REGLAS DE INFERENCIA

MODUS PONENDO PONENS (PP)             p → q             “Si llueve, entonces las calles se mojan”        (premisa)            p                   “Llueve”                                                    (premisa)__________________________________________________             q                      “Luego, las calles se mojan”                      (conclusión)   El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).

MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT): ‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.                            p → q             “Si llueve, entonces las calles se mojan”                 ¬q                      “Las calles no se mojan”                                                                 __________________________________________________             ¬p                      “Luego, no llueve”  Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.  Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente. 

  DOBLE NEGACIÓN (DN)

    ¬¬p ↔ p El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:              ¬¬p                “No ocurre que Ana no es una estudiante”_____________________________________________________                  p                 “Ana es una estudiante”               La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.  ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador Λ (conjunción).

            p          “Juan es cocinero”            q          “Pedro es policía”             ___________________________________ p Λ q   “Juan es cocinero y Pedro es policía” 

Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado. 

 p Λ q               “Tengo una manzana y tengo una pera” ____________________________________________ p                      “Tengo una manzana”q                      “Tengo una pera”MODUS TOLLENDO PONENS (TP) 

La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una

disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.                p V q                         “He ido al cine o me he ido de compras”             ¬q                               “No he ido de compras”________________________________________________________               p                               “Por tanto, he ido al cine”   LEY DE LA ADICIÓN (LA)  Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción)  acompañado por cualquier otro enunciado.                         a                                  “He comprado manzanas”______________________________________________________________             a V b                           “He comprado manzanas o he comprado peras”    SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH) Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.  Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica:    p → q         “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”    q → r        “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve”

________________________________________________________              p → r     “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”      SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)  Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.               p → q             “Si llueve, entonces las calles se mojan”              r →  s             “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”              p V  r              “Llueve o la tierra tiembla”____________________________________________________             q V  s              “Las calles se mojan o los edificios se caen”   SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD)  Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.              p V q               “Helado de fresa o helado de vainilla”             p → r              “Si tomas helado de fresa, entonces repites”             q → r              “Si tomas helado de vainilla, entonces repites”             ____________________________________________________             r                      Luego, repites    LEY CONMUTATIVA

Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,              p Λ q ↔ q Λ p            “«p y q» equivale a «q y p»”             p V q ↔ q V p             “«p ó q» equivale a «q ó p»   LEYES DE MORGAN (DM) Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí: 

      p Λ q                                p V q___________                 ____________         ¬(¬p V ¬q)                        ¬(¬p Λ ¬q)

IMPLICACIONES LOGICAS Y EQUIVALENCIAS LOGICAS

Existe un conjunto de equivalencias e implicaciones lógicas que pueden utilizarse como esquemas de sustitución en procesos de razonamiento, o como esquemas de razonamientos validos respectivamente. A continuación se muestra un breve resumen de las más importantes:

1. Equivalencias Lógicas

2. Implicaciones Lógicas

METODO DIRECTO, INDIRECTO, RECIPROCO, CONTRARECIPROCO

Demostración por el método directo.

Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo: P ⇒ Q

Que podemos analizar como “si se cumple P entonces se cumple Q”, esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer análisis mas intensivos o mas extensivos pues lo hacemos de una forma innata. Si decimos: “El cielo esta encapotado, va a llover” estamos realizando una asociación de causa y efecto. En la cual “el cielo esta encapotado” es la causa y el efecto lógico es que, “va a llover”. Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocable. Así mismo en una relación matemática se puede verificar esta sencilla relación en la cual si se cumple la premisa P entonces se puede decir que se cumplirá la consecuencia Q.

A este proceso formal se le denomina “demostración mediante el método directo” es innecesario decir que si no se cumple o verifica P entonces su consecuencia tampoco se verificará. ¬P ⇒ ¬Q

Supóngase que P⇒ Q es una tautología, en donde P y Q pueden serproposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variablespropositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p.

Supóngase una implicación de la forma. (P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn)⇒ Q Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprendelógicamente de P1,P2,......,Pn. Se escribe.El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que P1 es verdadera, P2 es verdadera,...... y Pn también es verdadera, entonces se sabe que Q es verdadera. La mayoría de los teoremas matemáticos cumplen con esta estructura básica: (P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn)⇒ Q Donde las Pi condiciones son llamadas hipótesis o premisas, y Q es la conclusión. “Demostrar un teorema” es demostrar que la condicional es una tautología. Ojo, no se pide demostrar que la conclusión es verdadera, lo que se quiere es demostrar que Q es verdadera siempre y cuando todas las Pi condiciones son verdaderas.

Demostración por el método indirecto

El primer tipo de demostración indirecta se llama demostración por contraposición. Como su nombre lo indica, consiste en que para demostrar un teorema de la forma «si p entonces q», demuestra su contrarrecíproco (~q) --> (~p). En este caso se construye una cadena de proposiciones que conducen de (~q) a (~p), en vez de p a q. Esta implicación es verdadera puesto que es fácil verificar que : (~q) --> (~p) es equivalente a p --> q.

Demostración por el método reciproco

Sólo sabremos si es una tautología. Supondremos que es una

contradicción, por tanto podemos suponer que puede ser falsa. Sin

con esta suposición se llega a una contradicción quería decir que esa

falsedad supuesta nunca podría darse, por tanto la proposición sería

siempre verdadera es decir una tautología.

Demostración por el método contrareciproco

El teorema del contrarrecíproco da lugar a una variante del método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como método del contrarrecíproco. Este método puede resumirse así: Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica es teorema y al intentar su demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión deseada. Se procede entonces a demostrar por el método directo su contrarrecíproca , si se consigue este objetivo entonces queda establecida la validez de al hacer sustitución por equivalencia