Reforzamiento UNI 1

8/11/2019 Reforzamiento UNI 1

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I n s t i t u t o d e C i e n c i a s y H u m a n i d a d e s

Cursos de

Reforzamiento UNI 2009-1



Cursos de reforzamiento UNI N.° 1 - 2009-1

Autor : Instituto de Ciencias y Humanidades

Editor : Asociación Fondo de Investigadores y Editores

Diseño gráfico : Área de cómputo y publicaciones de la Asociación Fondo

de Investigadores y Editores

© A s o c i a c i ó n F o n d o d e I n v e s t i g a d o r e s y E d i t o r e s

Jr. República de Portugal N.° 187 - Breña. Lima-Perú

Para su sello editorial Lumbreras Editores

Primera edición: abril de 2009

Tiraje: 1050 ejemplares

ISBN: 978-612-4036-19-4

Registro del proyecto editorial N.° 31501130900003

“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú”

N.° 2009-04962

Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la

Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de

abril de 2009 - Calle de las Herramientas N.° 1873 - Lima-PerúTelefax: 332-3786



3 )> c e ó e t i t a c L á t i

El Instituto de Ciencias y Humanidades, institución con más de cuatrodécadas de experiencia en la labor educativa y cultural, saluda a los estudiantesque se incorporan a los Cursos de Reforzamiento UNI y a los padres defamilia.

El presente material didáctico está dirigido p rincipalmente a los estudiantesque aspiran a una vacante en la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) yotras afines.

En cada uno de los cursos se abordan los temas más importantes yrecurrentes de la Universidad N acional de Ingeniería, po r lo cual el estudiantetiene la oportunidad de consolidar y profundizar sus conocimientos paraafrontar adecuadamente u n examen de admisión.

La profundidad con la que serán desarrollados los cursos en cada unade las clases garantiza un aprendizaje adecuado de los distintos temas, tantoen estudiantes que tienen experiencia y buen desarrollo académico comoen aquellos que desean complementar sus conocimientos y alcanzar solidezacadémica.

Los objetivos propuestos en estos cursos son los siguientes:

• Superar las limitaciones académicas de cursos cuyo dom inio es importante para el ingreso a la Universidad.

• Desarrollar un conjunto de temas de acuerdo al prospec to de la UNI.

• Desarrollar la capacidad de análisis, interpretac ión y solución de preguntastipo examen de admisión.

Valorar el conocimiento científico.

Este texto complementa las clases teórico-prácticas desarrolladas con

criterio pedagógico a lo largo de doce semanas; asimismo, con tiene pregun tasdirigidas y domiciliarias que apuntan al logro de ios objetivos específicos delos estudiantes.

Con el presente trabajo reafirmamos nuestro compromiso de servicioa la sociedad en general, mediante una educación integral que aborde losconocimientos científicos de manera didáctica y permita el desarrollo de lacapacidad de análisis y crítica de la realidad, así como el planteamiento dealternativas de solución.

I n s t i t u t o d e C ie n c ia s y H u m a n i d a d e s









(i Dados los conjuntos A, B, C y D se

cumple lo siguiente:

nW ) = 208

Ü-B=<s>

n[P (4nC ) ] = l

n(A - B)= 2x n[Ac n B c n C c ]

n [ñ -( j4 u C )] = 15

n(D) = 25

n [U u C )r i f l c ]= 131

n(B)<47

¿Cuántos elementos, como mínimo,pertenecen solo aun conjunto, si los que

pertenecen solo a dos conjuntos tienen

la misma cantidad de elementos?

A) 135 B) 138 C) 142

D) 136 E) 145

7. Para ingresar a una universidad se deben aprobar por lo menos dos de los

tres exámenes diferentes que se les

toma. Si se presentaron 800 alumnos

de los cuales 500 desaprobaron el pri

mer examen, 250 aprobaron el segun

do y 350 aprobaron el tercer examen,

además, el 25% no logró aprobar nin

gún examen, ¿cuántos alumnos nolograron ingresar a dicha universidad?

Considere que los que aprobaron los

tres exámenes son 1/15 de los que

aprobaron el primer examen?

A) 520 B) 580 C) 560

D) 620 E) 480

8. En una reunión, las mujeres que fuman

pero no bailan son tantas com o los va

rones que ni bailan ni fuman, siendo

• Ai i ii lt tf it la Cdftar V n l l a | o _____________—

estos Un tercio de los varones que i

bailan; además, de los varones qví

man la mitad no bailan y de las mujfl

29 no fuman, 4 bailan y fuman. ¿Q

será la mayor cantidad de mujeres <

no bailan, si el número de mujeres]

cede al de varones en 6 y hay másj

30 personas bailando?

A) 12 B) 17 C) 15

D) 16 E) 18

9. De 129 alumnos que postulan a la L

o San Marcos, se sabe que los varoil

que postulan a ambas universidade

las mujeres que también postulan a

dos son entre sí como 3 es a 4; adem

hay tantos alumnos que postulan solSan Marcos como varones que lo hac

solo a la UNI, también hay 14 muje¡

que solo postularon a la UNI. ¿Cuán

mujeres postularon a ambas univel

dades, si los varones que postulan a

UNI son 55?

A) 20 B) 24 C)16

D) 28 E) 32

10. Dados tres conjuntos/!,ByC, contenidl

en un conjunto universal (U), ademá

se cumple que 4nB=((> y 4aC=C-|

reduzca la siguiente expresión.

M={ [ (C-/t)nB]cn4}u{ (C-B)n(Bt '-A

A) B -C B )C - e C )S n C j

D)/4uC E)A n (C- l

...................................... ... Ma terial Didáctica N *

12



H h I i i i /Mimonto UNI. _ Aritmética

Numeración

M nliubr,=mnmnmn3, halle la suma de

vnliiirs tle (a+b+m+n ).

A) 12II) ir»

B) 13 C) 14

E) 16

Al i v presar el numeral abe a base 7, por

ilusiones sucesivas, al momento de

mmilblr el numeral se invirtió el orden

i|<> m i s cifras, por lo que se obtuvo por

t'itoi ( niOrn 7. Halle el máximo valor de

II i b+c.

A) 17

II) ir»B) 14 C) 12

E) 10

•i iib, b< =cbbir ¿en cuántos sistemas

<i< numeración el numeral abe se«<<i tibe con 4 cifras?

A) 5

II):»

B) 6 C) 2

E) 7

M n i base ii existen 294 numerales de 3

. Ifr.r. y en basem existen 448 numerales

. i. :i cifras diferentes, ¿cuántos numera-

li , tle la forma (a + 8)^—J(b-2)(3- o)c

i slslen en base (n+m)?

A) 704

I» H25

B) 600 C) 640

E) 720

6. Si 4ab&-cdcab, calcule la cantidad de

cifras del menor numeral del sistema

octanario, cuya suma de cifras sea

Cad+bc).

A) 11

D) 16

M fi() I , /i32 están escritos en el sistema

«Ir base (rí + 1), donde n01+nl=n32,

/cuál es el número n0 1 (n+|) escrito en

rl sistema decimal?

B) 83 C) 12

E) 15

7. Halle el máximo valor de a+b+c si

abe __ = (a- l ) ( l l )c , 5

Kmn_ mn

5 numerales\mn„

A) 12

D) 15

B) 18 C) 20

E) 16

¿Cuántos numerales capicúas de 6 ci

fras diferentes entre sí existen en el sis

tema nonario de modo que la suma de

sus cifras esté expresada por el nume

ral mm?

A) 36

D) 30

B) 46 C) 32

E) 34

¿Cuántos numerales de la forma abe-,

existen de manera que al pasarlos a

base 3 se representan con 5 cifras y en

base 5 con 3 cifras?

A) 80

D) 43

B) 72 C) 60

E) 44

10. Si abcddacâet 45)M, calcule la suma

de cifras al expresar dadada...(c+i) en

base 8 . í5cifras

A) 40 B) 42 C ) 49

I » 50 E) 52

A ) 210 B) 150 C) 180

D) 420 E) 105

13



Operaciones fundamentales

• Au m Iw h Ih Cttaur Wnlln)n „

1. Si abe(3 c) + (c. +1 )a d(3 c) + 6fa2=eaf5a,

calcule la sum a de cifras de E.

E=abc+bce+ceb

A) 15

D) 18

B) 16 C) 17

E) 19

Se sabe lo siguiente:

• N es la sum a de todos los números

pares d e la fo rm a u(¿>+2) ( a + 2)í>.

M es la sum a de lodos los núm eros

do la forma a[u+b)b

Calcule la suma de cifras N+M si M se

expresa en el sistem a decimal.

A) 22

D) 17

B) 23 C) 29

E) 31

3. Si a b c d - b c b 3 = ( b - \) $ b + d ) a \ b - c = 2 ,

a d e m á s

m npqg x (d - 1 ) (f> - 1 ) (b - 1 ) = . . .abcds,

calcule m + n + p + q .

A) 15

D) 18

B) 20 C) 17

E) 19

4. Se cumple que

abcdn-3dcbn=m(d+$&4n

Calcule el may or valor de

a + b + c + d + m + n .

A) 38

D) 36

B) 39 C) 37

E) 35

Material Didáctico IM.° 1

La sum a de produ ctos parciales de

nú m ero d e 4 cifras m ultiplicado por]

nú m ero d e 3 cifras crecientes d e rí

2 es 42 126. Calcule el mayor valí

m + n , si la suma de los complemenlde m n; 2m n , 3m n y 4m n es iguaj

2 6 x mn +4 0 0 .

ílCI

•»rJ

:

A) 7

D) 12

B) 10 C) 11

E) 8

Se cumple que

abcd 7 x d = \d c a 4 7\ a x b + c x d - . . j c 9considere que d es impar.

Calcule x.

A) 6

D) 8

B) 4 C) 1

E) 5

Si se cumple que abcd= bcxcb+ i

además, todas las letras son diferen

entre sí , calcule el máximo valorj

a+ b+ c+ d .

A) 18

D) 15

B) 16 C) 20

E) 17

Si hay n núm eros que se p ued en forr

solo con la cifra 3, calcule la sum a de

dos los complementos aritméticos cse pu ede formar con dichos números

A)

B)

C)

D)

E)

10"+1-10

9

2 x lO n+l - n

9

2 x lO f,+l +9/7 - 2 1

27

2 xlO n+1 + 9 n - 2 027

10n+1+ 9 / ? - 9

14







, ( M.I, iiynminnto UNI .Ar i tmét ica i

I 1 iih ule el residuo al dividir N entre 8 si

\ - <i( ,7y ^ j ( 4 - o ) + o ^ ^ Í Í j ( 4 - a ) +

■ r TT---------06 —7----- 7T---------a2008n( , , .1' ) (4 -a ) +... + a ^ ^ —j( 4 - a )

A) 0

l)):i

B)- C) 1

E) 5

I 1 i nora Yoko cuenta la cantidad de

iiiHiiiijíis que tien e d e 5 en 5 y le so bra n

1 1luí alijas; p ero si cu en ta d e 13 en 13,

Ir Militan 7 naranjas; si hace el conteo

1Ir 11 I 1 vi) ab, no le sobra na ran ja alguna.

1 1I1 ulr a+ b si la cantidad de naranjas

1 1.111 un pren did a en tre 500 y 600.

Divisibilidad II

1. Calcule el res idu o al dividir en tre 7 a

A) 1

D) 4

B) 2 C) 0

E) 5

2. Calcule la última cifra al ex pre sar N en

el sistema undécima!.

N = 2009' + 20092+ 20093+ ...+ 20092004

A) 2

D) 0

B) 7 C) 10

E) 1

3. Calcule la su m a de todos los nú m eros

de la forma 26a4b m últiplos de 36.

A) 1(1I)) 12 B) 7 C) 13E) 20

A) 81 332

D) 80 233

B) 82 332 C) 80 332

E) 79 632

1 11 l.i siguiente sucesión aritmética:

II, 17;...........; abcd

• \IsU'ii 30 térm inos m últip los de 7. Cal-

■ulr 1 11 l>+c+d si abcd es máximo.

A) 14I») 20

B) 17 C) 7E) 16

1 iilciile la sum a d e valoresode abe

.1 ii I k f 3abc + Sabe +... = 63.50 sum andos

A) 1071 B) 2142 C) 7497

l>) (¡426 E) 5310

4. Calcule el residuo que se obtiene al

dividir m 3 3 m 4 a b 5 \ b a u entre 6.

A) 0

D) 3

B) 1 C) 2

E) 5

5. El nu m eral o536726c es múltiplo de 8

y al dividirlo entre 11 deja un residuo

por exceso igual a 1 , además, al dividir

en tre 9 el residu o es 2. Calcule a+b+c.

A) 11

D) 16

B) 17 C) 15

E) 18

I Se cum ple qu e

iiu. n2S36=bc.. .mnp3

<'nlcule m + n + p .

6. Se sab e qu e o2í>c3=9-7.

Calcule el valor de m si el numeral

bmac&=72 .

A) 4

I» 2

B) 1 C) 0

E) 3

A) 1

D) 11

B) 4 C) 7

E) 33

17



Academia César Vallejo _ Mater ial Didáctico N.° 1

7. Se cu m ple qu e 9. Calcule a+ b

2a3foa5=33+17Calcule la su m a d e valores d e (a+£>).

i abab. . .abi = 15+6.Si UUUIS...UV 4 -82 cifras

A) 22

D) 16

B) 32 C) 15

E) 12

A) 1

D) 3

B) 5 C) 2

E) 4

Un número de 80 cifras, en el cual sus

40 primeras cifras es 4 y el resto sólo

está form ado por las cifras 5 y 2 en for

m a alterna da , calcu le el residu o al divi-O

dir en tre 7 dicho n úm ero si es 11+5.

1 0 . Dado el conjunto A = { 2; 4; 7; 9;

con sus elementos se puede forn

un número de cuatro cifras diferen

múltiplo de 132 pero n o de 8. Calcule

cifra de may or orden.

A) 1D) 4

B) 2 C) 3

E) 6

A) 2

D) 9

B) 4

PRACTICA DOMICILIARIA

Conjuntos

Dado el siguiente conjunto>4={2; {3}; {5; 3}; {3; 5}; {3; 3}; {{2}};

¿cuántas de las siguientes proposicio

nes son verdaderas?

I. //C4)=4II. {2; 3 ) e A

III. SI / ’(/<) c / \ , en tonce s, n(fl)*=3.

IV. (2) c / t

V. {2; 3; {2}><Z/t

VI. {0; m < z P ( A )

A) 23

D) 17

B) 18

C) 7

E) 5

C) 13

E) 19

Si los conjuntos:

A = {2s[m + Vñ; 23}

B = {3y[m -2 \[ñ ; 1o}

son conjuntos unitarios, además,

cardinal del conjunto C es 4n-3m, c¡

cule n [P(C) ].

A) 3

D) 6

B) 4 C) 5

E) 2

A) 128

D) 8

B) 16 C) 4

E) 32

2. Dados los siguientes conjuntos:

Ul 6 n / - 3 < < 7]

'-{¥ *2sz/-15s x < 4ñ = í y + 2 sZ y

C = { x e Z / x 2 < 400}calcule el cardinal del conjunto

C - 0 4 u f l )

En una reunión donde asistieron II

personas, de las cuale s 75 son mujeri

los que fuman son el triple de los qi

no fuman. Si 70 varones fuman, ¿c u í

tas mu jeres no fuman?

A) 25

D) 24

B) 10 C) 15

E) 32

18





rAcademia César Vallejo

1 2 . Se cu m ple qu e 4¿>c68=4 (o - 5) (a - 5)c/3a.

Halle cuántos numerales de la forma

^ j(fí + 2)(m - 4 )(5 - n)(2p) existen en base a+b+c+d.

A) 320D) 918

B) 1296 C) 648E) 1224

13. Siaa68=4c46y ( a - l ) 0 0o _ = m n p

halle m + n + p .

A) 3D) 6

B) 4 C) 5E) 9

14. Si el menor numeral de la base 8, cuyasuma de cifras es 200, se expresa en base 4, ¿cuál será la sum a de sus cifras?

A) 126D) 130

B) 127 C) 128E) 84

15. Si o (o +l )C o+ 2)(a+ 3 )7 = (2m ) 00m x halle a + m + x .

A) 15 I)) 12

B) G C) 8E) 10

16. Al expresar el numeral 3214,, en base

( n + 1), la suma de sus cifras es 1 1 .Halle la cantidad de numerales de laforma a(.a+b)b„; (n > 5).

A) 42D) 15

B) 21 C) 30E) 28

17. ¿Cuántos numerales del sistema decimal qu e term inan en la cifra 5 se p ue

den expresar como numerales de 3cifras en las bas es 5 y 7?

A) 7D) 10

B) 8 C) 9E) 5

20

__ Materia l Didáctico N.° 1

18-sií-)í^ l^ l l m A m + 2 jv m + 4Ji5

¿en cuántos sistemas de numeració

el numeral abcn se representará concifras?

A) 2

D) 5

B) 6 C)4

E) 10

O peraciones fundam entales

19. Dada la siguiente adición

(a+b)

(i>+c) (a+b)n

(ia - b ) 0 d 0

calcule a + b + c + d + n .

A) 22

D) 25

B) 27 O 24

E) 30

20. Dada la siguiente adición:

34 + 343 + 3434 + ...+ 34 3... = Z b 2 a

(a+I)6 cifras

calcule ab+ba.

A) 165

D) 88

B) 77 C) 132

E) 66

21. Si la su m a de los tres térm inos de un

sustracción es 3a0(2a), ad em ás, el sui

traend o e s la onc eav a parte de la dife

rencia, calcule cuántas cifras impare

se han utilizado en la numeración di

un diccionario cuya cantidad de pág

ñas e s igual a (2a )0a.

n

n

A) 1812

D) 1202

B) 906 C) 1242

E) 1200

/II



Intuí /wnlonto UNI ..A r i t m é t i c a k

I ñu persona avanza y retroce de c onse -i tillv.miente a lo largo de una avenida

ili ii .ii ile cierto tie m po . Si la su m a de loshviiik es parciales es abba metros y la■1" Ins retrocesos es aba metros, calcula l.t distancia total rec orrida po r la per-H m i . i Considere que la separación deii pun to de partida y su posic ión final

tt» /)(2o - 1 )cd metros.

AI ,VM5 m B) 5545 m C) 4000 m

|i»:.!i! )0in E) 5900 m

liiitn Iba a sumar abc9 con mnp9, peroI m>■ error invirtió el o rd en de las cifrasili l mímero mnp$, por lo que la ?umaliii- 10 menos de lo que debería salir.

I lililí* el máximo valor de m + r t + p .

A) IHni 14

B) 20 C)21E) 17

'.i *inln* lo siguiente :

tibe x {7 = 2865

ni>cxb=4011

(( /) txc=l719

i iilu nm pq rs y G4(5a5p6)=0/9&70,i nli:ul»! (x+P+0.

A) 10II) 12

B) 9 C) 11E) 8

' iilcule la suma de todos los númerosi Ir :i d irá s qu e c um pla n la con dición*Ir (|iu* al ser dividido entre cierto nú

mero nos da 29 de cociente y un restonuixlmo. Dé como respuesta la suma

ili* cifras.

A) IIID 1(¡

B) 12 C) 13E) 15

I lili los tres nú m ero s en tero s positivos

II y C, donde A tiene 4 cifras más«|i k* C y B tiene dos cifras m eno s qu e A,

. A 5 x B 6tiene como mínimo 46 cifras

enteras, entonces, indique la cantidad decifras qu e tendrá com o máx imo Á¿xB.

B) 17A) 19D) 18

C) 16E) 12

Sucesiones

27. Sea la siguiente la form a genera l deuna sucesión.

n + 7o n =

3n + 5

Si se eliminan los términos de posición

par. entonces, ¿cuál sería la form a gene

ral de la nuev a sucesión?

A)

D)

3n + ln + 3

n

3n + 2

B)n + 5

3n + l C)

E)

n + 3

3n + l

n + 3

3 ñ + 2

28. Halle la su m a de los térm ino s de la

siguiente sucesión.

11; 12; 18; 20; 25; 30; 32; 42; ...

A) 2830D) 2800

30 términos

B) 2838 C) 2538E) 2860

29. ¿Cuántos términos tiene la siguiente R A.?

abn;ban+i\ 88„+2; ............... ; 64(n + l )9

A) 12

D) 21

B) 15

30. En la sigu iente P. A.:

C) 18

E) 25

3(b - 5)(c - 2); 351; .....;pqr-,xyz\ 5be

37 términos

halle p+ q+ r+ x+ y+ z.

A) 27D) 29

B) 37 C) 35E) 28

21





I tM.ii íamlonto UNI _ A ri tm ética i-\

II t iili ule la suma de las dos últimas ci-

lin. ni expresar

( « 5 5 a . r

M

•>ii el sistema ternario.

A ) 2

II) >1

B) 0 C) 1

E) 3

A un número de 3 cifras se le multiplica

11*ii :t, luego se le sustrae 5 unidades;

>•1 iiMiltado se le multiplica por 7,

l i iriju se le adiciona 13 unidades. Si el

M iiII.hIo es múltiplo de 37, calcule la......i <le cifras del máximo numeral

i|in i himple con dichas condiciones.

A) 26

I») as

B) 24 C) 20

E) 21

‘.i llene la siguiente sucesión cua-

illAllca:

P| 12; 19; 28;... 2

...... 'milis de estos términos son 7, de

.... . (|ue al expresarlos en el sistema

tu unirlo resulta de 4 cifras.

A l M

II) III

B) 16 C) 15

E) 20

I ii iiii.i división se sabe que el dividen-" —

ilu i-, 17+2, el divisor 17-1, el residuo

17 l II) y el cociente es un numeral de

II litas. Calcule la suma del máximo y

mínimo valor que puede asumir el co-

i lente.

A) !)!>«

......

B) 1104 C) 1204

E) 1032

4H

cantidad de patos es impar y hay por lo

menos diez animales de cada tipo.

A) 200D) 204

B) 214 C) 146E) 196

46. El conjunto A tiene como elementos a

los números 7, el conjunto Btiene como

elementos a los números 13. ¿Cuántos

elementos menores de 1000 tieneA ó B

que sean números capicúas?

A) 18

D) 19

B) 20 C) 13

E) 14

47. Calcule la última cifra al expresar

131313....5 en la base 24.

2001 cifras

A) (17)

D )(11)

B) (18) C) 9

E) (15)

48. Calcule el máximo valor d eo + b en __________ O. = 7ab3ab3ab3..

mmml cifras

A) 18

D) 15

B) 16 C) 17

E) 13

49. Al expresar el numeral aabbcc en lossistemas ternario y quinario, las dos

últimas cifras resultan 1,1; 1,3; respec

tivamente, además, en base 7 termina

en cero. Calcule el valor d eox íjx c .

A) 38

D) 42

B) 18 C) 45

E) 21

I n iin.i granja se tiene un total de 431

animales, entre patos y pollos. Se sabe,

i.li'in.is, que si la cantidad de patos se

II ii-i ila de 5 en 5 sobran 2, y si los pollos

,!■ cuentan de 21 en 21 sobran 4. Halle

ln i .mlldad de pollos si se sabe que la

50. Calcule el residuo al dividir N entre 8 .

> ’J'J’J 2009

7 2009

N .72009 + 772009 >+ 77772009 +

A ) 2

D) 0

B) 1 C) 7

E) 6

23



1.

Desigualdades e inecuaciones cuadráticas

Dados los siguientes conjuntos:

A = { x e R / - x < j r - l < 2}

B = { j ce R / (2 -3 x )e [ -2 ; 5]}

halle A n B.

4 ?!nB)

C)<)>

D)

E) ¿ < J f < 3

Dad os los intervalos no vacíos

A = [ n \\-2 n ) y B = ( - 2 ; n + 3 ]

si A c: B, halle la variación de n.

A)• 3

B)3 3

1 2D) - < n < -

’ 2 3

E)2 1

— < n < — 3 3

A) x es entero

® | < x < 2

, 5 1C) — < x < - J 12 2

D) x es negativo

™ 5 2E) — < x < -12 3

¿En qu é intervalo se en cue ntra a/b si

sabe que a e (l; 4) y b e (3; 5>?

WH)

C) &E ) \ 4 ’ '

Determine el mayor valor de & si

sabe quev-3 3

— + - > £ , V x e R *16 x

A) V2

/ W / ”

B , f

D)iC) 1

E) 2

3. Sea x un núm ero real de mod o que

i 2 x + 1 o1< ------ <23 * - l

Indique lo correc to.

Si S es el conjunto solución de la inecu

ción lineal (a + \ ) x 2+ax+b < 0; a <

indique lo correcto.

A ) S c ( - l ; +oo>

B )5 c (-1 ; 7>

C ) S c { - 7 ; -1 )

E f 5 5 c (— ;- l>

E) 5 c (0; 1>

24



I j fe fw im i il t in to UNI _ Álgebra h .

Himuolva la inecuación en x:

| t f j * ♦(«+ l)x+1 < 0*1 iii' mbc que a e ( - 1 ; 0).

A) ( +~ )

•" ( l:4)

i " ( *•: + “ )

llnllf el com plem ento del conjunto A.

t |> . r / \ l x 2 - 4 x + 3 e r }

Al •*•; 11u |3; + “>)m u . i'">

■frsKV}I») (— ; 3)ti) < I) u (3; +<*>)

i iih ule el menor número entero n de..... . qu e se cum pla lo siguiente:I * v S fi ;V x e

A) i:»/4

i » ' ;

B) 4 C )3

$ 5

l \prosiones irracionales

i liillr el conjun to de valore s a d m isibles

J 1 X 1---------------2 +

y ¡ X + 1

A ( —; - l )u[ l ; + °°)

III (■■••; - 1 )u ( l; + °°)

«') (-1;i)

i» H - i )

K) |l; + «•)

M \ (l es solución de la ecu ació n

<i J \ 2 +■!) = x , indique lo correcto.

A) *0 es primo

B) x 0 es mú ltiplo de tres

O x 0 tom a dos valores ( ^

D) x 0 > 51

E) 7 < % <51

3. Re spec to a la solución x 0 de la ecua ción

indique lo correcto.

A) 2Cjc0-1)=1

B) 3( jf0- l ) = —

11C)2(2jr0 -1) = -

D)3(2x0+ l ) = l l

# ) 2 ( 3 x 0 - l ) = ¡

4. Sea a > 0 a y = \¡ax '¿ + ( l - 2 o ) x + o.Calcule los valores de a para q ue y seaun n úm ero real V x e R.

A) <0; + ~ ) B) + O

5. Halle la longitud del conju nto S.

S = {x e r / \ J 4 x 2 - 9 < *} - . 3

O 1A) & B) 3/2

D) 2-73 -1 E)

6. Si la ine cu ac ión irracional

2 V 3 - 3

^ 3 - ^ x - J 2 - X >0

tiene CS=(m; n], calcule el valor de mn.

-O OE) 3

A ) - 3D)1

B) -1

25



r \ Academia César Vallejo ^ _ Material Didáctico N j

7. Resuelva el sistem a de inecu acio nes

9.

\¡ 4x2 - 5 x + \ < 2x + 3

e indique la cantidad de solucionesenteras.

A) 10D) 6

B) 8

É) 5

8. Resu elva la ine cua ción irracional

A) 0D) 3

B) l C) 2E) 4

¿Cuántas soluciones tiene la siguienteecuación?

xsi3 x + \ - j 2 x + \ =V2 xT5 + Vx + 5

A) 0D) 3

B) l C) 2

E) más de 3

Valor abso luto

1. Si S es el conjunto solución de la ecua ción \x 2-x\+x'¿=x, indiqu e lo correcto.

A ) S = R *

B)S.c<-l ;0 |Q$Sn<-l ; 0) = {0}D ) S * |0 ; 11 *.

E )5 n ( -1 ; 0]=<t>

3. Resuelva la ecu ació nx 2 - U I + 3

x 2 + \ 2 x - 3 \

e indique la may or solución.

^ l - - . . ( x * - 3 * - 4 > * 0

e indique la cantidad de solucionesracionales.

Dado el conjunto

S = {x e Q/|lx —2| —3| = 2x}calcule la suma de su solución con suinverso multiplicativo.

A) 3/5D) 8/3

B) 5/3 C) 2E) 8/5

A) 1D) 3/2

B) 3 C )4

E) 2

4. Dados los siguien tes conju ntos:

/ l = { x e R /I a t -21 + jc 2 = 4}

x

B = \ x e R x - \

determ ine el cardinal de A n B.

A) 0

D) 3

C)2

E) 4

5. Da das las func ione s reales

/rw = |2x - 6| - lx--2 | y

a w » |2 r - 4 | - |x - 3 |se cum ple que <->xeS.

Calcule el m enor elem ento de S.

A) 1/2'

B) 3/2

C)5/2

D) -3 /2

E) -5/2

6. Considere a = x 2 + 1; x e R .

Si1

x 2

posic ió n verdadera.

A) 0 < a < 12

B) a > 1125 ,70 ) — < a< 17

D) 0 < o < 14

E) — < a < 139

26



wfrtM limito UNI •a

Hh iIi • i’l conjunto

1 fe 1 u x - 21 /

x 2 - 3 x + 2

1

\ x - 2 \

l<11111111<■su menor elemento.

B) 2K) lnln i

C)2/3

E) 3/2

Mn IIi ' i'l con junto solución d e lasiguien -

!*• limitación.

!*' -I*+8 .■ m — <4

x - 2 i *

Al (II. l •••) B) R —{1} C )0

ID II E) R +

I Mili i r | co njun to

" t i M 1 1

«(»)e R y / , , ) = l x - 2 l - 5 x a

# i , ) » l * - 2 l + 5 x

i t l i i i l i * lnf ( /M)+Sup(AÍ) .

B) - 2A) III)»

C) -1/2E) 1/2

Iunciones reales

I i,nluí. los c on juntos

4 1 1 ¡ 2;3} y S={a;¿>}

■ni* itli* un valor de a ^ i í . A - ^ B es una

Iihii ii ni l.tl (|iie se cumple lo siguiente:

• I - {(l;a), (2; o), (l¡y ), (2;z) , (*;a)}

• (* i y+ z)2=7( 2a +3)

A ) : i / a

t » ¡ i

B) 1/2 C) 1

E ) - l

2. Dada la función real de variable real

f = { ( \ - 2 t 2\ / 2 + l)/í e R}

halle su regla de correspo nde ncia.

A) f. - 2 - x

B) fM = x + 2

f {x) ~

E) fM =

3 - x

2

3 - 2 x

23 - x

En R se define la función

x 2 - 1; x < - 1

2 x; - l < x < 1

x + 1; x > l<2X.+- /

B ) O

fM ~

Calcule f(-2)+% y

A ) - 3D) 3

C) 2© 6

4. Dada la función fM = - x 2 + m x + n ,

ca lcule e l valor d e m -3 (n + r) si se sabe

que {(-2; 0), (5; 0), (0; r ) } a f .

A ) - 4 2

D) 38

B) -3 8 C) 42

Af \ E) -40 /3

5. D ada la función

F =I '=f. 0

halle su dom inio si se sabe qu e su ran

go es el intervalo <1 ; 2).

/ / .r q i

A)

D) &')»(H °(?2

E4 t>27



Academia César Vallejo

6. Sea e una función de m odo que

e : A c z Z - > Z

x —>si4 - x + \l\ + x

Calcule la suma de los elementos delrango y el dom inio de la función.

A) 3

D) 7

B) 5 C) 6

E) ¿

Si la función fM =x2 + m x - m + 1 tiene

rang o /? = [ 2 ; +<*>), c alc ule el valor

de m .

m

B) -1 C ) 0

E) 2

8. Dad a la func ión real

f ( x i - - X - \

+ x - l ; x >)

halle su rango.m s

A) R+

B) (2; +~>

C) (J 2 +1; +~)

D H 2V 2 + 2 ; + ~ )

E) [2\Í2; +«>)

Gráficas de funciones

Dadas las funciones reales

/U)=-Jr+3 A Su)=2^-3

cuyas gráficas se cortan en el pun to (a; b),

calcule el valor de (oí»)2- 1 .? /

A) 4

D) 5

B ); rs

E) 9

2. Esb oce la gráfica d e la función

x + sgn(x 2 + l);x < 1

2 ; _ x > }

Material Didáctico Ni

A) Y B)

2

} 1 1S -\ 1 *

C) Y

2 --•?— 1

/r 1 x

D) y E)

3 - y ,

2

/ 1

/ 1 X

Y

\ l

3

2

1

3. Da da la gráfica de la func ión f

Y \ f {x )=x2- ( a - \ ) x + 2 i

calcu le los valores de o.

a e ( - 00; 3]u[7;

B) 3 û (7 ; + <*>)

C) o e ; 3 )u (7 ; + ==)

D) ° \ 2 ’

E) 0 6(1; 3 )u (7 ; +°°)

28



M p^ lnli inli i UNI _ Álgebra

liml.i l.i función/ 'm = - x 2 + 4 |x | +11, gra- Calcule el valor d e f (

I,i Nlguiente función.(o)-

'I *mfM V) # 4 r> t ) - 7 A) - 2

D) 0

B) 1 C) -1

0 ) 2

7. Indique la gráfica de la siguiente función.

. 11-*2!

M l+UI

llitilii i’l conjunto

y)c R 2/ y > 2 x a y < 6 x - x 2}

t l t i . Mull i r l . i m áxim a distancia vertical...... ilos elem entos del conjun to/!.

4^ Y

/

B) Y

\/

/ X

X

y y

\ ■, / j|_ _ v S ¿

VVX

D) Y E) Y

\ / V V ,X X

'I

l«) "t

B) 1 C ) 4E) 9

i u lit llqm.i adjunta se muestra la gráfi-

• i ile la función = a - \ b - x \ .

Dada la función |at — 2 1+ |x + l |,

determ ine su rango.

A) Ran /' = [0; +°°)

B) Ran/' = [1; +°°)

C) Ran/' = [2; +°°)

D) Ranf = [3; +°°)E) Ran/' = [0; 3]

*1 4- d

Í V » 1

y -

- \29



/H Academia César Vaiiejo __ Material Didáctico NJ

Funciones exp onen ciales y logarítmicas

1. Halle el do m inio de la func ión expo-

f M :nenc ial = e ^4 lx+l1.

A) 1-6 ; 2] B) r-4; 4] C) [-4 ; 2)-5 ; 31 E) [-5; 2) b'

2. Esb oce la gráfica de la siguien te función.

A) Do m/=R+

B) D om /•=<(); 4>

C) Dom/'=(0; 8)

(35 D om /■=<<); 16)E) Dom/'=(4; 16)

Esboce la gráfica de la siguiente fun|gw = log2lx + ll

A) ,Y B) Y

C)

- 2 0

E)

(

3. Indique cuántas soluciones tiene la siguiente ecuación.

3*+l+9x=108 YA

A) 0D) 3 i

4. Halle el cardinal del conju nto A.

A = { ix ; y) e Z + x Z+/y < 2* a y > 2 a x+ y < 3}

Determ ine el valor de n que cumpsiguiente igualdad. .

n 2+ 1 =lo g(n+1)2 - 2n

B) 1/2 C) V2-Í

E» 1

A) 1

D) 4

B) 2 p á

E) 5

Halle el conju nto soluc ión d e la sigute ine cua ción logarítmica.

log3 | l o g j , U - 4 ) j < 0

A) (3; 0) *B) <4; 14]

5. Dada la función = log ( (4 - log2 Jf),

halle su dominio.D) «!>

C) [5; 14]

E ) ( f ; 5 )

30



tffttHturnio UNI __ Álgebra »-»


Mtn Igualdades e ine cuac ion es

cuadráticas

t >i!i ule el m enor valor de x si se sabe

— « M .

Al IID 'i

B) -3 C ) - 4E) O

lliiil.r. Ii i s desigualdades:

I K»S - 1I 2

Indique el m ayor valor áex /y .

Al I t B) 1/2 0 - 2|t ) 1/3 E) 2/3

Mml.is las ex pres ion es:

f ) ( l x ' + \ \ - 2 < x < s ¡ 2

• i M ; - 2 < x <^¡2

i nli ule el valor de máx(/)+mín(g).

Al MII) 4

B) 4 0 - 2

E) 10

•ti >■r iab c que

M | | j(j«r + y)/v{jc; y}cR*

Indique lo correc to.

A) M > 2

III M i 4I I M i 4|» ) M í81,1 W« (2; 4)

i nli ule el valor de a si se sabe que; 5) es el conjunto s oluc ión d e la

ilM' líente ine cu ac ión lineal.» 2 x , x

B - + - < + -I a 2

Si el conjunto so lución de la inecua ción

ax2 +bx+c < Oes el intervalo3 - 7 3 3 + V 3 \

de term ine el valor deac

Considere {a,b,c} c Z y a + b + c = - 2 .

A ) - 2

D) 1

B) -1 C) O

E) 2

Dado el polinomio P(x)=jr 2+4x'+3n,calcule el menor valor de n si se sabeq u e P w > 8; V x e R.

A) 8D) 2

B) 5 C)4E) 12

Indique cuántos valores enteros toman si la ecuación cuad rática en x\ 2ax-(cuf+nc)+(fj2-2)c2=0; {a ,c} c R-{0}tiene raíces reales.

A) 1D) 4

B) 2 C )3E) 5

Expresiones irracionales

Si las siguientes ecuaciones son equivalentes.

J lc T ^ + ylx4 - 1 6 = 0

1 6 - a - x 4 =% /a- 3 jc -4

halle el valor (o valores) d e a.

A) 2D) O

B) -1 C) 2 v -1E) 2 v 1

10. Resuelva la ec ua ció n irracional

V 2 * - 3 - V 4 x - 7 = s l 3 x - S - J x ^ \

A) 2 B) -1 C)111)2 E) 6

A) {2} B) {-2 } C) { }

D) {1; 2} E) R —{2}





||> ..ii iiii iiil .il UNI _ A lg e b ra n

(tltllillvil

|. I ,'| •. 12x—11+ |3x+l |

■i iii>II<|im* <‘l com plemen to de l conjunto

ImIiII I i 'mi

41 I . 2] B) R

1 0 »

(■«Mi'lvii la inecuación

lt ‘ J\ i 'lx — < 0

l i t I l i X

C)

E) R+

2

A) ( 2) B) (-«>; - 2 ) C H

II) ( a. 0) E) (-2; 1)

Miiiui'lv.i l.i ecuación

|» «| + |x-5|=x

m hiill<|ii<* la menor solución.

A) Ht i l H/ : i

B) 4 C) 2

E) 4/3

• ni. iili' l.i longitu d de l con junto M.

M ■j » . R/l2x - ll + |2x + ll = 2 }

A) in ni i

B) 1 C)3/2

E) 4

Mu idclva ('1 sistema

|U r.l t |y- 8|= 38

I \x ci|+ y = 14

lui'Ho, Indique el mayor valor de x.

A) lll

II) 7

SI

B) 22

Funciones reales

C) 10

E) 27

/.' ((2 jt -1 ; x ) e A x A / x e A = ( - 2 \ 2)}

• miii iclac ión tal qu e existe (a ; ti) e R

> «|ih* verifica 2 b + o = l, calcule el valor

■li v qu e cu m p le esta cond ición .

A ) - -

0 )1

B ) " 4 C)0

E) I

27. Sean f y g dos func iones de m odo que

fM=- x2+ ax+ b y g u ) = x 3- c

Determine el valor de a+ b +c si se sab e

qu e /■(,)=«(,)■

A) 0

D) 3

B) 1 C) 2

E) 4

28. D ad a la función f : A - * R tal que

= y 2 -^ x 2 + - ^ j , ind ique cuánto s

elem ento s enteros tiene el conjunto A.

A) 0B) 1

C) 2

D ) 3

E) m ás de tres

29. Ha lle el ran go d e la siguien te función.

x

Sw : x- \

A ) R B) <1; +<*>) C )( -o o ;l >

D ) <-1; l ) E ) R - { 1 }

30. D ad a la función

( x 2 - l ) ( 2 * - 0

2x + x - l

calcule la sum a de los elem entos de

D o m i j - R a n g .

A ) f B ) f O - f

« 4 E)



Academia César Vallejo

31. Se an las funcio ne s

f(x-)= x2- 6 x + ] 1 a g M = - 3 x 2 + 6 x + 2

Calcule la suma de elementos enteros

que pertenecen a Ran/'n Rang.

A) 12

D) 10

32. Sea f: A —

que f (x ) =

B) 8 C) 16

E) 14

•{ 1 } una función de modo

U - 6 1 - 2

2 + U-2I '

Indique el conjunto A.

A) <-oo; 2> B) (2; +oo) C) [2; +~>

D)< -oo;2| E) <-«»; -21

33. Dada la función real

8 ( x) = t l x 2 - 4 * + 12

halle Domg n Rang.

A ) R

B) R +C) R-(2; +oo)

D) R -<-<=»; 2 )

E) R-<-2; 2)

34. Six € R, ¿cuántos valores enteros toma

4x la función \x) ~ '

A) 5

D) 2

1 + JC2

B) 4C)3E) 1

Gráficas de funciones

35. Si (a;b ) y ( l; 2 a ) son los puntos de

intersección de las parábolas

fM = -x 2 -7x+2 y gM =3Jf 2+ x - I 0

calcule el valor de a+b.

A) 17D) 8

B) 11 C)9E) 13

3B. Si el punto P = ( r - 1; 2 r+ l) pertenece a

la gráfica de la función f M = x 2, indique

lo correcto.

. _ Ma terial DiiDidáctico N *

A) f(r)-0 V f(r) -4

B) Si r= 0, entonces, P está en ^

cuadrante.

O Si r= 0, entonces, P está en ^

cuadrante.

D) Si r = 4, entonces, P está en ^

cuadrante.

E) Si r - 4, entonces, P está en J

cuadrante.

37. Si f(x)=x 2 -7 x + 10 es una función (gráfica es

calcule el valor dem +n.

A) 17

D) 7

B) 17/2 C) 27/2

E) 27 i

38.

A) 28

D) 40

B) 20 O 30

E) 15

Del siguiente gráfico, calcule la sii

de los valores enteros de a.

=x 2 + 2 bx + 2

34



ii i lii mi Aflea de la función

I- 'I

I ....... I.i gráfica de la función

, x * + 1; x S 2

4 Ul; x<2 n.i

Al Y B)

) ' i

41. Halle el área que encierra la gráfica de

la función f, cuya regla de correspon

dencia es f(x) = V4 -4x + x 2 - 4, y el ejede las abcisas.

A) 8 u2 B) 12 u2 C) 32 u

D) 16 u2 E) 64 u

42. Indique la gráfica de la función

Ul3+|xl

A) Y B)

Función exponencial y logarítmica

43. Halle el rango de la siguiente función.



44. Calcule la suma de las soluciones ente

ras de la siguiente inecuación.

.2 „

/-* Academia César Va llejo ̂__________________— Material Didáctico N.'

■J2 > '¡2>

A) 0

D) 5

A)

D) 2 ; 1

B )(0 ;+oo) C) <1; +

E )\2 ;

B) 2 C) 3

E) 7

48. Halle el conjunto solución de la ecuí

lo§V3 ür - 3) + log J3 (x + 5) = logjj {x2-

49.

45. Resuelva la inecuación exponencial

(4* -2 X) < 8 e indique un intervalo

solución.

A) <0; 1) B) (0; 2) C) (0; 4)

D) (-1; 2) E) <-2 ; 1 ]

46. Resuelva la siguiente inecuación expo

nencial.

x+2 r+l > 5 ' 5D’

A) R + B) R

D) 11; + 0 0 )

47. Dada la función

halle Dorn/'.

A) {3; -2 } B) 1

D ) { - 2 }

C) {3}

E) R

C) (0; 11

E H

(2 jc -1),

Dado el conjunto

S = jx 6 z / l o g , (6 x - 5) > log2 x -

indique su cardinal.

B) 3A) 4

D)‘ 1

C) 2

E) 0

Si S es el conjunto solución de laj

cuación logarítmica x+logx< 1 ,

que lo correcto.

A) S=(0; +°°)

B) S= (-oo ;l]

C) 5 c [-1; 1>

D )5 = [l ; +=<»)

E )Sc [0 ; 1]

36



Circunferencia

|tül Mi.ílico, calcule x.

Geometría

|)<i|uii el gráfico, BC//AD. Si BC= 4,

M>- My miDE = mABC, calcule mAB.

C) 23°

E) 30°

Si N y R son puntos de tangencia y

mAE = 40°, calcule m IRC.

4. Del gráfico se sabe que E y M son puntos

de tangencia y ;VÍB=3(AW). Ccilcule mER.

E) 105°

5.

I ii el gráfico, OABC: paralelogramo. A) 200° B) 220° C) 240°

Calcule a. D)260° E) 280°

37



38

6. En el gráfico, 3) es mediatr iz de AC. Calcule x.

¡ \ Academia César Vallejo ̂__________________ __ Ma terial Didáctico N*

En un triángulo ABC se traza la i

BH, (H en AC) y la ceviana inte

CN, de modo que 2 04/V)=3(/JA

C/Vr¡BH={L}, (AH)=^(HC) y LC\

calcule NL.

C) 90°E) 60°

7. Seg ún el gráfico, calc ule x.

En un triángulo ABC, en AB y BC sa

can los puntos M y N , respect ivamd

además , MN//A C, MN contiene al

centro del triángulo ABC, 4(iW/)=^

y BI r\A C = {L} tal que (JL)=~[Bt:

AC= 14, calcule BC -AB .

A) 7 B) 5 C) 2

D) 3 E) 4

4. Segú n el gráfico, AB=8, BI= 4, AHi

EF=FG. Calcule FH.

Proporcionalidad de segmentos

1. Calcule FC si BD=4, 3(B£)=2(£4) ymBD = 2(m<BAC). Considere B puntode tangencia.



A ) ‘i B) 2/3 C) 1l*>l/:t E) -J i

I MI unifico mostrado se sabe qu e AM-M II,AN=3(.NL)yAQ=6. Calcule AP.

A) 5,2 B) 3,6 C) 4,8D) 4,4 E) 4,2

2. Si MNPQ es un cuadrado y AM=MC,

calcule x.

A) 12774 B) 127°/2 C) 60°D) 53° E) 30°

Sea ' BDEF un paralelogramo. Si ME=3{BM) y £^=18, calcule AB. (4: punto d e ta ngencia ).

Í ” ------------------------------------

hi ni unifico, M, N y P son puntos de(ttiHnm l.i, a de m ás , A ñ= SC . Calcu le

4W ' . 1.

- ................................. ................. Geometría

Semejanza de triángulos

Según el gráfico, AE=3 y BD=2.

Calcule EC.

'ii'm'm el gráfico, AM=MB.II l'Q QM= 3, ca lcu le BL.

A) 2 B) 3 C) 6D )9 E) 12

39



¡ i Academia César Vallejo

4. En el gráfico, ABCD: cuadrado y

BM =MC. Calcule * si E, H, K, Q, R y S

son p untos de tangencia.

A) 53°

D) 75°

B) 60° C)127°

2

E) 76°

5. Del gráfico se sa be qu e ABCD es un

cuadrado. Si CP= 1, calc ule QH.

A) 25/7

D) 10/7

B) 16/7 C) 12/7

E) 18/7

6. Del gráfico m ostrad o se sa be que A S=6y AP=4. C alcule PQ.

A) 3D) 6



__ Geometría Hv

>m **l yi.'ifico, C es baricentro de la re-

||imi Irlnngular ABC. Si BC=a y AC=b,

i rtli ni'- HM MH'

Ala ) I)

c )

E)

b - a

b - a

’n ,i il .ínguloAOB de 60°. Se ub ica e n su

o nlnii interior el punto P y en OA y OB

Iiin puntos R y 5, respectivamente,

mlrmás, la distancia de P hacia OA e s2

V liii< id OB es 1. Calcu le el m en o r valor

ili'l perímetro de la región triangular

m v w

A) 3V2

II) 2 \ f i

B) 2V6 C) 7V2

E) 6n/2

1 11 una semicircunferencia de diám etro

MI y centro O, se traza la cuerda BC,

luego se traza OM 1 B C (Ai en BC). Si(O/02+3(OA/)2=12, calcule AM.

A) 3

ll) 272

B) 2n/3 C) 4

E) 3V2

5. Del gráfico se sa be qu e AO=6,

AM -S {M C) y QR=5. Calcule 0¿ si el

triángulo AOC es equilátero.

O

A) 3^3

D) n/31

B) x/35 C) 3V5

E) 2-Jl

En el gráfico, C , D , P , T , Q y L son puntosde tangencia, ade m ás, R=2r. Si 71 =2 72 ,

calcule la longitud del segmento que

tiene por extremos los puntos medios

d e BM y CO.

A) 2 B) 72 C )3

D) 73 E) 1

41



7.

/H Academia César Vallejo ^.....................................__........... ....................................._ Material Didáctico

i.

A) 23/2 B) 17/2 C) 16/3

D) 27/2 E) 15/4

En el gráfico, ABCD es un rombo, DE =5

y DF= 3. Calcule el área de la región

triangular BEC.

En el gráfico, BMNQ es un cuadrado. Si

MT +TB=ayAH+H M=b, calcule .

«A oa+b a+b b -a

< E) ~ ~ Z b a + b

Áreas de regiones planas I

Del gráfico se sabe que

AB=2(BQ)=2yJ\0

Calcule el área de la región triangular

PLQ, si P y Q son puntos de tangencia.

A) 9 B) 6 C) 7

D) 8 E) 12 I

3. Según el gráfico, T,PyQ son punlm

tangencia, además, {AL){TB)= 16.B

cule el área de la región triangular /ti

4. En el gráfico, G, y C2 son bariceri

de las regiones triangulares ABD y I

respectivamente. Si el área de la re

ABCD es 48 m2, calcule el área de C ,!

42



Geometría

Áreas de regiones planas II

Del gráfico se sabe que SC=2(A5)

y MNPQ es un paralelogramo. Si

MN= 5, calcule el área de la región

paralelográrhica MNPQ.

mi triángulo ABC se trazan las ce-

Interiores BFy AE, las cuales se

luí. i ,111 en P; además, BE=3(EC) y

4r»M/t/ '). Si el área de la región trian-

|Ml n UFE es 48, calcule el área de la

>ii li¡angular P£ñ.

UNI^,------------------------------------------ .

Ilt'l Hiáfico se sabe que O y C son pun-

|li> ili* tangencia. Si mO¿=37°, calcule

|min/ón entre las áreas de las regiones

■hlliMulares ANK y KOxC.

A) 84 B) 92 C) 96

A) :«i/45 B) 32/45 C) 28/45 D) 8 6 E) 81

11)32/55 E) 28/55

2. El área de la región paralelográmicaI ii i'l gráfico, AE=2 y MK=3. Calcule el ABCD es 100. Calcule el área de la

rtira de la región EOH. región sombreada.

A) 13

D) 13/8

B) 13/2 C) 13/4

E) VÍ3

A) 32

D) 72

B) 64 C) 16

E) 54

43



/H Academia César Vallejo Material Didáctico N

Del gráfico se sabe que T y P son puntos de ta ngencia . Si R = 6, calcule elárea de la región cuadrangular ABTP. Considere que LB=2(T B).

A) 6%/6

D) &\¡2

B) 2yf& C) 3\Í6

E) 6s/3

En el gráfico, el área de la región cua

drangular ABCD es 20. Si Ai, /V, P y Q

son puntos m edios de BQ, MC, ND y AP,

calcule el área: de la región cu adra ng u

lar MNPQ.

A) 3D) 5

B) 6 C) 4E) 8

Sea ABCD un paralelogramo. Se prolonga CA hasta el punto P, luego se traza DN que interseca a PC y BC enMyA í,respectivamente. Si AP=MC y las área sde las regiones triangulares MNCyAMD

6 .

son 1u2 y 4 u2, respectivamente, <hle la razón de las áreas de las remití

A BCD y BPDA.

A) 3D) 3/2

B) 1 C) 3/4E) 15/41

En el gráfico, M y K son pu ntos de jgencia, EH= 2 y HR= 1, Calcule e lfde la región som breada.

A) 7t/2D) 4n

Sean C, y C2 circunferencias ortogdles, y C3 un a circunferencia concé nt£co n C2 y tang en te e xte rior a C ,. Cal(el área de la corona circular si la cuda común tiene como longitud 241radio de C2 es 15.

A) 125t i D) 250t i

B) IOOt i C) 225;: E) 200t:

Del gráfico mostrado, calcule la s u l

de áreas de las regiones som breada »r= 2V2.

A) 2ti/5

D) 2t i/3

B) 5t^4 C) 3n/2E) n jl

44



Hatn lni il,o UNI . _ Geometría h .


Circunferencia

|b« el unifico mostrado, mA8C=130°.

• •*ll lile X.

3. Del gráfico m os trado se sab e qu e

ABCD es un cuadrado, además, T, Q y R son puntos de tangencia. Si TM=\,

calcule AB.

A) 110 B) 61c C) 65°

E) 70°

Ht'min el gráfico, m A B = 2 m B C .

i ni* ule mPQ.

A) 30°

I» 45°

B) 35° C) 40°

E) 60°

A) -J2 D) V5

B) n/3 C) 2E) V6

4. En el gráfico mostrado, T, Q y R son

punto s de tangencia . Calcule x.

A) 24

D) 36

B) 20° C) 33°

E) 34

4 5





MniltmU) UNI

B) 2/3

I irl urálico se sabe que C es baricentro deI.....K¡ón triangular ABC. Si AM=4(BiVI),

i iilt uleQC

W tiI unifico, el triángulo ABC es equi-

AL IéMmh Si l)M=2{MN), calcule — .

B

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4

D) 4/8 E) 8/6

l.n un triánguloABC, I es incentro y G es

baricentro de la región triangular ABC.

Si AC//GÍ, AB= 10 y BC= 14, calcule AC.

A) 10 B) 11 C)12

D) 13 E) 14

En un triángulo acutángulo ABC setrazan las alturas AM, BP y CL, las

cuales se intersecan en H, además,

LPnAM={Q} . Si la distancia del

circuncentro de dicho triángulo a BC

es 2 y QH= 1, calcule MH.

A) 1,5 B) 1 0 2

D) 3 E) 2,5

En un triángulo ABC, la circunferencia

inscrita es tangente a los lados AB y BC

en los puntos M y N, respectivamente,

de modo que la recta MN interseca a

la prolongación de CA en Q. Si AM=3 y

NC= 4, calcule AQ.

A) 7 B) 12 Q 14

D) 21 E) 24

Semejanza

Según el gráfico, C y O son puntos de

tangencia, además, EF=MG yAB=2'J\Ó.

Calcule LC.

A

.................................................._ Geometría

A ) 3 B) 4 C ) VÍO

D) 6 E) 8

47



r

/H Academia César Vallejo ^--------------------------------- —

18. En un triángulo ABC, en AB, BC y AC

se ubican los puntos D, E y F, r espec

tivamente, de modo que ADEF es un

parale lo gram o y CD n FE={I}, do nde /es incentro d el triángulo ABC. Si IF=a y

BE=b, calcule BD.

A)a + 2b

B)a + b

D) - ( a + b) b

E)b(a + b)

19. Según el gráfico, el triángulo ABC es

equilátero y m BM = m MN = m NC.

BC + PQCalcule

B C -P Q

N

D) 5/4 E) 6/5

2 0 . En el gráfico, Q, P y T son puntos detangencia. Si 6(AQ)=5(PB), calculeQT

TA '

__ Materia l Didáctico N.° 1

A) 5/6D) 1/3

B) 1/2 C)2/3E) 2/5

21. En la circu nf ere nc ia c ircu nscrita a Ulitriángulo equilátero ABC, s e u b ic a I

punto P, además , AC n P B = { M } .^

PA= 2y PC=3, calcule PAZ.

A) 1

D) 0,8

B) 1,5 C) 1,2

E) 1,6

22. En el gráfico, BC//A D, m BEC = RD

CD=6 y CF=5. Calcule — . AF

D) 5/3 E) 5/2

23. Seg ún el gráfico, P , T , Q y R son pu n í

de tangencia. Si MN//A C, AC=1 y I

perím etr o d e la re gió n tr iangula r Att

es 20, calcu le MN.

A) 2

D) 2,5

B) 2,1 C) 3,5

E) 3

48



t Hoforzamiento UNI

t i Del gráfico se sa be qu e T J y Q sonI - punto s d e ta ngencia . Calcu ^ •

A) 3/4

D) 1/2

B) 2/3 C) 10 3 / 5

Relaciones métrica®

% l'.n el gráfico, ABCD es un P‘™ ^ '°§ ra

m ,, y AH=4{H D)=4. Ca lc u l e

A) 6

II) 12

B) 10C) 15

E)8

• Según el gráfico, T es p un to <ie tang en

i In y AT=4. Calcule AM-

27. En el gráfico, >1C=6 y BT=4. Si T es

punto de ta ngencia , calc ule la dis ta ncia

de B a AC.

A) 6/5

D) 7/3

B) 8/3 C)8/5

E) 15/4

28. La circunferencia inscrita en un trián

gulo ABC es tangente a AC en D. Si _

AB=5, B C = 7 y/tC= 6, calcule BD.

A) 3

D) 6

B) 4 C ) 5

E) 7

29. Se tiene un triángulo ABC , donde AB=c,

BC=a y AC=b. Si a 2- c 2=bc, calcule

m<BAC

m < £ C A '

A) 2/3

D) 2

B) 3/2 C) 1/2

E) 3

30. Se tiene un triángulo donde las longi

tud es d e los lados so n 5, 7 y 3. Calcule

la medida del mayor ángulo de aqueltriángulo do nd e la longitud de los lados

son las inversas de las longitudes de las

alturas del primer triángulo.

A) 90°

D )120°

B) 143° Q 127°

E) 150°





/H Reforzamiento UNI ________________________

36. En el gráfico, el triángulo PQT es equi

látero y PM=MT=SQ. Si el perímetro de

la región sombreada es 30, calcule el

área de dicha región.

D) 36 E) 24

1/ En un triángulo ABC se traza la altura

IIH y la ceviana interior AM, las cua

les se intersecan en S, de modo que

BM=2(MC) y HC=3(AH). Calcule la ra

zón entre las áreas de las regiones ABS

• y HMC.

A) 2/3

D) 8/9

B) 5/7 C) 9/10

E) 7/9

i I ><■! gráfico, calcule la razón de áreas de

l.is regiones sombreadas si BH=2{AH).

Geometría

A) 1

D) 5/2

B) 2 C) 2/3

E) 5/3

39. Del gráfico, halle la relación entre JA, B

y <E, las cuales son áreas de las regiones

triangulares sombreadas.

A) B=22A+C

B) B=2A+CC

C )A = ® ^

D ) (C = A -—3

E) (EiA=B

40. En el gráfico mostrado, m NSC = 120° y

LS=2(OK)=2(LC). Calcule la razón de

áreas de las regiones sombreadas.

A ) 5/2

D) 4

B) 3 C) 10/3

E) 4/3



r \ Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 1

41. Se tiene un triángulo AB C inscrito a unacircunferencia y se traza la altura BH. Si

m<ABW=30° y m<flC4=53°, además, BL=4LC(L e BC), calcule la razón deáreas de las regiones triangulares AOB

y BOL. (O: c entro d e la circunferencia).

44.

A)2lV3

15B)

IOn/3

■»¥

c)

E)

4V3

15

2v/3

Área de re gion es plan as II

42. Del gráfico m os trado, calc ule a si sesabe q ue el área de la región som breadae s l / 8 y / ? = l .

D) 75° E) 53°

43. En el gráfico, AB=4. C alcule el áre a de

la región som breada.

D) 12 E) 16

En un paralelogramo ABCD se trazar»las bisectrices de los ángulos BAD y

ABC , las cuales se intersecan en P. Siel áre a de la región triangular PCB es 9,,calcule el área de la región para lelo gr áímica ABCD.

A) 9D) 24

B) 20 C) 18E) 36

45. En el gráfico, ABCD es un cuadrado,

además, AF=FE. Si las áreas de la)regiones EFM y MFN son 4 y 1, calculael área d e la región ABCD.

A) 24D) 30

B) 18 C) 25E) 36

46. Según el gráfico, L es p unto d e tangencia. Si QC= 5(PQ ) y AB=4, calcule |

área d e la región som breada.

A) 6nD) 12t i

52



/- * Reforzam iento UNI _________________________

47. Del gráfico m os trado, calcule el ár ea dela región som breada si se sabe que P y

Q son pu ntos de tangencia y R = 2s¡3.

A) 3(3^3 -n)

B) 2(2V3-7t)

C) 3(273 - t i)

D) 2 ( 3 ^ - t i )

E) 8 -6 t i

(I Según el gráfico, / es ince ntro del trián

gulo ABC. Si las regiones sombreadas

son equivalentes, calcule m< BC4.

Geometría i-^

A) 30° B) 37° C) 45°D) 53° E) 60°

49. En el gráfico, halle la relación de á rea s

de las regiones som breadas.

A) iA+B+(E-l-ID=IM + INB) A+B-(E-ID=1M +INC) A- B + C - ID = I M - IN

D)A+B+(n- ID=IM-lNE) A-<C+B-ID=IM-IN

53



T r i g o n o m e t r í a

r Identidades fundam entales y reducción al primer cuadrante

1. Si se cum ple qu e

K = \ / secx + l + N/ s e c x - l ; 0 < x < —

entonces, calcule se cx -tan x.

A)

n

K 2 + 1

K l

B) ~K «f

D) ^y- (secx + ta n x - l )

E) 7 2(1 - s e c x - t a n x )

5. Si A y B son co m plem en tarios, simplifi-j

que la siguiente expresión.

se n (/í + 25 ) tan (2/1 + 3ñ )cos(2A + ñ ) tan(4 A + 35)

2. Si la

2 A) V2

D) -1

B) -V3 C) 1E) -\Í2

expresión

tan 2 x se n 2x

se n 4x tan 4 x

es idéntica a /rj(tan2x + co s2x + n )calcule m + n .

6. Calcu le el valor de la expresión

sen + 0 j+ cos(tc - 0) - tan ̂ 0 + —

cot (2ji - 0) - se c (-0) + ese f-5 + 0

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E )5

3. Simplifique la siguien te exp resión .

4a l + 2 s e c 2 0 ta n 2 0 - t a n 4 0sec 9 ~ i----------5-------5----------4-

1+ 2 ese 0c ot 0 - cot 0

A) 1+2 co t20 B) 2 -c ó t20 C) 1+2 tan20D) 2cot20 E) 2 + ta n 20

4. Determine el equivalente de la expresión

1+ c o s x f l + s e r w - c o s x

p a ra 0 = - .

A) 1

D) 2

B) -1 C ) 0

E) -2

7. De la co nd ició n

27t 3;t 4rc 5 jt Ie o s — + c o s — + c o s— = se n 0 co s — 7 7 7 7 1

11+ cos x (

V1+ sen x v1+ senx V l-sen x + co sx. Tt

SI —<X<7t.2

•J2A) — ( 1 - s e c x - ta n x )

B) n/2(1 - s e c x + t anx )

C) - ( s e c x - t a n x + 1)

calcule eos

A) -1

D) 4

B) 1

0 |+3c sc ( j t -0 ) .

C) 2

E) -2

8. Simplifique la exp resión

<13k ^ f 15 j i 1 (l ln vc sc l—— X CSC —— x eos — X

2 ) V 2 / Wsec (17jt + x) sen (9n - x) tan (1 ljt + x)

A) tanx

D ) - c s c x

B) -tanx C) esex

E) cotx

5 4



Identidades trigonométricas de arcos compuestos

^ Reforzamiento UNI .̂............................................ .. .................... .............................................._ Trig on ometría i-̂

sen (x + y ) = sen x eos y + eos x sen y s e n ( j r - y ) = s e n x c o s y - c o s x s e n y

eos (x + y ) = eos jr eos y - sen x sen y

y ,e o s ( x - y ) = eos x eos y + sen x sen y

tan ( * + y ) = ytan x + tan y

•tan x tan y

Otras identidades (auxiliares)

• s e n (x+ y ) s en (x -y )=s en 2x -s en 2y

co s (x+ -y ) co s (x - y )= cos2x -s en 2y

tanx+tany=

tanx- tany=

s e n ( x + y )

c o s a c o s y

s e n ( x - y )

, , t a n x - t an yt a n ( x - y ) = ----------------—

1 + tan x tan y

e o s x e o s y

Identidades condicionales que relacionan a tres arcos

tanA +

tanB

+ tanC

= ta n/ lx tan f ix tan C

eot A cot B + e ot B eot C + eot C eot A = 1siA+B+C =kit ;k e Z

'eo t x + eo t y + co t z = eo t x eo t y co t z

tan x tan y + tan y tan z + tan 2 tan x = 1s i x + y+ z = (2 f c + l ) ; t / 2 ; k e Z

l'ii)|)iedad

-V a 2 + b 2 < a s e n x + bcosx < V a 2 + b 2Vx (variable en R )

V a,b (constante en R )



f - t Academia César Vallejo

1. Sim plifique la exp resión

\¡2 cos^ x + ̂ j i cos x + senx ] + sen2*

V2sen ̂ j f - ^ j [ senx + eos x ] - sen2x

Se sabe que a+0 =1 8O °. Calcule e l va

lor de

A ) -1

B ) 1

C ) -1/2

D) 1/2

E) -3

Del gráfico mostrado, calcule tan0 si

ABCD es un cua drad o y 3(M/V)=2(/VP).

Material Didáctico N.° 1

5. Si tanx, y tanx2 son raíces de la ec u aci ól3x 2- 5 x + 2 = 0

calcule tan(x, + x 2).

6. De la figura mostra da , ca lcu le tanx si I'

y T son puntos de tangencia.

( l - t a n a ) ( c o t 0 - l )

s e cacscG

A ) 1

D ) 2

B) -1

c o s ( a - 0 )

C ) - 3

E) O

De la figura, calcule tana si BC=2(AF),

DF=AF,AB = 21 yñ D = 9 .

7. Calcule el valor de la siguiente ex p re sió í

eos 2 3 ° eos 8 3 ° - eos 25 3 °

sen22° sen l28° -s en 275°

A ) —AJ 25 B ) 4 C)f D)

32E)

25

64

a.

I ).

5 6



Reforzamiento UNI —Trigonometría i-^

Identidades trigonométricas de arco doble y triple

Identidades de arco do ble

sen2 0=2sen0 cosB

Fómulas de degradación

r2sen20 = l - c o s 20

2 co s20 = l + cos20

Otras identidad es

• tan0+cot0=2csc20

• cot0- tan0=2cot20

• t a n - = c s c 0 - c o t 02

• c o t - = c sc0 + co t02

3 1• sen '10 + co s40 = - + -cos 4O

4 4

K K 5 3. s en 0 + cos 0 = - + - co s4 0

8 8

Triángulo de ángulo dob le

sen 20 =2tan0

l + tan2 0

eo s 20 =J-tan 0

1 + tan 0

II. Iden tidad es de arc o triple

s en 30 = 3 s e n 0 - 4 s e n 3 0

cos30= 4cos 0 -3cos0

tan 30 =3 tan0 - tan 0

l - 3 t a n 2 0

a. Fórmulas de degra dac ión

4 s e n 3 0 = 3 s e n 0 - s e n 3 0

4 e o s 3 0 = 3 eos 0 + e os 30

b. Otras iden tidad es

• 4sen0sen(6O° - 0)sen (6O °+0 )= sen30

• 4cos0cos (6O° - 0 ) cos (6O°+ 0 )= cos30

• tan 0tan (6O °-0)tan(6O °+0) = tan30

• s en30= sen0 (2cos20+ l )

• cos3O=cos0 (2cos20- l )

c. Propiedad

V n s Z + y Are R

se verifica

* < se n 2" x + co s2n x < 1

5 7



!~\ Academia César Vallejo

1. Ca lcule el valo r de la siguiente expresión.

4 71 n 4 371 f . 4s e c — + 3 s e c — + 5 s e c —

8

A) 364

D) 444

8

, 4 7 71+ 7 s e c —

B) 384 C) 442

E) 446

2. A partir de la con dición

sec2x - t a n2x= - l /3

ca lcu le cos 2x

A ) 2/3

D) 2/5

B ) 1/4 C ) 1/5

E) 3/5

De las siguientes con dicione s

c o s 4 x - c o s 4 y = a

c o s 2 j c - c o s 2y=b

calcu le 4cos2x.

A )

D)

2b 2 + a

b

2 o 2 +b

2a

B)2b¿+a

2b C ) ;

2a2+b

a

4. Si tan210°+cot210°=«

calcule el valor de

3 + eos 40°

1- eos 40°

A ) n

D) 2/n

B ) n/2 C) 2/7

E) 1/2n


5. Sim plifique la siguien te expre sión,

ese 80° + ese 40° - ese 20°

t a n l 0 ° + c o t 8 0 °

A ) 1

D ) -1/2

B ) -1 C ) 1/2

E) 2

6. De la siguiente co nd ición

tan2* = 1+2 tan2y

ca lcule 2 cos2x-cos2y .

A) 0

D) 2

B ) 1 C ) - l

E) -2

7. Ca lcule el va lor d e

- co t 18o ( tan 18o+1) (c o t 18o -1)2

K)2s¡2 B ) V 5 - 2 C ) 2 + 75

D ) V5 E) 2

8. Calcule el valor d e la expres ión

3 Tí i 3 k 3 9 j leos — + eos — + eos —

13 13 13

71

371

971

e o s— + e os — + e os —13 13 13

A ) 1/3

D ) 2/3

B ) 4/3 C ) 3

E) 1

5 8





r i Academia César Vallejo

1. Re du zca la siguiente expresión .

eos 5x + 3 eos 3x + 4 eos x

sen 5x - 3 sen 3x + 4 sen x

A ) -c o t3x B) tan3* C ) - tan3*

D) cot3* E) 1

2. Red uzca la siguiente expresión.

sen (a + £> + c ) + s en (a + í> - c ) l c o s c-1

sen a eos b + sen b eos a

A ) co s2a B ) -s e n 2c C ) sen 2i>

D) - c o s 2c E) tan2a

3. De la siguien te iden tidad

2senx+sen5x-sen3x=v4cosM(2xr)sen(/Vx:)

calcule

A + N

M

A)f D) 3

B)! C ) 4

E) l

4. Del gráfico, calcu le el áre a de la región

som breada si se sabe que AB=MN=3.

A ) 9cos(t>cos2(t>sen3<p

B ) 3cos2<|> cos4<(> cos6(¡>

O e0s<l)C0s2(|)C0s3(t)

D ) 9sen3(J)C0s4<))C0s5(¡)

E) 18cos<t>cos2<J>sen3<t>

__Mate rial Didáctico N.° 1 ►

5. Ha lle el equ ivalen te de

4 (cos6O+cos20 ) ( cos60+cos80 )

A ) l + s e n l 5 0 s e n 0B) 1+sen l50cos0

O 1+ s en l5 0 c sc 0

D ) 1+sen l50sec0

E) 1+senl50see20

6. De la siguien te iden tidad

2sen20sen0-2sen(50/2)sen(0/2)=

= A Í - 2 ( c o s 0 - A O 2

calcule 2M+N.

A ) 9/4

D ) 1/8

B ) 1/4 0 5/2

E) 3/2

7. Ca lcule el valor de

>/3 co t 20 ° - 4 eos 20°

A ) -1

D) -1/2

B ) 1 C ) 1/2

E) 2

8. Sim plifique la exp resió n

sen235° - sen215o - sen22 5 °+ - eos 70°

A )

B)

C )

D)

E)

2 + V3 + s e n40 °

2-x/3 + 2 sen40°

2 - \¡3 + s e n 4 0 °

V 3 - 2 + 2 se n4 0 °

V 3 - 2 + s e n 4 0 °

6 0



^Tr igonometr ía k

Resolución de triángulos oblicuángulos

1. TEOREMA DE SENOS 3. TEOREMA DE TANGENTES

En todo triángulo ABC se ver i f ica qu e

. tana - b m ia + b ,

tan IVJ

también:a-2RsenA

b=2RsenB

c=2/?senC

2. TEOREMA DE COSENOS

A

Sucede en forma análoga para los otros

elementos.

4. TEOREMA DE PROYECCIONES

B

a=bcosC+ccosB

£>=acosC+ccos4

c=acosB+bcosA

a _ b _ c

sen4 senS senC

61



! i Ai i» luí i ili i Crii inr Viilln|i>

1. Del grá fico mostrad o, calcu le senOcsca.

/I

A ) V2/2

D) V2/3

B ) 1/2 C ) 1

E) V3/4

2. A partir del gráfico, calcule el va lor de

2senx - sen20 ° si 2 (AB )=2 (BC )=C D .

D

A ) V3/4

D) V2/2

B ) 1/4 C) V3/2

E) 1/2

3. En un triángulo ABC, ¿cuál es el eq uiva

lente d e la siguiente expresión?

(eos B + eos C ) (1 + 2 eo s A)

l + co s / l -2 co s 2A

A )

D)

b - a

c

a - b

B)b + a

C )

E)

c + o

~ v

b + c

6 2


4. En el gráfico, ABE y ABCD son políg

nos regulares. Si AM=MD y BN=NC

calcule x.

A) arctanV3

5. En un trap ecio de base s cuyas longitu

de s son 5 u y 2 u, sus diagon ales miden

5 u y 3 u. Determine el ángulo que for

man las diagonales.

A ) arctan |

B) 135°

C) 60°

D ) arctan

E ) a r c t a n |



Reforzamiento UNI __Trigonometría h .

En el gráfico mostrado se cumple

que BC2=204C)C4B). Calcule AC/AB si

AC>AB.

B

A ) 2 ( l + V5 ) B )3 + n/5 C )

D ) 6 - V 5 E)

3 + V5

2

3 + V5

Re spec to d e un triángulo ABC, simplifi

qu e la siguiente exp resión.

A A o s e e — + (b + c) tan —

b - c

A ) cot

B) tan

C) tan

D ) tan

E) cot

B + C

4

C -B

4

B -C

4

B + C

4

B -C

8. Del gráfico m ostrado, calcu le la lon

gitud del segmento AB si A P = 6 u y

y4C=5 u.

B

A ) 20 u

D) 70 u

B) 30 u C) 40 u

E) 25 u

6 3



En la circunferencia trigonométrica, los arcos orientados en sentido

antihorario son numéricamente iguales a la medida del ángulo central

correspondiente e xpresado en radianes.

64



t iReforzamiento UNI -—Trigon ometría i-.

Representación de las razones trigonométricas en la C. T.

Representac ión seno

1,1 sen o de un arco en la C. T. es represe ntad o geom étrica m en te m edian te un segm ento

dirigido vertical cuyo valor es igual a la or d en a d a d e! punto extrem o de l arco.

El pun to P representa el extrem o d el arco

0 cuya ordenada (y,) es igual a sen0; es

decir:

y ,= se n 0

y2=sen (i

y3=seno)

Observe que e l seno de l arco es repre

sentad o por un segm ento dirigido vertical

de v alor positivo o neg ativo del gráfico.

sen0 > 0

senu < 0

a V alores d e s en a

IC aum enta de 0 a 1

1IC dism inuye d e 1 a 0

NIC dism inuye d e 0 a -1

IVC aum enta d e -1 a 0

V a 6 R; se establece -1 5 sena S 1

6 5



/ -t Academia César Vallejo Material Didáctico N ° 1 te

1. Halle los valores qu e tom a la expresión

sen20 + 2 ( s en 0 - l ) .

A ) [-3 ; 11 B ) [0; 4] C ) [0; 2]

D ) [- 1 ; 11 E) í-2 ; 11

2. Se cu m ple que

s e n x i = - s e n x '2 , 0 e x , < x 2 < 3n/2

¿A qué intervalo p erten ece la expresión

sen (x2-X|)sen (x, + x 2)?

A ) (0; 1)

B)<-1;0>C) <-1; 1)

D ) <1/2; 1)

E) (-1/2; 0)

6 .

Determ ine los valores que adopta I»

siguiente expresión.

(2 s e n x + l ) )( 2 c o s 2x - c o v j r )

cs cjr ( l + sen3A')

A ) [-1 ; 11

B) [ -1 ; l ) - { 0 ; -1/2 }

C) [-1; 1>—{0; ±73/2}

D )<-1 ; l > - { ±V3/2 }

E) <-1; 1>—{1/2}

S i se cumple que sen2x>~co&X*

H < x < ^5 , de ter m ine los valore s <|im

2 2

adm ite la expresión sen2 x

3. Determ ine el núm ero de soluciones

de la ecuación sen(3x-7i/4)=- l/3 si

0<Jf<7l .

A ) 1

D) 4

B ) 2 C ) 3

E) 5

4. Si 0 e [—7t/8; 7t/l2), ha lle la ex tensión de

72 s en (21 0 1+7t/4).

A ) B) - t f ) o- |;5

7. Ca lcule todos los valo res de x e (0; rt/M

qu e verifiquen la desigualdad

se n2(3x+7t/3) >3/4

A ) [ -72 ; 72 ]

B) [1; 721

C) [ -7 2 ; 11

D ) [ -1 ;11

E) [-72/2; yÍ2/2)

A) (0; t i/91

B) [0; n/9)

C) (0; t i/91 u { tt/3 }

D) (0; t i/6)

E) <71/4; t i/31

6 6



ncforzamiento UNI _______________y Trigonometría i-^


Identidades fundam entales

Si secx+cosx-=-2, determine e l equi

valente de la siguiente expresión.

sec2x + 2 sen2 jcse cx

A ) -1

D) 0

s ec 2* - 2 sen 2*

B ) 1 C ) 2

E) 4

Si csc60 -c o t60 = m¿cuál es el equivalente d e cs c40 + co t40?

A ) 1 - 2m B)m - 1

D)2m + l

C ) m - 1

E) 2m +1

Dada la cond ición

s ec x + o ta n x s e n * - a t a n xs e c x + o

calcule

s e n x - o

A) 2

D) 8

B) 2V2 C ) 4

E) 16

Si seca+sena+tana=m, calcule

\l s e c a + V s e ñ a V t a ñ a + T e o s a

A ) 2m

B) 2 (m + l )

C ) J2(m + 1)

D) slm + \

E) 2y¡m + \

Redu zca la siguiente expresión

sen 3780 °+cos747 0°+ esc 1350°

tan 2025° s e c 900°

B ) 0A) -1

D) 2

C ) 1

E ) 3

6. Sim plifique la ex p re sió n

eos— co t í 21—tan 341—6 6 6

A ) -\Í2

D) 73

2

B) -sÍ3 Q *

2 2

E) Ví>

Reducción al prim er cuadrante

7. Se sabe qu e f(n ) = t a n ( r n i + ( - l ) ' ,0).

/•(2) + A (4 )Calcule

A ) -2

D ) -1/3

f (3 ) + f (5 Y

B) 1/2 C ) - l

E) 1

8. Del gráfico, ca lcu le tan 0+ tana .

B) -5

C ) - 3

D) -7

E) -4

Y 3x+2y-t-6=0

1 „0 ^ \ X

a

En el g rá fico m os tra do, ca lcu le tanc¡>

si MNPC es un rectángulo y además

AN=NB.

B

A ) 6/17

B ) 16/37

C)2/3

D) 4/7

E) 3/4



!~\ Academia César Vallejo _ Material Didáctico N.° 1 ^

10. Si se cumple que 3cos0=4cos(9-2<t>)

¿cuál es el equivalente de cot(9— 4>)cos<J)?

A) -sen<t> B) sen<|) C) 7senc|>

D) 7cos<|) E) -7senc|)

11. Si AM=MD, calcule tan9.

D) 3/4 E) 1/4

12. Si cos(x+y)=a;cos(x-y)=b

y x+y+z=n /2

calcule el valor de tanz(tanx+tany).

A)

D)

2 a

a + b 2 a

B)2b

a -b

C)

E)

2 a

a -b 2b

a+b a+b

Arcos compuestos

13. Del gráfico se sabe que AB = \Í3 y

MN= 3. Calcule cos2a + %/2sen2a.

A) 2/3B) 4/3

C) 3/4

D) 3/2

E) 5/3

14. Si x e (O; — \ 14

calcule el valor de x de la siguiente

ecuación.sÍ3 to s 4x eos 3 x - sen7 x = ta n7 x sen3x sen4x

A ) k / 2 \

D) 71/22

B) Tt/10 C) tc/20

E) Jt/5

15. Determine el tipo de triángulo ABC t’li

el cual se cumple quesen B . . . D-------= sen A + eos A cot B eos C

A) isósceles

B) equilátero

C) rectángulo

D) acutángulo

E) obztusángulo

16. S ix+ y+z = (2A:+l)Tt; K e Z

determine el equivalente de la siguienll

expresión.

sen (z -x )sen y + sen (y - z )senx i

17.

A ) -2

D) 1

sen z sen (x - y)

B) -1 C)0

E) 2

Se define la siguiente expresión:

1 + tan (x + y) tan (at - y)

1 - tan (x + y) tan (x - y)Determine su equivalente.

A) (1-2sen2 y)/(sen2x -cos 2x)

B) (l-2sen 2 y)/cos2x

C) (1 +2sen2 y)/sen2x

D) (1 -2sen2 y)/(cos2x-sen 2x)

E) (sen2x -cos 2x)/l -2sen2y

18. Calcule el máximo de tan0 si BD=U CD= 3.

A) 3Vio

10

B) 3n/T ó

20

D ) | V Í 0

c ) ? V i ó

E , ^

68





/H Academia César Vallejo j _ Materia l Didáctico N.° 1

29. Sim plifique la siguiente exp resión ,

sen 4x + eos 4x + s en 2 * + eos 2x

cosx

A) 2\/2sen̂ 3Ar + -̂

B) %/2sen̂ 2x + ^

C) 2cos^x~ —

D) cos^3x + -̂

E) \/2tan^x + ^

30. Simplifique la expresión

senl8°cos6°

cos36°senl2°

A) cos24° B) cos48° C) 2cos24°

D) 2cos48° E) 2sen24°

31. Reduzca la siguiente expresión.(csc40°+ csc20°) (1 - 2sen 10o)

A) csc20° B)sec20° C )se cl0 °

D) csc40° E) sec40°

s e n ( x - y ) q 32. Dada la condición------------? = —, halle

cos(x + y) b

el equivalente de ta n ^ + x je o t ^ + y

en función de ay b.

A)

D)

a + b

a -b

-2o

a + b

B)a + b

b -a C )

2a

a + b

di a b E) - + -b a

Transformaciones trigonométricas II

33. De la igualdad3sen3rcosx+7cos3jcsenx-=semrcosx

calcule el valor de cos4x.

A) -1/8

D) -7/8

B) -3/8 C) -5/8

E) 1/8

34. Determine el equivalente de la siguien

te expresión.

sen 3x eos 4x + sen 3x eos 2x

cosí y ) cos( f ) +sen( Y |sen

DA) cos5x B) 2sen3x C) 2c o s 7 j í

D) tanx E) sen3v I

Teorem a de senos y cosenos

335. En el gráfico se cumple que eos 0 = - I

m<BAC = 20 y AB=4.

Calcule el perímetro del triángulo.

A) 14 B ■

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

36. De acuerdo al gráfico, calcule el valot

de a. Considere BD=AC.

A) 10°

B) 14°

C) 16°

D) 18°

E) 15°

B

37. Se sabe que M, N y P son puntos m#

dios de AB} BC, y AC, respectivamenlfi

Calcule 0 si AB= 6, BC = 8 y AC = 2VÍ3,



Reforzamiento UNI Trigonometría

A) 4/3B) 1/4

C)3/2

D) 5/2

E) 2/5

l!l Si ABCM es un paralelogramo tal que

AN=AP=3 y NB= 2, calcule PB.

A) 1

B) 2

0 4

D) 3

E) 5

M. Si a, b y c son los lados de un triángulo

ABC , determine el equivalente de

a 2 cos2ñ - fc2 eos 2 A

a eos B-focos A

A) o

D )b -c

. B) b O c

E) í>+c

Del gráfico se conoce que

AB _B C _ BN BM

4 3 5 6

Calcule el máximo valor entero que

puede tomar la siguiente expresión.

4senx, + senx2 -- s e n 0 + 5sena

A) cosA/2cosB/2

B) sen4/2senB/2

C) cscA/2cscñ/2

D) sec4/2secfi/2

E) tan4/2tan¿¡/2

Circunferencia trigonométrica

43. Halle la variación de

f (x) = senx-\/3cosx , xe (0;7i )

A) [-2; 2] B) <0; 11 C)<0;1>

D) <0; 21 E )( -V 3 ;2 ]

44. Calcule el perímetro de la región

sombreada en términos de 0, si

PM=MN=NL y Tes punto de tangencia.

A) 6

B) 5

C )7

D) 4

E) 10

A) 2 + ( 3 + \Í3 )sen 0

B) 2+3sen0

C) 2 + V3sen0

D) 2+sen0

E) 1+2sen9+V3

II, Del gráfico, calcule AC si se conoce que

AB=2 y BC=3.

42. En un triángulo ABC, de semiperíme-

tro (p) y circunradio (/?), encuentre el

. . , , 4/?(l-tan2C/4)equivalente d e ----y ------ —— -A

Htan2f+,J

11



/ -i Academia Césa r Vallejo , _ Material Didáctico N.° 1 h

45. Si — < tan0 < \¡3, n < 0 < 3 ^3 2

indique los valores que adm ite

2e o s Í0 + | J + 3

A ) [0; 2] B) ( -3 ; - ] ) C ) (2; 3 }

D ) (3; 4} E) (-1/2; 0>

46. Del gráfico m ostrado, calcule el área

de la región som bread a si 3TN-NM.

A) (3/4) sena

B) ( -3/4 )sena

C ) - 2 s e na

D) 2sena

E) -3sena

47. S i 0 < s e n 2 | | x | + ^ < 1 ,

calcule los valores que tom a x.

B>{-f !)+?;}C)

48. De las siguientes proposiciones, indi

que e l valor de verdad para cada casfl

I. Si V2 sen%/2 < s e n * , < I,

II. Si y¡2 < x¡ < ^ —>1 < sen x¡ < sen >/3 ,

III. Si V3 < at2 < —> 0 < se n x 2 < sen 7Í

IV. J3 < x 2 < 7 t —>sen \Í3 < sen x 2 < 1. ■

A ) solo III B ) so lo I C) I y IV I

D ) I y III E) II y IV I

43. Calcule el máxim o valor que toma I

f i x ) = 4(\ + senA-)(l + co sx ) ;x e(0 ; n)

A ) V2 + 1 B) 7 2 - 1 C ) ' f t+M

D) V2-

E) V2 + 2

50. En la circunferencia trigonométrica H

tiene qu e PB=BQ, EM=MF y ABCM W

un paralelogram o.

Calcule s e na ( + s e n a 3s e n a , + s e n a 4

D) 2 E) -2

72





j L l a

Físico

Cinemática

S i luego de cierto t iempo la persona

deja de ver por un instante al cuerpo

(B), de m od o qu e en este instante la l í

nea visual form a 37° con la horizontal,

determine lo que ha descendido (4 )

hasta que esto ocurra.

(g = 10 m/s2)

t — 40 m — t

l ínca

visual

A) 85 m

D) 70 m

B ) 75 m C ) 65 m

E) 80 m

El cuerpo es soltado d esd e la posición

mo strada y llega al piso lue go d e 4 s. De

termine cuánto t iemp o transcurre d es

de que la persona suelta el cuerpo has

ta que escu cha el s onido d el impacto.(ôn¡do=320 m/s; g = 10 m/s2)

V

¿A qué altura respecto de la posición

mostrada p ara (A ) las esferas estarán al

m ismo nivel? (g=1 0m /s 2).

i4 T

| 20 m/s

f l f *|*

' 20 m

j a -

A ) 2 s

D) 5 s

B ) 3s C ) 4 s

E) 6 s

4. Los cuerp os A y B son lanzados en ins

tantes diferentes y logran imp actar cuan

do A ha alcanzado su máxima altura.

Si las velocidades de lanzamiento son

ortogonales y de igual módu lo, entonces,

determine cuánto es el t iem po d e vue

lo para (B ) hasta el impacto. C onsidere

que para 04) transcurrieron 3 s.

(g=10m /s2)

A) 4,15 s

D) 4,25 s

B) 3,85 s C ) 4 ,05 s

E) 5 s

A) 0,5 s

D) 3 s

B) 1 s C ) 2 s

E) 4 s

7 5



f- \ Academia César Vallejo ^

i

_ Mater ia l Didáctico N.° 1 i .

5. Determ ine la distancia entre la posi

ción d e lanzamiento y la canasta.

(g = 10 m/s2)

A ) 25 m

B) 25%/To m

C) 20VÍO m

D) 15 m

E) 20 m

6. El proy ectil lanz ad o en A em plea 2 s en

impactar en form a perpend icular en la

pared. Si de spr eciam os los efectos gra-

vitatorios, ¿cuál será la distancia entreel nuevo punto de impacto y el punto

de l ca so anterior? f e = 10 m/s2).

A ) 18 m B) 5 m C ) 15 m

D ) 20 m E) 10 m

7. La gráfica adjunta nos muestra el co m

portamiento de la velocidad de una

partícula en el tiempo. Si en el instante

f=0 la posición es x=0, determine la

posición de la partícula en el instanteque adquiere por segunda vez una ra

pid ez d e 2 m/s.

7 6

A ) 5,83 m B) 7,5 m C ) 6,5 m 1

D) 8 m E) 7 m 1

Estática

Se muestra el puente h om og én eo y *1

métrico, de 15 toneladas. Si sobre lot

ap oy os la ac ció n d el p ue nte e n la vtM

tical y e n la ho rizon tal es d e 3 a 4, ri<»

pec tivam ente, dete rm ine el m ódu lo <t|

la fuerza que ejerce el apoyo de la l l

quierd a sobre el puente. (g = 1 0 m/s2) !

A ) 110 kN B) 120 kN C )15 0 k N

D) 125 kN E) 130 kN

Si el sistema se m u eve con velocidad

constante, de tal manera que el bloqut

A, m ediante la fuerza F, está a punto dt

deslizar, ¿cuál es el coeficiente de ro/ti

m iento estático entre A y B? (mA= 2,5 k«mB= 3,5 kg; g - 10 m/s2)

A ) 7/8

B) 5/7

C ) 3/13D) 2/15

E) 12/43



ñüforzamiento UNI ^ _ Física 1-1

Si en cad a platillo de la balanza q ue se

encuentra en reposo agregamos una

masa de arena de 1 kg, determine el

m om ento resultante que experimentan

los brazos d e la balanza. (g = 10 m/s2).

A) 10 N x m

B ) - 1 0 N x m

C) 15 N x m

D ) -1 5 N x m

E) -20 N x m

Si la barra ho m og én ea lisa de 48 kg está

doblada y perm anece en reposo, deter

m ine el mód ulo de la fuerza que ejerce

el piso. (A8 =2 8C , g= 1 0 m/s2).

A ) 350 N B) 450 N C ) 500 N

D) 550 N E) 480 N

Si la barra ho m og én ea de 1,1 kg per

manece en equi l ibr io mecánico, de

termine el módulo de la tensión en la

cuerda. Considere que el bloque es de

1 kg. {AB=BC\g=\Q m/s2).

A ) 1 N B) 2 N C ) 3 N

D ) 4 N E) 5 N

La esfera ho m ogén ea de 2 kg está

apoyada en barras idénticas de masas

despreciables articuladas en A y unidas

me diante una cuerda tal com o se m ues

tra. Determine la tensión de la cuerda.

Considere superficies lisas. (r=L/2).

A ) IO N B) 20 N C ) 30 N

D) 40 N E) 50 N

77



r /H Academia César Vallejo ^ _ Material Didáctico N.° 1 H

Dinámica

Si la cuerda que une al bloque A (liso)

y al b loque B puede experimentar una

tensión má xim a de 25 N, ¿cuál es el valormáx imo de F de tal ma nera qu e la cuer

da no se rompa? (m A= 2 kg; mB= 3,5 kg).

A) 20 ND) 50 N

B ) 30 N C ) 40 NE) 60 N

La polea ideal es elevada mediante la

fuerza constante F= 24 N. ¿A q ué altura

se encue ntra el bloqu e d e 1 kg transcu

rrido un segund o de haber iniciado su

m ovimiento? (g = 1 0 m/s2).

A ) 1 mB) 2 m

C) 3 m

D) 4 m

E ) 5 m

F = 2 4 N

VS5

En el instante qu e se muestra, se aba n

dona el sistema. Despreciando todorozamiento, determine e l mód ulo de la

tensión en la cuerda. (g = 1 0 m/s2).

2 kgA ) 10 N

B) 20 N

C ) 30 N

D) 40 N

E) 50 N

J&.

Un collarín de 5 kg, unido a un resort»,

describe un m ovim iento circunferencial

en el p lan o horizon tal, c on un rad io df>

25 cm. D eterm ine la rap idez angulw

constante del collarín para la posiciónque se muestra, en donde el resorl '

está estirado 20 cm . D esp recie el rozn

miento. (K = 250 N/m ;g=1 0 m/s2).

A ) 4 rad/s

B) 5 rad/s

C ) 275 rad/sD) 4V5 rad/s

E) 6 rad/s

Una esfera de 0,5 kg, unida al extremo

de una cuerda, describe un movimioii

to circunferencial, en el plano vertical,

de 0,5 m de radio. Si en el punto A *1

módulo de su aceleración tangencial

es d e 8 m/s2, dete rm ine e l m ód ulo il<la tensión en la cuerd a en A.

(g = 1 0 m/s2)

A ) 3 N

B) 35 N

C ) 29 N

D) 32 N

E) 13 N

7 8



Reforzamiento UNI _ Física k

Trabajo - Energía

Un collarín de 5 kg es llevad o so bre

una guía rugosa bajo la acc ión d e una

fuerza horizontal constante d e 60 N, enform a lenta, de sde A hasta B. Determi

ne la cantidad de trabajo desarrollado

por la fuerza de rozamiento en dicho

tramo. (g=10 m/s2).

f f ( N )

A ) -2 20 J

D) -300 J

B) -240 J C ) -280 J

E) -320 J

Un bloque pequeño atado a un hi lo es

lanzado sobre una superficie horizontal

rugosa con 16 m/s. Si se detiene luego

de dar 1,5 vueltas, determine el coefi

ciente de rozamiento entre el bloque y

la supe rficie. (g = 10 m/s2; R = 6 /n m ).

♦

D ) 0,3 E) 0,2

Un cuerpo de 10 kg inicia su m ovim iento

en x = 0 debido a la acción de la fuerza F

cuyo mó dulo cam bia con la posición x

de a cu erdo al gráfico. Determine e n qué

posición se detiene el cuerpo si F deja

de actuar en x = 4 m. (g = 10 m/s2).

A ) + 6 m

D) +9 m

B) + 7 m C ) + 8 m

E) +1 0 m

Al bloque de 1 kg qu e se encontraba enrepo so se le apl ica una fuerza constan

te F, tal co m o se muestra a continua

ción. Determine la cantidad de trabajo

real izado mediante F hasta que n ueva

m en te su rapidez sea nula.

K = 40 N/m |

A ) 40 J

D ) 44 J

I— 3 m —I

B) 42 J C ) 43 J

E) 45 J

La es fera de 2 kg se de ja cae r a través

de la rampa mostrada. Determine la

altura máxima que alcanza la esferaluego de abandonar la rampa respecto

del nivel de referencia. D esprecie todo

rozamiento. (g= 10 m/s2).

A) 3,6 m

D) 5 m

B) 3,2 m C) 4 ,2 m

E) 5,6 m

7 9



f - \ Academia César Vallejo ____________________.

G. Se ab and ona una esfera lisa de 5 kg en

A c om o se m uestra en el gráfico. Si la

longitud natural del r esorte e s d e 1,2 m,

¿qué módulo tiene la reacción de la

superficie sobre la esfera cuando esta

pasa por B? (K= 100/m; g= 10 m/s2).

Materia l Didáctico N.° 1 H

A ) 140 N

D) 150 N

B) 143 N C ) 146 N

E) 156 N

El sistema mo strado es de jad o en liber

tad en la posición m ostrada, ade m ás, la

cuerda que une los bloques y la polea

son ideales. Determine la rapidez de

uno de los bloques cuando n uevamen

te estén separados 0,6 m. (g= 10 m/s2).

MAS

1. El blo qu e es de sp laza do 50 cm hacln

la de rec ha y se suelta. Si lue go de I *

pasa por su posición inicial, entoncPl,

indique la ecuac ión d e su movimiento

1u=0

J is o

B) je=0,5 sen ( n . n 'lI —t H---12 2 )

C ) x = 0 ,5 sen| —t \ m

D) x=0 ,5 s en j^/ + 3^J m

E) x=0,4 sen| — t + rc |m

2. Si el resorte está sin de form ar y se sutil

ta el bloque que estaba en reposo, on

tonces, indique la rapidez m áxim a y ln

ecu ación d e la velocidad. ( g = 10 m/s2),

A) 1 m /s

D) 4 m /s

T2m

ú T

0,6 m

i ¿JB) 2 m/s C ) 3 m / s

E) 5 m /s

1°0N^ | j g

A ) 1,5 m/s; o =0,1 s en (U + iV 2 ) m/s

B) 2 m/s; L>=sen(10/+7t) m/s

C ) 1 m/s; ü=sen (10/+7t/2) m/s

D) 1 m/s; D=cos(10/+7 i/2) m/s

E) 2 m/s; u=sen(0,lí+jt/3) m/s

8 0



/ 1 Reforzamiento UNI _ Física

El bloq ue es des plazad o 40 cm hacia la

izquierda y se suelta. Si el bloq ue ex p e

r imenta cho ques elásticos en P de for

ma instantánea, entonces, determineel periodo de o sci lación del b loque.

AT= 125 N/m 5 kg

--——------—--——_— BByífrf ....... L liso

. -v 27115

O

« 4 tü

B ) T 5 S

F

20 c m — ^

C» T S

E) f s

La gráfica adjunta nos muestra el

com por tamien to de la energ ía m ecá

nica del osci lador en función de su

posición (x) . ¿Qué rapidez presenta

el osci lador cuan do se encuentra en la

posición x = + \ m? (m bloque= 2 kg ).

A ) 5 m / s B ) 1 0 m / s C ) 1 5 m / s

D) 20 m /s E) 25 m /s

Ondas mecánicas

Respecto a las ondas mecánicas, in

dique verdadero (V) o fa lso (F) según

corresponda.

I. Las ond as longitudinales se pro pa

gan mucho más aprisa que las on

das transversales e n un sólido.

II. Cuando una onda m ecá nica pasa de

un m edio de m eno r a m ayor densi

dad, su longitud de on da aum enta.

III. Las ondas estacionarias son una in

terferencia de dos on das que se pro

pagan en direcciones opuestas con

igual amplitud, frecu en cia y longitud

de onda.

A ) VFV

D ) W F

B) VFF C) FVF

E ) V W

El sonar de un submarino produce on

das ultrasónicas periódicas con una fre

cue ncia d e 2,5 MHz, qu e se propagan

con ra pidez constante y con una longitud

d e onda d e 4,8x 10"4 m en agua d e mar.

Cuando el sonar produce ondas hacia

abajo, un ec o reflejado por el fondo m a

rino se re cibe 10 s después. ¿Qué profun

didad tiene el océ an o en e se lugar?

A ) 1 k m

D) 4 km

B ) 2 km C ) 3 km

E) 6 km

La densidad l ineal de una cuerda vi

brante es de 1,5x10-4 kg/m. Una onda

transversal se prop aga p or dicha c uer

da y su función d e o nda es

y=0,0 2sen27t(2 0í+ jf ) m

donde x e y se m iden e n m etros y / en

segundos. Determine el módulo de la

tensión en la cuerda.

A) 2 0 m N B) 3 0 m N C) 6 0 mN

D) 120 m N E) 150 m N

81



r h Academia César Vallejo _ Materia l Didáctico N.° 1 i ^

La rapidez de p ropagación de una onda

transversal por un alambre A de lgado

cilindrico es d e 100 m/s. Si este alam bre

es reemp lazado por otro B, se observa

que el mismo t ipo de onda se propagapor él con una rapidez doble que p or A.

Determ ine la relación d e sus diámetros.

(DA/Da). Considere que en am bos casos

la cuerda es del m ismo material e igual

longitud y soporta la m ism a tensión.

A ) 1/2

D) 2

B ) 1/3 C ) 1/4

E) 4

La cuerda que se muestra en el gráf ico tiene una longitud d e 40 cm entre

los puntos A y B; su densidad lineal de

m asa es d e 0,5 kg/m. En el ex trem o iz

qu ierdo de la cu erd a está instalado un IJ

generad or de ondas qu e lo hace oscb

lar con una frec ue nc ia d e 80 Hz. Detefk

mine la masa del bloque que se deb#

colocar en el otro extremo para qiwla onda estacionaria presente nueví

nodos. Desprecie/!. (g= 1 0m /s 2).

generador

A) 0,8 kg

D) 2,4 kg

B ) 1,6 kg C ) 2,0 kg

E) 3,2 kg


MVCL

Se suelta una esfera d esde cierta altura y

luego de I recorre h. ¿Cuánto recorr erá en

los siguientes 21 segundos? ( g = 10 m/s2).

A ) h

D) 9/?

B ) 2/i C ) 3h

E) 8/i

Un proyectil es lanzado verticalmente

hac ia arriba, co n una ra pid ez d e 50 m/s.

Determ ine su recorrido en los och o pri

meros segundos. Cg=10 m/s2).

A ) 130 m

D) 170 m

B ) 145 m C) 160 m

E) 205 m

Desde el suelo y en la misma vert ical

se lanza dos proyecti les vert icalmente

ha cia arriba, co n un interva lo d e 4 s. El

primer proyectil se lanza con 50 m/s, y

el segundo con 40 m/s. ¿A qué altura

ch oc an los pro yectiles? (g = 10 m/s2).

A) 20 m

D) 80 m

B) 25 m C) 40 m

E) 90 m

En el instante m ostrado , de sd e el globo

aeros tático se lanza una pied ra vertic»!

hac ia ab ajo y c on 5 m/s respe cto dtl

glob o. Si la pied ra tarda 5 s en llt'Htti

al piso, determ ine d esd e q ué altura I I

lan zó la piedra. (g = 10 m/s2).

UO m/s

A ) 20 m B) 40 m C) 50 m

D) 100 m E) 120 m

8 2



neforzamiento UNI ^ _ Física k

De un caño malogrado caen gotas. Si

luego de que la primera gota ha reco

rrido 2 m sale la segun da gota, d eter

m ine cuánto de scien de la primera gotahasta el momento en que la distancia

entre la prim era y segund a go ta es 8 m.

(g = 1 0 m/s2)

A ) 5 m

D) 6,5 m

B) 4,5 m C ) 12,5 m

E) 10,5 m

MPCL

Desde un avión que vuela horizontal

m ente se suelta una bom ba, qu e luego

de 2 s presenta una rapidez de 25 m/s.

Determine la rapidez del avión en el ins

tante en qu e se soltó la bom ba. D espre

cie la resistencia de l aire. ( g = 10 m/s2).

A ) 10 m/s B ) 15 m/s C ) 20 m/s

D) 8 m/s E) 18 m/s

Se lanza las canicas A y B como se

muestra. Si lueg o d e 0,5 s las canicas

impactan, cuando aún están a scend ien

do ambas, determ ine la rapidez con la

que se lanzó la canica A (g= 10 m/s2).

10.

►30 m/s

L(fi)

-20 m-

A ) 10 m/s B ) 20 m/s C ) 30 m/s

D) 40 m/s E) 50 m/s

Estática

Se lanza un cue rpo c on una rapidez de

80\/2 m/s y una inclinación de 45° con

la horizontal . ¿Qué t iem po, c om o míni

m o, d eb e transcurrir para que su ve lo

cidad form e 37° con la horizontal?

(£>=10 m/s2)

A ) 1 s

D) 4 s

B ) 2 s C ) 3 s

E) 5s

Del punto A mostrado se lanza una

esfer a co n u na rapidez d e 10 m/s. De

termine a qu é distancia del punto A se

encuen tra la esfera luego de 2 s.

(g = 10 m/s2)

A ) 2 V Í 0 mB) 12 m

C ) 4V Í 0m

D) 4 m

E) &\Í5 m

A ) 20%/5 N B ) 10V5 N C ) 5V5 N

D ) V Í 0 N E ) 15 N

Si el sistema de p oleas, cada uno de 1kg,

se mantiene en equilibrio, determine la

lectura del dinam óm etro. (g = 10 m/s2).

A) 200 N

D) 280 N

B) 230 N C) 250 N

E) 300 N

La barra de 5 kg está en reposo. Si las

reacciones en los apoyos son ortogona

les y están en relación de 1 a 2, d eterm i

ne la reacc ión d e m enor m ódulo .

Cg= 10 m/s2)

8 3



Academia César Vallejo Ma teria l Didáctico N.° 1 K

12.

13.

La barra de 0,8%/5 kg se encuentra en

equilibrio. Si el módulo de la tensión

en la cuerda es d e 10 N, dete rm ine la

m edid a de l ángu lo 0. (g= 10 m/s2).

Si la esfera h om ogé ne a, lisa y de 6 kg

se encuentra en equil ibr io, determine

el m ódu lo de la reacción entre la esfera

y la superficie horizonta l.

(g = 10 m/s2)

A ) 120 N

D) 200 N

B) 160 N C ) 180 N

E) 250 N

14. Si el bloqu e está a punto de resbalar, en

tonces, determine el m ódu lo de la fuerza

que le ejerc e la cuerda a la pole a lisa.

C g=10 m/s2)

15. Se muestra una esfera ho m ogéne a d»

48 N a pun to d e deslizar. D ete rm ine #1

m ódu lo de la fuerza de reacción de In

pa red sob re d icha e sfera. (|xs=0,75),

A ) 37° J T A ) 30 N

B) 60° \ B ) 50 N

C) 53° / \ C ) 40 N

D) 74° / \ D ) 20 N

E) 58° / \ E ) 35 N

16. Determ ine la m áxim a longitud que dcU

reco rrer la persona d e 50 kg sobre la Ixt

rra hom ogénea de 56 kg y de 8 m de Ion

gitud, de tal manera que la barra se Ruin

ten ga en form a horizontal. (g = 10 m/s2),

A) 4 m

D) 7 m

B ) 5 m C ) 6 m

E) 5,5 m

17. La esfera h om og én ea de 6,4 kg se oi>

cuentra en equilibrio. Determ ine el i ih >

dulo d e la fuerza de rozam iento entrr i

plano inclinado y la esfera. (g = 10 m/s)

A ) 7 N

B) 24 N

C ) 14 N

D) 48 NE) 28 N

A) ION

D) 12 N

B) 15 N C) 9 N

E ) 5 V 3 N

H5=0,5

SjB

8 4



, i Reforzamiento UNI Física

La barra hom ogé ne a lisa de 8 kg se

encuentra en equilibrio, apoyad a sobre

un clavo. Determine el módulo de la

rea cció n d el clavo sob re la barra.

(5 = 1 0 m/s2)

A ) 50 N

B) 80 N

C ) 100 N

D) 120 N

E) 60 N

La barra ho m ogé ne a de 4 kg se encuen

tra en equilibrio. Determine el módulo

de la reac ción en la articulación.

(5 = 1 0 m/s2)

A) 20 N

B) 60 N

C) 40 N

D) 20VÍ3 N

E) 80 N

2 1 .

Dinámica rectilínea

El bloque de 3 kg es soltado en la po

sición mostrada. Determine el módulo

de su aceleración e n el instante que el

resorte esté com prim ido 30 cm.

(X=1 00 N/ m ;g=10 m/s2)

23.

La posición de un bloqu e d e 2 kg, que

se m ueve a lo largo del e je X, está dada

por jc=2/2+3/+4, donde t se mide en

segundos y x en metros. Determine

el módulo de la fuerza resultante que

actuará sobre e l bloque en t =2 s.

A ) 2 N

D) 8 N

B) 4 N C ) 6 N

E) 9N

2 2 . Un bloq ue de 10 kg inicialmen te en

reposo se desplaza por una superficie

horizontal lisa por acció n de una fuerza

horizontal constante de 100 N. Si luegode 3s de iniciado su movimiento la

fuerza deja de actuar sobre el bloque,

determ ine su recorrido en los primeros

10 s de su m ovim iento. (g= 1 0m / s2).

A ) 255 m

D) 235 m

B) 260 m C ) 270 m

E) 210 m

Una piedra es lanzada verticalme nte hacia arriba y d es ac ele ra co n 12 m/s2. Si el

módulo de la fuerza de resistencia del

aire es constante, determ ine su rapidez

luego de 5 s de iniciado su des censo.

(g = 1 0 m/s2)

A ) 20 m/s

D) 40 m/s

B) 60 m/s C) 50 m/s

E) 35 m/s

24. Si el sistema es soltado en el instante

mostrado, determine la tensión en la

cuerda.

kg; m B= 5 kg; g = 1 0 m/s2)

0,5

0,6

A) 2 m /s2 B) 3 m /s2 C) 4 m /s2

D) 5 m /s2 E) 6 m /s2

A) 25 N

D) 40 N

B) 30 N C) 32,5 N

E) 22,5 N

8 5



f- \ Academia César Vallejo ^ _ Materia l Didáctico N.° 1 »%

25. Determine el módulo de la fuerza F

aplicada al bloque de masa M de la figura

adjunta, de tal manera que los bloques

de masas m, y m 2, apoyados en el blo

que de masa M , no se muevan respecto

de dicho bloque. Desprecie el rozamien

to. (g = 10m/s2;m ,= m 2=AÍ/10=l kg).

A ) 12 N B ) 60 N C ) 140 N

D) 160 N E) 120 N

Dinámica circunferencial

26. El bloque de masa m g ira con ra pidez

angular constante y se encuentra a

punto de resbalar. Determine el perio

do de su mo vim ient o. (g = 10 m/s2).

A ) ^ s B) ti s C ) 2n s

D ) 1,5it s E) ~ s

27. Una es fera d e 0,2 kg es soltada en A

desde cierta altura h, de ta l mane

ra que en B adquiere una rapidez den/T5 m/s. Dete rm ine el m ódu lo d e la

fuerza resultante sobre la esfera en B.

De sprecie el rozam iento. (7?=2 m;

g = 1 0 m/s2).

A ) 1 N B ) 1,5 N C ) 2 N

D ) 3 N E) 2,5 N

28. Dos péndulos cónicos se mueven ( Ir

m od o q ue sus masas se encuentran 1

la mism a altura sobre el piso, tal com e

se m uestra. Determ ine la relación enti '

las rapideces angulares cú, y co2.

A ) C0|=2(u2

B ) ü)2= 2 ü),

C ) Ü)|=Ü)2

D) ü) , = n/2ü)2

E) w 2= n/2ü),

29. La p eq u eñ a es fera lisa d e 1 kg pasa |><m

la posición P con una velocidad igual

a v = (-3/ + 4y). De term ine el radio dicurvatura en dicho instante si la reac

ción en P es d e 4 N. (g =1 0 m/s2).

A ) 1 m

B) 2 m

C) 2,5 m

D) 3 m

E) 3,5 m

8 6







1 1 ñeforzamiento UNI ^ _ Física i-.

<1. El bloque que se muestra experimenta

un MAS, de tal manera que la energía

potencial elástica máxima del resorte

es de 2 J. Determine el tiempo que empleará el bloque para recorrer 1m, a

partir del instante mostrado, (m = 1kg;

K= 25 N/m).

- P E .

k ü=0 :« t ó :

A) 0,8 s B) 0,6 s C) 0,5 s

D) 1s E) 0,837 s

42. El gráfico muestra un bloque que expe

rimenta un MAS, con una amplitud de

50 cm y un periodo de 4 s. ¿Qué tiempo

emplea el bloque para recorrer 70 cm

a partir del instante mostrado?

RE.

X-— 40 cm — -X

A) 1s B) 0,8 s C) 1,2 s

D) 1,4 s E) 1,6 s

43. Si la ecuación de la velocidad del os

cilador depende del tiempo según la

siguiente expresión:

v = 0,8cos^2f + ̂ j m/s

donde t se expresa en segundos, ¿cuál

es la rapidez del oscilador en la posi

ción x=0,32 m?

R E.

A) 0,12 m/s

B) 0,24 m/s

C) 0,56 m/s

D) 0,48 m/sE) 0,56 m/s

44. Si al bloque de 1 kg, unido al resorte

(K = 25 N/m) que se encuentra en re

poso, se le eleva verticalmente 40 cm y

se le abandona, este empieza a realizar

un MAS. ¿Cuál es la ecuación de su mo

vimiento? (g = 10 m/s2).

A) y = 0,4 eos (5/) m

B) y = 0,4s en ^5 ?-^m

C) y = 0,4sen^5í - jm

D) y = 0,2sen(5f)m

E) y = 0,6sen^5/ + -^jm

45. El periodo de un péndulo simple es

VÍ0 s. Si su longitud disminuye en 10%,

calcule su nuevo periodo.

A ) 1 s B) 2 s C) 3 s

D) 4 s E) 5 s

89



Ondas mecánicas

46. Se muestra el perfi l d e una on da form a

da en la superfic ie d el agua propagán

dose hacia la derecha. ¿En qué direc

ción se m ueve n las partículas A y B?

Academia César Va llejo -----------------------------------

v

I í ] \B i

{ )i.

A ) A h acia abajo y B hacia abajo

B) A hacia abajo y B no s e mueve

C ) A hacia abajo y B h acia arriba

D) A h acia arriba y B h acia abajo

E) A no se m ueve y B h acia arriba

47. Una on da transversal viaja por una cuer

da. El oscilador que genera la onda co m

pleta 40 vibraciones en 30 segundos,

adem ás, una cresta recorre 9 m en 15 segundos. Determ ine su longitud de onda.

A ) 40 cm B) 42 cm C) 45 cm

D ) 48 cm E) 51 cm

Material Didáctico N.' 1 t-y

48. La ecuac ión de una onda transversal

qu e se propaga en una cuerda es

y = 0,05sen(12n/ + 6juf)m, do nd e I se «

expresa en segundos. ¿Con qué ve lod

dad se propag a la onda?

A ) -0,5/ m/s B ) 0,75/ m/s C ) -2/ m/s

D ) -1,5/ m/s E) 2/ m/s 1.

49. Un pulso se pro pa ga a través d e uñ hilo

de ac ero d e 1 m d e longitud y de J_0h

¿Con qué rap idez se pro paga e l pulso «I

el hilo sop orta una tensión d e 0,09 N?

A ) 0,5 m/s B) 1 m/s SE) 2 m/s

D ) 2,5 m/s E) 3 m/s

50. Una cue rda de den sidad lineal 10“ 2kg/i1\

se encuentra fija en sus extremos, su

porta nd o una tensión de 100 N. ¿Cu.il

debe ser la longitud de la cuerda pañi

qu e se estab lezca una onda estacionan,i

de quinto armónico, con una frecuen

cia d e 50 Hz?

' - 2.

A ) 1 m B) 3 m C) 5 m

D) 7 m E) 9 m

I f

3.

90 -i i



<V ^ > r e ÍTlí- ^ fvl.-Wo i

( Ó * > pe- o s }

QuímicoÍ í » "r 't \ *

Números cuánticos y distribución electrónica

Los números cuánticos n y 6 indican,

respect ivamente

A ) el m ovim iento d el e lectrón y su

ene rgía en un instante da do . ^ B) la forma de la capa electrónica y la

ene rgía de l electrón. >

el nivel energético principal del

electrón y la form a d el orbital.

D) el nivel de energía d el electrón en

un estado dado y e l m ovim iento del

electrón.

E) el volum en d e la región e n la cual semueven los electrones y la orienta

ción del orbital.*

Indique las proposiciones incorrectas.

I. Si se tiene 9 orbitales, el m ínim o ni

vel qu e los con tiene es 3. \ /

.II. Para el subnivel fundamental exis

ten 7 valores de m f.

III. Un orbital principal p u ed e conten er,

com o máx imo , 6 electrones. ■

A ) s olo I

D) I y III

B) solo II C ) solo III

E) II y III

Señale el juego de números cuánticos

válido para un electró n d e la región 4f.

/

A) 4; 1 ; -3 ; + 1/2

B) 4; 2; - 2 ; - 1/2

C) 4; 3; +4 - 1/2

D) 4; 1 ; + 1 - 1/2

E) 4; 3; +2 + 1/2

Determine e l número de protones con

tenidos en un átomo' qu e p ose e 4 elec

trones en su cuarto nivel.

A) 33

D) 34

i 32 C ) 35

E) 46

Resp ecto al N b(Z =4 1) , c om o cat ión di-valente, señale las proposiciones ver

daderas.

I. E s i s o e le c t r o m c o c o n e l ^ M o .

II. Tiene dos electrones en su nivel

más alejado.

III. Es dia m ag nét ico. *

A) solo I

0 ) I y II

B ) solo II C ) II y III

E) I y III

En la estructura electró nica d e un áto

m o hay 18 electrones c on en ergía rela

tiva igual a 5 y 6 e lectrones con energía

relativa igual a 6 . Señale el número de

orbitales apareados y desapareados,

respectivamente.

A ) 18 y 4 B) 20 y 4 C )1 7 y 5

D) 16 y 6 5 E) 19 y 5

Para un átomo con un número másico

de 55 y 30 neutrones, ¿qué proposicio

nes son correctas?

I. Sus elec tron es están distribuidos en

siete subniveles. \,/

II. El juego de números cuánticos de

su último electrón en distribuirse es

3; 2; +2 ; +1/2. jp

III. Posee 5 orbitales semillenos.

B) solo II C) solo III

E) 1, II y III

91





[/H Reforzamiento UNI _ Química j-a

Enlace químico

Respecto al enlace iónico, indique la ver

dad (V ) o falsedad (F) según corresponda.

I. Se forma gene ralm ente entre ele

m entos de alta y baja electronegati-

v idad. ' v

II. La transferencia de elec tron es es del

átomo de mayor a menor e lec tro-

negatividad.

III. Es una fuerza electrostática que se

mani fies ta en todas d i rec c io n es ^ ^

A ) W F

D ) F W

& ] V W C) VFV

E) FFF

2. ¿En qué com pu esto no se ma nifiesta

enlace iónico?

A) CaO

« T b f 3

B) KBru

C ) n h 4c i

E) A120 3

3, Respecto a las propiedades generales

de los compuestos iónicos, indique lo

incorrecto.

I. Po se en altos pun tos de fusión. J

II. La m ayoría presenta alta dureza pero

son quebrad izos. >/

III. En el estado sólido son bu enos con

ductores eléctricos,

A ) II y III

D) solo I

B) I y III C) solo II

E) solo III

Si un e lemento A(Z=20) se combina

con otro elemento B(Z=7), indique la

cantidad de electrones transferidos y la

estructura de Lewis del compuesto for

mado.

A ) 4 ; 3 [ A 1 3- 2 [:B : ]2+

B) 8; 3[ B ]2+2[:X:]3-

<¡^6; 3[ A ]2+2 [^ J 3_

D) 6; 2[ A ]2+3 [:B :]3-

E) 8; 3 [:B :]2-2 [ A ]2+

Respecto a la estructura del tetraóxido

de dinitrógeno (N 20 4), indique la pro

posición incorrecta.

A) Presenta 2 enlaces dativos.

B ) P osee 2 enlace s múltiples.

C ) Con tiene 3 enlace s simples.

D ) Rrésenta 34 electrones d e valencia

EJ Con tiene 5 pares d e elec trone s libres.

l/

Jy

Indique la cantidad de enlaces sigma

y pi, respectivam ente, en e l siguie nte

compuesto.

A ) 16 y 6

B) 15 y 5

c) íjyey ^

E) , 5V 6 ^ // \

o o

7. D eterm ine el nú m ero total de en lacescovalentes coordinados contenidos en

el ácido perc lórico (HC104) y e l ion ni

trato (N 0 3).

^ ^ O -C f l -5 .

A ) 1 B ) 2 C ) 3

D ) 4 5

Formulación y nomenclatura

inorgánica

1. Indique los núm eros d e oxida ción del

fósforo y cromo, respect ivamente, en

las espe cies quím icas Ca (H2P 0 4) 2 y

Cr20 2f .

í5 'A ) + 5 ;+ 3 B ) +1 ; + 3 C ) + 5 ; + 7

D) +5; +6 E ) +3; +6

2. Determ ine e l par de metales cuyo nú-

~ m ero de ox idac ión más comú n es +3.

A ) Li> Bi

D) Al, Bi

/

& & K ' o /

\ Al, Ba

AJ~

C) Mg, Ba

E) Bi, Ba

9 3



/H Academia César Vallejo Material Didáctico N.° 1 * v

Señale la relación correcta entre la fór

mula del óxido y la nomenclatura co

rrespondiente.

/A ) Cr20 3: óxido d e crom o (VI )

B) Cl20 5: pen tóxido d ór ico ,y

C) NÍ20: óx ido de n íque l ( I I) ^

D/BaO: óx ido bar ioso

pfe o2: <§xído plú m b ico

Indique la correspondencia correcta

entre el nombre y la fórmula de los si

guientes com pu estos. o,”’ I. Hidróxido cobá ltico: C o(O H )3

II. Hidróx ido m ercúrico: H g(O H )2 . Y

III. Hidró xido gálico: G a (O H )5 y

D) CaS2; (N H 4) 2S20 3

m CaS; (N H 4) 2S 0 3

Cálculos en Química1. ¿Cuántos áto m os d e co bre están conté

nidos en 2,54 gram os d e cob re puro?

PA (C u )=63,5 urna

A „ = 6 x l 0 23

A ) Vfix 1023 B ) 2 ,4x1 O*

v /

P ) 2,4 x 10"

C ) 1 ,9x1 023

E) 2 ,8 x1 022

2 .

M so lo I

/ U ) I y II

B) solo II C) solo III

E) I, II y III

5. ¿Cuál de los siguientes ácidos con tiene

la mayor cantidad d e átomos d e ox ígeno por unidad fórmula?

A ) á cido sulfuroso

B) á cido silíc ico

C ) á cido sulfhídrico

D) peído fosforoso

g¡) ác ido perbrómico

Í 5 % 0 3

' - ih

A ) N 0 2: ion nitrito

B ) H C 03: io n b i c a r b o n a to V y ^ ! " ’ "

C ) S 0 3 : ion sulfito \^>y *' r

J0) C102: ion hipocloritopt/i '

E) NH 4: ion am on io

O .

7. ¿Cuál d e las alternativas pres enta las

fórmulas químicas que corresponden

al sulfuro de calcio y sulfito de amonio,

respectivamente?

A ) CaS2; (N H 4) 2S 0 3

' B)' CaS; (N H 4) 2S 0 4

C ) CaS; NH4H S0 3

Se tiene 5,75 L de vino en un botellón

de dam ajuana, el cual contien e alcohol

etílico (C 2H5O H ) al 10% en vo lum en . SI

un mililitro de dicho alcohol pesa 0,8 g,

determ ine la cantidad de m oléculas de

alcoh ol etí l ico e n el vino.

PA (urna) : C=12; 0 =1 6 ; H=1

Na= núm ero de Avogrado

A ) 10N a

D ) 7,5 JV*

B ) 5 N a C ) 12 N a

E) 15

V °rt <y 0<:i

¿Cuál de las siguientes esp ecie s quím i- ̂___)

cas está mal denom inada?

Una aleación de cobre y cinc tiene l.i

composición porcentual en peso 60%

de Cu y 40% de Zn. ¿Cuántas mo les de

cob re se tendrá por cada m ol de cinc?

PA (urna): Cu=63,5; Z n=65

A) 0,65

D) 3,08

B ) 1,30 C ) 1,54

E) 6,16

4. El sulfato d e aluminio, A12(S 0 4) 3, es una

sal muy utilizada en el proceso de po-

tabilización d el agua. Para una muestra

de 0,912 kg qu e con tiene A12(S 0 4) 3 al

75% en p eso, indique las propo siciones

verdaderas.

I. Se tienen 4 m ole s de AI2(S 0 4) 3.

II. Posee 6 Na iones sulfato (S 0 4) 2-.

III. Co ntien e 108 g de alum inio.

PA (urna): Al=27 ; S=32; 0= 1 6

A) so lo I

D) I y II

B) s o lo II C ) s o lo III

E) II y III

9 4



Lh Reforzamiento UNI ^ _ Química h .

Al calen tar 9,55 g d e una sal hidrata

da de bo ro N a2B40 7-AH20 , se elimina

4,5 g de agua. ¿Cuál es el va lor de X I

PA (um a) : Na=23; B = 11; 0 = 16

A ) 6 B) 7 C ) 8

D ) 9 E) 10

Un ki logramo d e agua de mar contiene

3 x 1023 iones m ag ne sio. ¿Cuál es la ca n

t idad de agua de mar que deb e pro ce

sarse para ob ten er 580 g de M g(O H )2?

PA (M g)=2 4 urna

A ) 20 kg B) 25 kg C ) 30 kg

D ) 35 kg E) 40 kg

Una mezcla de CaO y MgO pesa 2,4 g

y se transfo rma totalm ente en C aS04 y

M gS 04, respe ctivam ente. Si la m asa to

tal de las sales obtenidas es 6,4 g, hallee l porcentaje en masa de m agnesio en

la me zcla inicial.

PA (urna) : Mg=24; S=32; Ca=40; 0 = 1 6

A ) 25% B) 27,6% C ) 38%

D) 75% E) 41,7%

Estado gaseoso y mezcla de

gases

Res pecto al estado gaseoso, indique la

pro po sición falsa.

A ) Ocupan todo e l vo lumen del rec i

piente qu e lo contiene.

B) Presentan m ayor en tropía q ue los

líquidos.

C ) Los gases no son fác i lm ente co m

presibles.

D) Sus m oléculas p ueden ser mo no a

tómicas o poliatómicas.

E) Poseen fluidez al igual que los lí

quidos.

2. A 127 °C, 200 m g de cierto gas ocup a

un volum en de 0,2 L y ejerc e una pre

sión de 312 torr. Deter m ine la identida d

del gas desconocido.

PA (urna) : C=1 2; 0= 16 ; S=32.

A ) C 0 2 B) N20 C) S 03

D ) C3H8 E) S 0 2

3. Si 2 1 gram os d e gas nitrógeno a 0 °C

y I atm ósfe ra ocupan el m is m o volu

men que un determinado número de

m olécu las d e gas p ropan o C3H8 en las

con diciones de A vogadro, ¿cuál será el

núm ero de m oléculas de propano?

PA (urna): N=1 4; C=12 ; H=1

A ) 4,5x 1023

B) 2,25 x1023C) 4,5 x1 022

D ) 9 x l 0 23

E) 3 x l0 22

4. En un balón de ace ro se coloc a 100 L

de gas am on iaco a 37 °C, y luego de

calentar el recipiente e l gas increm enta

su tem peratura en 200 °C. D eterm ine lapresión final en atmósferas si al inicio

se tenía una presión d e 2280 mm Hg.

A ) 2,5 B ) 3,8 C ) 4,9

D ) 5,6 E) 8,4

5. Un tanque cont iene gas helio a 80 °C.

Si la presión se triplica isocóricam en te,

¿cuál será el porcentaje del increm ento

de tem peratura en la esca la Kelvin?

A) 200% B) 300% C )15 0%

D) 100% E) 110%

95



X Q ñ 1 -pt a & M t j , n 2

/ - * Academia César Vallejo x ................................................. .....................................— Material Didáctico N.° 1 i N

6. En un tan que rígido de 30 L se tiene

una m ezcla gaseosa de nitrógeno y oxí

gen o con una presión de 936 m m Hg a

27 °C. Si la fracción molar del oxígenoes 0,2, ¿cuál es la masa en gramos de

nitrógeno en la me zcla?

PA (um a) : N = 14; 0 =1 6

A ) 12,4 B) 16,8 C ) 18,5

D) 33,6 E) 24,2

8. Calcu le el porcenta je en masa de l gas 1ii-

drógeno contenido en un recipiente de

8 L de capacidad, qu e también contiene

gas ox ígeno a 27 °C y 1,2 atm de presión,

si se sabe que el oxígeno constituye el

20% en m oles d e la mezcla gaseosa.

PA (urna): 0= 16 ; H=1

A ) 10% B) 20% C )15 %

D) 30% E) 35%


Números cuánticos y distribución

electrónica

Indique verdadero (V ) o falso (F) según

corresponda.

I. El nú m ero cuántico azimutal pre

senta n valores.

II. El máximo número de orbitales en

un nive l n es n2. VIII. El estado energético de un electrón

lo determ inan n y í. V/.

A) VVF B ) VFV J ÍV V V

D) VFF / E) F W

Señale el juego de números cuánticos

que son perm itidos para un electrón.

n « m(! m s

A ) 3 3 -1 +3/2 ><

B) 2 3 0 + 1/2 >C ) 2 1 +2 + 1/2?}$ 5 3 -3 -1/2

E) 4 4 +3 -1/2

3. Indique la propos ición incorrecta.

A ) El tercer nivel pued e con tener com o

máximo 9 orbitales. >

B) Si m ¡= -2 , entonces, el men or valor

que p ue de toma r ñ es 3. Y

C) El juego de números cuánticos: 4; 2;

0; +1/2 es proba ble para un electrón.

9 6

\ i

p D ) Un orbital qu eda def inido por los

núm eros cuánticos n, Cy m (.

E) El número cuántico spin magnético

determ ina para el electrón su sentido

de giro alreded or del núcleo atómico.

4. En dos átomos de hidrógeno, e id e r -

trón del primero está en la órbita n=2,

y en el otro átom o un e le ctrón está en

rt=5. ¿Cuáles de las siguientes propos icione s son verdaderas?

I. En el prim ero, el electrón tiene m e

nor energía. V

II. En el segund o, el electrón se m uevo

má s rápido. I

III. En el seg un do, el elec trón pos ee

m en or distancia al núcleo.

A ) II y III B ) so lo I C ) I y III

D ) so lo II E) I y II

5. De term ine e indiqu e el nú m ero total

de e lectrones desapareados én lo»

siguientes iones.

17*

/

> 26, 3 + .

i 8'-

A ) 2

D ) 8

B ) 6 C )4

g > 5

Determine el númeyó de electrones

en el último y penúltimo nivel, resper

tivamente, del ion E3+, si se sabe que

po see la m isma cantidad de e lectrones

que el Cr2+ (Z=24).

A) 2 y 10D ) 2 y 12

B) 10 y 8 C) 4-y 8$ T 1 2 y 8



f~\ Reforzamiento UNI ^ _ Química ^

7. Señ ale la distribución electrón ica inco

rrecta.

A ) 80 = [H ej2s22p4B ) 2(¡Fe3+ = [A r ]3 d5 */

C ) 35Brr:==|Ar]4s23 d104p6 y

82?b 4+ = [X e]6 s24f ,45d8 ^

,E) 13A l= [N e ]3 s 23p T—^ 7 "V3

Determine e l núm ero atóm ico de l e le

m ento quím ico cuyos átomos p oseen 6

orbitales semillenos y contiene 5 nive

les de energía.

11 .

semil lenos di fusos, considerando que

su carga nu clear es la may or posible.

Grupo

J R Í 9" B ) 9

A) 54, B042

B) 48 C) 44

E) 46

Tabla periódica actual

Respecto a la tabla periódica, indique

la afirm ación incorrecta.

1 0 .

A ) Los halógenos poseen una conf iguración elec trón ica fin a l... ns2np 5. -

B) El grupo IVA contien e m etales, no

m etales y m etaloides. V

J¡f) Todos los metales de transición son

sólidos a temperatura am biental.

D) El calcio, e stroncio y el m ag nes io

son elem en tos alcalinos térreos. V

E) El bromo es un no metal l íquido a

temperatura ambiental.

A un e l emento de número a tómico

29 se le ubica en e l g ru p o ............... y

.!.............periodo de la tabla periódica

actual.

A) IIA (2); tercer

B) IB (12); cuarto

C) VI1B (4); cuarto

DLfIB (2); cuarto j® IB (1 1); cuarto

En la tabla periódica, ubique al ele

mento cuyo átomo neutro cont iene

2 subniveles de tipo d y 3 orbitales

-¿CA.

14.

C)

D)

E)

Periodo

5

4

4

5

5

12. Se sabe qu e un elem en to E t iene iones

de la forma E2-, que es isoelectrónico

con e l á tomo de Ne (Z=10) . ¿A qué

famil ia pertenece el elemento E en latabla periódica actual?

A) carbonoide

B) halógeno

C) nitrogenoide

D) gas noble

E) anfígeno

13. Dadas las siguientes esp ecie s quím icas:

i7C l' ; ,7C13+; HSi; t8Ar

señale las proposiciones verdaderas

resp ecto al radio iórjico.

II.

III.

it CI1- :

MSi >

ísAr

,C13+

ionic

i8Ar > 14Si

I y II

D) II y III

B) I, II y III C) solo II

E) I y III

Respecto a la energía de ionizac ión,

señale las proposiciones verdaderas.

I. Es la en ergía necesa ria para arrancar

e l e lectrón más ale jado de l átomo

en estado só lido, p '

II. En un grupo es mayor en átomos

con m ayor valor de carga nuclear. ■

III. En un mism o per iodo de la tabla perió

dica, su valor se ve increm entad o con,

el mayor valor del núm ero atómico. V

$ ) so lo III B) I y II C) I, II y III

D) II y III E) so lo I

97



~Z s

f - \ Academia César Vallejo1


15. Resp ecto a los s iguientes e leme ntos

i |X¡ 19Y; :i4Z

¿cuáles de las propo siciones son verd a

deras? /

I. Y tiene m ayo r radio que X. V

H. Z p ose e m ayor electronegatividad

qu e Y. V

III. La e nerg ía d e ionización de X es

m ayor que la de Z.

16.

18.

19.

Enlace químico

¿Qué com pue sto pose e enlace iónico?

A ) C 0 2

D) K20 /

, $ N H 3 C ) P 20 5E) C 3H8

A ) I y II

D ) II y III

B ) so lo II C ) I, II y III

E) solo III

Sobre los elementos en la tabla perió

dica, señale las proposiciones verda

deras.

I. La electronegatividad aum enta con

la carga n uclear en un period o.

II. Entre las familias o grupos, los ni-

trogenoides son los de m ayor po der

oxidante. I~

III. La electronegatividad se manifiesta

durante la form ación d el enlac e quí

mico. 1

A ) II y III

D) solo II

B ) I y II $ I y III

E) solo III

Sobre la variación de las propiedades

periódicas de los átomos, señale la al

ternativa correcta.

A ) En un grupo, los radios de los an io

nes aum entan de m od o inverso con

el núm ero atómico.

B) Los m etales de transición t ienen

los valores más altos de energía de

ionización.

C) En cualquier grupo, todos los e le

m entos se e jicuentran en un m ismo

estados-físico, a temperatura am-

bjerífal. 1

ôs elementos del grupo IIB t ienen

dos electrones en su m áxim o nivel. ,

E) Todos los gases nobles t ienen ocho

electrones en su m áxim o nivel ener

gético.

Para un elem en to A, cuyo Z = 20, y B de l

grupo VIIA, señale las proposiciones,

verdaderas.

I. El com pu esto qu e se formará entre

A y B es d e naturaleza covalente.

II. La fórmu la del com pu esto entre A y

B es A B 2.

III. El en lac e e ntre A y B es ión ico.

A ) so lo II B ) II y III C ) I y II

D) I y III E) so lo 1

~T 20. Señale la af irmación que no corres

pon de a una propieda d ge nérica de los

com puestos iónicos.

A ) Son sólidos, d e / alta durez a pero

quebradizos. */

Bf"P0seen baja condu ctividad eléctrica.

C ) Al disolver los e n agua se disocian en

an iones y ca t ion es ./

D) P ose en altas temperaturas de fusión

y ebu ll ic ió n . \/

E) Son volátiles a temperatura ambiental

Señale la alternativa que contenga al

com pu esto cuyo átom o centra l cumpla

la regla del octeto.

2 1.

A ) PCi5 X B ) SFg

J »)C H 2CI2

C) BCIj

E) BeH 2

22. Determine cuáles de las siguientes

sustancias son covalen tes.

I. LiCl

II. C 0 2 v/III. HF JElectronegatividad: Li=10 ; H = 2 ,l ;

C=2 ,5; Cl=3,0; F=4,0.

A) solo III

D) I y III

B) I y II i II y III

E) solo II

98



(V » ! 1 D« , J

23. En referencia a las sustancias 0 3 y K20 , 27.

indique la proposición verdadera.

r \ Reforzamiento UNI ̂_________±_z ___ _ _____J ' — _____ Química h .

1

A ) En 0 3 hay un en lace mú ltiple y K20tiene dos enlaces simples. i

P Í Todos los átomos d e am bas sustan

cias cum plen la regla del octeto.

C) En total hay dos enla ces dativos, f

D) Am bas sustancias son covalen tes. f -

E) En total están prese ntes cu atro enla- 28

ces sigma.

Determine las proposiciones verdade

ras (V) o falsas (F) según corresponda.

I. Cal apag ada; C a(O H )2 /

II. Potasa cáustica: Na OH \/III. Alúm ina: A l(O H )3 <

V W

D) VFV

B) FFV C ) W F

E) FVF

24. El medicamento de nombre comercial

parace tam ol tiene la siguiente estructura.

Indique las relaciones de correspon

denc ia correcta respecto a las siguien

tes sales neutras.

I. Na.,SO, : sulfito de so d io ^

V ^CH3HO-e f V N - C

^ ( i ; II. KCIO : hipoclorito de potasio

III. NH 4Cr20 7 : d icrom ato de a m on io V

\ ___ / " II

. , C O

U H 9 QIndique cuáles son las proposic iones “ •

verdaderas.

I. T ien e cuatro en lac es tipo pi. '

II. Su fórm ula glob al es C8N 0 2Hay

III. Tie ne 56 electron es d e valencia. V

A ) í y II B) II y III C ) I, II y III

D ) solo II E) so lo III |J

uFormulación y nomenclatura inorgánica

A ) II y III

D ) solo II

B) I, II y III C ) I y III

E) solo I

Determine la alternativa que muestre

al ion pol iatómico con su nombre co

rrecto.

i V A ) N 0 3 : nitrito

B ) C I0 3“ : perclorato 1 Q \

C ) HS'~: bis ulfu ro1-

I

-I

D) H P O f : fos fa to

E) N H4 : am on io >/

25. Determine el par de metales cuyo nú

m ero de ox idación más común es +2.

/ V / v ,i Cu; Fe B ) S; Ca C ) Ba; Zn

1

30.

D) E) O: Cdv

26. Identi f ique el nombre stock correcta

m ente escrito.

A ) Fe20 3 : óx ido d e hierro (II) 7

© Sn 02 : óx ido de estaño ( II )

C) C a(O H )2 : h idróxido de m on ocalc io

D) H.¿S04 : ác ido tetraoxosulfúr ico (VI)

E) A l(O H )3 : trihidróxido de aluminio (III)

31.

Indique la alternativa dond e e l com

pue sto tiene la fórm ula correcta.

A ) Hipoclorito de calcio: Ca (C10 )2

B) Ó xido férrico: Fe30 2

C ) Cloruro d e m ercurio ( I ) : HgCl2

D ) A cid o sulfúrico: H2S

E) Yoduro niqueloso: Nil3

Determine la atomic idad de los com

puestos bicarbonato p lum boso y tr ioxo-

carbona to ( IV) de bario.

A) 11 y 6

D) 9 y 6

B) 11 y 5 C) 10 y 6

E) 12 y 8

99



Academia César Vallejo ^ _ Materia l Didáctico N.° 1

32. Re lac ione e l nom bre de l com puesto

C a (0H )N 0 3 con e l tipo de nom encla tura

que le corresponde.

I. nitrato bá sico de calcio b

II. hidroxinitrato de ca lcio 3 III. hidroxin itrato de ca lc io (11) J í C

a. stock b. tradicional

c. 1UPAC

A ) Ic; Ilb; Illa

B) Ilb; Illa; le

05 Ib; Illa; Ilc

D) Illb; lie; la

E) Ib; Ha; IIIc

Cálculos en Química

33. S i e l peso fórmula del compuesto

CaCI jfH jO e s 201 urna, de term ine el

peso m olecular de l compu esto

PA (urna): Ca=4 0; P=3 1; Cl=35,5; 0 = 1 6

A ) lj¡2_uma B ) 114 urna C ) 138 urna

D) 152 urna E) 146 urna

34. Si en una go ta d e agua existen 5 x 1 021

m oléculas, determ ine el. pe so de 10

gotas de agua.

PA (u rna): H = l ; 0= 16

# 1 , 5 g

4,2 g

B) 2,3 g C ) 3,2 g

E) 5,5 g

35. D ete rm ine la ma sa, en kg, de 1,8 x 1030

m oléculas de anh ídrido carbónico.

P A ( u m a ): C = 12 ; 0 = 1 6

N a = 6x 1 0 23

A ) 2 ,6 4 x1 03 B ) l , 3 2 x l 0 5 C ) 2 , 6 4 x l 0 4

D) 6 ,6 x1 04 «1 0 ^ E) 1 ,32x104

36. Uno de los fertilizantes más usados en

los cam po s d e cultivo es el C a(H 2P 0 4) 2.

Si se d ispo ne de 520 kg de fertilizante

con 90% de pureza, ¿qué masa de fós

foro, co m o m áximo, será asim i lada por

las plantas?

PA (um a ) : Ca=40 ; P=31 ; 0 =1 6

A ) 62 kg B ) 124 kg C ) 234 kg

D) 248 kg 7*2.1% E) 466 kg

37. De las siguientes proposiciones, indique la verdad (V ) o fa lsedad (F ) según

corresponda.

I. En 5 m ole s de 0 2 está prese nte la

misma cant idad de átomos que en

2 m ole s de CH 4. F

¡p II. A partir de 10 m o les d e H2S 0 4 se

pueden obtener 5 m oles de 0 2.

III. Si disponemos de 520 g de AI(OH) ,,

se obtend ría 10 m ole s de C a (O H )2.PA (um a) : A l=27 ; Ca=40; 0= 1 6

A ) V W

D ) F W

B ) VFF C ) VFV

E) FFF

38. Indique la masa d e C 0 2 que con tiene la

m ism a cantidad de m olécu las que 49 g

d e H2S 0 4. m-^ 9

PA (um a ) : S=32 ; C=12 ; 0 =1 6

A ) 20 g

D) 30 g

B ) 11 g

'22 g

39. Indique aq ue lla cantidad de sustancia

que p osea la mayor masa.

PA (um a) : Fe=56; N=14; 0 =1 6; A l=27

A ) 3 mo l es d e Fe W °" 'z B) 1 m ol de N20 5 u

C) 100 g ^ e H2 Í í w a

D )> # x 1024 m oléculas de H20

’ 5 m ole s d e Al t'Vs

40. Los huesos de una persona adulta, en

prom edio, pesan alreded or de 13 kg y

contienen 60% en masa de fosfato de

calc io. ¿Qué peso de fósforo se obten drá de los huesos d e una perso na adul

ta, teóricam ente?

PA (um a ) : Ca=40 ; P¿31 ; 0= 16

A ) 1,24 kg f í 1,56 kg C )2 , lk g

D) 2,42 kg E) 3,42 kg

100



/H Reforzamiento UNI _ Qufmica i-y

41. Una m ezc la e quim olar está constituida

po r CuSQ^ '5H-,0 y M gCl? • 6H ,Q

¿Qué porcentaje de agua contiene la

mezcla?

PA (urna): H = 1; 0 = 1 6 ; Cu=63,5; S=32;

M g=24; C l=35,5

A ) 28% B) 34,7% C ) 38%

f f í 43,8% E) 48%

42. Determ ine la cantidad de hierro que se

pu ed e extraer a partir de 800 kg de he-

matita al 90% en masa de óxido férrico

(Fe 20 3) c on un rendim iento del 75%.

PA (urna) : 0 =1 6 ; Fe=56

A ) 254 kg B ) 504 kg C ) 378 kg

D ) 300 kg E) 432 kg

Estado gaseoso y mezcla de gases

43. Res pecto al estado gaseo so, indique

las prop osiciones verdaderas.

I. Su forma y volum en dep en de fi del

recipiente que lo contiene. ÎI. Se difunden a través de otro fluido

con altas velocidades.

III. Las fuerzas de atracción molecular

se compensan con las fuerzas de

repulsión.

A ) solo I B) I y II C ) solo II

D ) I y III E) I, II y III

44. Determine e l número de moléculaspresentes en un balón de 3 L de capa

cidad donde la presión del gas es de

2 atm y la temp eratura d e 27 °C.

A ) l ,4 6 x l0 23 B) 2 ,2 6 x l0 18 C ) 14,6x1023

D) 2,32x1 023 E) 1,52x1024

45. Un gas se halla con finad o en un reci

piente de 20 L a la presión d e 5 atm y

una temp eratura d e 127 °C. Identifiquede qu é gas se trata si en estas con dic io

nes su den sida d es 9,76 g/L.

PA (urna) : C=1 2; N=1 4; 0 =1 6 ; S=32

A) CH„ B) C3H8 C) S03

D) S02 E) N20

46. En las misma s cond icione s de presión

y temperatu ra , ¿cuántas v eces más

den so es el gas acetileno (C 2H2) q ue el

gas helio?

PA (um a) : C = 12; H e= 4 ;H = l

A ) 5,50 B ) 3,25 C ) 7,45

D ) 6,00 E) 6,50

47. Se tiene en un balón de 6 L gas cloro, el

cual se traslada a otro balón d e 4 L, pero

en el traslado se pierden 12 g. Determi

ne la m asa inicial del gas si la presión y

temperatura perm an ecen constantes.

A ) 36 g B) 18 g C ) 30 g

D ) 25 g E) 42 g

48. Un gas ideal ocup a un volum en de

0,3 d m 3 a una p resión d e l,8 x 105 Pa y

57 °C. Ha lle el volu m en, en d m 3, del gas

si la presión se redu ce a l ,1 5 x l0 s Pa y

la tem peratura au m enta a 550 K.

A ) 0.22 B ) 0,35 C ) 0,48

D ) 0,53 E) 0,78

49. Una m ezc la gas eosa contiene 14,4 g de

ox ígen o, 1,5x 1023 m olécu las de nitró

ge no y 0,65 m oles d e v apo r de agua.

Calcule la masa molar (g/mol) de la

mezcla.

PA (u m a ): H = l ; N = 1 4 ; 0 = 1 6

A ) 24,5 B ) 25,5 C ) 26,6

D ) 28,2 E) 33,1

50. Una m ezcla gase osa con tiene 32 g

de CH4, 90 g de C2H6 y 220 g de C3H8.

Si la presión total de la m ez cla es d e

1520 mmHg, calcule las presiones par

ciales de cada gas, respect ivamente,

en atmósferas?

PA (um a) : C=1 2; H=1

A ) 0,4; 0,6; 1,0

B) 0,2; 0,3; 1,5

C ) 0,8; 0,2; 1,0

D) 1,0; 0,6; 0,4

E) 1,3; 0,3; 0,4

101



C

l a v e s

V

A r i t mé t i c a

01 - A 06 - B 11 - A 16 - B 21 - D 2 6 - A 3 1- D 36 - C 41 - A 4 6 - D

02 - D 07 - E 12 - E 17 - A 22-D 2 7 -C 32- E 37 - B 42 - E 47 - A

03 - B 08 - C 13 - A 18 - A 2 3-C 28-A 3 3- A 38 - E 43 - C 48-C

04 - B 09 - B 14- B 19- B 2 4 -C 2 9 -C 3 4-C 39 - C 44 - B 4 9 - E

0 5- A 10-D 1 5 - E 2 0-B 25- E 30- B 3 5-C 40 - B 45 - B 5 0 - A

A l g e b r a

01 - D 06 - A 11 - D 16 - B 21 -D 26-D 31 -E 36 - D 41 - D 4 6 - D

02 - D 07 - C 12 - C 17 - E 2 2 - B 2 7-C 3 2-D 37 - C 42 - A 4 7 - E

03 - E 08 - E 13 - D 18 - A 2 3 -D 2 8 -C 33 -D 38 - E 43 - B 4 8 - B

04 - C 09 - B 14 - B 19 - B 2 4 - B 29-E 3 4 - A 39 - B 44 - D 4 9 -D

0 5- D 10- A 15- E 2 0 -C 2 5-E 3 0-C 3 5- B 40 - D 45 - A 50 - Ev.

G e o me t r ía

01 -C 0 6 - A 11 -C 16-D 21 -C 2 6- D 31 - A 3 6-C 41 - D 46 - C

0 2-C 0 7 -C 12 - A 17-D 2 2 - B 2 7 - B 32 -E 3 7-E 4 2 - A 4 7- A

0 3 - E 0 8- B 13 - A 18- E 23 - B 2 8 -C 3 3- B 38 -C 43 - B 48 - B

0 4 -C T09 - C 14 - C 1 9 - A 2 4 - C 29-D 34 - C 39 - B 44 - E 49 - C0 5 - A 10-C 15 - C 2 0 -C 2 5 -C 30 -D 35 - A 4 0 -C 4 5 -E

T r i g o n o me t r ía

01 -B 0 6 - B 11 - B 16-B 21 - A 26-B 31 - A 3 6- D 4 1 - A 4 6 - A

02 -D 0 7 -C 12 - A 17 - D 2 2- A 2 7-D 3 2- B 3 7- B 42 - D 47 - B

03 -C 0 8 -C 13-E 18 - B 23 -D 2 8 - B 3 3-D 3 8 -D 43 - E 48 - D

04 - C 0 9 - A 14 - A 19 - E 2 4 - B 2 9- A 34 - B 39 -C 44 - A 49 - C0 5 - C 10-E 15 - C 2 0-D 2 5 -E 3 0-C 3 5 -B 4 0 -C 45 - C 50 - B

Fís ic a

01 -E 0 6 - B 11 - B 16 - C 21 -D 2 6 - B 31 -D 3 6-C 41 - E 46 - C

0 12 1 C 22 2 7 E 3 2 B 3 7 C 42 A 47 C

Documents

Reforzamiento UNI 1