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La Regla de la Cadena
Cálculo IV (ING)Prof. Antonio Syers
Introducción
Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; y x = g(t,), ambas funciones derivble, entonces y es una función derivable con respecto a t y se cumple:
dtdx
dxdy
dtdy
Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones
Caso 1
Supongamos que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones derivables de t ; entonces z es una función derivable de t y se cumple que:
dtdy
yf
dtdx
xf
dtdz
Veamos esta fórmula de manegra gráfica:
Caso 1Z =f (x,y)
x y
t t
x
y
dtd
dtd x
fdtdz
dtdx
yf
+dtdy
Si representa la temperatura en el punto (x,y) y Son las ecuaciones paramétricas de una curva C , calcule la razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva
Ejemplo42 xy3yx)y,x(T
senty;ex t
T
x
y
t
t
xT
dtdT
dtdx
yT
+dtdy
yT
xT
dt
dx
dtdy
Ejemplo
t cos xy 12 x e y3 xy 2dtdT3 2 t 4
Si queremos saber cual es la razón de cambio de T cuando t = 0, entonces
0t))0(y),0(x(0t))0(y),0(x(0t dtdy
yf
dtdx
xf
dtdz
10cos1e0dtdz 0
0t
Caso 1 ( General)
Suponga que z es una función derivable de las n variables x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple:
dtdx
xz
...dt
dx
xz
dtdx
xz
dtdx
xz
dtdz n
n
3
3
2
2
1
1
Caso 2
Supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t) y las derivadas parciales de g y h existen . Entonces:
sy
yf
sx
xf
sz
ty
yf
tx
xf
tz
Caso 2
x y
t t
x
y
t
t
s s
s
s
sz
xf
sx
+yf
sy
tz
xf
tx
+y
f
ty
Z =f (x,y)
Supongamos que w = f(x,y,z) es una función derivable de x, y de z, donde x = g(s,t), y =h(s,t), z =k(s,t) y las derivadas parciales de g, h, k existen . Entonces
sz
zf
sy
yf
sx
xf
sw
tz
zf
ty
yf
tx
xf
tw
x y
t t
x
y
t
t
s s
s
s z
t
t
s
s
zw=f (x,y,z)
sz
zf
sy
yf
sx
xf
sw
tz
zf
ty
yf
tx
xf
tw
Ejemplo
Demuesrtre que
rseny ,rcos xdonde y),f(x,z Si
222
2
2
yf
xfz
r
1rz
x y
x
y
r r
r
r
Z =f (x,y)
ejemplo…
ry
yf
rx
xf
rz
senyf
cosxf
yyfx
xfz
cosryf
rsenxf
ejemplo…
2
22cos
xf
rz
22
2 senyf
sencosyf
xf
22
22cosr
yfz
222
22 senrxf
sencosryf
xf
ejemplo…
2
22
21
cosxfz
r
22
2 senyf
sencosyf
xf
Por lo tanto
22
222
2
2 1sencos
yf
xfz
rrz
22
yf
xf
Segunda derivadaLa segunda derivada de una función es análoga a la primera, es decir, depende de las mismas variables que depende la función original. Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y=h(s,t). Entonces la función derivada fx(x,y) también depende de x y de y, y además x,y dependen de s y t ( esto también se cumple para fy(x,y)).
Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo…
Muestre que cualquier función de la forma )atx(g)atx(fz
Donde a es una constante, cumple con la ecuación:
2
22
2
2
x
za
t
z
Solución:Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces
)v(g)u(fz
xv
)v(gxu
)u(fx
)v(gx
)u(fxz
)v(g)u(f
)v(g)u(fxx
z
2
2
xv
dv)v(gd
xu
du)u(fd
)v(g)u(f
Calculemos ahora2
2
t
z
tv
)v(gtu
)u(ft
)v(gt
)u(ftz
)v(g)u(faa)v(ga)u(f
)v(g)u(ft
at
z
2
2
tv
dv)v(gd
tu
du)u(fd
a
)v(g)u(faa)v(ga)u(fa 2
2
222
2
2
x
za)v(g)u(fa
t
z
Ejemplo rseny ,rcos xdonde y),f(x,z Si
Demuestre que: 22
2
2
22
2
yf
xf
rz
r1z
r
1
r
z
senyf
cosxf
rz
Del ejemplo anterior, tenemos que
cosr
yf
rsenxfz
ejemplo…
sen
yf
cosxf
rr
z2
2
senr
fcos
rf yx
cossenyf
cosxf xx
sensen
y
fcos
x
f yy
ejemplo…
yy2
xyxx2 fsenfsencos2fcos
cosr
yf
rsenxfz
2
2
Por otra parte,
xf
rsenxf
cosr
yf
cosryf
rsen
ejemplo…
xf
cosr
cosrfrsenfrsen xyxx
xf
yf
rsen
rsenfcosrfcosr yxyy
yf
ejemplo…
Simplificando resulta,
xx22
yx2
2fsenrfrsenfcosr
z
yy22
yx fcosrfsencosr2
Así,22
2
2
22
2
yf
xf
rz
r1z
r
1
r
z
COMPRUEBELO!!
Ecuación de Laplace
Definición:Sea f una función, f:IRnIR, diferenciable, se define el LaplacianoLaplaciano de f
Y se denomina la ecuación de Laplaceecuación de Laplace a:
2
2
2
22
y
f
x
ff
0y
f
x
f0f
2
2
2
22
Ejemplo
Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace, esto es,
0y
f
x
f2
2
2
2
Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y), también satisface la ecuación de laplace.Demostración:Lo que queremos probar es que:
0y
z
x
z2
2
2
2
Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces
u v
y y
u
v
y
y
x x
x
x
Z =f (u,v)
vf
2uf
xv
vf
xu
uf
xz
xv
uvf
xu
u
f
x
z 2
2
2
2
2
xv
v
fxu
vuf
22
22
2
22
2
2
2
2
v
f4
vuf
4u
f
x
z
vf
uf
2yv
vf
yu
uf
yz
yv
uvf
yu
u
f2
y
z 2
2
2
2
2
yv
v
fyu
vuf
2
22
2
22
2
2
2
2
v
fvuf
4u
f4
y
z
Entonces,
2
2
2
2
2
2
2
2
v
f5
u
f5
y
z
x
z
0v
f
u
f5
2
2
2
2
Ecuación de Laplace para f
Derivación Implícita
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y de manera implícita como una función de x, esto es y = f(x), para todo x en el dominio de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx. En efecto:Tenemos la ecuación 0)y,x(F
dx
)0(ddx
)y,x(dF
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, entonces si F es diferenciable podemos calcular z/ x, z/ y
0dxdy
yF
xF
0dxdy
yF
dxdx
xF
0)F( FF
yFxF
dxdy
yy
x
Supongamos que queremos calcular z/ x 0)z,y,x(F
x)0(
x)z,y,x(F
0dxdz
zF
dxdy
yF
dxdx
xF
0dxdz
zF
xF
0)F( FF
zFxF
xz
zz
x
Ejercicio: Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y. Demuestre que:
0)F( F
F
zFyF
yz
zz
y
Ejemplo
Supongamos que una ecuación de la forma F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y.Calcular z/ x.Solución:Sea u=xy, v = z/y
0yxz
vF
yuF
0dxdv
vF
xu
uF
)0vF
(
vF
uF
y
vF
uF
y
xz
22