Regimen Es

www.fisicaeingenieria.es6.- RÉGIMEN LAMINAR Y RÉGIMEN TURBULENTO.6.1.- Número de Reynolds.

En número de Reynols es un parámetro adimensionalque se utiliza para determinar el tipo de flujo que circula por una tubería o conducción, su expresión es la siguiente:

Re = vD

u = rm

Dv

Según el valor del número de Reynolds el flujo puede ser caracterizado como laminar, turbulento o crítico.

El flujo laminar constituye un movimiento totalmente ordenado, de forma que el fluido se mueve en láminas paralelas. En este tipo de régimen, llamado también viscoso, predominan las fuerzas viscosas sobre las de inercia y, por lo tanto, estáasociado a números de Reynolds pequeños (R<2000). Será un movimiento propio de fluidos de viscosidadelevada.

En el caso de régimen turbulento, al contrario queen el caso anterior, las partículas del fluido se mueven en trayectorias desordenadas, caóticas y variables con formación de torbellinos. Es el más común en hidráulica y no puede ser estudiado por procedimientos matemáticos teniendo que recurrir a procedimientos experimentales. En este movimiento predominan las fuerzas de inercia sobre las viscosas, por lo que los números de Reynolds seránelevados (R>4000).

Se define el movimiento como crítico cuando se produce el paso de laminar a turbulento. Esto tiene lugar de forma paulatina a medida que aumenta la velocidad de un fluido que en principio se encuentra en régimen laminar. Primero aparecen ondulaciones (régimen crítico) y si prosigue el aumento de la velocidad se alcanza el régimen turbulento. En régimen crítico el número de Reynols se sitúa entre 2000 y 4000.6.2.- Flujo en régimen laminar a través de tuberías.

En tuberías, tanto horizontales como verticales, se produce flujo siempre y cuando haya diferencia de presiones entre los extremos del tubo, de tal manera que habrá movimiento de menor a mayor presiones. El movimiento en una tubería estará determinado por las fuerzas gravitatorias y por las fuerzas de rozamiento viscosas. Tendremos en cuenta que la velocidad es nula en el punto de contacto del fluido con la tubería y alcanzará su valor máximo en el centro del tubo.6.3.- Tubo horizontal.

El tubo horizontal, es igual que el vertical, salvo que ahora, en vez de ser la fuerza gravitatoria la que provoca el movimiento, es la diferencia de presiones entre los extremos del tubo lo que hace que el fluido discurra por la tubería, por lo tanto, la ecuación de la que partimos es:

( p1 - p 2 )p x 2 + h ·2p xh dv

= 0 dxResolviendo la ecuación diferencial nos queda:

dv = - ( p1 - p2 ) 0 R ( p1 - p2 )xdx ⇒ ∫ dv = -∫ xdx

2h l v x 2hlEn donde, igual que antes, hemos tenido en cuenta que la velocidad del fluido en el punto de contacto con la

tubería es nula, así, la ecuación p ara la velocidad queda:

Luis Muñoz Mato www.fisicaeingenieria.es

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v = ( p

1 -

p

2 ) ( R 2 - x2 )4hl

Al igual que en el caso anterior, para hallar el caudal, haremos la integral:Q = ∫ v (x )dS = ∫ ( p14

-hl

p2 ) ( R 2 - x 2 ) xdxdqS S

Que da lugar a la siguiente expresión:Q = ∫R 2∫p (

p1

- p

2 ) ( R 2 - x 2 ) xdxdq = p ( p

1 - p2 ) R4

4h l 8hl0 0

El cálculo de las pérdidas es igual que en caso anterior y da un resultado que podemos expresarcomo:

h = Dp = 8hlQf pr gR4

r gEl perfil de velocidades para los tubos es del tipo del que se muestra en la siguiente figura:

6.4.- Tubo vertical.Para resolver la cuestión, se ha de igualar el peso de la columna de fluido con la fuerza debida a la

viscosidad:r gp x 2 h + h ·2p xh dv = 0 dx

Esta es la ecuación diferencial de la que partimos, su resolución, nos va a dar la distribución develocidades a lo largo del tubo:

r g 0 R

dv = - xdx ⇒ ∫ dv = -∫ r g xdx2h v x 2h

Que resolviendo las integrales y evaluándolas en osl límites indicados, en donde hemos tenido en cuenta que la velocidad en x=R, es decir, en el punto de contacto del fluido con la tubería, la velocidad es nula, dan un resultado para las velocidades en función de la distancia al eje del tubo (x )

v = r4h

g ( R 2 - x2 )

El eje del tubo cumple la condición x=0, por lo tan to, haciendo x=0 en la expresión anterior, obtenemos la velocidad del fluido en el eje del tubo:

v = r g R2

4hEl caudal, lo calcularemos haciendo la integral:

Q = ∫ v ( x )dS = ∫ r4hg ( R 2 - x 2 ) xdxdq

S S

Lo que da lugar a la siguiente integral, de donde se saca el caudal:



R 2p r g ( R 2 - x 2 ) xdxdq = pr

gR 4

Q = ∫ ∫0 0 4h 8h

En cuanto a la pérdida de carga, tendremos en cuenta que la ley de Poiseuille nos permite calcular la pérdida de carga por rozamiento en un tubo cilíndrico y en régimen laminar, siendo esta expresión:


r g



Ejemplo 23.- Disponemos de una tubería de 200 m de longitud por la que discurre un fluido de viscosidad dinámica 0,015. El caudal que circula por dicha tubería es de 20 l/s. Sabiendo quea densida relativa del líquido es 0,76 y que la tubería tiene 100 cm de diámetro y que a lo largo de este recorrido se produce un pérdida de 0,003 atmósferas calcula:a) Velocidad del fluidob) Pérdidas a lo largo de 100 metros de esa tubería.

a) Para calcular la velocidad a lo largo de la tubería usaremos el dato del caudal, a partir del cual, se puede calcular la velocidad como:

⇒ 4Q

= vp R2

Q = vS ⇒ Q = v p

D

2 v = p D2

4

Sustituyendo los datos que nos da el problema tenemos:v = 4Q =4·20·10-3 = 0, 025 m/s

p D2 p12

b) Para calcular las pérdidas a lo largo de la tubería, en primer lugar calcularemos el tipo derégimen en el que se encuentra el agua en la tubería, para ello, usaremos la expresión del número de Reynolds:

R = rDvm

e

Sustituyendo los datos de los que disponemos en el problema nos da un número de Reynoldsde: rDv

R = = 760·1·0, 025

= 1267

e m 0, 015Por lo tanto, el régimen en el que se encuentra elfluido es laminar, eso nos permite emplear la expresión de

Poiseuille para calcular la pérdida de carga, según la cual:


r gSi sustituimos los datos de los que disponemos, obtenemos que la pérdida de altura a lo largo de la tubería será:

Dp 8hlQ 8·0, 015·100·0, 2 -3

hf = = = = 1, 64·10 mr g pr gR4 ( ) 4

p 760·9,81· 0,5Ejemplo 24.- Determina el radio de una tubería de 5 m de longitud con una pérdida de presión de 400 bares entre sus extremos para que cirucule agua en régimen laminar, sabiendo que la velocidad a la que debe circular el agua es de 1 m/s.

Para que el fluido circule en régimen laminar, se tiene que cumplir que el número de Reynolds sea igual a 2000, este número marca la situación límite, por lo tanto, usando las expresiones de las que disponemos:

Q = p ( p1 - p2 ) R4

8hlQ = vp R2

Igualando ambas expresiones, nos queda:p ( p1 - p2 ) R4

8hlDe aquí podemos despejar el radio, y nos queda:



R = 8vph l = 8vhl

p ( p1 - p2 ) ( p1 - p2

)Sustituyendo los datos de los que disponemos, se obtiene un valor para el radio de la tubería de:

-58vhl ·5 -58·1·105, 2·10

R = = = 3, 24·10 m( p1 - p2 ) 400·105

Lo que implica que el radio para que esto se produzca ha de ser muy pequeño, esto es debido, a que el régimen laminar es característico de líquidos con una viscosidad alta y la del agua es relativamente baja en comparación con la de otros f luidos, en los que, característicamente el régimen es laminar.

-4 2

Ejemplo 25.- Calcular la velocidad máxima del aceite con una viscosidad cinemática 1,18·10 m /s y densidad relativa 0,850 que circucla por una tubería cilíndrica de 30 cm de radio y 100 m de longitud sabiendo que el número de Reynolds es 1500 y que la depresión entre los extremos de la tubería es de 50 Pa. Haz una representación del campo de velocida des en función de la distacia a las paredes de la tubería.

La expresión que nos da la distribución de velocid ades a lo largo de una tubería en la que hay una depresión entre sus extremos es:

v = ( p

1 -

p

2 ) ( R 2 - x2 )4hl

La velocidad será máxima en el centro de la tubería, esto es, cuando x=0, en este caso la velocidad es:

v = ( p

1 -

p

2 ) R2 max h

4 lEn función de la viscosidad cinemática:

v = ( p

1 -

p

2 ) R2 max 4rul

Sustituyendo los valores que nos da el enunciado del problema nos queda:v = ( p1 - p2 ) 2 = 50 2 = 0,112 m/s

R 0, 3-4max

4 rul 1004·850·1,18·10Como se indicó anteriormente, esta velocidad es la velocidad máxima, es decir, en el centro de la tubería, pero

como se vió anteriormente, la velo cidad va disminuyendo a medida que nos alejamos del centro del tubo hasta hacerse cero en el contacto con las paredes. La representación gráfica será:



Perfil de velocidades

0,120,1

0,08

v (m /s)

0,06

0,04

0,02

0

-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4

x (m)


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