REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN - Cursos de Física | Cs. de la ... · Conociendo los puntos focales en espejos, determinar la posición y ... el paso de la luz entre dos ... focales de

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN

OBJETIVOS:

Al finalizar el tema el estudiante ha de estar en capacidad de explicar, analizar ycalcular los efectos producido sobre las ondas cuando cambian las condiciones delmedio o de la frontera donde se propaga la misma. Para ello el estudiante ha de sercapaz de:

� Determinar el comportamiento de un pulso sobre medios elásticos enpuntos donde hay cambio de las condiciones del medio (reflexión yrefracción de pulsos).

� Definir ondas planas (o rectas) y ondas circulares en movimientosondulatorios en el plano; así como ondas esféricas en el espacio.

� Explicar los principios de propagación de ondas de Huygens-Fresnel y deMalus.

� Enunciar las leyes de reflexión y refracción de ondas planas sobresuperficies planas.

� Determinar para la reflexión y refracción de ondas planas sobre superficiesesféricas o planas los puntos de focales respectivos.

� Conociendo los puntos focales en espejos, determinar la posición y tamañoque tiene la imagen reflejada y/o el objeto reflejado según sean los datos.

� Determinar la posición y/o tamaño de un objeto o su imagen al serrefractada por el paso de la luz entre dos medios de diferente índice derefracción.

� Conociendo los puntos focales de lentes curvos; determinar la posición ytamaño que tiene la imagen y/o el objeto refractado.

11.1.- REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE PULSOS.

Cuando estudiamos la propagación en cuerdas tensas, analizando las condiciones defrontera establecimos casos donde uno (o ambos) extremos estaban fijos; si un pulsollega a un extremo es fijo se observa que el pulso invierte no solo su sentido depropagación sino el sentido de su amplitud (es por ello que en ondas armónicas elresultado es una onda estacionaria); el fenómeno en este proceso se conoce comoreflexión invertida.

Física III - Geología - Ing. Geológica - Ing. MinasTema 11 - Reflexión y Reafracción

Prof. R. Nitsche C. 1

La causa de esta reflexión invertida es por la tercera ley de Newton, en donde el pulsoejerce una tensión sobre el soporte del extremo y el soporte ejerce sobre la cuerdauna reacción igual y opuesta. También podemos describir el fenómeno como lasuperposición de dos pulsos iguales y opuestos que viajan en sentidos contrarios y seencuentran en el soporte, este pulso contrario se conoce como pulso virtual.

Una segunda condición de frontera es que el extremo a donde se propaga el pulso estelibre; en este caso la llegada de un pulso positivo generaría sobre el extremo de lacuerda un impulso hacia arriba que retrocedería hacia la cuerda, creando un pulso quevolvería al foco con una amplitud en el mismo sentido del pulso original. Tenemosuna reflexión del pulso, esto es un pulso final igual al primero pero que viaja ensentido contrario. En esta situación el pulso virtual tiene la misma polaridad que elpulso incidente pero ambos viajan en sentidos contrarios.

Figura 11-01



Este reflejo es difícil de observar en condiciones ordinarias en cuerdas porque serequiere que el extremo de la cuerda se mueva en el sentido vertical solamente (estoes posible cuando el extremo esta amarrado a un soporte fijo de masa despreciableque desliza sin fricción sobre un anillo o riel); en cuerdas reales lo que ocurre es quela energía del pulso se transmite a aire que rodea produciendo el típico chasquido dellátigo.

La tercera condición de frontera que mencionaremos, es aquella donde dos cuerdas dediferentes densidades (ρ1,ρ2) se unen en un punto en común. Por comodidadestableceremos este punto común en el origen del sistema coordenadas; físicamentetenemos que si viaja un pulso sobre una de las cuerdas (f1(x-v1·t)) y llega al punto deunión entre ambas el resultado es que sobre la cuerda original se refleja una parte delpulso (g(x+v1·t)) y otra parte se transmite a la segunda cuerda (f2(x-v2·t)); esta cantidadtransmitida define a la refracción del pulso.

En forma general podemos admitir que cada cuerda tiene como funciones depropagación de sus pulsos a:

y1(x, t) = f1(x − v1 $ t) + g(x + v1 $ t)

y2(x, t) = f2(x − v2 $ t)

Las expresiones anteriores pueden ser escritas por comodidad de los cálculos como:

y1(x, t) = f1(t − x/v1) + g(t + x/v1)

y2(x, t) = f2(t − x/v2)

Como el punto de unión es común para ambas cuerdas y por lo tanto la deformación ypendiente del punto deben ser iguales para ambas cuerdas, esto es:

y1(0,t) = y2(0,t) d f1(t) + g(t) = f2(t) [1]

Øy1(0,t)Øx =

Øy2(0,t)Øx d − 1

v1$ØØx

[f1(t)] + 1v1$ØØx

[g(t)] = − 1v2$ØØx

[f2(t)]

Como la segunda expresión despues de derivar depende sólo del tiempo, entoncespodemos integrar los diferenciales (al anular el ∂x) y tenemos:

¶ − 1v1$ Ø[f1(t)] + 1

v1$ Ø[g(t)] = ¶ − 1

v2$ Ø[f2(t)] d

f1(t) − g(t) = v1v2$ f2(t) [2]



Haciendo un sistema de ecuaciones con [1] y [2] y despejando g(t) y f2(t) en funciónde f1(t) resulta:

11.1g(t) = v2 − v1

v2 + v1$ f1(t)

f2(t) = 2 $ v2v2 + v1

$ f1(t)

Figura 11-02

En cuerdas tenemos que , entonces podemos sacar los siguientesv = Ftension/� lineal

casos o conclusiones:

� cuando ρρρρ1 = ρρρρ2 (densidades iguales). En este caso no hay reflexión yel pulso se transmite sin cambios en su intensidad en el punto deunión.

� cuando ρρρρ1 >>>> ρρρρ2 en este caso la reflexión tiene la misma polaridadque el pulso incidente. Un extremo libre es equivalente a cuando ladensidad del segundo cuerpo es despreciable respecto al primero.

� cuando ρρρρ1 >>>> ρρρρ2 en este caso la reflexión es invertida; si la densidaddel segundo cuerpo es muchísimo mayor que el primero estamosante un extremo fijo.



11.2.- REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDASBIDIMENSIONALES.

Las ondas monodimensionales son sin embargo las menos frecuentes en la naturaleza;más comunes son las ondas en el espacio de dos dimensiones dada por las ecuaciones(según se coordenadas rectangulares o polares):

11.2

Ø2zØx2 + Ø

2zØx2 = 1

v2 $Ø2zØt2

Ø2zØr 2 + 1

r $ØzØr + 1

r 2 $Ø2zØ�2 = 1

v2 $Ø2zØt2

11.2.1.- Tipos de Ondas bidimensionales.

Las ondas superficiales constituyen ejemplos comunes de ondas en dos dimensiones yentre este tipo de ondas destacan:

� Ondas planas o rectas: siendo esta última una descripción másapropiada y se generan por la vibración de un objeto largo y recto delongitud mucho mayor que la longitud de la onda.

� Ondas circulares: en este caso el objeto que las genera tienedimensiones lineales menores que la longitud de onda. (en caso delespacio este tipo de ondas se denominarían esféricas).

A gran distancia del foco las ondas circulares prácticamente se pueden considerarondas lineales.

Figura 11-03



11.2.2.- Principios de Huygens-Fresnel y de Malus.

La propagación de una onda viene descrita por las ecuaciones de campocorrespondiente; ello implica conocer muchas veces las condiciones de la fuentegeneradora de las ondas; sin embargo se puede determinar la forma de propagación deuna onda sin hacer referencia a las fuentes de la onda.

Cuando se tiene una onda bidimensional (o incluso tridimensional) se define comofrente de onda a la línea (o superficie en caso del espacio) que une a todos los puntosque en determinado instante de tiempo son alcanzados por el movimientoondulatorio.

Cuando una onda plana o esférica llega a una rendija cuyo ancho es similar a lalongitud de la onda entonces esta apertura se convierte en un nuevo foco de ondas deondas circulares; ello permite establecer el Principio de Huygens y Fresnel el cualexpresa:

� Dado un frente de onda, cada punto de este primer frente de ondasactúa como un emisor de ondas, dando origen en su superposiciónal segundo frente de ondas.

Otro punto importante en esta propagación lo constituyen los rayos de la onda, estosviene definidos por la línea de propagación de la onda; en ondas superficiales estalínea de propagación parte desde un punto del primer frente de onda al segundosiempre cumpliendo con la condición de ser perpendicular a ambos frentes de ondas;el concepto de rayos establece el Principio de Malus:

� El tiempo que separa puntos correspondiente de dos frentes deondas es el mismo para todos los pares de puntos correspondientes.

Figura 11-04



11.2.3.- Reflexión y Refracción de Ondas Planas.

Cuando ondas planas (lineales) se propagan por un medio en una dirección (ui) y seencuentran ante un cambio en las condiciones del medio (densidad del material,profundidad en caso de ondas superficiales en líquidos, etc.) entonces al igual que enpulsos (o en ondas unidimensionales) se producen fenómenos de reflexión yrefracción.

Se establece en forma general que las direcciones (vectores unitarios) de incidencia,reflexión y refracción están en el mismo plano, que es normal a la superficie deseparación. Sea N la dirección normal a la superficie, entonces debe ocurrir:

� El ángulo de incidencia (θθθθi) es igual al ángulo de reflexión (θθθθr').

13.3�i = �r ∏

� El cociente entre el seno del ángulo incidencia y el seno delángulo de refracción es constante, esto se conoce como Ley deSnell.

13.4sen(�i )sen(�r ) = constante= n2,1

Figura 11-05



La constante “n 2,1” se llama índice de refracción del medio 2 respecto al medio 1 y esun valor numérico que depende de la naturaleza de la onda y de las propiedades delmedio.

El índice de refracción depende de la velocidad de la onda en los distintos medios;esto es fácil de comprobar aplicando relaciones de trigonometría; dado dos rayosincidente y sus correspondientes rayos refractados tenemos gráficamente que ladistancia común para ambos triángulos que se forman esta dada por:

Figura 11-06

L = v1 $ tsen(�i )

= v2 $ tsen(�r ) d

sen(� i )sen(�r ) = v1

v2= n2,1

Definiendo el índice de refracción absoluto para ondas electromagnéticas como:

donde “c” es la velocidad de la luz 11.5n = cv

Tenemos que la ley de Snell queda para ondas lumniosas de la forma:

11.6n1 $ sen(�i ) = n2 $ sen(�r )



Cuando n2,1 = n2/n1 < 1 se puede dar lugar a una situación especial donde no hay rayorefractado y se produce una reflexión total; ello ocurre cuando el ángulo de incidenciasupera el ángulo critico (denotado con la letra θc); el cual viene dado por:

11.7sen(�c) = n2,1 = n2n1

11.2.4.- Indices de Refracción de algunas sustancias.

Para ondas luminosas (región visible del espectro) se tienen los siguientes índices derefracción absolutos (respecto al vacío n=1).

2,42diamante1,51cuarzo1,65vidrio "flint"1,31hielo1,52vidrio "crown"1,36alcohol (20°C)

1,00029aire 1,33≈4/3agua (25°C)índice "n"Sustancia índice "n"Sustancia

11.3.- LENTES Y ESPEJOS.

El tratamiento geométrico de las ondas indicado en la reflexión y refracción es validopara todo tipo de superficies con la que las ondas entren en contacto; en este puntoharemos énfasis en las ondas luminosas (los rayos de luz), pero estas ideas yresultados son aplicables a cualquier tipo de ondas (sonido, superficiales, sísmicas,etc.)

11.3.1.- Reflexión en superficies planas.

Cuando la luz (u otra onda) llega a una superficie cada rayo se reflejara según elángulo de incidencia que haya en cada punto de la superficie; si la superficiereflectora es lisa (como los espejos), la luz reflejada tendrá rayos de onda biendirigidos, se habla de una reflexión especular (como de espejo).

Figura 11-07



Si por el contrario tenemos una superficie rugosa (irregulares comparadas con lalongitudes de las ondas), cuando sobre ella incide un conjunto de rayos paralelos, losrayos reflejados tendrán cada uno de ellos una dirección diferente; estamos ante unareflexión difusa.

11.3.2.- Espejos esféricos.

Sea un espejo de radio "r", con centro en "C", si tenemos un punto "P" fuente deondas esféricas (rayos concéntricos) a una distancia "p" medido desde el espejo alpunto, pasando por el centro del circulo (eje principal); cuando un rayo emitido por lafuente llega a un punto "A" del espejo, debe ocurrir por ley de reflexión debe ocurrirque el ángulo de incidencia (θi) y de reflexión (θr') son iguales. Según esto el rayoreflejado debe pasar por un punto "Q" en el eje principal, ubicado a una distancia "q"del espejo.

Figura 11-08

Sean los ángulos de incidencia y reflexión pequeños, entonces siendo "h" la distanciaperpendicular entre el punto "A" del espejo y el eje principal, debe ocurrir que:

h j r $ sen(�) j q $ sen(�2) j p $ sen(�1)Por ley del seno:

sen(�i )p − r = sen(�1)

r d sen(�i ) =p − r

r $rp $ sen(�)

sen(�r ∏ )r − q = sen(�2)

r d sen(�r ∏ ) =r − q

r $rq $ sen(�)



Como los ángulos de incidencia y reflexión son iguales resulta:

p − rp =

r − qq d p $ q − r $ q = p $ r − p $ qd

2 $ p $ q = r $ q + p $ r

Dividiendo entre “p·q·r” tenemos la Fórmula de Descarte para la reflexión en unasuperficie esférica.

11.81p + 1

q = 2r = 1

f

La cantidad “r/2” se conoce como foco del espejo y es el punto por el cual pasantodos los rayos cuya fuente este en el infinito (rayos paralelos al eje principal). Paraespejos cóncavos la distancia del radio se considera positiva, en caso de espejosconvexos, el radio es negativo.

Figura 11-09



11.3.3.- Refracción en superficies esféricas.

En este caso si un rayo sale de un punto "P" ubicado en un eje principal, el rayo entrapor un punto "A" de la superficie esférica de radio "r" con centro en el punto "C";como por ley de Snell debe ocurrir:

Figura 11-10Si prolongamos la línea de refracción hasta cortar con el eje principal en el punto "Q"a una distancia "q" de la superficie refractante, y sea "h" la distancia del puntoperpendicular desde el punto "A" hasta el eje principal tenemos si los ángulos sonpequeños que:

h j r $ sen(�) j q $ sen(�2) j p $ sen(�1)Por ley del seno:

sen(�i )p − r = sen(�1)

r d sen(�i ) =p − r

r $rp $ sen(�)

sen(�r )q − r = sen(�2)

r d sen(�r ∏ ) =q − r

r $rq $ sen(�)

sustituyendo en la ley de Snell tenemos:

n1 $p − r

p $ sen(�) = n2 $q − r

q $ sen(�) d

n1 $ p $ q − n1 $ r $ q = n2 $ p $ q − n2 $ r $ p

Al dividir entre “p·q·r” se obtiene la fórmula de Descarte para la refracción de unasuperficie esférica.

11.9n1p − n2

q = n1 − n2r



Si los rayos refractados son paralelos al eje principal tenemos el llamado primerpunto focal o foco objeto (fo); y ocurre cuando “q = ∞”.

11.10fo = n1n1 − n2

$ r

Si los rayos incidentes son paralelos al eje principal tenemos el llamado segundo

punto focal o foco imagen (fi); y ocurre cuando p = ∞”. .

11.11fi = −n2n1 − n2

$ r

También se cumple la identidad:

11.12fo + fi = r

Cuando "fo" es positiva estamos ante un sistema convergente, caso contrario es unsistema divergente.

Figura 11-11



11.3.4.- Lentes.

Una lente es un medio transparente limitado por dos superficies (o una superficie)curvas, generalmente esféricas. En forma general si un rayo emitido por un punto "P"hasta un punto "A" de una lente, digamos que el lente de índice de refracción "n" estaen el aire (índice de refracción aproximadamente igual a 1); entonces por formula11.9 debe ocurrir para cada refracción que:

1p + n

q∏ = 1 − nr 1

nq∏ + 1

q = n − 1r 2

despejando “n/q' ” de ambos términos e igualando resulta la fórmula de Descartepara una lente delgada

11.131p − 1

q = (n − 1) $ 1r 2

− 1r 1

= 1fo = − 1

fi

Tipos de lentes según las curvaturas de sus radios

Figura 11-13



Figura 13-14



11.3.5.- Amplificación lateral.

Los espejos y las lentes también cambian el tamaño de las imágenes; eso se conocecomo amplificación lateral. En los espejos y las lentes esta relación depende de larelación entre los valores de "p" y "q"; gráficamente se puede demostrar que si "Y" esla altura del objeto y sea "Y´" la altura de la imagen; la relación entre ambas estadada por semejanza de triángulos a través de:

11.14M =y∏y = −

qp

Donde "M" se conoce como amplificación angular o potencia de aumento.

Nota: el valor de “q” es positivo si la imagen es real o negativo si la imagen esvirtual.

11.3.6.- Convenio de Signos para reflexión y refracción.

Una forma rápida de dibujar una imagen reflejada o refractada (en lentes) es colocarel objeto a una distancia "p" de la superficie reflejante o refractante (que indicamoscon una línea recta en el origen del sistema de coordenadas perpendicular al ejeprincipal.

Para diferenciar los espejos cóncavos y espejos convexos se establece que la distanciadel radio "r" es positiva en espejos cóncavos y negativa en convexos; las imágenesreflejadas son reales (+) o virtuales (–) dependiendo si se forman delante o detrás delespejo (esto es sí los rayos reflejados se cortan delante o detrás del espejo).

Este criterio es igual de valido en lentes; lo único diferente es el signo de lasimágenes formadas por los lentes, dado que estas se tienen que formar después decruzar el lente para ser reales (positivas), caso contrario son virtuales (nota: laexpresión para lentes 11.13 esta diseñada para trabajar según el sistema decoordenadas rectangulares X,Y conocido, ubicando al objeto en +x); el criterio devirtual o real en la imagen es para el uso de la formula 11.14 en el factor deamplificación.



REFERENCIAS

1. FÍSICA. Volumen I. Mecánica.

Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Addison - Wesley Iberoamericana. U.S.A. 1986.

2. FÍSICA. Volumen II. Campos y Ondas.Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Addison - Wesley Iberoamericana. U.S.A. 1986.

3. FÍSICA GENERAL. Volumen I. Douglas C., Ginacoli. Prentice - Hall hispanoamericana, S.A. México 1988.

4. FÍSICA GENERAL. Volumen II. Douglas C., Ginacoli. }Prentice - Hall hispanoamericana, S.A. México 1988.

5. FÍSICA tomo I. Paul A. Tipler. Editorial Reverte, S.A. Colombia 1990.

6. FÍSICA tomo II. Paul A. Tipler. Editorial Reverte, S.A. Colombia 1990.

7. FÍSICA PARA LAS CIENCIAS DE LA VIDA Y DE LA SALUD.Simon G. G. MacDonald. Y Desmond M. Burns.Fondo Educativo Interamericano, S.A. 1978

8. FÍSICA MECÁNICA Y TERMODINAMICA.Dr. Marcelo Alonso y Dr. Onofre Rojo. Addison - Wesley Iberoamericana.1986. México.

9. FÍSICA EN PERSPECTIVA . Eugene Hecht. Addison - Wesley Iberoamericana. 1987. México.

10.ATLAS DE FÍSICA.+ ejercicios. Fernandez Ferrer. Ediciones Jover. 1989. España.



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