Regla de Los Signos de Descartes

7/25/2019 Regla de Los Signos de Descartes

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REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES

Para un polinomio, siendo:

f(x) = anxn+ an-1x

n-1 + an-2xn-2 + an-3x

n-3+ + a3x3+ a2x

2 + a1x + a0

La cantidad de races reales positivas es igual al nmero de cambios designo de f(x) o disminuido en ese nmero en una cantidad entera par.

La cantidad de races reales negativas es igual al nmero de cambiosde signo de f(-x) o disminuido en este nmero en una cantidad enterapar.

Eemplo:

!plicando la regla de "escartes determinar la cantidad posible de

races positivas # negativas del siguiente polinomio.

x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6

$i aplicamos el primer punto de la regla podemos ver %ue no &a#

ningn cambio de signos por lo cual &a# ' raices positivas.

f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6

En la segunda parte, tenemos %ue sustituir f(x) por f(-x) por lo %ue el

polinomio %uedara as:

f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6

f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6

!%u podemos observar %ue a partir del primer signo %ue es negativo

se presentan cinco cambios de signo, por lo cual se deduce %ue &a#

races negativas

$in embargo, como la regla dice %ue la cantidad de races puede serdisminuida en una cantidad entera par existe la posibilidad de %ue la

cantidad de races negativas sea o * # dado a %ue las races positivas

son + ' # %ue el polinomio (por ser de grado ) debe de tener races,

las races faltantes seran races imaginarias.

Utilidad


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La regla de los signos de "escartes es una tcnica de fcil aplicacin

%ue resulta de suma utilidad para la identi/cacin de las races del

polinomio.

El contar con dic&a regla nos facilita la tarea de la bs%ueda de races,

#a %ue al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las

posibilidades de solucin.

!"# $%$&'l": $upongamos %ue tenemos una ecuacin con doscambios de signo # %ue mediante otros mtodos &emos encontrado

una solucin positiva (k).

Por la regla de los signos sabemos %ue la ecuacin tendr dos

soluciones positivas o no tendr ninguna. Pero tenemos #a una k

(solucin positiva), por lo %ue la ecuacin tiene dos races positivas

exactamente Esto indica %ue solo resta buscar la ra0 faltante entre losnmeros positivos.

RELACIN DE NE*TON (!ARA !OLINOIOS)

Es un mtodo de interpolacin polinmica. !un%ue slo existe un nico

polinomio %ue interpola una serie de puntos, existen diferentes formas de

calcularlo. Este mtodo es til para situaciones %ue re%uieran un nmero

bao de puntos para interpolar, #a %ue a medida %ue crece el nmero de

puntos, tambin lo &ace el grado del polinomio.

"ados n+1 escalares distintos # n+1 escalares (iguales distintos) se de/ne el polinomio interpolador en la forma:

$iendo las coordenadas del polinomio # la expresin anterior delpolinomio interpolador la conocida como diferencias divididas.

1eniendo en cuenta %ue existe una funcinptal %ue # &aciendosucesivamente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3micahttp://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica


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$e llega a:

2on los siguientes polinomios:

Las satisfacen la relacin de recurrencia:

3 /nalmente se obtiene el vector en , con lo %uese puede escribir el polinomio interpolador de 4e5ton en funcin de la nuevabase , de la forma %ue sigue:

ETODO DE ,ISECCIN

El mtodo de la bisectri0 es un mtodo numrico sencillo, mu# verstil paraencontrar una ra0 real en un intervalo en el %ue existe una ra0.

$u singular ventaa consiste en %ue funciona incluso con funciones noanalticas6 sin embargo, slo se debe utili0ar el mtodo despus de unanlisis gr/co.

$upongse %ue &a# una ra0 de f(x) + ' en un intervalo entre6


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x + a # x + c,

denotado por 7a, c8 o, de forma e%uivalente, por c 9 x 9 a.

El mtodo de la bisectri0 se basa en el &ec&o de %ue, cuando un intervalo 7a,c8 tiene una ra0, el signo de #(x) en los extremos es distinto, o sea, f(a) f(c)

'.

El primer paso de este mtodo consiste en bisectar el intervalo 7a, c8 en dosmitades: 7a, b8 # 7b, c8, donde6

b + ( a ; b ) < =

$i se veri/can los signos de f(a)f(b) # f(b)f(c), se sabe en %ue mitad delintervalo se encuentra la ra0.

"e &ec&o, si ' 9 f(a)f(b), el intervalo 7a, b8, %ue inclu#e x + a # x + b,

contiene a la ra06 de lo contrario, la ra0 esta en el otro intervalo, 7b, c8.

! continuacin, se bisecta de nuevo el intervalo %ue contiene a la ra0.

!l repetir este procedimiento, el tama>o del intervalo %ue contiene a la ra0se &ar cada ve0 ms pe%ue>o.

En cada paso se toma el punto medio del intervalo como la aproximacinms actuali0ada a la ra0.

La iteracin se detiene cuando el tama>o de la mitad del intervalo es menor

%ue una tolerancia dada.

El tama>o del intervalo despus de npasos de iteracin es

(c'- a')ode intervalo inicial.

La ecuacin anterior representa el mximo error %ue existe cuando seaproxima la ra0 con el n-simo punto medio. Por tanto, si la tolerancia del

error es t , el nmero de pasos de iteracin necesarios es el entero n mspe%ue>o %ue satisface

t 9( c'- a')


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ETODO DE LA ALSA !OSICIN

El &.t"d" d$ la regula falsi(#$/la d$l fal0") o fal0a '"0i1ies un mtodoiterativode resolucin numrica de ecuaciones no lineales. El mtodo combina elmtodo de biseccin# el mtodo de la secante.

$e puede demostrar %ue bao ciertas condiciones el mtodo de la falsaposicin tiene orden de convergencialineal, por lo %ue suele converger mslentamente a la solucin de la ecuacin %ue el mtodo de la secante, aun%uea diferencia de en el mtodo de la secante el mtodo de la falsa posicinsiempre converge a una solucin de la ecuacin.

El algoritmo tiene el inconveniente de %ue si la funcin es convexao cncava

cerca de la solucin, el extremo del intervalo ms aleado de la solucin%ueda /o variando nicamente el ms cercano, convergiendo mu#lentamente.

?n eemplo de este fenmeno se da en la funcin:

2omen0ando con 7@*,*8. El extremo i0%uierdo del intervalo, @*, nuncacambia6 el extremo derec&o se aproxima a ' linealmente.

La situacin en %ue el mtodo falla es fcil de detectar (el mismo extremo delintervalo se elige dos veces seguidas) # fcil de corregir eligiendo un ckdiferente, como:

o

Aestndole peso a uno de los extremos del intervalo para obligar a %ue elprximo cBocurra de ese lado de la funcin.

ETODO DE NE*TON
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_iterativohttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_iterativohttp://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_num%C3%A9rica_de_ecuaciones_no_linealeshttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_convergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Convexahttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3ncavahttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_iterativohttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_iterativohttp://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_num%C3%A9rica_de_ecuaciones_no_linealeshttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_convergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Convexahttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3ncava


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En anlisis numrico, el &.t"d" d$ N$t"(conocido tambin como el &.t"d"d$ N$t"-Ra'0"o el &.t"d" d$ N$t"-"#i$#) es un algoritmoe/cientepara encontrar aproximaciones de los ceros o racesde una funcin real. 1ambinpuede ser usado para encontrar el mximo o mnimo de una funcin, encontrandolos ceros de su primera derivada.

El mtodo de 4e5ton-Aap&son es un mtodo abierto, en el sentido de %ue su

convergencia global no est garanti0ada. La nica manera de alcan0ar laconvergencia es seleccionar un valor inicial lo su/cientemente cercano a lara0 buscada. !s, se &a de comen0ar la iteracin con un valorra0onablemente cercano al cero (denominado punto de arran%ue o valorsupuesto). La relativa cercana del punto inicial a la ra0 depende muc&o dela naturale0a de la propia funcin6 si sta presenta mltiples puntos deinCexin o pendientes grandes en el entorno de la ra0, entonces lasprobabilidades de %ue el algoritmo divera aumentan, lo cual exigeseleccionar un valor supuesto cercano a la ra0. ?na ve0 %ue se &a &ec&oesto, el mtodo lineali0a la funcin por la recta tangenteen ese valorsupuesto. La abscisa en el origen de dic&a recta ser, segn el mtodo, una

meor aproximacin de la ra0 %ue el valor anterior. $e reali0arn sucesivasiteraciones &asta %ue el mtodo &a#a convergido lo su/ciente.

$ea f: 7a, b8 -DRfuncin derivable de/nida en el intervalo real 7a, b8.Empe0amos con un valor inicialx'# de/nimos para cada nmero naturaln

"onde f denota la derivadade f.

4tese %ue el mtodo descrito es de aplicacin exclusiva para funciones deuna sola variable con forma analtica o implcita conocible. Existen variantesdel mtodo aplicables a sistemas discretos %ue permiten estimar las racesde la tendencia, as como algoritmos %ue extienden el mtodo de 4e5ton asistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.

ETODO DE LA DO,LE DI7ISION SINTETICA

Este mtodo # el de 4e5ton Aap&son por doble divisin sinttica, tambin se

les conoce como mtodos de las races irracionales, por %ue en la ma#ora delos casos las funciones tienen races con punto decimal.

!%u a diferencia del Ftodo de 4e5ton-Aap&son por doble "ivisin $inttica,

es el clculo de la doble divisin sinttica una sola ve0 # en las siguientes

iteraciones, permanece constante el valor del segundo residuo A'.

La divisin sinttica %ue se obtiene es la normal %ue siempre &emos

utili0ado.
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Raphsonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Raphsonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivada


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xn+1=x

n

R

R0'

Eemplo.

"ada la funcin f(x )=x34x1 , determine las races por medio del Ftodo

de Gon-Fise por doble divisin sinttica.

Paso *. $e propone el valor inicialx

0=3

# se reali0a la nica doble divisin-

sinttica.

* ' -H -*

x0=3

I *

n=0

* *H

R

*J

* K =R0

'

Paso =. $e sustitu#en los resultados en la formula de recurrencia.

xn+1=xnR

R0'

x1=3

14

23

x1=2.39

Paso . $i el resultado es igual a su anterior el mtodo termina, de lo

contrario se repite la divisin sinttica simple.

2.39

*.'' '.'' -H.'' -*.''

n=1 =.I .= H.**

*.'' =.I *.= .**R


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xn+1=x

n

R

R0'

x2=2.39

3.11

23

x2=2.26

$e repite el procedimiento:

x2=2.26

*.'' '.'' -H.'' -*.''

n=2 =.=K .'I =.HK

*.'' =.=K *.'I *.HKR

xn+1=xnR

R0'

x3=2.26

1.46

23

x3=2.19


xn+1=x

n

R

R0'

x3=2.19

*.'' '.'' -H.'' -*.''

n=3 =.*I H.J* *.

*.'' =.*I '.J* '.R


9/11

x4=2.19

0.77

23

x4=2.16


x4=2.16

*.'' '.'' -H.'' -*.''

n=4 =.*K H.KK *.H

*.'' =.*K '.KK '.HR

xn+1=x

n

R

R0'

x5=2.16

0.43

23

x5=2.14


x5=2.14

*.'' '.'' -H.'' -*.''

n=5 =.*H H.J

*.=

*.'' =.*H '.J

'.=

R

xn+1=xnR

R0'


10/11

x6=2.14

0.25

23

x6=2.13


x6=2.13

*.'' '.'' -H.'' -*.''

n=6 =.* H.H *.*H

*.'' =.* '.H '.*HR

xn+1=x

n

R

R0'

x7=2.13

0.14

23

x7=2.12


11/11


x7=2.12

*.'' '.'' -H.'' -*.''

n=7 =.*= H.* *.'J

*.'' =.*= '.* '.'JR

xn+1=x

n

R

R0'

x8=2.12

0.08

23

x8=2.1

Mbservamos %ue los resultados consecutivosx

7=2.12

#x

8=2.12

, son

iguales, por lo tanto &emos &allado el valor de la ra0 buscada

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