) y el radio midiese 10 centímetros ¿cuántos centímetros cuadrados mediría el área sombreada?

Rta: a) 5 cm b) 60 p cm 2

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3) ABCD es un cuadrado de 5 cm. de lado. La longitud del segmento BS es de 10 cm. Calcular el área de la zona sombreada.

Rta: 25 cm2.

4) Una pelota hueca tiene 20 centímetros de diámetro, incluyendo su cubierta de 4 centímetros de espesor. ¿Cuántos metros cúbicos de material se requieren para la fabricación de 9000 unidades? (Recordar

que el volumen de la esfera es )

Rta: 9,408 p m3.

5) Se tiene una pileta de lona de base rectangular, de 2 metros de largo y 3 metros de ancho que fue llenada hasta los 40 centímetros de alto. Se desea colocar cloro para conservar el agua en buenas condiciones por más tiempo. Las instrucciones del cloro dicen que se deben colocar 100 mililitros por cada 1000 litros de agua. Si se posee un recipiente medidor en centímetros cúbicos, ¿cuántos centímetros cúbicos de cloro deberán incorporarse?

Rta: 240 mililitros (algo menos de un cuarto de litro).

6) La figura representa una mesa, y las curvas son semicírculos. ¿Cuántas personas se podrán ubicar si cada una necesita 54 centímetros del borde de la mesa para ubicarse? (Aproximar el número p con 3,14 y tomar como resultado el número entero más próximo al resultado obtenido. Las dimensiones que aparecen en el dibujo deben ser consideradas en metros).

43

Rta: 9 personas.

7) MNPQ es un cuadrado inscripto en la circunferencia. El área sombreada es de nueve centímetros cuadrados. Calcular el área del círculo.

Rta: 18p cm2.

8) RSTP es un cuadrado de 4 centímetros cuadrados de área, MNPQ es un rectángulo de 8 centímetros cuadrados de área y la curva que aparece es la de la circunferencia de centro T que pasa por Q y por S. Hallar las dimensiones exactas del rectángulo antes mencionado.

Rta:

9) El polígono de la siguiente figura es regular y está inscripto en el círculo. Calcular el área y el perímetro de la zona sombreada, en forma exacta, si se sabe que el área de ese círculo es 16 veces el número pi centímetros cuadrados.

44

Rta: El área es de El perímetro es de

10) R, S y T son centros de la semicircunferencias que aparecen en la figura. ABCDEF es un hexágono regular. Calcular el valor del área de la figura sombreada.

Rta:

11) Calcular el área de la zona sombreada, sabiendo que C es el centro de la circunferencia de radio CO, que C’ es el centro de la circunferencia de radio C’O y que la longitud de esta última es de 8p centímetros.

Rta: 24p cm2

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12) Inscribir un cuadrado en una circunferencia de longitud Calcular el valor del área de cada uno de los segmentos circulares que quedan determinados. Rta: (p / 2 - 1) cm2.

13) En la figura, la longitud del segmento AB es de 2 cm y la de los segmentos iguales BC y CD es de 1 cm. Las curvas son todas semicircunferencias. Calcular el área de la zona sombreada.

Rta: 11/8 pcm2

¿Y SI CONTAMOS?

Con diagramas de Venn-Euler. Cuatro problemas resueltos.

CUANDO DECIMOS, POR EJEMPLO "¿CUÁNTAS PERSONAS NO TOMABAN NI TÉ NI CAFÉ?" DEBE INTERPRETARSE EL LENGUAJE

CORRIENTE EN QUE HABLAMOS LOS ARGENTINOS Y NO UNA DOBLE NEGACIÓN LÓGICA.

1) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.

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En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas.

1. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas. 2. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. 3. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1

persona. 4. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas. 5. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas. 6. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas?

Rta. 11 personas. 7. ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7

personas. 8. ¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas. 9. ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 personas.

2) Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, a) ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos

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productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?

El dato de los 4 domingos puede volcarse directamente en el diagrama. Obviamente existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39 días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11 respectivamente. Rtas. a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días.

3) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té, café o chocolate. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: las tres bebidas, sólo té, té y chocolate pero no café, etc.

En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Rta. 30 personas. 2. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres bebidas?

Rta. 28 personas. 3. ¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 13 personas. 4. ¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas bebidas?

Rta. 9 personas. 5. ¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres bebidas?

Rta. 9 personas. 6. ¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebidas? Rta.

20 personas. 7. ¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas dos bebidas?

Rta. 18 personas. 8. ¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rta. 7 personas. 9. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 12 personas. 10. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 17 personas.

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11. ¿Cuántas personas tomaban las tres bebidas? Rta. 1 persona. 12. ¿Cuántas personas no tomaban las tres bebidas? Rta. 29 personas. 13. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de esas tres bebidas? Rta. 2

personas. 14. ¿Cuántas personas no tomaban ni té ni café? Rta. 9 personas. 15. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 18 personas. 16. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. ¿Cuántas

personas tomaban té y café pero no chocolate? Rta. 3 personas. 17. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café? Rta. 3 personas. 18. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café pero no té? Rta. 2

personas.

4) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

I) Motocicleta solamente: 5 II) Motocicleta: 38 III) No gustan del automóvil: 9 IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3 V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 VI) No gustan de la bicicleta: 72 VII) Ninguna de las tres cosas: 1 VIII)No gustan de la motocicleta: 61

1. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? 2. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente? 3. ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente? 4. ¿A cuántos le gustaban las tres cosas? 5. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la

motocicleta?

Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.

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Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden volcar directamente:

Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:

Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 - (20+5+1) = 46:

Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:

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Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14:

Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas:

a. A 99 personas. b. A ninguna. c. A 46 personas. d. A 10 personas. e. a 14 personas.

Con diagramas de Venn-Euler.

DIEZ PROBLEMAS PROPUESTOS. (CON RESPUESTAS)

1) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

138 personas consumían A pero no B. 206 personas consumían A y B.

44 personas no consumían ni A ni B.

a. ¿Cuántas personas consumían A? Rta: 344 personas. b. ¿Cuántas personas consumían B? Rta: 318 personas.

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c. ¿Cuántas personas consumían B pero no A? Rta: 112 personas. d. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos?

Rta: 456 personas.

2) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 294 personas consumían A.

78 personas consumían A pero no B.

a. ¿Qué porcentaje de personas consumía B? Rta. El 66,4% b. ¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B? Rta. El 23,2% c. c) ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos? Rta. El

43,2% d. d) ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos

productos? Rta. El 18%

3) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

310 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 270 personas consumían A.

205 personas consumían B pero no A.

Demostrar que los resultados de la encuesta no son atendibles.

Rta: Cuando se trata de volcar los datos se ve que donde dice que debe haber 270, sólo cabrían solamente 105.

4) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 5 personas consumían sólo A

25 personas consumían sólo B. 10 personas consumían sólo C

15 personas consumían A y B, pero no C. 80 personas consumían B y C, pero no A. 8 personas consumían C y A, pero no B.

17 personas no consumían ninguno de los tres productos.

a. ¿Cuántas personas consumían A? Rta. 68 personas. b. ¿Cuántas personas consumían B? Rta. 160 personas. c. ¿Cuántas personas consumían C? Rta. 138 personas.

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d. ¿Cuántas personas consumían A, B y C? Rta. 40 personas. e. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos?

Rta. 183personas. f. ¿Cuántas personas consumían A o B? Rta. 173 personas. g. ¿Cuántas personas no consumían C ? Rta. 62 personas. h. ¿Cuántas personas no consumían ni C ni A? Rta. 42 personas.

5) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 30 personas consumían A.

85 personas consumían B. 103 personas consumían C.

10 personas consumían A y C, pero no B. 13 personas consumían A y C. 18 personas consumían B y C.

5 personas consumían A y B, pero no C

a. ¿Cuántas personas no consumían ninguno de los tres productos? Rta. 18 personas.

b. ¿Cuántas personas consumían los tres productos? Rta. 3 personas. c. ¿Cuántas personas consumían A pero no B ni C? Rta. 12 personas. d. ¿Cuántas personas no consumían A? Rta. 170 personas. e. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos?

Rta. 181 personas.

6) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que:

16 alumnos leen novelas. 18 alumnos leen ciencia ficción.

17 alumnos leen cuentos. 3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos.

1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción. 8 alumnos leen sólo cuentos.

4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción.

¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción? Rta. 10 alumnos. ¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción? Rta. 10 alumnos.

7) Una encuesta sobre 500 niños internados en un hogar reveló los siguientes datos:

308 eran menores de diez años.

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5 eran huérfanos de padre y madre. 22 eran huérfanos de padre

174 no eran menores de 10 años, ni eran huérfanos de madre o padre. 3 eran menores de diez años, huérfanos de madre y padre.

9 eran menores de diez años, huérfanos sólo de padre. 13 eran huérfanos sólo de madre.

a. ¿Cuántos niños eran huérfanos de madre? Rta. 18 niños. b. ¿Cuántos niños menores de diez años eran huérfanos de madre? Rta.

8 niños.

8) Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos:

126 personas consumían C. 124 personas no consumían A.

36 personas no consumían ni A ni B. 170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos.

60 personas consumían A y C. 40 personas consumían los tres productos.

56 personas no consumían B.

a. ¿Cuántas personas consumían solamente B? Rta. 28 personas b. ¿Cuántas personas consumían A y B? Rta. 56 personas. c. ¿Cuántas personas consumían solamente A? Rta. Ninguna persona.

9) En una fábrica de 3.000 empleados, hay:

1.880 varones. 1.600 personas casadas.

380 técnicos (varones o mujeres) 150 técnicos casados

120 técnicos varones casados. 1.260 varones casados. 260 técnicos varones.

a. ¿Cuántas mujeres no casadas trabajan en la fábrica? Rta. 780 mujeres.

b. ¿Cuántas mujeres técnicas trabajan en la fábrica? Rta. 120 mujeres. c. ¿Cuántas mujeres técnicas casadas trabajan en la fábrica? Rta. 30

mujeres.

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d. ¿Cuántas mujeres trabajan en la fábrica? Rta. 1.120 mujeres.

9) Una encuesta sobre un grupo de personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos:

59% usan A. 73% usan B. 85% usan C.

41% usan A y B. 33% usan A y C. 47% usan B y C.

15% usan los tres productos.

¿Son atendibles los datos de la encuesta? ¿Por qué? Rta. No son atendibles porque el total de la gente encuestada sería del 111% y no del 100%.

COMBINATORIA

Problemas resueltos

Permutación

1) Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante.

En principio se puede elegir cualquiera de los 3 para colocar en primer lugar:

1a 2a 3a A B C

Una vez elegido uno de ellos, para ocupar el primer lugar, quedan 2 posibles para ubicar

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Se ve entonces que hasta ahora hay 3.2 maneras distintas de ordenar los libros. Pero una vez dispuestos las 2 primeros queda unívocamente determinado cuál debe ser el tercero.

O sea que el número total de maneras posibles de ordenar los 3 libros se puede calcular como: 3.2.1 = 6

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Variación

2) Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.

En un principio se puede elegir cualquiera de los 7 libros para ubicarlo en

Primer lugar Después quedan 6 libros posibles para colocar en el segundo lugar y por último solo 5 libros para el tercer lugar.

Por lo tanto las distintas maneras en que se pueden llenar los 3 huecos de la

biblioteca es: 7.6.5 = 210

Si se tienen n libros y tres lugares es: n.(n - 1).(n - 2)

En general para n libros y k lugares resulta:

n. (n-1). (n-2). ..... .[n- (k-1)]

Con la fórmula: Vn,k = n!/(n-k)! � V7,3=7!/(7-3)!=7.6.5.4!/4!=7.6.5

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

3) ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BONDAD?

Hay 6!/2!

Si se escribe en lugar de BONDAD: BONDAD’

Todas las letras son distintas, luego hay 6! permutaciones, pero cada par de

permutaciones:

- - - D - D’

- - - D’- D

Coinciden, por lo tanto se tiene que dividir por 2 el número total de permutaciones

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4) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS?

Si a la letras que se repiten se les coloca un subíndice se tiene

A 1M A 2 S 1 A 3 S2 y el número de permutaciones posibles es P6 = 6!

Que ocurre si sólo se cambian de posición las letras A?

A 1M A 2 S 1 A 3 S2 A 2M A 3 S 1 A 2 S2

A 1M A 3 S 1 A 2 S2 A 3M A 1S 1 A 2 S2

A 2M A 1 S 1 A 3 S2 A 3M A 2 S 1 A 1 S2

Se obtienen tantas maneras distintas de ordenar como permutaciones de 3

elementos (las 3 "A"), cuyo número es P3 = 3!

De manera similar si sólo se modifica la posición de la letra "S" se obtienenP2 = 2! maneras de ordenar diferentes.

Pero en cualquiera de los dos casos, siempre se sigue leyendo la misma palabra, es decir, que si se borran los subíndices, no se distingue diferencia alguna.

Se puede encontrar el número de permutaciones –P6 distinguibles o no – haciendo el producto de las distinguibles – que se indican 6 P 2,3 – por las no distinguibles P2 y P3 .

P6 = 6 P2,3 . P2. P3

De esta manera se puede encontrar el número de permutaciones distinguibles:

Combinación

5) Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar?

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Se trata de formar todas las ternas posibles, sin repetir elementos en cada una, y sin importar el orden de los elementos.

Si quisiéramos formar todas las ternas posibles, sin repetición de elementos en cada una, para elegir el primer elemento hay 21 posibilidades, para el segundo quedan 20 posibilidades, y para el tercero 19 posibilidades, por lo tanto el número de ternas posibles está dado por: 21* 20*19 = 7980

Pero en este caso cada terna aparece repetida en distinto orden, por ejemplo tendremos: ABC, ACB, BAC, CAB y CBA. Son seis ternas con los mismos elementos, que está dado por el factorial de 3.

Por lo tanto el total de ternas obtenido 7980, hay que dividirlo por 6

7980/6 = 1330

Se pueden organizar las guardias de 1330 maneras diferentes

Este es un problema de combinación. Si llamamos m al número de elementos del conjunto y n al número que integrará cada uno de los conjuntos que debemos formar, de modo que ls elementos de cada uno sean diferentes y no importa el orden, se tiene la fórmula:

Cm,n = m!/ (n!. (m-n)!)

Combinaciones con repetición

6) ¿De cuántas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de personas?

Si tomamos, por ejemplo que entran dos personas en el aula 1, una en el aula 2 y otra en el aula 3

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Que escribimos: 1123

Pero también se puede dar la siguiente situación

Es decir 3121

Otra situación

O sea 3211

Al no haber distinción estas distribuciones de cuatro alumnos en tres aulas son la misma.

Otra distribución distinta es, por ejemplo 1113, que significa: tres alumnos entraron en el aula 1 y el cuarto en el aula 3.

De modo que las distribuciones posibles de 4 personas en tres aulas, son

C’3,4 = C3+4-1,4 = C6,4 = 6 . 5. 4. 3/(4. 3. 2. 1) = 15

7) Una comida gratis

Diez jóvenes decidieron celebrar la terminación de sus estudios en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético; otros, con arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exámenes;

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otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba, la sopa se enfrió y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el camarero, dirigiéndoles las siguientes palabras:

Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme

Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continuó:

Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos.

La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.

Sin embargo no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el número total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Estas son exactamente 3.628.800. Es fácil calcular, que este número de días son casi 10.000 años.

Posiblemente a ustedes les parecerá increíble que 10 personas puedan colocarse en un número tan elevado de posiciones diferentes. Comprobemos el cálculo.

Ante todo, hay que aprender a determinar el número de combinaciones distintas, posibles. Para mayor sencillez empecemos calculando un número pequeño de objetos, por ejemplo, tres. Llamémosles A, B y C.

Deseamos saber de cuantos modos diferentes pueden disponerse, cambiando mutuamente su posición. Hagamos el siguiente razonamiento. Si se separa de momento el objeto C, los dos restantes, A y B, pueden colocarse solamente en dos formas.

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Ahora agreguemos el objeto C a cada una de las parejas obtenidas. Podemos realizar esta operación tres veces:

1. colocar C detrás de la pareja, 2. colocar C delante de la pareja, 3. colocar C entre los dos objetos de la pareja.

Es evidente que no son posibles otras posiciones distintas para el objeto C, a excepción de las tres mencionadas. Como tenemos dos parejas, AB y BA, el número total de formas posibles de colocación de los tres objetos será: 2 x 3 = 6.

Hagamos el cálculo para cuatro objetos.

Tenemos cuatro objetos A, B, C y D, y separemos de momento uno de ellos, por ejemplo, el objeto D. Efectuemos con los otros tres todos los cambios posibles de posición. Ya sabemos que para tres, el número de cambios posibles es 6. ¿En cuántas formas diferentes podemos disponer el cuarto objeto en cada una de las 6 posiciones que resultan con tres objetos? Evidentemente, serán cuatro. Podemos:

1. colocar D detrás del trío, 2. colocar D delante del trío, 3. colocar D entre el 1º y de 2º objetos, 4. colocar D entre el 2º y 3º.

Obtenemos en total: 6 x 4 = 24 posiciones, pero teniendo en cuenta que 6 = 2 x 3 y que 2 = 1 x 2, entonces podemos calcular el número de cambios posibles de posición haciendo la siguiente multiplicación: 1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Razonando de idéntica manera, cuando haya 5 objetos, hallaremos que el número de formas distintas de colocación será igual a: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

Para 6 objetos será: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 y así sucesivamente.

Volvamos de nuevo al caso antes citado de los 10 comensales. Sabremos el número de posiciones que pueden adoptar las 10 personas alrededor de la

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mesa, si nos tomamos el trabajo de calcular el producto siguiente: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.

Resultará el número indicado anteriormente: 3.628.800.

El cálculo sería más complicado, si de los 10 comensales, 5 fueran muchachas y desearan sentarse a la mesa alternando con los muchachos. A pesar de que el número posible de combinaciones se reduciría en este caso considerablemente, el cálculo sería más complejo.

Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los jóvenes. Los otros cuatro pueden sentarse, dejando vacías para las muchachas las sillas intermedias, adoptando 1 x 2 x 3 x 4 = 24 formas diferentes. Como en total hay 10 sillas, el primer joven puede ocupar 10 sitios distintos. Esto significa que el número total de combinaciones posibles para los muchachos es de 10 x 24 = 240.

¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacías, situadas entre los jóvenes las 5 muchachas? Evidentemente serán 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. Combinando cada una de las 240 posiciones de los muchachos, con cada una de las 120 que pueden adoptar las muchachas, obtendremos el número total de combinaciones posibles, o sea, 240 x 120 = 28.800

Este número, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y se necesitaría un total de 79 años. Los jóvenes clientes del restaurante, que vivieran hasta la edad de cien años, podrían asistir a una comida, servida gratis, si no por el propio camarero, al menos por uno de sus descendientes.

Sabiendo calcular el número de permutaciones posibles, podemos determinar el número de combinaciones realizables con las cifras del "juego del 15". Con otras palabras, podemos calcular el número total de ejercicios que es posible efectuar con ese juego. Se comprende fácilmente, que el cálculo se reduce a hallar el número de combinaciones posibles a base de 15 objetos. Sabemos, según hemos visto, que para ello es preciso multiplicar sucesivamente: 1 x 2 x 3 x 4 x … x 14 x 15.

Como resultado se obtiene: 1.307.674.365.000, o sea, más de un billón.

La mitad de ese enorme número de ejercicios son insolubles, o sea que en este juego, más de 600.000 millones de combinaciones no tienen solución. Por ello se comprende, en parte, la fiebre de apasionamiento por el "juego

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del 15", que embargó a las gentes, que no sospechaban la existencia de ese inmenso número de casos insolubles.

Si fuera posible colocar cada segundo las cifras en una nueva posición, para realizar todas las combinaciones posibles, habría que trabajar incesantemente día y noche más de 40.000 años.

Como fin de nuestra charla sobre el número de combinaciones posibles, resolvamos el siguiente problema relacionado con la vida escolar.

Hay en clase 25 alumnos. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en los pupitres?

Para los que han asimilado lo expuesto anteriormente, la solución es muy sencilla: basta multiplicar sucesivamente los 25 números siguientes: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x … x 23 x 24 x 25.

En matemáticas existen diversos métodos de simplificación de los cálculos, pero para facilitar operaciones como la que acabamos de mencionar, no los hay. El único procedimiento para efectuar exactamente esta operación consiste en multiplicar con paciencia todos esos números. Sólo puede reducirse algo de tiempo requerido para efectuar esa multiplicación, eligiendo una agrupación acertada de los mismos. El resultado que se obtiene es un número enorme compuesto de 26 cifras, cuya magnitud es incapaz de representársela nuestra imaginación.

He aquí el número: 15.511.210.043.330.985.984.000.000

COMBINATORIA

Problemas propuestos con respuesta

1.- Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos. ¿En cuántas formas pueden sentarse 7 personas? Rta: 604800

2.- ¿Cuál es el número total de permutaciones que pueden formarse con las letras de la palabra MATEMATICA? Rta: 151200

3.- ¿Cuántos números de 5 dígitos y capicúas pueden formarse con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8? Rta: 512

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4.-Un estudiante para aprobar un examen que consta de 10 preguntas, debe contestar 7 de ellas. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección para aprobar el examen? Rta: 120

5.-¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas en una fila? Rta:120

6.-¿De cuántas maneras se pueden ordenar en hilera todas las fichas blancas de ajedrez, si no son distinguibles entre sí las del mismo tipo? (Por ejemplo los 8 peones). Rta: 64.864.800

7.-¿Cuántos triángulos quedan determinados por 6 puntos, tales que no haya 3 alineados? Rta:20

8.-Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene 5 pisos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ningún piso baja más de una persona? Rta: 60

9.-¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? Rta: 3024

10.-¿De cuántas maneras se pueden ordenar 6 discos en un estante? Rta:720

11.-En un edificio en el que viven 25 personas adultas hay que formar una comisión interna de 3 personas. ¿Cuántas comisiones se pueden formar? Rta: 2300

12.-Un marino tiene 4 banderas distintas para hacer señales. ¿Cuántas señales diferentes puede hacer si coloca 3 banderas en un mástil una sobre otra? Rta: 24

13.-¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse, tengan o no sentido, usando las letras de la palabra CUADERNO?Rta: 6720

14.-¿Cuántos equipos de fútbol se pueden formar con los 20 alumnos de un curso? Rta: 125.970

15.-¿De cuántas maneras se pueden ordenar las 24 letras del alfabeto griego? Rta: 24!

16.-¿De cuántas maneras se pueden bajar de un ascensor 4 personas, en un edificio que tiene 7 pisos? Rta: 2401

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17.- Con 3 mujeres y 5 varones:

a. ¿Cuántos triunviratos que tengan 2 personas del mismo sexo se pueden formar?

b. ¿Cuántas hileras de 8 personas se pueden formar si las mujeres no pueden ocupar ni el primer ni el último lugar?

c. ¿Cuántas hileras de 7 personas se pueden formar si personas del mismo sexo no pueden ocupar lugares consecutivos?

Rta: a) 45 b)14400 c) 720

18.- ¿De cuántas maneras pueden alinearse 10 personas, si 3 de ellas deben estar juntas? Rta: 241920

19.- ¿Cuántos caracteres se pueden formar con los puntos y rayas del alfabeto Morse, si en cada uno entran hasta 4 de tales elementos? Rta: 30

20.- ¿De cuántas maneras se pueden colocar 10 libros en un estante, si 4 deben ocupar los mismos lugares, aún cuando estos 4 puedan intercambiarse entre sí? Rta: 17280

21.- ¿De cuántas maneras se pueden colocar en fila 6 hombres, no pudiendo uno determinado estar nunca a la cabeza? Rta: 600

22.- ¿Cuántos paralelogramos quedan determinados cuando un grupo de 8 rectas paralelas son intersecadas por otro grupo de 6 rectas paralelas? Rta: 420

23.- En un grupo de 18 alumnos hay que formar un grupo de 6.

a. ¿De cuántas maneras puede hacerse? b. ¿De cuántas maneras puede hacerse sabiendo que un alumno en

particular, Juan, debe integrar el grupo? c. ¿De cuántas maneras puede hacerse excluyendo a Juan

Rta: a) C 18,6, b) C 17,5 c)C 17,6

24.- En una ciudad A los números telefónicos se forman con 4 números (0 a 9) no pudiendo ser cero el primero de ellos, y en otra ciudad B con 5 números con las mismas condiciones ¿cuántas comunicaciones pueden mantenerse entre los abonados de ambas ciudades?. Rta: 810.000.000

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Cuatro problemas resueltos

1.Consideremos la siguiente situación: 2 ciclistas se preparan para una competencia: Pablo comienza con 1000 metros, y todos los días agrega 1000 metros más, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada día duplica lo hecho el día anterior. Cuántos metros recorre cada uno el décimo día?

Solución: Pablo aumenta el recorrido según una progresión aritmética, por lo tanto an= 1000 + (10 - 1). 1000 = 10000

En cambio Emilio aumenta su recorrido según una progresión geométrica, por lo tanto an= 200. 210 - 1 = 102 400

Se puede ver en una tabla

Pablo Emilio

1er día 1000 200

2do día 2000 400

3er día 3000 800

4to día 4000 1600

5to día 5000 3200

6to día 6000 6400

7mo día 7000 12800

8vo día 8000 25600

9no día 9000 51200

10mo día 10000 102400

Respuesta: El décimo día Pablo recorre 10000 metros y Emilio 102400 metros

2.-

1 2 3 4 * * * * * * * * *

* * * * * * * * * *

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* * * * * * * * * * *

7 asteriscos 10 asteriscos 13 asteriscos

La progresión 7, 10, 13, ... es aritmética; la diferencia entre los términos consecutivos es 3; el primer término es 7.

¿Cuántos asteriscos habrá en el séptimo diagrama?; esto significa: ¿cuál es el séptimo término de la sucesión?

an = a1 +(n - 1). r

a7 = 7 + 6. 3 = 25

3.-Hallar el término 11º y el término enésimo de la progresión aritmética 4, 7, 10, ...

En esta sucesión, a1 = 4 y r = 3, luego:

a11 = 4 + (11-1).3 = 4 + 10.3 = 34

El enésimo término será:

an = 4 + 3(n-1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1

4.-Leyenda sobre el tablero del ajedrez

El ajedrez es un juego antiquísimo. Cuenta muchos siglos de existencia y por eso no es de extrañar que estén ligadas a él diferentes leyendas, cuya veracidad es difícil comprobar debido a su antigüedad. Precisamente quiero contar una de estas leyendas. Para comprenderla no hace falta saber jugar al ajedrez; basta simplemente saber que el tablero donde se juega está dividido en 64 escaques (casillas

negras y blancas, dispuestas alternativamente).

El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram lo conoció, quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mandó llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento.

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El inventor, llamado Seta, se presentó ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, que vivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos.

– Seta, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado –dijo el rey.

El sabio contestó con una inclinación.

– Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado –continuó diciendo el rey–. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.

Seta continuó callado.

– No seas tímido –le animó el rey-. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.

– Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

– Soberano –dijo Seta–, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez.

– ¿Un simple grano de trigo? –contestó admirado el rey.

– Sí, soberano. Por la segunda casilla ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32…

– Basta –le interrumpió irritado el rey–. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo; por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que necesitas.

Seta sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

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Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió para que se enteraran de si habían entregado ya al reflexivo Seta su mezquina recompensa.

– Soberano, tu orden se está cumpliendo –fue la respuesta–. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponde.

El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

– Soberano –le contestaron–, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

– ¿Por qué va tan despacio este asunto? –gritó iracundo el rey–. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

– Antes de comenzar tu informe –le dijo Sheram–, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.

– Precisamente para eso me he atrevido a presentarme tan temprano –contestó el anciano–. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme…

– Sea cual fuere su magnitud –le interrumpió con altivez el rey– mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa y, por lo tanto, hay que entregársela.

– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo,

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y toda la cosecha obtenida en estos campos ordena que sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

– Dime, cuál es esa cifra tan monstruosa –dijo reflexionando–.

– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

Verifica si el resultado es correcto

Respuesta:

Para poder convencernos, hagamos el cálculo. Si se comienza por la unidad, hay que sumar las siguientes cifras: 1, 2, 4, 8, etc. El resultado obtenido tras 63 duplicaciones sucesivas nos mostrará la cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el inventor. Podemos hallar fácilmente la suma total de granos, si duplicamos el último número, obtenido para la casilla 64, y le restamos una unidad. Es decir, el cálculo se reduce simplemente a multiplicar 64 veces seguidas la cifra dos:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, y así sucesivamente 64 veces.

Con objeto de simplificar el cálculo, podemos dividir estos 64 factores en seis grupos de 10 factores 2 y uno de 4 factores 2. La multiplicación sucesiva de 10 factores 2, como es fácil comprobar, es igual a 1024 y la de 4 factores 2 es de 16. Por lo tanto, el resultado que buscamos es equivalente a:

1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 1024 x 16

Multiplicando 1024 x 1024 obtenemos 1.048.576

Ahora nos queda por hallar:

1.048.576 x 1.048.576 x 1.048.576 x 16

Restando del resultado una unidad, obtendremos el número de granos buscado: 18.446.744.073.709.551.615

Para hacernos una idea de la inmensidad de esta cifra gigante, calculemos aproximadamente la magnitud que debería tener el granero capaz de

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almacenar semejante cantidad de trigo. Es sabido que un metro cúbico de trigo contiene cerca de 15 millones de granos. En ese caso, la recompensa del inventor del ajedrez debería ocupar un volumen aproximado de 12.000.000.000.000 m3, o lo que es lo mismo, 12.000 km3. Si el granero tuviera 4 m de alto y 10 m de ancho, su longitud debería de ser de 300.000.000 km, o sea, el doble de la distancia que separa la

Tierra del Sol.

150.000.000 km

El rey hindú, naturalmente, no podía entregar semejante recompensa. Sin embargo, de haber estado fuerte en matemática, hubiera podido librarse de esta deuda tan gravosa. Para ello le habría bastado simplemente proponer a Seta que él mismo contara, grano a grano, el trigo que le correspondía.

¿Cuánto tiempo crees que hubiera tardado, en hacerlo?

Si Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día, contando un grano por segundo, en el primer día habría contado 86.400 granos. Para contar un millón de granos habría necesitado, como mínimo, 10 días de continuo trabajo. Un metro cúbico de trigo lo habría contado aproximadamente en medio año, lo que supondría un total de 5 cuartos. Haciendo esto sin interrupción durante 10 años, habría contado 100 cuartos como máximo. Por consiguiente, aunque Seta hubiera consagrado el resto de su vida a contar los granos de trigo que le correspondían, habría recibido sólo una parte ínfima de la recompensa exigida.

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Diez problemas propuestos con respuestas.

1.- En una PA el 5to término es 11/3, el 7mo es 7. Si tiene 13 términos calcular: a) el primero; b) el último c) la suma de los trece. Rta: a) -3 b) 17 c) 91

2.- En una PG el 8vo término es ¼ y el 9no 0,125. Si tiene 20 términos calcular: a) el primero; b) el último c) la suma de los veinte. Rta: a) 32 b) 1/214 c) 26 - 2-14

3.-Un joven ahorra cada mes $5 más que el mes anterior. En 5 años sus ahorros sumarán $ 9330.

Determinar

a) lo que ahorró el primer mes. b) lo que ahorró el último mes.

Rta: a) $8 b) $303

4.-Un padre proyecta colocar en un baúl $ 1 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego? Rta: a) $131072 b) $262143

5.-Una máquina costó $ 9000. Se calcula que al final de cada año sufre una depreciación igual al 15 % del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su valor al cabo de 5 años? Rta: $3993,35

6.- El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25 % cada hora. Si al principio había 300000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas? Rta: 915527,34

7.-El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $ 19000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 9 años? Rta: $3184,77

8.-Una ciudad tiene 600000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población es 8 % anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de tres años? Rta: 755827,2

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9.-El valor de una mercadería se deprecia 4 % cada año. Su precio original fue de $ 19000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 4 años? Rta $16137,58

10.-La población de una ciudad aumenta en 35 % cada 10 años. Si su población en 1940 era de 40000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2000? Rta: 242137,8